Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phân

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng).
Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K, nếu F '( x) = f ( x) ,
với mọi x ∈ K .
Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho
G(x) = F(x) + C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , trong đó F ( x) là một
nguyên hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của hàm số hợp u = u ( x)

∫ kdx = kx + C , k ∈ R

∫ kdu = ku + C , k ∈ R

∫x

α

dx =

1
.xα +1 + C (α ≠ −1)
1+ α

∫u

α

du =

1
.u α +1 + C (α ≠ −1)
1+ α

∫

dx
= ln x + C ( x ≠ 0 )
x

∫

du
= ln u + C ( x ≠ 0 )
u

∫

dx

= 2 x +C
x

∫

du
= 2 u +C
u

∫ e dx = e
x

x
∫ a dx =

x

∫ e du = e

+C

u

ax
+ C (0 < a ≠ 1).
ln a

u
∫ a du =

u

+C

au
+ C (0 < a ≠ 1).
ln a

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin udu = − cos u + C
1


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

dx

∫ cos

2

x

= tan x + C ;

dx

∫ sin

2

x

du

∫ cos

= − cot x + C .

2

u

= tan u + C ;

du

∫ sin

2

u

= − cot u + C

Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
k
∫ (ax + b) dx =

1 (ax + b) k +1
+ C , (a ≠ 0, k ≠ −1);
a k +1

1

1 ax +b
e
+C;
a
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

∫e

ax + b

2.

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C, a ≠ 0.
1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

dx =

Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý. Nếu F ( x), G ( x) tương ứng là một nguyên hàm của f ( x), g ( x) thì
a.

∫ f '( x)dx = f ( x) + C

b. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx = F ( x) ± G ( x ) + C ;
c. ∫ a.f(x)dx = a ∫ f ( x)dx = aF ( x ) + C (a ≠ 0) .
3.

Một số phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u = u ( x) có đạo hàm
liên tục trên K và hàm số y = f (u) liên tục sao cho f [u ( x)] xác định trên K. Khi đó
nếu F là một nguyên hàm của f, tức là ∫ f (u )du = F (u ) + C thì

∫ f [u( x)]dx=F[u(x)]+C .

b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
ax +b
Dạng 1. ∫ P( x).e dx , ∫ P ( x) sin(ax + b)dx , ∫ P( x)cos(ax + b)dx

Cách giải: Đặt u = P ( x ), dv = e ax +b dx ( hoaëc dv = sin(ax + b)dx, dv = cos(ax + b)dx)
Dạng 2. ∫ P( x) ln(ax + b) dx
Cách giải: Đặt u = ln(ax + b) , dv = P( x)dx.

I.

TÍCH PHÂN.
1. Định nghĩa. Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K.
2


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân
b

của f ( x) từ a đến b và ký hiệu là

∫ f ( x)dx . Trong trường hợp

b

a < b thì

a

tích phân của f trên [ a; b ] .

∫ f ( x)dx

là

a

2. Tính chất của tích phân .

Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K.
a

b

• ∫ f ( x) dx = 0

•

a
b

c

a

a

∫
a

b

• ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x) dx

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

b

b

a

a

• ∫ k . f ( x )dx = k ∫ f ( x)dx

c

b

b

b

a

a

a

• ∫ [ f ( x ) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx

3. Một số phương pháp tính tích phân
• Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số

b

u (b)

a

u (a)

∫ f [u( x)]u '( x)dx = ∫

f (u ) du . Trong

đó f ( x) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp
f [u ( x)] xác định trên J; a, b ∈ J .
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ u = u ( x) ( u là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ x = x(t ) ( x là một hàm số của t).
• Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u ( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số
b

b

thuộc K thì ∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v ( x ) − ∫ v( x)u '( x)dx
b
a

a

a

4. Ứng dụng của tích phân
• Tính diện tích hình phẳng
• Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ
b

thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = ∫ f ( x) dx .
a

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x ) và hai đường
thẳng x = a, x = b là
b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx
a

• Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với
3


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
b

trục Ox tại các điểm a, b là V = ∫ S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của
a

vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là
x ∈ [ a; b ] và S(x) là một hàm liên tục.
• Tính thể tích khối tròn xoay.
• Hàm số y = f ( x) liên tục và không âm trên [ a; b ] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên

b

2
một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V = π ∫ f ( x)dx .
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung và hai đường thẳng
y = c, y = d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi
d

2
công thức V = π ∫ g ( y )dy .
c

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1. Tìm nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm .
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số
1 3
+ x )dx
x

2
a. ∫ ( x + 2)( x − 2 x + 4)dx

b.

∫(

4

d. ∫ sin xdx

e.

∫ tan

h.

2x x x
∫ 10 .3 .5 dx

g.

∫ sin 2 x.cos xdx

k.

∫

x3 − 2 x + 1
dx
x5

n.

1 + ln x
∫ x dx

4

xdx

l. ∫ sin( 2 x + 1)dx
o.

x
∫ xe dx
2

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx
4

c.

∫ sin

2

xdx

f.

∫ cot

4

xdx

i.

∫

( x 2 − 1)( x 2 + 3)
3

x2

2 10
m. ∫ (1 + 2 x ) xdx

p.

dx

∫ (1 − 2 x)

4

dx


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

Phương pháp 1. Đổi biến t = ϕ ( x) , rút x theo t.
+) Xác định vi phân: dx = ϕ '(t )dt
+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f ( x)dx = g (t )dt . Khi đó I = ∫ g (t )dt
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu

Có thể chọn

Hàm số có mẫu

Đặt t là mẫu

Hàm f ( x, ϕ ( x))

Đặt t = ϕ ( x)

Hàm f ( x, n ϕ ( x), m ϕ ( x))

Đặt t = mn ϕ ( x)

Hàm f ( x) =

a sin x + b cos x
c sin x + d cos x + e

Đặt t = tan

x
2

Hàm lẻ với sinx

Đặt t = cos x

Hàm lẻ với cosx

Đặt t = s inx

Hàm chẵn với sinx và cosx

t =tanx

Phương pháp 2. Đổi biến x = ϕ (t )
+) Lấy vi phân dx = ϕ '(t )dt
+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Khi đó I = ∫ g (t )dt
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu

Có thể chọn

a2 − x2

π
π

 x =| a | sin t , − 2 ≤ t ≤ 2

 x =| a | cost ,0 ≤ t ≤ π

x2 − a2

|a| π
π

 x = sin t , − 2 ≤ t ≤ 2 ; t ≠ 0


x = | a | , 0 ≤ t ≤ π ;t ≠ π

cost
2

x2 + a2

π
π

 x =| a | tan t , − 2 < t < 2

 x =| a | cott , 0 < t < π
5


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

a+x
hoặc
a−x

Đặt x = a cos 2t

a−x
a+x

Đặt x = a + (b − a )sin 2 t

( x − a)(b − x)

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số
2z

3
a. ∫ (2 x + 1) dx

b.

∫

d. ∫ sin(7 x + 6)dx

e.

∫ xe

2012
g. ∫ sin x.cos xdx

h.

∫ 1+ e

9 x2

l.

∫

o.

∫ cos (5x + 2) dx

r.

∫ cos (3x + 1) dx

1 − x3

z +5

3

2

1+ x 2

2
c. ∫ 2 x( x + 1)dx

dz

dx

1

−x

dx

m. ∫ x 4 1 − x 2 dx

dx

1

p.

2

sin(3x + 1)

1

∫x

2

1
1
sin .cos dx
x
x

x 3dx
u. ∫ 4 2
x −x −2

∫x

∫x

k.

∫

x 2 − x + 2012

n.

∫

1
dx
x (1 + x ) 2

2

4
q. ∫ sin x.cos xdx

xdx
− 2x2 − 2
x2
dx
v. ∫
(1 − x)39

s.

2

2x
dx
+ 4x + 3
2x −1

f.

t.

4

∫x

2

xdx
− 4x − 5

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
x
a. ∫ xe dx

2
b. ∫ x cos xdx

2

d. ∫ x ln xdx

e.

∫

h.

∫ sin

g.

x

∫ cos x dx
2

x ln( x + x 2 + 1)
x +1
2

c. ∫ ( x + 1).ln xdx
dx

x
2
f. ∫ e .cos xdx

dx
3

x

Dạng 4. Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ.
Bài 4. Tìm nguyên hàm
a.

dx

∫ 2x + 3

b.

4x + 3

∫ 2 x + 1 dx
6

c.

dx

∫ (2 x − 1)

2

dx


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

d.
g.
i.

∫

2 x 2 + 3x + 5
dx
x+3

e.

∫

x 2 + 3x + 1
dx
x2 + 5x + 6

h.

∫

x3 + 2 x − 1
dx
x2 − 9

k.

∫x

2x − 1
dx
− 5x + 6

4x − 6
dx
− 3x + 4

f.

∫x

∫

4x + 2
dx
2
x + x +1

h.

3 x 3 − 14 x 2 + 13 x + 7
dx
∫
x2 − 5x + 6

∫

x2 + x + 1

dx
( x − 1)3

l.

∫x

2

2

2 xdx
2
+3

Dạng 5. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác.
Các bài toán cơ bản:
a) Nguyên hàm của các hàm số có dạng:
⊕ f ( x) = cos ax.cos bx

⊕ f ( x) = sin ax.sin bx

⊕ f ( x) = sin ax.cos bx

⊕ f ( x ) = sin 2 ax; cos2bx

Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các
nguyên hàm cơ bản.
Bài 5. Tìm các nguyên hàm:
a. ∫ cos3 x.cos 2 xdx

2
b. ∫ s inx.cos 2 xdx

3
c. ∫ cos 2 x.sin 2 xdx

b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: f ( x) = sin n x.cosm x
Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù
hợp.
Bài 6. Tìm nguyên hàm
3
3
a. ∫ (sin x + cos 2 x)dx

d.

dx

∫ sin

3

x
2
sin x
g. ∫ 6 dx
cos x

5

5
b. ∫ (sin x + cos x)dx

c.

cos3 x
∫ sin 4 x dx

4
e. ∫ sin 2xdx

f.

∫ sin

h.

6

tan x

∫ cos2 x dx

Dạng 6. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến lượng giác.
Bài 7. Tìm nguyên hàm

7

dx
4

x


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

a.

∫

a 2 − x 2 dx

a+x
dx
a−x
dx
g. ∫ 2 2
x +a

d.

l.

∫

dx

∫ ( x + a ) ( x + b)
2

2

với ( a ≠ b )

b.

∫

x 2 − a 2 dx

e.

∫

( x − a )(b − x)dx

h.

∫

m.

dx
(a 2 + x 2 ) 2 k +1

∫

4sin x + 3cos x
dx
s inx + 2 cos x

∫
f. ∫
c.

k.

x 2 + a 2 dx
1
dx
( x + a)( x + b)

(a1 x 2 + b1 x + c1 )dx
∫ ( x − d )(ax2 + bx + c)

n. ∫

8cos xdx
2 + 3 sin 2 x − cos2 x

Bài 8. Tìm nguyên hàm
dx

a.

∫

d.

cos2 x

∫ sin8 x dx

g.

∫

(1 − x 2 )3

xdx
x 2 + 1. 1 + 1 + x 2

x2

b.

∫

x2 −1

e.

∫

dx
( x + 2)( x + 1)

h.

∫

2
dx
3 s inx + cos x

dx

dx

c.

∫

f.

∫ x+

(1 + x 2 )3
2x
x2 −1

dx

Dạng 7. Nguyên hàm của một số hàm số mũ và lôgarit
Bài 9. Tìm nguyên hàm
a.

dx

∫ e (3 + e
x

−x

)

2
d. ∫ x.ln xdx

ln x
dx
2 + ln x
dx
e. ∫ 2 x x
e +e −2

b.

∫ x.

x −1
c. ∫ ( x + 1).e dx

f.

∫

1 + ln x
dx
x

Phần 2. Tính tích phân
• Dạng 1. Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Bài 10. Tính các tích phân
2

a.

∫ (x

3

3

− 3x + 1)dx
2

−2

1 2
b. ∫ ( x + ) dx
x
1
16

3

d.

∫x
1

2

− 4 x + 3 dx

e.

1
dx
x+9 − x

∫
0

8

2

2
c. ∫ ( x x + 1)dx
0

π
4

f. tan 2 xdx
∫
0

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
π
4

g.

∫

π
−
4

(

π

x
2

x2 + x + 1
dx
h. ∫
x +1
0

x
2

4
4

k. ∫ (sin − cos )dx
0

π
3

−π
4

∫ sin

m.

π
6
2

o. s inx.cos ( x − π )dx
∫0
4

∫ cos5x.sin3xdx

1 − cos2 xdx

0

cos x + s inx.cos x
∫0 2 + s inx dx

π
2

∫

i.

π
4

l.

π
2

n.

2π

1

5
− 4sin x + cos x)dx
cos2 x

dx
(5 x + 6)

( x + 1)dx
2

+ x ln x

∫x

p.

2

2

1

• Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Bài 11. Tính tích phân
1

x 7 dx
b. ∫ 2
x +1
0

π
4

c. cos3 xdx
∫
0

π
2

π

sin xdx
e.
∫0 cos x + s inx

dx
d.
∫0 cos4 x
π
3

π
2

1

xdx
a. ∫
( x + 1) 2
0

4

g. cos x.sin xdx
∫
3

2

0

h.

∫x
1

2

f.

s inx − cos x + 1

∫ s inx + 2 cos x + 3 dx
0

dx
( x + 1)

• Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Bài 12. Tính các tích phân sau
1

2

b. ∫ x

a. ∫ ( x − 1) xdx
2

25

d.

∫
0

π
2

2x +1
x2 + x + 1

dx

e. e
∫
h.

5

π
2

∫
0

0

cos2 x

k. (sin x + e
∫

s inx

).cos xdx

l.

∫

x+2
dx
+ 4x + 7

cos3 x
f. ∫ 2 dx
π sin x

s inx.cos xdx

6
e

6

1 + ln 3 x
dx

1 − cos x .s inx.cos xdx i. ∫
x
1
3

5

ln 2
3

2

π
3

π
2

0

0

∫x

c.

0

g. sin xdx
∫

π
3

x + 1dx
6

0

1

3

1

5

(3 + e ) e dx
x 5

0

x

9

m.

∫
4

9

e

x

x

dx


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

Bài 13. Tính các tích phân
1

3
2

d.

b.

1 − x2

1
2
π
6

∫

2 − x dx

3

9 + 3x 2 dx
x2

2

sin 2 xdx
g.
∫0 2sin 2 x + cos2 x

e.

x2 −1

2

∫
1

8

∫x

h.

dx

∫x

c.

0

dx

∫

2

2

dx
a. ∫
1 + x2
0

3

0

∫

f.

−a

a+ x
dx , ( a > 0)
a−x

dx
x2 + 1

Bài 14. Tính các tích phân
1

a.

2012
∫ x sin xdx

b.

−1
1
2

1− x 
d. ∫ x ln 
÷dx
 1+ x 
−1
2

π

2

cos4 x
∫0 sin 4 x + cos4 x dx

1

cos xdx
ex + 1
−1

∫

c.

π

e.

x sin xdx
∫0 4 + cos2 x

1

∫ ln( x +

f.

x 2 + 1)dx

−1

2

π

sin 2 xdx
g. ∫ x
3 +1
−π
π
2

k. ln( 1 + s inx )dx
∫0 1 + cos x

π
4

2π

h. ln(1 + t anx)dx
∫

∫ x.cos xdx
3

i.

0

0

1

dx
l. ∫ 2 x
e +3
0

1

∫e

m.

0

dx
.
+ ex

2x

• Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài 15. Tính các tích phân
1

a. ∫ ( x + 1)e dx
2x

0

5

d. ∫ x ln( x − 1)dx
2

3
2

g.

ln(1 + x)
dx
2
x
1

∫

π
6

2

b. ∫ x e dx
2 2x

1

c. (1 − x)sin 3xdx
∫
0

eπ

π

e. ∫ e cos xdx
x

0

f.

∫ cos(ln x)dx
0

π
2

h. cos x.ln(1 + cos x)dx
∫
0

• Dạng 5. Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần

10

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

Bài 16. Tính tích phân
1

a. ∫ x (e + x + 1)dx
2

2x

3

0

e5

ln x.ln(ln x)dx
b. ∫
x
e2

π
2

c. ( x + sin 3 x + es inx ).cos xdx
∫
0

• Dạng 6. Lập công thức tích phân truy hồi

Bài 17. Lập công thức tích phân truy hồi cho các tích phân sau.
π
2

1

a. I n = sin xdx
∫
n

n
b. I n = ∫ x 1 − xdx với n là số nguyên dương.
0

0

• Dạng 7. Ứng dụng của tích phân
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.
a. y = 2 x 2 − x 4 và trục hoành
b. y = x 3 − 3x 2 + 4 và đường thẳng x − y + 1 = 0
c. y = sin 2 x cos3 x ; y = 0 và x = 0; x =

π
2

d. y = − x 2 + 2 x ; y = −3x
e. y = x 2 ; y =

x2
8

;y=
8
x

2
f. y = x − 4 x + 3 ; y = 3 − x

Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi.
a. y = ln x ; trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 .
b. y = xe x , trục hoành và đường thẳng x = 1
c. y = cos2 x + x sin x , y = 0, x = 0, x = 2.
d. y =

x2
, y = 2, y = 4 .
2

Phần 3. Bài tập tổng hợp

11


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

Bài 20. Tính các tích phân.
1

e

(ln x + 2013) 2

dx
a. ∫
x
1

d.

∫x

1 + x dx

0

g.

π
2

∫

0
π
2

cos x + 2sin x
2

k. (e
∫

2

dx

+ cos x) cos xdx

0

π
2

dx

∫ 4sin x + 3cos x + 5
0

π
4

sin 2 x

s inx

f.

dx

x4 + 1

1

s inx
e.
∫o 2 + cos x dx

2

x3

∫

c.

π
2

3

5

2

3x
dx
b. ∫ 2
2
(
x
+
3)

0

dx
h.
∫0 (s inx + 3cos x)2
π
2

cos xdx
l.
∫0 sin 2 x + 4sin x + 3

π
2

i. cos x cos x − cos3 xdx
∫
0

1

∫x

m.

4

0

x

dx
+ 3x 2 + 2

Bài 21. Tính các tích phân.
π
2

e

ln x
a. ∫ 2 dx
x
1

b. x.cos 3 x .cos x dx
∫
2

0

π
3

1

d. ∫ x ln( x + x + 1)dx
2

0

2

1

3
2
c. ∫ x ln( x + 1)dx
0

ln 3

e. x.tan xdx
∫
2

∫

f.

2 x3 − 4 x 2 − x − 3
dx
g. ∫
x2 − 2 x − 3
0

e3

h.

∫

e

ex + 1

0

0

1

xe x

ln 2

dx
x ln x ln(ln x)

i.

dx
x sin 2 (ln x )

m.

e2 x

∫

ex + 2

1

dx

dx

π

2

k.

2(2 x − 1)
∫1 ( x + 2)( x 2 + 1) dx

e4

l.

π

∫x

2

π
4

3

− 4 dx

o.

−3

x2 −1
∫1 x 4 + 1 dx

e2

3

n.

∫

2

∫

x 3 − 2 x 2 − x + 2 dx

∫ sin

p.

π
6

−2

2

dx
x . 4 cot x

Bài 22. Tính tích phân.
ln 3

a.

∫

ln 2

e x dx
(e + 1)
x

e x − e− x
b. ∫ x − x dx
e +e
0
1

3

π
3

ln(t anx)
dx
d. ∫
π sin 2 x

ln 5

∫e

c.

ln 3

1

x4 + 1
e. ∫ 6 dx
x +1
0

x

3

dx
+ 2e − x − 3
dx

∫ x (1 + x )

f.

6

2

1

4
ln 3

g.

∫ 2(e
0

k.

1
2

∫
0

1

e x dx
x

+ 1) e + 1
x

1− x
dx
1− x
2

x2
h. ∫
(1 + x 2 )2
0

1

i.

∫
0

1

x3
dx
l. ∫
8
1
+
x
0

m.

π
2

∫
0

12

2x − x 2 dx

sin 2 x
cos x + 4sin 2 x
2

dx


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
2 3

∫

n.

5

π

6

dx

4
o. tan x dx (B-08)
∫0 cos2 x

x x2 + 4
π
2

q. (A-05) sin 2 x + s inx dx
∫0 1 + 3cos x

ln x
dx
r. ∫
2
x
(2
+
ln
x
)
1
x 2 + e x + 2 x 2e x
dx
u. ∫
1 + 2e x

0

t. ∫ ln( x − x)dx
2

2

2
p. 1 − 2sin x dx

∫ 1 + sin 2 x
0

e

1

3

π
4

e

s.

∫
1

1 + 3ln x ln x

dx
x

π
sin( x − )
4
v.
dx
∫0 sin 2 x + 2(1 + s inx
+ cos x)
π
4

Bài 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau.
a. y 2 − 2 y + x = 0, x + y = 0
b. y = 3 + x − x 2 , y = 2 x + 1 .
π
3π
c. y = 0, y = s inx, x = , x =
.
2

2

2
d. y = x − 4 x + 3 , x = 2, y = x + 3.

e. y =

1

−2 x

, y = 2− x , x = 1.

e
f. y = x 2 , y = 2 x − x 2 , x = 2.

g. y = (e + 1) x, y = (1 + e x ) x.
x2
x2
, y=
.
4
4 2
2
i. y = x − 4 x + 3 , y = x + 3.

h. y = 4 −

Bài 24. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Ox
a. y 2 = 4 x, y = x
b. y = x ln x, y = 0, x = e.
π
2
c. y = 0, y = cos x + x s in x , x = 0, x = .
2

Bài 25. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Oy: y = 0, y = 2 x − x 2 .

Bài 26. Tính các tích phân.

13


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
π
2

sin 2012 x
a.
∫0 sin 2012 x + cos2012 x dx.
π
4

d. x sin x + ( x + 1) cos x dx
∫0 x sin x + cos x

1

2
b. ∫ 2 ln( x + 1 + x )dx
−1

π
3

1

cot x

1 + cos 2 xdx
g. ∫
π sin x

k.

4
π
8

∫

−

π
8

∫

h.

x ln( x + 2)
4− x

0

cos2 x
dx
1 + ex

l.

2

sin 2 x
dx
c. ∫
1 + 2012 x
−π
4

x
e. 1 + x sin
∫0 cos2 x dx

π
2

π

f.

4x −1
dx
2x +1 + 2

∫
0

1

dx

i.

4 x3 + 6 x 2 + 2 x

∫

x2 + x + 1

0

dx

π
6

( x + 1)(1 − 2sin 2 x) + cos2 x .
x cos 2 x + cos2 x
0

∫

Bài 27. Tính các tích phân.
π
4

1

x3
dx
a. ∫ 4
x + 3x 2 + 2
0

3

b. x(1 + sin 2 x)dx
∫

c.

0

1 + ln(1 + x )
dx
x2
1

∫

Bài 28. Tính các tích phân
1

2

x2 −1
a. ∫ 2 ln xdx
x

1

1

( x + 1) 2
dx
c. ∫ 2
x
+
1
0

2
b. ∫ x 2 − x dx
0

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013
π
2

Bài 1: Tính I = (cos3 x − 1) cos 2 xdx - ĐHKA-2009
∫

KQ:

8 π
−
5 4

KQ:

1
27
(3 + ln )
4
16

0

3

Bài 2: Tính I =

3 + ln x

∫ ( x + 1)
1
3

Bài 3: Tính I =

∫e
1
1

Bài 4: Tính I =

dx - ĐHKB-2009

1

dx - ĐHKD-2009
−1

KQ: ln(e2+e+1) – 2

x 2 + e x + 2 x 2e x
∫0 1 + 2e x dx - ĐHKA-2010
e

Bài 5: Tính I =

x

2

ln xdx

∫ x(2 + ln x)

2

KQ:

1
3

KQ: − + ln

- ĐHKB-2010

1

e


1

3

Bài 6: Tính I = I = ∫  2 x − ÷ln xdx - ĐHKD-2010
x
Bài 7: Tính I =

π
4

∫
0

1 1  1 + 2e 
+ ln 
÷
3 2  3 



x sin x + ( x + 1) cos x
dx - ĐHKA-2011
x sin x + cos x

14

3
2

KQ:

e2
−1
2

KQ:

 2 π
π

+ ln 
+
1

÷÷
÷
4
 2  4 


Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
π
3

x
Bài 8: Tính I = 1 + x sin
dx
2

∫
0

4

Bài 9: Tính I =

∫
0

cos x

4x −1
dx
2x +1 + 2

KQ: 3 +

- ĐHKD-2011

KQ:

34
3
+10 ln

3
5

KQ:

2 −2
+ ln 2 + ln 3
3 3

KQ:

1
( 2ln 3 − 3ln 2 )
2

3

Bài 10:

1 + ln( x + 1)
dx - KA-2012
2
x
1

Tính tích phân I = ∫
1

x3
dx. - ĐHKB-2012

x 4 + 3x 2 + 2

Bài 11: Tính tích phân I = ∫
0

Bài 12:

Tính tích phân I =

π/ 4

∫

x(1 + sin 2x)dx - ĐHKD-2012 KQ:

0

2

2π
+ ln(2 − 3)
3

- ĐHKB-2011

x2 − 1
ln xdx - ĐHKA-2013
x2

π2

32

+

1
4

KQ:

5
3
ln 2 −
2
2

2
Bài 14: Tính tích phân I = ∫ x 2 − x dx - ĐHKB-2013

KQ:

2 2 −1
3

( x + 1) 2
dx - ĐHKD-2013
Bài 15: Tính tích phân I = ∫ 2
x +1
0

KQ: 1 + ln 2

Bài 13:

Tính tích phân I = ∫
1
1

0
1

15