skkn ỨNG DỤNG các CÔNG cụ của DIDACTIC TOÁN TRONG THIẾT kế TÌNH HUỐNG dạy học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
_____________
Mã số : ....................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG CÁC CÔNG CỤ CỦA DIDACTIC TOÁN
TRONG THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC

Người thực hiện : TRẦN ANH DŨNG
Lĩnh vực nghiên cứu :
- Quản lí giáo dục



- Phương pháp dạy học môn Toán 
- Lĩnh vực khác

Năm học 2012 - 2013
1




SƠ LƯỢC LÍ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên : TRẦN ANH DŨNG
2. Ngày tháng năm sinh : 24/10/1957
3. Nam, nữ : Nam
4. Địa chỉ : Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

5. Điện thoại : Cơ quan : 0613. 828107 Di động : 0903902179
6. Email :
7. Chức vụ : Hiệu trưởng
8. Đơn vị công tác : THPT chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất : Thạc sĩ
- Năm nhận bằng : 2006
- Chuyên ngành đào tạo : Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : dạy học toán
- Số năm kinh nghiệm : 34 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây :
1. Hợp đồng dạy học, một công cụ để nghiên cứu sai lầm của học sinh (2010)
2. Sổ tay toán học 12 (2011)
3. Vai trò của sai lầm trong việc tổ chức các hoạt động nhận thức trong dạy
học môn toán (2012)

2


Tên SKKN : ỨNG DỤNG CÁC CÔNG CỤ CỦA DIDACTIC TOÁN
TRONG THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Didactic Toán là chuyên ngành nghiên cứu Lí luận và Phương pháp dạy
học bộ môn Toán đã được vận dụng thành công ở nhiều nước. Didactic Toán
thâm nhập vào Việt Nam trong thập niên 90 và cùng với Phương pháp dạy
học trong nước đã cho thấy những lợi ích cụ thể trong nghiên cứu hoạt động
dạy - học.
Tuy nhiên, ở Đồng Nai, đa số giáo viên (GV) chưa tiếp cận được với khoa
học sư phạm này, ngoại trừ một số ít GV được đào tạo sau đại học theo

chuyên ngành này.
Chúng tôi thực hiện SKKN này với mong muốn giới thiệu một cách tối
thiểu những lợi ích của Didactic toán trong hoạt động của giáo viên, đó là
việc sử dụng các công cụ của didactic toán trong thiết kế tình huống dạy học.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lí luận
+ Đề tài thực hiện trên nền tảng cơ sở lí luận của Didactic Toán. Các yếu tố
công cụ của Didactic Toán chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu duy nhất về
Didactic Toán hiện nay ở Việt Nam : Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán
được biên soạn bởi các nhà giáo dục học Pháp, Việt : Annie Bessot, Claude
Comiti, Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến (NXB Đại Hoc Sư Phạm TPHCM)
+ Đề tài còn dựa trên cơ sở lí luận của thuyết kiến tạo. Lí luận của thuyết kiến
tạo được trình bày trong tác phẩm Những vấn đề cơ bản về chương trình và
quá trình dạy học của GS. Nguyễn Hữu Châu (2005)
+ Những yếu tố công cụ của Didactic Toán được sử dụng trong đề tài : biến
dạy học, biến tình huống, hợp đồng dạy học, nghiên cứu khoa học luận một tri
thức, sai lầm của HS theo quan điểm của Didactic Toán.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
+ Mô tả các yếu tố công cụ và vai trò của chúng trong thiết kế tình huống dạy
học Toán.
+ Ví dụ minh họa được trích từ các thực nghiệm mà tác giả và nhóm cộng tác
đã tiến hành thử nghiệm
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
+ Kết quả của đề tài cho thấy những lợi ích và tính khả thi của việc sử dụng
các yếu tố công cụ của Didactic Toán vào việc thiết kế các tình huống dạy học
Toán.
3


+ Kết quả của đề tài còn cho thấy một khoảng trống chưa được khai thác phục

vụ việc đào tạo giáo viên, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy
người học làm trung tâm. Đó là việc vận dụng Didactic Toán kết hợp với các
thuyết đang được phổ biến tại Việt Nam (chẳng hạn, thuyết kiến tạo)
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
+ Về phương diện đào tạo giáo viên Toán, nhất là đào tạo SĐH, ngành GD ĐT cần động viên GV tham dự các khóa học SĐH tại ĐHSP TPHCM. Đây là
cơ sở duy nhất trong cả nước đào tạo Thạc sĩ LL và PPDH Toán theo chương
trình liên kết với ĐH Joseph Fourier (Cộng hòa Pháp) theo xu hướng Didactic
Toán.
+ Có thể tổ chức các lớp tập huấn ngắn hạn (trong hè) cho GV Toán theo
hướng liên kết với ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] ANNIE BESSOT, CLAUDE COMITI, LÊ THỊ HOÀI CHÂU, LÊ VĂN TIẾN
(2009), Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán, NXB ĐHQG TP. Hồ Chí Minh.
[2] Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến (2003), Vai trò của phân tích khoa học luận
lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn toán, Đề tài NCKH
cấp Bộ, ĐHSP TPHCM.
[3] Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình
dạy học, NXB Giáo Dục.
[4] Trần Anh Dũng (2013), Dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học
phổ thông, Luận án Tiến sĩ Giáo Dục Học, ĐHSP TPHCM
[5] Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP Hà Nội.
[6] Lê Văn Tiến, Trần Lương Công Khanh, Trần Anh Dũng (2013), Dạy học Giải
tích ở trường trung học phổ thông – Nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Đề tài
khoa học và công nghệ cấp Bộ, Trường ĐHSP TPHCM.

4


SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đơn vị
.....................................

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

................................, ngày

tháng

năm

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012-2013
–––––––––––––––––
Tên SKKN
ỨNG DỤNG CÁC CÔNG CỤ CỦA DIDACTIC TOÁN

TRONG THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
Họ và tên tác giả: TRẦN ANH DŨNG Chức vụ: Hiệu trưởng
Đơn vị: THPT chuyên Lương Thế Vinh
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: ............................... 
- Phương pháp giáo dục

- Lĩnh vực khác: ............................................. 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 
Trong Ngành 

1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng tại đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực
hiện và dễ đi vào cuộc sống:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng:
Tốt 
Khá 
Đạt 
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của
người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến

kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
5

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ


ỨNG DỤNG CÁC CÔNG CỤ CỦA DIDACTIC TOÁN
TRONG THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
Trần Anh Dũng
I. CÁC YẾU TỐ CÔNG CỤ CỦA DIDACTIC TOÁN
1. Biến dạy học (variable didactique)

Trong dạy học, GV thường yêu cầu HS giải quyết các tình huống cụ thể
nào đó. Những tình huống này thường nảy sinh từ một tình huống tổng quát
hơn nhờ vào việc thực hiện một số lựa chọn (gọi là các biến). Chẳng hạn, xét
hai tình huống sau:
Tình huống 1: HS được yêu cầu làm việc cá nhân để giải phương trình x2 –
4x = 0.
Tình huống 2: HS được yêu cầu làm việc theo nhóm để giải phương trình
2
3x  2x 1  0 .
Cả hai tình huống đều là trường hợp riêng của tình huống giải phương
trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, nhưng với 2 lựa chọn (hay 2 biến) khác nhau:
- Biến V1: HS làm việc cá nhân (trong tình huống 1), làm việc tập thể
(trong tình huống 2).
- Biến V2: Phương trình khuyết hệ số c (trong tình huống 1), không khuyết
c (trong tình huống 2).
Tuy nhiên, có một khác biệt cơ bản giữa V1 và V2. Chỉ có giá trị của biến
V2 (khuyết hay không khuyết c) mới có khả năng làm thay đổi đặc trưng của

các chiến lược giải phương trình của HS, theo nghĩa : chúng có thể làm thuận
lợi hay cản trở việc nảy sinh một chiến lược giải nào đó ở HS, làm cho một
chiến lược trở nên phức tạp và tốn kém công sức hơn hoặc ngược lại đơn giản
và dễ được HS sử dụng hơn,… Cụ thể, chiến lược « đưa về phương trình tích
x(ax + b) = 0 » có nhiều khả năng xuất hiện nếu giá trị được chọn của V2 là
« khuyết c » như trong tình huống 1. Nhưng chiến lược này ít có khả năng
được HS sử dụng với phương trình 3x2  2x 1  0 trong tình huống 2.
Trong các biến như vậy, G.Brouseau gọi biến dạy học là những biến có
thể làm thay đổi đặc trưng của những chiến lược giải hay câu trả lời của học
sinh và giáo viên có thể thực hiện việc lựa chọn các giá trị của biến.
Như vậy, trong các biến trên, chỉ có V2 là biến dạy học, còn V1 được gọi
là biến tình huống.
Tình huống « chu vi tam giác cụt » dành cho học sinh THCS sau đây sẽ
minh họa rõ hơn cho khái niệm biến dạy học:
Tình huống 1: Tính chu vi của tam giác được vẽ trên một tờ giấy A4 (xem
hình 1) :
Hình 1
Hình 1
6


Tình huống 2: Tính chu vi của tam giác được vẽ trên một tờ giấy A4 (xem
hình 2):
Hình 2
Hình 2
Trong cả hai tình huống, HS được cung cấp thước thẳng (chia cm), thước
đo góc, êke, compa và chỉ một tờ giấy A4 trên đó đã vẽ tam giác cần tính chu
vi.
Có nhiều khác biệt giữa hai tình huống do tác động của các biến dạy học.
Sau đây là một trong các biến ấy :

V1 - kích thước của tam giác so với tờ giấy : có thể (hay không thể) dựng
lại một tam giác bằng tam giác đã cho và nằm trọn trong tờ giấy A4.
Trong tình huống 2 : hai cạnh bị cụt của tam giác gần song song với nhau.
Nói cách khác đỉnh bị mất của tam giác ở « xa vô tận ». Điều này ngăn cản
HS sử dụng các chiến lược mà mục tiêu là tạo ra một tam giác vào nằm trọn
trong tờ giấy để thực hiện các phép đo, chẳng hạn : vẽ một tam giác khác đối
xứng với tam giác đã cho qua cạnh không bị cụt hoặc dựng một tam giác biết
một cạnh (là cạnh không bị cụt) và hai góc. Ngược lại, các chiến lược này lại
dễ được HS sử dụng trong tình huống 1.
Vận dụng khái niệm biến dạy học có nhiều ý nghĩa trong nghiên cứu cũng
như dạy học, chẳng hạn :
- Nó giúp GV làm chủ, điều khiển tình huống để đạt mục tiêu dạy học.
Như GS Nguyễn Bá Kim (2009) [5, tr. 222] đã làm rõ :
« Học tập là một sự chỉnh lí kiến thức do bản thân người học thực hiện, còn
người dạy chỉ phải gợi ra sự chỉnh lí đó bằng cách lựa chọn những giá trị của
những biến dạy học. Đặc biệt, việc thay đổi những giá trị như vậy một cách
thích hợp là một biện pháp để làm phai mờ những quan niệm sai lầm của học
trò ».

- Nó cho phép nghiên cứu đặc trưng của mối quan hệ cá nhân của HS với
đối tượng tri thức.
2. Hợp đồng dạy học
Theo quan điểm của didactic, cái đích của GV và HS trong lớp học là tri
thức, nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức là khác nhau. Điều đó là do
vị trí khác nhau của mỗi bên dối với tri thức. Những gì mỗi bên có quyền làm
hay không được làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các
qui tắc có khi tường minh nhưng thường là ngầm ẩn.
G. Brousseau (1980) [1, tr. 337] định nghĩa hợp đồng dạy học (HĐDH)
như là :
“tập hợp các quan hệ xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách

rõ ràng thành những điều khoản mà mỗi bên (thầy giáo và học sinh) có trách
7


nhiệm thực hiện những nghĩa vụ bên này đối với bên kia”.

Từ [1, tr. 339], hợp đồng dạy học là tập hợp những qui tắc phân chia và
hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức
toán được dạy.
Theo các tác giả, việc tôn trọng HĐDH bởi HS không bao giờ tự nó biến
mất. Nó thể hiện qua sự đánh giá trung thực sản phẩm của HS và chỉ có thể
được nhận dạng qua thực nghiệm, chứ không thể nhận ra được trong các mối
liên hệ sư phạm.
Ý nghĩa : HĐDH được xem như một công cụ để nghiên cứu những sai lầm
của HS và dự đoán nguyên nhân của sai lầm.
Để xác định các qui tắc của HĐDH, nhà nghiên cứu phải thực hiện việc
phân tích các thành phần của hệ thống dạy học. Có nhiều khả năng trong việc
xác định này và chúng ta có thể phối hợp chúng với nhau.
Tiến trình này bắt đầu bởi một nghiên cứu trên thành phần “tri thức”, được
thực hiện thông qua việc phân tích SGK. Nghiên cứu ấy cho phép đưa ra giả
thuyết về sự tồn tại các qui tắc của các HĐDH nào đó. Các qui tắc HĐDH ấy,
nếu tồn tại, sẽ chi phối ứng xử của GV cũng như HS. Vì thế, muốn kiểm
chứng dự đoán của mình nhà nghiên cứu phải phân tích hai thành phần GV,
HS. Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về HĐDH có thể được sơ
đồ hóa:

Nguyên tắc phương pháp luận chủ yếu của Didactic toán về việc kiểm
chứng sự tồn tại các qui tắc của HĐDH là tạo ra một sự rối loạn trong hệ
thống. Nghĩa là đặt ‘‘đối tượng’’ (GV hay HS trong những tình huống không
quen thuộc (tình huống ngắt quãng hợp đồng. Khi đó hệ thống những ràng

buộc, những mong đợi qua lại sẽ ngưng hoạt động. Đối tượng không còn có
những dấu hiệu ngầm ẩn quen thuộc. Điều này buộc họ, hoặc thể hiện lên
những dấu hiệu ngầm ẩn này (như vậy người ta làm rõ được những qui tắc
ngầm ẩn của hợp đồng qua ứng xử của đối tượng, hoặc hành động của họ
đánh dấu tính xa lạ của tình huống. Điều này cho phép phân tích được sự khác
biệt giữa những hành động quen thuộc của đối tượng và những hành động của
họ trong những tình huống không quen thuộc.
3. Khái niệm phân tích khoa học luận
Thuật ngữ “Khoa học luận” (épistémologie) là từ ghép từ hai từ gốc từ
Hylạp: épistème (khoa học) và logo (nghiên cứu về). Tuy nhiên, tùy thuộc
vào lĩnh vực nghiên cứu mà thuật ngữ này lại lấy các nghĩa khác nhau.
Didactic toán dùng khái niệm này theo nghĩa: Nó nghiên cứu những điều kiện
và ràng buộc đối với sự nảy sinh các tri thức khoa học, cũng như quá trình
hình thành và phát triển các tri thức đó. Đặc biệt “Nó giúp ta hiểu rõ hơn mối
8


liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học với việc
dạy và học tri thức này” (Dorier J-L, 1997)[2, tr. 2].
Lợi ích của phân tích khoa học luận
Một trong những yếu tố lí thuyết cơ bản của didactic toán là lí thuyết
chuyển hóa sư phạm. Lí thuyết này đề cập đến vấn đề chuyển hóa các đối
tượng tri thức bác học (savoir savant) thành đối tượng tri thức được giảng
dạy. Cụ thể, mục tiêu chủ yếu của nó là nghiên cứu:
- Vấn đề hợp pháp của các đối tượng tri thức được dạy: tri thức giảng dạy
được hợp pháp hóa như thế nào? dựa vào tri thức tham chiếu nào? cái gì
quyết định sự hiện diện của tri thức này (mà không phải của tri thức khác)
trong hệ thống dạy học?
- Việc xuất hiện một cách có hệ thống sự chênh lệch giữa tri thức được dạy
với các tri thức tham chiếu hợp pháp hóa nó (sự chênh lệch sinh ra do những

ràng buộc trên hoạt động của hệ thống dạy học, và do đó trên tri thức): đó là
sự chênh lệch nào ? những ràng buộc nào có thể giải thích cho sự chênh lệch
này ?
Các giai đoạn chủ yếu của qui trình chuyển hóa sư phạm là:
Tri thức bác học

Tri thức cần dạy

Tri thức được dạy

(Thể chế tạo tri thức)

(Thể chế chuyển đổi)

(Thể chế dạy học)

Quá trình chuyển hóa này tạo ra sự khác biệt (đôi khi khá lớn) giữa tri thức
cần dạy và tri thức được dạy so với tri thức bác học.
Nghiên cứu khoa học luận về tri thức cần dạy sẽ cho phép làm rõ sự khác
biệt này và do đó, đặc trưng của tri thức cần dạy so với tri thức bác học. Nó
giúp ta có cái nhìn không hoàn toàn bị bó hẹp trong hệ thống dạy học hay bó
hẹp trong phạm vi của chương trình và sách giáo khoa.
 Về phương diện thiết kế hay phân tích tình huống dạy học:
Theo quan điểm của Didactic toán, khi thiết kế hoặc phân tích một tình
huống dạy học, trước hết nhà nghiên cứu phải tìm cách trả lời những câu hỏi
sau:
- Vấn đề được đặt ra có mối liên hệ như thế nào với lý do tồn tại của đối
tượng tri thức được xem là mục đích của hoạt động dạy học ?
- Vấn đề ấy đưa lại nghĩa nào cho tri thức ?
- Liệu có đảm bảo rằng vấn đề được đặt ra trong tình huống là đích thực đối

với tri thức đang xem xét hay không ? Đích thực theo nghĩa, nó mang lại cho
tri thức một nghĩa đúng so với lịch sử nẩy sinh và tiến triển của tri thức đó, so
với bối cảnh xã hội và quan niệm của cộng đồng khoa học.
 Lợi ích khác của phân tích khoa học luận:
- Phân tích khoa học luận đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu
các chướng ngại khoa học luận, qua đó phân biệt những sai lầm có bản chất
khoa học luận với sai lầm có nguồn gốc từ nhận thức hay từ quan điểm sư
9


phạm của thể chế dạy học.
- Nghiên cứu khoa học luận cũng góp phần quan trọng trong nghiên cứu
quan niệm gắn với tri thức cần giảng dạy của những chủ thể trong hệ thống
dạy học (giáo viên, học sinh). Theo Artigue (1991), để nghiên cứu quan niệm
của chủ thể về một đối tượng tri thức nào đó cần thiết tiến hành đồng thời hai
nghiên cứu sau :
- nghiên cứu những chiến lược và sản phẩm của chủ thể ;
- nghiên cứu tri thức về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định
nghĩa và tính chất khác nhau.
4. Sai lầm từ quan điểm của Didactic toán
Cùng quan điểm với thuyết kiến tạo, nhưng Didactic toán đã có những
nghiên cứu sâu sắc hơn về khái niệm sai lầm (SL), nhất là về nguồn gốc của
nó.
Quan điểm này được Brousseau (1983) [2] khẳng định:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngầu
nhiên của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà
còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã
từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là
không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu
này không phải là không dự kiến trước được, và chúng tạo nên chướng ngại.

Trong hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm
có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này.”

Didactic toán không phủ định các nguyên nhân của SL từ quan điểm của
thuyết hành vi, nhưng nó quan tâm đến SL do hạn chế về mặt phát triển cá thể
và đặc biệt chú trọng nghiên cứu SL có nguồn gốc từ chướng ngại và từ hợp
đồng dạy học.
Sau đây, chúng tôi sẽ làm rõ các nguồn gốc sai lầm này1:
a) Sai lầm do hạn chế về phát triển cá thể
Con người từ lúc còn nhỏ đến khi trưởng thành trải qua nhiều giai đoạn
phát triển cá thể khác nhau cả về tâm lí cũng như tư duy,... Giới hạn phát triển
cá thể ở mỗi giai đoạn cũng là nguồn gốc của sai lầm. Ta minh họa điều này
từ xem xét câu hỏi sau:
Làm thế nào HS khẳng định một mệnh đề là đúng? Nói cách khác, HS
kiểm chứng tính đúng đắn của một mệnh đề ra sao?
Balacheff (1982) đã phân biệt hai kiểu kiểm chứng sau :
- Kiểm chứng thực dụng : xác nhận chân lí của một mệnh đề nhờ vào hành
động và kinh nghiệm.
- Kiểm chứng trí tuệ: kiểm chứng không dựa vào kinh nghiệm. Đó là
những cách xây dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định nghĩa, tính
1

Trần Anh Dũng (2012), “Phân loại sai lầm của học sinh trong dạy học toán”, Tạp chí Khoa học Giáo dục số
81

10


chất tường minh. Phép chứng minh là một kiểm chứng trí tuệ đặc biệt.
Cũng theo Balacheff, có ba kiểu kiểm chứng thực dụng:

- Kiểm chứng kiểu “Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ”: Khẳng định chân lí
của một mệnh đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt
ra vấn đề khái quát hóa.
- Kiểm chứng kiểu “Thí nghiệm quyết đoán”: khẳng định chân lí của một
mệnh đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp mà HS cho là ít riêng biệt
nhất. Cách làm này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm nhưng khác với chủ
nghĩa kinh nghiệm ngây thơ ở chỗ vấn đề khái quát hoá được đặt ra.
- Kiểm chứng kiểu “Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc”: kiểm
chứng này cố trình bày rõ ràng những lý lẽ về chân lí của mệnh đề, bằng cách
thực hiện những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể
xem như (tưởng tượng như) không có tính đặc biệt và riêng rẽ mà đại diện
cho cả một lớp cá thể.
Trong dạy học toán học, do hạn chế về phát triển cá thể, người ta không
thể đòi hỏi HS tiểu học biết sử dụng các kiểm chứng trí tuệ nói chung và
chứng minh nói riêng. Như vậy, nếu yêu cầu HS tiểu học xác nhận một mệnh
đề đúng hay sai, thì các em thường kiểm tra qua một vài trường hợp đặc biệt
hoặc quan sát, đo trên hình vẽ và kết luận. Nhưng từ quan điểm khoa học toán
học, đó là những cách hợp thức hóa sai!
b) Sai lầm có nguồn gốc từ chướng ngại
Từ nghiên cứu về chướng ngại trong phần trước, có thể nói chướng ngại là
một trong những nguồn gốc quan trọng của SL.
Để tìm dấu vết của chướng ngại khoa học luận, Didactic toán đề nghị một
tiến trình như sau :
- Xác định những sai lầm thường xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có
thể nhóm lại quanh một quan niệm.
- Nghiên cứu xem chúng có tồn tại hay không trong lịch sử xây dựng khái
niệm toán học.
- Đối chiếu những chướng ngại lịch sử với những chướng ngại học tập để
nếu có thể thì xác định các đặc trưng khoa học luận của chướng ngại.
c) Sai lầm có nguồn gốc từ hợp đồng dạy học

Nghiên cứu cũng đã chỉ ra rằng hợp đồng dạy học (HĐDH) với những qui
tắc được hình thành một cách ngầm ẩn của nó cũng là một trong các nguyên
nhân của sai lầm.
Khác với thuyết hành vi, thuyết kiến tạo có một cái nhìn tích cực về SL:
sai lầm thực sự đóng một vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là
khi nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ. Do đó,
vấn đề không phải là phòng tránh SL, mà là chủ động tổ chức cho HS gặp SL
và sửa chữa nó như thế nào.
Mặt khác, trước một SL của HS, nếu như thuyết hành vi đi tìm nguyên
nhân từ những kiến thức mà người ta cho rằng HS không nắm vững hay thiếu
11


hụt, hoặc từ sự bất cẩn, vụng về,… của chủ thể, thì thuyết kiến tạo lại nhấn
mạnh vào việc tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây:
- Những quy trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào
được HS vận dụng đã góp phần tạo ra SL này ?
- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình hay
quan niệm đó ?
Một điểm khác biệt căn bản khác giữa thuyết hành vi và thuyết kiến tạo
nằm ở cách thức sửa chữa SL.
Trong khi thuyết hành vi nhấn mạnh vào việc dạy lại và gia tăng luyện tập
củng cố, và do đó nhấn mạnh trên vai trò chủ đạo của giáo viên, thì thuyết
kiến tạo chủ trương sửa chữa SL bằng cách đặt HS vào những tình huống học
tập mới gắn liền với SL đó. Tình huống nhắm tới tạo ra ở HS những xung đột
nhận thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ SL mà chủ yếu là nhận ra rằng
các quy trình hay quan niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu
thuẫn hay nghịch lí. Các tình huống cũng phải tạo thuận lợi cho họ tự phá hủy
hay điều chỉnh quy trình, quan niệm cũ của mình để xây dựng kiến thức mới
thích ứng hơn.

Như vậy, thuyết kiến tạo đặc biệt nhấn mạnh trên vai trò chủ động của chủ
thể (người học) trong việc sửa chữa SL.
II. CÁC VÍ DỤ VỀ VẬN DỤNG TRONG THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG
DẠY HỌC
1. Thiết kế tình huống dạy học để phát hiện sai lầm và nguồn gốc sai lầm
của học sinh.
Bước 1 : Dự đoán sai lầm và nguồn gốc của sai lầm
Chúng tôi đã thực hiện một nghiên cứu sách giáo khoa (SGK) và sách bài
tập (SBT) Đại Số và Giải Tích 11 (chương trình nâng cao) ở [4]. Do giới hạn
của SKKN này, chúng tôi chỉ trình bày một trong nhiều HĐDH được dự đoán
và việc thiết kế tình huống dạy học để kiểm tra tính thỏa đáng của dự đoán
này. Phân tích SGK và SBT cho phép dự đoán HĐDH và sai lầm có nguồn
gốc là HĐDH này như sau :
Sai lầm

Hợp đồng dạy học

Nếu không tìm được cặp số nguyên hoặc hữu
tỷ đặc biệt a, b dương mà f(a).f(b) < 0, đồng
thời f(0) và lim f (x) cùng dấu thi HS kết

Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có
nghiệm âm (dương, hay tùy ý), trong đó f(x) là
một đa thức, HS chỉ cần thực hiện một trong các
hoạt động :

x 

luận phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên (0;
+).

+ Tìm cặp a, b nguyên hoặc hữu tỉ đặc biệt thuộc
(-; 0) (hay (0;+ ) hay (-;)) mà f(a). f(b) < 0.

SL tương tự trong trường hợp xét sự tồn tại
nghiệm của phương trình f(x)= 0 trên (-; 0)
+ Chứng minh f(0) và lim f (x) (hay f(0) và
hay trên R.
x 
lim f (x) hoặc lim f (x) và lim f (x) ) trái dấu.
x 

12

x 

x 


Bước 2 : Thiết kế tình huống dạy học để kiểm chứng sai lầm
Học sinh các lớp 11 được yêu cầu giải bài toán sau đây trong điều kiện
được sử dụng các máy tính bỏ túi (MTBT) không có chức năng giải phương
trình bậc 4.
Bài toán :
Cho hàm số : f (x)  3x 4  10x3  6x2  24x  17, 2229
1) Tính giá trị của hàm số tại các điểm có hoành độ không âm tùy ‎ý và viết
kết quả trong bảng dưới đây (chỉ yêu cầu viết đến 2 chữ số thập phân) :
x
f(x)

0
17,22

2) Phương trình 3x 4  10x3  6x 2  24x  17,2229  0 có nghiệm trên (0; +)
hay không? Tại sao ? (nếu cần tính toán các giá trị nào đó, em có thể ghi vào
phần dưới đây)
Phân tích các yếu tố được sử dụng và dự đoán lời giải
+V1 - môi trường : HS hoạt động trong điều kiện ràng buộc về MTBT.
Đây được xem là một biến dạy học vì việc thay đổi nó sẽ làm thay đổi chiến
lược giải của HS. Chẳng hạn, nếu môi trường là máy tính có hiển thị đồ thị,
nhiều HS sẽ hiển thị đồ thị để dự đoán nghiệm của phương trình. Ngoài ra nếu
MTBT có chức năng giải phương trình bậc bốn, người ta sẽ thấy nổi trội lên
chiến lược giải gần đúng phương trình.
+ V2 - đặc trưng của nghiệm : Các nghiệm của phương trình có giá trị
gần đúng là x1  0,92 và x2  0,93 tạo khó khăn cho HS trong việc tính toán
để dự đoán nghiệm. Nó có tác dụng đặt HS vào một tình huống ngắt quãng
hợp đồng.
+ V3 - đặc trưng của cặp f(0) và lim f ( x ) : Hai giá trị này cùng dấu.
x 

Tính chất này cũng tạo một tình huống ngắt quãng hợp đồng khi mà các bài
tập trong SGK và SBT thường được cho với đặc trưng ngược lại.
Dự đoán các lời giải :
 Chiến lược tìm số hữu tỉ không đặc biệt . Lời giải tương ứng là :
S1 : Tính được giá trị f() < 0 với  (x1; x2), kết luận phương trình f(x) =
0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; ) (hay khoảng khác)
 Chiến lược số nguyên và hữu tỉ đặc biệt : các lời giải tương ứng
- S2 : Tính giá trị của hàm số tại các số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt. Kết
luận không tồn tại m, n mà f(m).f(n)<0 nên phương trình vô nghiệm.
- S3 : Tính giá trị của hàm số tại các số nguyên hay hữu tỉ đặc biệt và kiểm

chứng f(0)>0 ; lim f (x)   . Kết luận phuơng trình vô nghiệm.
x 

 Các chiến lược khác : giải phương trình bằng biến đổi đại số, giải bằng
MTBT,…..
S4 : lời giải tương ứng với chiến lược này.
13


Như vậy, các lời giải tương ứng với sai lầm được dự đoán là S2 và S4.
Bước 3 : Thực nghiệm kiểm chứng
Chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm kiểm chứng trên 65 học sinh
thuộc các lớp 11 Hóa, 11Anh1 và 11Anh2 trường THPT chuyên Lương Thế
Vinh (năm học 2010 - 2011) ở thời điểm HS đã được học khái niệm hàm số
liên tục và định lí giá trị trung gian. Kết quả thực nghiệm như sau :
Lời giải
S1
S4
S2
S3
Tổng số
10
9
19
27
Tỉ lệ
15,4%
13,9%
29,2%
41,5%

Kết luận : Kết quả thực nghiệm cho thấy hiệu quả của việc sử dụng các
giá trị thích hợp của biến dạy học để thiết kế tình huống dạy học làm xuất
hiện sai lầm của HS. Theo quan điểm của thuyết kiến tạo và Didactic, việc đặt
HS vào tình huống đối diện với sai lầm là để họ chủ động tránh được sai lầm
và hình thành những tri thức mới về đối tượng.
2. Thiết kế tình huống dạy học để hình thành khái niệm tích phân và nghĩa
của nó
Hiện nay, theo tinh thần giảm tải, SGK đã đưa vào khái niệm tích phân
một cách hình thức bởi công thức Newton - Leibnitz. Sau đó, người ta thừa
b

nhận rằng kết quả của phép tính

 f ( x )dx

là diện tích một hình thang cong

a

tương ứng.
Quan điểm giảng dạy này làm triệt tiêu quá trình tự xây dựng kiến thức ở
HS, quá trình hình thành tri thức theo quan điểm kiến tạo. Mặt khác, nó cũng
không phù hôp với tiến trình lịch sử của khái niệm này (quan điểm khoa học
luận).
Chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm để tìm hiểu khả năng tự hình
thành khái niệm tích phân ở HS. Để thực nghiệm có tính khách quan, chúng
tôi đã thử nghiệm trên đối tượng HS lớp 11 (11 chuyên Hóa, trường Lương
Thế Vinh, năm học 2011-2012).
Ở đây, chúng tôi không phân tích thực nghiệm một cách hệ thống và đầy
đủ theo phương pháp của Didactic Toán mà chỉ trình bày những nội dung cơ

bản của thực nghiệm. Các hoạt động trong thực nghiệm này đều theo nhóm.
Kịch bản thực nghiệm
Thực nghiệm được trình bày chi tiết trong [5]. Vì vậy, chúng tôi không
trình bày chi tiết nội dung mà chỉ nêu các hoạt động của thực nghiệm trong
phần phụ lục.
Kết quả thực nghiệm và kết luận
Kết quả thực nghiệm cho phép rút ra những kết luận :
1. Học sinh rất khó khăn nếu không có những hướng dẫn chia đoạn [a; b]
thành n đoạn đều nhau. Như vậy, ở đây ta thấy một giá trị của "biến dạy học"
14


tạo thuận lợi cho việc lựa chọn chiến lược của HS. Giá trị đó là "kỹ thuật phân
chia hình" và "kỹ thuật kẹp" có được hướng dẫn tường minh hay không?
2. Ở cấp độ trung học phổ thông, có thể tổ chức cho HS tiếp cận định lí
kẹp một cách tự nhiên mà không cần thiết phải có một chứng minh chặt chẽ.
3. Có thể vận dụng "quan điểm khoa học luận" theo nghĩa làm nảy sinh
khái niệm tích phân với vai trò công cụ để tính diện tích hình thang cong, độc
lập với khái niệm đạo hàm và nguyên hàm.

15


PHẦN PHỤ LỤC
NỘI DUNG CÁC HOẠT ĐỘNG

16


HOẠT ĐỘNG 1

(5 phút làm việc chung cả lớp)

Nhóm số :

BÀI TOÁN
Cho một hình màu xám (gọi là hình thang cong) được giới hạn bởi đồ thị
hàm số f(x) = x2 + 1, các trục tọa độ Ox , Oy và đường thẳng x = 2 (Hình 1).
Gọi diện tích của hình thang cong này là S.
Có thể tính được diện tích S của hình đã cho không ? Vì sao ?

HÌNH 1
17


HOẠT ĐỘNG 2
(15 phút làm việc theo nhóm – Có thể dùng máy tính)
Nhóm số :

BÀI TOÁN (như trong hoạt động 1)
Câu 1 : Người ta chia đoạn [0;2] trên trục hoành thành 4 đoạn đều nhau.
a) Tính diện tích các hình chữ nhật có gạch chéo (Hình 2) và tổng diện tích của
tất cả các hình chữ nhật này (mà ta gọi là A4).
b) Tính diện tích các hình chữ nhật có tô màu xám (Hình 3) và tổng diện tích
của tất cả các hình chữ nhật này (mà ta gọi là B4).
c) So sánh diện tích S của hình thang cong đã cho với A4 và B4.
Câu 2 : Người ta chia đoạn [0;2] trên trục hoành thành 5 đoạn đều nhau.
a) Tính tổng diện tích A5 của tất cả các hình chữ nhật có gạch chéo (Hình 4).
b) Tính tổng diện tích B5 của tất cả các hình chữ nhật tô màu xám (Hình 5).
c) So sánh A4, A5, B4, B5 và diện tích S của hình thang cong đã cho.
TRẢ LỜI CỦA NHÓM

(Có thể ghi tiếp vào mặt sau tờ giấy này)

18


HOẠT ĐỘNG 2
Nhóm số :
(15 phút làm việc theo nhóm – Có thể dùng máy tính)

HÌNH 2

HÌNH 3

19


HOẠT ĐỘNG 2

Nhóm số :

(15 phút làm việc theo nhóm – Có thể dùng máy tính)

HÌNH 4

HÌNH 5

20


HOẠT ĐỘNG 3

(15 phút làm việc theo nhóm – Có thể dùng máy tính)

BÀI TOÁN (như trong hoạt động 1)
Câu 3 : Chia đoạn [0;2] trên trục hoành thành n đoạn đều nhau.Nhóm
Ta gọi:
số :
An là tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật có gạch chéo, được tạo ra
tương tự như khi n = 4 và n = 5 (Hình 6),
Bn là tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật tô màu xám, được tạo ra
tương tự như khi n = 4 và n = 5 (Hình 7),
a) Chứng minh rằng :

An 

14n 2  12n  4
3n 2

và

Bn 

14n 2  12n  4
3n 2

A và lim Bn .
b) Tính nlim
 n
n

c) Có kết luận gì về diện tích S của hình thang cong ?

21
HÌNH
6

HÌNH
7


HOẠT ĐỘNG 3
(15 phút làm việc theo nhóm – Có thể dùng máy tính)
Nhóm số :

KIỂM TRA LẠI KẾT QUẢ
Học sinh của một lớp khác đã dùng phần mềm toán học “Math tools” để tạo ra biểu
diễn hình học và cách tính một cách tự động các giá trị của An và Bn.
a) Hãy dùng phần mềm và kết quả của câu b trong Hoạt động 3 để bổ sung các giá
trị còn thiếu trong các bảng sau đây:
n

An

S

Bn

1
2
3
...

...

...

100
...

...

?

...

500
...

...

...

...

...

1000
...

n+

b) Quan sát bảng và hình biểu diễn bằng phần mềm “Math tools”. Từ đó nêu nhận
xét về quan hệ giữa các dãy giá trị (An) và (Bn) với diện tích S của hình thang cong
đã cho, khi n càng ngày càng lớn ?
A và lim Bn .
c) So sánh diện tích S của hình thang cong đã cho với nlim
 n
n

Từ đó có kết luận gì về S ?
22