tóm tắt kiến thức oxy (ôn thi thpt quốc gia môn toán)

Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu

TOẠ ĐỘ PHẲNG
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG
Định nghĩa

Đoạn thẳng nối một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến
Trong tam giác vuông, đường trung truyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa cạnh huyền
B

AM 

M

1
BC
2

C

A

Trong tam giác cân tại A, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A vừa là đường cao, đường trung trực và
đường phân giác
A

Các
đường
cơ bản
trong tam
giác

Đường
trung tuyến
B

M

C

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh bằng

2

3 độ dài đường

trung tuyến đi qua đỉnh đó
A

AG 

I

M
G
B

Đường
phân giác

Định nghĩa

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

N

2
2
2
AN ; BG  BI ; CG  CM
3
3
3

C

Đường thẳng đi qua một đỉnh và chia góc tại đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau đợc gọi là tia phân giác
Điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạch của góc đó


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
A

O

MA=MB

M

B

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Trong tam giác cân tại A, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A vừa là đường cao, đường trung trực và đường
trung tuyến
A

B

Đường
phân giác

C

M

Ba đường phân giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác. Điểm này chính là tâm
của đường tròn nội tiếp tam giác
A

Các
đường
cơ bản
trong tam
giác

R=OM

O

B

Định nghĩa

C

M

Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đó được gọi là đường trung trực
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó
N

Đường

trung trực

A

M

B

Trong tam giác cân tại A, đường trung trực của cạnh BC đối diện đỉnh A vừa là đường cao, đường phân giác

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
và đường trung tuyến
A

B

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

M

C

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Ba đường trung trực cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác. Điểm này chính là tâm
của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A

Đường
trung trực

O

R=OA=OB=OC

C

B
Các
đường
cơ bản
trong tam
giác

Định nghĩa

Đoạn thẳng vuông cách hạ từ một điểm xuống cạnh đối diện được gọi là đường cao
Ba đường cao cùng đi qua một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác

A
Đường cao

H
B
Đường tròn
bàng tiếp
tam giác

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

C

Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của một đường phân giác trong với hai đường phân giác
ngoài của hai đỉnh còn lại của tam giác


Thầy Hoàng Hải

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

FB: Hoàng Hải Edu

Toạ độ của
điểm

Hệ toạ độ

trong
không
gian

Toạ độ của
điểm, vectơ
và các yếu
tố liên quan

Hình chiếu vuông góc của điểm M (a,b) trên:
- trục Ox là điểm M1(a,0)
- trục Oy là điểm M2(0,b)
Khoảng cách từ M(a,b) đến:
- trục Ox=b
- trục Oy=a
Điểm đối xứng với điểm M(a,b) qua
- trục Ox là M1(a,-b)
- trục Oy là M2(-a,b)
- gốc toạ độ là M3(-a,-b)
AB  ( xB  xA , yB  y A )

AB  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2
Liên hệ toạ độ
vectơ và toạ độ
các điểm mút

Biểu thức
toạ độ của
vectơ và
ứng dụng

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Chứng minh 3
điểm thẳng
hàng
Tích vô hướng

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

Trung điểm I của AB:

x A  xB

 xI  2
I
 y  y A  yB
 I
2

Trọng tâm G của tam giác ABC

xA  xB  xC

x

G


3
G
 y  y A  yB  yC
 G
3

Ba điểm

A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) thẳng hàng nếu (điều kiện cần và đủ)
x x
y y
AB  k AC  3 1  3 1
x2  x1 y2  y1

Tích vô hướng giữa 2 vectơ

v1 ( x1; y1 ) , v2 ( x2 ; y2 ) được xác định bởi


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu

v1.v2  x1.x2  y1. y2
Góc giữa 2 vectơ
Góc giữa hai
vectơ

cos =

v1 ( x1; y1 ) , v2 ( x2 ; y2 ) được xác định bởi
x1.x2  y1. y2

x12  y12 . x2 2  y2 2

Diện tích tam giác có 3 đỉnh
Diện tích tam
giác

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

SABC

A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) được cho bởi công thức

x1 y1 1
1
 x2 y2 1
2
x3 y3 1
PHƢƠNG PHÁP

DẠNG
PT tổng quát:
VTPT: n  (a; b)

a 2  b2  0

PT: ax  by  c  0
PT tham số

u  (a; b) và M(x0; y0)
 x  x0  at
tR
PT: 
 y  y0  bt
VTCP

Dạng phương
trình
Đường
thẳng

PT chính tắc

x  x0 y  y0

a
b

Phương
trình

Với A(x0;0) và B(0;y0
PT đoạn chắn
Qua A( a; 0) ; B(0; b)
PT:

x y
 1
a b

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm
Lập phương
trình

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

Đường thẳng (d) đi qua

M1 ( x1; y1 ) , M 2 ( x2 ; y2 )

M1 ( x1; y1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ) được xác định bởi:

qua M1 ( x1; y1 )
x  x1 y  y1
(d ) : 
 (d ) :

x2  x1 y2  y1
qua M 2 ( x2 ; y2 )


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
a.Phương trình vectơ của đường thẳng:

M 0 ( x0 ; y0 ) và có vtcp a(a1; a2 )

M  (d )  t  R : M 0 M  t.a

b.Phương trình tham số của đường thẳng:

 x  x0  a1t
(d ) : 
, tR
y

y

a
t
0
2

c.Phương trình chính tắc của đường thẳng:

(d ) :

x  x0 y  y0

a1
a2

d.Phương trình tổng quát của đường thẳng:

(d ) : a2 x  a1 y  a2 x0  a1 y0  0
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
a.Phương trình vectơ của đường thẳng:

M 0 ( x0 ; y0 ) và có vtpt n(n1; n2 )

M  (d )  t  R : M 0 M  t.a

b.Phương trình tổng quát của đường thẳng:

(d ) : n1 ( x  x0 )  n2 ( y  y0 )  0

c.Phương trình tham số của đường thẳng

 x  x0  n2t
(d ) : 
, tR
 y  y0  n1t
Đường
thẳng

Phương
trình

Lập phương
trình

d.Phương trình chính tắc của đường thẳng:

(d ) :

x  x0 y  y0

n2
n1

Chú ý:
Đường thẳng (d) có vtpt

n(n1; n2 ) luôn có dạng: (d ) : n1 x  n2 y  m  0 . Để xác định (d) ta đi xác định m

Phương trình đường thẳng (d) vuông góc (d’):Ax+By+C=0 luôn có dạng: (d): By-Ax+m=0. Để xác định (d)
ta cần xác định m
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M0(x0;y0) có hệ số góc k

qua M 0 ( x0 ; y0 )
(d ) : 
 (d ) : y  k ( x  x0 )  y0
:
hsg k
Chuyển dạng

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

a.Cho đường thẳng (d) có dạng tham số:


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
phương trình

 x  x0  a1t
(d ) : 
, tR
 y  y0  a2t

(I)

Khử t từ phương trình (I) ta được:

 x  x0
t  a
x  x0 y  y0

1
(I )  


a1
a2

t  y  y0

a2

(1)

Phương trình (1) chính là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)
Khử t từ phương trình (I) ta được:

a2 x  a2 x0  a2 a1t
(I )  
 a2 x  a1 y  a2 x0  a1 y0  0
a
y

a
y

a
a
t
1 0
1 2
 1
Phương trình (2) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d)
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

b.Cho phương trình (d) có dạng tổng quát: Ax+By+C=0
Để chuyển (d) về dạng tham số, chính tắc ta thực hiện như sau:

a là vtcp, ta có a( B; A)
Bước 2: Tìm một điểm M ( x0 ; y0 )  (d )
Bước 1: gọi

Phương
trình

Chuyển dạng
phương trình

Đường
thẳng

Bước 3: Vậy


qua M ( x0 ; y0 )
(d ) : 

vtcp a( B; A)

Từ đó ta có được:

 x  x0  Bt
, tR

y

y

At
0

x  x0 y  y0
-Phương trình chính tắc của (d) là:

B
A
1.Cho hai đường thẳng (d1 ), (d 2 ) có phương trình tham số
-Phương trình tham số của (d) là:

Vị trí tương
đối của hai
đường
thẳng

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

 x  x1  a1t
 x  x2  b1u
(d1 ) : 
,  t  R  ; (d 2 ) : 
, (u  R)

 y  y1  a2t
 y  y2  b2u
Lập hệ phương trình tạo bởi (d1 ), (d 2 ) theo hai ẩn t, u ta được

(2)


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu

 x1  a1t  x2  b1u
a1t  b1u  x2  x1


 y1  a2t  y2  b2u
a2t  b2u  y2  y1

(I)

Giải hệ phương trình (I)

a1 b1 x2  x1
 
 (d1 ) / /(d 2 )
a2 b2 y2  y1
a
b
Nếu hệ có nghiệm duy nhất  1  1  (d1 )  (d 2 )   A . Toạ độ điểm A nhận được bằng cách thay
a2 b2

giá trị của t vào phương trình (d1 ) hoặc u vào phương trình (d 2 )
a
b
x  x1
Nếu hệ có vô số nghiệm  1  1  2
 (d1 )  d 2 )
a2 b2 y2  y1
2.Cho hai đường thẳng (d1 ), (d 2 ) có phương trình
Nếu hệ vô nghiệm



 x  x1  a1t
(d1 ) : 
,  t  R  ; (d 2 ) : Ax  By  C  0
 y  y1  a2t
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Thay x, y từ phương trình tham số của đường thẳng

(d1 ) vào phương trình tổng quát của đường thẳng (d 2 )

A( x1  a1t )  B( x2  a2t )  C  0  ( Aa1  Ba2 )t  Ax1  By1  C  0

Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì

(d1 ) / /(d2 )

Nếu phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì

Đường
thẳng

Vị trí tương
đối của hai
đường
thẳng

(d1 ) cắt (d 2 ) . Toạ độ giao điểm nhận được bằng cách

thay giá trị của t vào phương trình tham số của đường thẳng
Nếu hệ có vô số nghiệm thì
3 Cho hai đường thẳng

(d1 )

(d1 )  d2 )

(d1 ), (d2 ) có phương trình tổng quát:

(d1 ) : A1 x  B1 y  C1  0 ; (d2 ) : A2 x  B2 y  C2  0
Lập hệ phương trình tạo bởi (d1 ), (d 2 ) theo hai ẩn x và y ta được

 A1 x  B1 y  C1  0

 A1 x  B1 y  C1


 A2 x  B2 y  C2  0  A2 x  B2 y  C2
Giải hệ phương trình trên bằng cách tính định thức

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

(1)


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu

D

A1 B1

Dx 

-C1 B1

A2 B2

 A1B2  A2 B1

-C2 B2

 C1B2  C2 B1 ; Dy 

Nếu hệ vô nghiệm

Nếu hệ có nghiệm duy nhất

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

A2 -C2

  AC
1 2  A2C1

D  0
A B C

   Dx  0  1  1  1  (d1 ) / /(d 2 )
A2 B2 C2
 D  0
y



khi đó khoảng cách h giữa

Nếu hệ vô nghiệm

A1 -C1

(d1 ), (d2 ) được cho bởi: h 

C1  C2
A12  B12

 D  0  (d1 )  (d2 )  I  có toạ độ: x 

 D  Dx  Dy  0 

A1 B1 C1
   (d1 )  (d2 )
A2 B2 C2

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG
4.Cho hai đường thẳng

(d1 ), (d2 ) có phương trình hệ số góc

(d1 ) : y  k1 x  m1 , (d2 ) : y  k2 x  m2

Đường
thẳng

Vị trí tương
đối của hai
đường
thẳng

k1  k2
m1  m2

a. (d1 ) / /(d 2 )  

k  k2
(d1 )  (d 2 )   1
m1  m2
c. (d1 )  (d2 )  k1  k2
b.

d.
Chùm
đường
thẳng

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

(d1 )  (d2 )  k1.k2  1

Cho hai đường thẳng căt nhau:

(d1 ) : A1 x  B1 y  C1  0 ; (d2 ) : A2 x  B2 y  C2  0
Mọi đường thẳng qua giao điểm của

(d1 ), (d2 ) có phương trình dạng:

Dy
Dx

, y
D
D


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu

 ( A1 x  B1 y  C1 )   ( A2 x  B2 y  C2 )  0 , ,   R ,  2   2  0 (1)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử   0 . Khi đó phương trình (1) được viết dưới dạng:

A1 x  B1 y  C1  ( A2 x  B2 y  C2 )  0


đặt m  , ta được: A1 x  B1 y  C1  m( A2 x  B2 y  C2 )  0

hay ( A1  mA2 ) x  ( B1  mB2 ) y  C1  mC2  0
khi đó có một vtcp là

a( B1  mB2 ; A1  mA2 )

Đường thẳng của chum song song với một đường thẳng () cho trước
Bước 1: xác định một vtcp

b( B, A) của ()

Bước 2: đường thẳng của chùm song song với đường thẳng ()



B1  mB2 A1  mA2

m
B
A

Đường thẳng của chùm vuông góc với một đường thẳng () cho trước
Bước 1: xác định một vtcp

b( B, A) của ()

Bước 2: đường thẳng của chùm vuông góc với đường thẳng ()

 a.b  0  ( B1  mB2 ) B  ( A1  mA2 ) A  0  m
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Đường thẳng của chùm tạo với đường thằng () cho trước một góc
Bước 1: xác định một vtcp

Chùm
đường
thẳng

Bước 2: đường thẳng của chùm tạo với đường thẳng () một góc

 cos 

Đường
thẳng

A( A1  mA2 )  B( B1  mB2 )
A2  B 2 . ( A1  mA2 )2  ( B1  mB2 )2

Cho hai đường thẳng
Góc và
khoảng
cách

b( B, A) của ()

Góc

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

Cách 1: Gọi
Khi đó, gọi





m

(d1 ), (d2 ) cắt nhau. Xác định góc tạo bởi (d1 ), (d2 )

a, b theo thứ tự là vtcp của (d1 ), (d2 ) suy ra a(a1; a2 ), b(b1; b2 )

  g  (d1 );(d 2 )   cos 

a1b1  a2b2
a12  a2 2 . b12  b2 2


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Nhận xét rằng
Cách 2: Gọi
Khi đó gọi

(d1 )  (d2 )  a1b1  a2b2  0

k1 , k2 theo thứ tự là hsg của (d1 ), (d2 )

  g  (d1 );(d 2 )   tan  

k1  k2
1  k1k2

(d1 )  (d2 )  k1.k2  1
Cho 2 đường thẳng (d1 ), (d 2 ) cắt nhau. Xác định hệ số góc có hướng từ (d1 ) đến (d 2 )
Nhận xét rằng

Gọi

12

là góc có hướng từ

(d1 ) đến (d 2 ) được xác định bởi công thức:

(d1 ) , (d 2 ) theo thứ tự n1 ( A1 , B1 ), n2 ( A2 , B2 ) thì:
A B  A2 B1
tan 12  1 2
A1 A2  B1B2
2.Nếu biết hsg của (d1 ) , (d 2 ) theo thứ tự là k1 , k2 thì:
k k
tan 12  2 1
1  k1k2
Cho điểm M ( xM ; yM ) và đường thẳng (d). Hãy xác định khoảng cách từ M tới (d)
1.Nếu biết vtpt của

Khoảng cách

Gọi H là hình chiếu của M lên (d), khi đó khoảng cách từ M tới (d) bằng MH
Chúng ta xét các trường hợp sau:
Nếu đường thẳng (d) cho dưới dạng: Ax+By+C=0 khi đó:

MH 
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

AxM  ByM  C
A2  B 2

(1)
PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Trong các trường hợp còn lại ((d) có phương trình tham số hoặc chính tắc) chúng ta thực hiện như sau:
-Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát
-Áp dụng công thức (1)
Cũng có thể sử dụng phương pháp sau khi (d) được viết dưới dạng tham số:
Đường
thẳng

Góc và
khoảng
cách

Khoảng cách

 x  x0  a1t
(d ) : 
, tR
 y  y0  a2t
-Điểm H  (d )  H ( x0  a1t; y0  a2t )  MH ( x0  a1t  xM ; y0  a2t  yM )
- MH

 (d )  ( x0  a1t  xM )a1  ( y0  a2t  yM )a2  0

-Từ phương trình (2) ta xác định được t, từ đó suy ra toạ độ

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

(2)

MH


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Nhận xét: sử dụng phương pháp này ngoài việc xác định được MH ta còn xác định được toạ độ điểm H
Xác định hai đường phân giác được tạo bởi (d1 ) : A1 x  B1 y  C1  0; (d 2 ) : A2 x  B2 y  C2  0
Hai đường phân giác được xác định bởi:

A1 x  B1 y  C1
A B
2
1

2
1



A2 x  B2 y  C2
A2 2  B2 2

Xác định hình chiếu của H lên đường thẳng (d)
Viết phương trình

qua M
( Mx) : 
( Mx)  (d )

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (d) thì
phương trình (Mx) và (d)
Xác định điểm M 1 đối xứng với M qua (d)

H  (Mx)  (d )  H có toạ độ là nghiệm của hệ

Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên (d)
Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua (d) thì M là trung điểm của

Điểm liên
quan đến
đường
thẳng

MM1


 xM1  2 xH  xM


 y M1  2 y H  y M
Tìm trên đường thẳng (d):Ax+By+C=0 điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B không thuộc

(d) là nhỏ nhất
Xác định t A .tB  ( AxA  By A  C )( AxB  ByB  C )
TH1: Nếu

t A .tB  0  A, B ngược phía với (d)

Viết phương trình (AB)
Gọi

P0  ( AB)  (d )  P0

Ta có: PA  PB  AB . Vậy PA+PB nhỏ nhất khi P, A, B thẳng hàng
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

t A .tB  0  A, B cùng phía với (d)
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (d)  A1
Viết phương trình ( A1 B)
Gọi P0  ( A1B)  (d )  P0
Ta có PA  PB  PA1  PB  AB . Vậy PA+PB nhỏ nhất khi A1 , P, B thẳng hàng  P  P0

TH2: Nếu
Đường
thẳng

Điểm liên
quan đến
đường
thẳng

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

 P  P0


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Cho đường thẳng phụ thuộc tham số m có phương trình
định luôn tiếp xúc với họ

(d m )

Cách 1: thực hiện như sau
Bước 1: tìm tập hợp các điểm mà họ
có dạng:

Đường
cong tiếp
xúc

Tìm đường
cong cố đinh
tiếp xúc họ

đường thẳng
phụ thuộc tham
số

(dm ) : f ( x, y, m)  0 . Hãy tìm đường cong cố

(d m ) không đi qua. Tập hợp đó được xác định bởi bất phương trình

h( x, y)  g ( x, y)

Bước 2: ta đi chứng minh họ

(d m ) luôn tiếp xúc với đường cong (C) có phương trình h( x, y)  g ( x, y)  0

Cách 2: thực hiện như sau
Bước 1: tính đạo hàm phương trình

f ( x, y, m)  0 theo m, ta có: f m' ( x, y, m)  0

Bước 2: khử tham số m từ hệ phương trình:

 f ( x, y, m)  0
 p( x, y)  0
 '
 f m ( x, y, m)  0
Bước 3: ta chứng minh họ

(d m ) tiếp xúc (C) có phương trình p(x,y)=0

Chú ý:

a.Để chứng minh đường thẳng (d) tiếp xúc với đường cong bậc hai (C) ta thiết lập phương trình hoành độ
(tung độ) giao điểm của (d) và (C). Từ đó nhận xét rằng phương trình có nghiệm kép
b.Đặc biệt nếu (C) là đường tròn tâm I bán kính R, ta đi chứng minh khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng R
Phương trình tổng quát của đường tròn:

(C ) : x2  y 2  2ax  2by  c  0, a 2  b2  c  0
Tâm I(a,b), bán kính R  a  b  c
Phương trình chính tắc của đường tròn
2

Đường
tròn

Phương
trình

Lập phương
trình

2

Tâm I(a,b) và bán kính R  (C ) :  x  a    y  b   R
2

2

2

Phương trình của chùm đường tròn đi qua 2 điểm E, F
Gọi

E ( xE , yE ), F ( xF , yF ) là hai điểm thuộc đường thẳng (d):Ax+By+C=0

Phương trình chùm đường tròn là:

( x  xE )( x  xF )  ( y  yE )( y  yF )  m( Ax  By  C )  0
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

A  0, B  0, E  F chùm đường tròn được gọi là chùm đường lệch (hình 1)
Khi A  0, B  0, E  F chùm đường tròn được gọi là chùm đường tròn tiếp xúc với điểm E ( xE , yE ) có
Khi

Đường
tròn

Phương
trình

Lập phương
trình

phương trình dạng:

( x  xE )2  ( y  yE )2  m( Ax  By  C )  0 ; m  0 (hình 2)
Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu

A  0, B  0, E  F chùm đường tròn được gọi là chùm đường tròn chung đỉnh với đỉnh chung
E ( xE , yE ) có phương trình dạng:
Khi

( x  xE )2  ( y  yE )2  m( y  yE )  0 ; m  0 (hình 3)
Khi A  0, B  0, E  F chùm đường tròn được gọi là chùm đường tròn chung đỉnh với đỉnh chung
E ( xE , yE ) có phương trình dạng:
8

8

( x  xE )2  ( y  yE )2  m( x  xE )  0 ; m  0 (hình 4)
6

6

4

4

F

15

10

E

2

E

2

15

Ax+By+C=0

Ax+By+C=0
j

10

5

5

5

5

10

10

15

15
2

2

(Hình 1)

8
4

6

(Hình 2)

4
6
6

4

x-xE=0

6
4

y-yE=0
2

8

E
2

15

10

5

5

15

10

10

E

15

5

5

2

(Hình 3)
Cho điểm
Vị trí tương
đối

Điểm với
đường tròn

M ( x0 ; y0 ) và đường tròn (C) có phương trình

x  y  2ax  2by  c  0 (a 2  b2  c  0)
2

2

Đường
tròn

CHỦ ĐỀ

8

DẠNG

4

6

có tâm I(a,b) và bán kính R 
CHUYÊN
ĐỀ

2

4

a 2  b2  c

6

PHƢƠNG PHÁP
8

Vị trí tương
đối

Điểm với
đường tròn

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

Ta biết rằng phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là:

PM /( I )  MI 2  R2  x02  y02  2ax0  2by0  c  f ( x0 , y0 )

(Hình 4)

10

Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Nhận xét rằng:
-Nếu PM /( I )

 0  M nằm trong đường tròn

- Nếu

PM /( I )  0  M nằm trên đường tròn

- Nếu

PM /( I )  0  M nằm ngoài đường tròn

Cho đường tròn (C) có phương trình:

x2  y 2  2ax  2by  c  0 (a 2  b2  c  0) có tâm I(a,b) và bán

kính R 

a 2  b2  c
2
2
và đường thẳng (d): Ax  By  C  0, ( A  B  0)
Aa  Bb  C
Phương pháp 1: gọi h  d  I , (d )  

A2  B 2
-Nếu h  R  (d )  (C )  
Đường thẳng
và đường tròn

h  R  (d ) tiếp xúc với (C )
-Nếu h  R  (d )  (C )   A, B
-Nếu

Phương pháp 2: xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d) là:

 x 2  y 2  2ax  2by  c  0  f ( x)  0

(*)

 g ( y)  0
 Ax  By  C  0
-Nếu phương trình (*) vô nghiệm  (d )  (C )  
-Nếu phương trình (*) có nghiệm kép  (d ) tiếp xúc với
phương trình (*)

(C ) tại tiếp điểm H có toạ độ là nghiệm kép của

-Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  (d )  (C )   A, B với A, B là nghiệm phương trình (*)

Cho hai đường tròn không đồng tâm

(C1 ), (C2 ) có phương trình

(C1 ) : x2  y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0 (a12  b12  c1  0) có tâm I1 (a1 , b1 ) và bán kính R  a12  b12  c1

Đường tròn và
đường tròn

(C2 ) : x2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0 (a22  b22  c2  0) có tâm I 2 (a2 , b2 ) và bán kính R  a2 2  b2 2  c2
Phƣơng pháp 1:
-Nếu I1I 2  R1  R2

 (C1 ), (C2 ) không cắt nhau và ở ngoài nhau

-Nếu I1I 2  R1  R2  (C1 ), (C2 ) không cắt nhau và ở trong nhau
-Nếu
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

DẠNG

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

I1I 2  R1  R2  (C1 ), (C2 ) tiếp xúc ngoài nhau
PHƢƠNG PHÁP


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
-Nếu I1I 2  R1  R2  (C1 ), (C2 ) tiếp xúc trong nhau
-Nếu R1  R2  I1I 2  R1  R2  (C1 ), (C2 ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Phương pháp này được sử dụng để xác định số nghiệm của bài toán tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Phƣơng pháp 2: xét hệ phương trình tạo bởi (C1 ), (C2 )
2
2

 x 2  y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0
 x  y  2a1 x  2b1 y  c1  0

 2

2
(*)

 Ax  By  C  0
 x  y  2a2 x  2b2 y  c2  0

(I)

A  2(a1  a2 ), B  2(b1  b2 ), C  c1  c2 và phương trình (*) chính là trục đẳng phương (d) của
(C1 ), (C2 ) . Để xét vị trí tương đối của (C1 ), (C2 ) ta xét vị trí tương đối của (C1 ) với trục đẳng phương (d)
của (C1 ), (C2 ) . Ta lựa chọn một trong hai hướng sau:
trong đó

Vị trí tương
đối

Đường tròn và
đường tròn

Hướng 1: Gọi

h  d  I1 , (d )  

Aa1  Bb1  C

A2  B 2
-Nếu h  R1  (d )  (C1 )    (C1 )  (C2 )  

h  R1  (d ) tiếp xúc (C1 )  (C1 ) tiếp xúc (C2 )
-Nếu h  R1  (d ) cắt (C1 )  (C1 ) cắt (C2 ) tại hai điểm phân biệt A, B
-Nếu

Đường
tròn

Hướng 2: xét hệ phương trình (I)

 f ( x)  0

 g ( y)  0

(1)

-Nếu phương trình (1) vô nghiệm  (C1 )  (C2 )  
-Nếu phương trình (1) có nghiệm kép

 (C1 ) tiếp xúc với (C2 ) tại tiếp điểm H có toạ độ là nghiệm kép

của phương trình (1)
-Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 (C1 ) cắt (C2 ) tại hai điểm phân biết A, B có toạ độ là

nghiệm của phương trình (1)
Cho đường tròn (C) có phương trình:

x2  y 2  2ax  2by  c  0 (a 2  b2  c  0) (hoặc ( x  a)2  ( y  b)2  R2 )
có tâm I (a, b) và bán kính R  a  b  c
Để xác định phương trình tiếp tuyến của (C) ta xét hai khả năng:
Khả năng 1: biết tiếp điểm
Nếu biết tiếp điểm M ( x0 , y0 ) ta sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ được phương trình tiếp tuyến:
2

Tiếp tuyến

Tiếp tuyến của
đường tròn

2

x.x0  y. y0  a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  0 hoặc ( x  a)( x0  a)  ( y  b)( y0  b)  R 2
Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa


Thầy Hoàng Hải
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

FB: Hoàng Hải Edu

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Khả năng 2: không biết tiếp điểm. Ta lựa chọn một trong hai cách sau
Cách 1: đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải
Giả sử tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

x.x0  y. y0  a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  0 hoặc ( x  a)( x0  a)  ( y  b)( y0  b)  R 2 (1)
Điểm

M  (C )  x02  y02  2ax0  2by0  c  0 hoặc ( x0  a)2  ( y0  b)2  R2

(2)

Sử dụng điều kiện của giả thiết thiết lập phương trình theo

x0 , y0
(3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) , từ đó thay vào (1) ta được
Tiếp tuyến của
đường tròn

Đường
tròn

phương trình tiếp tuyến cần xác định
Cách 2: ta xét hai trường hợp:
a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng: x  a  R
Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đề bài

b.Xét tiếp tuyến không vuông góc với Ox, có dạng: y  kx  m
Muốn tìm được tiếp tuyến dạng trên ta cần lập hệ theo hai ẩn k, m
-Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và (C)
-Phương trình thứ hai được suyu ra từ điều kiện cho thêm của đầu bài. Ví dụ như:
(d) đi qua A( xA , y A )  y A  kxA  m
(d) có phương cho trước  hệ số góc k

Tiếp tuyến

(d) hợp với

() (có hsg k1 ) một góc   tan   k1  k

Cho hai đường tròn

1  kk1

(C1 ), (C2 ) có phương trình

(C1 ) : x2  y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0 (a12  b12  c1  0) có tâm I1 (a1 , b1 ) và bán kính R  a12  b12  c1

(C2 ) : x2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0 (a22  b22  c2  0) có tâm I 2 (a2 , b2 ) và bán kính R  a2 2  b2 2  c2
Để tìm tiếp tuyến chung (nếu có) của
Tiếp tuyến
chung của hai
đường tròn

(C1 ), (C2 ) ta xét hai trường hợp:
a.Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng x  a1  R1
Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài

b.Xét tiếp tuyến không vuông góc vơi Ox có dạng y  kx  m
Để tìm được tiếp tuyến dạng trên ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m
-Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và (C1 )
-Phương trình thứ hai được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và
Chú ý:

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

(C2 )


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
a.Để kiểm tra lại kết quả, ta nhớ rắng:
-Nếu (C1 ), (C2 ) ngoài nhau: có 4 tiếp tuyến chung

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

(C2 ) tiếp xúc ngoài: có 3 tiếp tuyến chung
(C2 ) cắt nhau: có 2 tiếp tuyến chung
(C2 ) tiếp xúc trong: có 1 tiếp tuyến chung
(C2 ) nằm trong nhau: không có tiếp tuyến chung

b.Trong trường hợp (C1 ), (C2 ) ngoài nhau ta có thể sử dụng tính chất sau để xác định phương trình tiếp
(C1 ),
-Nếu (C1 ),
-Nếu (C1 ),
-Nếu (C1 ),
-Nếu

Tiếp tuyến
chung của hai
đường tròn

tuyến chung:
-Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đi qua điểm I chia ngoài đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn đi qua điểm J chia ngoài đoạn nối tâm

I1 I 2 theo tỷ số R1
I1 I 2 theo tỷ số

R2
 R1

Vậy bài toán trong trường hợp này được thực hiện theo hai bước:
Bước 1: tìm I, J theo thứ tự chia đoạn
Đường
tròn

I1 I 2 theo tỉ số  R1

Bước 2: lập phương trình tiếp tuyến qua I, J tiếp xúc với

Tiếp tuyến

R2

(C1 ) (hoặc (C2 ) )

(C ) : ( x  a)2  ( y  b)2  R2
Tiếp tuyến với (C) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) có dạng:
Cho đường tròn

 x a
 y0  b 
( x  a)( x0  a)  ( y  b)( y0  b)  R 2  ( x  a)  0
  ( y  b) 
R
 R 
 R 
Ta có: vì M ( x0 ; y0 )  (C )  ( x0  a) 2  ( y0  b) 2  R 2   x0  a    y0  b   1
 R   R 
2

Họ tiếp tuyến
với đường tròn

do đó có thể đặt

x0  a
y b
 cos , 0
 sin  ,

R
R

2

  [0; 2 )

(d ) của (C) có dạng: ( x  a)cos  ( y  b)sin   R
Ta gọi các tiếp tuyến (d ) với tham số  là họ tiếp tuyến của (C). Toạ độ tiếp điểm của (C) với (d ) là:
 x  a  Rcos

 y  b  R sin 
Khi đó mọi tiếp tuyến

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

R2


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Elip (E) là tập hợp những điểm sao cho tổng các khoảng cách tới hai điểm cố định phân biệt

Elip

Định nghĩa

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

khoảng không đổi 2a, lớn hơn khoảng cách

F1 , F2 bằng một

F1 F2 .

Hai điểm cố định

F1 , F2 gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 =2c được gọi là tiêu cự
Đường thẳng F1 F2 : tiêu trục; trung điểm I của F1 F2 là tâm của (E)
PHƢƠNG PHÁP

DẠNG
Trong mp Oxy, nếu (E) có các tiêu điểm
điểm tuỳ ý
2

F1 (c;0), F2 (c,0) và có tổng hai bán kính qua tiêu điểm ứng với

M ( x, y)  ( E) là 2a (a>c) thì elip (E) có phương trình:
2

x
y
 2  1 (a  b); c2  a 2  b2
2
a b

a.Nếu điểm M ( x, y)  ( E )  M1 ( x, y), M 2 ( x,  y), M 3 ( x,  y) cũng thuộc (E). Vậy (E) nhận các trục
toạ độ là trục đối xứng, góc toạ độ O làm tâm đối xứng
b.(E) cắt các trục toạ độ tại 4 điểm
- ( E )  Ox   A1 , A2  có toạ độ A1 (a,0), A2 (a,0),
Phương trình

- ( E )  Oy  B1 , B2  có toạ độ
-Bốn điểm

Elip

A1 A2  2a được gọi là trục lớn

B1 (0, b), B2 (0, b), B1B2  2b được gọi là trục nhỏ

A1 , A2 , B1 , B2 gọi là bốn đỉnh của elip (E)

c.Hình chữ nhật cơ sở có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x  a và các đường thẳng
Vậy elip (E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, các kích thước là 2a, 2b.
d.Từ M ( x, y)  ( E )

Cơ bản

 x2
1


a  x  a
 a2
x a

 2


b  y  b

 y 1
 y b
2

b
Dạng1: Cho elip (E) có phương trình
Elip có các trục
đối xứng trùng
với các trục toạ
độ

Xét hai trường hợp:
a.Nếu a>b
(E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm
(E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài bằng 2b
Tâm sai:

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

x2 y 2

1
a 2 b2

e

c
(0  e  1)
a

F1 (c,0), F2 (c,0), c 2  a 2  b2

y  b .


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
b.Nếu a(E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm

F1 (0, c), F2 (0, c), c 2  b2  a 2

(E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng 2a
Tâm sai:

e

c
(0  e  1)
b

Dạng 2: Cho elip (E) có phương trình

A2 x2  B2 y 2  C 2

Để chuyển (E) về dạng chính tắc ta chia cả hai vế cho
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG
Cho elip (E) có phương trình:

Ax2  By 2  Cx  Dy  E  0

Biến đổi phương trình (1) về dạng:

Cơ bản

Khi đó:
-Elip (E) có tâm đối xứng
-Xét hai trường hợp:
a.Nếu a>b

(E) :

(1)

(x  ) ( y   )

1

a2
b2
2

Elip có trục đối
xứng cùng
phương với
trục toạ độ

C2  0

2

I ( ,  ) , hai trục đối xứng cùng phương với hai trục toạ độ

(E) có trục lớn // Ox có độ dài 2a, chứa hai tiêu điểm

F1 (c   ,  ), F2 (c   ,  ), c2  a 2  b2

(E) có trục nhỏ // Oy có độ dài 2b
Tâm sai

e

c
(0  e  1)
a

b.Nếu a

Elip

(E) có trục lớn // Oy có độ dài 2b, chứa hai tiêu điểm

F1 ( , c   ), F2 ( , c   ), c 2  b2  a 2

(E) có trục nhỏ // Ox có độ dài 2a
Tâm sai

Lập
phương
trình chính
tắc

e

c
(0  e  1)
b

Bước 1: xác định hình dạng của elip (E)
-Nếu (E) có trục đối xứng trùng với trục toạ độ, thực hiện bước 2
-Nếu (E) có trục đối xứng cùng phương với trục toạ độ, thực hiện bước 3
-Nếu (E) có trục đối xứng nghiêng với trục toạ độ, thực hiện bước 4

a, b (a 2 , b2 ) . Vậy cần một hệ hai phương trình với ẩn a, b (a 2 , b2 )
Bước 3: ta cần tìm a, b,  ,  . Vậy cần một hệ phương trình với các ẩn a, b,  , 
Bước 2: ta cần tìm

Bước 4: thực hiện như sau:

-Lấy điểm M ( x, y)  ( E ) có tiêu điểm

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

F1 ( x1 , y1 ), F2 ( x2 , y2 ) và độ dài trục lớn bằng 2a


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
-Chuyển

MF1  MF2  2a

(1)

thành biểu thức giải tích nhờ:

MF  ( x  x1 )  ( y  y1 )
2
1

2

2

MF2  ( x  x2 )  ( y  y2 )
2

2

(2)
2

(3)

MF12  MF2 2 ( x12  x2 2 )  ( y12  y2 2 )  2 x( x1  x2 )  2 y ( y1  y2 )

MF1  MF2
2a
-Lấy (1)+(4) ta được MF1 , rồi thay vào (2) ta sẽ được phương trình (E)
-Suy ra:

MF1  MF2 

Chú ý: nếu không có gì đặc biệt ta luôn giả sử (E) có dạng:
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

(4)

x2 y 2

1
a 2 b2

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG
Cho elip (E) có phương trình:

x2 y 2

1
a 2 b2

Khả năng 1: biết tiếp điểm
Nếu biết tiếp điểm M ( x0 , y0 ) ta sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ, được phương trình tiếp tuyến:

x.x0 y. y0
 2 1
a2
b
Khả năng 2: không biết tiếp điểm
Cách 1: đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải:
Giả sử tiếp điểm
Elip

Tiếp tuyến

Của một elip

Ta có:

M ( x0 , y0 ) , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

M ( x0 , y0 )  ( E ) 

x0 2 y0 2

1
a 2 b2

x.x0 y. y0
 2 1
a2
b

(1)

(2)

Sử dụng điều kiện của giả thiết lập thêm phương trình theo

x0 , y0
(3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M ( x0 , y0 ) , từ đó thay vào (1) ta được
phương trình tiếp tuyến cần xác định.
Cách 2: ta xét các trường hợp
a.tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng x  a
b.tiếp tuyến vuông góc với Oy, có dạng y  b
c.xét tiếp tuyến không vuông góc, có dạng y  kx  m
Muốn được phương trình tiếp tuyến dạng trên ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m
-Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và (E)
-Phương trình thứ hai được suyu ra từ điều kiện cho thêm của đầu bài. Ví dụ như:

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu

A( xA , yA )  yA  kxA  m
(d) có phương cho trước  hệ số góc k
(d) hợp với () (có hsg k1 ) một góc   tan 
(d) đi qua

Cho hai elip



k1  k
1  kk1

( E1 ), ( E2 ) có phương trình

2

x
y2
x2 y 2
( E1 ) : 2  2  1 ; ( E2 ) : 2  2  1
a b
c
d
Của hai elip

CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

( E1 ), ( E2 ) có dạng x  a
b.Xét tiếp tuyến không vuông góc có dạng y  kx  m , ta cần lập hệ phương trình theo hai ẩn k, m
-Phương trình thứ nhất được suy ra từ điều kiện tiếp xúc của (d) và ( E1 )
-Phương trình thứ hai được suy ra từ điều kiện tiếp của của (d) và ( E2 )
a.Nếu a=c tiếp tuyến chung vuông góc với Ox của

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

x2 y 2
Cho elip (E): 2  2  1
a
b
Tiếp tuyến với (E) tại

Hypebol

Tiếp tuyến

Họ tiếp tuyến
với elip

Định nghĩa

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

x.x0 y. y0
 2 1
a2
b

x0 2 y0 2

1
a 2 b2
x
y
do đó có thể đặt 0  cos , 0  sin  ,   [0; 2 )
a
b
x
y
Khi đó mọi tiếp tuyến (d ) của (E) có dạng: cos  sin   1
a
b
Ta gọi các tiếp tuyến (d ) với tham số  là họ tiếp tuyến của (E). Toạ độ tiếp điểm của (E) với (d ) là:
 x  acos

 y  b sin 
Ta có:

Elip

M ( x0 , y0 )  ( E ) có dạng:

M ( x0 , y0 )  ( E ) 

Hypebol (H) là tập hợp những điểm sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách tới hai điểm cố định
phân biệt F1 , F2 bằng một số không đổi 2a, nhỏ hơn khoảng cách F1 F2
Hai điểm cố định

F1 , F2 gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 =2c được gọi là tiêu cự
Đường thẳng F1 F2 : tiêu trục; trung điểm I của F1 F2 là tâm của (H)


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Trong mp Oxy, nếu (H) có các tiêu điểm
ứng với điểm tuỳ ý

F1 (c;0), F2 (c,0) và có trị tuyệt đối hiệu hai bán kính qua tiêu điểm

M ( x, y)  ( H ) là 2a (a>c) thì hypebol (H) có phương trình:

x2 y 2
 2  1 (a  b); b2  c2  a 2
2
a b
a.Nếu điểm M ( x, y)  ( E )  M1 ( x, y), M 2 ( x,  y), M 3 ( x,  y) cũng thuộc (H). Vậy (H) nhận các trục
Cơ bản

Phương trình

toạ độ là trục đối xứng, góc toạ độ O làm tâm đối xứng
b.(H) cắt các trục toạ độ tại 4 điểm
- ( H )  Ox   A1 , A2  có toạ độ
-(H) không cắt Oy. Đặc biệt

A1 (a,0), A2 (a,0), A1 A2  2a được gọi là trục thực

B1 (0, b), B2 (0, b), B1B2  2b được gọi là trục ảo

-Vậy trục thực của Hypebol là trục đối xứng cắt Hypebol, trục ảo là trục đối xứng không cắt Hypebol
c.Từ

M ( x, y)  ( H ) 

x  a
x2
1 x  a  
2
a
 x  a

Như vậy Hypebol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau
-Tập con của (H) chứa những điểm M(x,y) thoả mãn x  a gọi là nhánh bên trái của Hypebol
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

-Tập con của (H) chứa những điểm M(x,y) thoả mãn x  a gọi là nhánh bên phải của Hypebol
-Hai nhánh này đối nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm trục đối xứng
d.Từ

Cơ bản

Phương trình

b 2
x  a2
a

b
x
a
b
-Khi x   :(H) có đường tiệm cận y   x
a
2
2
x
y
e.Cách dựng Hypebol (H): 2  2  1
a b
-Xác định các điểm A1 (a,0), A2 (a,0), B1 (0, b), B2 (0, b) trên hệ toạ độ
-Khi

Hypebol

M ( x, y)  ( H )  y  

x   : (H) có đường tiệm cận y 

-Dựng các đường thẳng

x  a, y  b cắt nhau tại P, Q, R, S

-Hình chữ nhật PQRS có kích thước 2a, 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của Hypebol (H)
-Kẻ hai đường tiệm cận là hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở
-Dựa trên hai đỉnh
Hypebol liên

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

A1 , A2 và hai tiệm cận để vẽ Hypebol

Hai Hypebol có phương trình:


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
hợp

x2 y 2
x2 y 2
( H1 ) : 2  2  1, (H 2 ) : 2  2  1
a b

a b
gọi là hai Hypebol liên hợp
Chú ý: Hai Hypebol liên hợp:
-Có chung các đường tiệm cận và hình chữ nhật cơ sở
-Có các tiêu điểm cà đỉnh khác nhau
-Trục thực của Hypebol này là trục ảo của Hypebol kia và ngược lại

x2 y 2
Dạng1: Cho Hypebol (H) có phương trình 2  2  1
a b
Hypebol có các
trục đối xứng
trùng với các
trục toạ độ

(H) có trục thực thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm
(H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài bằng 2b
Tâm sai:

e

c
(e  1)
a

(H) nhận hai đường tiệm cận có phương trình:
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

b
y x
a

PHƢƠNG PHÁP

DẠNG
Dạng 2: Cho Hypebol (H) có phương trình

x2 y 2

 1
a 2 b2

(H) có trục thực thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm

Hypebol

Cơ bản

Hypebol có các
trục đối xứng
trùng với các
trục toạ độ

F1 (c,0), F2 (c,0), c 2  a 2  b2

F1 (0, c), F2 (0, c), c 2  a 2  b2

(H) có trục ảo thuộc Ox với độ dài bằng 2a
Tâm sai:

e

c
(e  1)
b

b
y x
a
2 2
2 2
2
Dạng 3: Cho Hypebol (H) có phương trình A x  B y  C
(H) nhận hai đường tiệm cận có phương trình:

C2  0
Hypebol có trục Cho Hypebol (H) có phương trình: Ax2  By 2  Cx  Dy  E  0
Để chuyển (H) về dạng chính tắc ta chia cả hai vế cho

đối xứng cùng
phương với
trục toạ độ

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

Biến đổi phương trình (1) về dạng:

(H ) :

(1)

(x  ) ( y   )
( x   )2 ( y   )2


1
(
H
)
:

 1
hoặc
a2
b2
a2
b2
2

2


Thầy Hoàng Hải

FB: Hoàng Hải Edu
Dạng 1: Hypebol (H) có phương trình: ( H ) :

( x   )2 ( y   )2

1
a2
b2

I ( ,  ) , hai trục đối xứng cùng phương với hai trục toạ độ
2
2
2
(H) có trục thực // Ox có độ dài 2a, chứa hai tiêu điểm F1 (c   ,  ), F2 (c   ,  ), c  a  b
Hypebol (H) có tâm đối xứng

(E) có trục ảo // Oy có độ dài 2b
Tâm sai

e

c
(e  1)
a

b

y   x    
a

2
2
(x  ) ( y   )


 1
Dạng 2: Hypebol (H) có phương trình: ( H ) :
a2
b2
Hypebol (H) có tâm đối xứng I ( ,  ) , hai trục đối xứng cùng phương với hai trục toạ độ
Hypebol (H) nhận đường tiện cận có phương trình:

(H) có trục thực // Oy có độ dài 2b, chứa hai tiêu điểm

F1 ( , c   ), F2 ( , c   ), c 2  a 2  b2

(E) có trục ảo // Ox có độ dài 2a
Tâm sai

e

c
(e  1)
b

Hypebol (H) nhận đường tiện cận có phương trình:
CHUYÊN
ĐỀ

CHỦ ĐỀ

b

y   x    

a


PHƢƠNG PHÁP

DẠNG

Bước 1: xác định hình dạng của Hypebol (H)
-Nếu (H) có trục đối xứng trùng với trục toạ độ, thực hiện bước 2
-Nếu (H) có trục đối xứng cùng phương với trục toạ độ, thực hiện bước 3
-Nếu (H) có trục đối xứng nghiêng với trục toạ độ, thực hiện bước 4

a, b (a 2 , b2 ) . Vậy cần một hệ hai phương trình với ẩn a, b (a 2 , b2 )
Bước 3: ta cần tìm a, b,  ,  . Vậy cần một hệ phương trình với các ẩn a, b,  , 
Bước 2: ta cần tìm

Elip

Lập
phương
trình chính
tắc

Bước 4: thực hiện như sau:
-Lấy điểm M ( x, y)  ( H ) có tiêu điểm

F1 ( x1 , y1 ), F2 ( x2 , y2 ) và độ dài trục lớn bằng 2a

-Chuyển MF1  MF2  2a
thành biểu thức giải tích nhờ:

Lớp học tại Hoàn kiếm-Long Biên-Bách Khoa

(1)

MF12  ( x  x1 )2  ( y  y1 )2

(2)

MF22  ( x  x2 )2  ( y  y2 )2

(3)