Tuyển tập đề thi ĐH môn Toán qua các năm

Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Đề thi chung của bộ giáo dục và đào tạo
đại học, cao đẳng Khối A năm 2002
Câu I. (ĐH: 2,5 điểm; CĐ: 3,0 điểm)
Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + 3(1 m 2 ) x + m 3 m 2 (1) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm k để phơng trình x 3 + 3x 2 + k 3 3k 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
3. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Câu II. (ĐH: 1,5 điểm; CĐ: 2 điểm)
Cho phơng trình log 32 x + log 32 x + 1 2m 1 = 0 (2) (m là tham số).
1. Giải phơng trình (2) khi m = 2.
3
2.Tìm m để phơng trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1, 3 .
Câu III. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,0 điểm)
cosx + sin3x

1. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0,2 ) của phơng trình: 5 sinx +
ữ = cos2x + 3
1 + 2sin2x

2
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y = x 4 x + 3 , y = x + 3 .
Câu IV. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm)
1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lợt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng
mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng:
x = 1 + t
x 2y + z 4 = 0

1 :

và 2 : y = 2 + t
x + 2y 2z + 4 = 0
z = 1 + 2t.


a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa 1 và song song với 2 .
b) Cho điểm M(2, 1, 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đờng thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH
có độ dài nhỏ nhất.
Câu V. (ĐH: 2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A,
phơng trình đờng thẳng BC là 3x y 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính
đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
2. Cho khai triển nhị thức:
n

n

n 1

n 1

n

x
x21

x
x 1
x 1 x
x 1 x

2 + 2 3 = C 0n 2 2 + C1n 2 2 2 3 + ... + C nn 1 2 2 2 3 + C nn 2 3
























3
1
(n là số nguyên dơng). Biết rằng trong khai triển đó C n = 5C n và số hạng thứ t bằng 20n,
tìm n và x.
đại học, cao đẳng Khối B năm 2002

Câu I. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,5 điểm)
Cho hàm số: y = mx 4 + (m 2 9) x 2 + 10
(1) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
Câu II. (ĐH: 3,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm)
1. Giải phơng trình: sin 2 3x cos 2 4x = sin 2 5x cos 2 6x.
2. Giải bất phơng trình : log x (log 3 (9 x 72)) 1.

3 x y = x y
3. Giải hệ phơng trình:
x + y = x + y + 2
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

90

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu III. (ĐH: 1,0 điểm; CĐ: 1,5 điểm)
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y = 4

x2
x2
.
và y =
4

4 2

Câu IV. (ĐH: 3,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
I( ,0) , phơng trình đờng thẳng AB là x 2 y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,
2
C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
2. Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng các giữa hai đờng thẳng A1B và B1D.
b) Gọi M, N, P lần lợt là các trung điểm của các cạnh BB 1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đờng thẳng MP và C1N.
Câu V. (ĐH :1,0 điểm)
Cho đa giác đều A1A2...A2n ( n 2, n nguyên ) nội tiếp đờng tròn (O, R). Biết rằng số tam
giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,...,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4
trong 2n điểm A1,A2,...,A2n. Tìm n.
đại học, cao đẳng Khối D năm 2002
Câu I. (ĐH: 3 điểm, CĐ: 4 điểm).
(2m 1) x m 2
Cho hàm số: y =
(1)
(m là tham số).
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = 1 .
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và hai trục toạ độ.
3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x.
Câu II. (ĐH: 2 điểm; CĐ: 3 điểm).
1. Giải bất phơng trình: ( x 2 3x ) 2 x 2 3x 2 0.
23x = 5y 2 4y

2. Giải hệ phơng trình: 4 x + 2 x +1

=y
x
2 +2
Câu III. (ĐH: 1 điểm, CĐ: 1 điểm).
Tìm x thuộc đoạn [0, 14] nghiệm đúng phơng trình: cos 3x 4 cos 2 x + 3 cos x 4 = 0.
Câu IV. (ĐH: 2 điểm; CĐ: 2 điểm).
1. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4 cm;
AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách điểm A tới mặt phẳng (BCD).
2.Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng
( 2m + 1) x + (1 m)y + m 1 = 0
( P ) : 2x y + 2 = 0 và đờng thẳng ( d m ) :
(m là tham số).
mx + ( 2m + 1) z + 4m + 2 = 0
Xác định m để đờng thẳng dm song song với mặt phẳng (P).
Câu IV. (ĐH: 2 điểm)
1. Tìm số nguyên dơng n sao cho: C 0n + 2C1n + 4C 2n + ... + 2 n C nn = 243.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho elip (E) có phơng trình
2
x
y2
+
= 1 . Xét điểm M trên tia Ox và điểm N trên tia Oy sao cho đờng thẳng MN luôn tiếp
16 9
xúc với (E). Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất
đó.
đại học, cao đẳng Tham khảo 1 năm 2002
Câu I. (ĐH: 2 điểm; CĐ: 2,5 điểm).
Cho hàm số: y = x 4 mx 2 + m 1 (1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=8
2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Nguyễn Xuân Thọ
Đại học khoa học tự nhiên
91
Điện thoại: 0914379466; 031.677101


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu II. (ĐH: 2 điểm; CĐ: 2,5 điểm)
x
2 x +1
3.2 x
1. Giải bất phơng trình: log 1 4 + 4 log 1 2

(

2

)

(

(

2

)

)

2. Xác định m để phơng trình 2 sin 4 x + cos 4 x + cos 4 x + 2 sin 2x m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0, .
2
Câu III. (ĐH: 2 điểm; CĐ: 3 điểm).
1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA (ABC) .
Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA =

a 6
2

1

x 3 dx
2
0 x +1
Câu IV. (ĐH: 2 điểm; CĐ: 3 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đờng tròn
( C1 ) : x 2 + y 2 10x = 0,
( C 2 ) : x 2 + y 2 + 4x 2 y 20 = 0
1. Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của (C 1), (C2) và có tâm đờng nằm trên
đờng thẳng x + 6 y 6 = 0 .
2. Viết phơng trình tiếp tuyến chung của các đờng tròn (C1) và (C2).
Câu V. (ĐH: 2 điểm).
1. Giải phơng trình: x + 4 + x 4 = 2 x 12 + 2 x 2 16 .
2. Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học
sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
sao cho mỗi khối có ít nhất một em đợc chọn.
Câu VI. Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn
2. Tính tích phân I =

đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

x+ y+ z

a 2 + b2 + c2
; a, b, c là các
2R

cạnh , R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp. Dấu = xảy ra khi nào?
đại học, cao đẳng Tham khảo 2 năm 2002
Câu I. (ĐH: 2,0 điểm).
1. Tìm số n nguyên dơng thoả mãn bất phơng trình: A 3n + 2C nn 2 9n , trong đó A kn và C kn
lần lợt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử.
1
1
8
2. Giải phơng trình: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x 1) = log 2 ( 4x )
2
4
Câu II. (ĐH: 2,5 điểm).
x 2 2x + m
Cho hàm số: y =
(1) (m là tham số) .
x2
1. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [ 1,0]
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2
2
3. Tìm a để phơng trình sau có nghiểm: 91+ 1 t ( a + 2 ) 31+ 1 t + 2a + 1 = 0

Câu III. (ĐH: 1,5 điểm).
sin 4 x + cos 4 x 1
1
1. Giải phơng trình:
= cot g 2 x
5 sin 2 x
2
8 sin 2 x
AB
=
c
;
BC
=
a
;
CA
= b.
2. Xét ABC có độ dài các cạnh
Tính diện tích ABC, biết rẳng: b sin C( b. cos C + c. cos B) = 20
Câu IV. (ĐH: 3,0 điểm).
1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA; OB và OC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lợt là
các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC); (OCA) và (OAB).
Nguyễn Xuân Thọ
Đại học khoa học tự nhiên
92
Điện thoại: 0914379466; 031.677101


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Chứng minh rằng: cos + cos + cos 3 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
P
( ) : x y + z + 3 = 0 và hai điểm A( 1;3 2); B( 5;7;12) .
a) Tìm tọa độ điểm A ' là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
MA + MB .
ln 3
e x dx
V. (ĐH: 1,0 điểm). Tính tích phân: I =
3
0
ex +1

(

)

đại học, cao đẳng Tham khảo 3 năm 2002
Câu I. (ĐH: 3,0 điểm; CĐ: 3,5 điểm).
1
1
Cho hàm số: y = x 3 + mx 2 2x 2m
(1) (m là tham số).
3
3
1
1. Cho m = .
2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đờng
thẳng d : y = 4x + 2 .
5
2. Tìm m thuộc khoảng 0, ữ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và
6
các đờng x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4.
Câu II. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,5 điểm).
x 4 | y | +3 = 0
1. Giải hệ phơng trình:
log 4 x log 2 y = 0
( 2 sin 2 2x ) sin 3x
2. Giải phơng trình: tg 4 x + 1 =
cos 4 x
Câu III. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 3.0 điểm).
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ
điểm S đến đờng thẳng BE.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đờng thẳng:
2x + y + z + 1 = 0
( ) :
và mặt phẳng ( P ) : 4x 2y + z 1 = 0 .
x + y + z + 2 = 0
Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng trên mặt phẳng (P).
Câu IV. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 1,0 điểm).
x +1 + 3 x 1
1. Tìm giới hạn: L = lim
x 0
x
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho hai đờng tròn

( C1 ) : x 2 + y2 4y 5 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 6x + 8y + 16 = 0 .
Viết phơng trình các tiếp tuyến chung hai đờng tròn (C1) và (C2).
5
Câu V. (ĐH: 1,0 điểm). Giả sử x, y là hai số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = .
4
4 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +
.
x 4y
đại học, cao đẳng Tham khảo 4 năm 2002
Câu I. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,5 điểm).
1. Giải bất phơng trình: x + 12 x 3 + 2x + 1 .
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

93

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

x

2
2. Giải phơng trình: tgx + cos x cos x = sin x 1 + tgxtg ữ
2

Câu II. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,5 điểm).
Cho hàm số: y = ( x m ) 3x (m là tham số).

1. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 .
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1.
x 1 3 3x k < 0

3. Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm: 1
1
3
2
log 2 x + log 2 ( x 1) 1
3
2
Câu III. (ĐH: 3,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm).
1. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đờng thẳng vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60 0.
Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng:
x az a = 0
ax + 3y 3 = 0
và
( d1 ) :
( d2 ) :
y z + 1 = 0
x 3z 6 = 0
a) Tìm a để hai đờng thẳng d1 và d2 cắt nhau.
b) Với a = 2 , viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng d2 và song song với đờng
thẳng d1. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a = 2.
Câu IV. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,0 điểm).
n
1. Giả sử n là số nguyên dơng và ( 1 + x ) = a 0 + a1x + a 2 x + ... + a k x k + ... + a n x n .
3

Biết rằng tồn tại số k nguyên ( 1 k n 1) sao cho
0

(

a k 1 a k a k +1
=
=
, hãy tính n.
2
9
24

)

2x
3
2. Tính tích phân: I = x e + x + 1 dx
1

Câu V. (ĐH: 1,0 điểm)
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều
A
B
C
1
AB
BC
CA

cos
cos
kiện cần và đủ là: cos 2 + cos 2 + cos 2 2 = cos
2
2
2
4
2
2
2
đại học, cao đẳng Tham khảo 5 năm 2002
Câu I. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm).
x 2 + mx
Cho hàm số: y =
(1) (m là tham số).
1 x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 .
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10 ?
Câu II. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,0 điểm).
2
1. Giải phơng trình: 16log 27 x3 x 3log 3x x = 0 .
2sin x + cos x + 1
= a (2) (a là tham số).
2. Cho phơng trình:
sin x 2cos x + 3
1
a) Giải phơng trình (2) khi a = .
3
b) Tìm a để phơng trình (2) có nghiệm.

Câu III. (ĐH: 3,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đờng thẳng d : x y + 1 = 0 và
2
2
đờng tròn ( C ) : x + y + 2x 4y = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đờng thẳng d mà qua đó ta kẻ
ã
đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB
= 600 .
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

94

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho phơng trình đờng thẳng
2x 2y z + 1 = 0
2
2
2
d:
và mặt cầu ( S) : x + y + z + 4x 6y + m = 0 . Tìm m để đờng thẳng d
x + 2y 2z 4 = 0
cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.
3. Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a;AC = b;AD = c và các góc BAC; CAD;
DAB đều bằng 600.
Câu IV. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,0 điểm).

1. Tính tích phân: I =

/ 2



6

1 cos3 x sin x cos 5 xdx

0

3x 2 1 + 2x 2 + 1
x 0
1 cos x
Câu V. (ĐH: 1,0 điểm).
Giả sử a, b, c là bốn số nguyên thay đổi thỏa mãn 1 a < b < c < d 50 . Chứng minh bất
a c
a c b 2 + b + 50
đẳng thức: +
và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + .
b d
b d
50b
2. Tìm giới hạn: lim

3

đại học, cao đẳng Tham khảo 6 năm 2002
Câu I. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm).

1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x 3 2x 2 + 3x (1).
3
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.
Câu II. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,0 điểm).
1
1. Giải phơng trình:
= sin x
8cos 2 x
log x ( x 3 + 2x 2 3x 5y ) = 3

2. Giải hệ phơng trình:
3
log y ( y + 2y 3y 5x ) = 3
Câu III. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 4,0 điểm)
1. Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a = 6 2 cm . Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đờng thẳng AD và BC.
x 2 y2
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip ( E ) : +
= 1 và đờng
9
4
thẳng d m : mx y 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng m , đờng thẳng dm luôn cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N ( 1, 3) .
Câu IV. (ĐH: 1,0 điểm; CĐ: 1,0 điểm).
Gọi a1 ,a 2 ,...,a11 là các hệ số trong khai triển sau:

( x + 1) .( x + 2 ) = x11 + a1x10 + a 2 x 9 + ... + a11 . Hãy tìm hệ số a 5
10

Câu V. (ĐH: 2,0 điểm).
1. Tìm giới hạn: L = lim
x 1

x 6 6x + 5

( x 1)

2

.

3
. Gọi a, b, c lần lợt là độ dài các cạnh BC, CA, AB
2
và h a ,h b ,h c tơng ứng là độ dài các đờng cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh
Cho tam giác ABC có diện tích bằng

1
1
1 1 1 1
+ ữ 3
rằng: + + ữ +
a b c ha h b hc
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

95

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

đại học, cao đẳng Khối A năm 2003
mx 2 + x + m
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số y =
( 1) (m là tham số).
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
hoành độ dơng.
Câu II. (2 điểm)
cos 2x
1
+ sin 2 x sin 2x.
1. Giải phơng trình: cot gx 1 =
1 + tgx
2
1
1

x = y
x
y
2. Giải hệ phơng trình:
2y = x 3 + 1

Câu III. (3 điểm).

1. Cho hình lập phơng ABCD.A 'B'C'D ' . Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ B, A 'C,D ] .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A 'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ tọa độ. B ( a, 0, 0 ) ,D ( 0, a, 0 ) ,A ' ( 0, 0, b ) ,

( a > 0,b > 0 ) . Gọi M là trung điểm cạnh CC' .

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA 'M theo a và b.
a
b) Xác định tỉ số
để hai mặt phẳng ( A 'BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau.
b
Câu IV. (2 điểm).
n

1

1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 + x 5 ữ , biết
x

n +1
n
k
rằng: C n + 4 Cn +3 = 7 ( n + 3) .(n là số nguyên dơng, x > 0,Cn là tổ hợp chập k của n phần tử).
2 3

2. Tính tích phân: I =



dx

.
x x2 + 4
Câu V. (1 điểm). Cho x, y, z là ba số dơng và x + y + z 1 .
5

Chứng minh rằng:

x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 82.
2
x
y
z

đại học, cao đẳng khối a Tham khảo 1 năm 2003
2x 2 4x 3
.
Câu I. (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
2 ( x 1)
2
2. Tìm m để phơng trình 2x 4x 3 + 2m x 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Câu II. (2 điểm).
1. Giải phơng trình: 3 tgx ( tgx + 2sin x ) + 6cos x = 0

log y xy = log x y

2. Giải hệ phơng trình: x
y
2 + 2 = 3
Câu III. (3 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phơng trình
uuur uur
2
y = x và điểm I ( 0, 2 ) . Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho IM = 4IN.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A ( 2,3,2 )

B ( 6, 1, 2 ) ,C ( 1, 4, 3 ) ,D ( 1, 6, 5 ) . Tính góc giữa hai đờng thẳng AB và CD. Tìm tọa độ
điểm M thuộc đờng thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

96

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

3. Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc
ãBAC = 1200 , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC' . Chứng minh rằng tam giác AB'I
vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( AB'I ) .
Câu IV. (2 điểm).
1. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau?
/4
x
dx .

2. Tính tích phân I =
0 1 + cos 2x
Câu V. (1 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin 5 x + 3 cos x.
đại học, cao đẳng khối a Tham khảo 2 năm 2003
x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 + m + 4
y
=
( 1) (m là tham số)
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số
2( x + m)
1. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
Câu II. (2 điểm).
2
1. Giải phơng trình: cos 2x + cos x ( 2tg x 1) = 2
2. Giải bất phơng trình: 15.2 x +1 + 1 2 x 1 + 2x +1
Câu III. (3 điểm).
1. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a,BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với
ã
nhau và góc BDC
= 900. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng:
3x z + 1 = 0
x y +1 z
= và ( d 2 ) :
( d1 ) : =
1
2
1

2x + y 1 = 0
a) Chứng minh rằng d1 ,d 2 chéo nhau và vuông góc với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng d cắt cả hai đờng thẳng d1 ,d 2 và song song
x 4 y7 z 3
=
=
.
với đờng thẳng :
1
4
2
Câu IV. (2 điểm).
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
1

3
2
2. Tính tích phân I = x 1 x dx.
0

Câu V. (1 điểm)

4p ( p a ) bc

Tính các góc của tam giác ABC biết rằng: A
B
C 2 3 3.
sin sin sin =
2

2
2
8

a+b+c
.
Trong đó BC = a,CA = b,AB = c,p =
2
đại học, cao đẳng Khối b năm 2003
3
2
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số y = x 3x + m ( 1) (m là tham số).
1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
Câu II. (2 điểm).
2
.
1. Giải phơng trình: cot gx tgx + 4sin 2x =
sin 2x
Nguyễn Xuân Thọ
Đại học khoa học tự nhiên
97
Điện thoại: 0914379466; 031.677101


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán


y2 + 2
3y =

x2

2. Giải hệ phơng trình:
2
3x = x + 2

y2
Câu III. (3 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB = AC ,
2
ã
BAC
= 900. Biết M ( 1, 1) là trung điểm cạnh BC và G ,0 ữ là trọng tâm tam giác ABC.
3
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
ãBAD = 600. Gọi M là trung điểm cạnh AA ' và N là trung điểm cạnh CC' . Chứng minh rằng
bốn điểm B', M,D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA ' theo a để tứ giác
B'MDN là hình vuông.
3. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A ( 2, 0, 0 ) ,
uuur
B ( 0,0,8 ) và điểm C sao cho AC = ( 0,6,0 ) . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đờng thẳng OA.
Câu IV. (2 điểm).
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 x 2 .

4

2. Tính tích phân I = 1 2sin x dx .
0 1 + sin 2x
Câu V. (1 điểm). Cho n là số nguyên dơng. Tính tổng

2 2 1 1 23 1 2
2 n +1 1 n
C0n +
Cn +
C n + ... +
C n ( C kn là số tổ hợp chập k của n phần tử).
2
3
n +1
2

đại học, cao đẳng khối b Tham khảo 1 năm 2003
Câu I. (2 điểm).
2
Cho hàm số y = ( x 1) ( x + mx + m ) ( 1) (m là tham số).
1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4.
Câu II. (2 điểm).
1. Giải phơng trình: 3cos 4x 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0

(

2. Tìm m để phơng trình: 4 log 2 x

)

2

log 1 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0,1) .
2

Câu III. (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho đờng thẳng d : x 7y + 10 = 0. Viết phơng trình đờng tròn có tâm thuộc đờng thẳng : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đờng thẳng d tại
điểm A ( 4,2 ) .
2. Cho hình lập phơng ABCD.A 'B'C'D '. Tìm điểm M thuộc cạnh AA ' sao cho mặt phẳng
( BD 'M ) cắt hình lập phơng theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
3. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với
A 0,0,a 3 , B ( a,0,0 ) ,C 0,a 3,0 ( a > 0 ) . Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa

(

)

(

)

hai đờng thẳng AB và OM.
Câu IV. (2 điểm).

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 6 + 4 ( 1 x 2 ) trên đoạn [ 1,1] .
3

Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

98

Đại học khoa học tự nhiên

Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán
ln 5

2. Tính tích phân I =



ln 2

e 2x dx
ex 1

Câu V. (1 điểm)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và
thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số
đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?

đại học, cao đẳng khối d Tham khảo 1 năm 2003
Câu I. (2 điểm).
x 2 + 5x + m 2 + 6
Cho hàm số y =
( 1) (m là tham số).
x+3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 1, + ) .
Câu II. (2 điểm).
cos 2 x ( cos x 1)
1. Giải phơng trình
= 2 ( 1 + sin x ) .

sin x + cos x
2. Cho hàm số f ( x ) = x log x 2 ( x > 0, x 1) . Tính f ' ( x ) và giải bất phơng trình f ' ( x ) 0.
Câu III. (3 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A ( 1,0 )
và hai đờng thẳng lần lợt chứa các đờng cao vẽ từ B và C có phơng trình tơng ứng là:
x 2y + 1 = 0 và 3x + y 1 = 0 . Tính diện tích tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
( P ) : 2x + 2y + z m 2 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu ( S) : ( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z 1) 2 = 9.
Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm đợc, hãy xác định tọa độ tiếp
điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB
cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
Câu IV. (2 điểm).
1. Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số
gồm 7 chữ số khác nhau?
1

3 x
2. Tính tích phân I = x e dx
2

0

Câu V. (1 điểm). Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức
Q = sin 2 A + sin 2 B sin 2 C đạt giá trị nhỏ nhất.
đại học, cao đẳng khối d Tham khảo 1 năm 2003
Câu I. (2 điểm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = 2x 3 3x 2 1.
2. Gọi d k là đờng thẳng qua điểm M ( 0, 1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đờng thẳng

dk cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Câu II. (2 điểm).
2cos 4x
.
1. Giải phơng trình cot gx = tgx +
sin 2x
x
2. Giải phơng trình log 5 ( 5 4 ) = 1 x.
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

99

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu III. (3 điểm).
1. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm
3x 2y 11 = 0
A ( 2,1,1) ,B ( 0, 1,3 ) và đờng thẳng d :
y + 3z 8 = 0.
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB, gọi K
là giao điểm của đờng thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK.
b) Viết phơng trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phơng
trình x + y z + 1 = 0.
2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại
A, AB = a,AC = b,AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh
rằng 2S abc ( a + b + c ) .

Câu IV. (2 điểm).
1. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C 2n C nn 2 + 2C 2n C3n + C3n C nn 3 = 100.
trong đó C kn là số tổ hợp chập k của n phần tử.
e

x2 + 1
ln xdx
2. Tính tích phân I =
x
1
Câu V. (1 điểm)
2
2
Xác định dạng của tam giác ABC, biết rằng: ( p a ) sin A + 6 ( p b ) sin B = csin A sin B .
a+b+c
.
Trong đó BC = a,CA = b,AB = c,p =
2
đại học, cao đẳng Khối a năm 2004
Câu I. (2 điểm).
x 2 + 3x 3
( 1)
Cho hàm số y =
2 ( x 1)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1 .
Câu II. (2 điểm)
1. Giải bất phơng trình

2 ( x 2 16 )

x 3

+ x 3 >

7x
.
x 3

1

log 1 ( y x ) log 4 y = 1
2. Giải hệ phơng trình 4
x 2 + y 2 = 25

Câu III. (3 điểm)

(

)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 0,2 ) và B 3, 1 . Tìm tọa độ
trực tâm và tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A ( 2, 0, 0 ) , B ( 0, 1, 0 ) ,S 0, 0, 2 2 . Gọi M là trung điểm

(

)

của cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA, BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Câu IV. (2 điểm)
2
x
dx.
1. Tính tích phân I =
x 1
1 1+
2. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của 1 + x 2 ( 1 x ) .
Nguyễn Xuân Thọ
Đại học khoa học tự nhiên
100
Điện thoại: 0914379466; 031.677101
8


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu V. (1 điểm)
Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3.
Tính ba góc của tam giác ABC.
đại học, cao đẳng Khối b năm 2004
Câu I. (2 điểm)
1
Cho hàm số y = x 3 2x 2 + 3x ( 1) có đồ thị (C).
3
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến
của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Câu II. (2 điểm)
2
1. Giải phơng trình 5sin x 2 = 3 ( 1 sin x ) tg x.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

ln 2 x
3
trên đoạn 1,e .
x

Câu III. (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 1,1) ,B ( 4, 3) . Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x 2y 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6.
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
0
0
bằng ( 0 < < 90 ) . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a và .
x = 3 + 2t

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 4, 2,4 ) và đờng thẳng d : y = 1 t
z = 1 + 4t.

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d.
Câu IV. (2 điểm)
e
1 + 3ln x ln x
dx.
1. Tính tích phân I =
x
1

2. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi
trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm
5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung
bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Câu V. (1 điểm) Xác định m để phơng trình sau có nghiệm:
m

(

)

1 + x2 1 x2 + 2 = 2 1 x4 + 1 + x2 1 x2 .
đại học, cao đẳng Khối d năm 2004

Câu I. (2 điểm)
3
2
Cho hàm số y = x 3mx + 9x + 1 ( 1) với m là tham số.
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đờng thẳng y = x + 1.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phơng trình ( 2cos x 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2x sin x.
x + y = 1
2. Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm
x x + y y = 1 3m
Câu III. (3 điểm)
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

101

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A ( 1,0 ) , B ( 4,0 ) ,

C ( 0,m ) với m 0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam
giác GAB vuông tại G.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 . Biết A ( a, 0, 0 ) ,
B ( a, 0, 0 ) ,C ( 0, 1, 0 ) ,B1 ( a, 0, b ) ,a > 0,b > 0 .

a) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng B1C và AC1 theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi, nhng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đờng
thẳng B1C và AC1 lớn nhất.
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2, 0, 1) ,B ( 1, 0, 0 ) ,C ( 1, 1, 1) và
mặt phẳng ( P ) : x + y + z 2 = 0 . Viết phơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm
thuộc mặt phẳng (P).
Câu IV. (2 điểm)
3

2
1. Tính tích phân I = ln ( x x ) dx.
2

7

1

2. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 3 x + 4 ữ với x > 0
x

5
2
Câu V. (1 điểm) Chứng minh rằng phơng trình sau có đúng 1 nghiệm x x 2x 1 = 0
cao đẳng s phạm khối a năm 2002
Câu I. (2,5 điểm).
x 2 + mx 1
(*)
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2. Tìm những điểm trên (C) có tọa độ là những số nguyên.
3. Định m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số (*) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho OA vuông góc với OB.
Câu II. (1 điểm).
2
2
Cho đờng tròn ( C ) : x + y = 9 và điểm A ( 1, 2 ) . Hãy lập phơng trình của đờng thẳng chứa
dây cung của (C) đi qua A sao cho độ dài dây cung đó ngắn nhất.
Câu III. (3,5 điểm).
x + my = 3
1. Cho hệ phơng trình:
mx + y = 2m + 1
a) Giải và biện luận hệ phơng trình đã cho.
b) Trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất, hãy tìm những giá trị của m sao cho nghiệm
x > 0
( x 0 , y0 ) thỏa mãn điều kiện 0
y0 > 0
2. Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:

a) sin ( cos x ) = 1.
Cho hàm số y = f ( x ) =

b) 2log 5 x log x 125 < 1.
c) 4 x x 2 5 12.2x 1 x 2 5 + 8 = 0
Câu IV. ( 1 điểm)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đờng thẳng phân biệt;
b) 6 đờng tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đờng nói trên.
Nguyễn Xuân Thọ
Đại học khoa học tự nhiên
102
Điện thoại: 0914379466; 031.677101


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu V. (2 điểm).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác
đều.
1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2. Qua A dựng mặt phẳng () vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt
phẳng () và hình chóp.
cao đẳng s phạm vĩnh phúc khối a năm 2002
x 2 + mx 1
Câu I. (3,0 điểm). Cho hàm số y =
. (m là tham số)
x 1
1. Khảo sát hàm số khi m = 1.

2. Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng ( ,1) và ( 1, + )
3. Với giá trị nào của m thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam
giác có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích).

(

Câu II. (2,0 điểm). Cho phơng trình: 3 + 2 2

)

tgx

(

+ 32 2

)

tgx

=m

1. Giải phơng trình khi m = 6.

2. Xác định m để phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng , ữ.
2 2
Câu III. (2,0 điểm).
3x 1 3
x

1. Giải bất phơng trình: log 4 ( 3 1) log 1
4
4 16
2. Tính tích phân: I =

/2

sin x sin 2x sin 3xdx.
0

Câu IV. (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho tam giác ABC và điểm M ( 1,1) là trung điểm của
AB. Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai đờng thẳng: 2x + y 2 = 0 và x + 3y 3 = 0
1. Xác định tọa độ ba đỉnh A, B, C của tam giác và viết phơng trình đờng cao CH.
2. Tính diện tích tam giác ABC.
x + y = 2a 1
Câu V. (1 điểm). Giả sử x, y là các nghiệm của hệ phơng trình: 2
2
2
x + y = a + 2a 3
Xác định a để tích P = x.y đạt giá trị nhỏ nhất.
cao đẳng s phạm hà tĩnh khối a, b năm 2002
x2 + x 5
Câu I. (2,0 điểm). Cho hàm số y =
x2
1. Khảo sát hàm số đã cho.
x2 + x 5
= m.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
x 2

Câu II. (2,0 điểm).
1. Giải phơng trình: 1 + sin x + cos x = 0
2
2. Giải bất phơng trình: 2( log2 x ) + x log 2 x 4
3
3
x y = 7 ( x y )
Câu III. (1,0 điểm). Giải hệ phơng trình: 2
2
x + y = x + y + 2

Câu IV. (1,5 điểm). Tính tích phân sau: I1 =

/ 2

cos 2x ( sin
0

4

x + cos x ) dx; I =
4

/2

cos

5

xdx

0

Câu V. (3,5 điểm). (Thí sinh khối B không phải làm phần 1c).
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

103

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

2
2
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn ( S) : x + y 2x 6y + 6 = 0 và điểm M ( 2, 4 )
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trong đờng tròn.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M, cắt đờng tròn tại hai điểm A và B sao cho
M là trung điểm của AB.
c) Viết phơng trình đờng tròn đối xứng với đờng tròn đã cho qua đờng thẳng AB.
2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng:
a) Đáy ABCD là hình vuông.
b) Năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

cao đẳng s phạm nha trang năm 2002
3
2
( Cm )
Câu I. (2,5 điểm). Cho hàm số y = x mx + 1

1. Khi m = 3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
2. Xác định m để đờng cong (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng (D) có phơng trình y = 5 . Khi đó,
tìm giao điểm còn lại của đờng thẳng (D) với đờng cong (Cm).
Câu II. (1,5 điểm).

1. Giải bất phơng trình:

(

10 3

)

x +1
x +3



(

10 + 3

)

x 3
x 1

0

2
2. Giải phơng trình: ( x + 1) log 3 x + 4x log 3 x 16 = 0.
Câu III. (2 điểm).
1. Giải phơng trình: x + 2 + 5 x + ( x + 2 ) ( 5 x ) = 4 .

2. Giải phơng trình: 2cos 2x 8cos x + 7 =

1
.
cos x

Câu IV. (2 điểm).
1. Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 1,2,5 ) và điểm B ( 11, 16, 10 ) . Tìm trên mặt
phẳng Oxy điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đên A và B là bé nhất.
3
x7
dx
2. Tính tích phân:
8
4
2 1 + x 2x
Câu V. (2 điểm).
Trên các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, lầnlợt lấy các điểm khác O là M, N và S với
OM = m,ON = n,OS = a. Cho a không đổi, m và n thay đổi sao cho m + n = a
1. a) Tính thể tích của hình chóp S.OMN.
b) Xác định vị trí của các điểm M và N sao cho thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
ã
ã
ã

2. Chứng minh: OSM
= MSN
= NSO
= 900 .
cao đẳng kinh tế kĩ thuật hải dơng khối a năm 2002
Câu I. (2,5 điểm).
x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
x 1
x2
= m.
2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình
x 1
Câu II. (2,5 điểm).
1
1. Chứng minh rằng nếu x, y là hai số thực thỏa mãn hệ thức x + y = 1 thì x 4 + y 4 .
8
2
2
2
2
x
x
2
x
2. Giải bất phơng trình: 4x + x.2 + 3.2 > x .2 + 8x + 12.
Câu III. (2,5 điểm).
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

104

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

4sin 2 2x + 6sin 2 x 9 3cos 2x
= 0.
cos x
2. Các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 3 ( cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ) . Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
1. Giải phơng trình

Câu IV. (2,5 điểm).
e

2
2
1. Tính tích phân: x ln xdx.
1

2. Cho hình lập phơng ABCD.A 'B'C'D ' với cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lợt là trung
điểm của BC, DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng BD và MN theo a.
cao đẳng khí tợng thuỷ văn khối a năm 2003
x 2 ( m + 1) x + m + 1
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số y =
( 1) (m là tham số).
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2. Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có giá trị cực đại ( y CĐ ) và giá trị ( y CT ) với mọi giá trị
của tham số m. Tìm các giá trị của m để ( y CĐ ) = 2y CT .
Câu II. (2 điểm).
2
1. Giải phơng trình: 3cos x 1 sin x cos 2x = 2 sin x sin x 1
2

(

)

x 2x 0
2. Giải hệ bất phơng trình: 4
2
x 5x + 4 0
2

3

Câu III. (2 điểm). 1. Tính tích phân: I =

x

3

1 + x 2 dx

0

2. Tìm số nguyên dơng n thỏa mãn đẳng thức: A 3n + 2C n2 = 16n

( A 3n là chỉnh hợp chập 3, C 2n là tổ hợp chập 2 của n phần tử).
Câu IV. (3 điểm).
1. Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB = x ( x > 0 ) , tất cả các cạnh còn lại có độ dài
bằng 1. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai cạnh AB và CD. Tìm điều kiện đối với x để
bài toán có nghĩa.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac trực chuẩn Oxyz cho tứ diện OABC có O là gốc
tọa độ, A Ox,B Oy,C Oz và mặt phẳng (ABC) có phơng trình 6x + 3y + 2z 6 = 0 .
a) Tính thể tích khối tứ diện OABC.
b) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC.
Câu V. (1 điểm)
Cho x, y là hai số thực và khác 1. Chứng minh rằng nếu log x ( log y x ) = log y ( log x y ) thì x = y
cao đẳng điều dỡng chính quy năm 2004 đại học điều dỡng
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số y = x 3 3x + 2 (1).
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A ( 1,0 )
Câu II. (2 điểm):
1. Giải bất phơng trình: x + 11 x 4 + 2x 1 .
2. Giải phơng trình: ( 2sin x 1) ( 2cos x + sin x ) = sin 2x cos x.
Câu III. (2 điểm)
e
x3 + 1
ln xdx
1. Tính tích phân: I =
x
1
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

105

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

2. Tìm hệ số của x 6 trong khai triển của 1 + x 2 ( 1 + x ) thành đa thức.
Câu IV. (3 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A ( 0,1) và hai đờng
thẳng chứa các đờng cao vẽ từ B và C có phơng trình tơng ứng là 2x y 1 = 0 và
x + 3y 1 = 0 . Tính diện tích của tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 1, 2, 1) , B ( 1,0, 3 ) và đờng
7

2x 3y + 11 = 0
thẳng ( d ) :
x + 3z 8 = 0
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đ ờng
thẳng AB. Gọi K là giao điểm của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P). Chứng minh rằng đờng
thẳng (d) vuông góc với đờng thẳng IK.
b) Viết phơng trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mặt phẳng
( ) : x + y z 1 = 0.
Câu V. (1 điểm)
2
2
2
Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 4 ( cos A + cos B cos C ) = 5. Tính các góc của ABC
cao đẳng Khối t M năm 2004 đại học hùng vơng
Câu I. (2,0 điểm)
1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 2x 2 + 3x 1 (1).

3
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến này đi qua điểm A ( 0, 1)
Câu II. (3,0 điểm)
1. Giải phơng trình: cos3x + 2cos 2x = 1 2sin x sin 2x
2. Giải bất phơng trình: x 2 + x 6 x + 2
9log2 ( xy ) = 3 + 2 ( xy ) log 2 3
3. Giải hệ bất phơng trình: 2
2
x + y = 3x + 3y + 6
Câu III. (2 điểm)
9

3
1. Tính tích phân: I = x 1 xdx
1

2
4
2002
2. Chứng minh rằng: C02004 + 2 2 C2004
+ 24 C 2004
+ ... + 2 2002 C2004
+ 22004 C 2004
2004 =

32004 + 1
2

Câu IV. (3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đỉnh A ( 3,9 ) và phơng trình

các đờng trung tuyến BM, CN lần lợt là 3x 4y + 9 = 0 và y 6 = 0 . Viết phơng trình đờng
trung tuyến AD của tam giác đã cho.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 1, 2,0 ) ,B ( 2, 1, 1) ,C ( 0, 0, 1)
a) Tính độ dài đờng cao CH của tam giác ABC và tính diện tích tam giác ABC.
b) Tính thể tích tứ diện OABC (biết O ( 0,0,0 ) )
cao đẳng s phạm hải phòng năm 2004 đại học hải phòng
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 3x (1)
1. Khảo sát hàm số (1)
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó song song với đ ờng
thẳng y = 9x.
Câu II. (2 điểm) Giải phơng trình:

Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

106

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán







1. cos x + ữ+ cos x + ữ = cos x + ữ
3

6
4



1
2
2. log 2 ( x 1) + log 1 ( x + 4 ) = log 2 ( 3 x ) .
2
2
Câu III. (3 điểm).
1. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đờng thẳng:
( 1 ) : x y + 1 = 0, ( 2 ) : 2x + y 1 = 0 và điểm P ( 2,1)
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P và giao điểm I của hai đờng thẳng 1 và 2
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P và cắt hai đờng thẳng 1 , 2 lần lợt tại hai
điểm A, B sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phơng ABCD.A 'B'C'D ' . Biết
A ( 0,0,0 ) ,B ( 2,0,0 ) ,D ( 0, 2,0 ) ,A ' ( 0,0, 2 ) . Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AB và BC.
Viết phơng trình mặt phẳng chứa MN và song song với BA '. Tính góc giữa hai đờng thẳng
MN và BA '.
3

2
Câu IV. (2 điểm) Cho I = x 2x + m dx.
1

1. Tính I với m = 1.
2. Tính I theo m với m < 3.
2
2

Câu V. (1 điểm) Giải phơng trình: log 3 ( x + 2x + 1) = log 2 ( x + 2x ) .
cao đẳng s phạm nt mg tw1 năm 2004
Câu I. (2,5 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 + 3x.

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 4x 2 + 1 trên đoạn [ 1,2] .
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình: x 2 + 4x 3 = 2x 5
1

2. Tính tích phân:

( x
0

2

+ 1) e x dx.

Câu III. (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình: 3cos 2x + 4cos3 x cos3x = 0.
1 1
2. Giải bất phơng trình: log ( x 1) 2 >
4 2
Câu IV. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, xét tam giác ABC với phơng trình đờng thẳng AB là x 2y + 7 = 0, các đờng trung tuyến kẻ từ A, B lần lợt có phơng trình
x + y 5 = 0 và 2x + y 11 = 0. Hãy tính diện tích của tam giác ABC và lập phơng trình của
hai đờng thẳng AC, BC.
Câu V. (1,5 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a với A ( 0, 0, 0 ) , B ( a, 0, 0 ) ,D ( 0, a, 0 ) và đỉnh S ( 0, 0, a ) . Gọi M
là trung điểm của đoạn SA, hãy tính:
1. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM).
2. Góc giữa hai đờng thẳng SB và DM.
cao đẳng s phạm mg tw3 năm 2004
Câu I. (4 điểm)
Cho hàm số: y = x 3 3x 2 + 4m
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

(m là tham số)
107

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó xác định m để một
trong hai điểm này thuộc trục hoành.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A ( 2,0 ) .
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Trục Ox và các đờng thẳng x = 1, x = 3.
Câu II. (2 điểm) Cho phơng trình: x 2 2mx + 3m 2 = 0 (1)
a) Định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện: 1 < x1 < x 2
b) Định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn: 5x1 + 3x 2 = 4.
Câu III. (1 điểm)
A B
B C
C A

a) Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: tg tg + tg tg + tg tg = 1 .
2 2
2 2
2 2
b) Giải phơng trình: 1 + cos x cos 2x = sin x + sin 2x.
Câu IV. (3 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 + 2x 4y = 0 và đờng thẳng (D) có phơng trình x y + 1 = 0 .
a) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (D) và tiếp xúc với đờng tròn.
b) Viết phơng trình đờng thẳng song song với (D) và cắt đờng tròn tại hai điểm M, N sao
cho độ dài MN bằng 2.
c) Tìm tọa độ điểm T trên (D) sao cho qua T kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với (C) tại hai
ã
điểm A, B và góc ATB
= 600
cao đẳng s phạm khối a năm 2004
x2 x + 4
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số y =
x 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Với giá trị nào của a thì đờng thẳng y = a cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phơng trình: sin 3 x + cos3 x = sin x cos x.
log 2 ( x 2 + y2 ) = 5
2. Giải hệ phơng trình:
2log 4 x + log 2 y = 4
Câu III. (2 điểm)
3

1. Tính tích phân I =

0

2. Giải phơng trình:

x 5 + 2x 3
x2 + 1

dx

x + 2 x 1 + x 2 x 1 =

x +3
2

Câu IV. (3 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đờng thẳng
2x + y + z + 5 = 0
d:
và mặt phẳng ( P ) : x + y + z 7 = 0
2x z + 3 = 0
a) Tìm giao điểm của (d) và (P).
b) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P).
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp.
1000
Câu V. (1 điểm) Tìm hạng tử lớn nhất trong khai triển của ( 1 + 0, 2 ) .
cao đẳng s phạm bắc ninh năm 2004
Câu I. (2,5 điểm)

Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

108

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

1. Khảo sát hàm số y =

x2 + 1
x

x 2 + 1 m2 + 1
2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
=
x
m
Câu II. (2,5 điểm)

2
2
1. Giải phơng trình 2sin x ữ = 2sin x tgx.
4

2
3
log 1 ( x + 3) log 1 ( x + 3)

2. Giải bất phơng trình:
2
3
>0
x +1
Câu III. (3,0 điểm)
1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện của
hình tứ diện đều đó.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M ( 1,2, 3) , N ( 1,0,0 ) ,P ( 0, 4, 3 ) .
a) Lập phơng trình mặt phẳng (MNP).
b) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng (MNP) và các mặt phẳng tọa độ.
/3
tgx
dx.
Câu IV. (1,0 điểm). Tính tích phân I =
2
/ 4 cos x 1 + cos x
2x
Câu V. (1,0 điểm) Giải bất phơng trình: C 22x + C 42x + ... + C 2x
22003 1.
k
Trong đó C 2x ( k = 2,4,..., 2x ) là số tổ hợp chập k của 2x phần tử.
cao đẳng s phạm ninh bình khối m năm 2004
Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số: x 3 6x 2 + 9mx (1) (m là tham số).
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đờng thẳng y = x cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình: 3x 2 x + 7 = 1
2. Giải phơng trình: 4cos 2 x 2cos 2 2x = 1 + cos 4x
Câu III. (3,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho điểm A ( 0, 2,0 ) và mặt phẳng

( ) : x + y z + 5 = 0 .

1. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d đi qua A và B.
2. Tìm trên đờngthẳng d điểm M, sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng () bằng 2 3
3. Viết phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính AB. Xét vị trí tơng đối giữa mặt cầu (S) và
mặt phẳng ().
Câu IV. (2,5 điểm)
2

2

x 1
1. Tính
ữ dx
1 x + 2
2. Tìm x thỏa mãn: 6C 2x + 6C3x = 7x 2 7x
cao đẳng s phạm bình phớc năm 2004
Câu I. (3 điểm)
x2 + ( m + 2) x m
Cho hàm số y =
(1) (m là tham số)
x +1
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1
2. Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu.
3. Tìm m để đờng thẳng y = x 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x
Nguyễn Xuân Thọ
Đại học khoa học tự nhiên
109

Điện thoại: 0914379466; 031.677101


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu II. (2 điểm)

2
3
2
1. Giải phơng trình: 3x 2x = log 2 ( x + 1) log 2 x
2. Cho tứ diện ABCD với các mặt (ABC), (ACD), (ADB) là các tam giác vuông tại A. Gọi h
1
1
1
1
+
+
là đờng cao xuất phát từ A của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: 2 =
2
2
h
AB
AC
AD 2

x sin x
I
=
Câu III. (2 điểm) Tính tích phân

0 1 + cos2 x dx
Câu IV. (3 điểm)
x 2 y2
x 2 y2
1. Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai elíp:
+
= 1 và
+
=1
4
5
5
4
x 2 y 2 z +1
=
=
2. Cho hai điểm A ( 2, 1,1) , B ( 2,3,7 ) và đờng thẳng d có phơng trình:
.
2
2
3
a) Chứng tỏ đờng thẳng d và đờng thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I d sao cho IA + IB nhỏ nhất.

cao đẳng s phạm kon tum năm 2004
x 2 2x + 2
Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số y =
(1)
x 1
1. Khảo sát hàm số (1).

2
2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x ( m + 2 ) x + m + 2 = 0
Câu II. (1,0 điểm) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
A B
B C
C A
tg tg + tg tg + tg tg = 1
2 2
2 2
2 2
Câu III. (1 điểm) Giải phơng trình: log 5 x.log 3 x = log 5 x + log 3 x.
Câu IV. (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 1,2 ) , B ( 3, 4 ) . Tìm điểm C trên đờng thẳng d : x 2y + 1 = 0 sao cho tam giác ABC vuông ở C.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( a,0,0 ) ,B ( 0,b,0 ) và C ( 0,0,c ) với abc 0
a) Viết phơng trình mặt phẳng (ABC) và phơng trình đờng thẳng A qua O có véctơ chỉ phr 1 1 1
ơng v = , , ữ.
a b c
1
1
1 1
= 2+ 2+ 2
b) Gọi H là giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng
2
OH
a
b
c
Câu V. (2 điểm)
1. Một tổ học sinh có 10 ngời gồm 6 nam và 4 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một
nhóm trực nhật gồm 4 học sinh trong đó phải có cả nam lẫn nữ. Có bao nhiêu cách chọn một

nhóm trực nhật nh thế?
1
dx
2. Tính tích phân: I =
x
0 1+ e
cao đẳng s phạm hà nam khối a năm 2004
Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số y = x 3 + mx 2 x m (1) có đồ thị (Cm)
1. Khảo sát hàm số (1) với m = 1.
2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số cộng.
3. Tìm các điểm (Cm) luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình: cos3 x + sin 3 x = sin x cos x.
2. Cho tam giác ABC có BC = a,CA = b, AB = c . Đờng cao AH = h a
Nguyễn Xuân Thọ
Đại học khoa học tự nhiên
110
Điện thoại: 0914379466; 031.677101


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

3h a +

Chứng minh rằng nếu

a
= b + c thì tam giác ABC là tam giác đều.
2

Câu III. (3,0 điểm)
1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b,AD = BC = c .
a) Tìm tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Chứng minh rằng bốn mặt của tứ diện là các tam giác có ba góc nhọn.
2. Cho hình lập phơng ABCD.A 'B'C'D ' có cạnh bằng 1. Điểm M, O lần lợt là trung điểm
của A 'D ' và BD.
a) Tính khoảng cách giữa các đờng thẳng MO và AC'
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MAO) và ( DCC'D ' )
Câu IV. (1,5 điểm)
/4

2
1+ x
1. Tìm nguyên hàm: I =
2. Tính tích phân: J = xtg xdx
dx
x
0
Câu V. (1,0 điểm) Tìm số nguyên dơng của phơng trình: x + y + z = 100 .

cao đẳng giao thông năm 2004
Câu I. (3 điểm)
x 2 + 2x + 1
x
1
2. Tìm m để phơng trình | x + 2 + = log 2 m có đúng 3 nghiệm phân biệt.
x
Câu II. (2 điểm)
1
1. Giải phơng trình: cos3x.sin 2x cos 4x.sin x = sin 3x + 1 + cos x

2
2. Giải bất phơng trình: 8 + 21+ x 4 x > 5
Câu III. (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng một đơn vị độ dài. Hai điểm M, N lần lợt di động trên
ã
cạnh AD và CD sao cho AM = x,CN = y và góc MBN
= 600
Tìm x, y để diện tích MBN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Câu IV. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm G ( 1,1,1)
1. Khảo sát hàm số y =

1. Viết phơng trình mặt phẳng () đi qua G và vuông góc với đờng OG.
2. Mặt phẳng () tìm đợc ở trên cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lợt tại các điểm A, B, C. Chứng
minh rằng ABC là tam giác đều.
Câu V. (2 điểm)
a
1. Trong khai triển nhị thức 3
+
b


b
3
a

21


ữ
ữ tìm hệ số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau

5

2. Tính: I =

( x + 2 x 2 ) dx

3

cao đẳng giao thông vận tải II năm 2004
x 2 2x + 2
Câu I. (3 điểm) Cho hàm số: y =
(1)
x 1
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số (1). Hãy viết phơng trình
hai đờng thẳng đi qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt đồ thị (C) của hàm số (1) tại
4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật.

Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

111

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu II. (1 điểm) Biện luận theo m tập xác định của hàm số: y =

mx 2 + ( m + 3) x + 3

x +1
Câu III. (2 điểm)
1. Chứng minh rằng ABC không tù là một tam giác đều khi các góc A, B, C thỏa mãn
AB
BC
CA
sin
sin
.
điều kiện: sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A + sin B + sin C + 4sin
2
2
2
2
2
6x xy 2y = 56
2. Giải hệ phơng trình: 2
2
5x xy y = 49
Câu IV. (3 điểm)
2
2
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đờng tròn: ( C1 ) : x + y + 6x 8y = 0 ,

( C2 ) : x 2 + y2 + 6x 4y 4 = 0 . Chứng minh rằng hai đờng tròn đó cắt nhau tại hai điểm phân

biệt. Hãy viết phơng trình trục đẳng phơng của hai đờng tròn đó.
2
2
2
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S) : x + y + z = 4 và mặt phẳng

( P) : x + y + z = 1

a) Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) và chứng tỏ rằng mặt phẳng
(P) cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn.
b) Viết phơng trình của đờng tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Hãy
xác định tọa độ tâm H và tính bán kính của đờng tròn (C) đó.
2
x 2e x
dx
Câu V. (1 điểm) Tính I =
0 ( x + 2)
cao đẳng giao thông iII năm 2004
x 2 + 2x 5
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y =
( 1)
x 1
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Định m để đờng thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
gốc tọa độ O là trung điểm AB.
Câu II. (2 điểm)
2
1. Giải phơng trình: ( 2sin x 1) ( 2cos 2x + 2sin x + 3 ) = 4sin x 1.
1
1 1

+ =
2
2. Giải hệ phơng trình: x y
x 2 + y2 = 5

Câu III. (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho họ đờng cong:
( Cm ) : x 2 + y 2 4mx + 2 ( m + 2 ) y + 6m 2 1 = 0
a) Xác định m để (Cm) là đờng tròn. Khi đó tính theo m tọa độ tâm I và bán kính R của (Cm).
2
b) Tìm m để (Cm) là đờng tròn có tâm nằm trên đờng cong ( P ) : y = x 7.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng chéo nhau:
x +1 y 1 z 3
x 1 y +1 z 2
=
=
;( d2 ) :
=
=
.
( d1 ) :
1
2
1
3
1
2
a) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng (d1) và (d2).
b) Gọi () là đờng thẳng qua điểm M ( 1,1,1) vuông góc với (d1) và cắt (d2). Hãy viết phơng
trình chính tắc của đờng thẳng ().

Câu IV. (2 điểm) Tính tích phân sau:
4
1
2dx
1) I =
.
2) ( 4x 2 2x 1) e 2x dx
1 x + 5 + 4
0
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

112

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

Câu V. (1 điểm)
Có bao nhiêu số nguyên gồm 6 chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện chữ số hàng trăm
ngàn khác 0 và phải có mặt chữ số 2?
cao đẳng kinh tế kĩ thuật khối a năm 2004
Câu I. (3 điểm). Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 4 (1)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Chứng minh đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng.
3. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A ( 0, 1) .
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phơng trình: cos x.cos 7x = cos3x.cos5x
ax + 2y = 3

2. Cho hệ phơng trình:
x + ay = 1
Tìm a để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất và thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
Câu III. (2 điểm)
2
x4
I
=
1. Tính tích phân
0 x 5 + 1 dx
a 2 b2
2. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: sin ( A B ) =
.
c2
Chứng minh rằng tam giác ABC cân hoặc vuông.
Câu IV. (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm S ( 2,2,6 ) ,A ( 4,0,0 ) ,B ( 4,4,0 ) ,C ( 0,4,0 )
1. Chứng minh rằng hình chóp S.ABCO là hình chóp tứ giác đều.
2. Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO.
Câu V. (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2x + 3y + 1 = 0 và
điểm M ( 1,1) . Viết phơng trình của các đờng thẳng đi qua điểm M và tạo với đờng thẳng (d)
một góc 450.
cao đẳng kinh tế kĩ thuật công nghiệp Ii năm 2004
Câu I. (2,5 điểm)
x 2 mx + m + 3
Cho hàm số y =
( 1) có đồ thị (Cm).
x +1
1. a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 0.

b) Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị trên, có tọa độ là những số nguyên.
2. Với điều kiện nào của m thì đồ thị (C m) suy biến thành một đờng thẳng? Viết phơng trình
đờng thẳng và nhận xét đờng thẳng đó có đặc biệt gì?
Câu II. (2,0 điểm)
tg tg
<
1. Chứng minh rằng: Nếu 0 < < thì


2. Giải bất phơng trình:

( log 2 x )

2

+3

log 2 x + 3

>2

Câu III. (2,0 điểm)
1. Cho a > 0,b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = a x +

b
.
x2

2

2
2
2. Tính tích phân: I = x 4 x dx
0

Câu IV. (2,5 điểm)
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

113

Đại học khoa học tự nhiên


Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm học 1997 đến năm học 2005- 2006 môn toán

(

) (

1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm: A 4, 3 ,B 2 2,3

)

a) Viết phơng trình chính tắc của Elíp đi qua 2 điểm A, B.
b) Xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của Elíp trên.
2
2
2
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S) : x + y + z = 2 ( x + 2y + 3z )

a) Gọi A, B, C là giao điểm (khác điểm O ( 0,0,0 ) ) của mặt cầu (S) với các trục Ox, Oy,
Oz. Xác định A, B, C và viết phơng trình mặt phẳng (ABC).
b) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu V. (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó chỉ có 4 điểm thẳng hàng, còn bất kỳ 3 điểm nào
cũng không thẳng hàng.
1. Hỏi có bao nhiêu đờng thẳng nối các điểm đó?
2. Có bao nhiêu tam giác khác nhau có đỉnh tại các điểm đã cho?
cao đẳng cơ khí luyện kim năm 2004
x 2 + x + a
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y =
, trong đó a là tham số.
x+a
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị a = 1.
2. Xác định tất cả các giá trị của a để đờng thẳng y = x 1 cắt đồ thị của hàm số tại hai
điểm phân biệt.
Câu II. (3 điểm)
1. Giải phơng trình:
a) log 2 ( 25x + 3 1) = 2 + log 2 ( 5x + 3 + 1)
b) A 2x .C xx 1 = 48.
2

2. Tính tích phân: I =
1

xdx
2+x + 2x

Câu III. (2 điểm)

1. Viết phơng trình tiếp tuyến của elíp:

x 2 y2
+
= 1 , biết rằng song song với đờng
32 8

thẳng d : x + 2y 2 = 0 .
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A ( 2, 3) , B ( 2,1) ,C ( 2, 1) . Tìm tọa
độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu IV. (2 điểm)
x 12 y 9 z 1
=
=
và mặt phẳng ( ) : 3x + 5y z 2 = 0
Cho đờng thẳng ( d ) :
4
3
1
1. Chứng minh rằng đờng thẳng d cắt mặt phẳng () và tìm giao điểm của chúng.
2. Viết phơng trình mặt phẳng () đi qua điểm M ( 1,2, 1) và vuông góc với đờng thẳng d
Câu V. (1 điểm)
2 2
3
3
3
Chứng minh rằng ABC thỏa mãn điều kiện: S = R ( sin A + sin B + sin C ) thì tam
3
giác ABC là tam giác đều.
cao đẳng hoá chất năm 2004

Câu I. (2,5 điểm)
3
2
Cho hàm số y = x mx 2m + 2 ( m > 0, m là tham số )
1. Khảo sát hàm số với m = 3.
2. Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên khoảng ( 1, + ) .
Câu II. (2,0 điểm) Giải các phơng trình:
1. log 2 ( 2 x + 1) log 2 ( 2 x +1 + 2 ) = 6
2. x + 8 x = x + 3
Câu III. (3,0 điểm)
Nguyễn Xuân Thọ
Điện thoại: 0914379466; 031.677101

114

Đại học khoa học tự nhiên