MÔ PHỎNG PLASMA PHÓNG ĐIỆN KHÍ ARGON TRONG HỆ PHÚN XẠ MAGNETRON DC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PI MCC

ðẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ HOÀNG NAM

Lời cảm ơn
MÔ PHỎNG PLASMA PHÓNG ðIỆN KHÍ ARGON
TRONG HỆ PHÚN XẠ MAGNETRON DC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PIC/MCC

Tôi biết ơn sâu sắc ñến thầy Lê Văn Hiếu, người ñã tận tình dạy và hướng dẫn
tôi từ khi tôi còn là một sinh viên cho ñến khi tôi thực hiện luận văn này.
Tôi biết ơn các Thầy, Cô trong Bộ môn Vật lý Ứng dụng ñã truyền ñạt các kiến
thức quý báu cho tôi trong những năm học qua.

Chuyên ngành: Vật Lý Vô Tuyến và ðiện Tử
Mã số: 60 44 03 1

Cảm ơn bạn Nguyễn ðức Hảo ñã giúp tôi có các hiểu biết về hệ phún xạ
magnetron thực thế, và hơn nữa, bạn ñã ñọc và chỉnh sửa bài luận này cho tôi.
Cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 17 ở hai lớp Quang học và Vật lý Vô
tuyến ðiện tử, chúng ta ñã cùng nhau ñồng hành trong suốt ba năm học vừa qua. Minh

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

sẽ nhớ mãi những lần học nhóm và ñi chơi xa cùng các bạn.
Cảm ơn ñến cô Phượng, chị Trang, các em Loan, Hưng và An. Không có những
chiếc máy tính của cô, chị và các em thì ñề tài này không thể thực hiện ñược.

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS LÊ VĂN HIẾU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

i


Mục lục
Mở ñầu ..............................................................................................................1
Chương 1
TỔNG QUAN ...................................................................................................3
1.1 Plasma phóng ñiện sáng DC và hệ phún xạ magnetron .......................... 3
1.1.1 Khái niệm về plasma ............................................................................... 3
1.1.2 Phóng ñiện sáng DC ................................................................................ 5
1.1.3 Hệ phún xạ magnetron............................................................................. 7
1.2 Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo ......................................... 8
1.2.1 Từ trường ................................................................................................. 9
1.2.2 Phóng ñiện magnetron ............................................................................. 9
1.2.3 Tương tác hạt – bia .................................................................................. 9
1.2.4 Vận chuyển hạt trong pha khí................................................................ 10
1.2.5 Phát triển màng tại ñế ............................................................................ 10
1.3 Các mô hình mô phỏng phóng ñiện magnetron ..................................... 10
1.3.1 Mô hình giải tích.................................................................................... 11
1.3.2 Mô hình chất lưu.................................................................................... 11
1.3.3 Mô hình hạt............................................................................................ 12
1.3.4 Mô hình lai............................................................................................. 14

Chương 2
XÂY DỰNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG PHÓNG ðIỆN
MAGNETRON KHÍ ARGON ......................................................................15

2.1 Từ trường tĩnh của hệ magnetron phẳng tròn ñối xứng trục ............... 15
2.2 Mô phỏng PIC/MCC và áp dụng nó cho mô phỏng phóng ñiện
magnetron .................................................................................................. 18
2.2.1 Mô phỏng PIC........................................................................................ 18
2.2.1.1 Phân chia ñiện tích của siêu hạt cho nút lưới................................... 19
2.2.1.2 Giải phương trình Poisson trên lưới................................................. 20
2.2.1.3 Kết hợp mạch ñiện ngoài ................................................................. 22
2.2.1.4 Nội suy các trường trên lưới ñến vị trí các siêu hạt ......................... 26
2.2.1.5 Giải phương trình Newton – Lorentz............................................... 26
2.2.1.6 Kết hợp tương tác plasma – bề mặt.................................................. 29
2.2.1.7 ðộ ổn ñịnh và chính xác của PIC..................................................... 30
2.2.2 Mô phỏng MCC ..................................................................................... 31
2.2.2.1 Phương pháp không va chạm ........................................................... 32
2.2.2.2 Các loại va chạm trong mô hình ...................................................... 34
2.2.2.3 Vận tốc sau va chạm ........................................................................ 36

v

2.3 Các phương pháp làm tăng tốc ñộ tính toán .......................................... 39
2.3.1 Các phương pháp tăng tốc cho máy tính ñơn xử lý............................... 40
2.3.1.1 Sự thay thế chu kỳ............................................................................ 40
2.3.1.2 Cải tiến không gian pha ban ñầu ...................................................... 41
2.3.2 Phương pháp tính toán hạt song song.................................................... 41
2.3.2.1 Mô tả tính toán hạt song song .......................................................... 42
2.3.2.2 Thư viện lập trình song song MPI ................................................... 42
2.3.2.3 Ước lượng ñộ lợi của tính toán hạt song song ................................. 44
2.4 Cấu trúc của chương trình mô phỏng ..................................................... 45
2.4.1 Mã tuần tự.............................................................................................. 46
2.4.2 Mã tính toán hạt song song.................................................................... 47

Chương 3
KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN...........................................................................49
3.1 Sự phân bố từ trường của hệ magnetron................................................ 49
3.2 ðộ lợi của tính toán hạt song song ........................................................... 51
3.3 Trạng thái dừng của mô hình................................................................... 54
3.4 Bức tranh của phóng ñiện khí argon trong hệ magnetron.................... 59
3.4.1 Sự phân bố ñiện thế và ñiện trường ....................................................... 59
3.4.2 Sự phân bố theo tọa ñộ của electron và ion ........................................... 63
3.4.3 Sự phân bố các tốc ñộ va chạm ............................................................. 67
3.4.4 Hàm xác suất năng lượng electron ........................................................ 72
3.4.5 Sự phân bố của ion argon tại bề mặt cathode ........................................ 73

Kết luận ...........................................................................................................78
Danh mục các công trình của tác giả............................................................80
Tài liệu tham khảo .........................................................................................81
Phụ lục A .........................................................................................................88
Phụ lục B .........................................................................................................94

vi


Danh mục các hình vẽ và bảng
Hình 1.1. Phân loại plasma trong phòng thí nghiệm và trong không gian dựa
trên giản ñồ log n theo log Te ...................................................................................4
Hình 1.2. Các ñại lượng ñặc trưng của phóng ñiện sáng DC.........................................6
Hình 1.3. Magnetron phẳng (a) tròn và (b) chữ nhật. Các ñường cong trên bề
mặt cathode là các ñường sức từ...............................................................................8
Hình 1.4. Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo trên máy tính.........................9
Hình 2.1. Sơ ñồ cấu tạo magnetron phẳng tròn ñối xứng trục. Hai nam châm
vĩnh cửu S và N tạo từ trường có các ñường sức cong trên bề mặt cathode. .........15

Hình 2.2. Chu kì tính toán của mô phỏng PIC trong một bước nhảy thời gian
∆t ............................................................................................................................18
Hình 2.3. Phân chia ñiện tích theo thể tích trong hệ tọa ñộ trụ của một siêu hạt
tại tọa ñộ (rk, zk) cho những nút lưới gần nó nhất là A, B, C và D. Ví dụ ñiện
tích ñược phân chia cho ñiểm C thì bằng ñiện tích qk nhân với phần thể tích
ñược tạo ra từ phần diện tích ñược bôi mờ quay xung quanh trục z, chia cho
thể tích của vòng vằn khăn ABCD. .........................................................................19
Hình 2.4. ðịnh lý Gauss trên các hộp bao quanh các nút lưới (0, 0), (0, j) và (0,
Nr1) trên bề mặt cathode. ........................................................................................23
Hình 2.5. Sơ ñồ của phương pháp nhảy cóc hiện. Vị trí của một hạt ñược ñẩy
từ thời ñiểm t ñến thời ñiểm t + ∆t , nhưng vận tốc chỉ biết ở thời ñiểm
t + ∆t 2 ....................................................................................................................27
Hình 2.6. Giản ñồ giải phương trình chuyển ñộng của phương pháp Boris. ...............27
Hình 2.7. Chu kỳ tính toán của PIC/MCC trong một bước nhảy thời gian ∆t ............32
Hình 2.8. Tiết diện va chạm electron – nguyên tử argon .............................................35
Hình 2.9. Tiết diện va chạm ion argon – nguyên tử argon...........................................35
Hình 2.10. Sơ ñồ truyền dữ liệu từ xử lý có rank = 0 ñến 8 xử lý trong nhóm.
(a) trao ñổi thông tin ñiểm – ñiểm và (b) trao ñổi thông tin tập hợp ......................43
Hình 2.11. Sơ ñồ cấu trúc và vòng lặp vật lý của chương trình...................................45
Hình 3.1. Sự phân bố thành phần từ trường theo hướng bán kính, Br, của
magnetron. ..............................................................................................................49

ii

Hình 3.2. Sự phân bố thành phần từ trường theo hướng trục z, Bz, của
magnetron. ..............................................................................................................50
Hình 3.3. Từ trường Br tại hai vị trí z = 3 mm và z = 12 mm. ðường liền nét là
kết quả tính toán của ñề tài này, ñường ñứt nét là kết quả của phần mềm
FEMM.....................................................................................................................50
Hình 3.4. Từ trường Bz tại hai vị trí r = 13.5 mm và r = 25 mm. ðường liền nét

là kết quả tính toán của ñề tài này, ñường ñứt nét là kết quả của phần mềm
FEMM.....................................................................................................................51
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của thời gian chạy theo số xử lý Nproc trong các trường
hợp số siêu hạt ban ñầu thay ñổi từ 500,000 ñến 2,000,000 hạt.............................52
Hình 3.6. Sự phụ thuộc của ñộ lợi Gain theo số xử lý Nproc trong các trường
hợp số siêu hạt ban ñầu thay ñổi từ 500,000 ñến 2,000,000 hạt.............................53
Hình 3.7. Sự biến thiên của năng lượng trung bình (KE) và mật ñộ hạt trong
suốt thời gian mô phỏng. Khoảng thời gian giả dừng của mô hình là từ
2 − 3 µ s ...................................................................................................................54
Hình 3.8. Sự thay ñổi của tổng số siêu hạt ion (ñường liền nét) và electron
(ñường ñứt nét) theo thời gian trong ba trường hợp I, II và III.............................57
Hình 3.9. Sự thay ñổi năng lượng trung bình của tổng số siêu hạt ion (ñường
liền nét) và electron (ñường ñứt nét) theo thời gian trong ba trường hợp I, II
và III. ......................................................................................................................58
Hình 3.10. Sự thay ñổi thế phóng ñiện tại cathode theo thời gian trong ba
trường hợp I, II và III. ...........................................................................................58
Hình 3.11. Sự phân bố thế (a) trong toàn vùng mô phỏng và (b) tại ba vị trí
r = 8.05 mm, 13.56 mm và 19.25 mm. ...................................................................60
Hình 3.12. Các thành phần của ñiện trường E là (a) Ez theo hướng trục z và (b)
Er theo hướng bán kính r. .......................................................................................62
Hình 3.13. Không gian pha (r, z) của (a) electron và (b) ion. ......................................63
Hình 3.14. Không gian pha (z, uz) của (a) electron và (b) ion......................................64
Hình 3.15. Sự phân bố mật ñộ của (a) electron và (b) ion. ..........................................65
Hình 3.16. Sự phân bố mật ñộ của ion (ñường liền nét) và của electron (ñường
ñứt nét) tại vị trí r = 13.65 mm dọc theo trục z. ......................................................66
Hình 3.17. Mật ñộ ñiện tích không gian.......................................................................67

iii

Hình 3.18. Sự phân bố tốc ñộ va chạm ñàn hồi của electron với nguyên tử
argon. ......................................................................................................................68
Hình 3.19. Sự phân bố tốc ñộ va chạm kích thích của electron với nguyên tử
argon. ......................................................................................................................68
Hình 3.20. Sự phân bố tốc ñộ va chạm ion hóa của electron với nguyên tử
argon. ......................................................................................................................69
Hình 3.21. Sự phân bố tốc ñộ va chạm kích thích (ñường liền nét) và va chạm
ion hóa (ñường ñứt nét) của electron với nguyên tử argon tại vị trí
r = 13.65 mm dọc theo trục z. .................................................................................70
Hình 3.22. Sự phân bố tốc ñộ va chạm ñàn hồi của ion argon với nguyên tử
argon. ......................................................................................................................71
Hình 3.23. Sự phân bố tốc ñộ va chạm chuyển ñiện tích của ion argon với
nguyên tử argon. .....................................................................................................71
Hình 3.24. Hàm xác suất năng lượng electron (EEPF) trong vùng
10 mm ≤ r ≤ 17 mm và 15 mm ≤ z ≤ 20 mm . Một dạng xấp xỉ của EEPF là
phân bố hai Maxwell với hai nhiệt ñộ k BTc = 1.25 eV và k BTh = 4.5 eV . .............72
Hình 3.25. Sự phân bố ion argon theo năng lượng và tọa ñộ tại bề mặt cathode.
(a) trong toàn miền, (b) tại ba vị trí r = 12 mm , 14 mm và 16 mm. IDFC bị

Mở ñầu
Hơn nửa thế kỷ qua, vật liệu và linh kiện màng mỏng ñã ñược chế tạo nhằm
ứng dụng trong thực tiễn và ngày nay nó ñang ñóng vai trò trung tâm trong nhiều lĩnh
vực khoa học, kỹ thuật cũng như ñời sống. Phương pháp phún xạ magnetron xuất hiện
từ rất sớm và thông dụng ñể lắng ñọng các loại màng mỏng kim loại, bán dẫn hoặc ñiện
môi. ðây là các vật liệu ñược sử dụng nhiều trong các thiết bị vi ñiện tử, quang – ñiện
và cơ. ðể hiểu và ñiều khiển ñược các quá trình phức tạp xảy ra trong quá trình tạo
màng trong buồng phóng ñiện magnetron, cần phải có những nghiên cứu cả về lý
thuyết và thực nghiệm ñối với các quá trình vật chất xảy ra trong môi trường phóng
ñiện magnetron.
Một mô hình giải tích ñơn giản khó có thể mô tả thỏa ñáng môi trường phóng

ñiện trong hệ magnetron do ñiện trường và từ trường trong nó là ña chiều và không
ñồng nhất. Các thực nghiệm chỉ cho thấy một số ñặc trưng của phóng ñiện và không
cung cấp một bức tranh toàn diện về các quá trình vật chất trong hệ magnetron. Một ví

chia thành hai vùng, vùng một có 210eV < energy < 275eV , vùng hai có

dụ là phương pháp ño ñạc bằng ñầu dò ñiện Langmuir. Phương pháp này cung cấp các

energy ≈ 200eV . ....................................................................................................74

thông tin về các ñặc trưng ñiện ñộng của plasma như mật ñộ và nhiệt ñộ của electron

Hình 3.26. Sự phân bố ion argon theo năng lượng và góc tới bề mặt cathode.
(a) trong toàn miền, (b) tại bốn góc tới theta = 900, 88.50, 82.50 và 78.50. ...........75
Hình 3.27. Kết quả tính toán thông lượng ion argon ñến bề mặt bia. ..........................77
Hình A. Một phần tử hữu hạn hình chữ nhật. ..............................................................91
Bảng B. Hệ số nhân của bước nhảy thời gian giả. .......................................................97

trong thể tích plasma. Tuy nhiên, ñầu dò có thể gây ảnh hưởng trở lại môi trường
plasma. Hơn nữa, ñầu dò không thể ño ñạc ở vùng sát bề mặt cathode, mà tại ñó hầu hết
các quá trình quan trọng trong phún xạ xảy ra. Thêm vào ñó, các thực nghiệm thường
rất phức tạp và tốn kém. Ngược lại, các mô hình số ñược xây dựng trên máy tính,
không những không ảnh hưởng mà còn cung cấp cho ta một bức tranh toàn diện về các
quá trình xảy ra trong buồng phóng ñiện magnetron.
Ngày nay, với sự tiến bộ vượt bậc của ngành khoa học máy tính và các
phương pháp mô phỏng các quá trình vật chất trong plasma bằng máy tính, thì việc xây
dựng thành công một công cụ thí nghiệm ảo trên máy tính cho hệ phún xạ magnetron
ngày càng hiện thực hơn.

iv

1


Trong luận văn này, chúng tôi thực hiện hai module là mô phỏng từ trường và

Chương 1

mô phỏng plasma phóng ñiện khí argon trong hệ phún xạ magnetron phẳng tròn DC.

TỔNG QUAN

Module từ trường ñược thực hiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn và ñược viết
bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB. Module phóng ñiện magnetron ñược thực hiện
bằng phương pháp mô phỏng particle-in-cell/Monte Carlo collisions (PIC/MCC) và

1.1

Plasma phóng ñiện sáng DC và hệ phún xạ magnetron

ñược viết bằng ngôn ngữ lập trình FORTRAN dưới dạng mã tuần tự và mã tính toán
hạt song song. Mã tính toán hạt song song ñược thực hiện bởi thư viện lập trình song
song MPI (message passing interface). Một hệ thống cluster ñược thiết lập ñể ñánh giá
ñộ lợi song song của mô hình.
Sau khi xác ñịnh trạng thái dừng của mô hình, chúng tôi thu ñược một bức
tranh toàn ñiện của phóng ñiện magnetron khí argon, gồm có: sự phân bố ñiện thế và
ñiện trường, hàm xác suất năng lượng của electron trong vùng thể tích plasma, sự phân
bố của ion argon tại bề mặt cathode.

1.1.1 Khái niệm về plasma

Từ “plasma” ñược giới thiệu lần ñầu tiên bởi Langmuir vào năm 1928. Ngoài
ba trạng thái rắn, lỏng và khí, thì plasma là trạng thái thứ tư của vật chất, chiếm 99%
lượng vật chất trong vũ trụ, là môi trường dẫn ñiện gồm các hạt mang ñiện và các hạt
trung hòa.
Nhìn chung có hai quá trình cơ bản xảy ra trong môi trường plasma là quá
trình không tập hợp và quá trình tập hợp [1]. Quá trình không tập hợp liên quan tới
tương tác gần giữa các hạt với nhau (gọi là va chạm cặp - binary collision) và tương tác
giữa hạt với thành bình. Quá trình tập hợp liên quan tới tương tác xa giữa các hạt mang
ñiện với nhau, giữa các hạt mang ñiện với trường do chính chúng sinh ra (gọi là trường
tự hợp) và với ñiện trường và từ trường ngoài. Khi hạt mang ñiện chuyển ñộng, nó gây
ra sự tích tụ cục bộ ñiện tích âm hoặc dương, mà làm thay ñổi ñiện trường bao quanh
nó. Thêm vào ñó, khi chuyển ñộng thành dòng, các hạt mang ñiện sinh ra từ trường.
Các trường này ảnh hưởng lên sự chuyển ñộng của toàn bộ các hạt mang ñiện trong hệ.
Một ñại lượng ñặc trưng cho quá trình tập hợp là bán kính Debye λDe ,i [1, 21]
12

 ε 0 k BTe ,i 
 ,
 qe,i ne ,i 

λDe ,i = 

(1.1)

ở ñây, ε 0 là hằng số ñiện môi trong chân không, k B là hằng số Boltzmann, ni và ne
tương ứng là mật ñộ hạt mang ñiện dương (ion) và âm (electron), Te và Ti tương ứng là
nhiệt ñộ electron và ion, q là ñiện tích. Bán kính Debye của hạt cho biết hạt tác dụng

2

3


mạnh hay yếu với các hạt khác xung quang nó. Một ñại lượng khác ñặc trương về thời
gian của quá trình tập hợp là tần số dao ñộng plasma ω p [1, 21]

ω = ω +ω
2
p

2
e

2
i

Dựa vào ñộ ion hóa β = n (ng + n) , ng là mật ñộ khí trung hòa, và nhiệt ñộ
của các loại hạt trong plasma, người ta chia plasma ra làm hai loại là plasma nhiệt ñộ

(1.2)

cao và plasma nhiệt ñộ thấp. Plasma nhiệt ñộ cao : nhiệt ñộ của các loại hạt trong
plasma là bằng nhau Te ≃ Ti và có ñộ ion hóa cao ( β ≥ 10−2 ). Ví dụ là plasma trong các

với tần số plasma electron và ion là

vì sao và trong lò phản ứng nhiệt hạch. Plasma nhiệt ñộ thấp: nhiệt ñộ của các loại hạt

12

 ne,i qe2,i 
 ,
 ε 0 me ,i 

ωe,i = 

(1.3)

ở ñây me,i tương ứng là khối lượng electron và ion. Do mi ≫ me nên ω p ≃ ωe .

trong plasma là không bằng nhau Te ≫ Ti , Te > Ti > Tg , Tg là nhiệt ñộ hạt trung hòa, và
có ñộ ion hóa thấp ( β < 10−3 ). Ví dụ là plasma trong ñèn huỳnh quang và plasma trong
hệ phún xạ magnetron. Từ hình 1.1, ta có thể phân loại plasma chi tiết hơn dựa vào mật
ñộ và nhiệt ñộ của nó. Thông thường, hệ phún xạ magnetron hoạt ñộng ở áp suất

Si rắn tại nhiệt ñộ
phòng

p = 1 − 100 mTorr , có mật ñộ ne = 1 − 10 × 1010 cm −3 và nhiệt ñộ Te = 1 − 10 eV , nên
plasma phóng ñiện khí trong hệ phún xạ magnetron là loại nhiệt ñộ thấp và là một dạng
Plasma
laser
Ống sóng
xung kích

Phóng
ñiện hồ
quang

của phóng ñiện sáng (glow discharge).

Hiệu ứng
thắt theta

1.1.2 Phóng ñiện sáng DC
Phản ứng
nhiệt hạch

Plasma
kim loại
kiềm

Lửa

ðặt hai bản phẳng song song cách nhau một khoảng d, áp suất khí trong
khoảng này là p. Ở ñiều kiện bình thường, dưới tác dụng của các tia vũ trụ, hầu hết khí

Áp suất
thấp

Thí nghiệm
nhiệt hạch

trung hòa bị ion hóa một phần, nhưng ñộ ion hóa là rất nhỏ. Do ñó, khí trung hòa vẫn là
chất cách ñiện. Tuy nhiên, khi áp một hiệu ñiện thế ñủ mạnh vào hai bản ñiện cực, thì

Phóng
ñiện sáng

môi trường khí trở thành dẫn ñiện, hiện tượng này gọi là sự ñánh thủng khí. Nguyên

Tầng
ñiện ly
Trái ñất

nhân là các hạt mang ñiện ñược sinh ra bởi va chạm ion hóa của electron với các hạt
Nhật hoa

Giữa các hành tinh
Gió Mặt
trời

trung hòa và là quá trình sản sinh thác lũ các hạt mang ñiện. Khả năng ion hóa của một
electron di chuyển trong khí ñược cho bởi hệ số ion hóa Townsend α , ñược ñịnh nghĩa
là số electron ñược tạo ra trên một ñơn vị ñộ dài bởi một electron sơ cấp trong suốt quá
trình ion hóa. Hệ số α là một hàm của áp suất khí p, ñiện trường E theo công thức bán

Hình 1.1. Phân loại plasma trong phòng thí nghiệm và trong không gian dựa trên giản

thực nghiệm sau [1, 54, 61]

ñồ log n theo log Te [54].

4

5


α
p

 Bp 
= A exp  −

 E 

(1.4)

Phần quan trọng nhất cho sự tồn tại của phóng ñiện sáng DC là miền cathode,
ở ñó tập trung hầu hết ñiện thế của khoảng phóng ñiện. Sụt thế cathode là khá lớn và

với A và B ñược xác ñịnh bằng thực nghiệm và phụ thuôc vào loại khí.

ñược tạo nên bởi ion dương sinh ra từ cột dương. Những ion dương này phải ñược gia

Nếu các quá trình va chạm ion hóa làm cho ñộ ion hóa của môi trường khí ñủ

tốc mạnh về phía cathode, bắn phá lên bề mặt ñiện cực. Chúng không những gây phát

cao, thì môi trường khí bị ñánh thủng và plasma ñược hình thành giữa hai bản ñiện cực.

xạ electron thứ cấp giúp hình thành và duy trì plasma, mà còn gây phún xạ vật liệu

Tuy nhiên, khi ñã ñược hình thành và tiến tới trạng thái ổn ñịnh, plasma không chiếm

cathode. ðây là cơ chế rất quan trọng ñược sử dụng trong phún xạ magnetron ñể lắng

hết toàn bộ thể tích vùng phóng ñiện mà còn xuất hiện các miền ñặc trưng khác trong

ñọng màng mỏng. Một thảo luận chi tiết hơn cho các miền của phóng ñiện sáng có thể

vùng phóng ñiện, như ñược minh họa ở hình 1.2.

ñược tham khảo ở [61].
Tối anode

1.1.3 Hệ phún xạ magnetron
Trong phương pháp chế tạo màng mỏng bằng phún xạ cathode, lượng vật chất

Sáng
cathode

từ bia ñến ñược ñế phụ thuộc vào mật ñộ dòng ion bắn phá lên bề mặt cathode và áp

Sáng âm

Cột
dương

Sáng
anode

Cường ñộ sáng

suất khí. Các phương pháp phún xạ cathode thông thường (không có từ trường ngoài)
ñược thực hiện ở áp suất cao và thế phóng ñiện cao. Ở áp suất thấp, lượng vật chất bị
phún xạ ở cathode bay ñược ñến ñế sẽ tăng do chúng ít va chạm với các hạt khí. Tuy
nhiên, từ (1.4) cho thấy việc giảm p dẫn ñến α giảm, nên mật ñộ dòng phóng ñiện sẽ

Phân bố thế

không cao. ðể khắc phục nhược ñiểm này, người ta ñã thiết kế hệ phún xạ magnetron
trong ñó kết hợp từ trường ngang trực giao với ñiện trường, tích hợp với bề mặt

ðiện trường

cathode (bia) ñể bẫy các electron và tăng cường plasma ở gần bề mặt cathode. Từ
trường có nhiệm vụ kéo dài quãng ñường chuyển ñộng của electron, tức là tăng số lần

Tổng ñiện tích không gian
tổng
ðiện tích âm

va chạm ion hóa của một electron. Như vậy, với áp suất và thế phóng ñiện vừa phải,
mật ñộ dòng phóng sẽ tăng lên, tương ñương với mật ñộ dòng phóng ở áp suất cao khi
không có từ trường.
Có hai dạng magnetron phẳng ñược minh họa ở hình 1.3. Dạnh có cathode

ðiện tích dương

(bia) là ñĩa tròn ñược gọi là magnetron phẳng tròn (hình 1.3(a)). Dạng có bia chữ nhật
ñược gọi là magnetron phẳng chữ nhật (hình 1.3(b)).

Hình 1.2. Các ñại lượng ñặc trưng của phóng ñiện sáng DC [54].

6

7

(b)
(a)

Nối cực từ
Nam châm vĩnh cửu

Hệ thống:
hình dạng, từ trường B,
công suất ñiện, …

Từ
trường

Phóng ñiện
magnetron

Phún xạ
magnetron ảo

Tương tác
hạt – bia

Các tính chất màng:
Vật lý: ñộ dính, ñộ dẫn, ñộ
cứng,…
Kinh tế: giá thành trên m2,…

Vận chuyển hạt
trong pha khí

Phát triển
màng

Hình 1.4. Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo trên máy tính [19].

Nam châm vĩnh cửu
Hình 1.3. Magnetron phẳng (a) tròn và (b) chữ nhật. Các ñường cong trên bề mặt
cathode là các ñường sức từ.

1.2.1 Từ trường
Phóng ñiện magnetron là phóng ñiện ñược tăng cường bởi từ trường. Do ñó, từ
trường trong hệ magnetron cần ñược xác ñịnh với ñộ chính xác cao. ðiều này có thể ñạt

Từ trường ñược tạo ra bởi nam châm (thường là nam châm vĩnh cửu) ñược ñặt
dưới cathode. Các nam châm ñược bố trí sao cho các ñường sức từ tập chung chủ yếu
trên bề mặt cathode. Từ trường lớn nhất trên bề mặt cathode có thể ñạt tới 1000 Gauss.
Khó khăn trong việc chế tạo hệ magnetron phẳng là khó tạo ñược từ trường ñồng nhất
trên bề mặt cathode. Từ trường không ñồng nhất sẽ tạo ra plasma không ñồng nhất, có

ñược cho những dạng từ trường phức tạp bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu
hạn. Một số phần mềm phân tích từ trường bằng phương pháp phần tử hữu hạn ñược
cung cấp miễn phí như Poisson Superfish [30], FEMM [34] và Magnet [36]. Hơn nữa,
một phần mềm phân tích từ trường là cần thiết ñể giúp cho việc xác ñịnh dạng từ
trường tối ưu cho hoạt ñộng của magnetron.

nghĩa là mật ñộ dòng ion bắn phá nên bề mặt cathode là không ñồng nhất, dẫn ñến các
hạt bị phún xạ lắng ñọng không ñồng nhất trên ñế, nên màng thu ñược có ñộ ñồng ñều
không cao.

1.2.2 Phóng ñiện magnetron

Mô phỏng phóng ñiện magnetron ñược dựa trên từ trường, áp suất khí và công
suất nguồn ñiện. Các mức vi mô của các quá trình vật lý trong phóng ñiện ñược mô tả,

1.2

Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo
Các module cơ bản ñể xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo (hình 1.4) [19]:
Mô phỏng từ trường
Mô phỏng phóng ñiện magnetron
Mô phỏng tương tác hạt – bia, phún xạ
Mô phỏng vận chuyển các hạt phún xạ qua pha khí
Mô phỏng lắng ñọng và tăng trưởng màng tại ñế

8

như chuyển ñộng của các hạt mang ñiện trong ñiện trường và từ trường, các tương tác
giữa các hạt mang ñiện với nhau và với các hạt khí trung hòa.

1.2.3 Tương tác hạt – bia
Quá trình phún xạ dựa trên việc tách rời các nguyên tử bia bởi sự bắn phá của
các ion. Các mô phỏng sự bắn phá ion lên bề mặt chất rắn không chỉ cho phép xác ñịnh
hiệu suất phún xạ mà còn cho biết sự phân bố góc và năng lượng của các nguyên tử

9


tách rời khỏi bề mặt chất rắn. Một số gói phần mềm miễn phí dựa trên mã Monte Carlo

1.3.1 Mô hình giải tích

như KALYPSO [32] , TRIDYN [35] và SRIM [40] ñã ñược phát triển. Hơn nữa, có rất

Mô hình giải tích dựa trên các công thức giải tích ñơn giản ñể mô tả các ñặc

nhiều các kết quả thực nghiệm về sự phún xạ của nhiều loại vật liệu bia ñã ñược công

trưng vĩ mô của plasma, như dòng phóng ñiện, thế phóng ñiện, áp suất và từ trường.

bố, như ở [6, 7, 60].

Lợi thế của mô hình này là thời gian tính toán ngắn. Tuy nhiên, do sử dụng nhiều phép
gần ñúng nên ñộ chính xác không cao. Nên mô hình giải tích chỉ ñược áp dụng cho một

1.2.4 Vận chuyển hạt trong pha khí

số ñiều kiện rất giới hạn trong phóng ñiện [54].

Khi các hạt ñược phún xạ từ bia, chúng sẽ lan rộng ra trong buồng chân
không. Trước khi ñến lắng ñọng trên ñế, chúng chịu va chạm với các loại hạt khác
trong buồng phóng ñiện. Các va chạm này ảnh hưởng lên sự phân bố góc và năng
lượng của các nguyên tử lắng ñọng tại ñế, cũng như ñộ dày và ñồng ñều của màng
mỏng. Một số công trình mô phỏng sự vận chuyển hạt phún xạ trong buồng magnetron
dựa trên phương pháp va chạm Monte Carlo (Monte Carlo collision - MCC) [19, 52],

Với phóng ñiện magnetron, mô hình giải tích chỉ ñược dùng ñể xác ñịnh các
mối liên quan giữa các ñặc trưng vĩ mô của plasma. Các bài toán thường ñược xấp xỉ
thành một chiều hoặc không chiều tọa ñộ [16, 17, 54]. Tuy nhiên, ñiện và từ trường
trong phóng ñiện magnetron là rất không ñồng nhất, thêm vào ñó, chuyển ñộng của các
hạt có thể theo nhiều hướng do va chạm và khuyếch tán. Do ñó, mô hình giải tích khó
có thể mô tả hết ñược các quá trình phức tạp xảy ra trong phóng ñiện magnetron.

cho thấy có sự phù hợp tốt với thực nghiệm.

1.3.2 Mô hình chất lưu
1.2.5 Phát triển màng tại ñế

Mô hình chất lưu dựa trên các phương trình liên tục, phương trình bảo toàn

Trong phần này, các tham số ñưa vào mô hình là sự phân bố góc và năng
lượng của những loại hạt tới ñế. Việc tìm mối liên qua giữa các tham số này với các
tính chất màng là vấn ñề khó khi mô phỏng quá trình tạo màng mỏng trong hệ
magnetron. Phép mô phỏng dựa trên ñộng lực học phân tử có khả năng xác ñịnh vi cấu
trúc của vật liệu lắng ñọng [19].

momen và năng lượng trung bình, nhận ñược bằng việc lấy tích phân phương trình
ñộng học Boltzmann, với giả thuyết cụ thể về dạng hàm phân bố của các hạt trong
plasma. Bằng việc kết hợp các phương trình trên với phương trình Poisson hoặc hệ
phương trình Maxwell thì mô hình chất lưu là tự hợp [55].
Mô hình chất lưu ñược sử dụng rất phổ biến trong mô phỏng plasma. Tuy
nhiên, mô hình chất lưu không ñược sử dụng rộng rãi trong mô phỏng phóng ñiện

1.3

Các mô hình mô phỏng phóng ñiện magnetron

magnetron [19]. Vì phóng ñiện ở áp suất thấp, như trong hệ magnetron (khoảng vài
mTorr), các giả thuyết chính của lý thuyết chất lưu không còn giá trị. Thật vậy, các giả

Có nhiều loại mô hình khác nhau ñược ñề nghị khi mô phỏng plasma. Nhìn
chung, có thể chia chúng thành bốn mô hình: mô hình giải tích, mô hình chất lưu, mô

hình hạt và mô hình lai. Sau ñây là tổng hợp về các mô hình trên và việc sử dụng chúng

thuyết của chất lưu có hiệu lực khi số Knudsen Kn thỏa mãn hệ thức [8]:

Kn =

λ
L

=

k BTg

π a 2 pL

trong mô phỏng phóng ñiện magnetron.

10

11

< 0.1,

(1.5)


ở ñây, λ là quãng ñường tự do trung bình của electron, L là kích thước ñặc trưng của

áp suất thấp làm việc là thấp và có sự phân bố không ñồng nhất cao về các trường và

hệ, kB là hằng số Boltzmann, Tg là nhiệt ñộ khí, a là bán kính nguyên tử và p là áp suất

mật ñộ hạt. Hơn thế, mô phỏng PIC/MCC còn ñược kết hợp với phương pháp Monte

khí. Trong ñiều kiện hoạt ñộng thông thường của hệ phún xạ magnetron là

Carlo mô phỏng trực tiếp (direct simulation Monte Carlo – DSMC) [8, 57] ñể tính toán

−8

Tg = 300 K , p = 1-100 mTorr , L = 2 -10 cm và hạt khí có a = 10 cm , thì K n ≥ 0.1. Do
ñó, việc xem plasma trong phún xạ magnetron như là chất lưu là không phù hợp. Thay
vào ñó, giả thuyết xem plasma gồm các hạt riêng biệt là phù hợp hơn.

phản ứng của các hạt trung hòa trong plasma. ðiểm hạn chế chính của mô phỏng
PIC/MCC là thời gian tính toán dài. Do ñó, ở công trình này, chúng tôi chọn phương
pháp mô phỏng PIC/MCC ñể xây dựng mô hình mô phỏng phóng ñiện magnetron.
ðiểm hạn chế về thời gian tính toán của mô hình này ñược khắc phục bằng phương
pháp tính toán hạt song song. Các chi tiết của việc xây dựng mô hình của chúng tôi

1.3.3 Mô hình hạt
Ngược với mô hình chất lưu, mô hình hạt xem môi trường plasma là các hạt

ñược cho ở chương 2.

riêng biệt, mà mỗi hạt mô phỏng tương ứng với một số lượng lớn các hạt thực. Mô hình

ðã có nhiều công trình sử dụng mô phỏng PIC/MCC ñể mô phỏng phóng ñiện

mô phỏng hạt ñược chia làm hai dạng: mô phỏng MCC và mô phỏng particle-in-

magnetron. Một số mô hình cho phóng ñiện magnetron phẳng chữ nhật DC ñã ñược

cell/Monte Carlo collisions (PIC/MCC).

công bố, như ở [58, 59] là mô hình ba chiều, ở [52, 68, 69] sử dụng gói phần mềm

Mô phỏng MCC mô phỏng sự va chạm cặp giữa các hạt trong plasma, xác

Poisson Superfish [30], XOOPIC [31] và OOPIC [41] xây dựng mô hình hai chiều, ở

ñịnh va chạm dựa vào tiết diện va chạm và số ngẫu nhiên, và tính toán chuyển ñộng của

[51] sử dụng PEGASUS là sự kết hợp PIC/MCC với hàm làm khớp Gaussian ñể nghiên

các hạt mang ñiện với một ñiện trường và từ trường cho trước. Mô phỏng MCC ñã

cứu sự ăn mòn bia. Một mô phỏng PIC/MCC ba chiều cho magnetron phẳng tròn DC

ñược dùng trong mô phỏng phóng ñiện magnetron [25, 26, 42, 56, 64]. Trong một số

cũng ñã ñược thực hiện [50], các kết quả mô phỏng cho thấy có tính ñối xứng trục cao.

trường hợp, nó cho thấy khá hiệu quả, như xác ñịnh hình dạng vùng ăn mòn bia. Mô

Vì vậy, việc xây dựng mô hình ba chiều là không cần thiết, mà chúng ta chỉ cần chú ý

phỏng MCC là khá ñơn giản và tính toán nhanh. Tuy nhiên, ñiểm hạn chế của nó là

ñến mô hình hai chiều trong hệ tọa ñộ trụ ñối xứng trục (r, z).

không tính toán ñược trường tự hợp trong plasma. Do ñó, dữ liệu ban ñầu phải ñưa vào

Các mô hình trong các công trình trên ñều không xét ñến sự phản xạ electron
tại cathode. Các electron phát xạ thứ cấp từ cathode có thể bị quay trở lại do từ trường.

mô hình là ñiện trường.
Một mô hình hạt khác là mô phỏng particle–in–cell (PIC) [9, 10, 29]. Phương

Khi ñó, chúng có thể bị bắt trên bề mặt cathode hoặc bị phản xạ trở lại môi trường

pháp PIC dùng ñể mô phỏng plasma không có va chạm và tính toán trường tự hợp của

phóng ñiện. Một thiếu sót nữa là các mô hình trên ñều bỏ qua các yếu tố mạch ngoài,

các hạt mang ñiện. Mô phỏng MCC ñược kết hợp với mô phỏng PIC ñể trở thành mô

như ñiện trở và nguồn thế, mà ấn ñịnh trước giá trị thế phóng ñiện tại cathode. Tuy

phỏng PIC/MCC [9, 57, 74]. Nếu việc tính toán ñiện trường gây ra bởi nguồn ñiện

nhiên, gần ñây công trình [49] cho thấy sự phản xạ electron tại cathode ảnh hưởng rất

ngoài và sự phân bố trong không gian của các hạt mang ñiện ñược kết hợp với sự va

mạnh lên các ñặc trưng của phóng ñiện magnetron. Thêm vào ñó, công trình [14] ñã

chạm giữa các hạt trong plasma thì toàn bộ mô phỏng PIC/MCC là tự hợp. Mô phỏng

cho thấy vai trò rất quan trọng của mạch ngoài. Khi có mạch ngoài, một số kết quả mô

PIC/MCC là công cụ số hữu hiệu cho việc nghiên cứu sự phóng ñiện magnetron, ở ñó

phỏng về dòng và thế phóng ñiện có sự phù hợp tốt với các kết quả thí nghiệm [12, 14].

12

13


Các công trình gần ñây ñã bắt ñầu tích hợp các quá trình vật lý khác vào mô

Chương 2

phỏng PIC/MCC, mà cụ thể là áp dụng cho hệ phún xạ magetron. Ví dụ: [48] tính toán

XÂY DỰNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG PHÓNG ðIỆN

sự phân bố của các nguyên tử Cu bị phún xạ từ cathode, [52] tính toán sự lắng ñọng của

MAGNETRON KHÍ ARGON

các nguyên tử Al tại ñế, [76] ñưa khí O2 vào mô hình. Gần ñây nhất, [13, 15] ñã ñưa
vào mô hình các khí phản ứng N2, O2 và có tính ñến các tương tác của plasma với bề
mặt bia Ti, sự ñầu ñộc bia và sự tương tác của nguyên tử phún xạ Ti với các khí phản

2.1

Từ trường tĩnh của hệ magnetron phẳng tròn ñối xứng trục

ứng v.v.

1.3.4 Mô hình lai
Mô hình lai (hybrid model) là sự kết hợp một hoặc nhiều các mô hình ñã ñề
cập ở trên. ðiều ñó có nghĩa là các lợi thế của các mô hình ñược kết hợp với nhau.
Thông dụng nhất là sự kết hợp mô phỏng MCC hoặc PIC/MCC (dùng ñể mô tả các hạt
nhanh) với mô hình chất lưu (dùng ñể mô tả các hạt chậm). Do ñó, mô hình lai có thời
gian tính toán ngắn hơn so với mô phỏng PIC/MCC. ðã có một số công trình áp dụng
mô hình lai cho phóng ñiện magnetron ở [55, 66, 67]. Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình
lai cho phóng ñiện magnetron là không phổ biến. Như ñã giới thiệu ở phần trên, ở áp
suất thấp, mô hình chất lưu áp dụng cho các hạt mang ñiện là không hợp lý và mô hình
lai sẽ không còn phù hợp nếu hệ magnetron có từ trường mạnh và phức tạp [19].
Hình 2.1. Sơ ñồ cấu tạo magnetron phẳng tròn ñối xứng trục. Hai nam châm vĩnh cửu S
và N tạo từ trường có các ñường sức cong trên bề mặt cathode.
Trong luận văn này, hệ magnetron ñược mô phỏng có dạng phẳng tròn và ñối
xứng trục, nên mô hình mô phỏng của chúng tôi ñược xây dựng trong hai chiều không
gian (r, z) của hệ tọa ñộ trụ (r, z, φ). Hình 2.1 là sơ ñồ cấu tạo hệ magnetron ñược mô
phỏng. Dạng cấu tạo này dựa theo một hệ magnetron thực ñã ñược xây dựng ở [15, 20].
Các nam châm vĩnh cửu NdFeB có ñộ từ dư 13500 Gauss ñược ñặt dưới cathode (bia)
ñể tạo ra từ trường. Nam châm ngoài có bán kính ngoài là 23.5 mm, bán kính trong là

14

15


17 mm, và nam châm trong có bán kính 10 mm. Cathode (bia) có bán kính 25 mm, ñược

Từ phương trình (2.2), các thành phần Br và Bz là

ñặt trên các nam châm và ñược nối với mạch ñiện ngoài gồm ñiện trở ngoài Rext và

Br = −

∂z
.
A ∂A
1 ∂
Bz =
rAϕ ) = ϕ + ϕ
(
r ∂r
r
∂r

nguồn thế Vext DC. Các tường bao và ñế ñược nối ñất và ñóng vai trò là anode. Khoảng
trống nhỏ nhất giữa cathode và anode là 2 mm, khoảng cách bia – ñế là 24 mm. Một ñĩa
sắt ñược ñặt dưới các nam châm ñể khép kín các ñường sức từ.
Từ trường ñược sinh ra từ các nam châm vĩnh cửu ñược mô phỏng bằng việc
giải phương trình Maxwell tĩnh từ
∇ iB = 0

(2.1)

với B ñược xác ñịnh thông qua thế vector A bởi hệ thức
B = ∇× A.

(2.2)

Từ trường gây ra bởi các nam châm vĩnh cửu là tĩnh từ, nên theo ñịnh luật Ampere thì

B
∇ ×   = jm ,
µ

(2.3)

ở ñây, jm là vector mật ñộ dòng và µ là ñộ từ thẩm của môi trường. Thay phương trình
(2.2) vào (2.3) ta nhận ñược phương trình thế vector tổng quát cho toàn hệ, bao gồm

(2.6)

Tại biên giữa hai môi trường, cường ñộ từ trường H phải thỏa ñiều kiện biên
tự nhiên là

H × n = 0,

(2.7)

ở ñây H = ( Br µ , 0, Bz µ ) cho trường ñối xứng trục và n = ( nr , 0, nz ) là pháp vector
hướng ra ngoài của biên. Sử dụng phương trình (2.6), H × n ñược viết như sau

∂A 
 1 ∂
H×n = 
( rAϕ ) nr + µ1 ∂zϕ nz  iϕ .
µ
r
∂
r




(2.8)

Vì thế, ñiều kiện biên tự nhiên (2.7) là

1 ∂

µ r ∂r

( rA ) n
ϕ

r

+

1 ∂Aϕ

µ ∂z

nz = 0.

(2.9)

ðiều kiện biên Dirichlet ở xa của thế vector Aϕ là

chân không, nam châm, bia và ñĩa sắt khép kín từ, là
1


∇ ×  ∇ × A  = jm .
µ


∂Aϕ

(2.4)

Trong mô hình của chúng tôi, các vật liệu làm cathode (bia) và anode không

Aϕ → 0 khi r → ∞ ,

(2.10)

Aϕ → 0 khi z → ±∞ ,

(2.11)

và ñiều kiện biên Neumann trên trục ñối xứng z là

có từ tính nên µ ≈ µ0 = 4π × 10−7 H / m . Ngoại trừ ñĩa sắt khép kín từ, là vật liệu từ

∂Aϕ

ñẳng hướng và phi tuyến.

∂r

= 0 tại r = 0.

(2.12)

Trong từ trường ñối xứng trục, chỉ duy nhất thành phần jmϕ theo hướng góc

Trong mô hình của chúng tôi, module từ trường ñược thực hiện bằng cách giải

phương vị ϕ của jm là khác không, vì thế A chỉ tồn tại thành phần Aϕ và ñồng nhất theo

phương trình (2.5) cùng các ñiều kiện biên (2.9) – (2.12) bởi phương pháp phần tử hữu
hạn [5, 43, 53]. Chi tiết của phương pháp giải ñược cho ở phần phụ lục A. Chúng tôi

hướng ϕ . Nên phương trình (2.4) ñược rút gọn là

∂  1 ∂Aϕ  ∂  1 ∂ ( rAϕ ) 
 = − jmϕ ,

+ 
∂z  µ ∂z  ∂r  r µ ∂r 

16

thay ñổi sự phân bố từ trường trong mô hình bằng cách dịch chuyển vị trí của cathode
(2.5)

(bia) theo phương song song với trục z.

17

2.2

Mô phỏng PIC/MCC và áp dụng nó cho mô phỏng phóng

2.2.1.1 Phân chia ñiện tích của siêu hạt cho nút lưới
Việc xác ñịnh ñiện tích tại các nút lưới từ tọa ñộ và hệ số hình dạng của siêu

ñiện magnetron

hạt ñược gọi là phân chia trọng số hay gắn trọng số siêu hạt cho nút lưới [10]. Tùy
thuộc vào hệ tọa ñộ của mô hình, mà có thể thực hiện phân chia theo diện tích hoặc

2.2.1 Mô phỏng PIC

theo thể tích. Hình 2.3 minh họa cho sự phân chia ñiện tích theo thể tích cho mô hình
của chúng tôi. ðiện tích của một siêu hạt, qk, có tọa ñộ (rk, zk), ñược phân chia cho các
nút lưới A, B, C và D tương ứng là

Tích phân phương
trình chuyển ñộng,
dịch chuyển hạt.

Mất/thêm hạt tại các
biên (hấp thụ, phát
xạ thứ cấp …)

Fk → u k → rk
Nội suy trường
tác dụng lên hạt.

∆t

E j → Fi

qA =
qC =

Phân chia ñiện tích

rk → ρi

(r

2
j +1

(r

− rk2 ) ( zi +1 − zk )

(r

2
k

2
j +1

− rj2 ) ∆z

− rj2 ) ( zk − zi )

(r

2
j +1

− rj2 ) ∆z

qk ; qB =

qk ;

qD =

(r

2
j +1

− rk2 ) ( zk − zi )

(r

(r

2
k

2

j +1

− rj2 ) ∆z

qk

− rj2 ) ( zi +1 − zk )

(r

2
j +1

− rj2 ) ∆z

,

(2.13)

qk

với ∆z là kích thước của ô lưới theo hướng z.

Xác ñịnh trường trên
các nút lưới.

ρ i → Ei
Hình 2.2. Chu kì tính toán của mô phỏng PIC trong một bước nhảy thời gian ∆t [9, 10].
Trong plasma chứa một số lượng rất lớn các hạt mang ñiện, ta không thể xác
ñịnh phương trình chuyển ñộng cho toàn bộ các hạt này. Do ñó, phương pháp mô

phỏng PIC quan niệm một hạt mô phỏng tương ứng với một số lượng rất lớn các hạt
thực (khoảng 106 − 109 hạt thực). Một hạt mô phỏng như thế ñược gọi là một siêu hạt.
Các siêu hạt khác với hạt thực là chúng có kích thước hữu hạn và hình dạng của mỗi
siêu hạt ñược ñặc trưng bởi một hệ số hình dạng hạt [10]. Chu kỳ tính toán của mô
phỏng PIC ñược cho ở hình 2.2 và các bước thực hiện nó ñể áp dụng cho mô hình của

Hình 2.3. Phân chia ñiện tích theo thể tích trong hệ tọa ñộ trụ của một siêu hạt tại tọa

chúng tôi ñươc cho dưới ñây.

ñộ (rk, zk) cho những nút lưới gần nó nhất là A, B, C và D. Ví dụ ñiện tích ñược phân
chia cho ñiểm C thì bằng ñiện tích qk nhân với phần thể tích ñược tạo ra từ phần diện
tích ñược bôi mờ quay xung quanh trục z, chia cho thể tích của vòng vằn khăn ABCD.

18

19


Mật ñộ ñiện tích trên mỗi nút lưới là tổng của các mật ñộ ñiện tích ñã ñược phân

Bằng cách áp dụng ñịnh lý Gauss

chia từ các siêu hạt gần nút lưới ñó nhất, ví dụ tại nút A là

ρA =

∑ k qA

∫ Ei dS = q

i, j

ε0

(2.19)

Si , j

π ( rj2+1 2 − rj2−1 2 ) ∆z

.

(2.14)

với Si , j là bề mặt hộp bao quanh nút lưới thứ i, j, và sử dụng công thức sai phân hữu
hạn của các thành phần của ñiện trường

2.2.1.2 Giải phương trình Poisson trên lưới
ðiện tích phân bố trên các nút lưới gây ra ñiện thế V cho bởi phương trình
Poisson. Bên cạnh ñó, ñiện thế còn ñược xác ñịnh bởi các ñiều kiện biên tại cathode và
anode. Do ñó, ñể ñơn giản cho việc giải phương trình Poisson, chúng tôi sử dụng
nguyên lý chồng chập và phân rã trường. ðiện thế là tổng của thế Poisson VP, gây ra
bởi các ñiện tích không gian trong hệ magnetron, với thế Laplace VL, gây ra bởi thế áp
vào bề mặt ñiện cực cathode U0 là [73]

V = VP + U 0VL .

(2.15)

Thế VP là lời giải của phương trình Poisson trong hệ tọa ñộ trụ ñối xứng trục:

1 ∂  ∂VP  ∂ ∂VP
ρ
=− ,
r
+
r ∂r  ∂r  ∂z ∂z
ε0

(2.16)

với ε0 là hằng số ñiện môi trong chân không, kết hợp với các ñiều kiện biên Dirichlet
tại bề mặt các ñiện cực là

VP r = r

max

= VP

z = zmax

= VP

z =0

= 0,

(2.17)

= 0.

VP ;i , j +1 − VP ;i , j
∆rj +1 2

; Ez ;i +1 2, j = −

VP ;i +1, j − VP ;i , j
∆z

(2.20)

với ∆rj +1 2 = rj +1 − rj , chúng ta nhận ñược dạng sai phân hữu hạn năm ñiểm của phương
trình (2.16) như sau [10]

 r
 2V
r
2r V
−  j +1 2 + j −1 2  P2;i , j + j +1 2 P ;i ,2j +1


∆rj −1 2 (∆r ) j  ∆rj +1 2 ∆rj −1 2  (∆r ) j ∆rj +1 2 (∆r ) j
2V
ρ
V
V
+ P ;i −1,2 j − P ;2i , j + P ;i +21, j = − i , j ,
∆z

∆z
∆z
ε0
2rj −1 2VP ;i , j −1
2

(2.21)

và ñiều kiện biên (2.18) là

2r V
2r1 2VP ;i ,1
ρ
VP ;i −1,0 2VP ;i ,0 VP ;i +1,0
−
+
− 1 2 P ;i2,0 +
= − i ,0 ,
ε0
∆z 2
∆z 2
∆z 2
∆r1 2 (∆r )0 ∆r1 2 (∆r 2 )0

(2.22)

ở ñây ( ∆r 2 )0 = r122 và ( ∆r 2 ) j = rj2+1 2 − rj2−1 2 . Kết hợp các phương trình (2.21) và (2.22)
với các ñiều kiện biên (2.17) thì nghiệm của phương trình Poisson ñược xác ñịnh.
Có nhiều phương pháp giải phương trình elliptic, mà phương trình Poisson là

và do hệ có tính ñối xứng trục, nên có ñiều kiện biên Neumann là

∂VP
∂r

Er ;i , j +1 2 = −

một dạng của nó, bằng sai phân hữu hạn và ñã ñược so sánh trong [29]. Có thể chia các
(2.18)

r =0

phương pháp thành hai lớp: phương pháp lặp và phương pháp trực tiếp. Phương pháp
nhanh nhất trong số chúng, mà có thể áp dụng cho mô hình của chúng tôi, là phương

Thế Laplace VL không thứ nguyên là nghiệm của phương trình Laplace trong tọa ñộ trụ

pháp trực tiếp giản lược tuần hoàn (cyclic reduction) [72]. Tuy nhiên, ñây là phương

ñối xứng trục ∇ 2VL = 0 , với các ñiều kiện biên tại các bề mặt anode

pháp khá phức tạp cho lập trình. Trong luận văn này, chúng tôi chọn phương pháp lặp

= 1 , và trong khoảng trống nhỏ nhất

luân hướng ẩn ñộng lực (dynamic alternating direction implicit – DADI) [22, 28]. ðây

VL r =r

max

= VL

z = zmax

= 0 , tại bề mặt cathode VL

z =0

giữa cathode và anode, thế VL ñược giả sử giảm tuyến tính từ cathode ñến anode [73].

20

là phương pháp ñơn giản và khả thi cho ứng dụng tính toán.

21


Phương pháp DADI là sự mở rộng của phương pháp luân hướng ẩn

Việc kết hợp giữa mạch ngoài với môi trường phóng ñiện ñược duy trì thông qua

(alternating direction implicit – ADI) [3, 29]. Một sự giả phụ thuộc thời gian t ' ñược

sự thỏa mãn bảo toàn ñiện tích trên bề mặt các ñiện cực. Theo ñịnh luật mạch dòng

thêm vào phương trình Poisson ñể biến nó thành phương trình parabolic [22, 28]

Kirchoff thì

−

∂VP
+ ∇ 2 ( ε 0VP ) = − ρ ,
∂t '

(2.23)

SC

dσ T
= I ext (t ) + SC J dis ,
dt

(2.25)

sau ñó phương pháp ADI ñược sử dụng ñể giải phương trình parabolic trong thời gian

ở ñây, σ T là mật ñộ ñiện tích mặt trên bề mặt ñiện cực cathode, SC là diện tích của bề

t ' . Trong quá trình giải lặp, bước nhảy thời gian giả ñược ñiều chỉnh ñể tăng tốc ñộ hội

mặt ñiện cực và Jdis là mật ñộ dòng ñến ñiện cực do các hạt mang ñiện của plasma trong

tụ về lời giải của phương trình elliptic gốc. Sự hội tụ xảy ra khi giá trị thặng dư của

suốt khoảng thời gian dt. Mặt khác, mật ñộ ñiện tích mặt σ T còn ñược xác ñịnh ñộc lập

phương trình elliptic nhỏ hơn một sai số chọn trước. Chi tiết của các bước giải phương

với phương trình (2.25) bằng cách áp dụng ñịnh lý Gauss trên các hộp bao quanh bề

trình (2.23) bằng phương pháp DADI ñược cho ở phụ lục B.

mặt cathode như minh họa ở hình 2.4.

2.2.1.3 Kết hợp mạch ñiện ngoài
Cấu tạo thực tế của magnetron DC luôn cần có mạch ñiện ngoài, gồm nguồn
thế cao áp Vext DC và ñiện trở trấn lưu Rext dùng ñể giới hạn dòng phóng ñiện, ñược

∆r

z φ
1

Ez;1 2, j

Ez;1 2,0

minh họa ở hình 2.1. Trong thực tế, thế phóng ñiện tại bề mặt cathode U0 ñược thay ñổi
bằng cách ñiều chỉnh các giá trị Vext và Rext. Như ñã ñề cập, tầm quan trọng của mạch
ñiện ngoài ñối với mô hình PIC/MCC cho phóng ñiện magnetron DC ñã ñược [14]

0

j

j-1

Ez;1 2, Nr1

∆z

mắc nối tiếp nhau vào ñiện cực cathode, các ñiện cực anode thì ñược nối ñất, như ñã

r
Nr1

j+1

Er;0, Nr1 +1 2

Hình 2.4. ðịnh lý Gauss trên các hộp bao quanh các nút lưới (0, 0), (0, j) và (0, Nr1)
trên bề mặt cathode.

minh chứng rõ ràng. Các nguyên lý cơ bản kết hợp mạch ngoài vào mô hình PIC/MCC
có thể tham khỏa ở [75] cho mô hình một chiều, và ở [73] cho mô hình hai chiều trong
hệ tọa ñộ Cartesian. Cách kết hợp mạch ñiện ngoài vào mô hình của chúng tôi ñược
thực hiện trong hệ tọa ñộ trụ ñối xứng trục (r, z) và dựa theo [73], chi tiết như sau.
Dòng phóng ñiện Iext ảnh hưởng lên sự sụt giảm thế phóng ñiện giữa các ñiện
cực tuân theo ñịnh luật mạch thế Kirchoff

ðịnh lý Gauss cho hộp thứ (0, j) là

∫ ε Ei d S = ∫ σ
0

S0 , j

S0 , j

j

dS +

∫

ρ 0, j dVol = q0, j .

(2.26)

Vol0 , j

với thể tích Vol0, j = π ( ∆r 2 ) j ∆z . Chúng tôi xem cathode là vật liệu dẫn ñiện lý tưởng,
do ñó không có thành phần Er trên bề mặt cathode. Ngoại trừ tại góc cạnh của cathode

U 0 = Vext − Rext I ext .

(2.24)

là nút thứ (0, Nr1). Sử dụng công thức sai phân hữu hạn trung tâm

Ez ;1 2, j = −

22

U 0 − V1, j
∆z

; Er ;0, Nr +1 2 = −

1

23

V0, Nr +1 − U 0
1

∆r

(2.27)


Vext ∆t
+ J dish ∆t + σ Tt −∆t + C2
SC Rext
U0 =
.
∆t
C1 +
SC Rext

thay vào phương trình (2.26) thì ta nhận ñược các mật ñộ ñiện tích mặt tại các nút lưới
trên bề mặt cathode là

σj =
σ Nr

1

ε (1 − VL ;1, j )

∆z

U0 −

ε VP ;1, J
∆z

−

∆z ρ 0, J
,
2

(0 ≤ j < Nr1 )

(2.28)

Biểu thức (2.35) cho thấy thế phóng ñiện tại bề mặt cathode U0 phụ thuộc vào

 2ε Nr1∆r 2 (1 − VL ;1, Nr ) + 2ε∆z 2 ( Nr1 + 1 2 ) (1 − VL ;0, Nr +1 ) 
U 0
=
∆z ∆r ( Nr1∆r + Nr1∆z − ∆r 4 )


1

−

các yếu tố mạch ngoài, bao gồm Vext, Rext và SC, và ñiện thế cũng như dòng trong môi

1

2ε ( Nr1∆r VP ;1, Nr + ( Nr1 + 1 2 ) ∆z VP ;0, Nr +1 )
2

∆z ∆r ( 3Nr1 + 1 4 ) ρ0, Nr

2

1

1

∆z ∆r ( Nr1∆r + Nr1∆z − ∆r 4 )

(2.35)

−

1

2 ( Nr1∆r + Nr1∆z − ∆r 4 )

(2.29)

.

trường phóng ñiện thông qua các giá trị Jdish, C1 và C2. Do ñó, việc bỏ qua các yếu tố
mạch ngoài và áp ñặt trước lên mô hình một giá trị thế phóng ñiện trên bề mặt cathode

là không hợp lý. Vì vậy, việc kết hợp với các tham số vĩ mô mạch ngoài làm cho mô
hình gần với thực tế hơn.

Mật ñộ ñiện tích mặt của cathode là tổng các mật ñộ ñiện tích mặt tại các nút lưới

Chú ý rằng, vì các hệ số C1 và C2 phụ thuộc vào thế Poisson VP và Laplace VL,

Nr1

σ T = ∑ σ j = C1U 0 + C2

(2.30)

j =0

nên chúng phải ñược xác ñịnh trước khi tính thế phóng ñiện tại bề mặt cathode U0. Thế
Laplace chỉ cần tính duy nhất một lần khi chương trình mô phỏng bắt ñầu chạy, nhưng

với

C1 =

ε

∑ (1 − V ) + ∆z ( Nr ∆r + Nr ∆z − ∆r 4 )
∆z
1

j =0

+

C2 = −
−

thế Poisson phải ñược giải sau mỗi chu kỳ tính toán ∆t của mô hình.

2ε Nr1∆r (1 − VL ;1, Nr )

Nr1 −1

Sau cùng, ñiện trường trên các nút lưới ñược tính từ hệ thức

L ;1, j

1

1

(2.31)

2ε∆z ( Nr1 + 1 2 ) (1 − VL ;0, Nr +1 )

E(r , z ) = −∇V (r , z )

(2.36)

1

∆r ( Nr1∆r + Nr1∆z − ∆r 4 )

 εVP ;1, j ∆z ρ 0, j
+
∑

∆z
2
j =0 

Nr1 −1

ñược xấp xỉ thành dạng sai phân hữu hạn trung tâm bên trong miền tính toán là

 ∆z ∆r ( 3Nr1 + 1 4 ) ρ0, Nr
−
 2 ( Nr1∆r + Nr1∆z − ∆r 4 )

Ez ;i , j = −

1

2ε ( Nr1∆r 2VP ;1, Nr + ( Nr1 + 1 2 ) ∆z 2VP ;0, Nr +1 )
1

.

(2.32)

Ez ;0, j =

Mặt khác, phương trình (2.25) ñược rời rạc hóa bằng sai phân lùi

SC (σ Tt − σ Tt −∆t ) = [ I ext (t ) + SC J dish ] ∆t

(2.33)

(2.34)

; Er ;i , j = −

2∆r

Ez ; Nz , j =

,
2∆z
−3VNz , j + 4VNz −1, j − VNz −2, j
2∆z

.

(2.37)

,,

(2.38)

Vi , Nr − Vi , Nr −1
,
∆r

và trên trục ñối xứng (r = 0)

Er ;i ,0 = 0 .

Từ (2.30) và (2.34), ta thu ñược thế phóng ñiện tại bề mặt cathode tại thời ñiểm t là

24

Vi , j +1 − Vi , j −1

3V0, j − 4V1, j + V2, j

Er ;i , Nr = −

và sử dụng phương trình (2.24), ta cũng nhận ñược
V ∆t
∆t
U 0 + ext + J dish ∆t + σ Tt −∆t .
SC Rext
SC Rext

2∆z

Trên bề mặt các ñiện cực, công thức sai phân một bên tiến và lùi sau ñây ñược sử dụng:

1

∆z∆r ( Nr1∆r + Nr1∆z − ∆r 4 )

σ Tt = −

Vi +1, j − Vi −1, j

25

(2.39)


Sơ ñồ của phương pháp này ñược minh họa ở hình 2.5. Cần chú ý rằng, trong

2.2.1.4 Nội suy các trường trên lưới ñến vị trí các siêu hạt
Sau khi xác ñịnh ñược từ trường ngoài gây ra bởi các nam châm và ñiện
trường gây ra bởi phân bố của các hạt mang ñiện và mạch ngoài tại các nút lưới, các

phương pháp này do u và r không ñược biết tại cùng một thời ñiểm, nên khi lấy giá trị
của chúng tại thời ñiểm t = 0, ta phải ñẩy lùi u 0 thành u −∆t 2 .

siêu hạt bị di chuyển bởi sự tác dụng của các trường này. Nên các trường này phải ñược
nội suy ñến vị trí của các siêu hạt. Cách thực hiện cũng tương tự như phân chia ñiện
tích của siêu hạt. Ví dụ ở hình 2.3, ñiện trường tác dụng lên siêu hạt tại vị trí (rk, zk) là

Ek =

(r

(r
+

2

j +1

2
k

− rk2 ) ( zi +1 − zk )

(r

2
j +1

− r ) ∆z
2
j

− rj2 ) ( zk − zi )

( rj2+1 − rj2 ) ∆z

EA +

EC

(r
+

(r

2

k

2
j +1

− rk2 ) ( zk − zi )

(r

2
j +1

− r ) ∆z
2
j

− rj2 ) ( zi +1 − zk )

( rj2+1 − rj2 ) ∆z

vận tốc

EB
(2.40)

ED

u − ∆t 2

u0

ut +∆t 2

ut −∆t 2

tọa ñộ
r0
− ∆t 2

với EA, EB, EC và ED tương ứng là ñiện trường tại các nút lưới A, B, C và D. Cách áp
dụng cũng tương tự cho từ trường B.

0

r t +∆t thời gian

rt
t − ∆t 2

t

t + ∆t 2

t + ∆t

Hình 2.5. Sơ ñồ của phương pháp nhảy cóc hiện. Vị trí của một hạt ñược ñẩy từ thời
ñiểm t ñến thời ñiểm t + ∆t , nhưng vận tốc chỉ biết ở thời ñiểm t + ∆t 2 [10].

2.2.1.5 Giải phương trình Newton – Lorentz
Các siêu hạt có cùng ñiểm chung với các hạt thực là tỉ lệ ñiện tích trên khối

Trong mô hình của chúng tôi, phương trình (2.42a) ñược giải bằng phương

lượng của chúng là như nhau. Do ñó, khi các siêu hạt chịu tác dụng của ñiện trường và

pháp Boris [10]. Vế phải của phương trình (2.42a) chứa hai số hạng gồm số hạng gia

từ trường, phương trình chuyển ñộng của chúng cũng giống như phương trình chuyển

tốc dọc theo ñiện trường và số hạng quay quanh ñường sức từ. Do số hạng thứ nhất ảnh

ñộng của hạt thực nghĩa là thỏa phương trình chuyển ñộng Newton – Lorentz

hưởng lên ñộ lớn của vận tốc, trong khi số hạng thứ hai chỉ ảnh hưởng lên hướng của

m

nó, nên hai số hạng này có thể giải riêng biệt với nhau. Tại thời ñiểm t, việc quay vận

du
= q (E + u × B )
dt
dr
= u,
dt

(2.41)

tốc ñược thực hiện giữa hai lần gia tốc một nửa. Giản ñồ ñược cho ở hình 2.6, với u −
và u+ là hai vận tốc trung gian giả ñịnh.

ở ñây m là khối lượng của siêu hạt. Trong mô hình của chúng tôi, phương trình (2.41)
ñược rời rạc hóa và giải bằng phương pháp nhảy cóc hiện (explitic leap-frog) [10]
u

t +∆t 2

−u
∆t

t −∆t 2

=
r

q
u
(E +
m

t +∆t

−r

∆t

t +∆t 2

+u
2

gia tốc một nửa
∆t 2

t −∆t 2

× B) ,

(2.42a)

quay hết
∆t

26

u t + ∆t 2
∆t 2

Hình 2.6. Giản ñồ giải phương trình chuyển ñộng của phương pháp Boris.

t

= ut +∆t 2 .

gia tốc một nửa
u+

u−

u t −∆t 2

(2.42b)

27


Trước tiên, vận tốc trung gian u − là kết quả tác dụng của ñiện trường trong

2.2.1.6 Kết hợp tương tác plasma – bề mặt

khoảng thời gian ∆t 2

Plasma trong phòng thí nghiệm luôn ñược bao quanh bởi các tường bao, do ñó

u − = u t −∆t 2 +

q ∆t
E ,
m 2

−

sau ñó, u bị quay quanh ñường sức từ trong khoảng thời gian ∆t ñể thành u
+

(2.43)
+

(2.44)

và sau cùng, hạt bị ñẩy bởi ñiện trường trong nửa thời gian ∆t 2 còn lại

ut +∆t 2 = u + +

q ∆t
E .
m 2

ra các hạt mới (như phát xạ electron thứ cấp, gây phún xạ nguyên tử) tại bề mặt của
tường. Sau ñây là cách kết hợp vào mô hình của chúng tôi hai tương tác phát xạ

−

u −u
q
= (u− × B )
∆t
m

các hạt trong plasma có thể tham gia tương tác với tường như hấp thụ, phản xạ hoặc tạo

electron thứ cấp bởi ion và phản xạ electron tại cathode.
Trong mô hình, ion gây phát xạ electron thứ cấp ñược mô tả bằng xác suất
phát xạ. Với ion argon gây phát xạ electron thứ cấp và cathode là vật liệu kim loại ñơn

(2.45)

chất, như Cu, Al hoặc Ti, thì hệ số phát xạ electron thứ cấp (secondary electron
emission cofficient – SEEC) của chúng thường nhỏ hơn 1.0 [1, 2, 20, 61]. Nên khi một

Chi tiết cho việc giải phương trình (2.44) có thể tham khảo ở [10]. Các phương trình

ion argon ñến va vào bề mặt cathode, nó bị loại khỏi vùng phóng ñiện, ñồng thời một

trên ñược viết trong một hệ tọa ñộ tùy ý, nên ñể sử dụng chúng trong hệ tọa ñộ của mô

số ngẫu nhiên phân bố ñồng nhất trong khoảng (0, 1) ñược khởi tạo. Nếu số ngẫu nhiên

hình, ta thực hiện biến ñổi chúng về hệ tọa ñộ trụ ñể thu ñược các thành phần vận tốc

này nhỏ hơn hoặc bằng SEEC, một electron thứ cấp ñược bắn vào mô hình từ vị trí của

(ur , u z , uϕ ) . Sau khi vận tốc tại thời ñiểm t + ∆t 2 ñược biết, vị trí của hạt tại thời ñiểm

ion ñến, với năng lượng ban ñầu Ee = 4 eV [12]. Hướng vận tốc ban ñầu trong tọa ñộ trụ

t + ∆t cần ñược xác ñịnh. Vì hệ tọa ñộ luôn bị quay theo hướng φ, nên từ phương trình

của electron thứ cấp tuân theo ñịnh luật phân bố cosin [12, 27]
ur = u x cos ( 2π R ) + u y sin ( 2π R )

(2.42b), ta nhận ñược các thành phần tọa ñộ là

z t +∆t = z t + u zt +∆t 2 ∆t .

(2.46)

r t +∆t = x 2 + y 2 .

(2.47)

với x = r t + urt +∆t 2 ∆t và y = uϕt +∆t 2 ∆t . Sau khi tọa ñộ r t +∆t ñược biết, vận tốc phải ñược

uϕ = −u x sin ( 2π R ) + u y cos ( 2π R ) ,
u z = u0 R

ở ñây

u x = u0 R cos ( 2π R )

biến ñổi về hệ tọa ñộ mới bằng phép toán quay hệ tọa ñộ theo hướng φ một góc α

u y = u0 R sin ( 2π R ) ,

t 2
urt +∆
= urt +∆t 2 cos α + uϕt +∆t 2 sin α
;α
t 2
uϕt +∆
= −urt +∆t 2 sin α + uϕt +∆t 2 cos α ,
;α

u0 =

(2.48)

t 2
u zt +∆
= u zt +∆t 2

;α

(2.49)

(2.50)

2qEe
m

với R† là số ngẫu nhiên phân bố ñồng nhất trong khoảng (0, 1).

ở ñây sin α = y r t +∆t và cos α = x r t +∆t . Nếu hạt nằm trên trục ñối xứng, r t +∆t = 0 , thì
†

ta ñặt sin α = 0 và cos α = 1.

Từ ñây ñến hết luận văn, nếu không có sự thay ñổi, chúng ta quy ước R là số ngẫu nhiên phân bố
ñồng nhất trong khoảng (0, 1). Trong trình biên dịch Intel Fortran Compiler, chúng tôi dùng thủ tục tạo
số ngẫu nhiên random_number(R) có chu kỳ 1018-1.

28

29


ω0 ∆t ≤ 0.2

Khi một electron va vào bề mặt cathode, nó có thể bị phản xạ hoặc hấp thụ.

(2.56)

Khả năng phản xạ ñược ñặc trưng bởi hệ số phản xạ RC (reflection coefficient). Theo

với ω0 là tần số lớn nhất của các dao ñộng trong môi trường plasma. Trong phóng ñiện

[49], chưa có công trình thực nghiệm xác ñịnh RC trong phóng ñiện magnetron. Do ñó,

magnetron DC, ω0 ñược thay bởi tần số dao ñộng cao nhất, là tần số dao ñộng plasma

RC ñược dùng làm tham số hiệu chỉnh ñể kết quả của mô phỏng phù hợp với thực
nghiệm [12]. Trong mô hình của chúng tôi, tương tự sự phát xạ electron thứ cấp, sự

của electron ωe (công thức 1.3)

ω0 ∆t = ωe ∆t ≤ 0.2

phản xạ của electron tại cathode ñược mô tả bằng xác suất phản xạ. Khi một electron
ñến va vào bề mặt cathode, một số ngẫu nhiên phân bố ñồng nhất trong khoảng (0, 1)
ñược khởi tạo. Nếu số ngẫu nhiên này nhỏ hơn hoặc bằng RC, electron bị phản xạ trở
lại vùng phóng ñiện với ñộng năng Ee = 4 eV [12] và hướng vận tốc tuân theo ñịnh luật
phân bố cosin, như công thức (2.79). Ngược lại, nếu số ngẫu nhiên lớn hơn RC thì
electron này bị hấp thụ và loại khỏi vùng phóng ñiện.

(2.57)

Với ñiều kiện về thời gian ở trên, kích thước ô lưới phải ñủ lớn ñể một hạt
không thể nhảy qua nó trong một bước nhảy thời gian. Hiện tượng này sẽ gây ra sự tích
tụ không vật lý của ñộng năng, dẫn ñến sự làm nóng số (numerical heating). Hiện
tượng này rất quan trọng theo hướng có gradient trường mạnh nhất, trong mô hình của
chúng tôi, là hướng z, ở vùng sụt thế cathode. Theo [44] giới hạn dưới cho kích thước ô

lưới ∆z thỏa ñiều kiện Courant

u z ∆t ∆z < 1 .

2.2.1.7 ðộ ổn ñịnh và chính xác của PIC

(2.58)

Mô hình PIC là sự xấp xỉ rời rạc hóa môi trường vật lý liên tục, nên nó dẫn

Ngược lại, kích thước ô lưới phải ñủ nhỏ ñể giới hạn sự nhiễu số, và phân giải ñược

ñến sự nhiễu số. Ba dạng xấp xỉ rời rạc của mô hình là giới hạn số siêu hạt, bước nhảy

kích thước ñặc trưng của môi trường plasma, là bán kính Debye (công thức 1.1). Nên

thời gian và kích thước ô lưới. Nếu số siêu hạt gần với số hạt thực, và nếu bước nhảy

giới hạn trên của kích thước ô lưới là

∆z ≤ λD .

thời gian và kích thước ô lưới tiến về không, thì sự nhiễu số có thể ñược khử.
Số siêu hạt cần ñủ nhỏ ñể có thể tính toán trong thời gian hợp lý, nhưng cũng
phải ñủ lớn ñể tăng tính thống kê. Mỗi siêu hạt tương ứng với W hạt thực (W ñược gọi
là trọng số của siêu hạt). Tùy thuộc vào môi trường phóng ñiện cụ thể, hệ số W ñược
chọn tối ưu cho môi trường ấy. Trong mô hình tính toán của chúng tôi, hệ số W có giá
trị trong khoảng 106 – 108.

(2.59)

2.2.2 Mô phỏng MCC
Phương pháp PIC chỉ ñược dùng ñể mô phỏng plasma không va chạm. Phóng
ñiện trong magnetron thuộc loại phóng ñiện sáng ở áp suất thấp, các va chạm thì rất
quan trọng vì chúng duy trì sự phóng ñiện. Do ñó, các va chạm phải ñược ñưa vào mô
hình. Phương pháp MCC dùng ñể mô tả sự va chạm cặp giữa các hạt và giả thuyết

Bước nhảy thời gian phải ñủ lớn ñể giới hạn thời gian tính toán, nhưng cũng
phải ñủ nhỏ ñể khử nhiễu số. Phương pháp PIC sử dụng giản ñồ sai phân hữu hạn nhảy
cóc hiện ñể giải phương trình Newton – Lorentz. ðộ ổn ñịnh và chính xác của giản ñồ
này ñược kiểm tra bởi phương trình dao ñộng tử ñiều hòa mô tả sự dao ñộng của
plasma. ðiều kiện ổn ñịnh tối ưu là [10]

trước và sau va chạm, tọa ñộ của các hạt tham gia va chạm không bị thay ñổi. Phương
pháp MCC thực hiện ba việc là xác ñịnh khi nào thì xảy ra va chạm, xác suất xảy ra
một loại va chạm nào ñó là bao nhiêu, và vận tốc của các hạt sau khi tham gia va chạm.
Phương pháp PIC ñược kết hợp với phương pháp MCC dẫn ñến phương pháp mô
phỏng PIC/MCC.

30

31


Tích phân phương trình chuyển
ñộng, dịch chuyển hạt.

Fk → u k → rk
Nội suy trường
tác dụng lên hạt.

K

σ T = ∑σ k

Mất/thêm hạt tại
các biên (hấp thụ,
phát xạ thứ cấp …)

với σ k là tiết diện của loại thứ k và K là tổng số các loại va chạm. Chú ý rằng v là một
hàm của thời gian t bởi vì g là một hàm của thời gian.

Va chạm
Monte Carlo

∆t

Ei → Fk

Tuy nhiên, phương pháp MCC truyền thống tốn nhiều thời gian tính toán ñể

uk → uk '

Xác ñịnh trường trên
các nút lưới.

xác ñịnh thời ñiểm va chạm cho tất cả các hạt, thêm vào ñó, v không phải là hằng số.
Hơn nữa, nó khó kết hợp với phương pháp PIC có bước nhảy thời gian của các hạt

Phân chia ñiện tích

trên các nút lưới.

chuyển ñộng là như nhau. ðể khắc phục các khó khăn này, chúng tôi ñã sử dụng

rk → ρi

ρ i → Ei

(2.62)

k =1

phương pháp Monte Carlo không va chạm (null collision) kết hợp với PIC [9, 74].

Hình 2.7. Chu kỳ tính toán của PIC/MCC trong một bước nhảy thời gian ∆t [9, 74].

Phương pháp không va chạm sử dụng hằng số tần số va chạm lớn nhất

vmax = max r (ng ) max ε (uσ T ) ,
Chu kỳ tính toán của phương pháp PIC/MCC trong một bước nhảy thời gian

∆t ñược thể hiện ở hình 2.7. Các bước của phương pháp PIC ñã ñược thực hiện ở phần
trên. Thủ tục MCC ñược gọi sau khi các hạt ñược kiểm tra ñiều kiện biên. Trong thủ
tục MCC, tất cả các va chạm của các hạt có thể xảy ra trong một bước nhảy thời gian
ñược xét ñến. Nếu có va chạm xảy ra, vận tốc của hạt sau va chạm ñược tính toán. Một
số hạt mới có thể ñược sinh ra do va chạm ion hóa, hoặc có thể mất ñi do tái hợp.

ở bất kỳ thời ñiểm nào, thay cho tần số va chạm v(t ) , ở ñây maxr() và maxε() tương
ứng là lấy giá trị lớn nhất theo tọa ñộ và theo năng lượng.
Như ñã ñề cập ở phần trên, trong phương pháp PIC, các siêu hạt có cùng một

bước nhảy thời gian ∆t rất nhỏ. Khi kết hợp PIC với MCC, ta có xác suất va chạm của
phương pháp không va chạm trong khoảng thời gian ∆t là [74]

Pnull = 1 − exp ( −vmax ∆t ) .

2.2.2.1 Phương pháp không va chạm

(2.63)

(2.64)

Nếu Npart là tổng số hạt của một loại hạt thì số hạt lớn nhất của loại hạt ñó tham gia va

Trong phương pháp MCC truyền thống, xác suất mà một hạt ñến va chạm với

chạm Ncoll ñược cho bởi

N coll = N part Pnull = N part 1 − exp ( −vmax ∆t )  .

một hạt ñích trong khoảng thời gian ∆t là [57]
Pi = 1 − exp {−v∆t}

(2.60)

ở ñây v là tần số va chạm ñược cho bởi

(2.65)

Hạt tham gia va chạm ñược chọn ngẫu nhiên. Mỗi hạt ñược kiểm tra cho một loại va
chạm như sau

v = ng gσ T .

(2.61)

với ng là mật ñộ hạt ñích, g là ñộ lớn vận tốc tương ñối của của hai hạt, và σ T là tiết
diện va chạm; σ T là một hàm của năng lượng ε (= mg 2 2) và là tổng tiết diện va chạm
của các loại va chạm, như là va chạm ñàn hồi, kích thích, phân ly, ion hóa, v.v .

32

ν 1 (ε i )
ν max
ν 1 (ε i )
ν 1 (ε i ) + ν 2 (ε i )
ν max
ν max
..
.
R≤

33

(Va chạm loại 1)
(Va chạm loại 2)

(2.66)

K

∑ν
k =1

j

(ε i )

ν max

< R.

(Không va chạm)

Thông thường Pnull có bậc khoảng 10-2 [74]. Nên N coll ≪ N part , là lợi thế của phương
pháp không va chạm.

2.2.2.2 Các loại va chạm trong mô hình

Tiết diện (m2)

Hiệu suất tính toán của phương pháp không va chạm thì phụ thuộc vào Pnull.

ñàn hồi
kích thích
ion hóa

Trong mô hình của chúng tôi, các nguyên tử argon trung hòa ñược xem như
phân bố ñồng nhất trong toàn vùng không gian mô phỏng và ở trạng thái cân bằng nhiệt

ñộng với phân bố vận tốc Maxwell có nhiệt ñộ khí Tg = 300 K ( k BTg = 0.026 eV ).
Mô hình hiện tại của chúng tôi là phóng ñiện thuần khí argon, các hạt phún xạ

Năng lượng (eV)

Hình 2.8. Tiết diện va chạm electron – nguyên tử argon [31].

cũng như các loại khí phản ứng chưa ñược ñưa vào mô hình. Hơn nữa, do hạn chế về
thời gian tính toán của mô hình, nên mô hình của chúng tôi xét ñến ba va chạm ñặc
trưng giữa electron với nguyên tử argon là
(va chạm ñàn hồi),

e + Ar → e + Ar *

(va chạm kích thích, Eth = 11.55 eV ),

e + Ar → 2e + Ar +

(va chạm ion hóa, Eth = 15.76 eV ).

với Eth là giới hạn năng lượng của electron ñể xảy ra va chạm.
Các ion argon có năng lượng lớn trong vùng sụt thế cathode có thể va chạm

chuyển ñiện tích
ñàn hồi

Tiết diện (m2)

e + Ar → e + Ar

ion hóa các nguyên tử argon. Tuy nhiên, tốc ñộ của va chạm này thì không ñáng kể so
với tốc ñộ va chạm ion hóa của electron với nguyên tử argon [45]. Nên các loại va
chạm giữa ion argon với nguyên tử argon ñược xét ñến trong mô hình của chúng tôi là

Ar + + Ar → Ar + + Ar

(va chạm ñàn hồi),

Ar + + Ar → Ar + Ar +

(va chạm chuyển ñiện tích).

34

Năng lượng (eV)

Hình 2.9. Tiết diện va chạm ion argon – nguyên tử argon [31].

35


hx = g ⊥ cos ϕ

Tiết diện của các loại va chạm trên ñược cho ở hình 2.15 cho các loại va chạm
giữa electron với nguyên tử argon, ở hình 2.16 cho các loại va chạm giữa ion argon với

hy = − ( g x g y cos ϕ + gg z sin ϕ ) g ⊥ ,

nguyên tử argon. Các tiết diện va chạm này ñược lấy từ [31] và ñã ñược làm khớp bằng

hz = − ( g x g z cos ϕ − gg y sin ϕ ) g ⊥

(2.70)

các hàm giải tích.

ở ñây g ⊥ = ( g y2 + g z2 ) . Các phương trình (2.68) và (2.69) có thể ñược ñơn giản hóa

2.2.2.3 Vận tốc sau va chạm

bằng các xấp xỉ m + M ≈ M và g ≈ u .

12

Trường hợp va chạm electron kích thích nguyên tử argon, công trình [57] ñã
(a). Va chạm electron – nguyên tử argon

ñề nghị vận tốc của electron trước khi va chạm trong hệ khối tâm, uɶ , có ñộ lớn u ' và

Sau mỗi sự kiện va chạm, các thành phần vận tốc của hạt sau va chạm ñược

hướng u u là

xác ñịnh thông qua góc tán xạ χ và góc phương vị φ trong hệ khối tâm. Trong mô hình

E
uɶ = u 1 − th ,

của chúng tôi, thế tương tác trong va chạm electron với nguyên tử argon ñược lấy xấp
xỉ thế Coulomb màn chắn cho tất cả các loại va chạm, nên góc tán xạ χ ñược lấy mẫu

ngẫu nhiên là [57, 74]

cos χ =

1
R
ε + 2 − 2 (1 + ε )  .

ε

ở ñây ε = mu 2 2 là ñộng năng của electron trước khi va chạm và Eth = 11.55 eV là
năng lượng giới hạn kích thích. Quá trình va chạm khích thích ñược xem như quá trình

(2.67)

va chạm ñàn hồi với vận tốc trước va chạm là uɶ và U. Vận tốc sau va chạm ñược cho
bởi các phương trình (2.68) – (2.69), với tất cả các vị trí của u ñược thay bởi uɶ [57].

với ε = mu 2 2 là ñộng năng của electron.
Góc phương vị thì phân bố ñồng nhất, nên lấy mẫu φ ngẫu nhiên là [57, 74]

hóa, Eth = 15.76 eV , mà còn phải phân chia năng lượng cho electron ñược sinh ra.

Các vận tốc sau va chạm ñàn hồi ñược tính từ [57]

M
 g (1 − cos χ ) + h sin χ  ,
m+M 

m

U' = U +
 g (1 − cos χ ) + h sin χ  ,
m+M 

Sau cùng, ta xét va chạm electron ion hóa nguyên tử argon. Sau khi va chạm
ion hóa, electron tới không những bị mất một lượng năng lượng bằng với giới hạn ion

ϕ = 2π R

u' = u −

(2.71)

ε

(2.68)

Theo [57] năng lượng của electron ñược sinh ra, ε p , ñược chọn ngẫu nhiên là

 
 

ε p = ε 0 + a tan  R  tan −1

(2.69)

ε1
a

+ tan −1

ε 0 = 2 − (100 ( ε + 10 ) )

ở ñây u và U tương ứng là vận tốc trước va chạm của electron và nguyên tử argon,

ε0 

 − tan
a

−1

ε0 
a 
,

ε 1 = ( ( ε − Eth ) 2 ) − ε 0

g = u − U là vận tốc tương ñối của hai hạt. Các thành phần Cartesian của h là

a = 10.3
ở ñây ε = mu 2 là năng lượng của electron tới trước khi va chạm.
2

36

37

(2.72)

Tương tự như trường hợp va chạm kích thích ở trên, [57] ñịnh nghĩa vận tốc

với góc θ ñược xác ñịnh từ

trước va chạm của electron tới là

ε + Eth
uɶ = u 1 − p
.
ε

(2.73)

θ =πR

(2.78)

φ = 2π R .

(2.79)

và góc φ ñược xác ñịnh từ

Vận tốc sau va chạm u ' của các electron tới nhận ñược bằng cách thay u bởi

Vì +T và –T có chung ñặc trưng xác suất, nên vận tốc sau các loại va chạm

uɶ trong (2.68). Vận tốc trước va chạm của electron sinh ra, mà thực tế không tồn tại,

của ion về bản chất là giống nhau mặc dù có va chạm trao ñổi ñiện tích xảy ra. Trong

ñược giả sử là [57]

vùng thể tích plasma, khác với electron, ion và hạt trung hòa có vận tốc tương ñương

u 2ε p
uɶ p =
,
u m

nhau, nên hai va chạm ñàn hồi và trao ñổi ñiện tích không ảnh hưởng lớn lên năng
(2.74)

lượng của các hạt sau va chạm. Tuy nhiên, với phóng ñiện DC hoặc RF, trong vùng lớp

do ñó, vận tốc sau va chạm u '' của electron sinh ra nhận ñược từ (2.68) bằng việc thay

biên, một ion nhận ñược ñộng năng lớn thì bị biến thành một ion với năng lượng nhiệt

u bởi uɶ p và u ' bởi u '' .

sau khi va chạm trao ñổi ñiện tích với hạt trung hòa. Ảnh hưởng này không ñược ñưa
vào nghiên cứu nếu sử dụng mô hình tương tác cầu rắn cho va chạm chuyển ñiện tích.

(b). Va chạm ion argon – nguyên tử argon

Do ñó, chúng tôi sử dụng mô hình phân phối ñồng nhất (identity switch model) [57].

Nếu xem va chạm giữa ion argon với nguyên tử argon là mô hình tương tác

Mô hình này là sự kết hợp một nửa là va chạm cầu rắn ñàn hồi với một nửa là trao ñổi
ñiện tích tán xạ π . Trong mô hình này, ñiện tích của ion chuyển sang hạt trung hòa mà

cầu rắn thì sự tán xạ là ñẳng hướng. Các vận tốc sau va chạm là [57]

1
( M 1U1 + M 2 U 2 + M 2 U1 − U 2 T )
M1 + M 2

(2.75)

1
U2 ' =
( M 1U1 + M 2 U 2 − M 1 U1 − U 2 T ) ,
M1 + M 2

(2.76)

U1 ' =

không có sự thay ñổi vận tốc của các hạt sau va chạm. Kết quả là U1 ' = U1 và

U 2 ' = U 2 , và vận tốc tương ñối giữa hai hạt bị thay ñổi từ U1 − U 2 sang − ( U1 − U 2 ) ,
có nghĩa góc tán xạ của ion là π . Vì vậy, va chạm trao ñổi ñiện tích ñược mô phỏng

ở ñây, M1 và M2 tương ứng là khối lượng của ion và nguyên tử argon ( M 1 = M 2 ) , U1

như va chạm ñàn hồi trong trường hợp tán xạ ngược.

và U 2 tương ứng là vận tốc của ion argon và nguyên tử argon trước khi va chạm, U1 '

2.3

Các phương pháp làm tăng tốc ñộ tính toán

và U 2 ' tương ứng là vận tốc của ion argon và nguyên tử argon sau khi va chạm. Vector
ñơn vị T có hướng ngẫu nhiên là

Hạn chế lớn nhất của phương pháp PIC/MCC là thời gian tính toán rất dài.

 sin θ cos φ 
T =  sin θ sin φ  ,
 cos θ 



38

Nguyên nhân chủ yếu là các ñiều kiện về ñộ chính xác và ổn ñịnh của mô hình PIC.
(2.77)

Kích thước của hệ lớn và mật ñộ plasma cao dẫn ñến một số lượng lớn nút lưới và siêu
hạt cần ñược tính toán. Thời gian ñể mô hình mô phỏng tiến tới trạng thái dừng là rất

39


lớn so với một bước nhảy thời gian của mô hình PIC. Trong phóng ñiện sáng DC, thời
−5

mô phỏng, mật ñộ hạt là thấp, vì thế bước nhảy thời gian lớn hơn, sau mỗi 2000 bước

gian hồi phục của plasma là khoảng 5 × 10 s [19], với kích thước của hệ L ∼ 2 − 4cm ,

nhảy thời gian của electron, ñiều kiện (2.57) ñược kiểm tra, nếu ñiều kiện không thỏa

mật ñộ plasma n ∼ 5 × 1010 cm −3 , nhiệt ñộ electron Te ∼ 4eV , thì bán kính Debye

mãn thì bước nhảy thời gian phải ñược giảm xuống.

λD ∼ 0.07 mm và tần số dao ñộng plasma ωe ∼ 1.3 × 1010 rad / s . Từ các các ñiều kiện

2.3.1.2 Cải tiến không gian pha ban ñầu

e

∆z ≤ λD và ∆t ≤ 0.2 ωe ∼ 1.6 × 10−11 s , thì có khoảng 104 nút lưới và 106 bước nhảy thời

Mô phỏng PIC/MCC thường ñược bắt ñầu chạy với các hạt có mật ñộ ñồng

e

gian cần tính toán. Do ñó, mô hình cần sử dụng một số phương pháp tăng tốc cho máy
tính ñơn xử lý. Sau ñó, mô hình ñược kết hợp với phương pháp tính toán hạt song song.

nhất và phân bố vận tốc Maxwell. Các dạng phân bố này thường rất khác so với các
dạng phân bố khi mô hình tiến tới trạng thái cân bằng. ðặc biệt trong phóng ñiện
magnetron, có sự không ñồng nhất cao là các các hạt mang ñiện tập trung nhiều nhất ở

2.3.1 Các phương pháp tăng tốc cho máy tính ñơn xử lý
Một số phương pháp tăng tốc cho máy tính ñơn xử lý ñã ñược sử dụng. Ví dụ
như phương pháp thay ñổi trọng số hạt áp dụng cho trường hợp phóng ñiện có các khí
phản ứng như O2 hoặc N2. Trong ñó có một số loại hạt mang ñiện trái dấu có sự chênh
lệch lớn về mật ñộ [12, 44, 45]. Hiện tại trong mô hình của chúng tôi chưa ñưa vào các
khí phản ứng, nên phương pháp này chưa ñược sử dụng. Một phương pháp tăng tốc
khác, liên quan ñến kiến trúc phần cứng của máy tính, là thuật toán sắp xếp (sorting).
Chi tiết của thuật toán sắp xếp dùng cho PIC có thể tham khảo từ [11, 45]. Do thuật
toán này khá phức tạp, nên hiện tại chúng tôi chưa ñưa ñược vào mô hình. Thay vào ñó,
chúng tôi sử dụng một số phương pháp tăng tốc ñơn giản hơn như sau.

những nơi từ trường song song với bề mặt bia. Nếu chúng ta bắt ñầu mô phỏng với
dạng phân bố mật ñộ hạt và vận tốc ñã ñược cải tiến sao cho gần với trạng thái cân
bằng, thì thời gian tính toán ñể tiến tới trạng thái dừng của mô hình sẽ ñược rút ngắn.

2.3.2 Phương pháp tính toán hạt song song
ðể song song hóa hoàn toàn mã PIC/MCC, ta phải thực hiện song song hai
tính toán, ñó là tính toán hạt và tính toán trường trên lưới. Sơ ñồ song song cho
PIC/MCC thường ñược sử dụng là sơ ñồ phân rã Eulerian [4, 44]. Trong sơ ñồ này, mỗi
ñơn vị xử lý trung tâm của máy tính (CPU) ñược phân chia một phần lưới ñã ñược cố
ñịnh cũng như các hạt nằm trong phần lưới ñó. Các CPU chia sẻ việc giải trường. Tuy
nhiên sơ ñồ phân rã Eulerian là khó thực hiện, do các hạt thường xuyên di chuyển từ
phần lưới của CPU này sang phần lưới của CPU khác, dẫn ñến việc luôn phải cân bằng

2.3.1.1 Sự thay thế chu kỳ
Do có sự khác biệt rất lớn giữa khối lượng của electron và ion, nên ion chuyển

số hạt giữa các CPU (cân bằng tải). Hơn nữa, việc giải trường song song trên lưới rất

ñộng chậm hơn nhiều lần so với electron trong cùng một bước nhảy thời gian electron

phức tạp. Do ñó, trong mô hình phóng ñiện magnetron của chúng tôi, chỉ thực hiện tính

∆te . Do ñó, ta có thể chọn bước nhảy thời gian của ion là ∆ti = k ∆te , ở ñây

toán hạt song song mà chưa thực hiện giải trường song song. Việc giải trường ñược

k = 10 − 100 , phụ thuộc vào khối lượng của ion. Phương pháp này ñược gọi là sự thay

thực hiện tuần tự bằng phương pháp DADI. Việc tính toán hạt song song ñược thực

thế chu kỳ (subcycling) [10, 44]. Trong mô hình này, chúng tôi chọn k = 25 . Hơn nữa,

hiện bởi thư viện lập trình song song MPI (message passing interface).

chúng tôi sử dụng thêm phương pháp biến thiên bước nhảy thời gian [45]. Khi bắt ñầu

40

41


2.3.2.1 Mô tả tính toán hạt song song
Việc tính toán hạt song song trong mô hình của chúng tôi ñược thực hiện dựa
theo [44]. Ở thời ñiểm bắt ñầu chạy chương trình, các hạt ñược chọn một cách ngẫu
nhiên và chia ñều cho các CPU mà không quan tâm ñến vị trí của các hạt trên lưới. Mỗi
CPU thấy toàn bộ không gian lưới nhưng chỉ thấy vị trí ngẫu nhiên của các hạt mà nó
ñược chia. Các bước tính toán hạt song song ñược thực hiện theo thứ tự như sau:

Hình 2.10. Sơ ñồ truyền dữ liệu từ xử lý có rank = 0 ñến 8 xử lý trong nhóm. (a) trao

Với số lượng hạt ñã ñược chia, mỗi CPU giải phương trình chuyển ñộng

ñổi thông tin ñiểm – ñiểm và (b) trao ñổi thông tin tập hợp [44].

Newton – Lorentz, thực hiện va chạm Monte Carlo, áp ñặt ñiều kiện biên và
phân chia ñiện tích của các hạt cho các nút lưới.
Các CPU thực hiện lấy tổng mật ñộ của các loại hạt trên lưới.
Mật ñộ tổng của các loại hạt ñược truyền tới tất cả các CPU. Sau ñó mỗi CPU
thực hiện giải trường của riêng nó ñể quay lại thực hiện bước ñầu.

2.3.2.2 Thư viện lập trình song song MPI
Mô hình truyền thông ñiệp là mô hình chương trình song song ñược sử dụng
rộng rãi trên cả hệ thống máy tính có bộ nhớ chia sẻ và bộ nhớ phân tán. MPI [37, 39]

Trao ñổi thông tin tập hợp: ðây là hình thức truyền tin giữa các xử lý trong

cùng một môi trường giao tiếp. Tất cả các xử lý ñồng thời tham gia phân tán hoặc thu
thập dữ liệu. Hình 2.10(b) là một sơ ñồ cây ví dụ cho trao ñổi thông tin tập hợp. Theo
[44] thời gian của loại truyền tin này tỉ lệ với log 2 N proc là ngắn hơn so với trao ñổi
thông tin ñiểm–ñiểm. Do ñó, trong mô hình này, một số các thủ tục của MPI mà chúng
tôi sử dụng là loại trao ñổi thông tin tập hợp. Chức năng của các thủ tục ñược tóm lược
như sau [37, 39]:

là thư viện chuẩn chứa ñựng những hàm (hay thủ tục) ñể thực hiện việc giao tiếp giữa

• MPI_BCAST: truyền dữ liệu từ một xử lý nguồn (root) ñến tất cả các xử lý.

các máy tính thông qua cơ chế truyền và nhận các gói tin.

• MPI_SCATTER: phân tán số lượng dữ liệu bằng nhau từ root ñến các xử lý.

MPI có hai hình thức truyền tin là trao ñổi thông tin ñiểm – ñiểm (point–to–

•

point communication) và trao ñổi thông tin tập hợp (collective communication). Mỗi
hình thức truyền tin có các thủ tục trao ñổi thông tin của riêng nó.

của các phần tử ñược gửi ñến các xử lý.

• MPI_GATHER: ngược với MPI_SCATTER, lấy tất cả các dữ liệu có số phần tử

Trao ñổi thông tin ñiểm – ñiểm: ðây là hình thức truyền tin cơ bản và ñơn

giản nhất của MPI. Một xử lý nguồn gởi trực tiếp gói tin ñến từng xử lý ñích. Chỉ
những cặp xử lý cho và nhận gói tin là ñược phép thao tác trên gói tin. Hình 2.10(a) là

MPI_SCATTERV: sự mở rộng của MPI_SCATTER là các số lượng khác nhau

bằng nhau của các xử lý.
•

MPI_GATHERV: sự mở rộng của MPI_GATHER và ngược với MPI_SCATTERV

là các số lượng khác nhau của các phần tử nhận từ các xử lý.

một sơ ñồ ví dụ của trao ñổi thông tin ñiểm–ñiểm. Theo [44] thời gian của loại truyền

• MPI_REDUCE: kết hợp các dữ liệu từ các xử lý và gửi kết quả về một xử lý.

tin này thì tăng theo N proc − 1 , với N proc là số xử lý.

• MPI_ALLREDUCE: kết hợp các dữ liệu từ tất cả các xử lý và gửi kết quả tới tất
cả các xử lý.

42

43