skkn sử DỤNG đồ THỊ hàm số bậc HAI và dấu TAM THỨC bậc HAI để GIẢI TOÁN

Tờn sỏng kin kinh nghim:
S DNG TH HM S BC HAI V DU TAM THC BC HAI
GII TON
I. Lí DO CHN TI:
1/. Sau khi hc sinh ó hc xong phn Hm s bc hai (hc kỡ I) v xột du ca
Tam thc bc hai (hc kỡ II) , cỏc em ó cú th hiu rừ hn v tớnh ng bin nghch
bin , hỡnh dỏng th ca hm s bc hai v bit cỏch s dng vic kho sỏt s bin
thiờn ca hm s vo gii cỏc bi toỏn n gin nh: xỏc nh s nghim ca phng
trỡnh bc hai , tỡm GTLN v GTNN ca hm s bc hai trờn R, xột du cỏc tam thc
bc hai, gii bt phng trỡnh bc hai. Tuy nhiờn, trong thc t cú rt nhiu bi
toỏn khỏc nhau phi dựng kin thc v Hm s bc hai v xột du ca Tam thc bc
hai gii v trong nhiu trng hp li gii ca bi toỏn cú phn ngn gn v d
hiu hn. Nhng do hn ch v thi gian, nờn sỏch giỏo khoa khụng gii thiu cho
cỏc em nhng bi toỏn ngoi nhng dng trờn; vỡ vy khi gp nhng bi toỏn cú yờu
cu khỏc thỡ cỏc em khụng bit vn dng Hm s bc hai v xột du ca Tam thc
bc hai vo gii cỏc bi toỏn ú.
2/. Vic vn dng phng phỏp ny i vi hc sinh khụng quỏ khú, tuy nhiờn
cỏc em cha cú thi gian lm quen v luyn tp nờn vic vn dng cũn b hn ch.
Trong quỏ trỡnh ging dy ca mỡnh tụi thy rng cú th s dng cỏc gi ngoi khúa,
cỏc gi hc T chn rốn luyn cho cỏc em nhiu kiu bi khỏc nhau ca dng toỏn
ny s giỳp cỏc em cú thờm mt phng phỏp mi khi lm mt s bi toỏn ó hc
lp 10.Trong chuyờn ny tụi mun chng minh iu ú thụng qua mt s vớ d c
th.
II. NI DUNG:
Phn I: Tỡm Giỏ tr ln nht, Giỏ tr nh nht ca hm bc hai
1/. C s lý lun: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn min D.
Kí hiệu : maxf(x) là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D.
D

minf(x) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D.
D

nh ngha:

f (x) M, x D
1) M = max f (x)
xD
x0 D : f(x0 ) = M
f (x) m, x D
2) m = min f (x)
xD
x0 D : f(x0 ) = m
tỡm Giỏ tr ln nht, Giỏ tr nh nht (vit tt l GTLN, GTNN) ca mt hm s
trờn R cú th s dng cỏc phng phỏp a hm s v dng
2
b


f ( x) a x

2a 4a

Nhng hc sinh s lỳng tỳng hoc lm sai nu phi tỡm GTLN,GTNN ca hm s
trờn mt min D tựy ý. Vic nm vng bn cht cng nh ý ngha ca GTLN, GTNN
thụng qua th hm bc hai giỳp cho hc sinh hiu sõu thờm cỏc tớnh cht ca hm


số và có lời giải đúng nhất, và lên lớp 12 khi gặp bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm
số các em dễ dang tiếp thu hơn.
2/. Nội dung thực hiện:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2 + 2x + 3 trên:

a/ Tập xác định
b/ D = [-3; 0]
c/ E = [0; 3]
Bài giải:
Bằng cách vẽ đồ thị hàm số đã cho trên các miền tương ứng có thể dễ dàng chỉ cho
học sinh thấy kết quả của bài toán
y
y

6
6

3

3

2
2
1
1

x
x

-3

-2

-1

O

-3

-2

-1

O

1

1

Đồ thị hàm số y = f(x) = x2 + 2x + 3
trên Tập xác định
y

Đồ thị hàm số y = f(x) = x2 + 2x + 3
trên D = [-3; 0]

18

6

3
1
O

x

1

3

Đồ thị hàm số y = f(x) = x2 + 2x + 3 trên E = [0; 3]
Vậy:


 b 
a) a > 0, min f(x)  f     f ( 1)  2, kh«ng tån t¹i max f(x).
R
R
 2a 
min f (x)  f ( 1)  2
b

b) a > 0; 
 1 D   D
2a

max f (x)  max{ f (0); f(3)}= max{3; 6} = 6.
min f (x)  min{ f (0); f(3)} = min{3; 18} = f (0)  3
b
c) a > 0; 
 1 E   E
f (x)  max{ f (0); f(3)} = max{3; 18} = 18.
2a
max
E

Từ ví dụ cụ thể trên ta có nhận xét tổng quát:

a) Tr­êng hîp 1 : D = R

 b 
* a < 0, max f(x)  f      , kh«ng tån t¹i min f(x).
R
R
4a
 2a 

 b 
* a > 0, min f(x)  f      , kh«ng tån t¹i max f(x).
R
R
4a
 2a 
b) Tr­êng hîp 2 : D= x  R x   hoÆc D= x  R x  
*a>0:

  b 

  b 

 MinD f(x)=Min  f  - 2a  , f( )  , hoÆc Min  f  - 2a  , f() 


 

 



D
kh«ng tån t¹i max f(x).

D
*a  0 :

  b 

  b 

 Max D f(x)=Max  f  - 2a  , f( )  , hoÆc Max  f  - 2a  , f() 


 

 


D
kh«ng tån t¹i min f(x).

D
b
 b 
Chó ý : NÕu -  D th× kh«ng xÐt f  -  .
2a
 2a 
c) Tr­êng hîp 3 : D= ; 

  b 

  b 

* max f(x)  max  f    , f( ), f() 
* min f(x)  min  f    , f( ), f()
D
D
  2a 

  2a 

b
 b 
Chó ý : NÕu -  D th× kh«ng xÐt f  -  .
2a
 2a 

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = cos2x + 3sinx + 4.
Bài giải:
2
Ta có f(x) = 1 - sin x + 3sinx + 4 = - sin2x + 3sinx + 5 nên có thể đưa bài toán về
dạng quen thuộc bằng cách đặt t = sinx , t   1;1 hàm số trở thành f(t) = - t2 + 3t + 5


Ta thấy a = - 1 < 0 ; 

b 3

   1;1 ; f (1)  1; f (1)  7
2a 2

Suy ra:
* Min f(t)=1  min f(x) =1, cã ®­îc  t  1  sinx =  1.
 1;1

R

* Max
f(t)=7  max
f(x) =7, cã ®­îc  t  1  sinx = 1.
1;1
R




Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 và Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1.
Bài 3: Giả sừ x, y lả nghiệm của hệ phương trình
x + y = a  1
(I)

2
xy
=
a

7a


14

Tìm a để U = x 2  y 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
2
Tr­íc hÕt hÖ (I) cã nghiÖm  S  4P  0  (a  1)2  4(a 2  7a  14)  0
11
 11 
 a  5. Gäi D=  ; 5  .
3
5

ViÕt l¹i U = S 2  2P = (a  1)2  2(a 2  7a  14)  a 2 + 12a  27.
 3a 2  26a  55  0 

Xem U = f(a) =  a2 + 12a  27. Bµi to¸n dÉn tíi t×m min f (a).
D

b
 11  32
Ta cã f    ; f(5) = 8;   6  D.
a
 5 9
32
  11 

 11  32
Suy ra Min f (a)  min  f   ; f(5)   min
; 8  f  .
D

9
 3 9
  5

32
11
VËy MinU =
, ®¹t ®­îc khi a = .
9
3
/

 

Bài 4:
3cos 4 x  4sin 2 x
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
.
3sin 4 x  2cos 2 x
(ĐHSP Hà Nội Khối A - Năm 2002)
Bài giải:


3(cos 4 x-sin 4 x)+4sin 2 x 2cos 2 x
Viết lại y 1 =
3sin 4 x 2cos 2 x
3(cos 2 x-sin 2 x)+4sin 2 x 2cos 2 x
y 1
3sin 4 x 2cos 2 x
1

y 1=
4
3sin x 2cos 2 x

1
3t 2t 2
f(t) > 0, t [0; 1], do / 5 0 và a = 3>0

Gọi f(t) = 3t 2 2t 2. Thấy rằng b / 1
[0; 1]
a 3
Suy ra:
Đặt sin 2 x t, t [0; 1], hàm số trở thành y 1 =

* Min
f(t)=
D

2

/ 5
3
3
8
1
1
2
= max
(y

1)
=

max
y
=
+1
=
,
có
được

t


sin
x
=
.
D
D
a 3
5
5
5
3
3

1
1

4
* Max f(t) = max{f(0); f(1)} = max{2; 3} = f(1) = 3 min(y 1)= min y = +1 = ,
D
D
D
3
3
3
2
có được khi và chỉ khi t = 1 sin x = 1.
Tóm lại, giá trị lớn nhất của hàm số bằng

8
4
; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
5
3

CC BI TP RẩN LUYN:
Bi 1: Gi x1, x2, x3 l cỏc nghim ca phng trỡnh:
x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - 7 = 0
Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc:
P = x12 x22 x32 x1 x2 x3 .

Bi 2: Tỡm a phng trỡnh sau cú nghim thuc 0;
2

2
1 3a 0.
cos x
( 5. II2 - B tuyn sinh H)
Bi 3 :Tỡm m hm s y = mx + x 2 4x 3 cú giỏ tr nh nht ln hn 1
(1 a)tan 2 x

( 123. III - B tuyn sinh H)
Phn II: Dựng du ca Tam thc bc hai chng minh Bt ng thc
1/. C s lý lun:
Hc sinh ó hc nh lớ v du ca Tam thc bc hai v nm vng iu kin tam
thc khụng i du nờn bin i bt ng thc cú v mt trong cỏc dng
f(x) = ax 2 bx c > 0 (a 0)
f(x) = ax 2 bx c 0 (a 0)
f(x) = ax 2 bx c < 0 (a 0)
f(x) = ax 2 bx c 0 (a 0)


Và sử dụng các kiến thức đã học:

  0
* f(x) = ax 2  bx  c  0, x  R  
a>0
  0
* f(x) = ax 2  bx  c  0, x  R  
a>0
  0
* f(x) = ax 2  bx  c  0, x  R  
a<0
  0

* f(x) = ax 2  bx  c  0, x  R  
a<0
2
* f(x) = x  a  a; x; a
* f(x) = b - x 2  b; x; b
2/. Nội dung thực hiện:
Bài 1: Chứng minh rằng: x2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0 , với mọi x,y  R
Bài giải:
2
2
Đặt f ( x)  x  2(2 y  1) x  5 y  6 y  3 ta có:
 '  (2 y  1)2  (5 y 2  6 y  3) =  y 2  2 y  2  0, y  R (vì  '  1  0 và a = –1)
Vậy f ( x)  x2  2(2 y  1) x  5 y 2  6 y  3 > 0, với mọi x,y  R
Bài 2: Chứng minh rằng: ( x  y)2  xy  1  3( x  y) , với mọi x,y  R
(Đề thi tuyển sinh ĐH Bách Khoa 1988)
Bài giải:
2
2
Đặt f(x) = x  2 xy  y  xy  1  3x  3 y
= x2  ( y  3) x  y 2  3 y  1
Đó là một tam thức bậc hai theo x và có :   ( y  3)2  4( y 2  3 y  1) =
3 y 2  2 3 y  1

Đây lại là một tam thức bậc hai theo y với  '  3  3  0    0, y  R
Do đó f(x)  0, x  R . Hay ( x  y)2  xy  1  3( x  y) , với mọi x,y  R
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y =

3
3

Bài 3: Chứng minh rằng : 5x 2  5y 2  5z 2  6xy  8xz  8yz  0
Với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0
Bài giải:
5x 2  5y 2  5z 2  6xy  8xz  8yz  0  5x 2  2(3y  4z)x  5y 2  5z 2  8yz  0 (1)
Đặt f(x) = 5x 2  2(3y  4z)x  5y 2  5z 2  8yz
ta có '  (3y  4z)2  5(5y 2  5z 2  8yz)=  16y 2  16zy  9z 2.
Xem  ' là một tam thức bậc hai của y, thì : ' y  64z 2  9.16z 2  80z2 .


1. NÕu z  0 th× ' y  0 : Do ®ã '  0 víi mäi y. Tõ ®ã suy ra r»ng (1) ®óng víi mäi x.
2. NÕu z = 0 th× '  16y 2 .
a/ Nếu y  0 thì '  0 thì (1) đúng với mọi x
b/ Nếu : y = 0 thì x 2  y 2  z 2 > 0 nên x  0

f(x, y, z) = 5x 2  0
Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0
Bài 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
x2
A
 x(cos B  cos C)  2sin 2 , x  R.
2
2

Bài giải:
2

x
A
 x(cos B  cos C)  2sin 2 . Ta cã:
2

2
2
BC
BC

2
2 A
2 A
  (cos B  cos C)  sin   2cos
cos
  4sin
2 
2
2 
2
2
A
BC

= 4sin 2  cos 2
 1  0
2
2

Do ®ã: f(x)  0, x  R (®pcm).
XÐt tam thøc: f(x)=

Bài 5: Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c thỏa mãn các điều kiện:

a 2  b 2  c 2  2


ab  bc  ca  1

4
4 4
4 4
4
thì : -  a  , -  b  , -  c  .
3
3 3
3 3
3
Bài giải:
Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 2 + 2 = 4
a + b + c = 2

a + b + c = - 2
Hệ đã cho tương đương với hai hệ
a + b + c = 2
a + b + c = - 2
(I) 
;
(II) 
ab + bc + ca = 1
ab + bc + ca = 1
Xét hệ (I). Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra b + c = 2 – a . Thay vào phương
trình thứ hai, ta được:
bc + a(2 - a) = 1  bc = (a - 1)2
b + c = 2 - a
Hệ (I) tương đương với hệ 

2
bc = (a - 1)
b, c là các nghiệm của phương trình: x 2  (2  a)x  (a  1)2  0
Phương trình này có hai nghiệm nên   0
= (2  a)2  4(a  1)2  0
4
 3a2  4a  0
0a
(1)
3
Lập luận tương tự đối với hệ (II) ta được:


4
- a0
(2)
3
Kết hợp kết quả (1) và (2) ta được:
4
4
- a
3
3
Vì vai trò của a, b, c như nhau trong hai đẳng thức đã cho nên ta cũng có
4
4
4
4
-  b  vµ -  c  .
3

3
3
3

Bài 6: Chứng minh rằng : Với b > c > d ta có (a  b  c  d )2  8(ac  bd ) a  R
Bài giải:
2
2
(a  b  c  d )  8(ac  bd )  a  2a(b  c  d )  (b  c  d )2  8ac  8bd  0
2
2
 a  2a(b  3c  d )  (b  c  d )  8bd  0
Đặt f(a) = a 2  2a(b  3c  d )  (b  c  d )2  8bd ta có:
 '  (b  3c  d )2  (b  c  d )2  8bd
= 8(b  c)(c  d )  0 (vì b > c > d)
Vậy : f(a) = a 2  2a(b  3c  d )  (b  c  d )2  8bd > 0 a  R
Hay: (a  b  c  d )2  8(ac  bd ) , a  R
Bài 7: Chứng minh rằng : a(b  c  d  e)  a 2  b2  c 2  d 2  e2 , a, b, c, d , e  R
(ĐH Y Dược TPHCM - 1999)
Bài giải:
Ta có:
a(b  c  d  e)  a 2  b2  c 2  d 2  e2  a 2  (b  c  d  e)a  b2  c 2  d 2  e2  0
Đặt f(a) = a 2  (b  c  d  e)a  b2  c 2  d 2  e2
Đó là một tam thức bậc hai theo a và có:   (b  c  d  e)2  4(b2  c2  d 2  e2 )
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (1,1,1,1) và (b,c,d,e) ta có:
(1.b  1.c  1.d  1.e)2  (1  1  1  1)(b2  c 2  d 2  e2 )
(1.b  1.c  1.d  1.e)2  4(b2  c 2  d 2  e2 )    0, a, b, c, d , e  R
Vậy f(a)  0, , a, b, c, d , e  R . Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài toán có thể giải bằng cách biến đổi tương đương
a(b  c  d  e)  a 2  b2  c 2  d 2  e2

a2
a2
a2
a2
2
2
2
  ab  b   ac  c   ad  d   ae  e 2  0
4
4
4
4
2
2
2
2
a
 a
 a
 a

   b     c     d     e   0 hiÓn nhiªn ®óng.
2
 2
 2
 2 
Bài 8: Tìm các giá trị của a sao cho bất đẳng thức :
1
25 y 2 
 x  axy  y  25 x 2 đúng với mọi cặp số (x;y) thỏa x  y .

100
Bài giải:


y  x  y  x
1

2
a

50
x

2
x

 0, x



a  50
100

 a  50

1
a

50
2


 50  a  x 
 0, x

100
2
1

Đảo lại: a = 50  5  x  y     0 đúng với mọi x, y
10 

Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 9: Cho 2 n số thực a1, a2 , a3 ,....an ; b1, b2 , b3 ,.......bn với n  Z  . Chứng minh:

a 1b 1 a 2 b 2 ....  a n b n  a12  a22  ....  an2 . b12  b22  ....  bn2
Khi nào đẳng thức xảy ra? Áp dụng tìm nghiệm nguyên của hệ:
 x  3 y  4 z  t )2  27( x 2  y 2  z 2  t 2 )

 3
3
3
3

 x  y  z  t  93
Bài giải:
2
2
2
Đặt A = a1  a2  ....  an ; B = a1b1  a2b2  ....  anbn ; C = b12  b22  ....  bn2
Xét f(x) = Ax2  2Bx  C có  '  B2  AC

A = 0  a1  a2  .....  an  0 . Bất đẳng thức đúng.
A > 0  f ( x)   a1x  b1    a2 x  b2   ...   an x  bn   0, x
2

2

2

  '  B2  AC  0 . Suy ra kết quả.
Dấu đẳng thức xảy ra khi  '  0  f ( x)  0 với x = 
a1 x0  b1  0
a x  b  0
b
b
b

f ( x0 )  0   2 0 2
  1   2  .....   n
a1
a2
an
........

an x0  bn  0
Áp dụng: Theo kết quả trên ta có:
2
 x  3 y  4 z  t   27  x2  y 2  z 2  t 2 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

B
A

x y z t
    k  Z  ( x, y, z, t  Z  )
1 3 4 1

x  k
 y  3k

thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được k = 1

z

4
k

t  k
Vậy : x = 1; y = 3; z = 4; t = 1

Bài 10: Cho a, b, c  1;2 và a + b + c = 0. Chứng minh a 2  b2  c2  6
Bài giải:
a  1;2   a  2  a  1  0


  a  2 a  1   b  2 b  1   c  2  c  1  0

 a 2  b2  c2  6 ( vì a + b + c = 0)
a2
Bài 11: Chứng minh rằng:

 b2  c 2  ab  bc  ca biết a3  36 và a.b.c = 1
2
Bài giải:
2
a
Ta có:
 b2  c 2  ab  bc  ca
2
2
a

 (b  c)2  2bc  a(b  c)  bc
3
1
a2 3
2
 (b  c)  a(b  c)    0 vì a > 0 và bc =
a
3 a
Áp dung dấu của tam thức bậc hai để suy ra kết quả.

 x2 y 2   x y 
Bài 12: Chứng minh rằng: 3 2  2   8     10  0
x  y x
y
Bài giải:
2
2
x y
x

y
Đặt   t  2  2  t 2  2
y x
y
x
2
Ta được : 3t 2  8t  4  0  t   t  2
3
Nếu xy < 0  t < 0, bất đẳng thức đúng.
x y
Nếu xy > 0  t    2 , bất đẳng thức đúng.
y x

Bài 13: Chứng minh rằng: a  a  ....  a 
dấu căn)

1  4a  1
với a > 0 ( vế trái có n
2

Bài giải:
Đặt xn  a  a  ....  a  0
 xn  a  xn1

 xn2  a  xn1  a  xn

1  4a  1
1  4a  1
 xn 
2

2
Suy ra điều phải chứng minh.
Ta có: xn2  xn  a  0 

CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh rằng: (x + y)2  2x 5  5y 2  4y 5  6, x,y  R.
Bài 2: Chứng minh rằng: x2 y 4  2( x2  2) y 2  4 xy  x2  4 xy 2 , với mọi x,y  R
Bài 3: Chứng minh rằng: x2  8xy  2 x  20 y 2  12 y  3  0 , với mọi x,y  R
Bài 4: Chứng minh rằng : x 2  5y 2  4xy  2x  6y  3  0 với mọi x,y  R


Bài 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác thì ta luôn có:

1
a 2b 2  b 2c 2  c 2a 2  (a 4  b 4  c 4 )
2

Bài 6: Cho a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác, chứng minh rằng :
b2 x 2  (b2  c 2  a 2 ) x  c 2  0 với mọi x  R
Bài 7: Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c, d ta có (a 2  b2 )(c2  d 2 )  (ac  bd )2
Bài 8: Cho các số a,b,c,d,p,q thỏa mãn: p 2  q 2  a 2  b2  c 2  d 2  0 .
Chứng minh rằng: ( p 2  a 2  b2 )(q 2  c 2  d 2 )  ( pq  ac  bd )2
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có :

4sin3x+5  4cos2x+5sinx

III. KẾT LUẬN:
Qua quá trình giảng dạy nhiều năm bản thân tôi đã cố gắng giới thiệu cho học sinh
cách sử dụng Tam thức bậc hai vào giải toán và thấy rằng các em có khả năng vận
dụng tốt, đặc biệt với các bài toán nâng cao mà các em có thể gặp rất nhiều khi ôn thi

vào các trường Đại học và Cao đẳng. Tuy nhiên trên đây tôi cũng chỉ mới đưa ra
được một số ví dụ áp dụng của phương pháp này, rất mong đươc sự góp ý của các
thầy cô.