Chuyên đề: Hình học phẳng Oxy

Chuyên đề : Hình học phẳng Oxy

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Định nghĩa: Hệ trục tọa độ đề c|c vuông góc trong mặt phẳng
x ' Ox  y ' Oy
Vectơ đơn vị e1  x ' Ox, e2  y ' Oy

e12  e22  1; e1.e2  0
II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM
1. M ( x; y)  OM  ( x; y)  OM  x.e1  y.e2
2. Tọa độ c|c điểm đặc biệt

 A( x1 ; y1 )

x x y y 
Cho  B( x2 ; y2 )  Trung điểm của AB có tọa độ l{: I  1 2 ; 1 2 
2 
 2
C ( x ; y )
3
3

Điểm chia AB tỉ số k l{ điểm thỏa m~n

JA
 x  kx2 y1  ky2 
 k  Tọa độ: J   1
;


1 k 
JB
 1 k

 x  x  x y  y  y3 
Tọa độ trọng t}m tam gi|c ABC: G  1 2 3 ; 1 2

3
3


III. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ

a  (a1; a2 )  a  a1 e1  a2 e2
1. Định nghĩa: 
. Nếu

b  (b1 ; b2 )  b  b1 e1  b2 e2

 A( x1 ; y1 )
thì AB  ( x2  x1; y2  y1 ) .

 B( x2 ; y2 )

2. Phép toán: a  b  (a1  b1; a 2  b2 );  a   b  ( a1   b1;  a 2   b2 )
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI

 

1.a.b  a . b cos a, b

7. a  b  a  b

8. a  b  a  b

2. a.b  a1b1  a2b2

9. a  b  a  b

10. a  b  a  b

3. a  a12  a22 ; b  b12  b22

11. a.b  a . b

 

4. a  b  (a1  b1 ) 2  (a2  b2 ) 2

12.cos a, b 

5. a  b  (a1  b1 ) 2  (a2  b2 ) 2

13.sin a, b 

 

a1b1  a2b2
a  a22 . b12  b22

2
1

;

a1b1  a2b2
a12  a22 . b12  b22

6. AB  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
V. SỰ THẲNG HÀNG
Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online

Tổng đài tư vấn: 0977.543.462

Trang 1


Chuyên đề : Hình học phẳng Oxy

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

 

det a, b 

a1 a2
b1 b2

 

 a1b2  a2b1 ; a / /b  det a, b 



a1 a2
b1 b2

 a1b2  a2b1  0



A, M, B thẳng h{ng  det AB, AM  0
VI. DIỆN TÍCH TAM GIÁC

A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ); C ( x3 ; y3 ) S ABC 

1
1 x2  x1
det AB; AC 
2
2 x3  x2





y2  y1
y3  y1

VII. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1: Cho ABC với A(1; -3); B(3; -5); C(2; -2). Tìm tọa độ của M, N l{ giao của c|c đường
ph}n gi|c trong v{ ngo{i của góc A với đường thẳng BC.
X|c định tọa độ t}m đường tròn nội tiếp ABC .
Giải:
AM l{ ph}n gi|c trong của tam gi|c ABC suy ra:

MB
AB
2 2
7



 2  M  ; 3 
AC
MC
2
3

AN l{ ph}n gi|c ngo{i của tam gi|c ABC suy ra:
NB AB

 2  N 1;1
NC AC
Gọi I l{ t}m đường tròn nội tiếp ABC suy ra BI là phân giác trong ABM





IA
BA
2 2
3



 I 4  15; 3
2
BM
IM
5
10
3
Bài 2: Cho A(6; 3), B(-3; 6), C(1; -2)
a. Tìm tọa độ trọng t}m G, trực t}m H, t}m đường tròn ngoại tiếp I.
b. CMR: H, G, I thẳng h{ng.
Giải:
x x x
y  yB  yC 7
4
4 7
a. Tọa độ trọng t}m G: xG  A B C  ; yG  A
  G ; 
3
3
3
3
3 3
+ H l{ trực t}m ABC

 AH  BC
 AH .BC  0 4( xH  6)  8( yH  3)  0
x  2




 H
 H (2;1)


5(
x

30

5(
y

6)

0
y

1
BH

AC
BH

.
AC

0

H
H

H




+ I l{ t}m đường tròn ngoại tiếp ABC nên: IA = IB = IC.
 ( xI  6) 2  ( yI  3) 2  ( xI  3) 2  ( yI  6) 2  ( xI  1) 2  ( yI  2) 2
 12 xI  6 yI  45  6 xI  12 yI  45  2 xI  4 yI  5
 xI  1; yI  3  I (1;3)

b. Phương trình đường thẳng IH l{:

x  2 y 1

 2x  y  5  0
1  2 3 1

Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online

Tổng đài tư vấn: 0977.543.462

Trang 2

Chuyên đề : Hình học phẳng Oxy

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

8 7
Ta có: 2 xG  yG  5    5  0  G  ( IH ) suy ra G, H, I thẳng h{ng.
3 3
Bài 3: Cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5). Tìm tập hợp c|c điểm M thỏa m~n 1 trong c|c điều kiện
sau:













a. 2MA  3MB MA  2MB  0

b. 2MA  3MB MA  MB  MC  BC 2

c.MB 2  MC 2  3MB.MC

d .2MA2  MB 2  2MC 2

Giải:
Gọi M ( x; y ) suy ra MA  (1  x;  y), MB  ( x;3  y), MC  (3  x; 5  y)
a. 2MA  3MB  ( x  2; y  9) và MA  2MB  ( x  1; y  6)

 2MA  3MB  MA  2MB   0  ( x  2)( x  1)  ( y  9)( y  6)  0
2
2
3 
15   10 

  x     y    

2 
2   2 


2

 3 15 
Vậy quĩ tích điểm M l{ đường tròn t}m   ;  bán kính
 2 2

10
2

b. MA  MB  MC  (2  3x; 2  3 y)

 2MA  3MB  MA  MB  MC   BC

2

2

 ( x  2)(2  3x)  ( y  9)(2  3 y )  73

2

2

2

4
25  857
4 
25  19



 3  x    3  y   
 73   x     y   
0
3
6 
12
3 
6  36




Phương trình trên vô nghiệm nên không có điểm M n{o thỏa m~n yêu cầu.



c. MB 2  MC 2  3MB.MC  MB  MC



2

 MB.MC  BC 2  MB.MC
2

3
365

  x(3  x)  (3  y )(5  y)  73   x    ( y  1) 2 
2
4


 3

Vậy quĩ tích điểm M l{ đường tròn t}m   ; 1 bán kính
 2


365
2

d. 2MA2  MB 2  2MC 2  2 (1  x)2  y 2    x 2  (3  y)2   2 (3  x)2  (5  y)2 
 x 2  y 2  16 x  26 y  57  0  ( x  8) 2  ( y  13) 2  290

Vậy quĩ tích điểm M l{ đường tròn t}m (8; 13) b|n kính

290

Bài 4: Cho tứ gi|c ABCD có A(0; 1), B(-2; -1), C(-1; -4), D(1; 0)
a. Chứng minh rằng: C|c tam gi|c ABD v{ BCD l{ những tam giác vuông.
b. Tính diện tích tứ gi|c ABCD.
c. Tìm M trên Oy để diện tích  MBD v{ diện tích  BCD bằng nhau.
Giải:
a. Ta có: AB  (2; 2), AD  (1; 1)  AB.AD  0  AB  AD
Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online

Tổng đài tư vấn: 0977.543.462

Trang 3


Chuyên đề : Hình học phẳng Oxy

CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

BC  (1; 3), BD  (3;1)  BC.BD  0  BC  BD
Vậy  ABD vuông tại A v{  BCD vuông tại B (đpcm)
1
1
b. S ABD  AB. AD  2; S BCD  BC.BD  5  S ABCD  S ABD  S BCD  7
2

2
c. Gọi M (0; y )  Oy . Sử dụng công thức SMBD 
Suy ra để SMBD  SBCDthì





1
MB 2 MD 2  MBMD
2

MB 2 .MD 2  MB.MD



2



2

 10

  4  ( y  1)2  (1  y 2 )   2  (1  y) y   10
2

 ( y 2  2 y  5)( y 2  1)  ( y 2  y  2)2  100  9 y 2  6 y  99  0
 3( y  3)(3 y  11)  0  y  3  y  

11
3

11 

Vậy có 2 điểm M thỏa m~n l{ M(0; 3) hoặc M  0;  
3

Bài 5: CMR:

x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2 , x, y, z  R

Giải:
2

Ta có:

2
2
x  3 
z  3 


2
2
x  xy  y   y    
x  ; y  yz  z   y    
z
2   2 
2   2 



2

2

2


 xz 3

x 3   
z 3 
x  , b    y   ;
z   a  b  
;
( x  z ) 
Xét a   y  ;
2 2   
2 2 
2

 2


 ab 

( x  z )2 3( x  z )2

 z 2  zx  x 2 .

4
4

Do a  b  a  b nên

x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x2 (đpcm)

Dấu “=” xảy ra a  b  x  z  0 hoặc
x
2y  x
x 2 y  2 x
y
y  x

 


 xy  yz  zx  0 .
z
2y  z
z
2y
yz
y
k
z (k  1)
1 k
Cách 2: Trong 3 số x; y; z có ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử l{ x, y .

Hay là x  z  0  x  kz , y 

Lấy c|c điểm O, A, B, C1; C2 sao cho

OA  x , OB  y , OC1  OC2  z và
BOC1  C1OA  1200 ; AOC2  C2OB  600

Ta có: AB 2  x 2  y 2  2 xy cos1200
 AB  x2  y 2  xy . Tương tự suy ra:

BC1  y 2  z 2  yz , C1 A  z 2  x2  zx
Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online

Tổng đài tư vấn: 0977.543.462

Trang 4


CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực

Chuyên đề : Hình học phẳng Oxy

Và BC2  y 2  z 2  yz , C2 A  z 2  x 2  zx
Nếu z cùng dấu với x, y thì sử dụng AB  BC1  C1 A suy ra (đpcm)
Nếu z tr|i dấu với x, y thì sử dụng AB  BC2  C2 A suy ra (đpcm)
Dấu “=” xảy ra  Trong 3 điểm A, B, C có ít nhất 2 điểm trùng O
 2 trong 3 số x, y, z có ít nhất 2 số bằng 0.
Trong trường hợp x, z cùng dấu v{ kh|c dấu với y thì dấu bằng xảy ra khi độ d{i đường ph}n
gi|c từ đỉnh O của tam gi|c OAC chính là OB.

Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online

Tổng đài tư vấn: 0977.543.462

Trang 5