Đề thi giải tích 1 giữa kì

LỜI GIẢI ĐỀ THI GIẢI TÍCH A1 GIỮA KỲ 28-03-2013
Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM
Câu 1. Cho hàm y = ln(2 + x). Tính y (4) (0)
A Các câu khác sai
B 3
C

4
1
16

D −3
4
Giải câu 1:
- Biến đổi tương đương:
pt ⇔ y = ln 2 1 +

x
2

= ln2 + ln 1 +

x
2

- Khai triển Maclaurint:
ln 1 +

x
x 1 x2 1 x3 1 x4
= − ×

+ ×
− ×
+ o(x4 )
2
2 2
4
3
8
4 16

- Hệ số của x4 là:
−

1
4

×

1
1
=−
16
64

- Vậy:
y (4) (0) = 4! × −

1
64

⇒ Chọn A

Câu 2. Tìm cực trị hàm y = xx
A ycđ = y(e)
B ycđ = y 1
e

C yct = y(e)
D yct = y 1
e

Giải câu 2:
- TXĐ: x = 0 - Logarith hóa 2 vế, ta được:
lny = xln(x)
1

=−

3
8


- Đạo hàm theo biến x, ta được:
y
= ln(x) + 1 ⇒ y = y[ln(x) + 1] = xx [ln(x) + 1]
y
- Trường hợp ln(x) + 1 = 0
ln(x) + 1 = 0 ⇔ ln(x) + ln(e) = ln(1) ⇔ xe = 1 ⇔ x =

1

e

- Trường hợp xx = 0 ⇒ Vô nghiệm
- Nhận thấy rằng hàm ln(x) xác định trong miền (0, +∞), mà trong miền
này thì xx luôn dương nên dấu của đạo hàm chỉ phụ thuộc vào dấu của
g(x) = [ln(x) + 1].
- Bằng cách thay giá trị trong từng khoảng K1 = 0, 1e và K2 = 1e , +∞ ,
thì ta thấy trong khoảng K1 thì dấu của g(x) < 0 và trong khoảng K2 thì
dấu của g(x) > 0.
- Như vậy hàm đạt cực tiểu tại 1e .
⇒ Chọn D

Câu 3. Cho hàm y = x2 e2x . Tính y (n) (0)
A 2n−1 (n2 − n)
B 2n−2 (n2 − n)
C 2n−2 n
D Các câu khác sai
Giải câu 3:
- Khai triển Maclaurint cho hàm e2x đến bậc n, ta được:
e2x = 1 + 2x +

(2x)n
(2x)2 (2x)3
+
+ ... +
+ o(xn )
2!
3!
n!

- Nhân x2 vào ta được:
x2 e2x = x0+2 +21 x1+2 +

22 x2+2 23 x3+2
2n−2 xn−2+2
2n xn+2
+
+...+
+...+
+o(xn )
2!
3!
(n − 2)!
n!

- Như vậy thấy rằng hệ số của xn là:
2n−2
(n − 2)!
2


- Vậy, suy ra:
y (n) (0) =

2n−2
2n−2
×n! =
×n(n−1)(n−2)(n−3)...1 = 2n−2 (n2 −n)
(n − 2)!
(n − 2)(n − 3)...1

⇒ Chọn B
1 sinx
x

Câu 4. Tính giới hạn I = lim+
x→0

A e
B 0
C 1
D 1
e

Giải câu 4:
- Lưu ý: Dạng bất định là ∞0 không phải là dạng bất định 1∞ . Nên không
áp dụng:
x
1
=e
lim 1 +
x→0
x
- Biến đổi ta được:
1

I = lim+ esin xln( x )
x→0

- Tìm giới hạn sau:

lim sin xln

x→0+

1
x

= lim+
x→0

ln

1
x

1
sin x

- Áp dụng quy tắc L’Hospital, được
lim+

sin2 x
tan x
= lim+
sin x = 0
x cos x x→0
x

lim+

tan x
= 1 và
x

x→0

- Vì:
x→0

lim sin x = 0

x→0+

- Vậy giới hạn đã cho có kết quả là: I = e0 = 1 ⇒ Chọn C

3


Câu 5. Cho hàm f (x) = arctan(ex ). Tính d2 f (0)
A
B
C
D

2dx2
0
−2dx2
dx2
Giải câu 5:
- Đạo hàm lần lượt, ta được:

f (x) =
f (x) =

ex
1 + e2x

ex (1 − e2x )
ex (1 + e2x ) − ex (2e2x )
=
(1 + e2x )2
(1 + e2x )2

⇒ f (0) = 0 ⇒ d2 f (0) = 0dx2
⇒ Chọn B

Câu 6. Điểm uốn của hàm y = x3 lnx + 1 là
A Không có điểm uốn
1
B √
√5
6 5,1 −
6 e5
e
√
C 6 e5 , 1 + √5
6 e5
D

1
√

6 5,1
e

+

√5
6 e5

Giải câu 6:
- Hàm số xác định khi x > 0
- Đạo hàm:
y = 3x2 lnx + x2 = x2 (3lnx + 1)
y = 2x(3lnx + 1) + 3x = x(6lnx + 5)
- Xét:
1
1
⇒x= √
y = 0 ⇔ 6lnx + 5 = 0 ⇔ x6 e5 = 1 ⇔ x = ± √
6 5
6 5
e
e
⇔y=

1
√
6 5
e

3

ln

1
√
6 5
e

1
5
+1= √ × −
6
e5
4

5
+1=1− √
6 e5


- Trong miền x > 0 thì dấu y chỉ phụ thuộc vào dấu của g(x) = 6lnx + 5 1
1
Trong khoảng 0, √
thì g(x) < 0 và khoảng √
thì g(x) > 0
6 5
6 5 , +∞
e
e
⇒ Hàm số có điểm uốn:

1
5
√
,1 − √
6 5
e
6 e5

⇒ Chọn B
√
3

Câu 7. Tìm giới hạn I = lim

x→0

1+x2 −ln(1+sin2 2x)−1
1−cos x

A − 22
3
B − 10
3

C
D

22
3

10
3

Giải câu 7:
- Ta thay các VCB tương đương:
Khi x → 0, ta có:
√
x2
3
2
1+x −1∼
3

2

ln(1 + sin 2x) ∼ 4x

2

x2
1 − cos x ∼
2

- Giới hạn đã cho bằng:
I = lim

x→0

x2
3

− 4x2
x2
2

=−

22
3

⇒ Chọn A

Câu 8. Khai triển Maclaurint hàm y =
A 2−2 −2
24
x2

x2

2

24

+ R4

B 2 − x2 − x4 + R4
12
144
2
2

x
C 2 − 2 + 2 x2 + R4
24

24

D Các câu khác sai

5

√
3

8 − x2 đến bậc 4 là


Giải câu 8:
- Biến đổi ta được:
(−x2 )
y =2 1+
8

1
3

- Khai triển Maclaurint đến bậc 4:
1 (−x2 )
+
y =2 1+ ×
3

8

1
3

× − 32
(−x2 )
×
2!
8

x2
=2−2 −2
24

x2
24

2

+ o(x4 )

2

+ o(x4 )

⇒ Chọn A

Câu 9. Cho hàm y =

1
.
x2 −2

Khai triển Taylor hàm y đến cấp 3 tại x0 = 1

A Các câu khác sai
B 1 + 2(x − 1) + 5(x − 1)2 + 12(x − 1)3 + R3
C −1 + 2(x − 1) − 5(x − 1)2 + 12(x − 1)3 + R3
D −1 − 2(x − 1) − 5(x − 1)2 − 12(x − 1)3 + R3
Giải câu 9:
- Đặt: X = x − 1 ⇒ x = X + 1
- Khi đó hàm trở thành:
f (X) =

1
1
1
= 2
=−
2
(X + 1) − 2
X + 2X − 1
1 − (X 2 + 2X)

- Khai triển Maclaurint hàm f(X) tại X=0:
f (X) = − 1 + (X 2 + 2X) + (X 2 + 2X)2 + (X 2 + 2X)3 + o[(X 2 + 2X)3 ]
= −1−X 2 −2X −4X 3 −4X 2 −8X 3 +o(X 3 ) = −1−2X −5X 2 −12X 3 +o(X 3 )
⇒ f (x) = −1 − 2(x − 1) − 5(x − 1)2 − 12(x − 1)3 + o[(x − 1)3 ]
⇒ Chọn D

6


Câu 10. Cho hàm y = f
A

1
x

. Tính d2 y

2f +f
dx2
x4
2xf −f
dx2
x4
2xf +f
dx2
x4
2xf +f
x4

B
C
D

Giải câu 10:
- Đạo hàm theo hàm hợp lần lượt ta được:

−

y =
2x
y = 4f
x

1
x

1
x2
2

1
+ − 2
x

1
x

f

⇒ d2 y =

1
x

f

=

2xf

1
x

+f
x4

1
x

2xf + f
dx2
4
x

⇒ Chọn C

Câu 11. Tính giới hạn lim

√
n

n→∞

n2 + 5n

A 5

B 1
5

C 1
D Các câu kia sai
Giải câu 11:
- Biến đổi giới hạn, ta được:
1

2 +5n )

lim e n ln(n

n→∞

- Tìm giới hạn:
1
1
ln(n2 + 5n ) = lim ln 5n
n→∞ n
n→∞ n
lim

= lim ln5 +
n→∞

n2
+1
5n
1

ln
n
7

1
ln5n + ln
n→∞ n

= lim

n2
+1
5n

= ln5

n2
+1
5n


Do:

1
lim ln
n→∞ n

n2
+1
5n

=0

- Như vậy I = eln5 = 5 ⇒ Chọn A

Câu 12. Cho f (x) = e2x sin x. Tính f (0)
A
B
C
D

1
4
2
Các câu khác sai
Giải câu 12:
- Lấy đạo hàm lần lượt, ta được:
f (x) = 2e2x sin x + e2x cos x = e2x (2 sin x + cos x)
f (x) = 2e2x (2 sin x + cos x) + e2x (2 cos x − sin x) = e2x (3 sin x + 4 cos x)
⇒ f (0) = 4
⇒ Chọn B

Câu 13. Cho hàm y = y(x) xác định bởi y = t − arctan t, x = ln(1 + t2 ).
Tính y’
A 2
B

t
t
2

C −t
2
D −2
t

Giải câu 13:
y x xt = y t ⇒ y x =

1
1 − 1+t
yt
t
2
=
=
2t
xt
2
1+t2

⇒ Chọn B

8


√
Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm y = x − 2 − x2
A Các câu khác sai
√

B ymax = 2, ymin = − 2
√
√
C ymin = − 2, ymax = 2
√
D ymin = −2, ymax = 2
Giải câu 14:
√ √
- TXĐ của hàm số: x ∈ [− 2, 2] - Đạo hàm:
√
x
2 − x2 + x
y =1+ √
= √
2 − x2
2 − x2
- Xét:
y =0⇔

√
2 − x2 + x = 0 (∗) ⇒ 2 − x2 = x2 ⇔ x = ±1

Thay lại vào (∗) thấy x = −1 thỏa.
- Xét:
√
√
√
√
y( 2) = 2
y(− 2) = − 2

- Kết luận:
ymin = −2, ymax =

√
2

⇒ Chọn D

Câu 15. Tính giới hạn lim+ lnxln(x − 1)
x→1

A
B
C
D

1
∞
0
−1
Giải câu 15:
- Đặt t = x − 1, khi đó giới hạn đã cho trở thành:
lim ln(1 + t)ln(t)

t→0+

- Khi t → 0+ , ta có:
ln(1 + t) ∼ t
9

y(−1) = −2


- Vậy:
lim+ ln(1 + t)ln(t) = lim+ tln(t) = lim+

t→0

t→0

t→0

lnt
1
t

- Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được:
lim+

t→0

1
t

− t12

= lim+ (−t) = 0
t→0

⇒ Chọn C

tan (ex−1 −1)
√
x−1
x→1

Câu 16. Tính giới hạn lim
A
B
C
D

2
−2
1
−1
Giải câu 16:
- Đặt t = x − 1, ta được:
tan (et − 1)
lim √
t→0
1+t−1
- Khi t → 0, ta có:
tan (et − 1) ∼ et − 1 ∼ et

√

1+t−1∼

- Như vậy, giới hạn đã cho tương đương giới hạn sau:
lim

et

t→0 t
2

2et
t→0 t

= lim

- Áp dụng quy tắc L’Hospital:
2et
2et
= lim
=2
t→0 t
t→0 1

lim
⇒ Chọn A

10

t
2


Câu 17. Tính giới hạn lim

n→∞

A

2n−1 3n
2n+1

1
e3
3

B e
C 12
e

D e2
Giải câu 17:
- Biến đổi, ta được:
lim

n→∞

1+

3n

−2
2n + 1

= lim

n→∞

lim

1+

−6n

−2
2n + 1

= en→∞ 2n+1 = e−3 =
Vì:

1
e3

−6n
−6
−6
= lim
=
= −3
1
n→∞ 2n + 1
n→∞ 2 +
2
n
lim

⇒ Chọn A
3x−3−sin3 (3x−3)
x→1 2x−2+sin (2x−2)

Câu 18. Tinh giới hạn lim
A

2n+1
−2

3
2

B 1
C 3
4

D 0
Giải câu 18:
- Đặt t = x − 1, ta được giới hạn sau:
3t − sin3 3t
lim
t→0 2t + sin 2t
- Khi t → 0, ta có:
sin3 3t ∼ 27t3

sin 2t ∼ 2t

- Giới hạn đã cho tương đương với:

3t − 27t3
3t
3
= lim =
t→0 2t + 2t
t→0 4t
4

lim

11

−2
×3n
2n+1


⇒ Chọn C

Câu 19. Tiệm cận của hàm y =

|x−1|
x2

A y=x
B y = 0, x = 0
C x=0
D y=0
Giải câu 19:
- Hàm số xác định khi: x = 0

- Tiệm cận đứng:
Xét:

|x − 1|
=∞
x→0
x2
lim

⇒ x = 0 là TCĐ của hàm số.
- Tiệm cận xiên:
Xét:

|x − 1|
f (x)
= lim
=0
x→∞
x→∞ x
x3
|x − 1|
b = lim [ax − f (x)] = lim −
=0
x→∞
x→∞
x2
a = lim

Vậy a = 0, b = 0 ⇒ y = 0 là TCN của hàm số
⇒ Chọn B

1

Câu 20. Tính giới hạn lim (x + 2x ) x
x→+∞

A
B
C
D

1
e2
2
0
Giải câu 20:
- Biến đổi ta được:
lim

1

1

lim (x + 2x ) x = ex→+∞ x

x→+∞

12

ln(x+2x )

- Tìm giới hạn:
1
1
x
ln(x + 2x ) = lim ln2 + ln x + 1
x→+∞ x
x→+∞
x
2
lim

Vì:

x
1
ln x + 1 = 0
x→+∞ x
2
lim

Vậy giới hạn đã cho bằng I = eln2 = 2
⇒ Chọn C

13

= ln2