Lý thuyết xác xuất thống kê

Chương 1: Biến cố và xác suất
Biến cố, hiểu đơn giản là những sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra.
Các kí hiệu:
Kí hiệu A là một biến cố nào đó
_

_

A

là biến cố đối của A: A xảy ra thì
xảy ra.

A

_

phải không xảy ra và A không xảy ra thì

A

phải không

Xét thêm một biến cố B
A+B: A xảy ra hoặc B xảy ra
AB: A xảy ra và B xảy ra
A/B: A xảy ra khi B xảy ra ( ở đây có nghĩa là B đã xảy ra rồi )
Hầu hết các bài đều được trình bày và giải qua ngôn ngữ của các biến cố, và các biến cố lại có thể
được biểu diễn hoàn toàn qua các kí hiệu trên.
Các công thức:
Sách viết thì lắm nhưng tựa chung lại chỉ có 5 công thức đáng lưu ý:

Công thức cơ bản: Có tổng cộng n trường hợp có thể xảy ra trong 1 phép thử, và có m trường
m
n
hợp thuận lợi cho biến cố A, khi đó P(A) =
Công thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Trường hợp đặc biệt: A và B xung khắc, tức A xảy ra thì B không xảy ra, khi đó P(AB) = 0, và ta
có P(A+B) = P(A) + P(B). Lưu ý là xung khắc khác với đối lập, đối lập thì chắc chắn 1 trong 2
cái sẽ xảy ra, còn xung khắc thì có thể cả 2 đều không xảy ra.
Công thức nhân: P(AB) = P(A).P(B/A)
Trường hợp đặc biệt: A và B độc lập, tức A xảy ra không liên quan gì đến B xảy ra, khi đó
P(B/A) = P(B), và ta có P(AB) = P(A).P(B)
Công thức xác suất đầy đủ: Xét

H1 , H 2 ,...., H n

là một hệ các biến cố đầy đủ ( đôi một xung

n

∑ P( H ) = 1
khắc và chắc chắn có đúng 1 biến cố sẽ xảy ra

i =1

i

n

P ( A) = ∑ P( H i ).P ( A / H i )

A là biến cố bất kì. Khi đó

i =1

Công thức Bayes: Xét hệ như công thức xác suất đầy đủ. Ta có
P( H i / A) =

P ( H i ).P ( A / H i )
P ( A)

Một số lưu ý để áp dụng:


-Công thức thì rất dễ, quan trọng là phân tích từng đề bài để áp dụng. Đọc kĩ đề bài để biết khi
nào là các biến cố cùng xảy ra, hoặc chỉ 1 biến cố xảy ra là đủ. Chú ý các từ như “có đúng”, “có”,
“cả hai” hay “cả ba” …
- Biểu diễn những điều đề bài cho và câu hỏi qua dạng các biến cố, sử dụng các kí hiệu biến cố
đối và biến cố cộng, nhân, phụ thuộc. Lắp công thức vào. Tiền đề cho mọi phép tính là công thức
xác suất cơ bản.
- Biến cố A/B áp dụng khi nào? Khi B xảy ra tác động đến việc A xảy ra. Ví dụ, xét 1 hộp có 2
loại bóng đen và đỏ, lấy 2 quả bóng đồng thời, thì 2 quả vai trò như nhau, nhưng nếu lấy lần lượt,
thì việc lần 1 bốc được quả bóng đen hay đỏ sẽ tác động đến thành phần của hộp, từ đó ảnh
hưởng đến việc lần 2 bốc.
- Có một công thức trong sách có nói nhưng ở trên không liệt kê, là công thức Bernuli. Có thể
đọc lại trong sách để biết nội dung. Cách nhớ là nhớ cách chứng minh: Đầu tiên chọn k lần để
biến cố A xuất hiện, có

C

k

n

cách, ở k vị trí ấy, mỗi vị trí xác suất để A xuất hiện là p, còn ở n-k
k
k n −k
C n. p q
vị trí còn lại, xác suất là q. Nhân hết lại với nhau được
-Công thức xác suất đầy đủ dùng khi nào? Khi yếu tố được xét trong bài toán có 2 tính chất
không liên quan tới nhau; hoặc biến cố cuối cùng là kết quả thực hiện qua 2 giai đoạn. Ví dụ: Một
quả bóng được bốc từ lô I hoặc II, có màu đen hoặc trắng; hay đầu tiên chọn 1 lô bóng từ 2 lô cho
trước, rồi tiếp theo mới chọn 1 quả bóng từ lô mới đó. Chính vì có nhiều trường hợp có thể xảy
ra, mỗi trường hợp lại xảy ra theo một xác suất khác nhau, đồng thời với mỗi trường hợp, xác
suất xảy ra biến cố cần tìm lại khác nhau, nên dùng xác suất đầy đủ.
- Công thức Bayes là trường hợp ngược lại của xác suất đầy đủ. Biến cố A trước được tính theo
hệ n biến cố H, giờ ngược lại, ta biết chắc chắn A đã xảy ra và cần tìm xác suất nó xảy ra trong
trường hợp H nào. Lắp công thức và lần lượt tính từng cái.
- Nói chung quan trọng nhất là đọc kĩ đề bài và đặt được hệ biến cố. Đặt được rồi thì phần còn lại
rất dễ dàng.

Chương 2: Biến ngẫu nhiên
Biến rời rạc và liên tục
Biến ngẫu nhiên là một cách biểu diễn khác của biến cố, nhưng bằng số.
Ví dụ như gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc, thì X có thể nhận các giá trị từ 1
đến 6, với xác suất như nhau là 1/6. X=1 cũng tương đương với biến cố: “Gieo được mặt 1 chấm”
Hiểu đơn giản thì biến rời rạc cho bởi bảng, biến liên tục cho bởi hàm, và hàm ấy liên tục
Lập một bảng phân bố xác suất cũng là làm một bài xác suất nhiều trường hợp, có điều là viết kết
quả dưới dạng số.
Bảng phân bố xác suất thì có lưu ý là tổng các xác suất ở hàng p phải bằng 1.
Hàm phân bố xác suất
Kí hiệu là F(x). Định nghĩa và cũng là cái rất quan trọng để làm bài F(x) = P(X

Với biến rời rạc cho bởi bảng thì xác định hàm F(x) bằng cách chia khoảng x theo các giá trị trên
bảng của X. Nguyên tắc là cứ cộng dồn các số vào, khoảng đầu tiên F(x) = 0 và khoảng cuối cùng
F (x) =1. Xem bài Thí dụ 4, trang 78 kĩ là hiểu.


Ta có xác suất để một số x thuộc khoảng (a,b) nào đó là P (a < x < b) = F(b) – F(a)
Trắc nghiệm thì chắc có câu này, cứ đơn giản là thay a, b vào hàm F và tính ra thôi. Lưu ý là dấu
≤
< có thể thay bằng mà không ảnh hưởng đến công thức.
+∞
Nếu bài toán không có đủ 2 số a,b thì lưu ý là P (x)= 1 – F(a)
+∞
( F(
)=1)
Thêm một lưu ý nho nhỏ nữa cho các bài cho công thức F(x) với một ẩn số và yêu cầu tìm ẩn.
Dùng tính chất hàm liên tục và xét giới hạn trái, phải ở các điểm đầu các khoảng. Có thể xem Thí
dụ 6 ở trang 87 để hiểu.
Hàm mật độ xác suất:
Quan trọng nhất cái chương này. Theo định nghĩa thì f(x) = F’(x), thế nên nếu cho hàm F(x) thì ta
tính đạo hàm sẽ ra được f(x), F(x) có bao nhiêu công thức theo bao nhiêu khoảng thì tương ứng
tính ra f(x) như thế.
Thường thường các bài sẽ cho f(x) dưới dạng là một hàm số trong khoảng (a,b), còn ngoài
khoảng đấy thì f(x) = 0 ( yên tâm nếu không phải như thế thì không làm được đâu ).
+∞

∫

+∞

∫

f ( x) = 1

−∞

−∞

b

f ( x) = ∫ f ( x) = 1
a

Chú ý tính chất
. Còn khi áp dụng vào thực hành thì
thể làm được nhiều bài kiểu cho hàm f(x) và yêu cầu tìm hằng số c,d,k gì đó.

. Từ đó có

Từ hàm f(x) tìm ra F(x) thì dùng phép tính tích phân, nhưng nếu f(x) có chia khoảng thì cũng tách
x

F ( x) =

∫

f (t )dt

−∞

theo từng khoảng ấy. Công thức là

(ở đây ta coi x là một cận, giống như 1,2,..)

( Xem câu b, thí dụ 7, trang 88 )
Các tham số của biến ngẫu nhiên
Kì vọng:
Kí hiệu là E(X). Nếu các bài toán có hỏi về giá trị trung bình thì cũng chính là kì vọng.
n

E ( X ) = ∑ xi pi

Với biến rời rạc, thì

i =1

( có bảng sẵn rồi lắp số vào tính thôi )
E( X ) =

+∞

∫ xf ( x)

−∞

Với biến liên tục thì có công thức
nào đó thôi, dựa vào f(x) )

(thực ra vẫn là tách trong một khoảng (a,b)

Trung vị:
Trung vị nghĩa là cái đứng giữa.
Với biến rời rạc thì trung vị là giá trị

Xi

với

F ( X i ) ≤ 0,5 < F ( X i +1 )


md

Với biến liên tục thì trung vị là số

md

∫

thỏa mãn

f ( x) dx = 0,5

−∞

(coi như giải 1 phương trình)

Mốt: Cái nào xuất hiện nhiều nhất là mốt, nhìn là biết
Phương sai:
Nói luôn về cách tính.

V ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2

Với biến rời rạc thì với cái bảng ấy, tính
X2
hết bằng

E( X 2 )

y hệt như tính E(X), khác cái là các số X thay

E( X ) =
2

+∞

∫x

2

f ( x)

−∞

Với biến liên tục thì có thêm cái công thức
khoảng thôi.

, và vẫn là tách ra, chỉ xét trong 1

Nốt cái cuối là độ lệch chuẩn, thì bằng căn bậc hai của phương sai, chắc dùng để thi trắc nghiệm.

Chương 3: Quy luật phân phối xác suất
Nghe khá là nguy hiểm nhưng thật ra chương này chỉ là nhớ và lắp công thức vào thôi, còn có
mấy cái khá tương đồng với nhau nữa. Quan trọng nhất là nhớ được kí hiệu cho các quy luật.
1.Quy luật không – một – A(P)
Cái này thì rất đơn giản, kiểm tra chắc không có đâu, nhưng là tiền đề để xây dựng nên nhiều cái
khác nên cũng nên biết qua một tí.
Hiểu đơn giản là biến X chỉ nhận 2 giá trị là 0 và 1 ( không nhất thiết là số, chỉ đơn giản là gán 0
và 1 là 2 tính chất đối lập nào đó, ví dụ là trai – gái, đi học – không đi học ), xác suất xảy ra 0 là
p, xác suất xảy ra 1 là q ( với p + q=1 )
Các tham số: Lưu ý ta luôn tính 3 biến E,V và
E = p; V = pq;

σ = pq

( nhớ là

σ= V

σ

, đoạn sau chỉ viết V thôi, tự suy ra được

σ

)

2.Quy luật nhị thức – B(n,p)
Mở rộng của quy luật không – một, và thực ra là định lý Bernuli ở chương 1.
_

Ta vẫn xét một phép thử chỉ có thể xảy ra trường hợp A hoặc

A

, xác suất để A xuất hiện là p, để

_

A

C

xuất hiện là q ( với p+q=1). Khi đó, theo Bernuli, thử n lần thì xác suất để A xuất hiện x lần là:
x
n

p x q n− x

. Thực ra cũng không cần quan tâm quá đến công thức, tự suy ra được thôi.

Quan trọng là nhớ các tham số này:


E = np; V = npq = np(1-p)
P (λ )

3.Quy luật Poisson –

Nói về bản chất, quy luật Poisson chính là quy luật nhị thức, nhưng trong 1 trường hợp đặc biệt: n

np = λ
λ
rất lớn, p rất nhỏ ( n > 20, p < 0,1 ). Đồng thời, ta biết rằng
, với là một hằng số, chính
là số “chốt” của quy luật Poisson.
Px =

λ x −λ
.e
x!

Cũng xét phép thử trên, gọi X là số lần A xuất hiện thì ta có
( trông hơi ghê nhưng
không quan trọng lắm đâu, nếu muốn nhớ kĩ thì đọc phần chứng minh. Xuất hiện số e là do tính
giới hạn )
Tham số: E = V =

λ

( rất dễ nhớ )

Nhìn chung quy luật Poisson sẽ xuất hiện phổ biến hơn nhiều so với quy luật nhị thức, đặc biệt là
trong mấy bài trắc nghiệm.
Thêm một cái chú ý nhỏ nữa, đặc trưng cho phần này, là về mốt ( giá trị nhiều khả năng xuất hiện
nhất, hay nói cách khác là có xác suất cao nhất ). Ví dụ như khi hỏi “số quả bóng có khả năng
bốc được nhiều nhất”, hay “số chai có khả năng vỡ nhiều nhất” … đều là hỏi về mốt.
Kí hiệu mốt là

m0

thì

λ0 − 1 ≤ m0 ≤ λ0

, với lưu ý

m0

là số nguyên, từ đó dễ dàng tìm được

4. Quy luật siêu bội M(N,n)
Bản chất là thực hiện phép thử giống như nhị thức và Poisson, nhưng các phép thử không độc lập
nữa. Công thức và định nghĩa của cái này khá là kinh khủng và khó nhớ, vì thế không cần nhớ
đâu, chỉ cần nhớ mấy tham số là xong.
Gọi p là xác suất để A xảy ra thì ta có:
npq

E = np; V=

N −n
N −n
= np (1 − p )
N −1
N −1

( cái V thì cố nhớ thôi )

5. Quy luật phân phối đều U(a,b)
Quy luật đơn giản nhất. Hiểu đơn giản thì nghĩa là biến X có thể nhận bất kì giá trị nào từ a đến b
Cái này liên quan 1 chút đến hàm mật độ xác suất, cũng dễ thôi. Từ hàm mật độ xác suất có thể

sẽ có 1 số câu hỏi về tính P ( a < x < b ), áp dụng công thức ở chương 2. Ta có, với X phân phối
 1
( x ∈ ( a, b)

f ( x) =  b − a
0( x ∉ (a, b)
đều trong (a,b) thì có hàm mật độ xác suất

Các tham số: E=

a+b
2

,V=

( a − b) 2
12

( nhớ 2 cái này làm trắc nghiệm )


6. Quy luật phân phối lũy thừa

E (λ )

Hàm mật độ xác suất rất kinh khủng nên không cần nhớ đâu. Cùng lắm là cho sẵn hàm mật độ và
yêu cầu tính toán gì đó, sử dụng mấy công thức ở chương 2 đã nêu.

Nhớ các tham số: E=

1
λ

, V=

1
λ2

7. Quy luật phân phối chuẩn

N (µ ,σ 2 )

Quan trọng nhất, chắc cũng ra nhiều nhất. Sách viết rất dài và rất kinh dị nhưng chỉ cần nhớ
những cái này:
Tham số: E=

µ

, V=

σ2
P(a < x < b ) = φ0 (

Công thức quan trọng:

b−µ
a−µ
) − φ0 (
)
σ

σ

lại là tra phụ lục 5 trong sách. Tìm giá trị và gióng xuống
dòng 2,00 và cột .07 )
Lưu ý là

φ0

. Nhớ công thức này, và phần còn
( ví dụ như số 2,7 thì là giao của

φ0 (a) = −φ0 (−a )

8. Quy luật khi bình phương

χ 2 ( n)

Cái này có ra chắc chỉ hỏi trắc nghiệm kiến thức.
Cái duy nhất cần nhớ là tham số: E=n, V=2n
9. Quy luật Student T(n)

E=0, V=

n
n−2

Chương 4: Biến ngẫu nhiên 2 chiều
Không phải trọng tâm ôn thi nên trình bày ngắn gọn và đơn giản nhất thôi.
Xét biến 2 chiều rời rạc
Tức là cho bởi bảng, xét bảng có n cột, m dòng. Cột là các giá trị của X, dòng là các giá trị của Y,

yj
X = xi , Y = y j
xi
giao giữa cột
và dòng
là xác xuất để đồng thời có
m

P ( xi ) = ∑ P ( xi , y j )
j =1

Khái niệm xác suất biên:
( tức là ở đây, với mỗi i ta cố định
biến j chạy từ 1 đến m, sau đó cộng tổng lại, có thể xem thí dụ trang 186 để hiểu rõ )

xi

, và cho


n

P ( y j ) = ∑ P ( xi , y j )

Tương tự với y:

i =1

Xét biến 2 chiều liên tục
Tức là cho bởi hàm F. Định nghĩa và cũng là tính chất quan trọng:

F ( x, y ) = P ( X < x , Y < y )

( nếu cho bài thì lắp định nghĩa này vào hàm F và tính ra )
Thêm một công thức nữa, cho trường hợp X,Y bị chặn trong một đoạn:
P( a < X < b, c < Y < d ) = F (a , c) + F (b, d ) − F ( a, d ) − F (b, c )

Nói về hàm mật độ xác suất: f(x,y)=F”(x,y). Hiểu đơn giản thì đầu tiên, ta coi x là hằng số, tính
đạo hàm của F theo biến y, ta được F’(x,y). Tiếp đó, lại coi y là hằng số, tính đạo hàm của F’ theo
biến x, ta được f(x,y). Xem thí dụ 1 trang 92 là hiểu.
Vì không phải phần trọng tâm nên tôi nghĩ chắc chỉ đến đây thôi, những cái cơ bản nhất.
Dành thời gian tập trung ôn chương 3 hơn.