KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONGMANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.75 MB, 37 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----
LỜI CAM ĐOAN
PHẠM BÁCH KHOA
KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL
CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI
TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một
công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2010
CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01
Tác giả Luận văn
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Phạm Bách Khoa
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Huế, năm 2010
i
ii
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Đức, người đã giúp đỡ tôi rất nhiều về tài liệu và hướng dẫn tận tình
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
trong suốt thời gian thực hiện Luận văn.
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Trương Minh
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy, Khoa
Vật lý, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tình
giúp đỡ tôi, đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Tổ Vật lý - Công nghệ và Trường THPT
Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN
1.1
Các trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
Sơn Mỹ đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả những người thân và bạn bè, đặc
biệt là bố, mẹ, vợ, con đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
1.2
Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.2
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Huế, tháng 9 năm 2010
1.2.1
Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Tác giả Luận văn
1.2.2
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3
Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4
Các kiểu nén bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.1
Nén kiểu Hong-Mandel . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.2
Nén kiểu Hillery . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
học tập và thực hiện Luận văn.
Phạm Bách Khoa
iii
1.1.1
1
Chương 2 -TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH PHẢN KẾT CHÙM -
3.1.3
Nén bậc 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON CỦA TRẠNG THÁI
3.1.4
Nén bậc 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG
PHA
2.1
2.2
2.3
3.2
21
Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát . . . . .
21
So sánh quá trình nén Hillery và quá trình nén
Hong-Mandel của trạng chồng chất hai trạng thái
kết hợp vuông pha
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.1.1
Bậc k = 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
KẾT LUẬN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.1.2
Bậc k = 4n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.1.3
Bậc k = 4n + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
PHỤ LỤC
2.1.4
Bậc k = 4n + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng
quát
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.1
Bậc 4n − 1 và 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.2
Bậc 4n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2.3
Bậc 4n + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng
quát
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Chương 3 -KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL
CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI
KẾT HỢP VUÔNG PHA
3.1
39
Khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.1.1
Nén bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.1.2
Nén bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2
3
3.1
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Hệ số nén Hong-Mandel bậc 2 là hàm của |α|2 với các
giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2
(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền). . . . . . .
2.1
Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . .
2.2
Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ = 3π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
2.3
Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α| và n khi φ = 0. . . . . .
2.4
Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và
2.5
Hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 là hàm của |α|2 với các
giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2
(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền). . . . . . .
26
Hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 là hàm của |α|2 với các
giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2
(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền). . . . . . .
(b) φ = 3π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . .
28
3.4
giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2
. . . . .
53
2
Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α| và n khi (a) φ = π/2 và
3.5
(b) φ = 3π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.7
Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . . .
32
2.8
Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b)
2.9
48
Hệ số nén Hong-Mandel bậc 8 là hàm của |α|2 với các
(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền)..
2.6
45
25
3.3
2
42
φ = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . .
33
Hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) và hệ số nén SN
kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) là hàm của |α|2 khi φ = 0. 54
2.10 Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.11 Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . .
35
2.12 Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
36
5
MỞ ĐẦU
thái phi cổ điển được nhắc đến đầu tiên là trạng thái nén. Trong trạng
thái nén, các thăng giáng lượng tử được giảm xuống dưới mức thăng
giáng mà trạng thái kết hợp cho phép. Khi trạng thái nén được khám
1. Lý do chọn đề tài
phá nó mở ra một phương cách để vượt qua giới hạn lượng tử chuẩn suy
ra từ hệ thức bất định. Năm 2007, Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và
Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan
trọng trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để
nghiên cứu và áp dụng vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang
Shutian Liu [13] đã đưa ra một trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ ,
|Ψ =
N
√
(|α
2
+ eiΦ |iα ),
lượng tử, thông tin lượng tử [13] và máy tính lượng tử. Do đó, các tính
trong đó N là hệ số chuẩn hóa. Ngoài ra Ran Zeng, Muhammad Ashfaq
chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước rất được các nhà khoa học
và Shutian Liu [13] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng
quan tâm. Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng thái
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ nhưng chỉ dừng
kết hợp. Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đã đưa ra khái niệm
lại ở bậc thấp như hiệu ứng nén bậc một, tính thống kê sub-Poisson bậc
trạng thái kết hợp khi nghiên cứu tính chất của chùm sáng laser. Trạng
một và tính chất phản kết chùm bậc một. Năm 2009, tác giả Nguyễn
thái kết hợp là trạng thái cổ điển do trong biểu diễn Glauber-Sudarshan
Thị Bích Ngân [3] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng
[7], [8], [14], hàm phân bố xác suất P tương ứng với trạng thái này là
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ với các bậc
hàm Delta. Trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson, là phân bố
cao hơn như hiệu ứng nén Hillery từ bậc hai đến bậc tám, tính thống
mà phương sai của một đại lượng bằng trung bình số hạt của chúng. Nếu
kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm bậc hai đến bậc mười. Tính
phương sai của một đại lượng nhỏ hơn trung bình số hạt của chúng thì
đến thời điểm hiện tại, trong các bài báo và các tài liệu mà chúng tôi
hàm phân bố ứng với trạng thái đó là sub-Poisson. Các trạng thái tuân
cập nhật được, chưa có tác giả nào đề cập đến việc khảo sát quá trình
theo thống kê sub-Poisson là các trạng thái phi cổ điển do hàm phân bố
nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson tổng quát, tính chất
xác suất P ứng với trạng thái đó là âm. Một tính chất nữa thuộc tính
phản kết chùm tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái
chất phi cổ điển đó là tính chất phản kết chùm (anti-bunching). Nếu
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Vì vậy, trong Luận
một trạng thái có tính chất phi cổ điển thì sẽ thể hiện rất rõ tính chất
văn này tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê
phản kết chùm hoặc tính thống kê sub-Poisson.
sub-Poisson tổng quát, tính chất phản kết chùm tổng quát và quá trình
Vào đầu thập niên 80 của thế kỷ 20, Hestrom [9], Hillery [10] và
nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
Mandel [12] đã đưa ra khái niệm trạng thái phi cổ điển trong đó trạng
6
7
vuông pha |Ψ , rồi sau đó chúng tôi so sánh tính chất nén Hillery và
5. Phương pháp nghiên cứu
Hong-Mandel của trạng thái này. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài "
Khảo sát quá trình nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất hai
trạng thái kết hợp vuông pha" để nghiên cứu.
Để nghiên cứu đề tài này chúng tôi sử dụng một số phương pháp
cơ bản như sau:
- Phân tích, tổng hợp tài liệu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
2. Mục tiêu của đề tài
- Vận dụng các kiến thức đã học để tính toán đưa ra các biểu thức
Khảo sát các tính chất của quá trình nén Hillery tổng quát và quá
cụ thể, vẽ đồ thị và tính số.
trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp
vuông pha.
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm ba
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề
tài, mục tiêu, nhiệm vụ, phương pháp và phạm vi nghiên cứu. Phần nội
- Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê subPoisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha.
- Khảo sát quá trình nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8
của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.
dung chia làm ba chương, trong đó chương 1 trình bày các kiến thức tổng
quan; chương 2 khảo sát quá trình nén Hillery, tính chất phản kết chùm,
tính thống kê sub-Poisson tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng
thái kết hợp vuông pha; chương 3 khảo sát quá trình nén Hong-Mandel
của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. Phần kết
luận nêu lên kết quả đạt được của Luận văn.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong Luận văn này chỉ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát
tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm
bậc cao tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng
chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với các bậc N = 2, 4, 6, 8.
8
9
CHƯƠNG 1
Ta có toán tử sinh hạt a+ và hủy hạt a tuân theo hệ thức giao hoán
CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN
[a, a+ ] = 1,
(1.1)
[a, a] = [a+ , a+ ] = 0,
(1.2)
và toán tử số hạt n = a+ a.
Để đảm bảo tính logic và dễ hiểu, trước khi trình bày về trạng thái
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha và tính chất phi cổ
Trạng thái kết hợp |α được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử
hủy boson a. Do đó |α thỏa mãn phương trình
điển của chúng, chúng ta nhắc lại một cách khái quát trạng thái kết
a|α = α|α ,
(1.3)
hợp. Trạng thái kết hợp, kí hiệu |α , được Glauber [7] và Sudarshan [14]
đưa ra lần đầu tiên vào năm 1963 khi dùng trạng thái này để mô tả
tính chất của chùm sáng laser. Sau đó chúng ta sẽ đề cập đến trạng thái
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, kí hiệu |Ψ và một
trong đó α là một số phức bất kỳ trong không gian phức. Khi khai triển
thông qua các trạng thái Fock |n thì trạng thái kết hợp |α được biểu
diễn dưới dạng
∞
Cn |n ,
|α =
số tính chất phi cổ điển (như tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson
(1.4)
n=0
và tính chất phản kết chùm) của nó nhưng chỉ ở bậc nhỏ đã được Ran
trong đó |n là trạng thái Fock. Thay (1.4) vào (1.3), ta được biểu thức
Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đưa ra năm 2007 và tác
của trạng thái kết hợp biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock
∞
giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] phát triển thêm vào năm 2009.
|α = C0
n=0
αn
√ |n ,
n!
(1.5)
với C0 là hệ số chuẩn hóa.
1.1
Các trạng thái kết hợp
1.1.1
Khái niệm
1.1.2
Tính chất
Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau
Tính chất 1: Các trạng thái kết hợp đã được chuẩn hóa, nghĩa là
Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đưa ra khái niệm trạng
α|α = 1.
thái kết hợp |α khi khảo sát tính chất của chùm sáng laser- chùm sáng
(1.6)
có độ đơn sắc cao và cường độ lớn. Tính chất đặc biệt của chùm laser là
Từ biểu thức (1.6), ta thu được hệ số chuẩn hóa C0 của trạng thái kết
tính kết hợp, cường độ càng cao thì tính kết hợp càng lớn. Vì thế, trạng
hợp |α
thái dùng để mô tả nó có tên là trạng thái kết hợp.
10
1
C0 = exp(− |α|2 ).
2
11
(1.7)
2n
Thay (1.7) vào (1.6), ta được biểu thức của trạng thái kết hợp đã chuẩn
trong đó p(n) = exp(−|α|2 ) |α|n! là hàm phân bố Poisson. Hàm phân bố
hóa khai triển theo hệ cơ sở của trạng thái Fock |n có dạng như sau
Poisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân
∞
n
α
1
√ |n .
|α = exp(− |α|2)
2
n!
n=0
(1.8)
bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Vì vậy, trạng thái kết hợp là
trạng thái cổ điển.
Tính chất 2: Các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau,
nghĩa là
Tính chất 4: Hệ tất cả các trạng thái kết hợp |α là một hệ đủ,
nghĩa là
α|β = 0.
1
π
(1.9)
Tính chất 3: Phân bố số hạt ở trạng thái |α tuân theo phân bố
Poisson (là phân bố mà số hạt trung bình và phương sai của toán tử số
cực tiểu, nghĩa là
1
( x)2 ( p)2 = .
4
Ta có số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α
(1.14)
Tính chất 5: Trạng thái kết hợp |α là trạng thái có độ bất định
hạt bằng nhau).
+
|α α|d2 α = 1.
(1.15)
Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp |α , nó gợi cho
2
n = α|n|α = α|a a|α = |α| .
(1.10)
ta nghĩ đến khả năng tồn tại của các trạng thái có độ bất định nhỏ hơn
giới hạn lượng tử chuẩn. Những trạng thái này không thể là trạng thái
Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α
cổ điển. Vì vậy, có thể xem chúng là một lớp các trạng thái phi cổ điển.
( n)2 = α|( n)2|α = α|n2 |α − α|n|α
2
= |α|2 .
(1.11)
Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu đến trạng thái chồng chất của hai
Từ (1.10) và (1.11), ta thấy số hạt trung bình và phương sai của toán
trạng thái kết hợp vuông pha và tính chất của nó.
tử số hạt trong trạng thái kết hợp bằng nhau, nghĩa là
n = ( n)2 .
(1.12)
1.2
Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
Từ (1.12) chứng tỏ rằng trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
hợp vuông pha
Ta tính xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |α
1.2.1
Khái niệm
p(n) = n|α α|n
∞
= exp(−|α|2 )
αm
√
n| m
m!
m=0
= exp(−|α|2 )
|α|2n
,
n!
∞
(α∗ )m
√
m| n
m!
m=0
(1.13)
Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã đưa ra một
trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng thái chồng chất của hai trạng thái
kết hợp vuông pha vào năm 2007. Trạng thái chồng chất của hai trạng
12
13
thái kết hợp vuông pha có dạng như sau
N
|Ψ = √ (|α + eiφ |iα ),
2
Từ biểu thức (1.20), ta thu được hệ số chuẩn hóa N của trạng thái chồng
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha
(1.16)
1
2
N = [1 + e−|α| cos(φ + |α|2)]− 2 .
(1.21)
trong đó trạng thái kết hợp |α biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng
Thay (1.21) vào (1.19) ta có biểu thức của trạng thái chồng chất của hai
thái Fock |n có dạng như sau
trạng thái kết hợp vuông pha đã chuẩn hóa khai triển theo hệ cơ sở của
∞
1
αn
√ |n ,
|α = exp(− |α|2)
2
n!
n=0
(1.17)
các trạng thái Fock |n có dạng như sau
2
và trạng thái kết hợp |iα biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái
|Ψ =
1
[1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]− 2 − |α|2
√
e 2
2
∞
n=0
αn + eiφ (iα)n
√
|n .
n!
(1.22)
Fock |n có dạng như sau
Tính chất 2: Các trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
∞
1
(iα)n
√ |n .
|iα = exp(− |α|2 )
2
n!
n=0
(1.18)
vuông pha không trực giao với nhau, nghĩa là [3]
Ψ|Ψ = 0.
(1.23)
Thay (1.17) và (1.18) vào (1.16) ta thu được biểu thức của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha khai triển theo hệ
vuông pha là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy boson a2 ,
cơ sở của các trạng thái Fock |n có dạng như sau
nghĩa là [3]
∞
1
αn + eiφ (iα)n
N
√
|n ,
|Ψ = √ exp(− |α|2 )
2
2
n!
n=0
Tính chất 3: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
(1.19)
với N là hệ số chuẩn hóa.
a2|Ψ = α2 |Ψ .
(1.24)
Tính chất 4: Phân giải đơn vị của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ được viết như sau [3]
1.2.2
Tính chất
dµ(α)|Ψ Ψ| = 1.
(1.25)
Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha có một số
với α là số phức bất kỳ trong không gian phức nên ta chọn α = |α|eiϕ
tính chất sau
và hàm µ(α) được xác định theo biểu thức [3]
|α0|
Tính chất 1: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
2πµ (α)N 2 d|α|α2n+1 exp(−|α|2 )[1 + cos(φ +
0
vuông pha đã được chuẩn hóa, nghĩa là [3]
nπ
) = n!.
2
(1.26)
Như vậy, nếu tồn tại hàm µ(α) sao cho nó thỏa mãn điều kiện (1.26) với
Ψ|Ψ = 1.
14
(1.20)
mọi n thì có thể khai triển một hàm bất kỳ dưới dạng các trạng thái
15
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, nghĩa là khi đó các
cho nguyên lý bất định không bị vi phạm thì trạng thái |ϕ gọi là trạng
trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha lập thành
thái nén đối với đại lượng A(hoặc B). Trường hợp đặc biệt nếu trạng
một hệ đủ.
thái nén của A(hoặc B) còn thỏa mãn điều kiện (V A)(V B) bằng độ bất
Tính chất 5: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
định tối thiểu thì nó được gọi là trạng thái nén lý tưởng.
vuông pha |Ψ tuân theo tính thống kê sub-Poisson bậc một và tính
1.4
chất phản kết chùm bậc một đến bậc chín [3], [13].
Các kiểu nén bậc cao
Tính chất 6: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
1.4.1
Nén kiểu Hong-Mandel
vuông pha |Ψ có hiệu ứng nén bậc một [13] và bậc hai, bậc ba, bậc
năm, bậc sáu, bậc bảy [3].
Các trạng thái nén đơn mode bậc cao được đưa ra bởi Hong và
Mandel vào năm 1985 [11] và được gọi là kiểu nén Hong-Mandel.
1.3
Trạng thái nén
Cho hai toán tử biên độ trực giao có giao hoán tử
Xuất phát từ hệ thức bất định cho 2 đại lượng vật lý A,B không đo được
(1.27)
Nếu |ϕ = |α là trạng thái kết hợp của hai đại lượng A,B thì hệ thức
ˆ a(ϕ)x) =
exp(∆X
ˆ a(ϕ)x) : exp( 1 x2 C),
: exp(∆X
2
(1.31)
trong đó :...: ký hiệu N-tích. Khai triển các hàm mũ trong (1.31) dưới
ˆ a(ϕ))2N
V N Xa(ϕ) ≡ (∆X
(1.28)
N −1
=
đồng thời có thể chứng minh được rằng phương sai của A cũng bằng
phương sai của B và bằng một giá trị gọi là giới hạn lượng tử chuẩn
1
ˆ B]|ϕ
ˆ
|,
V A = V B = | ϕ|[A,
4
(1.30)
dạng chuỗi theo x và đồng nhất hai vế, ta có:
bất định của chúng đạt đến độ bất định tối thiểu
1
ˆ B]|ϕ
ˆ
|2 ,
V AV B = | ϕ|[A,
4
C : số thực bất kỳ.
Hong-Mandel đã sử dụng đồng nhất thức Campbell-Bake-Hausdorff
đồng thời trong trạng thái |ϕ nào đó
1
ˆ B]|ϕ
ˆ
V AV B ≥ | ϕ|[A,
|2 .
4
ˆ a (ϕ), X
ˆ a (ϕ + π/2)] = 2iC,
[X
(1.29)
Một trạng thái vật lý |ϕ của trường hạt boson cho hai đại lượng A,B
j=0
(2N )2j C j
ˆ a(ϕ))2(N −j) : + (2N − 1)!!C N , (1.32)
: (∆X
j!2j
trong đó
N (j) ≡ N (N − 1)...(N − j + 1);
Ở trạng thái kết hợp, tất cả các số hạng
(2N )!
.
N !2N
(1.33)
ˆ a(ϕ)x)2(N −j) :
: (∆X
= 0 nên
(2N − 1)!! ≡
mà trong đó VA(hoặc VB) bé hơn giá trị giới hạn lượng tử chuẩn sao
V N Xa(ϕ) = (2N − 1)!!C N ,
16
17
(1.34)
và do đó điều kiện để có nén bậc N kiểu Hong-Mandel là
V N Xa(ϕ) < (2N − 1)!!C N .
trong đó [15]
Fk = [ak , a+k ]
(1.35)
k
=
Từ đây ta kết hợp với (1.31) để có biểu thức thứ hai cho điều kiện nén
bậc N kiểu Hong-Mandel
N −1
j=0
q=1
(1.41)
với k (q) = k(k − 1)...(k − q + 1).
(2N )2j C j
ˆ a(ϕ))2(N −j) :
: (∆X
j!2j
< 0.
(1.36)
Sau đó ta khai triển phương sai như sau [15]
(∆Qk (ϕ))2 =
Tham số nén kiểu Hong - Mandel được định nghĩa như sau
SN =
k!k (q)
(a+ )k−q ak−q ,
(k − q)!q!
(∆Xa(ϕ))N − (N − 1)!!C N /2
.
(N − 1)!!C N /2
(1.37)
C j
2
(1.42)
trong đó [15]
1
: (∆Qk (ϕ))2 : = { a+k ak + [e−2ikϕ a2k ]−2( [e−ikϕ ak ])2 }, (1.43)
2
Hay
N −1 (N )2j
j=0
j!
1
Fk + : (∆Qk (ϕ))2 : ,
4
ˆ a(ϕ))N −2j :
: (∆X
.
(1.38)
(N − 1)!!C N /2
ˆ a(ϕ) xuất hiện khi ta có −1 ≤ SN < 0
Rõ ràng là hiệu ứng nén theo X
với :...: là kí hiệu N-tích.
ˆ a(ϕ + π/2).
và nén đạt cực đại khi SN = −1. Tương tự như vậy đối với X
thấy rằng trạng thái sẽ nén nếu : (∆Qk (ϕ))2 : < 0 . Để thuận tiện,
SN =
Kết hợp bất phương trình (1.40) và phương trình (1.42), chúng ta nhận
chúng ta đưa ra hệ số nén Hillery bậc cao
1.4.2
Nén kiểu Hillery
Sk =
2{ a+k ak + [e−2ikϕ a2k ] − 2( [e−ikϕ ak ])2 }
4 : (∆Qk (ϕ))2 :
=
.
k
k!k(q)
Fk
(a+ )k−q ak−q
q=1
(k−q)!q!
Hiệu ứng nén bậc cao kiểu Hillery, đầu tiên được giới thiệu bởi
(1.44)
Hillery và sau đó được các nhiều tác giả khác phát triển thêm. Bây giờ,
Vậy, điều kiện nén Hillery bậc cao của một trạng thái nào đó là hệ
ta xét toán tử biên độ lũy thừa k có dạng
1
Qk (ϕ) = (ak e−ikϕ + a+k eikϕ ),
2
số nén Sk phải nằm trong khoảng −1 ≤ Sk < 0 và trạng thái là nén lý
(1.39)
trong đó: a và a+ tương ứng là toán tử hủy và sinh hạt đối với trường
boson, k là bậc của hiệu ứng nén (hiệu ứng nén bậc một khi k = 1), và
ϕ là một góc bất kỳ trong mặt phẳng phức. Một trạng thái được gọi là
nén Hillery bậc cao nếu thỏa mãn bất đẳng thức
(∆Qk (ϕ))2 <
18
1
Fk ,
4
tưởng nếu Sk = −1.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã đưa ra được dạng của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Xuất phát từ
trạng thái kết hợp với các tính chất của nó đặc biệt lưu tâm đến tính
chất 5 là tính chất nêu lên trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất
định cực tiểu. Từ trạng thái này, chúng tôi xây dựng trạng thái chồng
(1.40)
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |α và |iα . Trạng thái này
19
là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy. Trạng thái này còn là
CHƯƠNG 2
trạng thái phi cổ điển mà tính chất phi cổ điển của chúng thể hiện ở
tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm.
Trong chương này đã đề cập đến một số tính chất phi cổ điển (tính chất
nén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm) của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha nhưng chỉ ở bậc
nhỏ. Chúng tôi cũng đề cập đến khái niệm trạng thái nén và các kiểu
TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH THỐNG KÊ
SUB-POISSON - TÍNH PHẢN KẾT
CHÙM CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG
CHẤT HAI TRẠNG THÁI
KẾT HỢP VUÔNG PHA
nén bậc cao. Đây là những kiến thức làm cơ sở để tổng quát tính chất
nén Hillery, tổng quát tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tính chất nén Hilery tổng
phản kết chùm bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha.
hợp vuông pha trong chương 2 và khảo sát quá trình nén Hong-Mandel
Logic trình bày là đi từ tổng quát bậc k, sau đó suy ra tính chất từ bậc
của trạng thái này trong chương 3.
một đến bậc 4 (nhằm so sánh với nghiên cứu của Ran Zeng, Muhammad
Ashfaq và Shutian Liu [13] và luận văn của Nguyễn Thị Bích Ngân [3]).
Sau đó chúng tôi trình bày tính phản kết chùm, tính thống kê sub-Poisson
tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha .
2.1
Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát
Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân đã khảo sát quá trình nén
Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha
nhưng mới chỉ dừng lại từ bậc hai đến bậc tám. Trong mục này, chúng
tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ bậc nén nào. Theo [3], ta có hệ
số nén Hillery bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
hợp vuông pha khi k chẵn và k lẽ như sau:
20
21
Khi k chẵn thì
Sk =
tích rất phức tạp và tốn nhiều thời gian và không thể thực hiện được
|α|
k
k!k(q)
q=1 (k−q)!q!
2k
đối với các bậc nén k quá cao. Do đó, để khảo sát quá trình nén Hillery
(a+ )k−q ak−q [1 + e−|α|2 cos(φ + |α|2 )]2
tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông
2
× {[2 + e−|α| (2(−i)k cos(φ + |α|2 )
k
i(φ+|α|2)
k
− ((−i) − i )e
−|α|2
2k
+ [(1 + i )(1 + e
−|α|2
)][1 + e
pha, chúng tôi chia bậc k thành 4 bậc tổng quát theo n (n là số nguyên)
2
cos(φ + |α| )]
như sau:
(2.1)
2
cos(φ + |α| ))cos(2kϕ)
2
2
− (1 − i2k )e−|α| sin(φ + |α|2)sin(2kϕ)][1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]
−|α|2
k
− [(1 + i )(1 + e
2.1.1
Bậc k = 4n
2
cos(φ + |α| ))cos(kϕ)
Thay k = 4n và (2.3) vào (2.1) ta được biểu thức hệ số nén Hillery bậc
2
− (1 − ik )e−|α| sin(φ + |α|2 )sin(kϕ)]2}.
4n như sau
Khi k lẽ thì
Sk =
S4n = 0.
(2.4)
|α|2k
k
k!k(q)
q=1 (k−q)!q!
Như vậy, không có hiệu ứng nén Hillery bậc 4n của trạng thái chồng
2
(a+ )k−q ak−q [1 + e−|α| cos(φ + |α|2)]2
chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.
2
× [2 + e−|α| (2(−i)k cos(φ + |α|2)
2
2
− ((−i)k − ik )ei(φ+|α| ) )][1 + e−|α| cos(φ + |α|2)]
2.1.2
2
+ [(1 + i2k )(1 + e−|α| cos(φ + |α|2 ))cos(2kϕ)
2
2
− (1 − i2k )e−|α| sin(φ + |α|2 )sin(2kϕ)][1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]
−|α|2
− [(1 + e
Bậc k = 4n + 1
2
(k+1) −|α|2
cos(φ + |α| ) + i
e
Thay k = 4n + 1 và (2.3) vào (2.2) ta được biểu thức hệ số nén Hillery
2
sin(φ + |α| ))cos(kϕ)
2
bậc 4n + 1 như sau
2
− (i(k+1) (1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )) + e−|α| sin(φ + |α|2 ))sin(kϕ)]2 ,
(2.2)
2
2
2
2|α|8n+2 1 − e−2|α| − sin[2(4n + 1)ϕ](1 + 2e−|α| cosβ + e−2|α| )
S4n+1 =
,
2
A1(1 + e−|α| cosβ)
(2.5)
trong đó [3]
(a+ )k−q ak−q =
trong đó
N 2 2(k−q)
2
|α|
2 + e−|α| 2(−i)k−q cos(φ + |α|2 )
2
k−q
− ((−i)
k−q
−i
i(φ+|α|2)
)e
β = φ + |α|2,
(2.3)
4n+1
.
A1 =
(4n + 1)!(4n + 1)(q) 8n+2−2q
|α|
(4n + 1 − q)!q!
Khi dùng hai biểu thức (2.1), (2.2) để khảo sát các hiệu ứng nén Hillery
q=1
với các giá trị cụ thể của k thì sẽ gặp nhiều khó khăn vì sự tính toán giải
× 2 − ie−|α| 2(−i)−q cosβ − (−i)−q + i−q eiβ
2
22
(2.6)
23
(2.7)
.
Hình 2.1 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 1
kết quả tính số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+1 = 0
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ
tương ứng với vùng nén. Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm
thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 0. Từ hình vẽ 2.1 và kết quả tính số, ta
trong khoảng từ 0 đến 3.2. Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm
nhận thấy vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ
trong khoảng từ 6.3 đến 9.4.
2
0 đến 1.75, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α| nằm trong khoảng từ
4.7 đến 7.85.
Hình 2.2: Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2.
Hình 2.1: Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.
Từ các hình vẽ 2.1, 2.2a, 2.2b và kết quả tính số, ta đều nhận thấy:
với những giá trị nhỏ của n thì vùng nén thể hiện rõ rệt, khi n tăng
Hình 2.2a dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 1
thì hệ số nén Hillery bậc 4n + 1 sẽ tiến dần về giá trị 0, tức là mức độ
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ
nén giảm dần. Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần đồ thị gần như
2
thuộc vào |α| và n ứng với φ = π/2. Căn cứ hình vẽ 2.2a và kết quả tính
phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+1 = 0).
số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+1 = 0 tương ứng
với vùng nén. Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng
từ 0 đến 0.59. Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng
từ 3.1 đến 6.3. Hình 2.2b mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc
2.1.3
Bậc k = 4n + 2
Thay k = 4n + 2 (n là số nguyên) và (2.3) vào (2.1) ta được biểu thức
hệ số nén Hillery bậc 4n + 2 như sau:
4n + 1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha
|Ψ phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3π/2. Căn cứ hình vẽ 2.2b và
24
25
thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = π/2. Từ hình vẽ 2.4a và kết quả tính
2
2
2
số, ta nhận thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong
4|α|8n+4 1 − e−2|α| + cos[2(4n + 2)ϕ](1 + 2e−|α| cosβ + e−2|α| )
S4n+2 =
,
A2 (1 + e−|α|2 cosβ)
(2.8)
khoảng từ 0 đến 0.59, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong
khoảng từ 3.1 đến 6.3. Hình 2.4b mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 2
trong đó
4n−2
A2 =
q=1
(4n + 2)!(4n + 2)(q) 8n+4−2q
|α|
(4n + 2 − q)!q!
−|α|2
× 2−e
−q
−q
2(−i) cosβ + i
(2.9)
−q
− (−i)
iβ
e
.
Hình 2.3 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ
thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 0. Từ hình vẽ 2.3 và kết quả tính số,
ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+2 = 0 tương ứng với
vùng nén. Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ
0 đến 1.75. Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ
4.7 đến 7.85.
Hình 2.4: Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2.
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ
thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3π/2. Căn cứ vào hình vẽ 2.4b và kết
quả tính số ta nhận thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm
trong khoảng từ 0 đến 3.2, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm
trong khoảng từ 6.3 đến 9.4.
Từ các hình vẽ 2.3, 2.4a, 2.4b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy:
khi n tăng thì hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2 tiến dần về giá trị 0,
tức là mức độ nén giảm dần. Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần
2
Hình 2.3: Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α| và n khi φ = 0.
Hình 2.4a mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2 của
đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+2 = 0).
2.1.4
Bậc k = 4n + 3
trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ
26
27
Thay k = 4n + 3 và (2.3) vào (2.2) ta được biểu thức hệ số nén Hillery
Hình 2.6a mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái chồng
bậc 4n + 3 như sau:
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ thuộc vào |α|2 và
2
2
n ứng với φ = π/2. Phân tích hình vẽ 2.5a và kết quả tính số, ta nhận
2
|α|8n+6 1 − e−2|α| + sin[2(4n + 3)ϕ](1 + 2e−|α| cosβ + e−2|α| )
S4n+3 =
,
A3(1 + e−|α|2 cosβ)
(2.10)
trong đó
thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+3 = 0 tương ứng với vùng nén:
vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.59,
vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 3.1 đến 6.3.
4n+3
A3 =
q=1
(4n + 3)!(4n + 3)(q) 8n+6−2q
|α|
(4n + 3 − q)!q!
−|α|2
× 2 + ie
−q
Hình 2.6b mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái chồng
(2.11)
−q
2(−i) cosβ − (−i)
−q
+i
iβ
e
.
Hình 2.5 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ thuộc vào |α|2
và n ứng với φ = 0. Căn cứ vào hình vẽ 2.5 và kết quả tính số, ta nhận
thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0
đến 1.75, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ
4.7 đến 7.85.
Hình 2.6: Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2.
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ thuộc vào |α|2 và n
ứng với φ = 3π/2. Phân tích hình vẽ 2.6b ta nhận thấy có 2 vùng nằm
dưới mặt phẳng S4n+3 = 0 tương ứng với vùng nén. Vùng nén thứ nhất
chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 3.2. Vùng nén thứ hai
chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 6.3 đến 9.4.
Từ các hình vẽ 2.5, 2.6a, 2.6b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy:
khi n tăng thì hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 3 tiến dần về giá trị 0,
Hình 2.5: Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.
tức là mức độ nén giảm dần. Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần
đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+3 = 0).
28
29
Như vậy, sử dụng các biểu thức (2.4), (2.5), (2.8), (2.10) của các hệ
số nén kiểu Hillery S4n , S4n+1 , S4n+2 , S4n+3 , ta có thể khảo sát tính chất
+ Với k > 2, tham số Pk > 0 chỉ tính thống kê super-Poisson bậc cao và
tham số Pk < 0 chỉ tính thống kê sub-Poisson bậc cao.
nén kiểu Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha đối với bất kỳ giá trị n nào. Kết quả khảo sát quá trình nén
Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] đã đưa ra được biểu
thức tham số
Hillery tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
2
2
hiệu ứng nén Hillery bậc 4n. Dùng các biểu thức hệ số nén nêu trên, ta
N 2 [2 + e−|α| (2(−i)k cos(φ + |α|2 ) − ((−i)k − ik )ei(φ+|α| ) )]
− 1,
2[N 2 (1 − e−|α|2 sin(φ + |α|2 ))]k
(2.13)
cũng dễ dàng suy ra được tính chất nén từ bậc một đến bậc tám mà Ran
và dùng biểu thức này tác giả khảo sát được tính thống kê sub-Poisson
Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] và luận văn của Nguyễn
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha từ bậc
Thị Bích Ngân [3] đã khảo sát. Điều này chứng tỏ rằng kết quả khảo
một đến bậc mười. Đối với các bậc cao hơn thì dùng biểu thức (2.13) để
sát mà chúng tôi thu được là tổng quát, còn kết quả khảo sát của các
khảo sát tính thống kê sub-Poisson sẽ gặp nhiều khó khăn. Để khảo sát
tác giả Ran Zeng, Muhammad Ashfaq, Shutian Liu và Nguyễn Thị Bích
tính thống kê sub-Poisson của trạng thái chồng chất của hai trạng thái
Ngân là trường hợp riêng với các giá trị n nhỏ (n = 0, n = 1).
kết hợp vuông pha tổng quát, chúng tôi chia k thành bốn trường hợp
vuông cho thấy: bậc nén càng cao thì mức độ nén càng nhỏ và không có
Pk =
theo n như sau:
2.2
Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao
2.2.1
Bậc 4n − 1 và 4n
tổng quát
Thay k = 4n và k = 4n + 1 vào (2.13) ta được tham số P4n và P4n+1 như
Khái niệm thống kê sub-Poisson bậc cao được giới thiệu trong [5]. Bằng
cách sử dụng n(k) = n(n−1)...(n −k +1) = a+k ak , với n = a+ a ,
tham số Pk được định nghĩa như sau [16]
Pk =
a+k ak
− 1,
a+ a k
sau:
2
P4n = P4n+1 =
1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )
2
1 − e−|α| sin(φ + |α|2 )
4n
− 1,
(2.14)
trong đó: tham số P4n chỉ tính thống kê sub-Possion bậc 4n − 1, tham số
(2.12)
P4n+1 chỉ tính thống kê sub-Possion bậc 4n. Dựa vào biểu thức (2.14),
với k là số nguyên dương.
ta nhận thấy tính thống kê sub-Possion bậc 4n − 1 và bậc 4n của trạng
+ Đối với tất cả các giá trị của k ≥ 2 , Pk = 0 dẫn đến phân bố Poisson.
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha là hoàn toàn giống
+ Với k = 2, tham số Pk > 0 chỉ tính thống kê super-Poisson bậc một
nhau. Do đó, ta chỉ cần khảo sát tính thống kê sub-Possion một trong
và tham số Pk < 0 chỉ tính thống kê sub-Poisson bậc một.
hai bậc: bậc 4n − 1 hoặc bậc 4n. Hình 2.7 dưới đây mô tả tham số P4n
30
31
là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0. Căn cứ vào hình 2.7 và kết quả
vẽ tham số P4n là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = π. Khi φ = π
tính số ta nhận thấy: tại φ = 0 tính thống kê sub-Poisson bậc 4n − 1 thể
tính thống kê sub-Poisson chỉ thể hiện rõ trong khoảng giá trị |α|2 từ
hiện trong khoảng giá trị |α|2 từ 2.35 đến 5.5.
0 đến 2.35 và từ 5.5 đến 8.6. Từ các hình vẽ 2.7, 2.8a, 2.8b và kết quả
tính số, ta cũng nhận thấy khi giá trị n càng lớn thì mức độ thống kê
sub-Poisson càng lớn.
2.2.2
Bậc 4n + 1
Thay k = 4n + 2 vào (2.13) ta được tham số P4n+2 như sau
2
P4n+2 =
1 − e−|α| cos(φ + |α|2 )
− 1,
[1 + e−|α|2 cos(φ + |α|2)]B 4n+2
(2.15)
với
2
2
Hình 2.7: Tham số P4n là hàm của |α| và n khi φ = 0.
B=
1 − e−|α| sin(φ + |α|2)
.
1 + e−|α|2 cos(φ + |α|2 )
(2.16)
Hình 2.8a dưới đây mô tả tham số P4n là hàm của hai biến |α|2 và
n với φ = π/2. Khi φ = π/2 tính thống kê sub-Poisson chỉ thể hiện rõ
trong khoảng giá trị |α|2 từ 0.78 đến 3.93 và từ 7.1 đến 10.2. Hình 2.8b
Hình 2.9: Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.
Hình 2.9 vẽ tham số P4n+2 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0.
Hình 2.8: Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = π.
Căn cứ vào đồ thị và kết quả tính số, ta thấy khi φ = 0 tính thống kê
sub-Poisson bậc 4n + 1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
32
33
hợp vuông pha thể hiện rõ ở hai vùng. Vùng thứ nhất chứa các giá trị
độ lớn. Vùng thứ hai chứa các giá trị |α|2 từ 5.5 đến 8.6 và giá trị n tùy
|α|2 từ 0 đến 0.35 và giá trị n nhỏ. Vùng thứ hai chứa các giá trị |α|2 từ
ý thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ rất nhỏ.
2.35 đến 5.5 và giá trị n tùy ý.
2.2.3
Bậc 4n + 2
Thay k = 4n + 3 vào (2.13) ta được tham số P4n+3 như sau
2
P4n+3 =
[1 + e−|α| sin(φ + |α|2 )]
− 1.
[1 + e−|α|2 cos(φ + |α|2)]B 4n+3
(2.17)
Hình 2.11 mô tả tham số P4n+3 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0.
Tham số P4n+3 < 0 cho ta thấy trạng thái chồng chất của hai trạng
thái kết hợp vuông pha thể hiện rõ ràng tính thống kê sub-Poisson bậc
4n + 2. Cụ thể, phần mặt cong dưới mặt P4n+3 = 0 tương ứng với tính
Hình 2.10: Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = π.
Hình 2.10a vẽ tham số P4n+2 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = π/2.
Tham số P4n+2 < 0 cho ta thấy trạng thái chồng chất của hai trạng
thống kê sub-Poisson bậc 4n + 2. Từ hình 2.9 và kết quả tính số ta thấy
tại φ = 0 tính thống kê sub-Poisson bậc 4n + 2 thể hiện trong khoảng
giá trị |α|2 từ 2.4 đến 5.5.
thái kết hợp vuông pha thể hiện rõ ràng tính thống kê sub-Poisson bậc
4n + 1. Cụ thể, những phần mặt cong dưới mặt P4n+2 = 0 tương ứng
với phân bố sub-Poisson bậc 4n + 1. Phân tích hình 2.10a và kết quả
tính số ta thấy tại φ = π/2, có hai vùng thể hiện phân bố sub-Poisson
bậc 4n + 1. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0.85 đến 4.71 và giá
trị n nhỏ thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ lớn. Vùng thứ
hai chứa các giá trị |α|2 từ 7.1 đến 10.1 và giá trị n tùy ý thể hiện tính
thống kê sub-Poisson với mức độ rất nhỏ. Hình 2.10b vẽ tham số P4n+2
là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = π. Tại φ = π, có hai vùng thể hiện
phân bố sub-Poisson bậc 4n + 1. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ
Hình 2.11: Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.
0 đến 3.1 và giá trị n nhỏ thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức
34
35
Hình 2.12a vẽ tham số P4n+3 là hàm của hai biến |α|2 và n với
Tại φ = π, có hai vùng thể hiện phân bố sub-Poisson bậc 4n + 2. Vùng
φ = π/2. Tại φ = π/2, có hai vùng thể hiện phân bố sub-Poisson bậc
thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0 đến 2.68 và giá trị n nhỏ thể hiện
4n + 2. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0.85 đến 4.4 và giá trị n
tính thống kê sub-Poisson với mức độ lớn. Vùng thứ hai chứa các giá trị
nhỏ thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ lớn. Vùng thứ hai
|α|2 từ 5.5 đến 8.64 thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ rất
chứa các giá trị |α|2 từ 7.1 đến 10.2 thể hiện tính thống kê sub-Poisson
nhỏ. Từ ba hình vẽ 2.11, 2.12a, 2.12b ta đều nhận thấy khi n càng lớn
với mức độ rất nhỏ.
thì mức độ thống kê sub-Poisson càng lớn (đáy của mặt lõm trên đồ thị
càng tiến về gần mặt phẳng P4n+3 = −1).
Như vậy, sử dụng các biểu thức (2.14), (2.15), (2.17) của các tham
số P4n, P4n+1 , P4n+2 , P4n+3, ta khảo sát được tính thống kê sub-Poisson
của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ
bậc nào. Kết quả khảo sát tính thống kê sub-Poisson tổng quát của trạng
thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha cho thấy: đối với các
bậc càng cao thì tính thống kê sub-Poisson thể hiện càng rõ.
2.3
Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng
quát
Glauber định nghĩa hàm tương quan bậc cao như sau [2]
g (k) =
a+k ak
.
a+ a k
(2.18)
Tính chất phản kết chùm của một trạng thái nào đó được thể hiện thông
qua hàm tương quan. Cụ thể, khi g (k) < 1 thì trạng thái đó thể hiện tính
chất phản kết chùm và mức độ phản kết chùm càng lớn nếu hàm tương
quan càng nhỏ hơn so với 1.
Hình 2.12: Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = π.
Đối với trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha, ta
2
Hình 2.12b vẽ tham số P4n+3 là hàm của hai biến |α| và n với φ = π.
36
có hàm tương quan như sau [3]
37
2
g
(k)
CHƯƠNG 3
2
N 2 [2 + e−|α| (2(−i)k cos(φ + |α|2 ) − ((−i)k − ik )ei(φ+|α| ) )]
=
.
2[N 2 (1 − e−|α|2 sin(φ + |α|2))]k
(2.19)
Từ (2.13) và (2.19) ta suy ra
Pk = g (k) − 1.
(2.20)
Từ biểu thức (2.20) ta thấy rằng nếu Pk < 0 thì g (k) < 1 và ngược lại.
KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN
HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI
CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI
KẾT HỢP VUÔNG PHA
Như vậy, tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất phản kết chùm
Trong chương 2, ta đã trình bày một cách tổng quát về các tính
bậc cao có mối liên quan với nhau và sẽ xuất hiện đồng thời hoặc không
có cả hai ở cùng một trạng thái nào đó, nghĩa là một trạng thái tuân
theo thống kê sub-Poisson thì nó sẽ thể hiện tính chất phản kết chùm và
ngược lại. Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha
đã thể hiện tính thống kê sub-Poisson bậc cao nên nó cũng sẽ thể hiện
tính chất phản kết chùm bậc cao. Trong mục 2.2 ta đã khảo sát tính
thống kê sub-Poisson nên ta suy ra tính phản kết chùm cũng có những
chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông
pha đó là hiệu ứng nén Hillery, tính phản kết chùm và tính thống kê
sub-Poisson. Một tính chất phi cổ điển khác của trạng thái này mà chưa
có tác giả nào đề cập tới, đó là hiệu ứng nén Hong-Mandel. Bây giờ để
tìm hiểu xem ở trạng thái này thì hiệu ứng nén Hong-Mandel xảy ra như
thế nào và có gì khác với hiệu ứng nén Hillery, ta bắt đầu khảo sát quá
trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp
tính chất tương tự.
vuông pha.
Trong chương này, chúng tôi đã khảo sát quá trình nén Hillery tổng
quát bằng cách đưa ra biểu thức hệ số nén tổng quát theo n đó là S4n ,
S4n+1 , S4n+2 , S4n+3 . Từ biểu thức hệ số nén tổng quát theo n ta có thể
3.1
Khảo sát
vẽ đồ thị với bất kỳ giá trị n nào. Qua khảo sát chúng tôi nhận thấy độ
Xét hai toán tử biên độ trực giao
rộng các vùng nén không phụ thuộc vào n mà nằm trong các khoảng giá
trị |α|2 xác định, còn mức độ nén Hillery càng giảm khi bậc nén càng
tăng. Tính chất phản kết chùm và tính thống kê sub-Poisson cũng được
khảo sát tổng quát trong chương này. Từ kết quả khảo sát chúng tôi
cũng nhận thấy mức độ phản kết chùm và tính thống kê sub-Poisson
ˆ 1 (ϕ) = 1 (ˆ
a+ eiϕ + a
ˆe−iϕ ),
X
2
(3.1)
ˆ 2(ϕ) = i (ˆ
a+ eiϕ − a
ˆe−iϕ ),
X
2
(3.2)
có giao hoán tử
ˆ 1 (ϕ), X
ˆ 2(ϕ)] = 2iC,
[X
càng lớn khi bậc k càng lớn.
38
với C là một số thực bất kỳ.
39
Từ (1.37) và (1.38), ta định nghĩa tham số nén kiểu Hong-Mandel của
3.1.1
Nén bậc 2
trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ khi bậc nén
Ta có
N chẵn như sau:
SN =
ˆ 1)N |Ψ − (N − 1)!!C N /2
Ψ|(∆X
.
(N − 1)!!C N /2
ˆ 1)2 : |Ψ − Ψ| : (X
ˆ 1) : |Ψ 2.
ˆ 1)2 : |Ψ = Ψ| : (X
Ψ| : (∆X
(3.3)
ˆ 1 )2 : |Ψ được tính theo biểu thức
Giá trị Ψ| : (X
Hay
N −1 (N )2j
j=0
j!
SN =
C j
2
ˆ 1)N −2j : |Ψ
Ψ| : (∆X
(3.10)
.
ˆ 1)2 : |Ψ = 1 Ψ|(ˆ
a2e−2iϕ + a
Ψ| : (X
ˆ+2 e2iϕ ) + 2ˆ
a+ ˆa|Ψ
4
1
a+a
ˆ|Ψ .
=
Ψ|(ˆ
a2e−2iϕ |Ψ + Ψ|ˆ
2
(3.4)
(N − 1)!!C N /2
ˆ 1 xuất hiện khi ta có −1 ≤ SN < 0 và
Rõ ràng là hiệu ứng nén theo X
(3.11)
ˆ 2 . Có thể khai
nén đạt cực đại khi SN = −1. Tương tự như vậy đối với X
Tính các kỳ vọng trong (3.11) và lấy phần thực của nó ta thu được kết
triển (3.4) cho trường hợp nén bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8 như sau:
quả
2
ˆ 1)2 : |Ψ
Ψ| : (∆X
S2 =
,
C
ˆ 1)4 : |Ψ
ˆ 1)2 : |Ψ
Ψ| : (∆X
2 Ψ| : (∆X
S4 =
,
+
2
3C
C
ˆ 1)6 : |Ψ
ˆ 1)4 : |Ψ
Ψ| : (∆X
Ψ| : (∆X
S6 =
+
3
15C
C2
ˆ 1)2 : |Ψ
3 Ψ| : (∆X
,
+
C
ˆ 1)8 : |Ψ
ˆ 1)6 : |Ψ
Ψ| : (∆X
28C Ψ| : (∆X
S8 =
+
105C 4
105C 3
ˆ 1)4 : |Ψ
ˆ 1)2 : |Ψ
2 Ψ| : (∆X
4 Ψ| : (∆X
,
+
+
2
C
C
Ψ|ˆ
a2e−2iϕ |Ψ = −N 2 |α|2e−|α| sinβsin2ϕ,
(3.5)
+
2
1
[1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]− 2 − |α|2
√
e 2
2
C=
∞
n=0
αn + eiφ (iα)n
√
|n ,
n!
2
−|α|2
Ψ|ˆ
a a
ˆ|Ψ = N |α| (1 − e
(3.6)
(3.7)
(3.12)
sinβ).
(3.13)
Thay (3.12), (3.13) vào (3.11) ta được
2
2
ˆ 1)2 : |Ψ = N |α| 1 − e−|α|2 sinβ − e−|α|2 sinβsin2ϕ . (3.14)
Ψ| : (X
2
ˆ 1) : |Ψ ta thu được kết quả
Tính Ψ| : (X
1
Ψ|(ˆ
ae−iϕ + a
ˆ+ eiϕ )|Ψ = Ψ|ˆ
ae−iϕ |Ψ
2
2
N
2
|α| 1 + e−|α| (cosβ − sinβ) (cosϕ + sinϕ).
=
2
(3.15)
ˆ 1 ) : |Ψ =
Ψ| : (X
(3.8)
trong đó
|Ψ =
2
Thay (3.14), (3.15) vào (3.10), rồi sau đó thay vào (3.5), ta được
(3.9)
1
1
ˆ 1(ϕ), X
ˆ 2 (ϕ)]|Ψ = 1 Ψ| i [ˆ
Ψ|[X
a, a
ˆ+ ]|Ψ = .
2i
2i
2
4
2
S2 =
2
2
|α|2[1 − e−2|α| − sin(2ϕ)(1 + 2e−|α| cosβ + e−2|α| )]
.
2
(1 + e−|α| cosβ)2
(3.16)
Hình 3.1 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén Hong-Mandel bậc hai của
Bây giờ ta lần lượt tìm biểu thức cụ thể của các tham số nén và vẽ đồ
trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ
thị của chúng.
thuộc vào |α|2 với các giá trị khác nhau của pha tương đối φ. Giá trị
40
41
−1 < S2 < 0 cho ta thấy hiệu ứng nén, cụ thể, những phần đường cong
2
dưới đường S2 = 0 tương ứng với vùng nén. Tại φ = 0, từ |α| = 0 đến
Ta có
ˆ 1)4 : |Ψ − 4 Ψ| : (X
ˆ 1)3 : |Ψ Ψ| : X
ˆ 1 : |Ψ +
ˆ 1)4 : |Ψ = Ψ| : (X
Ψ| : (∆X
2
|α| = 1.7 chứa giá trị của hệ số nén bậc một nhỏ hơn nhiều so với 0,
ˆ 1 : |Ψ 2 − 3 Ψ| : X
ˆ 1 : |Ψ 4 .
ˆ 1)2 : |Ψ Ψ| : X
+ 6 Ψ| : (X
2
nghĩa là mức độ nén rộng. Các vùng nén khác xuất hiện từ |α| = 4.7
đến |α|2 = 7.8 chứa S2 nhỏ hơn nhưng rất gần đến 0. Các đường cong
đối với giá trị φ nào đó cũng có đặc điểm tương tự, nhưng độ rộng vùng
nén khác nhau được biểu diễn trên đồ thị. Hình 3.1 hoàn toàn tương
(3.17)
ˆ 1)4 : |Ψ và Ψ| : (X
ˆ 1)3 : |Ψ
Bây giờ ta lần lượt tính Ψ| : (X
ˆ 1)4 : |Ψ = 1 Ψ|(ˆ
Ψ| : (X
a4e−4iϕ + a
ˆ+4 e4iϕ )
16
tự với hình 2 trong bài báo do Ran Zeng, Muhammad Ashfaq, Shutian
ˆ+ a
ˆ3 e−2iϕ ) + 6ˆ
a+2 a
ˆ2 |Ψ
+ 4(ˆ
a+3 ae2iϕ + a
Liu [13] đã đưa ra năm 2007 và hoàn toàn trùng khớp với hình vẽ 2.1
=
trong luận văn của Nguyễn Thị Bích Ngân [3]. Như vậy hiệu ứng nén
1
2
16
+8
(3.18)
Ψ|ˆ
a4 e−4iϕ |Ψ +
ˆ3e−2iϕ |Ψ + 6 Ψ|ˆ
a+2a
ˆ2 |Ψ .
Ψ|ˆ
a+ a
Hong-Mandel và bậc hai hiệu ứng nén Hillery bậc một của trạng thái
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha hoàn toàn giống nhau.
Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.18) và lấy phần thực của nó, ta thu
được các kết quả
2
Ψ|ˆ
a4e−4iϕ |Ψ = N 2|α|4 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ,
2
Ψ|ˆ
a+ a
ˆ3 e−2iϕ |Ψ = −N 2 |α|4 e−|α| cosβsin2ϕ,
2
ˆ2 |Ψ = N 2 |α|4(1 − e−|α| cosβ).
Ψ|ˆ
a+2a
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Thay (3.19), (3.20),(3.21) vào (3.18) ta được
2
4
ˆ 1)4 : |Ψ = N |α| 2(1 + e−|α|2 cosβ)cos4ϕ − 8e−|α|2 cosβsin2ϕ
Ψ| : (X
16
2
+ 6(1 − e−|α| cosβ) .
(3.22)
Hình 3.1: Hệ số nén Hong-Mandel bậc 2 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau:
φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền).
ˆ 1)3 : |Ψ
Tương tự như trên, ta tìm Ψ| : (X
1
ˆ+3 e3iϕ ) + 3(ˆ
a+2a
ˆeiϕ + a
ˆ+ a
ˆ2 e−iϕ )|Ψ
Ψ|(ˆ
a3e−3iϕ + a
8
1
= 2 Ψ|ˆ
a3e−3iϕ |Ψ + 6Re Ψ|ˆ
a+a
ˆ2 e−iϕ |Ψ .
8
(3.23)
ˆ 1)3 : |Ψ =
Ψ| : (X
3.1.2
Nén bậc 4
42
43
Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.23) và lấy phần thực của nó, ta thu
có những đường cong nằm dưới đường S4 = 0 tương ứng với vùng nén.
được các kết quả
Tại φ = 0 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.34
N2 3
2
|α| 1 + e−|α| (cosβ + sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ),
2
(3.24)
N2 3
+ 2 −iϕ
−|α|2
|α| 1 − e
ˆ e |Ψ =
(cosβ + sinβ) (cosϕ + sinϕ).
Ψ|ˆ
a a
2
(3.25)
Ψ|ˆ
a3e−3iϕ |Ψ =
và 3.03 đến 4.6. Tại φ = π/2 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong
khoảng từ 0 đến 0.41 và 6.3 đến 9.4. Tại φ = 3π/2 vùng nén chứa các
giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 2.5 và 3.6 đến 6.3.
Thay (3.24), (3.25) vào (3.23) ta được
ˆ 1 )3 : |Ψ =
Ψ| : (X
N 2 |α|3
2
[1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ)
8
2
+ 3[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) .
(3.26)
Thay (3.14), (3.15) (3.22), (3.26) vào (3.17) rồi thay vào (3.6) ta tìm
được tham số nén Hong-Mandel bậc 4 như sau
S4 =
2N 2 |α|4
2
2
2
(1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ − 4e−|α| cosβsin2ϕ + 3(1 − e−|α| cosβ)
3
4N 4 |α|4
2
[1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ)
−
3
−|α|2
+ 3[1 − e
Hình 3.2: Hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau:
φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền).
(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) M
2
2
2
2
+ 4N 6 |α|4 1 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ M 2 − N 8 |α|4M 4
3.1.3
Nén bậc 6
+ 4N 2 |α|2 1 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ − 2N 4 |α|2 M 2 ,
(3.27)
Ta có
ˆ 1)6 : |Ψ = Ψ| : (X
ˆ 1)6 : |Ψ − 6 Ψ| : (X
ˆ 1)5 : |Ψ Ψ| : (X
ˆ 1 ) : |Ψ +
Ψ| : (∆X
trong đó
2
M = [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ).
ˆ 1) : |Ψ
ˆ 1)4 : |Ψ Ψ| : (X
+ 15 Ψ| : (X
2
Hình 3.2 mô tả giá trị của hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 của trạng thái
ˆ 1)3 : |Ψ Ψ| : X
ˆ 1 : |Ψ 3 +
− 20 Ψ| : (X
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ thuộc vào |α|2
ˆ 1) : |Ψ 4 − 5 Ψ| : (X
ˆ 1) : |Ψ 6.
ˆ 1)2 : |Ψ Ψ| : (X
+ 15 Ψ| : (X
(3.28)
ứng với các giá trị khác nhau của φ. Phân tích hình vẽ 3.2 ta nhận thấy
44
45
ˆ 1)6 : |Ψ
Bây giờ ta tìm Ψ| : (X
ˆ 1)6 : |Ψ =
Ψ| : (X
Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.35) và lấy phần thực của nó, ta thu
1
Ψ|(ˆ
a6e−6iϕ + ˆa+6 e6iϕ ) + 15(ˆ
a+4 a
ˆ2 e2iϕ + a
ˆ+2 a
ˆ4e−2iϕ )
64
1
2
64
Ψ|a6 e−6iϕ |Ψ + 30
+ 20 Ψ|ˆ
a+3 ˆa3|Ψ + 12
N2 5
2
|α| 1 + e−|α| (cosβ − sinβ) (cos5ϕ + sin5ϕ),
2
(3.36)
N2 5
+ 4 −3iϕ
−|α|2
|α| 1 + e
ˆ e
|Ψ =
(cosβ − sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ),
Ψ|ˆ
a a
2
(3.37)
N2 5
+2 3 −iϕ
−|α|2
|α| 1 − e
ˆ e |Ψ =
(cosβ − sinβ) (cosϕ + sinϕ).
Ψ|ˆ
a a
2
(3.38)
Ψ|ˆ
a5e−5iϕ |Ψ =
ˆ3 + 6(ˆ
a+5 a
ˆe4iϕ + a
ˆ+ a
ˆ5 e−4iϕ )|Ψ
+ 20ˆ
a+3 a
=
được các kết quả
Ψ|a+2 a4e−2iϕ |Ψ
Ψ|ˆ
a+ a
ˆ5e−4iϕ |Ψ .
(3.29)
Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.29) và lấy phần thực của nó, ta thu
được các kết quả
Thay (3.36), (3.37), (3.38) vào (3.35) ta được
6 −6iϕ
Ψ|ˆ
ae
2
6 −|α|2
|Ψ = −N |α| e
sinβsin6ϕ,
2
ˆ4e−2iϕ |Ψ = N 2 |α|6 e−|α| sinβsin2ϕ,
Ψ|ˆ
a+2a
2
Ψ|ˆ
a+3a
ˆ3|Ψ = N 2 |α|6 (1 + e−|α| sinβ),
2
Ψ|ˆ
a+ ˆa5e−4iϕ |Ψ = N 2 |α|6 (1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ.
(3.30)
+ 20[1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ)
(3.32)
+ 10[1 − e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) .
2
(3.34)
ˆ 1)5 : |Ψ theo biểu thức
Bây giờ ta khai triển Ψ| : (X
ˆ 1)6 : |Ψ vào (3.7) ta được tham số nén bậc 6 như sau
Ψ| : (∆X
S6 =
2N 2 |α|6
2
2
15e−|α| sinβsin2ϕ − e−|α| sinβsin6ϕ
15
2
−
6N 4 |α|6
2
[1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ)
5
2
+ 20[1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ)
2
+ 10[1 − e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) M
Ψ|ˆ
a+2 ˆa3e−iϕ |Ψ
2
2
+ N 6 |α|6 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ − 8e−|α| cosβsin2ϕ
ˆ4 e−3iϕ |Ψ .
Ψ|ˆ
a+ a
(3.35)
46
ˆ 1)6 : |Ψ , sau đó ta thay Ψ| : (∆X
ˆ 1)2 : |Ψ , Ψ| : (∆X
ˆ 1)4 : |Ψ ,
(∆X
2
ˆe3iϕ + a
ˆ+ a
ˆ4 e−3iϕ )|Ψ
+ 5(a+4 a
+ 10
(3.39)
+ 10(1 + e−|α| sinβ) + 6(1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ
ˆ 1)5 : |Ψ = 1 Ψ|(a5e−5iϕ + ˆa+5 e5iϕ ) + 10(a+3 a
ˆ2 eiϕ + a
ˆ+2 a
ˆ3 e−iϕ )
Ψ| : (X
32
Ψ|ˆ
a5 e−5iϕ |Ψ + 20
2
Thay (3.14), (3.15), (3.22), (3.26), (3.34), (3.39) vào (3.28) ta được Ψ| :
+ 20(1 + e−|α| sinβ) + 12(1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ .
1
2
64
2
(3.33)
2
6
ˆ 1)6 : |Ψ = N |α| 30e−|α|2 sinβsin2ϕ − 2e−|α|2 sinβsin6ϕ
Ψ| : (X
64
=
N 2|α|5
2
[1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ)
64
(3.31)
Thay (3.30), (3.31), (3.32), (3.33) vào (3.29) ta được
2
Ψ| : (X1)5 : |Ψ =
2
+ 6(1 − e−|α| cosβ) M 2
47
