Tương giao hàm bậc ba và đường thẳng

TƢƠNG GIAO CỦA HÀM BẬC BA VÀ ĐƢỜNG THẲNG
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (với a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Tìm
giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng y = αx + β (hoặc trục Ox) tại 3 điểm phân biệt và thỏa mãn điều
kiện cho trước.
Phƣơng pháp:
Bƣớc 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là:
ax3 + bx2 + cx + d = αx + β ⇔ ax3 + bx2 +(c – α)x + d - β = 0 (*)
Giả sử ta đoán trước được phương trình (*) có một nghiệm x = x0 (*)
Khi đó (*) phân tích thành:
(x – x0) (Ax2 +Bx +C) = 0 ⇔ [ ( )
Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt
⇔g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt và khác x0
⇔{

( )
( )

⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (**)

Giả sử đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A(xA, yA) với xA = x0 và hai điểm B, C với xB, xC là nghiệm
của phương trình g(x) = 0.
Bƣớc 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích các nghiệm thay tổng và tích vào từ đó dẫn tới một
phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình nay ta được tham số sau đó đối chiếu
với điều kiện (**) và kết luận.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt
trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện
.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox là
x3 – 2x2 + (1 – m)x + m = 0 (2)

⇔(x – 1)(x2 – x – m) = 0⇔ [ ( )
Để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


⇔g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
⇔{

⇔{

( )

( )

Để có ba nghiệm thỏa mãn

thì x = x1 = 1 và x2, x3 là nghiệm của phương trình g(x) = 0. Theo

đinh lý viet ta có {
Từ biểu thức
⇔(

)

⇔

⇔

Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy giá trị cần tìm là {
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m+3)x + 4 có đồ thị là (Cm). Cho E(1; 3) và đường thẳng ∆ có phương
trình x – y + 4 = 0. Tìm m để ∆ cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A, B, C (với xA = 0) sao cho tam giác EBC có
diện tích bằng 4.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm là: x3 + 3mx2 + (m+3)x + 4 = x + 4 (1)
⇔ (

)

Đường thẳng d cắt (
⇔{

⇔[ ( )

( )

) tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C ⇔phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⇔{

( )

( )

Với xB, xC là nghiệm của phương trình g(x) = 0
Theo định lý ta có: {
(

Diện tích

Suy ra BC = 4√ ⇔ (
⇔

(

)

) với khoảng cách d(E, BC) = √ .
)
⇔*

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 2mx2 + 2mx -1 (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt A(1;0), B và C sao cho K1 + K2 = BC. √ . Trong đó K1, K2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại B và C
của đồ thị hàm số (1).
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là:
x3 - 2mx2 + 2mx -1=0 ⇔ (x – 1)[x2 + (1 – 2m)x + 1] = 0
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


⇔[

(

)

( )

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*)phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔
x2 + (1 – 2m)x + 1=0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

⇔{

(

[

⇔

)

⇔[

{
Giả sử: B(xB; 0); C(xC;0) và xB, xC là 2 nghiệm phân biệt của phương trình nên theo định lý viet ta có: xB + xC =
2m – 1 và xB. xC = 1.
)

√(

Ta có:

√

Mặt khác: K1 + K2 =
= (

(

)

)

Theo giả thiết ta có: K1 + K2 = BC√
⇔

√ (

⇔m2 – m – 2 = 0 ⇔ *
Vậy với *

)
(

vì
)

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = 2x3 - 3mx2 + (m-1)x + 1 (1). Tìm m để đường thẳng y = 2x + 1 cắt đồ thị hàm số (1)
tại ba điểm A, B, C phân biệt thỏa mãn điểm C(0;1) nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng
√
Giải
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị (Cm) của hàm số: y = 2x3 - 3mx2 + (m-1)x + 1 là nghiệm của phương trình:
2x3 - 3mx2 + (m-1)x + 1 = 2x + 1
⇔x(2x2 – 3mx + m – 3) = 0 ⇔[

( )

Đường thẳng d cắt đồ thị(Cm) tại 3 điểm A; B; C phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi phương trình
(*) có 2 nghiệm trái dấu.
⇔2.(m – 3)< 0 ⇔ m < 3 (*)
Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn {

và {

(Vì A và B thuộc (d))

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


⇔ √(

Theo giả thiết AB = √

⇔(

)

⇔(

⇔

)

(

)

)

⇔[

√

⇔

(Thỏa mãn (*))

Vậy m = 0; m = là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số:

có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng ∆:

cắt (C) tại

ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng ∆:
⇔ (
⇔[

và (C) là:
)

( )
(

Với x = 0=> y =

)

Đường thẳng ∆:

cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C

⇔Phương trình x2 – 6x + 9 – 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0
⇔{
Khi đó

⇔{

⇔{

(

)

( )

(

).

)

(

Theo giả thiết:
(

⇔
⇔(

)

(

)

⇔(

)(

)

⇔(

)

⇔[

(

(

)

⇔

⇔

)
)
(1) (vì x1 + x2 = 6)

Mà x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (*) nên theo viet: {

( )

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Từ (1) và(2) => m = (thỏa mãn (*)).
Vậy m = là giá trị cần tìm.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = -x + 1 tại ba điểm phân biệt
A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và vuông góc với nhau.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là:
x3 + mx2 + 1= -x + 1 ⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 ⇔ [ ( )
Đường thẳng d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
⇔{

( )

⇔*

(*)

Vì xB, xC là nghiệm của g(x) = 0 theo định lý viet =>{
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f’(xC).f’(xB)=-1
⇔xB.xC (3xB + 2m)(3xC + 2m) = -1
⇔ xB.xC. [9 xB.xC + 6m(xB+xC) + 4m2] = -1
⇔1[9+6m(-m)+4m2]= -1 ⇔ 2m2 = 10 ⇔ m = √ (Nhận so với điều kiện (*))
Vậy m =

√ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k
> -3) đều cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Giải
Đường thẳng d đi qua điểm I(1;2) và với hệ số góc k có phương trình là:
d: y – 2 = k(x – 1) ⇔ y = kx – k + 2.
Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình.
x3 – 3x2 + 4 = kx – k + 2 ⇔ x3 – 3x2 – kx + k + 2 = 0
⇔(x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = 0 ⇔ [ ( )
Vì {

vì k > - 3 nên đồ thị luôn cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt I, A, B với I(1;2) và
( )
hoành độ hai điểm A, B là nghiệm của phương trình g(x) =0.
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


Theo viet ta có : x1 + x2 = 2= 2x1, chứng tỏ I là trung điểm của A, B nên ta có đpcm.
Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x3 + 3x2 + (m + 2)x + 2m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ âm
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox.
x3 + 3x2 + (m + 2)x + 2m = 0 ⇔ (x+2)(x2 + x + m ) = 0 (1)
⇔[

( )

Đồ thị (Cm) cắt Ox tại 3 điểm hoành độ âm ⇔ (2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2.
⇔{

⇔{

⇔{

⇔

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy với

Ví dụ 9: Cho hàm số y = -x3 + 3x (1). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2;-2) có hệ số góc bằng k. Xác định
các giá trị của tham số k để d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn -2.
Giải

Phương trình đường thẳng d là: y = k(x- 2) – 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (1) là -x3 + 3x = k (x – 2) – 2
⇔(x – 2)(x2 + 2x +1 + k) = 0.
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn -2 khi và chỉ khi phương
trình (*) có hai nghiệm phân biệt và lớn hơn -2
( )
⇔{

(với x1, x2 là nghiệm của (*))

⇔{

⇔ {

*

⇔

.

√
Nhận xét:
Qua ví dụ 8 và ví dụ 9 ta rút ra kết luận
Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac.
Gọi S, P là tổng và tích của hai nghiệm trái dấu x1, x2. Hệ thức Viet: {

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6

Điều kiện f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0.
Điều kiện f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ {

.

Điều kiện f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt dương 0
Điều kiện f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt âm x1 < x2 < 0 ⇔ {
Khi so sánh hai nghiệm với α ≠ 0, ta thường đặt t = x – α để chuyển về so sánh với số 0.
Hoặc: Biến đổi và dựa vào định lí Viet:
+ x2 > x1 > α ⇔{
+x1+x1 < α < x2 (

⇔{

⇔{

⇔{
)(

⇔{
)

⇔

(

)(

(

)(
(

⇔{

)
)

⇔{

)

(
(

)
)

.

Ví dụ 10: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + m (Cm). Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 – 3x2 – 9x + m = 0 (*)
Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3) thì x1, x2, x3 là nghiệm của
phương trình (*). Khi đó: x3 – 3x2 – 9x + m = (x – x1)(x – x2)(x – x3)
= x3 – (x1+x2+ x3 ) x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x - x1x2x3 => x1 +x2 + x3 = 3 (1)

Ta có x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng ⇔ x1 + x3 = 2x2 (2).
Thế (2) vào (1) ta có: x2 = 1
Khi x2 = 2 (*) ta được m = 11
Với m = 11: (*)⇔ x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 – 2x – 11) = 0
√
⇔[

.
√

Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.
Chú ý:
-Nếu đa thức y = f(x) = ax3 + bx2 +cx + d (a ≠ 0) có các nghiệm là x1, x2, x3 thì
y = f(x) = a(x – x1)(x – x2)(x – x3). (Không sử dụng định lý viet cho phương trình bậc ba)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


-Trong trường hợp đặc biệt phương trình bậc ba mà đoán được nghiệm ta có thể làm như sau.
Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 - 9x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập
thành một cấp số cộng.
Giải
Đồ thị hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 - 9x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
cộng
⇔Phương trình x3 – (2m + 1)x2 - 9x = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Phương trình:
x3 – (2m + 1)x2 - 9x = 0 ⇔ x[x2 – (2m + 1)x – 9] = 0
⇔[

(

)

( )

Phương trình (1’) có

nên luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Do đó hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox sẽ là x1 < x0 = 0 < x2
Để x1, x0, x2 lập thành 1 cấp số cộng ⇔ x1 + x2 = 2x0 ⇔ 2m +1 = 0⇔ m =

.

Ví dụ 12: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
Giải
Đồ thị hàm số y = x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập
thành một cấp số nhân ⇔ phương trình x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số nhân.
Phương trình:
x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m = 0
⇔(x +2)[x2 + (3 – m)x – 3m] = 0
⇔[

(

)

( )

⇔[

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì m ≠ {-3; -2}.
Trƣờng hợp 1: m < -3 < -2
Để dãy số m; -3; -2 lập thành 1 cấp số nhân thì m. (-2) = (-3)2 ⇔ m =

.

Trƣờng hợp 2: -3 < m < -2
Để dãy số -3; m; -2 lập thành 1 cấp số nhân thì -3 .(-2) = m2
⇔m2 =6 ⇔ m = √
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


Trƣờng hợp 3: -3 < -2 < m
Để dãy số -3; -2; m lập thành 1 cấp số nhân thì -3. m = (-2)2 ⇔ m =
Vậy với

hoặc

√ hoặc

.

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – (3m + 1)x2 + (5m + 4)x – 8 (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
Nhận xét: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìm ra các
nghiệm của phương trình, vì vậy ta có thể sử dụng tính chất của cấp số nhân, tìm ra m, sau đó thay m cụ thể vào
hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giả sử (Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt x1, x2, x3 khi đó:
x3 – (3m + 1)x2 + (5m + 4)x – 8 = (x – x1)(x – x2)(x – x3)
⇔ x3 – (3m + 1)x2 + (5m + 4)x – 8 = x3 – (x1 +x2 + x3) x2 + (x1 x2 + x2 x3+ x3x1)x – x1x2x3
Từ đó ta có: x1.x2.x3 =8.
Vì x1,x2,x3 tạo thành cấp số nhân nên x1.x2 = (x2)2 khi đó:
x1.x2.x3 = (x2)3 = 8 ⇔ x2 = 2
Vì x2 là hoàn độ giao điểm nên f(x2) = f(2) = 0 ⇔ 2(2 –m) =0 ⇔ m =2 .
Với m = 2 thì f(x) = x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 – 6x + 8) = 0
⇔*

⇔[

Ta thấy các số: 1; 2; 4 tạo thành cấp số nhân với công bội bằng 2.
Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 14: Cho hàm số y =x3 – 3(m+1)x2 + 6mx – 3m + 4. Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm A có
hoành độ là 1. Tìm m để ∆ cắt đồ thị tại một điểm B khác A sao cho ∆OAB là tam giác vuông cân tại O.
Giải
Ta có: y’ = 3x2 – 6(m +1)x + 6m
Với x = 1 => y =2=> y’ = -3
Phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 1) +2
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị (Cm):
x3 – 3(m+1)x2 + 6mx – 3m + 4 = = -3(x – 1) +2
⇔ (x – 1)2(x – 3m – 1)=0⇔ *
Ta có: B(3m + 1; -9m + 2) => ⃗⃗⃗⃗⃗

(

) ⃗⃗⃗⃗⃗

(

)

⇔

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


∆OAB vuông cân tại A.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⇔{

⇔{

(
√(

)
)

(
(

)
)

√

⇔

.

Vậy m = là giá trị cần tìm.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10