Công thức toán THPT 2016

Chương 1

Đại số - Lượng giác - Giải tích
1.1


∆>0





a f (α) > 0



 a f (β) > 0
• α < x1 < x2 < β ⇔
S

−α > 0



2




 S −β < 0
2

Tam thức bậc 2

Tam thức bậc hai
f (x) = ax 2 + bx + c = 0, (a = 0)

có hai nghiệm x 1 , x 2
• Định lí Viete:

1.2

b
S = x1 + x2 = − ;
a

c
P = x1 x2 =
a

1.2.1

• ∆ < 0 thì f (x) cùng dấu với a
• f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔

• f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔

• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
• |x| > a ⇔ x < −a

∆≤0

a <0

• x1 < α < β < x2 ⇔

a f (α) < 0
a f (β) < 0

• α < x1 < β < x2 ⇔

a f (α) > 0
a f (β) < 0

•

•

x>a

• |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b|

• x 1 < α < x 2 ⇔ a f (α) < 0


∆>0


a f (α) > 0
• α < x1 < x2 ⇔

S


 −α > 0
2


∆>0


a f (α) > 0
• x1 < x2 < α ⇔

S

 −α < 0
2
∆>0
a f (α) > 0

Bất đẳng thức có dấu trị tuyệt đối

• − |a| ≤ a ≤ |a| ∀a ∈ R

∆≤0
a >0

α < x1 < x2
⇔
x1 < x2 < α

Bất đẳng thức

1.2.2

Bất đẳng thức Cauchy

•

a +b
≥
2

•

a +b +c
≥
3

1.2.3

ab dấu bằng xảy ra khi a = b
3

abc dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Bất đẳng thức Bunyakovsky

• ab + cd ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )
Dấu “ = ” xảy ra khi ad = bc
a 12 + a 22 + a 32 b 12 + b 22 + b 32
a1 a2 a3

Dấu “ = ” xảy ra khi
=
=
b1 b2 b3

• a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ≤

1.3

x1 < α < x2 < β
⇔ f (α). f (β) < 0
α < x1 < β < x2

Cấp số cộng

• Số hạng thứ n : u n = u 1 + (n − 1)d

1


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

1.7

• Tổng của n số hạng đầu tiên:
n
n
S n = (u 1 + u n ) = [2u 1 + (n−)d ]
2
2

1.4

1.7.1

Công thức khai triển

• (a + b)n =

Cấp số nhân

• Số hạng thứ n : u n = u 1 .q n−1
• Tổng của n số hạng đầu tiên: S n = u 1

Nhị thức Newton

n
k=0

C nk a n−k b k =

n
k=0

C nk a k b n−k

• (a + b)n = C n0 a n +C n1 a n−1 b + · · · +C nn−1 ab n−1 +C nn b n
1 − qn
1−q

1.7.2

• Cấp số nhân lùi vô hạn: |q| < 1
u1
Sn =
1−q

Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton

• (1 + x)n = C n0 +C n1 x +C n2 x 2 + · · · +C nn x n
• (1 − x)n = C n0 −C n1 x +C n2 x 2 − · · · + (−1)n C nn x n
• (x + 1)n = C n0 x n +C n1 x n−1 +C n2 x n−2 + · · · +C nn

1.5

Phương trình, bất phương trình
chứa giá trị tuyệt đối

• |A| = |B | ⇔

• 2n = (1 + 1)n = C n0 +C n1 +C n2 + · · · +C nn

1.8

A=B
A = −B

• a α .a β = a α+β



 B ≥0
A=B
• |A| = B ⇔

A = −B

• |A| < B ⇔

•

•
•

A>B
A < −B

•

B⇔

•

A=B ⇔

•

A<

•

•

B⇔

= a α−β

β

α

aα = a β

a
aα
=
α
b
b

• a −α =

Phương trình, bất phương trình
chứa căn thức:
A=

aβ

α

• a α b α = (a.b)α

• |A| > |B | ⇔ A 2 > B 2 ⇔ (A − B ) (A + B ) > 0

1.6

aα

• (a α )β = a αβ

AA > −B

• |A| < |B | ⇔ A 2 < B 2 ⇔ (A − B ) (A + B ) < 0
• |A| > B ⇔

Lũy thừa

•

1.9

A ≥ 0 hoặc B ≥ 0
A=B

n

m

1
aα

n.m

ak =

k

a k = a n.m

Logarit

• loga N = M ⇔ N = a M

B ≥0
A = B2

• loga a M = M
• a loga N = N

A≥0
A
• N1 loga N2 = N2 loga N1


 A≥0
B >0
A
A < B2


B <0

A≥0

A>B ⇔

B ≥0
A > B2

• loga (N1 N2 ) = loga N1 + loga N2
• loga

N1
= loga N1 − loga N2
N2

• loga N α = αloga N
• loga α N =

2

1
loga N
α


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

• loga N =
• loga b =

1.10

logb N

• 1 + cot 2 x =

logb a
1
logb a

Phương trình, bất phương trình
logarit

1
sin2 x

1.14

Cung liên kết

1.14.1

Cung đối

• cos(−x) = cos x
• sin(−x) = − sin x


 0

f (x) > 0 hoặc g (x) > 0
• loga f (x) = loga g (x) ⇔


• tan(−x) = − tan x

f(x)=g(x)

• cot(−x) = − cot x



0

 f (x) > 0
• loga f (x) > loga g (x) ⇔
 g (x) > 0


 (a − 1) f (x) − g (x) > 0

1.14.2

Cung bù

• sin(π − x) = sin x
• cos(π − x) = − cos x

1.11

Phương trình, bất phương trình
mũ




• a f (x) = a g (x) ⇔ 


0f (x) = g (x)
a =1
f (x), g (x)có nghĩa

1.14.3



• a f (x) = a g (x) ⇔ 


• a f (x) > a g (x) ⇔

π
−x
2
π
• cos
−x

2
π
• tan
−x
2
π
• cot
−x
2

1.14.4

0f (x) = g (x)
a =1
f (x), g (x) có nghĩa

= cos x
= sin x
= cot x
= tan x

Hơn kém nhau π

• sin(π + x) = − sin x
• cos(π + x) = − cos x

a >0
(a − 1) f (x) − g (x) > 0

• tan(π + x) = tan x
• cot(π + x) = cot x

Công thức lượng giác cơ bản

1.14.5

• sin2 x + cos2 x = 1

Hơn kém nhau

π
+x
2
π
• cos
+x
2
π
• tan
+x
2
π
• cot
+x
2
• sin

sin x
• tan x =

cos x
cos x
• cot x =
sin x
• tan x. cot x = 1
• 1 + tan 2 x =

Cung phụ

• sin

Phương trình, bất phương trình
mũ


1.13

• cot(π − x) = − tan x

a >0
(a − 1) f (x) − g (x) > 0

• a f (x) > a g (x) ⇔

1.12

• tan(π − x) = − tan x

1
cos2 x

3

= cos x
= − sin x
= − cot x
= − tan x

π
2


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

1.15

Công thức cộng

1.19

• sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
• sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x

Công thức

Đặt t = tan

x
thì
2

• sin x =

2t
1+ t2

• cos x =

1− t2
1+ t2

• tan x =

2t
1− t2

• cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
• cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
• tan(x + y) =

tan x + tan y
1 − tan x tan y

• tan(x − y) =

tan x − tan y
1 + tan x tan y

1.16

Công thức nhân đôi

1.20

Công thức biến đổi

1.20.1

Tích thành tổng

• cos x. cos y =
• sin 2x = 2 sin x cos x
2

2

• cos 2x = cos x − sin x
= 2cos2 x − 1
= 1 − 2sin2 x
• tan 2x =

2 tan x
1 − tan2 x

1
cos(x − y) + cos(x + y)
2

• sin x. sin y =

1
cos(x − y) − cos(x + y)
2

• sin x. cos y =

1
sin(x − y) + sin(x + y)
2

1.20.2

Tổng thành tích

2

• cot 2α =

1.17

cot α − 1
2 cot α

• cos x + cos y = 2 cos

• cos x − cos y = −2 sin

Công thức hạ bậc

1 + cos 2x

• cos2 x =
2
• sin2 x =

1 − cos 2x
2
1 − cos 2α
1 + cos 2α

• tan2 α =

1.18

x+y
x−y
cos
2
2

Công thức nhân ba

• sin x + sin y = 2 sin

x+y
x−y
cos
2
2

• sin x − sin y = 2 cos

x+y
x−y
sin
2
2

• tan x + tan y =

sin(x + y)
cos x cos y

• tan x − tan y =

sin(x − y)
cos x cos y

• cot x + cot y =

sin(x + y)
sin x sin y

• cot x − cot y =

sin(x − y)
sin x sin y

• sin 3x = 3 sin x − 4sin3 x
3

• cos 3x = 4cos x − 3 cos x

x−y
x+y
sin
2
2

3 tan x − tan3 x
1 − 3 tan2 x

• sin x + cos x =

2 sin x +

π
=
4

3 cos x + cos 3x
• cos x =
4

• sin x − cos x =

2 sin x −

π
π
= − 2 cos x +

4
4

• tan 3x =
3

• sin3 x =

• 1 − sin 2x = (sin x − cos x)2

3 sin x − sin 3x
4

• 1 + sin 2x = (sin x + cos x)2

4

2 cos x −

π
4


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

1.21

Phương trình lượng giác

1.21.1

Phương trình cơ bản

1.22.3

Độ dài đường trung tuyến

• m a2 =

b2 + c 2 a2
−
2
4

• sin x = sin u ⇔

x = u + k2π
x = π − x + k2π

• m b2 =

a2 + c 2 b2
−
2
4

• cos x = cos u ⇔

x = u + k2π
x = −u + k2π

• m c2 =

a2 + b2 c 2
−
2
4

1.22.4

• tan x = tan u ⇔ x = u + kπ
• cot x = cot u ⇔ x = u + kπ

2bc cos
• la =

1.21.2

Công thức nghiệm thu gọn

• sin x = 1 ⇔ x =

Độ dài đường phân giác trong

b +c
2ac cos

π
+ k2π
2

• lb =

π
• sin x = −1 ⇔ x = − + k2π
2
• sin x = 0 ⇔ x = kπ

1.22.5

• cos x = 1 ⇔ x = k2π

a +b

Công thức tính diện tích tam giác

1
1
1
• S = bc. sin A = ab. sinC = ac. sin B
2
2
2

π
• cos x = 0 ⇔ x = + kπ
2

• S = p.r =

Hệ thức lượng trong tam giác

1.22.1

Định lý cosin

• S=

• a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
• b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
2

2

abc
4R

p(p − a)(p − b)(p − c)

1.23

Đạo hàm

1.23.1

Đạo hàm các hàm đơn giản

Giống "y xì" như vầy thì áp dụng các công thức này
còn lại thì áp dụng công thức của hàm hợp(^^).

2

• c = a + b − 2ab cosC

• (x α ) = α.x α−1

b2 + c 2 − a2
• cos A =
2bc

• ( x) =

a2 + c 2 − b2
• cos B =
2ac
• cosC =

C
2

1
1
1
• S = a.h a = b.h b = c.h c
2
2
2

• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

1.22

B
2

a +c
2ab cos

• lc =

A
2

•

a2 + b2 − c 2
2ab

1
x

1
2 x

=−

1
x2

• (sin x) = cos x

• (cos x) = − sin x

1.22.2

Định lý hàm số sin

• (tan x) =

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sinC

1
cos2 x

• (cot x) = −

5

1
sin2 x


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

• (e x ) = e x

•

sin xd x = − cos x +C

•

dx
= tan x +C
cos2 x

• (a x ) = a x ln a
• (ln x) =

1
x

•

1
• (loga x) =
x. ln a

1.23.2

• ( u) =

•

1

u

u
2 u

=−

u
u2

• (sin u) = u . cos u

sin2 x

•

1
sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) +C (a = 0)
a

•

e ax+b d x =

•

1
1
d x = ln |ax + b| +C
ax + b

a
dx
x2 − a

• (cos u) = −u . sin u

• (cot u) = −
u

• (e ) = u e

u

u
u

• (loga u) =

1.24

u
u. ln a

d x = x +C

•

x αd x =

•

e x d x = e x +C

•

ax d x =

•

cos xd x = sin x +C

= ln x +

x 2 + a +C

•

1
x −a
dx
=
ln
+C
x −b
(x − a) (x − b) a − b

1.25

Diện tích hình phẳng- Thể tích
vật thể tròn xoay

1.25.1

Công thức tính diện tích
f (x) − g (x) d x

S=
b

1.25.2

Công thức tính thể tích

• Hình phẳng quay quanh trục Ox
a

dx
= ln |x| +C
x
dx
1
= − +C
2
x
x

x 2 − a +C

a

x α+1
+C (α = 1)
α+1

•

= ln x +

x −a
dx
1
=
ln
+C
x 2 − a 2a
x +a

Nguyên hàm

•

•

x2 + a

1 ax+b
e
+C , (a = 0)
a

•

sin2 u

• (a u ) = u a u ln a
• (ln u) =

dx

•

u

1
sin(ax + b) +C (a = 0)
a

cos(ax + b)d x =

•

u
• (tan u) =
cos2 u

= − cot x +C

•

Đạo hàm hàm hợp

• (u α ) = α.u α−1 .u

dx

f 2 (x) − g 2 (x) d x

V =π
b

• Hình phẳng quay quanh trục O y :
a

f 2 (y) − g 2 (y) d y

V =π

ax
+C
ln a

b

6


Chương 2

Hình học
2.1

Hệ thức lượng trong tam giác

1. Cho

ABC vuông tại A , có đường cao AH .

• AB 2 + AC 2 = BC 2

ABC vuông tại A : S ABC =

•

ABC đều cạnh a : S ABC
AH =

• AB 2 = BC .B H , AC 2 = BC .C H
1
1
1
•
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

S ABC D = đáy × cao = AB.AD. sin B AD

3. Hình thoi ABC D
S ABC D =

• Định lí hàm số cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosC

1
AC .B D = AB.AD. sin B AD
2
1
2

4. Hình thang ABC D : S ABC D = (a + b) .h
5. Tứ giác ABC D có 2 đường chéo AC và B D vuông
góc nhau:

• Định lí hàm số sin
b
c
a
=
=
= 2R
sin A sin B sinC

S ABC D =

1
AC .B D
2

6. Hình chữ nhật S = a.b với a, b là độ dài hai cạnh.
Hình vuông cạnh S = a 2 với cạnh là a , đường
chéo hình vuông AC = a 2.

• Công thức độ dài trung tuyến
b2 + c 2 a2
−
2
4
2
2
a +c
b2
2
mb =
−
2
4
2
2
a +b
b2
2
mc =
−
2

4
m a2 =

2.3

Công thức thể tích

• Thể tích khối hộp chữ nhật

Các công thức tính diện tích

V = abc

1. Tam giác:

với a, b, c là 3 kích thước khối hộp

• Thể tích khối lập phương V = a 3

1
1
1
• S = a.h a = b.h b = c.h c
2
2
2
1
1
1
= bc sin A = ca. sin B = ab sinC

2
2
2
abc
=
4R
= pr
=

a 3
2

2. Hình bình hành ABC D :

2. Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a , b , c ; độ dài
các trung tuyến là m a , mb , mc ; bán kính đường
tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp
r ; nửa chu vi p .

2.2

1
AB.AC
2
a2 3
=
, đường cao
4

•

• Thể tích khối chóp
1
V = B.h
3

với B : diện tích đáy, h : chiều cao khối chóp
• Thể tích khối lăng trụ: V = B.h

p p −a p −b p −c

7


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

2.7

• Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Cho ba tia Ox , O y , Oz không đồng phẳng. Với bất
kì các điểm A , A trên Ox ; B , B trên O y ; C , C trên
Oz , ta đều có:

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm M (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng
∆ : ax + bx + c = 0:

VO ABC
O A OB OC

.
.
=
VO A B C
O A OB OC

2.4

d (M , ∆) =

Tọa độ của vectơ, tọa độ điểm

d (A, BC ) = AH

• Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = 1:
−−→
−kx B
MA
x M = x A1−k
=k ⇔M
y −k y
MB
y M = A1−k B

2.8

x A +x B
2
y A +y B
2

AX + B y +C
A2 + B 2

• Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC :

x + x B + xC

 xG = A
3
G
y + y B + yC

 yG = A
3

t1 =

Ax 1 + B y 1 +C
A2 + B 2

; t2 =

A x 2 + B y 2 +C
A 2 +B

2

• Hoặc áp dụng Định lý
"Tam giác

ABC có AD là đường phân giác
AB −−→
−−→
trong, D ∈ BC thì DB = −
DC ".
AC

x = x 0 + at
y = y 0 + bt

x − x0 y − y 0
=
a
b

2.9

• Phương trình đoạn chắn: ∆ qua A(a; 0); B (0; b)
x y
+ =1
a b

Đường tròn

• Phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán
kính R
(C ) : (x − a)2 + y − b

2.6

2

• Hai điểm M (x 1 ; y 1 ) và M (x 2 ; y 2 ) nằm khác phía so
với ∆⇔ t 1 .t 2 < 0: phân giác trong.

−
Vectơ chỉ phương →
u = (a; b), qua điểm M (x 0 ; y 0 )

∆:

A 2 +B

• Hai điểm M (x 1 ; y 1 ) và M (x 2 ; y 2 ) nằm cùng phía so
với ∆⇔ t 1 .t 2 > 0: phân giác ngoài.

• Phương trình tổng quát: ∆ : Ax + B y +C = 0
−
Vectơ pháp tuyến →
n = (A; B ); A 2 + B 2 = 0

• Phương trình chính tắc: ∆ :

A x + B y +C

• Khoảng cách đại số

Phương trình đường thẳng

• Phương trình tham số: ∆ :

=±

Xác định phương trình đường phân giác trong và
phân giác ngoài

−→
−→
• Cho tam giác ABC có AB = (a 1 ; a 2 ), AC = (b 1 ; b 2 )
⇒ S ∆ABC = 12 |a 1 b 2 − a 2 b 1 |

2.5

Phương trình đường phân giác

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai
đường thẳng d : Ax + B y + C = 0 và ∆ : A x + B y + C = 0
là:

• Điểm I là trung điểm của AB :
xI =
yI =

A2 + B 2

Nếu xét trong tam giác ABC thì khoảng cách từ A đến
BC bằng độ dài đường cao AH

−→
• AB = (x B − x A , y B − y A )

I

Ax 0 + B y 0 +C

2

= R2

Góc tạo bởi hai đường thẳng:
• Phương trình có dạng

Góc tạo bởi d : Ax +B y +C = 0 và ∆ : A x +B y +C = 0 là
ϕ xác định bởi
cos ϕ =

(C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2b y + c = 0

A.A + B.B
A2 + B 2.

2

A +B

Với a 2 + b 2 − c > 0 là phương trình đường tròn (C )
có tâm I (a; b) và bán kính R = a 2 + b 2 − c

2

8


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

2.10

−→
• AB = x B − x A , y B − y A , z B − z A

Elip

• Phương trình chính tắc Elip
(E ) :
2

2

với a = b + c

(x B − x A )2 + y B − y A

AB =

+ (z B − z A )2

• Tọa độ các điểm đặc biệt:

x2 y 2
+

=1
a2 b2

Tọa độ trung điểm I của AB :

2

I
• Tiêu điểm: F 1 (−c; 0), F 2 (c; 0)

x A + xB y A + y B z A + zB
,
,
2
2
2

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :

• Đỉnh trục lớn: A 1 (−a; 0), A 2 (a; 0)
• Đỉnh trục nhỏ: B 1 (0; −b), B 2 (0; b)
• Tâm sai: e =

2

G

c
<1
a

x A + x B + xC y A + y B + y C z A + z B + zC
,
,
3
3
3

• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc

a
• Phương trình đường chuẩn: x = ±
e

cả hai vectơ xác định bởi

• Bán kính qua tiêu điểm:

y1
y2

→
−
→, −
→
u= −
u
1 u2 =

z1

z1
,
z2
z2

x1
x1
,
x2
x2

z1
z2

M F 1 = a + ex M , M F 2 = a − ex M
• Một số tính chất của tích có hướng
• Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (E )

→
−
→
−
→
−
→
−
−
a và b cùng phương ⇔ →
a,b = 0
−→ −→

→
−
A, B,C thẳng hàng ⇔ AB , AC = 0

x0 x y 0 y
+ 2 =1
a2
b

→
−

−
−c đồng phẳng
Ba vectơ →
a, b,→

x2 y 2
• Điều kiện tiếp xúc của (E ) : 2 + 2 = 1 và
a
b
∆ : Ax + B y +C = 0 là: A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2

2.11

→
− −
→
−
a , b .→

c =0

Vectơ trong không gian

A, B,C , D không đồng phẳng

→= x , y , z , −
→
Cho các vectơ −
u
1
1 1 1 u 2 = x 2 , y 2 , z 2 và số k
tùy ý

 x1
→=−
→⇔
y
• −
u
u
1
2
 1
z1

=
=
=

−→ −→ −−→ →
−
AB , AC . AD = 0
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
a,b = →
a . b . sin →
a,b

x2
y2
z2

• Các ứng dụng của tích có hướng

→±−
→
• −
u
1 u2 = x1 ± x2 , y 1 ± y 2 , z1 ± z2

Diện tích hình bình hành:

→ = kx , k y , kz
• k−
u
1
1
1
1

S ABC D =

→.−
→
• Tích có hướng: −
u
1 u 2 = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2
−
→
−
→
−
→
−
→
u 1 ⊥ u 2 ⇔ u 1 .u 2 = 0 ⇔ x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2 = 0
→ =
• −
u
1

Diện tích tam giác: S ABC =

x 12 + y 12 + z 12

1
2

−→ −→
AB , AC

Thể tích khối hộp:

• Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ 0

◦

ϕ

180

◦

V ABC D.A B C D =
−
→.−
→
u
1 u2
cos ϕ = −
→ . −

→ =
u
u
1
2

−→ −−→
AB , AD

−→ −−→ −−→
AB , AD . A A

x1 x2 + y 1 y 2 + z1 z2
x 12 + y 12 + z 12 .

Thể tích tứ diện: V ABC D =

x 22 + y 22 + z 22

9

1
6

−→ −→ −−→
AB , AC . AD


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

2.12

Phương trình mặt phẳng
• d 1 song song d 2 ⇔

• Phương trình tổng quát (α): ax +b y +cz +d = 0 với
(a 2 + b 2 + c 2 = 0).
• Phương trình mặt phẳng (α) qua M x 0 , y 0 , z 0 và
−
có vectơ pháp tuyến →
n = (a, b, c)

2.12.1


−
→−
→ −−−−→

 u 1 , u 2 .M 1 M 2 = 0

−
 −
→, −
→ →
u
1 u2 = 0

→, −
→ −−−−→

u
• d 1 và d 2 chéo nhau ⇔ −
1 u 2 .M 1 M 2 = 0

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (α) qua
A(a, 0, 0); B (0, b, 0);C (0, 0, c)
x − x0 y − y 0 z − z0
+
+
= 1,
a
b
c


−−−→
→
−
 −
→, −
u
1 M1 M2 = 0

• d 1 và d 2 cắt nhau ⇔

(α) : a (x − x 0 ) + b y − y 0 + c (z − z 0 ) = 0

(α) :

 −

−
→−
→ →

 u1 , u2 = 0

2.14

với a, b, c = 0

Góc

• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α) có
vectơ pháp tuyến là −
n→
α , mặt phẳng β có vectơ
pháp tuyến −
n→
β , khi đó góc giữa (α) và β được

Vị trí tương đối hai mặt phẳng

tính bằng

Cho (α): a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 và β : a2 x + b2 y + c 2 z +

−→ −
→
−
→ = n α .n β

cos (α) , β = cos −
n→
,
n
α β
−
−
→
n→
α . nβ

d2 = 0
• (α) cắt β ⇔ a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2

• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng
→ và −
→, khi
d 1 và d 2 có các vectơ chỉ phương là −
u
u
1
2
đó góc giữa d1 và d 2 tính bằng

a1 b1 c1 d1
• (α) song song β ⇔
=
=
=
a2 b2 c2 d2

• (α) trùng β ⇔

a1 b1 c1 d1
=
=
=
a2 b2 c2 d2

−
→−
→
→, −
→ = u 1 .u 2
cos (d 1 , d 2 ) = cos −
u
u
2 2
−
→ . −
→
u
u
1
2

• (α) vuông góc β ⇔ a 1 a 2 + b 2 b 2 + c 1 c 2 = 0

2.13

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường

−
thẳng d có vectơ chỉ phương là →
u , mặt phẳng (α)
→
−
có vectơ pháp tuyến là n , khi đó góc giữa d và
(α) là ϕ được tính bằng

Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng d qua M0 x 0 , y 0 , z 0 và có vectơ chỉ
−
phương là →
u = (a, b, c). Khi đó:

→
−
−
u .→
n
sin ϕ = →
−
−
u . →
n

• Phương trình tham số của d

 x
y

d:

z

=
=
=

x0
y0
z0

+ at
+ bt
+ ct

2.15

• Khoảng cách từ điểm A x 0 , y 0 , z 0 tới
(α) : ax + b y + c z + d = 0 là

• Phương trình chính tắc của d (khi abc = 0)
d:

2.13.1

Khoảng cách

x − x0 y − y 0 z − z0
=

=
a
b
c

d (A, (α)) =

ax 0 + b y 0 + c z 0 + d
a2 + b2 + c 2

• Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua
−
M 0 và có vectơ chỉ phương →
u là

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

→,
Đường thẳng d 1 qua M1 và có vectơ chỉ phương là −
u
1
−
→
d 2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương là u 2 thì:

d (A, ∆) =

→
−
→, −

→
−
→ −−−−→
• d 1 trùng d 2 ⇔ −
u
1 u2 = u1 , M1 M2 = 0

10

−−−→ →
M M0 , −
u
→
−
u


Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ .ˆ )

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1
→;
và ∆2 biết ∆1 qua M1 và có vectơ chỉ phương −
u
1
→
∆2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương −
u
2

d (∆1 , ∆2 ) =

2.16.2


 x = x0 + t a1
y = y 0 + t a 2 và mặt
Cho đường thẳng d :

z = z0 + t a3
cầu (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 . Xét vị trí tương
đối của d và (S) ta dùng một trong hai cách:

−
→, −
→ −−−−→
u
1 u 2 .M 1 M 2
−
→, −
→
u
u
1

Vị trí tương đối đường thẳng và mặt
cầu

2

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và β song

song nhau là khoảng cách từ M0 ∈ (α) tới β .

1. Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗))
của d và (S), bằng cách lấy x, y, z từ phương trình
đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải
phương trình theo ẩn t

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song
song nhau là khoảng cách từ M1 ∈ ∆1 tới ∆2 .

• Phương trình (∗) vô nghiệm: d và (S) không

có điểm chung.

• Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng
(α) song song nhau là khoảng cách từ điểm M 0 ∈
d tới (α).

2.16

• Phương trình (∗) có 1 nghiệm: d tiếp xúc với
(S).
• Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: d cắt
(S) tại 2 điểm phân biệt.

Phương trình mặt cầu

2. So sánh khoảng cách d (I , d ) và R
• Mặt cầu tâm I (a, b, c), bán kính R có phương
• d (I , d ) > R : d và (S) không có điểm chung.

trình
2

2

2

(S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R

• d (I , d ) = R : d tiếp xúc với (S).

2

• d (I , d ) < R : d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểm d và (S) ta
dùng cách thứ 1.

• Phương trình x 2 + y 2 +z 2 −2ax −2b y −2cz +d = 0 có
a 2 + b 2 + c 2 > d là phương trình mặt cầu với tâm
I (a, b, c) bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .

2.16.3
2.16.1

Vị trí tương đối hai mặt cầu

Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 )

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt
phẳng

• I 1 I 2 < |R 1 − R 2 | ⇔ (S 1 ) , (S 2 ) trong nhau.

Cho (α) và S(I , R), khi đó nếu

• I 1 I 2 > |R 1 − R 2 | ⇔ (S 1 ) , (S 2 ) ngoài nhau.
• I 1 I 2 = |R 1 − R 2 | ⇔ (S 1 ) , (S 2 ) tiếp xúc trong.

• d (I , (α)) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu.

• I 1 I 2 = R 1 + R 2 ⇔ (S 1 ) , (S 2 ) tiếp xúc ngoài.

• d (I , (α)) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi đó

mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của mặt cầu. Tọa
độ tiếp điểm M0 là tọa độ hình chiếu vuông góc
của I xuống (α).

• |R 1 − R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 ⇔ (S 1 ) , (S 2 ) cắt nhau theo

một đường tròn.

• d (I , (α)) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một
đường tròn C (I , r ), còn gọi là đường tròn giao

tuyến, khi đó
Tâm I là tọa độ hình chiếu vuông góc của I
xuống mặt phẳng (α)

Bán kính r = R 2 − I I 2 .
11