cac dinh ly co ban trong giai tich ham

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG GIẢI TÍCH
HÀM

GVHD: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY
THỰC HIÊÊN:
NGUYỄN ĐỨC LỄ
BÙI THỊ KHUYÊN


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
TIÊN ĐỀ ZORN:

•Nếu tâÊp S là môÊt tâÊp được sắp môÊt phần bởi liên hêÊ và mọi tâÊp con được sắp tuyến tính của S đều có câÊn trên thì
S phải có môÊt phần tử tối đại m.
Có nghĩa:


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.1 ĐỊNH NGHĨA (SƠ CHUẨN)

• Cho X là không gian định chuẩn trên trường số K
Gọi là môÊt sơ chuẩn nếu thỏa:
i)
ii)


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO

• Cho X0 là không gian con của KGVT X trên .
• Giả sử tồn tại sơ chuẩn p thỏa

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tinh:
i)
ii)

là môÊt phiếm hàm tuyến tính.


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO

•
• Lấy g1, g2 là 2 phiếm hàm tuyến tính trên 2 KG con N1, N2 của X. g1 < g2 như sau:
Chứng minh:

Nếu thì

• Gọi S là tâÊp tất cả các PHTT g sao cho f < g.
S khác rỗng , được sắp môÊt phần và mọi tâÊp con của S đều sắp tuyến tính và có câÊn trên là giá trị của g.
Theo tiên đề Zorn, S phải có môÊt phần tử tối đại F thỏa:


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

• Cho X0 là không gian con của KGĐC X trên
• Giả sử tồn tại sơ chuẩn p thỏa
Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính
i)
ii)

là môÊt phiếm hàm tuyến tính liên tục.


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN:

•
• Dễ dàng kiểm tra là môÊt sơ chuẩn trên X.
• Do f tuyến tính liên tục nên

Chứng minh:

Theo (1.2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính thỏa
i)
ii)
Suy ra:

• Mà:
• VâÊy:


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.4 Hêê quả:

• Cho không gian định chuẩn X trên
• Khi đó thỏa mãn
Chứng minh:

• ĐăÊt (không gian con sinh bởi )
• Xét thỏa g)=

• Rõ ràng g tuyến tính trên X0.
• Vì nên g liên tục trên X0 và
• Áp dụng định lý 1.3:
•

và