Bài tập hình học 9 ôn thi vào lớp 10

Bài 1 : Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE . Đường thẳng DE cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N .
a) Chứng minh : tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp
·
DEA

·ACB

b) Chứng minh :
=
c) Chứng minh : DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh : OA là
phân giác của
e) Chứng minh :

·
MAN
AM 2 = AE. AB

Bài 2 : Cho (O) đường kính AC trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’
, đường kính BC . Gọi M là trung điểm của AB . Từ M vẽ dây cung DE vuông góc
với AB ; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I .
a)
b)
c)
d)

Tứ giác ADBE là hình gì ?
Chứng minh : DBMI là tứ giác nội tiếp
Chứng minh : B , I , C thẳng hàng và MI = MD
Chứng minh : MI là tiếp tuyến của (O’)

Bài 3 : Cho (O) đường kính BC , điểm A nằm trên cung BC . Trên tia AC lấy điểm
D sao cho AB = AD . Dựng hình vuông ABDE , AE cắt (O) tại điểm thứ hai F .
Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G .
a) Chứng minh : BDCG là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn này
b) Chứng minh : tam giác BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác BCD
c) Chứng minh : GEFB là tứ giác nội tiếp
d) Chứng minh : C , F , G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD
Bài 4 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O) . Gọi M là một điểm
bất kì trên cung nhỏ AC . Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ
M đến BC và AC . P là trung điểm AB , Q là trung điểm FE
a) Chứng minh : MFEC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : BM . EF = BA . EM
c) Chứng minh :
d) Chứng minh :

VAMP∞VFMQ

·
PMQ

=90

Bài 5 : Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn . Vẽ các tiếp tuyến AB ; AC và
cát tuyến ADE . Gọi H là trung điểm DE
a) Chứng minh : A , B , H , C , O cùng nằm trên 1 đường tròn

b) Chứng minh : HA là phân giác của

·
BHC

c) Gọi I là giao điểm của BC và DE . Chứng minh :
d) BH cắt (O) ở K . Chứng minh : AE // CK

AB 2 = AI . AH

Bài 6 : Cho tam giác ABC đểu nội tiếp (O ; R ) . Trên cạnh AB ; AC lấy hai điểm
M ; N sao cho BM = AN
a) Chứng minh : tam giác OMN cân
b) Chứng minh : OMAN là tứ giác nội tiếp
BC 2 + DC 2 = 3R 2

c) BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E . Chứng minh :
d) Đường thẳng CE và AB cắt nhau tại F . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại
I ; AO kéo dài cắt BC tại J . Chứng minh : BI đi qua trung điểm của AJ
OC ⊥ AB

Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , bán kính
điểm trên cung BC . Kẻ đường cao CH của tam giác ACM .

. Gọi M là 1

a) Chứng minh : AOHC là tứ giác nội tiếp

·
COM

b) Chứng minh : tam giác CHM vuông cân và OH là phân giác của
c) Gọi giao điểm của OH với BC là I . MI cắt (O) tại D . Chứng minh : CDBM
là hình thang cân
d) BM cắt OH tại N . Chứng minh :
MA

VBNI ∞VAMC

, từ đó suy ra BN . MC = IN .

Bài 8 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) . Vẽ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp
điểm ) . Vẽ dây BC của (O) vuông góc với OA
a) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh : A , B , C , D cùng thuộc một đường tròn
c) Kẻ đường kính BD của (O) , vẽ CK vuông góc tại K . Chứng minh : AC .
CD = AO . CK
d) AD cắt CK ở L . Chứng minh : I là trung điểm CK
Bài 9 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Lấy M
thuộc cung AC nhỏ sao cho MA < MC . Tia OA cắt tia CM tại E và cắt MD tại F .
a) Chứng minh : M , C , O , F cùng thuộc một đường tròn
·
MEF

·
MDC

b) Chứng minh :
=
và MF . MD = ME . MC

c) Vẽ dây CQ đi qua F . Chứng minh : E , Q , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm EF . Chứng minh : IM là tiếp tuyến của (O)
Bài 10 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) . Tiếp tuyến tại B , C cắt nhau tại D ,
kẻ cát tuyến DEF // AB cắt AC tại I , cắt BN tại C
a) Chứng minh : BOCD là tứ giác nội tiếp


ID là phân giác của
DE.DF = DC 2

·
BIC

DN .DI = DE.DF

b) Chứng minh :
;
c) Chứng minh : BN . BC = AB . ND
d) Chứng minh : I là trung điểm EF
Tam giác ABI cân

Bài 11 : Từ điểm C nằm ngoài đường tròn (O) . Kẻ tiếp tuyến CE , CF đến (O)
( E , F là tiếp điểm ) và cát tuyến CMN
a) Chứng minh : CEOF là tứ giác nội tiếp
CE 2 = CF 2 = CM .CN

b) EF cắt OC tại I . Chứng minh : O ; I ; M ; N cùng thuộc đường tròn
c) Chứng minh :

·

CIM

=

·
OIN

·
MCD

d) Tia MI cắt (O) tại D . Chứng minh : CO là tia phân giác của
e) Tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại K . Chứng minh : E , F , K thẳng
hàng
Bài 12 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) , có các đường cao BD và CE . Đường
thẳng DE cắt (O) tại 2 điểm M và N
a) Chứng minh : BEDC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I
·AED

·
IDC

b) Chứng minh :
=
c) Kẻ tiếp tuyến xy của (O) tại A . Chứng minh : DE // xy
d) Chứng minh : OA là tia phân giác
e) Chứng minh :

·
MON

AM 2 = AD. AC

Bài 13 : Cho đường tròn (O) đường kính BC . Lấy một điểm A trên đường tròn
(O) sao cho AB > AC . Từ A vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) . Từ H vẽ
HE vuông góc với AB , HF vuông góc với AC ( E thuộc AB , F thuộc AC )
a) Chứng minh : AEHF là hình chữ nhật
OA ⊥ EF

b) Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q ( E nằm giữa P và F ) . Chứng minh :
AP 2 = AE. AB

và suy ra APH là tam giác cân
c) Gọi D là giao điểm PQ và BC , K là giao điểm của AD và đường tròn (O)
( K≠A) . Chứng minh :AEFK là tứ giác nội tiếp
d) Gọi I là giao điểm FC và BC . Chứng minh :

IH 2 = IC.ID


Bài 14 : Cho đường tròn (O ; R ) và đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm
A và B . Từ một điểm M trên đường thẳng d và ở ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến ME ,
MF ( E , F là hai tiếp điểm )
a) Chứng minh : MEOF là tứ giác nội tiếp
ME 2 = MA.MB

b) Chứng minh :
c) OM cắt đường tròn (O ; R ) tại C . Chứng minh : C là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác MEF
d) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MEOF là một
hình vuông

Bài 15 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) . Đường tròn tâm (O) , đường kính
BC lần lượt cắt AB và AC tại M và N ; BN và CM giao nhau tại H , AH cắt BC tại
K
a) Chứng minh :
b) Chứng minh :

AK ⊥ BC

AM . AB = AN . AC
·
NMK

c) Chứng minh : MH là phân giác
d) NM và BC kéo dài cắt nhau tại S . Chứng minh : SB . SC = SK . SO
Bài 16 : Cho (O ; R) , đường kính BC , trên cung BC lấy điểm A sao cho AB < R .
Gọi D là điểm chính giữa cung AC , E là giao điểm AC và BD
VADE∞VBCE

a) Chứng minh :
b) Trên BC lấy điểm F sao cho CF = AB . Từ F vẽ đường song song với AC cắt
·ABC

BD , AB lần lượt tại M , N . Chứng minh : BD là phân giác của
EA . BF = EC . BN
c) Tia AM cắt (O) tại I . Chứng minh : D , F , I thẳng hàng
d) Từ C vẽ đường vuông góc với DC cắt AI tại K . Chứng minh : BKFA là
hình bình hành
Bài 17 : Cho (O ; R) và điểm M ở ngoài đường tròn (O) . Vẽ các tiếp tuyến MA ,
MB ( A , B là các tiếp điểm ) ; vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D )
a) Chứng minh : OM là trung trực của AB

MA2 = MC .MD

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : AC . BD = BC . AD
d) Vẽ dây DE song song với AB ; Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh :
IC . IE = IO . IM
Bài 18 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy
điểm C (AC > OA) , vẽ tiếp tuyến thứ hai CD (D là tiếp điểm ) , vẽ OE vuông góc
với BC tại E


a) Chứng minh : A , C , D , E cùng thuộc một đường tròn
b) AD cắt OE tại F . Chứng minh : FD . FA = FE . FO
c) BC cắt nửa đường tròn (O) tại M (M≠A) . Chứng minh FM là tiếp tuyến của
nửa đường tròn (O)
d) Cho

MF = R 3

, tính diện tích tam giác DEF theo R

Bài 19 : Cho đường tròn (O ; R) , hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau .
Gọi I là điểm di động trên bán kính OB ( I ≠ B , O ) . Tia CI cắt đường tròn (O ; R)
tại E
a) Chứng minh : OIDE là tứ giác nội tiếp
CI .CE = 2 R 2

b) Chứng minh :
c) DB cắt CE tại H , AE cắt CD tại K . Chứng minh : HK // AB
d) Chứng minh :

S ACIK

không đổi khi I chuyển động trên OB ( I ≠ B , O )

Bài 20 : Cho đường tròn ( O ; R) đường kính AB . Điểm M nằm trên đường tròn
(MA < MB ) . Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường tròn (O ; R) tại
N . Kéo dài BM và NA cắt nhau tại I . Vẽ IH vuông góc với đường thẳng AB tại H
a) Chứng minh : AHIM là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm và bán kính
·AMH

·ABM

b) Chứng minh :
=
c) Chứng minh : MH là tiếp tuyến của (O ; R )
d) Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O ; R) sao cho A là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tam giác HMO
Bài 21 : Cho tam giác có 3 góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Tia
phân giác của BAC đường tròn (O) tại E
OE ⊥ BC

a) Chứng minh :
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M . Chứng
MA2 = MB.MC

minh :
c) AE cắt BC tại K . Chứng minh : MA = MK
d) Chứng minh :

·AMC

=2

·AEO

Bài 22 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R . Gọi M là một điểm bất kỳ
thuộc đường tròn (O) khác A và B . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại
E . Vẽ MP vuông góc với AB ( P thuộc AB ) , vẽ MQ vuông góc với AE ( Q thuộc
AE )
a) Chứng minh : AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật
b) Gọi I là trung điểm của PQ . Chứng minh : O , I , E thẳng hàng


c) Gọi K là giao điểm của EB và MP . Chứng minh : Suy ra K là trung điểm
MP
d) Đặt AP = x . Tính MP theo R và x . Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ
nhật APMQ có diện tích lớn nhất
Bài 23 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn . Đường thẳng MO
cắt (O) tại E và F (ME < MF ) . Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) ( C là
tiếp điểm , A nằm giữa hai điểm M và B , A và C nằm khác phía đối với đường
thẳng MO )
a) Chứng minh : MA . MB = ME . MF
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO . Chứng
minh : AHOB là tứ giác nội tiếp
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính
MF ; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K . Gọi S là giao
MS ⊥ KC

điểm của hai đường thẳng CO và KF . Chứng minh :

d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS
và T lần lượt là trung điểm của KS . Chứng minh : P , Q , T thẳng hàng
Bài 24 : Cho tam giác ABC không có góc tù ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn
( O ; R )( B ; C cố định , A di động trên cung lớn BC ) . Các tiếp tuyến tại B và C
cắt nhau tại M . Từ M kẻ đường đường thẳng song song với AB , đường thẳng này
cắt (O) tại D và E ( D thuộc cung nhỏ BC ) , cắt BC tại F , cắt AC tại I .
·
MBC

·
BAC

a) Chứng minh :
=
. Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : FI . FM = FD . FE
c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB ) . Đường thẳng
QF cắt (O) tại T ( T ≠ Q) . Chứng minh : P , T , M thẳng hàng
d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn
nhất
Bài 25 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB <
AC ) . Các đường tròn AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
·AHC

·
BAC

a) Chứng minh : BFHD là tứ giác nội tiếp . Suy ra
= 180 –
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) ( M khác B và

C ) và N là điểm đối xứng của M qua AC . Chứng minh : AHCN là tứ giác
nội tiếp
c) Gọi I là giao điểm của AN và HC ; J là giao điểm của AC và HN . Chứng
minh :

·AJI

=

d) Chứng minh :

·ANC

OA ⊥ IJ


Bài 26 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) đường
kính BC cắt cạnh AC , AB lần lượt tại E , F . Gọi H là giao điểm của BE và CF ; D
là giao điểm của AH và BC
AD ⊥ BC

a) Chứng minh :
và AH . AD = AE . AC
b) Chứng minh : EFDO là tứ giác nội tiếp

·
BLC

c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF . Tính số đo
d) Gọi R , S lần lượt là hình chiếu của B , C lên EF . Chứng minh : DE + DF =

RS
Bài 27 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH . Gọi
điểm đối xứng của H qua AB và AC . Đường thẳng
a) Tam giác

AH1 H 2

H1 H 2

là tam giác gì ? Chứng minh :

H1

và

H2

lần lượt là

cắt AB và AC tại K và I

·AH K
2

=

·AHK

AHH 2

b) Chứng minh : C , K cùng thuộc đường tròn (
)
c) Chứng minh : AH , CK , BI đồng qui ( Gợi ý : CK là đường cao của tam
giác ABC )
Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH . Gọi I và K là tâm
đường tròn nội tiếp của tam giác AHB và tam giác AHC . BI cắt AK tại E ; CK cắt
AI tại F ; BI cắt CK tại O
a)
b)
c)
d)

·
HBA

·
HAC

·
HCA

·
HAB

Chứng minh :
=
và
=
Chứng minh : HBAE và HACF là tứ giác nội tiếp
Chứng minh : O là trực tâm tam giác AIK

IK cắt AB tại M và cắt AC tại N . Chứng minh : tam giác AMN vuông cân
tại A

Bài 29 : Cho tam giác ABC nhọc có tia phân giác trong ở đỉnh B cắt tia phân giác
ngoài ở đỉnh C tại I , tia phân giác trong ở đỉnh C cắt tia phân giác ngoài ở đỉnh B
tại K . BI cắt CK tại H . M là trung điểm IK .
a) Chứng minh : BCIK là tứ giác nội tiếp và I , A , K thẳng hàng
b) Chứng minh : AHBK và AHCI là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh : BCMA là tứ giác nội tiếp
Bài 30 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn (O) . Lấy điểm
M thuộc cung nhỏ BC . Vẽ MH vuông góc với BC tại H ; MK vuông góc với AB
tại K và giả sử K nằm ngoài cạnh AB
a) Chứng minh : MHBK là tứ giác nội tiếp và

VMHK ∞VMCA


b) Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CA và HK . Chứng minh :
VMHE ∞VMCD

c) Kéo dài KH cắt AC tại I . Chứng minh : MEDI là tứ giác nội tiếp
d) Chứng minh : MCIH là tứ giác nội tiếp và

EM ⊥ ED

Bài 31 : Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC . Qua B kẻ đường thẳng
vuông góc với DE , đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự tại
H và K .
a) Chứng minh : BHCD là tứ giác nội tiếp
·

CHK

b) Tính
c) Chứng minh : KC . KD = KH . KB
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào ?
Bài 32 : Cho đường tròn (O) BC là dây bất kì ( BC < 2R ) . Kẻ các tiếp tuyến với
đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A . Trên cung nhỏ BC lấy một điểm
M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC ,
AC , AB . Gọi giao điểm BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q
a) Chứng minh : tam giác ABC cân
b) Chứng minh : BIMK , CIMH là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh :
d) Chứng minh :

MI 2 = MH .MK

PQ ⊥ MI

Bài 33 : AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) bán kính R ( B , C là tiếp điểm ) . Vẽ
CH vuông góc với AB tại H , cắt (O) tại E và cắt OA tại D
a) Chứng minh : CO = CD
b) Chứng minh : OBCD là tứ giác nội tiếp
c) Gọi M là trung điểm của CE , BM cắt OH tại I . Chứng minh : I là trung
điểm của OH
d) Tiếp tuyến tại E của (O) cắt AC tại K . Chứng minh : O , M , K thẳng hàng
Bài 34 : Từ A nằm ngoài (O ; R) , kẻ tiếp tuyến AB , AC ( B , C là tiếp điểm ) của
(O) và cát tuyến ADE ( không đi qua O , D nằm giữa A và E ) . Gọi H là giao điểm
OA , BC , I là trung điểm
a)
b)

c)
d)

OA ⊥ BC

Chứng minh :
Chứng minh : O , I , B , A , C cùng thuộc một tròn
Chứng minh : OHDE là tứ giác nội tiếp
Đường thẳng qua D và vuông góc OB cắt BC tại M , cắt BE tại N . Chứng
minh : MD = MN


Bài 35 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R ) . Vẽ tiếp tuyến AB , AC
( B ,C là tiếp điểm ) , vẽ cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E ) . Gọi H là giao
điểm BC và OA .
a) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn này
AB 2 = AD. AE = OA2 − OC 2

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : AH . AO = AD . AE . Từ đó suy ra OHDE là tứ giác nội tiếp
d) Tia AO cắt đường tròn (O ; R ) tại M và N ( M nằm giữa O và A) . Chứng
minh : BM là tia phân giác

·
HBA

. Suy ra HM . NA = MA . NH

Bài 36 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp ( O ; R ) . Gọi H là giao điểm
của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC

a) Chứng minh : BCDE là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm của đường tròn ngoại
tiếp
b) Gọi F là giao điểm AH và BC . Vẽ đường kính AK của (O) . Chứng minh :
·AFB

·ACK

=
c) Chứng minh : BHCK là hình bình hành . Suy ra : H , I , K thẳng hàng
BC =

d) Cho

3
AK
4

. TÍnh tổng AB . CK + AC . BK theo R

Bài 37 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , vẽ
đường cao AH ( H thuộc BC ) . Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC
·
HAO

OI ⊥ BC

a) Chứng minh :
và AI là phân giác
b) Gọi D , E lần lượt là hính chiếu của H trên AB , AC . Chứng minh : ADHE ,
BDEC là tứ giác nội tiếp

c) Vẽ đường kính AK . Chứng minh : AK . AH = AB . AC
AH = R 2

S ABC = 2S ADE

d) Giả sử
. Chứng minh :
e) Vẽ đường tròn ( A ; AH ) cắt đường tròn (O) tại M , N . Chứng minh : M , D
, E , N thẳng hàng
Bài 38 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có đường cao AD . Tia AD cắt (O)
tại điểm M ( M ≠ A) . Vẽ ME vuông góc với AC tại E . Đường thẳng ED cắt
đường thẳng AB tại I
a) Chứng minh : MDEC là tứ giác nội tiếp
MI ⊥ AB

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : AB . AI = AE . AC
d) Gọi N là điểm đối xứng với M qua AB ; F là điểm đối xứng với M qua AC .
NF cắt AD tại H . Chứng minh : H là trực tâm ABC


Bài 39 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt
BC tại H .
a) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O) và BH . BC = 4OB
b) Gọi D là điểm chính giữa của cung AH , tiếp tuyến tại H với (O) cắt AC tại
M . Chứng minh : BD là phân giác

·ABC

và ba điểm O , D , M thẳng hàng

·
CHM

·
HOM

c) Chứng minh : OAMH là tứ giác nội tiếp và
=2
d) Tia BD cắt AC tại E , gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE .
IO ⊥ HD

Chứng minh :
e) Từ C vẽ tiếp tuyến Cx với (O) , từ O vẽ tia Oy vuông góc OC . Gọi K là giao
điểm Cx và Oy . Chứng minh : BK là tiếp tuyến (O)
Bài 40 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với
đường tròn ( A , B là tiếp điểm ) . Vẽ dây AD của đường tròn (O) song song MB ;
MD cắt (O) tại E . Tia AE cắt MB tại K . Chứng minh :
a) MAOB là tứ giác nội tiếp và tam giác ABD cân tại B
KB 2 = KA.KE

b)
c) K là trung điểm MB
d) BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AME
Bài 41 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) . Hai đường cao BE và CF
cắt nhau tại H . Vẽ đường kính AD của đường tròn (O)
AH ⊥ BC

a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp và
b) Chứng minh : HD đi qua trung điểm của BC

VAFK ∞VADB

c) Gọi K là giao điểm EF và AD . Chứng minh :
d) Gọi M , N lần lượt là giao điểm của EF với (O) . Chứng minh : tam giác
AMN cân
e) Chứng minh :

AH .BC + BH . AC + CH . AB = 4 S ABC

Bài 42 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB , AC đến
(O) ( B ; C là tiếp điểm ) . Gọi H là giao điểm của OA và BC , qua H kẻ một đường
thẳng vuông góc với OB cắt (O) tại D . ( D thuộc cung nhỏ BC ) . AD cắt (O) tại E
( E ≠ D ) . Gọi K là trung điểm của DE
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : A , B , O , K , C cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh : KCDH là tứ giác nội tiếp
Chứng minh : AH . AO = AD . AE và tam giác OKH là tam giác cân
Kẻ OI vuông góc CE tại I . Chứng minh : I , K , H thẳng hàng


Bài 43 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) . Kẻ đường phân giác AE
của

·
BAC

cắt BC và đường tròn (O) lần lượt tại D và E
OE ⊥ BC

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : CD . AB = BD . AC
c) Trên AB , AC lần lượt lấy điểm M , N sao cho BM = CN . Gọi H là trung
điểm MN . Kẻ NK vuông góc OE tại K . Chứng minh : tam giác HKN luôn
đi qua 1 điểm cố định khi A di chuyển trên cung BC
d) Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AE cắt AC tại I . Đường tròn ( I ; IA)
cắt AB , AC lần lượt tại Q và P . Chứng minh : BQ = CP
Bài 44 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) sao cho OMM = 2R . Kẻ hai
tiếp tuyến MA và MB ( A , B là hai tiếp điểm ) . Kẻ cát tuyến MCD đến đường
tròn (C nằm giữa M và D )
a) Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác
MC.MD = 3R 2

b) Chứng minh :
c) OM cắt (O) tại F sao cho O nằm giữa M và F . Chứng minh tam giác ABF
đều
d) Gọi E là giao điểm của FC và đường tròn (I) . Xác định vị trí của cát tuyến
MCD để

S FBE

đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo R

Bài 45 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O ; R) . Vẽ BD vuông
góc với AC , CE vuông góc với AB . BD và CE cắt nhau tại H . Vẽ đường kính
AK

a) Chứng minh : BHCK là hình bình hành
b) Chứng minh : BCDE là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I
DE ⊥ AK

c) Chứng minh :
d) Gọi F là giao điểm AH và BC . Chứng minh : H là tâm của đường tròn nội
tiếp tam giác DEF
Bài 46 : Cho đường tròn (O ; R ) đường kính BC , A là một điểm trên đường tròn
sao cho AB = R , hạ AH vuông góc BC . Đường tròn tâm I đường kính AH cắt
BC , AC và đường tròn (O) tại D , E , F
a) Chứng minh : ADHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh : BDEC là tứ giác nội tiếp
OA ⊥ DE

c) Chứng minh :
d) AF cắt đường thẳng BC tại S . Chứng minh : S , D , E thẳng hàng


Bài 47 : Cho đường tròn (O) và dây CD bất kỳ khác đường kính . Từ điểm M trên
tia đối của tia CD vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn ( A , B là tiếp
điểm )
MA2 = MC .MD

a) Chứng minh :
b) Tia phân giác của góc CAD cắt CD tại E và cắt đường tròn tại F . Chứng
minh : MA = ME
·
CBD

c) Chứng minh : BE là phân giác của

d) Đường thẳng OF cắt CD tại K và cắt AB kéo dài tại N . Chứng minh rằng
OK . ON không phụ thuộc vị trí điểm M trên tia đối của tia CD và NC , ND
là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 48 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) bán kính R
( AB < AC) . 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của dường tròn
b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh : KF . KE = KB .
KC
c) AK cắt đường tròn (O) tại M . Chứng minh : A, M , F , H , E cùng nằm trên
đường tròn
d) Chứng minh : M , H , I thẳng hàng
Bài 49 : Cho đường tròn ( O ; R ) có đường kính AB . Bán kính CO vuông góc với
AB , M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC ( M ≠ A , C ) ; BM cắt AC tại H .
Gọi K là hình chiếu của H trên AB
a) Chứng minh : CBKH là tứ giác nội tiếp

·
MCK

b) Chứng minh : CA là phân giác của
c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM . Chứng minh : ECM là
tam giác vuông cân
d) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A ; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai
điểm P , C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
Chứng minh : PB đi qua trung điểm của HK

AP. AM
=R
MA

.

Bài 50 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC
( B , C là tiếp điểm ) . Qua B kẻ dây BE song song với AC . Cát tuyến AE cắt
đường tròn (O) tại D ( D nằm giữa A , E) . Gọi F là trung điểm của DE
a) Chứng minh : A , B , F , O , C cùng thuộc một đường tròn
b) Tia BD cắt AC tại I . Chứng minh :

IC 2 = ID.IB

và I là trung điểm CA


c) Tia BF cắt đường tròn (O) tại K ( K ≠ B ) . Gọi T là giao điểm của OA với
(O) ( T nằm giữa O và A ) , KT cắt BC tại H . Chứng minh : TC là tiếp
tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK
d) Trên đoạn thẳng OA lấy điểm S sao cho AS = 3OS . Chứng minh : ABSI là
tứ giác nội tiếp
Bài 51 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp (O) . Ba đường AD , BE ,
CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Tia AD cắt (O) tại K . ( K ≠ A) . Kẻ đường
kính AM của (O) . Tia MH lần lượt cắt BC tại N và cắt (O) tại P
a) Chứng minh : BC là đường trung trực HK
b) Chứng minh : A , H , E , F , P cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm I
của đường tròn đó
c) Chứng minh : BK = CM và N là trung điểm BC
d) Chứng minh : OI = NK
Bài 52 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O ; R ) và H là giao điểm
của 3 đường cao AD , BE , CF
a) Chứng minh : AEHF , AFDC là tứ giác nội tiếp
·

DFE

b) Chứng minh : FC là tứ phân giác
c) Vẽ đường kính BM của (O) . Chứng minh : EF . BM = MC . BC
EF =

d) Trường hợp cho biết :

1
BC
2

. Chứng minh : tam giác AHO cân

Bài 53 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) , kẻ tiếp tuyến AB , AC đến (O) , BC
là hai tiếp điểm
OA ⊥ BC

a) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp và
b) Gọi M là trung điểm AC , BM cắt (O) tại E , tia AE cắt (O) tại F . Chứng
MC 2 = ME.MB

minh :
và AC // BF
c) Tia CO cắt BF tại N và cắt (O) tại D . Chứng minh : BC , AF , MN đồng qui
d) AO cắt (O) tại P và Q , AD cắt (O) tại T , BT cắt OA tại I . Chứng minh : IH
= IA và

1
1

1
=
+
AI AP AQ

Bài 54 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) có AH là đường cao và
I là tâm đường tròn nội tiếp
a) Chứng minh :

OD ⊥ BC

b) Chứng minh : tam giác IBC cân và

ID 2 = DT .DA


c) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc AD cắt AH , BC lần lượt tại P , R . Chứng
IP ⊥ IR

minh :
d) Vẽ IK vuông góc BC , DK cắt AH tại S . Chứng minh : IS // BC
Bài 54 : Cho đường tròn (O) và điểm B nằm ngoài đường tròn . Từ B vẽ tiếp tuyến
BA , BC đến đường tròn ( A , C là tiếp điểm ) , và vẽ cát tuyến BDE sao cho D
nằm giữa B và E ( D , E thuộc (O)) . Gọi F là trung điểm của ED
a) Chứng minh : A , B , C , F , O cùng thuộc một đường tròn
b) Gọi H là giao điểm của OB , AC . Chứng minh : BH . BO = BD . BE
c) Gọi I là giao điểm AC và DE . Chứng minh : OHDE là tứ giác nội tiếp và ID
. EB = EI . EB
d) Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng OB với đường tròn . Chứng minh : EK là
phân giác

·
DEH

Bài 55 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có ba đường cao AD , BE , CF cắt
nhau tại H .
a) Chứng minh : BDHF , BCEF là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF
b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) . Chứng minh : AB . AC = AD . AK
c) Vẽ CN vuông góc AK ( N thuộc AK ) . Chứng minh : ID = IN
d) EF cắt BC tại M , KH cắt (O) tại P . Chứng minh : M , P , A thẳng hàng
Bài 56 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) có 3 đường cao AD , BE , CF cắt
nhau tại H . EF cắt AD , BC lần lượt tại I , K
a)
b)
c)
d)

VAIF ∞VHIE

Chứng minh :
Chứng minh : KB . KC = KF . KE
Gọi T là điểm đối xứng của H qua BC . Chứng minh : T thuộc (ABC)
Gọi G là điểm đối xứng của A qua E . KG cắt AD tại N . Chứng minh : FN //
EG

Bài 57 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ đường thẳng xy vuông góc
với OA . Lấy điểm B thuộc (O) sao cho góc AOB là góc tù . Tiếp tuyến tại B của
(O) cắt đường thẳng xy tại c . Đường thẳng qua B và vuông góc với OC tại H cắt
OA , xy và (O) lần lượt tại D , E , F ( F ≠ B )

a) Chứng minh : ACOB là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh :

CB 2 = CE.CA

1
1
1
+
=
BE BD BH

c) Chứng minh :
d) Đường trung tuyến CM của tam giác CBO cắt BH tại I , tia OI cắt BC tại N .
Gọi K là trung điểm OI . Chứng minh : N , H , K thẳng hàng


Bài 58 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua
tâm O và hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn (O) , ở đây A , B là các tiếp
điểm và C nằm giữa M , D
MA2 = MC .MD

a) Chứng minh :
b) Gọi I là trung điểm của CD . Chứng minh : M , A , O , I , B cùng nằm trên
một đường tròn
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO . Chứng minh : CHOD là tứ giác nội tiếp
·
CHD

. Suy ra AB là đường phân giác

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến C và D của đường tròn (O) . Chứng
minh : A , B , K thẳng hàng
Bài 59 : Cho đường tròn ( O ; R ) , qua điểm K ở bên ngoài đường tròn , kẻ các
tiếp tuyến KB , KD ( B , D là tiếp điểm ) , kẻ cát tuyến KAC ( A nằm giữa K và
C)
a)
b)
c)
d)

VKDA∞VKCD

Chứng minh :
Chứng minh : AB . CD = AD . BC
Gọi I là trung điểm BD . Chứng minh : AIOC là tứ giác nội tiếp
Kẻ dây CN // BD . Chứng minh : A , I , N thẳng hàng

Bài 60 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O ; R ) . Gọi H là giao điểm 3
đường cao AD , BE , CF của tam giác ABC . Gọi S là diện tích tam giác ABC
a) Chứng minh : AEHF , AEDB là tứ giác nội tiếp
b) Vẽ đường kính AK của (O) . Chứng minh :
S=

VABD∞VAKC

. Suy ra AB . AC =

AB.BC. AC
4R

2R . AD và
c) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh : EFDM là tứ giác nội tiếp đường
tròn
d) Chứng minh :

OC ⊥ DE

và ( DE + EF + FD) . R = 2S

Bài 61 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O ; R) , các tiếp tuyến tại B và C với
đường tròn (O) cắt nhau tại E , AE cắt (O) tại D ( khác điểm A)
a) Chứng minh : OBEC là tứ giác nội tiếp
b) Từ E kẻ đường thẳng d // với tiếp tuyến tại A của (O) , d cắt các đường
thẳng AB , AC lần lượt tại P , Q . Chứng minh : AB . AP = AD . AE
c) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh : EP = EQ và
AM .MD =

d) Chứng minh :

BC
4

2

·
PAE

=

·

MAC


Bài 62 : Cho tam giác ABC đều , gọi O là trung điểm của BC . Các điểm D , E lần
lượt di động trên các cạnh AB , AC sao cho

·
DOE

= 60

a) Chứng minh : tích BD . CE không đổi

·
BDE

b) Chứng minh : DO là phân giác của
c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh : đường tròn này
luôn tiếp xúc với DE và AC
d) Gọi P , Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB , AC . I và N lần lượt là giao
điểm của PQ và OD và OE . Chứng minh : DE = 2IN
Bài 63 : Từ điểm A nằm ngoài (O ; R ) , dựng các tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến
ADE ( D ,E thuộc (O) và D nằm giữa A, E ) . Đường thẳng qua D vuông góc với
OB cắt BC , BE lần lượt tại H và K . Vẽ OI vuông góc với AE tại I .
a) Chứng minh : B , I , O , C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh : IA là phân giác của

·
BIC

c) Gọi S là giao điểm của BC và AD . Chứng minh :
tứ giác nội tiếp
d) Chứng minh :

1
1
2
+
=
AD AE AS

AC 2 = AD. AE

và IHDC là

và DH = HK

Bài 64 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R ) ( AB > AC ) . Gọi H là giao điểm của
hai đường cao BD , CE của tam giác ABC , F là giao điểm của AH , BC
a) Chứng minh : BEHF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : FA . FH = FB . FC
c) Vẽ đường kính AI của đường tròn (O) . Gọi K là điểm đối xứng với H qua
BC . Chứng minh : BIKC là hình thang cân
BC =

d) Cho
R

2R 3
3

và

·ACB − ·ABC

= 30 . Tính diện tích của tứ giác ABIC theo

Bài 65 : Cho đường tròn ( O ; R ) , đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại
hai điểm A , B . Từ một điểm C trên tia đối của tia AB , kẻ hai tiếp tuyến CM , CN
với đường tròn ( O) ( M , N thuộc (O)) . Gọi H là trung điểm của AB , tia HO cắt
tia CN tại K
a) Chứng minh : C , M , H , N cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh : KN . KC = KH . KO
c) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I . Chứng minh : I cách đều CM , CN và MN


d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt tia CM , CN lần lượt tại
E và F . Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF đạt giá
trị nhỏ nhất
Bài 66 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O ; R ) . Dựng
đường tròn (K) đường kính BC cắt cạnh AB , AC lần lượt tại các điểm F , E . Gọi
H là giao điểm của BE và CF .
a) Chứng minh : AF . AB = AE . AC và AH vuông góc BC
OA ⊥ EF

b) Chứng minh :
c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (K) với M , N là các tiếp
»
EC

điểm và N thuộc cung
. Chứng minh : M , H , N thẳng hàng
d) Kẻ tia AD là tia phân giác góc BAC ( D thuộc BC ) , AD kéo dài cắt đường
tròn (O) tại P . Chứng minh : OP , CI cắt nhau tại một điểm thuộc đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ACD )
Bài 67 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Vẽ đường tròn tâm A ,
bán kính AH . Từ B và C kẻ các tiếp tuyến BD , CE với đường tròn ( D , E là các
tiếp điểm không nằm trên BC )
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : BD + CE = BC
Chứng minh : D , A , E thẳng hàng
Chứng minh : DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
Đường tròn đường kính BC cắt đường tròn (A) tại M , N . MN cắt AH tại I .
Chứng minh : I là trung điểm AH

Bài 68 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) , vẽ AB là tiếp tuyến của
đường tròn (O) ( B là tiếp điểm ) . Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H .
a) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O)
b) Kẻ đường kính CD của đường tròn (O) . Chứng minh : BD // OA
c) Tính tích OA . OH theo R
OH <

R
2

d) Giả sử
. Cho M là điểm di động trên đoạn thẳng BC , qua A vẽ
đường thẳng vuông góc đường thẳng OM tại N . Tìm giá trị nhỏ nhất của
( 4OM + ON )
Bài 69 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn
đó ( C ≠ A , B ) . Lấy điểm D thuộc dây BC ( D ≠ B ,C ) . Tia AD cắt cung nhỏ BC
tại điểm E , tia AC cắt tia BE tại điểm F
a) Chứng minh : FCDE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : DA . DE = DB . DC


·
CFD

·
OCB

c) Chứng minh :
=
. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
FCDE , chứng minh : IC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Cho biết DF = R . Chứng minh :

tan ·AFB = 2

Bài 70 : Cho nửa đường tròn (O ; R ) đường kính AB . Vẽ bán kính OC vuông góc
với AB . Gọi K là điểm nằm giữa hai điểm B và C . Tia AK cắt đường tròn (O) tại
M.
·ACB

·AMC

a) Tính số đo của
=
b) Vẽ CI vuông góc với AM ( I thuộc AM ) . Chứng minh : AOIC là tứ giác nội
tiếp
c) Chứng minh : AI . AK = AO . AB
d) Nếu K là trung điểm của BC . Tính

·
tan MAB

Bài 71 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Đường
phân giác góc A cắt (O) tại M , AH là đường cao của tam giác ABC , I là trung
điểm BC , D và E là hình chiếu của M lên AB , AC
a) Chứng minh : AM là phân giác

·
OAH

VMBD =VMCE

b) Chứng minh :
c) Tia MO cắt (O) tại N . Vẽ OF vuông góc với NC . Chứng minh : OICF là tứ
OF =

1
BM
2

giác nội tiếp và
d) Chứng minh : đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác OICF tiếp
xúc
Bài 72 : Cho đường tròn ( O ; R ) có đường kính BC . Trên (O) lấy điểm A sao cho
( AB > AC ) . Vẽ các tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại S .
a) Chứng minh : SAOB là tứ giác nội tiếp
SA2 = SD.SC

b) SC cắt (O) tại D ( D ≠ C ) . Chứng minh :
c) Gọi H là giao điểm của SO và AB . Chứng minh : DHOC là tứ giác nội tiếp
d) DH cắt (O) tại K ( K ≠ D ) . Chứng minh : O , A , K thẳng hàng
Bài 73 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O ; R) . Các đường cao AD , BM , CN
cắt nhau tại H
a) Chứng minh : AMHN , BCMN là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : AM . AC = AN . AB . Biết

MN 1
=
BC 2

. Tính số đo

·
BAC


c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại S . AS cắt (O) tại T . Chứng
minh : ATNM là tứ giác nội tiếp
d) Kẻ đường kính AK . Chứng minh : K , H , T thằng hàng
Bài 74 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ( O ; R ) , vẽ đường cao AK và đường

kính AD
a) Tính số đo

·ACD

. Chứng minh : AK . AD = AB . AC

SVABC =

AB. AC.BC
4R

b) Chứng minh :
c) Vẽ BM vuông góc AC , AK và BM cắt nhau tại H , CH cắt AB tại N .
AD ⊥ MN

Chứng minh : BNMC là tứ giác nội tiếp . Từ đó suy ra
d) BM kéo dài cắt đường tròn (O) tại E và CN kéo dài cắt (O) tại F . Chứng
minh : E , H , F cùng nằm trên một đường tròn . Xác định tâm đường tròn
này
Bài 75 : Cho đường tròn (O ; R ) . Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ
tiếp tuyến ME , MF với đường tròn (O) ( E , F là tiếp điểm )
a) Chứng minh : MEOF là tứ giác nội tiếp
ME 2 = MA.MB

b) Kẻ cát tuyến MAB với đường tròn (O) . Chứng minh :
c) OM cắt đường tròn (O) tại C và cắt EF tại H . Chứng minh : C là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác MEF
d) Chứng minh : HF là tia phân giác của

·AHB

Bài 76 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O ; R ) . Các đường cao AD ,
BE , CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh : CDHE , BCEF là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là trung điểm của BC . Lấy K đối xứng với H qua I . Chứng minh : AK
là đường kính của (O)
VABC

tgB.tgC = 3

c) Chứng minh : nếu
có
thì OH // BC
d) Các tia BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N . Lấy điểm S trên
cung nhỏ BC , SM cắt AC ở J , SN cắt AB ở L . Chứng minh : H , J , L
thẳng hàng
Bài 77 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC (B
, C là các tiếp điểm )
OA ⊥ BC

a) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp và
b) Lấy điểm M trên cung lớn BC kẻ CN vuông góc CM tại N . Gọi I là trung
điểm của BN , MI cắt (O) tại E khác M , AE cắt (O) tại F khác E . Chứng
minh : AB . AC = AE . AF


·
HEB

c) Chứng minh :
vuông
d) Chứng minh : khi M di động trên cung lớn BC thì EF có độ dài không đổi
Bài 78 : Cho đường tròn (O ; R ) có đường kính BC . Trên (O) lấy điểm A sao cho
( AB > AC ) . Vẽ các tiếp tuyến tại A , B của (O) cắt nhau tại S
a) Chứng minh : SAOB là tứ giác nội tiếp và

SO ⊥ AB
SB 2 = SD.SE

b) Kẻ đường kính AE của (O) ; SE cắt (O) tại D . Chứng minh :
c) Gọi I là trung điểm của DE ; K là giao điểm của AB và SE . Chứng minh :
SD . SE = SK . SI
d) Vẽ tiếp tuyến tại E của (O) cắt tia OI tại F . Chứng minh : A , B , F thẳng
hàng
Bài 79 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt
nhau tại D
a) Chứng minh : OBDC là tứ giác nội tiếp
b) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC , BC lần lượt tại E và F .
Chứng minh : B , O , E , C , D cùng nằm trên một đường tròn
c) Đường thẳng AD cắt (O) tại K ( khác A ) . Chứng minh : DE là tiếp tuyến
của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF
d) Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh :

·
BAD

=

·

CAM

Bài 80 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O ; R ) ( AB < AC ) . Hai
đường cao BE và CD cắt nhau tại H . Gọi F là trung điểm của AH
a) Chứng minh : BDEC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I , xác định I , IF
vuông góc DE
b) Kẻ dây BK // CD . Chứng minh : BHCK là hình bình hành và AH = 2OI
c) Qua A vẽ đường thẳng xy // DE . Chứng minh : xy là tiếp tuyến của đường
tròn (O)
d) Cho điểm M nằm giữa B , C . Hãy xác định vị trí của A để tổng khoảng cách
từ M đến AB và AC bằng khoảng cách từ B đến AC
Bài 81 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) . Phân giác của góc BAC cắt BC tại D và
cắt (O) tại P
a) Chứng minh : DA . DP = DB . DC và AB . AC = AD . AP . Suy ra
AD 2 = AB. AC − DB.DC

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC ( H thuộc BC ) . Chứng minh : AD là
·
OAH

phân giác của
c) Đường trung tuyến AM ( M thuộc BC ) của tam giác ABC cắt (O) tại Q .Gọi
E là điểm đối xứng của D qua M . Chứng minh : PMEQ là tứ giác nội tiếp


d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD . Chứng minh : PM , CI ,
QE đồng qui tại một điểm thuộc đường tròn (O)
Bài 82 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Điểm M thuộc AC . Vẽ
đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và tia BM tại D
a) Chứng minh : ABCD là tứ giác nội tiếp và MA . MC = MB . MD

b) Tia AD cắt đường tròn đường kính MC tại S . Chứng minh : CA là phân
·
SCB

·ADN

giác của
; BD là phân giác của
c) Chứng minh : AB , MN , CD đồng qui tại 1 điểm
d) Tia AN cắt đường tròn đường kính MC tại E . Chứng minh : DE // AB
e) Chứng minh :

BM .BD + CM .CA = BC 2

Bài 83 : Cho đường tròn (O ; R ) và điểm P ở ngoài (O) . Một cát tuyến qua P cắt
(O) tại M và N (PMN không qua tâm (O)) . Hai tiếp tuyến tại M và N (O) cắt nhau
tại A . Vẽ AE vuông góc OP
a) Chứng minh : A , M , E , O , N cùng nằm trên một đường tròn
b) Tia AE cắt (O) tại I và K . Chứng minh :

AM 2 = AI . AK

OF .OA = OE.OP = R

và

AI
MI 2
=
AK MK 2

2

c) OA cắt MN tại F . Chứng minh :
d) Chứng minh : PI , PK là hai tiếp tuyến của (O)
e) Chứng minh : MI . MK = IN . MK

Bài 84 : Cho tam giác ABC (AB < AC ) nội tiếp (O) và đường kính AK . AB và
CK cắt nhau tại E . AC và BK cắt nhau tại F
a) Chứng minh : BECF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : EF // với tiếp tuyến tại A của (O)
c) Hai tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D . AK cắt EF tại H . Chứng
minh : B , O , C , H , D cùng nằm trên một đường tròn . Suy ra E , D , F
thẳng hàng
d) AD cắt cung

»
BC

tại N . Chứng minh : BEND là tứ giác nội tiếp

e) Kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC . Chứng minh :

·
BAD

=

·
CAM

Bài 85 : Đường tròn (O ; R ) có đường kính AB và tiếp tuyến Ax . Điểm M trên
Ax và điểm C trên (O) sao cho MA = MC
a) Chứng minh : MC là tiếp tuyến của (O) và tứ giác OAMC là tứ giác nội tiếp
b) Tia BC cắt Ax tại D . Vẽ CH vuông góc AB ( H thuộc AB ) . Tia CH cắt
MB tại K . Tính BC . BD theo R và chứng minh rằng K là trung điểm của
CH


»AC

c) BM cắt cung
tại E và DE cắt (O) tại F . Chứng minh : DMEC là tứ giác
nội tiếp và C , H , F thẳng hàng
d) Đường trung trực của BC và tia AK cắt nhau tại N . Chứng minh : tam giác
ANB vuông
Bài 86 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Điểm M thuộc cung BC
nhỏ . Vẽ

MD ⊥ AB

và

MF ⊥ AC

a) Chứng minh : ADMF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : MD . MC = MB . MF
c) Gọi E là giao điểm của DF và BC . Chứng minh :

ME ⊥ BC

»
BC

d) Cho BC cố định trên (O) , A và M di động trên 2 cung
. Xác định vị trí
của A và M để diện tích tam giác MDF có giá trị lớn nhất
Bài 87 : Cho đường tròn ( O ; R ) đường kính AB . Hai điểm I và K thuộc AB với
OI = OK < R . Điểm M thuộc (O) . MI ; MO ; MK cắt (O) tại C ; E ; D . AB cắt
CD tại F ; EI cắt CD tại N và MI cắt EF tại H .
a)
b)
c)
d)

Chứng minh : MIEK là tứ giác nội tiếp và DE // HN
Chứng minh : ENCH là tứ giác nội tiếp
Chứng minh : EF là tiếp tuyến của (O)
MK cắt EF tại P . Chứng minh : ABPH là tứ giác nội tiếp

Bài 88 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H . BD và CE kéo dài gặp (O) tại M và N
a) Chứng minh : BDCE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh :

VAMN

VCHM

cân và MN // DE
AH ⊥ BC

c) Chứng minh :
cân và
tại F
d) Gọi K là điểm đối xứng của D qua BC . Chứng minh : E , F , K thẳng hàng
e) DE cắt (O) tại P . Chứng minh : AP là tiếp tuyến (

VHFP

)

Bài 89 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có đường kính AD = 2R ; AC và BD cắt
nhau tại E . Vẽ

EF ⊥ AD

a) Chứng minh : ABEF , CDEF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : EF là tia phân giác của
AE. AC + DE.DB = 4 R 2

·
BFC

c) Chứng minh :
d) Gọi M và N là trung điểm của EA và ED . Chứng minh : O , B , C , N , F ,
M cùng nằm trên một đường tròn


e) AB và CD kéo dài gặp nhau tại K . Tính số đo

·AKD

và độ dài KE để cho

SVAKD = 4SVKBC

Bài 90 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O ; R ) có đường cao AD cắt cung
tại E . Kẻ dây EK // BC

»
BC

a) Chứng minh : BCKE là hình thang cân và A , O , K thẳng hàng
b) Trên đoạn AD lấy DH = DE . Chứng minh : H là trực tâm của tam giác ABC
c) Gọi M là trung điểm BC . AM cắt HO tại G . Chứng minh : G là trọng tâm
SVAGH = 2 SVAGO

của tam giác ABC và
d) BH ; CH cắt AC và AB tại P và Q . PQ cắt AH tại I . Gọi F là trung điểm
của AH . Chứng minh : I là trực tâm tam giác FBC
Bài 91 : Gọi AB , AC là 2 tiếp tuyến của (O) . Gọi M là trung điểm của AC .
Đường thẳng BM cắt cung
a) Chứng minh :

»
BC

tại E .

MA2 = ME.MB

b) Đường thẳng AE cắt cung lớn

»
BC

tại F . Chứng minh : BF // AC và

EC = EA.EB
2

c) Chứng minh : BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC
d) Tia CO cắt BF tại N . Chứng minh : BC ; AF ; MN đồng qui tại 1 điểm
Bài 92 : Cho đường thẳng (d) cắt ( O ; R ) tại A và B . Điểm M thuộc (d) và ở
ngoài (O) với ( MA < MB ) . Vẽ tiếp tuyến MD đến (O) với D là tiếp điểm . Vẽ
dây DE vuông góc OM tại N , gọi H là trung điểm của AB .
a) Chứng minh : ME là tiếp tuyến (O)
b) Chứng minh : MN . MO = MA . MB . Suy ra ANOB là tứ giác nội tiếp
c) Vẽ đường kính DF của (O) . Đường thẳng qua A và song song với MO cắt
DF tại K và tia BF tại I . Chứng minh : ADKH là tứ giác nội tiếp
d) Chứng minh : K là trung điểm AI
Bài 93 : Cho điểm A nằm ngoài ( O ; R ) . Vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B , C là
tiếp điểm ) và cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E ) . Đoạn AO cắt BC tại H
a) Chứng minh : AH . AO = AD . AE . Suy ra OHDE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : BC là phân giác của

·
DHE

c) Vẽ dây DK // BC . Chứng minh : H , K ,E thẳng hàng ;

HC = HD.HE
2

·
BEH

=

·
CED

;


d) Qua D , vẽ đường thẳng song song với BE cắt AB tại F và tia BC tại G .
Chứng minh : D là trung điểm của FG
Bài 94 : Cho hai dây BC và EF của (O) cắt nhau tại M . Hai tiếp tuyến từ B và C
cắt nhau tại A
OA ⊥ BC

a) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp và
tại H
b) Hai tiếp tuyến tại E và F cắt nhau tại D . OD cắt EF tại K . Chứng minh :
OHMK là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh : OH . OA = OM . OD
d) Chứng minh :

OM ⊥ AD

Bài 95 : Cho hai đường tròn (O ; R ) và (O’ ; R’ ) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’) .

Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại B và C ( B và C
khác A ) . EF là dây cung của đường tròn (O’) vuông góc với BC tại trung điểm I
của BC , EC cắt đường tròn (O’) tại D
a)
b)
c)
d)

Tứ giác BEFC là hình gì ?
Chứng minh : A , D , F thẳng hàng
CF cắt đường tròn (O’) tại G . Chứng minh : EG , DF , CI đồng qui
Chứng minh : ID tiếp xúc với đường tròn (O’)

Bài 96 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC ) . Hai đường cao BE ,
CF cắt nhau tại H . Tia BE cắt (O) tại M ( M không trùng với B ) , tia CF cắt (O)
tại N ( N không trùng với C )
a) Chứng minh : CM = CI
b) Tia MN cắt AB , AC và tia CB lần lượt tại P , Q , R . Chứng minh : RN .
RM = RP . RQ
c) Tia AH cắt BC tại D , gọi K là trung điểm AC . Chứng minh : KEFD là tứ
giác nội tiếp
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF cắt (O) tại T ( T không trùng với B ) .
Chứng minh : H , K , T thẳng hàng
Bài 97 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có ba góc nhọn . Đường tròn tâm O
đường kính BC cắt cạnh AC , AB lần lượt tại D , E . Gọi H là giao điểm của BD và
CE ; F là giao điểm của AH và BC
a) Chứng minh :

AF ⊥ BC

và

·AFD

=

·ACE

b) Gọi M là trung điểm của AH . Chứng minh :
cùng thuộc một đường tròn

MD ⊥ OD

c) Gọi K là giao điểm của AH và DE . Chứng minh :
trực tâm của tam giác MBC

và M , D , O , F , E

MD 2 = MK .MF

và K là


d) Chứng minh :

2
1
1
=
+

FK FH FA

Bài 98 : Từ điểm M nằm ngoài (O ; R ) , sao cho OM = 2R vẽ tiếp tuyến MA , MB
đến đường tròn ( A , B là tiếp điểm ) . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm MA ,
MB
a) Chứng minh : tam giác ABM đều và tính độ dài AB theo R
b) Gọi H là giao điểm của AB và OM . Chứng minh : HEMF là hình thoi và
tính diện tích hình thoi theo R
c) OM cắt (O) tại C . Chứng minh : A , C , F thẳng hàng
d) Gọi I là điểm bất kỳ thuộc EF ( I khác giao điểm 2 đường chéo hình thoi ) .
Từ I , vẽ tiếp tuyến IK đến (O) . Chứng minh : IK = IM
Bài 99 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau
tại H
a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác BFEC
b) Chứng minh : AB . AF = AC . AE
c) Tiếp tuyến tại F của (O) cắt AH tại S . Chứng minh : S là trung điểm AH và
SE là tiếp tuyến của (O)
d) Kẻ tiếp tuyến AM của (O) . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
MHD . Chứng minh : M , I , O thẳng hàng
Bài 100 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . H là
giao điểm 2 đường cao CE và BF . D là một điểm trên cung
A.

»
BC

không chứa điểm

AH ⊥ BC

a) Chứng minh :
và tứ giác AEHF , BEFC là tứ giác nội tiếp
b) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng
AB , AC . Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng
d) Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất
Bài 101 : Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí
trên cung lớn BC sao cho ( AC > AB ) . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ
BC . Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E . Gọi P , Q lần lượt là giao
điểm của các cặp đường thẳng AB với CD ; AD và CE
·
BAD

·
CDE

a) Chứng minh :
=
b) Chứng minh : DE // BC
c) Chứng minh : PACQ là tứ giác nội tiếp