skkn toán ỨNG DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI một số bài TOÁN sơ cấp

SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN SƠ CẤP
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong những năm gần đây, trong mỗi đề thi Đại học, Cao đẳng, nay là thi
THPT Quốc gia hay đề thi học sinh giỏi thường có một vài câu về nghiệm của
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh phương trình có nghiệm duy
nhất, tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
và hệ bất phương trình có nghiệm ... Đây là một trong những dạng toán gây khó
khăn đối với học sinh, khi gặp những dạng toán này học sinh thường lúng túng,
không biết cách giải các bài toán này như thế nào. Vì vậy, học sinh thường chán
nản, không hứng thú và không quan tâm đến việc học Toán.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy, tôi thấy công cụ để giải chúng có thể
định lí về dấu của tam thức bậc hai, đặt ẩn phụ, sử dụng tính đơn điệu của hàm
số,... Trong số các công cụ đó, tôi thấy hiệu quả nhất là sử dụng tính đơn điệu của
hàm số. Nó vừa ngắn gọn, vừa gần gũi với những vấn đề mà các em học sinh đang
học ở năm cuối cấp.
Với tinh thần trên, nhằm giúp các em học sinh làm tốt các dạng toán này, đặc biệt
là các học sinh lớp 12 chuẩn bị thi vào THPT quốc gia, tôi quyết định chọn đề tài
nghiên cứu là: “ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP”
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận.
1.1Các khái niệm về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( a; b ) .
•
•

Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng ( a; b ) nếu

∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng ( a; b ) nếu

∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

b) Kí hiệu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
y = f (x) có đạo hàm trên K.
• Nếu f ' ( x) ≥ 0; ∀x ∈ K và f ' ( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f (x)
đồng biến trên K.
• Nếu f ' ( x) ≤ 0; ∀x ∈ K và f ' ( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f (x)
nghịch biến trên K.
1.2 Các tính chất về tính đơn điệu.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 3


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
• Định lí 1:
Nếu hàm số y = f (x ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục
trên D thì phương trình f ( x) = m (m là số không đổi) có nhiều nhất một nghiệm
trên D và f ( x) = f ( y ) khi và chỉ khi x = y với mọi x, y thuộc D.
• Chứng minh:
Giả sử phương trình f ( x) = m có nghiệm x = a, tức là f (a) = m . Do hàm số y = f (x)
đồng biến nên:
• Khi x > a suy ra f ( x) > f (a) = m nên phương trình f ( x) = m vô nghiệm.
• Khi x < a suy ra f ( x) < f (a) = m nên phương trình f ( x) = m vô nghiệm.

Tương tự cho trường hợp hàm số y = f (x) nghịch biến.
Vậy phương trình f ( x) = m có nhiều nhất là một nghiệm.
• Định lí 2:
Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g (x)
luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì phương trình
f ( x) = g ( x) nhiều nhất một nghiệm trên D.
• Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) , tức là f (a) = g (a) . Giả
sử f (x) đồng biến, g (x) nghịch biến.
- Nếu x > a, ta có: f ( x) > f (a) = g (a) > g ( x) . Suy ra phương trình f ( x) = g ( x) vô
nghiệm khi x > a.
- Nếu x < a, ta có: f ( x) < f (a) = g (a) < g ( x) . Suy ra phương trình f ( x) = g ( x) vô
nghiệm khi x < a.
Tương tự cho trường hợp ngược lại.
Vậy, phương trình có nhiều nhất một nghiệm.
o Lưu ý:
• Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên D và f(u) < f(v) thì u < v trên D.
• Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên D và f(u) < f(v) thì u > v trên D.
2. Cơ sở thực tiễn:
a) Thuận lợi.
- Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều.
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu
thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 4


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
b) Khó khăn.
- Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập.
- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong đại số giải tích, không nắm vững
các kiến thức về hàm số.
- Đa số học sinh học yếu .
- Sách giáo khoa của học sinh có rất ít bài tập, thậm chí không có bài tập áp dụng
cách giải này nên các học sinh không quen hoặc khi sử dụng rất khó khăn.
- Phương pháp này chỉ áp dụng được trong các tiết học tự chọn hoặc bồi dưỡng học
sinh giỏi hay áp dụng được cho các học sinh khá giỏi ôn thi THPT quốc gia nên
thời gian không có nhiều và rất khó khăn cho các học sinh trung bình và yếu.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.
1. Giải pháp 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
Ví dụ 1: Giải phương trình:

( 2 x + 1) ( 2 +

) (

)

4 x 2 + 4 x + 4 + 3x 2 + 9 x 2 + 3 = 0

Phân tích và tìm lời giải.
Đây là bài toán chứa căn thức bậc hai nên đại đa số các học sinh thường bình
phương hai vé hoặc đặt ẩn phụ sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu chú ý
một chút thì ta chuyển vế và sẽ thấy ngay phương trình có dạng f (u ) = f (v) . Từ đó,
ta định hướng được cách giải của phương trình theo phương pháp đơn điệu.
Giải.

( 2 x + 1) ( 2 + 4 x 2 + 4 x + 4 ) + 3x( 2 + 9 x 2 + 3 ) = 0 ⇔ ( 2 x + 1) ( 2 +
2
2
⇔ ( 2 x + 1)  2 + ( 2 x + 1) + 3  = − 3x 2 + ( − 3x ) + 3  (*)




(



)

)

)



Xét hàm số f (t ) = t 2 + t + 3 ; ∀ t ∈ R , ta có: f ' (t ) = 2 + t + 3 +
2

(

4 x 2 + 4 x + 4 = − 3x 2 + 9 x 2 + 3

2

t2

t +3
2

> 0, ∀ t

Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên R. Do đó, phương trình (*) trương đương với
1
1
f ( 2 x + 1) = f ( − 3x ) ⇔ 2 x + 1 = − 3x ⇔ x = − . Vậy nghiệm của phương trình là x = − .
5
5

Ví dụ 2: Giải phương trình:

4 x 3 + x − ( x + 1) 2 x + 1 = 0
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 5


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Phân tích và tìm lời giải.
Đối với bài toán này, học sinh thường chuyển vế rồi bình phương hai vế.
Tuy nhiên, nếu bình phương thì phương trình trở thành bậc 6 dẫn đến rất khó khăn
cho việc tìm nghiệm của phương trình. Nếu chuyển vế và không khéo léo trong
trường hợp này thì cũng rất khó phát hiện dạng f (u ) = f (v) .
Giải. Điều kiện: x ≥ −

1

2

(

)

4 x 3 + x − ( x + 1) 2 x + 1 = 0 ⇔ 4 x 3 + x = ( x + 1) 2 x + 1 ⇔ 2 x 4 x 2 + 1 = ( 2 x + 2) 2 x + 1

(

) (

)

2
2
⇔ 2 x ( 2 x ) + 1 =  2 x + 1 + 1 2 x + 1



(

(1)

)

Xét hàm số f (t ) = t 2 + 1 t; ∀ t ≥ 0 , ta có: f ' (t ) = 3t 2 + 1 > 0; ∀ t ≥ 0 . Suy ra hàm số f (t )
đồng biến với mọi t ≥ 0 .

(

)

 2x ≥ 0
x ≥ 0
⇔
Do đó: (1) ⇔ f ( 2 x ) = f 2 x + 1 ⇔ 2 x + 1 = 2 x ⇔ 
 2
2
 2x + 1 = 4x
4x − 2x − 1 = 0
x ≥ 0
⇔ 2
⇔
4
x
−
2
x
−
1
=
0


x ≥ 0
1+ 5

 1± 5 ⇔ x =
4

x =
4


Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta thấy nếu không sử dụng tính đơn điệu của hàm số
vào giải phương trình này thì rất khó khăn trong việc giải phương trình trên. Do đó
việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số phương trình rất hiệu quả và
đơn giản hơn nhiều các phương pháp khác và đây là một phương pháp rất quen
thuộc đối với tất cả các học sinh lớp 12.
Ví dụ 3: Giải phương trình:

− 2 x 3 + 10 x 2 − 17 x + 8 = 2 x 2 .3 5 x − x 3
Giải.
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Xét x ≠ 0 , chia cả hai vế của phương trình cho x3, ta được:
−2+

10 17 8
5
− 2 + 3 = 23 2 − 1 .
x x
x
x

Đặt

y=

1
, ( y ≠ 0) ,

x

ta được phương trình:

8 y 3 − 17 y 2 + 10 y − 2 = 23 5 y 2 − 1 ⇔ ( 2 y − 1) + 2( 2 y − 1) = 5 y 2 − 1 + 23 5 y 2 − 1
3

Trong đó: f ( t ) = t 3 + 2t; ∀t ∈ R ⇒
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

(*)

f ' (t ) = 3t 2 + 2 > 0; ∀t .

Trang - 6


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên R nên

(*) ⇔ f ( 2 y − 1) = f

(

3

5y2 −1

)

y = 0
⇔ 2 y − 1 = 5 y − 1 ⇔ 8 y − 17 y + 6 y = 0 ⇔ y 8 y − 17 y + 6 = 0 ⇔ 
 y = 17 ± 97
16

3

2

3

(

2

)

2

Với y = 0 (loại).
Với

y=

17 − 97
1
16
17 + 97

⇒x= =
=
16
y 17 − 97
12

Với

y=

17 + 97
1
16
17 − 97
⇒x= =
=
16
y 17 + 97
12

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

x=

17 − 97
12

và

x=

17 + 97
12

.

Ví dụ 4: Giải phương trình :
2x + 1 + 2x = x + 3 + 1 + x + 3
1
2

ĐK : x ≥ − .
Thêm 1 vào hai vế, PT đã cho trở thành : 1 + 2 x + 1 + 2 x = 1 + x + 3 + 1 + x + 3 (*)
Xét hàm số f (t ) = t + t , t ≥ 0 . Ta có : f ' (t ) = 1 +

1
> 0; t > 0 . Suy ra hàm số f(t) đồng
t

biến với mọi t ≥ 0.
x ≥ 0

x ≥ 0
 x =1
⇔ 
⇔ x =1
Do đó : (*) ⇔ 2 x + 1 = 1 + x + 3 ⇔ 2 x = x + 3 ⇔  2
4 x − x − 3 = 0
 x = − 3


4

(thỏa).
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.
2.Giải pháp 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương
trình có nghiệm duy nhất.
3
4
Ví dụ 1: Chứng minh phương trình x + 3 + 2 x − 1 = 4 − x có nghiệm duy nhất.

1
x 3 + x + 3 + 4 2 x − 1 − 4 = 0 ⇔ f ( x) = 0
ĐK : x ≥ 2 . PT đã cho trở thành :

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 7


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
1

1

1

2
> 0, ∀x ≥
Ta có: f ' ( x) = 3x + 2 x + 3 + 4

3
2 . Suy ra hàm số f(x) luôn đồng
2 ( 2 x − 1)

1

biến với mọi x ≥ 2 và f(1) = 0. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của PT.
5
Ví dụ 2: Giải phương trình : 3x + 1 + x = 4 − 2 x − 1

1
ĐK : x ≥ 2 . PT đã cho trở thành :
3

1

3x + 1 + 5 x + 2 x − 1 − 4 = 0 ⇔ f ( x) = 0
1

.

1

Ta có: f ' ( x) = 2 3x + 1 + 55 x 4 + 2 x − 1 > 0, ∀x ≥ 2 . Suy ra hàm số f(x) luôn đồng
1

biến với mọi x ≥ 2 và f(1) = 0. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của PT.
Ví dụ 3: Giải phương trình : ( x − 2) [ log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2) ] = x + 1
Giải:
Điều kiện: x > 3.

( x − 2)[ log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2) ] = x + 1
⇔ log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 ) −

⇔ log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 ) =

x +1
x−2

x +1
=0
(*).
x−2

Ta thấy x = 5 là nghiệm của phương trình (*).
x +1

Xét hàm số f ( x) = log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2) − x − 2 ; ∀x > 3
1
1
3
f
'
(
x
)
=
+
+
> 0; ∀x > 3 . Suy ra hàm số f (x) đồng

Ta có :
( x − 3) ln 2 ( x − 2) ln 3 ( x − 2) 2

biến trên khoảng (3 ; +∞). Do đó, phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x = 5.
Nhận xét :
Qua các ví dụ trên cho thấy việc ứng dung tính đơn điệu vào giải phương
trình là cần thiết và tiện lợi. Đặc biệt là việc chứng minh phương trình có nghiệm
duy nhất.
3. Giải pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình
 x − 3 y 3 + y = y − 3 x 3 + x
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  5 5
x + y = 2

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 8


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
 x + 3 x 3 + x = y + 3 y 3 + y

(1)

 x 5 + y 5 = 2

(2)

Hpt đã cho trở thành: 
Ta có :

(1) ⇔ x = y

5

. Thế x = y vào PT (2), ta được : 2y = 2 ⇔ y = 1.

Vậy HPT có nghiệm là (x ; y) = (1 ; 1).
 x 5 − 3 y = y 5 − 3 x
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x − 1 + 3 y − 2 = 3

2
ĐK : x ≥ 1; y ≥ 3 . HPT trở thành :

 x 5 + 3 x = y 5 + 3 y

 x − 1 + 3 y − 2 = 3

(1)
(2)

Từ (1), t a có : x = y. Thế x = y vào PT (2) , ta có :
y − 1 + 3 y − 2 − 3 = 0 ⇔ f ( y) = 0 .

Với

f ' ( y) =

1
3

+
> 0; ∀y > 1 .
2 y − 1 2 3y − 2

Suy ra hàm số f(y) đồng biến với mọi

y ≥ 1 và f(2) = 0. Do đó y = 2 là nghiệm của PT (2). Vậy HPT có nghiệm là (x ; y)

= (2 ; 2).
Nhận xét:
- Trong một số trường hợp thì việc đưa về PT dạng f(x) = f(y) thì phải biến đổi
hoặc phải đặt ẩn phụ.
- Thông thường trong hai phương trình của hệ thì có một phương trình sử dụng
phương pháp đơn điệu của của hàm số, rồi sau đó thế vào phương trình còn lại
để giải.
 x 3 + x = 2( y + 1) 2y + 1
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình :  x − 2 2 y + 1 + 1 = 0

t ≥ 0

1
ĐK : y ≥ − 2 . Đặt 2 y + 1 = t ⇔ 2 y + 1 = t 2 .


Suy ra :

2( 2 y + 1) 2 y + 1 = t 3 + t

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

. Do đó, Pt (1) trở thành :

x 3 + x = t 3 + t ⇔ f ( x) = f (t )

Trang - 9


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
3

2

Với f(u) = u + u. Suy ra : f’(u) = 3u + 1 > 0 với mọi u ≥ 0. Do đó x = t. Suy ra
2 y + 1 = x . Thế

2 y + 1 = x vào PT(2) ta được

2 y + 1 = 1 ⇔ y = 0 ⇒ x = 1 ( thỏa

ĐK). Vậy HPT đã cho có nghiệm là (x ; y) = (1; 0).
4. Giải pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 5x + 12x > 13x.
Phân tích và tìm lời giải
Đây là bài toán về bất phương trình mũ, tuy nhiên rất khó để sử dụng được
phương pháp giải của bất phương trình mũ để giải.Ta sử dụng phương pháp đơn
điệu để giải.
Giải.
x

x

x

 5   12 
 5   12 
Bpt ⇔   +   > 1 ⇔ f ( x) > f (2) . Với f ( x) =   +  
 13   13 
 13   13 
x

x

x

5
 5   12 
 12 
⇒ f ' ( x) =   . ln  +   . ln  < 0, ∀x ∈ R
. Do đó hàm số f(x) luôn nghịch biến
 13 
 13   13 
 13 

trên R. Suy ra, bất phương trình có nghiệm x < 2. Vậy, tập nghiệm của bất phương
trình là S = ( − ∞;2)
Nhận xét:
Đây là một bất phương trình quen thuộc của học sinh lớp 12. Tuy nhiên, khi ta
sử dụng phương pháp này thì việc giải bất phương trình này đơn giản hơn rất
nhiều.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình : x(x8 + x2 + 16) > 6(4 – x2).
Giải.
Bpt ⇔ f ( x) = x 9 + x 3 + 6 x 2 + 16 x − 24 > 0 ⇔ f ( x) > f (1) (*). Ta có :
f ' ( x ) = 9 x 8 + 3x 2 + 12 x + 16 = 9 x 8 + 3( x + 2 ) + 4 > 0, ∀x ∈ R
2

. Suy ra hàm số f(x) đồng

biến trên R (**).
Từ (*) và (**), suy ra bpt đã cho có nghiệm x >1. Vậy tập nghiệm của bất phương
trình là S = (1;+∞ )

Ví dụ 3: Giải bất phương trình : log 2

x 2 + 3x + 5
< x2 − x − 2 .
2
2x + 2x + 3

Phân tích và tìm lời giải
Đây là bất phương trình lôgarit, hầu như các em học sinh đều đưa về dạng
2
x 2 + 3x + 5
< 2 x − x−2
2
và đến bước này thì học sinh không giải được nữa. Nếu học
2x + 2x + 3

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 10


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
sinh nắm vững đơn điệu thì dễ dàng nhận thấy

(

)

(

log 2 2 x 2 + 2 x + 5 − log 2 x 2 + 3 x + 5

và
Giải.

2

) (

)

+ 2 x + 5 − x 2 + 3x + 5 = x 2 − x − 2

)

x 2 + 3x + 5
log 2 2

< x2 − x − 2
2x + 2x + 3

(
(x

(2x

)
(
) (
⇔ log
+ 3 x + 5) + ( x + 3 x + 5) < log ( 2 x
⇔ f ( x + 3 x + 5) < f ( 2 x + 2 x + 3) . (*)

) (
+ 2 x + 3) + ( 2 x

)
+ 2 x + 3)

⇔ log 2 x 2 + 3 x + 5 − log 2 2 x 2 + 2 x + 3 < 2 x 2 + 2 x + 3 − x 2 + 3 x + 5
2

2

2

2

Với hàm số

2

2

2

2

f (t ) = log 2 t + t , ∀t > 0

1

, ta có : f ' (t ) = t. ln 2 + 1 > 0, ∀t > 0 . Do đó hàm số f

đồng biến với mọi t > 0. (**)
 x < −1

2
Từ (*) và (**), suy ra : Bpt ⇔ x − x − 2 > 0 ⇔  x > 2 . Vậy tập nghiệm của bất



phương trình là S = ( − ∞;−1) ∪ ( 2;+∞ )

5. Giải pháp 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng
thức.
Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là tương ứng mỗi bất đẳng
thức cần chứng minh, ta cần xây dựng một hàm số, rồi nghiên cứu tính đơn điệu

của nó trên các đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng cho thích hợp.
3

Ví dụ 1: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ . Chứng
2
1

1

1

27

minh rằng: xy + yz + zx + x + y + z ≥ 2 .
Giải.
1
1
1
P
=
+
+
+x+ y+z.
Đặt:
xy yz zx

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có :
3
Đặt t = xyz , ta có: 0 < t ≤

Xét hàm số : f (t ) =

P≥

3
3

( xyz )

2

+ 3 xyz

.

x+ y+z 1
3
 1
≤ . Suy ra: t ∈  0;  và P ≥ 2 + 3t .
3
2
t
 2

6
3
 1
 1
+ 3t , với mọi t ∈  0;  . Ta có: f ' (t ) = 3 − 3 < 0, ∀t ∈  0;  .
2

t
t
 2
 2


1

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên t ∈  0;  .
 2
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 11


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP


1

1

3

27

27

Do đó, với mọi t ∈  0;  ta có: f (t ) = 2 + 3t ≥ f   = . Vậy, P ≥

.
t
2
 2
2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =

1
.
2

Ví dụ 2: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a > b ≥ e . Chứng minh
b
a
rằng: a < b .

Giải:
ln a ln b
ln x
<
f ( x) =
; ∀x ≥ e.
.
Xét
hàm
số
a
b
x

a b < b a ⇔ b ln a < a ln b ⇔

Ta có : f ' ( x) =

1 − ln x
≤ 0; ∀x ≥ e. Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên [e ; +∞).
x2
ln a

ln b

b
a
Do đó: f (a) < f (b) ⇔ a < b ⇔ a < b .

6. Giải pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm điều kiện của tham
số sao cho hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một miền cho trước.
Để giải bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến hoặc
nghịch biến trên một miền D nào đó, ta thường làm như sau :
o Tính f’(x).
o Áp dụng định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
o Biến đổi BPT f’(x)≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) về dạng g(x) ≥ h(m) hoặc g(x) ≤ h(m).
o Lập bảng biến thiên của hàm số g(x).
g ( x); min g ( x ).
o Tìm max
D
D

o Từ bảng biến thiên suy ra kết quả của bài toán.
1

1

Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x 3 + mx 2 + ( m − 2) x − . Tìm m để hàm số đồng biến trên
3
3
khoảng (1 ; 3).
Giải :
Ta có :

y ' = − x 2 + 2mx + m − 2

. Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; 3)

⇔ − x + 2mx + m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ (1;3)
2

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

x2 + 2
⇔m≥
, ∀x ∈ (1;3) .
2x + 1

Trang - 12


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
2x2 + 2x − 4

x2 + 2
g
'
(
x
)
=
> 0, ∀x ∈ (1;3) .
g
(
x
)
=
Xét hàm số
( 2 x + 1) 2
2 x + 1 trên đoạn [1 ; 3]. Ta có

Mặt khác, hàm số g(x) liên tục trên [1 ; 3]. Do đó hàm số g(x) đồng biến trên đoạn
11

g ( x) = g (3) = .
[1; 3]. Vậy m ≥ g ( x), ∀x ∈ (1;3) ⇔ m ≥ max
[1;3]
7

• Chú ý :
Hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên tập D. Khi đó bất phương trình f(x) ≤
f ( x ) ≤ h( m )
h(m) nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ max
D

.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 + mx + 4 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên
khoảng (0 ; +∞).
Giải.
• Nếu bài toán này sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai :
Ta có :

y ' = −3 x 2 + 6 x + m

. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞).

⇔ f ( x) = −3 x + 6 x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;+∞ )
2

∆' ≤ 0 ⇔ 9 + 3m ≤ 0 ⇔ m ≤ −3

- Khi

.

thì

f ( x) = −3 x 2 + 6 x + m ≤ 0, ∀x ∈ R

nên hàm số

f(x) nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞).
- Khi ∆' > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 nên hàm số nghịch
biến trên khoảng (0 ; +∞) khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm x1 < x2 ≤ 0
2 < 0

S < 0

⇔
⇔ m
P ≤ 0
− 3 ≤ 0 (vô lí).

Vậy m ≤ −3 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞).
• Nếu sử dụng phương pháp đơn điệu của hàm số.
Ta có :

y ' = −3 x 2 + 6 x + m

. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞).

⇔ −3x + 6 x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;+∞ ) ⇔ m ≤ 3 x 2 − 6 x, ∀x ∈ ( 0;+∞ )
2

.

2

Xét hàm số g(x) = 3x – 6x trên (0 ; +∞). Ta có : g’(x) = 6x – 6.
g’(x) = 0 ⇔ x = 1.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 13


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Bảng biến thiên
x

-∞

1

g ' ( x)
g (x)

-

+∞

0

+

0

+∞
-3

Từ bảng biến thiên, ta có :

m ≤ g ( x), ∀x ∈ ( 0;+∞ ) ⇔ m ≤ min g ( x) = g (11) = −3
( 0; +∞ )

• Chú ý :

Hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên tập D. Khi đó bất phương trình
f ( x ) ≥ h ( m)
f(x) ≥ h(m) nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ min
D
.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 9 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(1 ; 2).
Giải.
Tập xác định : D = R.
Đạo hàm

(

y ' = 4 x 3 − 4mx = 4 x x 2 − m

)

Nếu m ≤ 0 thì y’ ≥ 0, ∀x∈ (0 ; +∞). Tức là hàm số luôn đồng biến trên (0 ; +∞)
nên nó luôn đồng biến trên khoảng (1; 2).
Nếu m > 0 thì phương trình y’ = 0 sẽ có ba nghiệm phân biệt là

− m ;0; m

Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ;2) ⇔ m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1 . Vậy m ≤ 1.
Nếu bài toán này sử dụng phương pháp đơn điệu của hàm số
Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; 2)

⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ [1;2]

( Do y’

liên tục tại x = 1, x = 2).
⇔ m ≥ x 2 , ∀x ∈ [1;2] ⇔ m ≤ min ( x 2 ) = 1
[1; 2 ]

. Vậy m ≤ 1.

• Nhận xét : Qua ví dụ 3 ta thấy, nếu chúng ta sử dụng được phương pháp đơn
điệu của hàm số thì giait đơn giản và hiệu quả hơn nhiều.
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 14


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
7. Giải pháp 7: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm điều kiện của tham
số sao cho phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiệm.
• Đối với các bài toán về nghiệm của phương trình, bất phương trình mà tham số
độc lập với ẩn hoặc biến đổi phương trình, bất phương trình, đặt ẩn phụ để được
điều đó thì ta có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
• Phương pháp chung :
o Biến đổi phương trình, bất phương trình đã cho về một trong các dạng sau :
f(x) = g(m) ; f(x) ≤ g(m) ; f(x) ≥ g(m); f(x) < g(m); f(x) > g(m) .
o Tìm tập xác định D của hàm số f(x).
o Lập bảng biến thiên của hàm số f(x).
f ( x); min f ( x)
o Tìm max
D
D

o Từ bảng biến thiên, suy ra kết quả bài toán.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

4

x2 + 1 − x = m .

Giải.
Điều kiện : x ≥ 0. Xét hàm số
f ' ( x) =

(

x

)

2 x +1
4

2

lim f ( x) = lim

x →+∞

x→+∞

(

4

3

−

1
2 x

f ( x) = 4 x 2 + 1 − x

< 0, ∀x > 0

)

x 2 + 1 − x = lim

(

trên [0 ; +∞), ta có :

.

x →+∞ 4

1
x2 + 1 + x

)(

x2 + 1 + x

)=0

Bảng biến thiên
x

0

f ' ( x)
f (x)

+∞
-

1
0

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 15


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f(x) = m có nghiệm thực trên [0 ; + ∞) ⇔ 0
< m ≤ 1.
• Chú ý:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D. Khi đó : Phương trình f(x) = m có nghiệm

x∈D

⇔ min f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x )
D

D

Ví dụ 2:

)

(

Tìm m để bất phương trình : m x 2 − 2 x + 2 + 1 + x( 2 − x ) ≤ 0 có nghiệm thực trên
đoạn [0 ; 1 + 3 ]
Giải.
x −1

2
Đặt t = x − 2 x + 2 , ta có: t ' = x 2 − 2 x + 2 ; t ' = 0 ⇔ x = 1

x

0

t'

-

t

1+ 3

1
0

+

2

2
1
2

2

2

Do đó, ta có : 1 ≤ t ≤ 2. Suy ra t = x – 2x + 2 ⇒ x(2 –x) = - (t – 2). Khi đó bất
t2 − 2
2
(
)
m
t
+
1
−
t
−

2
≤
0
⇔
m
≤
.
phương trình đã cho trở thành
t + 1 (*)

(

)

( t + 1) + 1 > 0, ∀t ∈ [1;2]
t 2 − 2 trên đoạn [1; 2]. Ta có :
f ' (t ) =
f
(
t
)
=
Xét hàm số
( t + 1) 2
t +1
2

⇒ hàm số f(t) đồng biến trên đoạn [1 ; 2]. Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm
thực x ∈ [0 ; 1 + 3 ] ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm t ∈ [1 ; 2]
⇔ m ≤ max f (t ) = f (2) =

[1; 2 ]

2
3.

• Chú ý : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập hợp D. Khi đó :
f ( x ) ≥ h ( m)
o Bất phương trình f(x) ≥ h(m) có nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ max
D
f ( x ) ≤ h( m )
o Bất phương trình f(x) ≤ h(m) có nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ min
D

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 16


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
8. Các bài tập áp dụng.
x + 9 + 2x + 4 > 5

1)

2)

x 2 − 2 x + 3 − x 2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1



(3 − x) 2 − x − 2 y 2 y − 1 = 0

2

(4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
3) 
2
2

4 x + y + 2 3 − 4 x = 7

4) 

3

2 2 − x − (2 y − 1) = 1

( 53 − 5 x ) 10 − x + ( 5 y − 48 ) 9 − y = 0

5) 

2
 2 x − y + 6 + x = −2 x + y + 11 + 2 x + 66


 x −1 − y −1 = y − x
7) 
2
2


x + y = 4

10) log 3

( 17 − 3 x ) 5 − x + ( 3 y − 14 ) 4 − y = 0

6) 

2
 2 2 x + y + 5 + 3 3 x + 2 y + 11 = x + 6 x + 13

ln( x + 1) − ln( y + 1) = y − x
8) 
2 x + 3 y = 5

3
3

 x − 3x = y − 3 y
9) 
6
6

x + y = 1

x2 + x + 1
= x 2 − 3x + 2
2x2 − 2x + 3

x2

11) Chứng minh rằng với x dương, ta có bất đẳng thức e > 1 + x +
2
x

b

a

1  
1 

12) Chứng minh bất đẳng thức  2 a + a  ≤  2b + b  ; a ≥ b > 0
2  
2 


1
3

13) Tìm các giá trị của m để hàm số sau : y = x3 + mx 2 + (m + 6) x − (2m + 1) đồng biến
trên R.

14) Cho hàm số : y = − x 3 − 3x 2 + mx + 4 gọi là đồ thị ( C). Tìm tất cả các giá trị của tham
số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
1
3

15) Tìm các giá trị của m để hàm số y = x 3 − (3m − 1) x 2 + ( m + 3) x + 4m − 3 đồng
biến trên khoảng (1; +∞).
16) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x = m .

17) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x: m.4x + (m – 1).2x+2
+ m – 1 > 0.
18) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x:
3cos 4 x − 5cos 3 x − 36sin 2 x − 15cos x + 36 + 24a − 12a 2 ≥ 0 .
19) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

x +1 − 4 − x ≥ m .

20) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho: (x + 1)(x + 3)(x2 + 4x + 6) ≥ m.
21) Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x : y = cosx +

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

1
1
cos2x + cos3x + m .
2
3

Trang - 17


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
22) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
 x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0
 2
2
2
 x + 1 − x − 3 2 y − y + m = 0

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 và
luyện thi THPT quốc gia. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự
thấy tự tin hơn, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm
đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh
hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên
cứu. Được sự phân công của tổ chuyên môn, tôi phụ trách hai lớp 12B3 và lớp
12B8. Trong đó, lớp 12B3 là lớp chọn nâng cao và tôi tiến hành dạy thực nghiệm
cho lớp này. Sau khi hoàn thành chuyên đề này và tôi tiến hành kiểm tra lớp 12B3
với một lớp không dạy thực nghiệm 12B15 của thầy Vũ Quốc Hiệu với kết quả
như sau:
Đề ra:
1) Giải phương trình : x + 3 + x + 7 x + 2 = 4
2) Giải bất phương trình : 2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 < 2 3 + 4 − x
x −1
 3
3
2
=0
 x − 3 x − y − 6 y − 9 y − 2 + ln
y +1
; ( x, y ∈ R )
3) Giải hệ phương trình : 
 y[ log ( x − 3) + log y ] = x + 1
2
3


Lớp 12B3 có sỉ số là 38. Lớp 12B15 có sỉ số là 37.

Câu 1

12B3

12B15

28/38

12/37

Câu 1 : Có 28/38 học sinh lớp 12B3 thực hiện được câu này chiếm tỉ lệ 73,68%.
Đây là câu khá cơ bản của phương pháp đơn điệu nên hầu như các em học sinh đều
phát hiện ra phương trình có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên, ở lớp không dạy thực
nghiệm 12B15 thì tỉ lệ này quá ít học sinh nhận biết được phương trình có nghiệm
duy nhất, có 12/37 học sinh làm được chiếm tỉ lệ 32,43%. Sau đây là một bài làm
của học sinh qua bài kiểm tra thực nghiệm. Các học sinh đều làm được nhưng trình
bày chưa chặt chẽ lắm. Điều kiện xác định hay tập xác định kí hiệu chưa đúng.

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 18


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 19

SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Câu 2

12B3

12B15

20/38

8/37

Câu 2 : Có 20/38 học sinh làm được câu này chiếm tỉ lệ 52,63%. Đây là một bất
phương trình chứa căn thức bậc hai và cũng là một dạng cơ bản của bất phương
trình. Tuy nhiên, có một số học sinh chưa phát hiện được dạng f (u ) < f (v). Đối với
lớp 12B15 thì có 8/37 học sinh làm được câu này chiếm tỉ lệ 21,62%, còn lại là
không làm được hoặc làm một nửa bài. Một sô các học sinh đều bình phương 2 vế,
nhưng rồi không có cách giải như minh họa ở câu 1. Nhưng cũng có những học
sinh làm tốt câu này. Tuy vẫn còn một số sai xót như − 2 ≤ x ≤ 1 mà là − 2 ≤ x < 1 .

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 20


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Câu 3

12B3

12B15

9/38

2/37

Câu 3 : Có 9/39 học sinh thực hiện được câu này chiếm tỉ lệ 23,68%. Đây là câu
mà học sinh phải vận dụng rất nhiều kiến thức để suy luận. Vì vậy, một số học sinh
vẫn còn lúng túng khi gặp một số dạng toán này, lớp 12B15 thì tỉ lệ này quá ít 2/37
chiếm tỉ lệ 5,41%. Một vài học sinh làm khá tốt câu này.

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 21


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng các học sinh được dạy
thực nghiệm một phần nào đã nắm bắt được các dạng toán cơ bản về đơn điệu của
hàm số và cũng như các phương pháp giải các dạng toán này. Qua đó giúp tôi có
niềm tin hơn khi thực hiện đề tài này.
V. KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG.
Các dạng toán đơn điệu nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán
có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học
sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất
gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt được
kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các

tài liệu tham khảo liên quan.
Bằng một chút vốn hiểu biết của mình và kinh nghiệm giảng dạy một số
năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được
một số bài toán để cho học sinh tham khảo và tự giải.
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời giải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không hề dễ dàng. Giáo viên trước hết
phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản, sau đó là cung cấp cho
học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng
linh hoạt các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải quyết bài toán tạo cho
học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu.
Để cho đề tài này được áp dụng rộng rãi và học sinh trường THPT Sông Ray
sử dụng thành thạo, tôi kiến nghị BGH nhà trường dành thêm thời gian, phụ đạo
cho các đối tượng học sinh khá, giỏi có nguyện vọng thi THPT quốc gia đăng kí
vào đại học, cao đẳng.
Mặc dù rất tập trung và nghiêm túc trong quá trình thực hiện đề tài này, tôi
cũng chỉ đưa ra được các ví dụ, các bài toán minh họa và một số bài tập luyện tập.
Song chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai xót và khiếm khuyết. Rất mong sự
đóng góp ý kiến của các độc giả và đồng nghiệp để đề tài này ngày càng tốt hơn.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cường –
Nguyễn Tiến Tài – Đỗ Mạnh Hùng (2008). Đại số và giải tích 10 (cơ bản), NXB
Giáo dục .
[2]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân
Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2008). Đại số và giải tích 10 (nâng
cao), NXB Giáo dục.
[3]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương –
Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008). Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB
Giáo dục .
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 22


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
[4]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân
Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008). Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB Giáo
dục
[5]. Trần Phương (2009). Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán – quyển 1, NXB
Đại học quốc gia Hà Nội .
[6]. Phan Huy Khải (2010). Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học, NXB Đại
học quốc gia Hà Nội.
[7]. Tủ sách Toán học và tuổi trẻ (2010). Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho
kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi vào đại học, cao đẳng – môn Toán tập
một, NXB giáo dục Việt Nam.
VII. PHỤ LỤC.
Sở GD & ĐT Đồng Nai

Kiểm tra chuyên đề tính đơn điệu của hàm số

Trường THPT Sông Ray

Thời gian: 45 phút
Đề ra:

1) Giải phương trình : x + 3 + x + 7 x + 2 = 4 .
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
2) Giải bất phương trình : 2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 < 2 3 + 4 − x
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 23


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
x −1
 3
3
2
=0
 x − 3 x − y − 6 y − 9 y − 2 + ln

y +1
; ( x, y ∈ R )
3) Giải hệ phương trình : 
 y[ log ( x − 3) + log y ] = x + 1
2
3


………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
------------------------------Hết------------------------------

Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2016
Người thực hiện

Trần Bá Tuấn

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 24


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2016

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2015 – 2016
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP.
Họ và tên tác giả: Trần Bá Tuấn. Chức vụ: giáo viên.
Đơn vị: Trường THPT Sông Ray.
Họ và tên giám khảo 1: ............................................................ Chức vụ: ........................................
Đơn vị: Trường THPT Sông Ray.
Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................
* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:
1. Tính mới
...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
2. Hiệu quả
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./8,0.
3. Khả năng áp dụng
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
GIÁM KHẢO 1
(Ký tên, ghi rõ họ và tên)

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 25


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2016

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2015 – 2016
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP.
Họ và tên tác giả: Trần Bá Tuấn. Chức vụ: giáo viên.
Đơn vị: Trường THPT Sông Ray.
Họ và tên giám khảo 2: ............................................................ Chức vụ: ........................................
Đơn vị: Trường THPT Sông Ray.
Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................
* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:
1. Tính mới
...........................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................
......................
Điểm: …………./6,0.
2. Hiệu quả
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./8,0.
3. Khả năng áp dụng
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
GIÁM KHẢO 2
(Ký tên, ghi rõ họ và tên)

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 26


SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2016
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2015 – 2016
–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP.
Họ và tên tác giả: TRẦN BÁ TUẤN Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THPT Sông Ray.

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
- Phương pháp giáo dục

- Lĩnh vực khác: ........................................................ 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 
Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)
- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu
quả cao 
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT 
Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc

sống: Trong Tổ/Phòng/Ban 
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT 
Trong ngành

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban 
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT 
Trong ngành 
Xếp loại chung: Xuất sắc 
Khá 
Đạt 
Không xếp loại 
Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của
người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này
đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác
giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ
của chính tác giả.
NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN
XÁC NHẬN CỦA TỔ
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
CHUYÊN MÔN
(Ký tên, ghi rõ
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
họ tên và đóng dấu)

Giáo viên: Trần Bá Tuấn

Trang - 27