Nâng cao thành tích học tập của học sinh gặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

An Giang, tháng 6 năm 2016

Trần Minh Hiếu

1


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Vui,
người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi có đủ niềm tin và nghị lực để
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn:
-

Ban giám hiệu, quý thầy cô trong khoa toán trường Đại học Sư phạm Huế đã tận

-

tình giảng dạy những kiến thức chuyên môn hết sức quý báu.
TS. Trần Kiêm Minh, TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc, TS. Nguyễn Thị Tân An,
TS. Nguyễn Thị Duyến đã có những lời khuyên, những bài giảng và tài liệu hết

-

sức quý báu liên quan đến đề tài.
Ban Giám đốc và các em học sinh trung tâm GDTX tỉnh An Giang đã tạo điều
kiện tốt trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm.

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẽ cùng tôi những buồn
vui và khó khăn trong quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.

An Giang, tháng 6 năm 2016

Trần Minh Hiếu

2


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GDTX

Giáo dục thường xuyên

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thong

SGK

Sách giáo khoa

3


MỤC LỤC

Chương 1
MỞ ĐẦU
1. Tầm quan trọng và cơ sở khoa học của đề tài
Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một cách cấp
bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Công cuộc đổi mới này đòi hỏi
phải có sự cải cách về hệ thống giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có
những tiếp cận mới về phương pháp giáo dục.
Việc dạy học toán hiện nay có nhiều sự đổi mới. Vài thập kỷ trước đây, việc học
các thuật toán, giải các phương trình, các bài tập ở sách giáo khoa thường là những bài
tập được giải quyết theo hướng áp dụng những kiến thức, những thuật toán vừa dạy
một cách máy móc. Giáo viên cố gắng để truyền tải kiến thức cho học sinh được quy
định trong sách giáo khoa, đánh giá học sinh học tập thông qua định nghĩa hoặc áp
dụng quy tắc một cách quy định (Amirali & Halai, 2010; Mohammad, 2002).
Mohammad (2002) báo cáo: " học tập Toán học chủ yếu là ghi nhớ các quy tắc cho các

4

giải pháp của các vấn đề sách giáo khoa. Học sinh ghi nhớ các quy tắc mà không hiểu
lý do tại sao họ đang làm bất kỳ về nó ".
Những hạn chế của các cách dạy truyền thống là gắn liền với việc dạy được định
hướng bởi giáo viên và kiến thức toán đã “làm sẵn” được trình bày cho các học sinh
mà các em lại không sẵn sàng để lĩnh hội các ý tưởng toán học đó (Shoenfeld, 1988).
Trong những hoàn cảnh này, học sinh dường như chỉ bắt chước các quy trình mà
không hiểu sâu sắc khái niệm. Khi kiến thức toán học hay những kỹ năng quy trình
được dạy trước khi học sinh khái niệm hóa được ý nghĩa của chúng, những kỹ năng tư
duy sáng tạo của học sinh dường như bị kìm hãm bởi cách dạy này. (Trần Vui, 2014)
Trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu giáo dục đã thừa nhận rằng việc
dạy học toán trong khu vực Đông Nam Á đang thay đổi một cách tích cực để bắt kịp xu
thế đổi mới phương pháp dạy học diễn ra mạnh mẽ ở nhiều nước trên thế giới. Giờ đây
việc dạy học toán không chỉ nhằm mục đích truyền đạt kiến thức nội dung môn học
cho HS mà còn để phát triển trí tuệ cho các em nói chung, hình thành ở các em những
phẩm chất tư duy cần thiết cùng với các kĩ năng sống cơ bản với chức năng là hoàn
thiện con người trong xã hội hiện đại, tạo ra được sự năng động và hòa nhập trong xã
hội.
Ở nước ta, mặc dù đã có nhiều nỗ lực trong việc cải tiến chương trình, sách giáo
khoa, phương pháp dạy học cùng với phương pháp đánh giá và bước đầu đã thu được
những thành tựu đáng kể. Song cũng phải thừa nhận rằng việc dạy học toán của chúng
ta vẫn còn nặng về kiến thức nội dung nhằm rèn luyện cho HS những kĩ năng giải toán
cơ bản chứ chưa chú trọng đúng mức đến việc phát triển tư duy cho các em cũng như
chưa hình thành ở các em năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn. HS có thói quen sử
dụng những thuật toán có sẵn để giải quyết các vấn đề toán học mà ít khi có những
bước đột phá trong cách suy nghĩ để tìm ra được cách giải quyết sáng tạo cho riêng
mình. HS cũng có thể làm được những bài toán khó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến
thức toán phức tạp nhưng khi gặp một bài toán trong thực tế thì các em lại tỏ ra lúng

5

túng không biết phải bắt đầu giải quyết như thế nào. Điều này có nguồn gốc sâu xa từ
cách dạy học của chúng ta. Mặc dù GV vẫn thực hiện theo phương châm “học đi đôi
với hành” nhưng do sự thiếu thốn về cơ sở vật chất cũng như các phương tiện dạy học
cùng với sự hạn chế của mình trong việc tiếp nhận những tiếp cận dạy học mới nên
trong thực tế GV vẫn chưa chú trọng đúng mức đến phần liên hệ thực tiễn trong các
thực hành dạy học của mình. HS chỉ biết đến toán học thông qua các con số cùng với
phép toán và những tiên đề, định lí, hệ quả, thuật toán... mà chưa hiểu được ý nghĩa của
các kiến thức toán học cũng như chưa thấy được mối liên hệ của chúng với thực tiễn.
Thực tế trên buộc chúng ta phải tìm kiếm những thực hành dạy học toán hiệu quả góp
phần phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn cũng như phát triển khả năng
tư duy toán học cho HS.
Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao. Vì vậy, các khái niệm là
nguồn gốc của những khó khăn, trở ngại đối với những học sinh yếu về toán, đa số
những học sinh này thậm chí không hiểu các khái niệm cơ bản về toán học.
Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán học.
Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diên. Việc không nắm vững nội hàm và ngoại
diên của một khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu nhầm
bản chất của khái niệm. Từ đó, các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác, nhiều
khái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm trước đó. Việc
học sinh không nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và hiểu nhầm khái
niệm khác. Mối quan hệ giữa các khái niệm trong toán học có tính liên kết lôgic. Nhiều
khái niệm khó trong toán học mới được đưa vào chương trình THPT như: vectơ, biến
hình, nguyên hàm, tích phân…Nếu chúng ta không kịp thời có những cố gắng hoàn
thiện mới về phương pháp giảng dạy các khái niệm thì học sinh sẽ rất khó khăn trong
việc lĩnh hội các khái niệm đó.
Nếu các GV toán ở trường THPT nắm bắt được các hiểu nhầm khái niệm phổ
biến của học sinh khi giải toán, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp

6


dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa các hiểu nhầm này thì năng lực giải toán của
học sinh sẽ được nâng cao hơn, từ đó chất lượng giáo dục toán học sẽ tốt hơn.
Phần lớn giáo viên phổ thông dạy phần khái niệm toán học còn nặng tính thuyết
trình chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh khả năng tự tiếp cận kiến thức, khả năng
nhận dạng và thể hiện khái niệm. Một bộ phận không nhỏ học sinh không nắm được
bản chất của khái niệm toán học, có những học sinh có thể học thuộc lòng một khái
niệm toán học nhưng không hiểu bản chất của khái niệm đó là gì. Điều này khiến các
em nhìn nhận đối tượng theo một khía cạnh đơn giản và phiến diện, không đầy đủ bản
chất nên thường gặp khó khăn khi giải đối diện với một bài toán.
Việc học khái niệm toán của học sinh không thể tránh khỏi những hiểu nhầm,
do đó nghiên cứu đề tìm ra những phương án giảm thiểu những hiểu nhầm đó là rất cần
thiết. Tuy nhiên, làm thế nào để giúp các em vượt qua những khó khăn do hiểu nhầm
khái niệm và học toán tốt hơn? Có lẽ đây là điều mà bất kì giáo viên dạy toán nào cũng
quan tâm và cố gắng thực hiện. Bởi nó còn là trách nhiệm của nhà giáo trên con đường
thiết kế và phát triển môi trường học tập nhằm nâng cao chất lượng học toán cho HS.
Để giải quyết vấn đề này, trước hết, người giáo viên cần ý thức được những khó khăn
do hiểu nhầm khái niệm của các em trong quá trình học toán. Trên cở sở đó giáo viên
đề xuất một số biện pháp nhằm hạn chế phần nào những hiểu nhầm và khó khăn của
HS hay mắc phải. Bằng cách đó, chắc rằng việc học của các em sẽ đạt hiệu quả hơn, tư
duy toán học sẽ được cải thiện và không ngừng nâng cao. Từ đó đem lại cho các em
niềm say mê, hứng thú với môn toán và có thể giải quyết tốt các vấn đề trong cuộc
sống.
Với những lí do cơ bản trên chúng tôi chọn “Nâng cao thành tích học tập của học
sinh gặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số” làm đề tài nghiên cứu của
luận văn này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu những khó khăn của HS trong quá trình học toán;

7


Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho
học sinh, giúp học sinh vượt qua khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số.
Nghiên cứu các giải pháp vận dụng quan điểm dạy học kiến tạo nhằm góp phần
nâng cao thành tích học tập cho học sinh.
3. Các câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với hai
câu hỏi nghiên cứu sau:
1.

Học sinh gặp những khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số như thế

2.

nào?
Thực hiện những giải pháp nào để nâng cao thành tích học tập của học sinh
gặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số?

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận
•
•

Sử dụng phương pháp phân tích – tổng hợp tài liệu;
Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
•

•
•

Phương pháp quan sát sư phạm;
Phương pháp điều tra, phỏng vấn;
Phương pháp dạy thực nghiệm.

Thực nghiệm sư phạm
•
•
•

Sử dụng bảng hỏi;
Đề kiểm tra;
Phiếu thăm dò ý kiến.

5. Đối tượng và phạm vi tham gia
Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm:
•

Người nghiên cứu;
8


•
•

Giáo viên dạy toán;
Học sinh lớp 10 Trung tâm Giáo dục thường xuyên An Giang.

6. Ý nghĩa của nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu của luận văn được mong đợi sẽ góp phần:
• Làm rõ các nguyên nhân mà học sinh gặp khó khăn trong học toán do hiểu
nhầm khái niệm trong đại số.
• Cho thấy vai trò quan trọng của giáo viên trong việc tổ chức và thúc đẩy quá
trình học toán của học sinh.
• Đóng góp vào các nghiên cứu về vấn đề các giải pháp nâng cao chất lượng dạy
học.
• Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh năng
lực vận dụng kiến thức toán để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
được trình bày trong năm chương:
Chương 1. Mở đầu
Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan
Chương 3: Thiết kế và công cụ nghiên cứu
Chương 4: Các kết quả nghiên cứu
Chương 5: Kết luận, lý giải và vận dụng

9


Kết luận chương 1.
Trong chương này chúng tôi đã trình bày mục tiêu và ý nghĩa của đề tài: “Nâng cao
thành tích học tập của học sinh gặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số”.
Đồng thời, chúng tôi cũng phát biểu hai câu hỏi nghiên cứu. Chúng tôi sẽ trình bày nền
tảng lý thuyết làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương tiếp theo.

Chương 2
NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN

1. Dạy học khái niệm toán học
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa
1.1.1. Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng (Nguyễn Bá
Kim, 2015). Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện:
ngoại diên: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm.
nội hàm: là toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này.
Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ có tính quy luật: nội hàm càng
được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Ví dụ, nếu mở rộng nội hàm
của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một góc

10


vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thật sự của lớp các hình
bình hành.
Khái niệm về một quan hệ cũng là một trường hợp riêng của khái niệm về một
đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt giữa khái niệm về đối tượng với khái
niệm về quan hệ lại là cần thiết dưới góc độ sư phạm, nhất là trong tình hình học sinh
còn mơ hồ về khái niệm quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương
trình hệ quả” như là nói về một phương trình, hoặc phát biểu: “Tiếp tuyến là một
đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn”.
1.1.2. Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng
xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của
khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới
(biểu thị khái niệm mới)

(Những) Từ chỉ miền đối
tượng đã biết (loại)

Tân từ
(diễn tả khác biệt về
chủng)

Ví dụ: Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình
chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó. Nói
chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩa
cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Hình vuông, ngoài định nghĩa đã nêu
trong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một cách khác, chẳng hạn: Hình
vuông là một hình thoi có một góc vuông.

11


Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm được định
nghĩa theo một cách nào đó hay không, người ta thường quam tâm những thuộc tính
của đối tượng đó: những thuộc tính nào được nêu trong định nghĩa khái niệm đang xét
thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không được nêu trong
định nghĩa thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét.
1.1.3. Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa một khái niệm mới dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết. Nếu
hiểu “đã biết” là “đã được định nghĩa” thì trong trường hợp ví dụ về hình vuông đã nêu
ở trên, quá trình định nghĩa còn phải tiếp tục. Để định nghĩa hình vuông ta cần định
nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành…
Tuy nhiên, quá trình trên không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có những khái niệm

không định nghĩa, được thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên
thủy, chẳng hạn, người ta có thể thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những
khái niệm nguyên thủy.
Bên cạnh những khái niệm không định nghĩa, ở trường phổ thông còn có một số
khái niệm khác cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể
được định nghĩa trong Toán học.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, dù là những
khái niệm nguyên thủy hay vì lí do sư phạm, cần mô tả, giải thích thông qua những ví
dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách
trực giác.
1.2. Vai trò của khái niệm
Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy. Khái niệm
vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát triển của toán học.

12


Hình thành khái niệm toán học cho HS là một trong những nhiệm vụ mấu chốt
của dạy học toán ở trường phổ thông. Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học
bất cứ một môn khoa học nào khác ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình
thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn
bộ kiến thức toán học, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các
kiến thức đã học. Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí
tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức
đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm toán học).
1.3. Nhiệm vụ dạy học khái niệm
Nhiệm vụ của dạy học khái niệm bao gồm: Dạy học tiếp cận khái niệm, củng cố
khái niệm.
 Dạy học tiếp cận khái niệm

Trong dạy học, người ta thường phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:
-

Con đường suy diễn.

-

Con đường quy nạp.

-

Con đường kiến thiết.

 Những hoạt động củng cố khái niệm.

Củng cố khái niệm thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm;
- Hoạt động ngôn ngữ;
- Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học.
1.4. Yêu cầu dạy học khái niệm
Việc dạy học khái niệm toán ở trường trung học phổ thông phải làm cho học
sinh từng bước đạt được các yêu cầu sau:

13


a) Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
b) Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem đối tượng cho trước có
thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm,
nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.

c) Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm.
d) Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải
toán và ứng dụng vào thực tiễn
e) Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với
những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
2. Khó khăn trong học toán do hiểu nhầm khái niệm
Một trong những kết quả nghiên cứu quan trọng về giáo dục toán đã khẳng định:
Học sinh không ngừng “phát minh” ra những qui tắc để giải thích các “dạng mẫu” mà
các em thường xuyên phát hiện ra chung quanh mình (Askew và Wiliam, 1995). Có
nhiều qui tắc được phát minh là đúng, nhưng chúng chỉ áp dụng được trong một phạm
vi hạn hẹp nào đó mà thôi. Khi học sinh sử dụng các qui tắc sai, hay các qui tắc đúng
nhưng vượt ra khỏi phạm vi áp dụng một cách có hệ thống, thì các em sẽ tạo nên một
hiểu nhầm khái niệm.
Ví dụ:
Khi nhân một số với 10, học sinh sẽ phát hiện ra quy tắc tính nhanh kết quả có
được bằng cách thêm số 0 vào số đã cho: 15 × 10 = 150. Nhưng điều gì sẽ xảy ra đối
với qui tắc này và việc hiểu của học sinh khi yêu cầu các em nhân số thập phân hay
phân số với 10.
Khi nhân với số thập phân: 1,5 × 10 = 15, quy tắc đó không còn đúng nữa. Có
thể học sinh sẽ phát hiện ra quy tắc chuyển dấu thập phân sang bên phải một hàng. Nếu
nhân với phân số: , khi đó học sinh sẽ phát hiện ra qui tắc khác.
Askew và Wiliam (1995) đã lưu ý rằng:
14


Chúng ta thường tránh cho học sinh tạo ra các hiểu nhầm khái niệm. Điều đó
không thể thực hiện được. Vì học sinh trong quá trình học toán sẽ sáng tạo ra
các tổng quát hóa không đúng và nhiều hiểu nhầm khái niệm như thế này sẽ
hình thành dưới dạng tiềm ẩn. Để vượt qua những hiểu nhầm khái niệm này,
người giáo viên cần có những nỗ lực cụ thể để giúp học sinh điều chỉnh và hiểu

đúng khái niệm.
Như là hệ quả, một “hiểu nhầm khái niệm” không phải tư duy sai mà là một
khái niệm được tổng quát hóa trong bối cảnh cục bộ mà học sinh đưa ra. Thực ra đó là
một giai đoạn tự nhiên của phát triển khái niệm.
2.1. Hiểu nhầm khái niệm
Một trong các vấn đề dẫn đến những khó khăn trong học toán đó là “hiểu nhầm
khái niệm” Theo từ điển Encarta: một hiểu nhầm khái niệm là “một ý tưởng hay quan
niệm bị nhầm xảy ra do hiểu sai một điều gì đó.” Theo quan điểm giáo dục chúng tôi
thừa nhận định nghĩa sau đây (Pines, 1985):
Một số khái niệm thu được bởi học sinh có thể không phù hợp trong một bối
cảnh cục bộ nhất định, đó là “hiểu nhầm khái niệm”. Một hiểu nhầm khái niệm
không tồn tại độc lập, mà phụ thuộc vào một khung khái niệm đang có của
người học. Những hiểu nhầm khái niệm có thể thay đổi hay biến mất khi khung
khái niệm thay đổi.
Làm thay đổi “khung khái niệm” của học sinh là một trong những mục đích
chính của việc điều chỉnh các hiểu nhầm khái niệm toán học. Thường thì khó thành
công khi thông báo hay giải thích cho học sinh về một hiểu nhầm khái niệm, mà hiểu
nhầm khái niệm chỉ có thể được thay đổi thông qua hệ thống các hiểu biết về toán của
học sinh và bởi nhận thức của chính các em.
Theo một quan điểm khác về hiểu nhầm khái niệm, chúng ta có thể nói rằng học
sinh không đến lớp như “những tờ giấy trắng” (Resnick, 1983). Các em đến trường với

15


những lý thuyết không chính thức được kiến tạo từ các kinh nghiệm hàng ngày. nhưng
chúng thường là các mệnh đề đúng một phần và không hoàn chỉnh. Chúng là các hiểu
nhầm khái niệm.
Trong phần này, chúng tôi xem xét một số hiểu nhầm khái niệm toán học của
học sinh, cụ thể là những hiểu nhầm có ảnh hưởng đến tư duy đại số. Các hiểu nhầm

khái niệm sẽ gây nên những tư duy toán học không đúng, không chính xác và bị lỗi.
Những điều đó gây nên hạn chế cho học sinh trong việc nắm bắt toán học từ những
khái niệm cơ bản nhất.
Theo nhiều nghiên cứu, một khi các hiểu nhầm khái niệm đã khắc sâu vào trí
nhớ của học sinh, chúng rất khó bị xóa đi. Các nghiên cứu (Champagne, Gunstone, &
Klopfer, 1983; Osborne & Wittrock, 1983) về khái niệm toán của học sinh đã chỉ ra
rằng:
1. Trước khi học chính thức, con người thường mang trong mình các hệ thống
khái niệm có tính mô tả để giải thích về các hiện tượng toán học và khoa học, đó chính
là các hệ thống niềm tin.
2. Các hệ thống niềm tin này khác với những gì được đưa vào chương trình
chuẩn ở nhà trường.
3. Một số điểm nổi bật trong hệ thống các niềm tin này chỉ ra sự nhất quán theo
lứa tuổi, khả năng và quốc gia.
4. Hệ thống các niềm tin này là khó thay đổi thông qua cách dạy học truyền
thống.
Ngoài ra, nghiên cứu này cũng cho rằng việc lặp lại hay cố gắng làm cho một
khái niệm rõ ràng hơn sẽ không giúp ích đối với những học sinh mà suy luận của các
em dựa chủ yếu vào các hiểu nhầm khái niệm đã tiếp nhận. Học sinh thường gắn mình
một cách cảm xúc và trí tuệ với các hiểu nhầm khái niệm, một phần bởi vì các em đã
tích cực kiến tạo nên chúng, và một phần chúng đưa ra những phương pháp có sẵn để
giải nhiều dạng bài toán.

16


Điều quan trọng là giáo viên phải nhận ra các hiểu nhầm khái niệm của học sinh
và hướng dẫn các em điều chỉnh, tháo bỏ thông qua kiến tạo lại các khái niệm đó.
2.2. Các hiểu nhầm khái niệm trong đại số
Trong phần này chúng tôi chỉ trình bày một số hiểu nhầm khái niệm trong đại số

mà học sinh lớp 10 thường gặp phải. Nhiều hiểu nhầm khái niệm xuất hiện trong đại số
là xuất xứ từ các hiểu nhầm khái niệm trong số học.
1. Số học

Phương trình dạng -4 + x = -10 gây khó khăn cho học sinh ở giai đoạn ban đầu
học về số âm. Trong đại số, có nhiều bài toán giải phương trình mà thiếu sự hiểu
biết hay hiểu nhầm khái niệm là nguyên nhân của khó khăn trong học toán.
2. Ý nghĩa về số
Học sinh không hiểu thấu đáo về sự khác biệt giữa số hữu tỉ và số vô tỉ. Một số
học sinh nghĩ rằng là số vô tỉ, và nhiều em nghĩ rằng số thập phân tuần hoàn
như là số vô tỉ.
3. Chính xác và gần đúng
Nếu chúng ta tính toán bằng máy tính cầm tay nhiều học sinh sẽ cho rằng đáp
số này là chính xác. Tương tự tính là 0,142857142857 sẽ được lý giải là chính
xác. Hiểu nhầm khái niệm này có thể nảy sinh do việc sử dụng nhiều máy tính
cầm tay trong học toán hay là cách dạy không phù hợp về ý nghĩa của số tạo ra
bởi máy tính.
4. Phân số
Với hầu hết các kiến thức toán phổ thông, những hiểu nhầm khái niệm về phân
số sẽ dẫn đến nhiều khó khăn của học sinh.
Ví dụ: Khử số hạng không đúng trong biểu thức .
Làm việc với các tử số và mẫu số lớn thay vì rút gọn trước khi tính toán.
Thay vì khử các thừa số chung như:

17


Điều này dễ dẫn đến các sai sót trong tính toán nhiều hơn. Quan trọng hơn là
học sinh đã không thấy được các số như là các tích trong số học, điều đó gây
khó khăn cho các em khi làm việc với các biểu thức đại số.

5. Độ lớn đối với số âm
Ví dụ, số nào lớn hơn, -8 hay -5? Vấn đề ở đây là học sinh đã thừa nhận “lớn”
theo nghĩa như thế nào. Một số giáo viên phạm sai lầm khi sử dụng các mệnh đề
như: “giá trị âm lớn hơn”. Điều đó gây nhầm lẫn cho nhiều học sinh.
6. Thứ tự của các phép toán
Có lẻ đây là hiểu nhầm khái niệm thường gặp nhất.
a. Nhiều học sinh tính 4 + 3x2 =7x2, hoặc 4 + 3x = 7x.
b. Học sinh thường dùng sai qui tắc phân phối. Chúng ta có thể thấy x2 – 2(x –
3) được viết thành x2 – 2x – 6.
7. Lũy thừa
Học sinh gặp khó khăn với sự ưu tiên thứ tự của các phép toán.
a. Nhiều học sinh sẽ tính sai là – 42 = 16.
b. Tính 16(–1/4). Các đáp số của học sinh được ghi lại có thể là –2 hoặc 2 thay vì
đáp số đúng là .
c. a × a × a có giống với 3a hay không? Tương tự a3 có giống với a × 3 hay
không? Một số học sinh không nắm chắc ý nghĩa toán học đúng đắn cho các
ký hiệu khác nhau. Điều này một phần do lỗi là có nhiều biểu diễn khác nhau
cho cùng một đối tượng toán học. Một phần là các hiểu nhầm khái niệm do
không hiểu đầy đủ và không thực hiện đúng các phép toán.
8. Định nghĩa căn số bậc hai
Nhiều học sinh gặp khó khăn với một định nghĩa đúng.

Tổng quát hơn, học sinh sẽ gặp khó khăn với:

Hay tổng quát hơn nữa là học sinh sẽ gặp khó khăn khi định nghĩa một đối
tượng được phân chia theo trường hợp.
Ví dụ: . Nhiều học sinh đưa ra đáp số là – 8. Trong trường hợp tổng quát hơn,
nhiều học sinh hay viết thay vì viết đúng là .
9. Căn số bậc hai với các tổng
18

Một lỗi tiêu biểu nhiều học sinh gặp phải khi viết:

10. Rút gọn các biểu thức đại số

Học sinh áp dụng các qui tắc không đúng ở những dạng khác nhau để thực hiện
các bài toán rút gọn.
a. Khi rút gọn biểu thức hữu tỉ như , học sinh thường nghĩ biểu thức này rút
gọn về 2,
b. Khi khai triển bình phương các đa thức, nhiều học sinh tính (x +3)2 là x2 + 9,

và đôi khi tệ hơn là x2 + 6.
c. Tổng quát hơn, chúng ta thường thấy (a + b)n = an + bn.
d. Đặt thừa số chung. Nhiều học sinh không thấy được thừa số chung trong một
biểu thức như: 2 × 3 × 4 × 25 + 5. Điều đó làm cho các em gặp khó khăn để
nhận ra thừa số chung trong 2x2y3 + 3x.
11. Sử dụng định nghĩa của hàm giá trị tuyệt đối
Định nghĩa:
thường làm cho học sinh ngập ngừng khi làm toán. Các em hiểu được ý tưởng
của giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên, ở đây ký hiệu toán học đã gây nên khó khăn cho
học sinh. Điều quan trọng là học sinh cần phải sử dụng định nghĩa này để giải
những bài toán khác nhau. Đặc biệt là đối với những bài toán bất phương trình.
12. Phương trình

Học sinh gặp khó khăn khi giải những loại bài toán về phương trình. Các bài
toán phương trình gây khó khăn nhiều nhất có liên quan đến quy tắc biến đổi.
Ví dụ: Giải phương trình
3x 3 − 6 x 2 − 9 x = 9( x 2 − 2 x − 3) (*)
(*) ⇔ 3 x( x 2 − 2 x − 3) = 9( x 2 − 2 x − 3)

⇔ 3x = 9
⇔ x=3

13. Bất phương trình

19


Học sinh gặp khó khăn khi giải những loại bài toán về bất phương trình. Các bài
toán bất phương trình gây khó khăn nhiều nhất có liên quan đến bình phương,
căn bậc hai, giá trị tuyệt đối.
a. Giải x2 – 8 > 0.
b. Giải

Học sinh cần có kỹ năng cơ bản về phân tích thành thừa số và các số hạng thực
sự có ý nghĩa như thế nào.
Trong ví dụ thứ nhất , một trong những quy trình là phân tích ra thừa số
( x − 8)( x + 8)

. Sau đó, chú ý tích số là dương khi và chỉ khi cả hai cùng dương

hoặc cùng âm. Chúng ta giải

x− 8 >0

từng số hạng âm. Chúng ta có thể viết

và

x+ 8 >0

x2 > 8

. Một cách giải nữa là cho

và lấy căn bâc hai. Trong trường
x−7 > 6

hợp này, học sinh phải lấy cả hai căn. Trong ví dụ thứ hai, giải

yêu

cầu học sinh phải biết khá nhiều về định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
14. Tính chất số mũ

Học sinh không chắc chắn với số mũ âm và phân số của số mũ.
Học sinh gặp khó khăn với việc đơn giản hóa một cách chính xác
am
, a m .a − n , a − m .a − n
−n
a
15. Hàm mũ

Học sinh không làm tốt với số mũ. Một khi quan niệm sai lầm lấy căn, chúng
trở nên khó khăn để loại bỏ.
a. Ví dụ: Học sinh thường tuyến tính hóa quy tắc số mũ chẳng hạn như viết
e a +b = ea + eb

20

b. Tương tự, chúng ta thường thấy

e ab = e a eb

16. Hàm số

Tìm tập xác định của hàm hữu tỉ khi một nhân tử chung là có mặt tử số và mẫu
số.
f ( x) =

Ví dụ Tìm tập xác định của hàm số
Rõ ràng, tập xác định là

x−3
x − 4x + 3
2

{ x | x ≠ 3, x ≠ 1}

Học sinh có khuynh hướng giản ước nhân tử chung và làm việc với những gì
còn lại.
2.3 Một số hiểu nhầm khái niệm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình
Để có cơ sở cho việc phân tích các hiểu nhầm khái niệm thường gặp của học
sinh trong chương trình đại số phổ thông và nêu những hướng khắc phục sau đây tôi
xin trình bày một kết quả nghiên cứu của nhóm tác giả Bradis, Minkovskii và
Kharcheva (2006). Những hiểu nhầm khái niệm đưa đến những kết luận thật vô lí
khiến các em lúng túng, hoài nghi và cũng từ đó các em sẽ nhận ra do hiểu nhầm khái
niệm.

Giải phương trình:

x +x = 2

(1)

Một cách nhanh chóng và tự tin, học sinh viết lời giải như sau:

21


x +x =2
⇔ x = 2− x
⇔ x = (2 − x)2
⇔ x = 4 − 4x + x2
⇔ x2 − 5x + 4 = 0
x = 4
⇔ 1
 x2 = 1

HS nghi ngờ việc biến đổi của mình nên thay giá trị của x 1 vào phương trình (1) và
nhận thấy một điều vô lí: 6 = 2?
Phân tích: HS đã quên rằng việc giải phương trình vô tỉ có thể làm xuất hiện những
nghiệm ngoại lai. Để giải thích rõ điều này, ta sẽ trả lời 2 câu hỏi:
(1) Tại sao xuất hiện nghiệm ngoại lai?
(2) Với phương trình nào thì nó là một nghiệm?

f (x) = 0
Ta chuyển đổi phương trình (1) thành dạng

và nhân 2 vế với một lượng nhân

để biến vế trái thành bình phương của 2 hàm biểu diễn khác nhau. Như vậy, phương
x − (2 − x) = 0

trình (1) có dạng:

Nhân 2 vế bởi nhân tử

(*)
f1(x) = x + (2 − x)

x − (2 − x)2 = 0
Khi đó, ta có:

hay

trên, có nghiệm bằng 4, như vậy

x2 − 5x + 4 = 0

x=4

là phương trình đã biến đổi được ở

là nghiệm ngoại lai của phương trình (1), chính

22

là kết quả của việc nhân 2 vế của phương trình (*) với
f1(4) =

f1(x)

, thật vậy, vì ta có

4 + (2 − 4) = 2 − 2 = 0

Cách giải của HS dĩ nhiên là tương tự với cách giải ở đây nhưng ý nghĩa sau cùng là số
nhân tạo ra nghiệm ngoại lai đã được tách ra để thấy rõ ràng hơn. Các em sẽ hiểu rõ
vấn đề vì sao có nghiệm

x=4

không thỏa phương trình đầu.

3. Các nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn
trong học toán
3.1. Xây dựng môi trường học tập
Giáo viên nên tạo một môi trường học tập thân thiện, tích cực, khuyến khích học
sinh mạnh dạn tham gia các hoạt động học tập, tự tin không chỉ trả lời các câu hỏi của
giáo viên mà còn nêu thắc mắc và trình bày ý kiến của mình.
Luôn giữ thái độ bình tĩnh trong mọi tình huống; tôn trọng ý kiến học sinh, biết
tổ chức các hoạt động để học sinh chủ động phối hợp giữa làm việc cá nhân và nhóm
tạo không khí thi đua lành mạnh trong lớp học.
3.2. Học sinh học bằng cách kiến tạo tri thức
Nhiều nghiên cứu cả trong giáo dục và tâm lý đã đưa đến giả thuyết rằng học
sinh học bằng cách xây dựng kiến thức cho mình mà không phải tiếp thu thông tin một
cách thụ động (Resnick, 1987; Von Glaserfeld, 1987). Bất kể là người thầy giáo hay

một cuốn sách nào đó cung cấp cho các em một lượng thông tin rõ ràng, rành mạch
như thế nào đi nữa thì HS sẽ chỉ hiểu những tài liệu học tập đó sau khi các em đã kiến
tạo cho riêng mình ý nghĩa về những gì đang học.

23


Ở hội nghị quốc tế lần thứ 60 về Giáo dục Toán tổ chức tại Budapest năm 1988,
Steen (1989) đã đề xuất “…Giáo viên thường hành động như thể tâm trí của mỗi HS là
một tấm bảng trắng hay một cái đĩa mềm còn trống mà kết quả trên đó là GV có thể ghi
bất cứ thông tin gì họ muốn. Nghiên cứu về khoa học nhận thức nhìn nhận theo một
cách khác rằng mỗi HS mang đến trường học một tập hợp rất phong phú về những kinh
nghiệm toán học đã có, những kinh nghiệm này tạo ra một cấu trúc trí tuệ riêng mà
trong đó mỗi HS sẽ tạo ra những mô hình mới bắt nguồn từ những kinh nghiệm mới.
Việc học diễn ra không phải trong hoạt động của sự nhớ lại mà trong sự phát triển dần
dần của cấu trúc trí tuệ duy nhất trong mỗi cá nhân. Nói cách khác, HS học bằng cách
điều chỉnh, sửa đổi “chương trình” của tâm trí mình chứ không phải bằng cách lưu trữ
dữ liệu mới vào “bộ nhớ” của tâm trí mình”.
Như vậy theo quan điểm lý thuyết kiến tạo, mỗi người giáo viên cần phải nhận
thức được rằng HS đến lớp không phải như một chiếc “bảng trắng”, một cái “đĩa
trống” hay môt cái “hộp rỗng” đang đợi để được làm đầy, thay vào đó, HS đến lớp để
được tiếp cận những hoạt động học cùng với tri thức mang ý nghĩa đã có từ trước. Khi
học một vài điều mới, HS sẽ hiểu ý nghĩa thông tin mới dựa trên kiến thức có trước của
mình, kiến tạo cách hiểu riêng cho mình bằng cách liên kết thông tin mới với những gì
các em đã tin. HS có xu hướng chấp nhận những tri thức mới chỉ khi những tri thức cũ
của các em không còn hoạt động hoặc tỏ ra là không còn hiệu quả cho những mục đích
mà các em cho là quan trọng.
Để kết quả học tập tốt đòi hỏi giáo viên phải áp dụng một tầm nhìn toàn diện
của triết lý giáo dục và thực hành những tiền đề trên lý thuyết kiến tạo trong đó nhấn
mạnh vai trò lấy người học làm trung tâm trong quá trình học tập (Fosnot, 2005).

Các nhà giáo dục Toán theo quan điểm kiến tạo khẳng định rằng bằng cách xây
dựng trên những kiến thức đã kiến tạo đươc, HS có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm
và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư

24


duy phê phán, nó cho phép HS kiến tạo tích cực được khái niệm theo nhiều cách khác
nhau. Khi đó, HS có thể trình bày khái niệm được xây dựng.
3.3. Giáo viên nên quan tâm đến những khó khăn học sinh có thể gặp khi hiểu các
khái niệm.
Như chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên
những bình diện khác nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng
hóa những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự
trừu tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được trước đó. Điều này gây ra nhiều khó
khăn cho HS trong việc hình dung và hiểu các khái niệm một cách trực giác.
Một vài nghiên cứu cho thấy mặc dù học sinh có thể trả lời chính xác một số câu
hỏi trong các bài kiểm tra, các bài trắc nghiệm, có thể thiết lập được các phép toán một
cách chính xác nhưng các em vẫn còn hiểu nhầm về các ý tưởng và khái niệm cơ bản.
Học sinh có thể hiểu nhưng không có khả năng chuyển sự hiểu biết đó của mình vào
những bài toán mang nhiều nội dung thực tế hơn.
3.4. Việc học sẽ được cải tiến nếu học sinh nhận thức được và đương đầu với
những hiểu nhầm khái niệm của mình
Các nhà kiến tạo cho rằng HS học toán tốt nhất khi các em được đặt trong một
môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về toán
theo cách riêng của mình. Với ý nghĩa này, thách thức đặt ra trong việc dạy học toán là
tạo ra được những hoạt động thực nghiệm thu hút được HS tham gia và động viên,
khuyến khích các em giải thích, đánh giá, trao đổi và áp dụng các mô hình toán học cần
thiết nhằm làm cho những kinh nghiệm này có ý nghĩa.
Học sinh sẽ học tốt hơn khi các hoạt động được xây dựng nhằm giúp các em

đánh giá, xác minh sự khác biệt giữa những niềm tin của mỗi cá nhân đối với tri thức
và những kết quả thực nghiệm có thật. Nếu HS được yêu cầu phỏng đoán hoặc dự báo
25