(Luận văn thạc sĩ toán học) BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (572.62 KB, 129 trang )

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

2

Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM

1.1

C − nửa nhóm

4
4

0

1.2 Bài toán Cauchy

12

1.3 Một số ví dụ

21

Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM
n − LẦN TÍCH HỢP
2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp
2.2

30
30

Bài toán Cauchy n,ω − đặt chỉnh

(

)

37

2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương

40

2.4 Một số ví dụ

50

KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo

58
59

MỞ ĐẦU
Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng. Nó
được áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khoa học như vật lý học, sinh học,
kỹ thuật, tài chính...
Khi xét bài toán này ta thường gặp các khả năng khác nhau về nghiệm

của nó. Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán Cauchy được gọi là đặt
chỉnh đều nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm này là duy nhất và nghiệm phụ
thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán.
Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quan
trọng trong việc giải quyết bài toán Cauchy cho các phương trình vi phân
tuyến tính trong không gian Banach với toán tử không bị chặn.
Luận văn nghiên cứu bài toán Cauchy trừu tượng dạng thuần nhất

u ' t = Au
( )
t ,
( )
trong đó

u 0 =
x,

( )

t≥
0,

(CP)

A: X → X là toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn trên không

gian Banach X và u

:

\ → X . Mục tiêu chính của luận văn nhằm trình bày
+

việc ứng dụng phương pháp

C0 − nửa nhóm và phương pháp nửa nhóm

n −lần tích hợp trên không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh của
bài toán Cauchy trên.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1 - Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của

C0 − nửa

nhóm. Đây là loại nửa nhóm đơn giản nhất trong số lớp các toán tử không bị
chặn và bài toán Cauchy tương ứng được đặt chỉnh đều. Từ đó đưa ra một số
ví dụ minh họa.
Chương 2 - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng của lớp nửa nhóm

C0 đó là
nửa nhóm n −lần tích hợp và nửa nhóm n −lần tích hợp địa phương bị chặn

mũ, không suy biến. Áp dụng phương pháp này để nghiên cứu

(

n,ω

)

tính

− đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình. Trong

chương này chúng tôi cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa dựa trên các
phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Hà
Tiến Ngoạn. Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian
qua thầy đã dành nhiều thời gian và công sức, tận tình giúp đỡ em trong suốt
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy phản biện, các thành viên Xêmina
thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho em để luận văn được hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường ĐHKHTN, các thầy Viện Toán học Việt Nam cùng các giáo sư nước
ngoài đã từng tham gia giảng dạy tại trường. Trong những năm qua thầy cô đã
tâm huyết truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu cho chúng em, giúp
em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt là kiến thức chuyên ngành cần thiết để
ứng dụng khi thực hiện luận văn.
Cuối cùng là lời cảm ơn đến cơ quan, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện
cho tác giả được đi học, động viên khích lệ và giúp đỡ về mọi mặt để tác giả
có thêm động lực học tập và hoàn thiện luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2011.

Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM
1.1 C0 − nửa nhóm
Cho X là không

gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1
(Định nghĩa nửa
nhóm liên tục mạnh)
Họ các t
trên
toán tử
≥ không
tuyến
gian
tính, bị
0 Banach
chặn

{

T (t),

}

X được gọi là C0 −
nửa nhóm (nửa nhóm
liên tục mạnh) nếu
(T1
T t
) (

+s

)

=T

∀s ≥ 0 .
t
,

t T
( )
s ,
( )
(T2
T (I là toán tử đồng
)
nhất).

(

0

)

=
I

( limT t x
( )
T= T t
3 x,
) t→t

∀x∈ t, t0 ≥ 0.
X,

(

0

tử

Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa toán tử sinh của
nửa nhóm liên tục mạnh)
Toán

A

( )

xác định

Ax := T

bởi

'

x,

0 x := lim

ρ Tập σ được gọi

là tập
),
A
phổ của
ký ( )
toán tử
hi ( = Ø \
ệu A

A: D A ⊂ X → X ,

tử được

chặn trên X ), được
gọi là tập các giá trị
chính quy của A (tập
giải của toán

T (h)− I

)

ρ

. A

( )

(
)

h→0

h

cùng với miền xác định

 '


D A = D T 0 := x∈ X

( ) ( )
( )
T h − I 

∃lim











x



,

h→0

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm



h



t≥0 .

}

liên tục mạnh T (t),

{

Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập
giải, tập phổ, giải thức)

A, là toán tử đóng trong không X , tập các

(

gian Banach

D
A

giá trị

(

))

λ ∈Ø sao cho λ I − A là song ánh (tức là λ I −
A

)

−1

(

)

là toán tử tuyến tính bị

(



A. Khi đó
A

)

(

λI−A

)

−1

:= R λ

( )

= R λ , với λ ∈ ρ

(

A

A

(

được gọi là giải
thức của A.

)

Mệnh đề
1.1.1
Đối
với
toán
tử
sinh A
của
nửa
nhóm
liên
tục
mạnh

{

t

t
≥a
c
0ó

}
,

T

(t),

A:

D là toán
tử tuyến
tính;

(
A

)

1

t

⊂
X
→
X

2. lim
T

∀
∈
X

t

s

∫ ( )
xds = x
;
(1.1.1)
0

3. Cho

x D A ,
( )
∈

ta có

T t x∈ D A và
( )
( )
dT t

(

)

(1.1.4) 1.
n
ế

Cu

với ∀t ≥ 0 ;
x = T (1.1.2)

t Ax

( )

= AT t

)
4.

x

T
(t
)

(

C
ta
x
h
c T s xds ∈ D A ;
( )
( )
o ∈ ó ∫(1.1.3)

X
∀
t ta

0

t

có

≥
0
,
5.

C
h
o

∀
t
≥
0

T
nế x∈ X ,
su
0

H
iể )
n
n
hi x
dên
,
2.y
d
t
o

l
iT
A m
(

là
to
án
tử
tu
yế
n
tí
n
h
và
d
o

tí
n
h
ch
ất
củ
a
gi
ới
hạ
n

x
−
h.

∀ ∀ li s
∫T x t m u
y
=
>
∈0
T r
.
a
XV
( ì (t
,
)x
s

=
x
t
→
+
0

)

x
d
s
,

t

0

∀
ε ∃δ
>
>0 :
0
0< t
,<

δ

s
uT <

y
r (
at

) 2.
x

h

x =→

−

(

x

)

0+

h

ε

Theo định nghĩa > 0 tồn tại phân hoạch của
tích phân, ∀ε

[

0,t

]

s0 = 0 < s1 < ... < sn = t sao cho
t

≤

T s xds

∫− ( T ) α
∑ ( )
x⊗s

i = 1, n .
n

−s

,

i

Với ∀t : 0

α ∈

t,

s

i

0

ε

với

i
i−1
i

2

[

i
=
1

t
a
c
ó

t

n
t
1
11
T s xds − x ≤
T s
t
t
∫xds −( ) T α x⊗s ∫ ( )
i
t ∑ ( i)

n



1
t
∑
T αi

)

(

x⊗si
−x

0
i=1

<
+

0

ε 1

∑2

i=1

ε = εn .
x−
<
α x) ⊗s
ε
+
(
T

i

i

2
t
1

2

i=1

t
Từ đó
suy ra

li =
T
m lim ∫0
t→
y
t→
+
0

0

t

+

s xds = x.

( )

t

3.

x từ định nghĩa
∈ của toán tử sinh
D A suy ra

(
A
,

)
lim T (t
+ h) x
− T (t )
x=T t

(

lim T
(h) x −

)

x=T t

)

Ax .

(

h

)

x

A
(
)

h→

(

h
T

(
t

4. V
ới x∈ X ,
m ∀t ≥ 0
ọi

1

)

x∈
D

(

ta có


T s xds − t T s xds
( )
( ) 
 ( )
1
 t
0∫
0∫ 1 t h

=
T h + s xds − T s xds
)
∫ (
∫ ()
h
h
= 1 0t + h T s xds − 1 t0T s xds
( )
( )
=1
−1

T h

∫

t hT
tT

∫t

tồn tại.
ta
Theo
có
T định
D
V
nghĩa
ậ lim
y h T của

−T t

v
à

t

∫

s xds + 1 t0+hT s xdsh− 1 hT s xdsh
( s ) xds
( )
( )
( )

= 1 t+hT

h→0+

( )

)

h

h

( )

( )

∫

h→0+

(t ) x

AT t x = T t Ax .

A

∫
∫t

h

∫

h

h

0

h

s xds − 1 hT s xds
( )
( )

∫

0

h

h

= 1 hT

(

t + s xds − 1 hT s xds
)
( )

∫
∫
h0+→
h0
h0
= T t 1 hT s xds − 1 hT s xds → T t khi
x −( x)
( )
( )
(

(Do (1.1.1)).

)

∫

∫

h0

h0

t

t

Suy ra T s xds ∈ D

∫ ( )
A và
0 )

5. Nếu x∈ D

A ,

(

(

T t x−x=A T
( )
(
s xds
∫

)

0

s→T s

( )

x−x

với ∀x∈ X .

hội tụ đều trên 

T (h)



0,t




đến hàm

h

)

s → T s A khi h →
( ) (
0+
Do vậy x
)
Ts xds

t x=− x = A T
t
( )( )

(do T s ≤ M ∀s ∈  0,t  ).

()



,



lim

T h T s xds − T s xds
( )
( )∫ ( )
∫
∫
t


h→0+

1
h
= lim 1 T h − I t T s xds = lim
0

 T s 1 T h − I xds

(
)
()
( )
(
)
∫
∫
h→0+
h→0+
)
)
h(
h (
t

0

t
0

0

= T s Axds.

∫

0

( )
t

Vậy

T t x−x= T s
( )
( ) với ∀x∈ D A .
Axds ∫
( )
0

t≥
Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh T (t), 0 ,

Mệnh đề 1.1.2

{

}

ta có

t



1.

T t T s =T s T t

( ) ( )

)
2.

với

( ) (

∀t, s ≥ 0 ;

T là toán tử bị chặn mũ, tức là:
∃K ≥1, ω
∈\,

T t ≤ Keωt ;
(

∀t ≥ 0
:

(1.1.7)

)

3.

D( A) =
X

4.

Với ∀λ ∈Ø: Re λ > ω, ∃ λ I − A

và A là toán tử đóng;

∞

(

λ

RA λ x = e− tT t
(
( ) ∫
xdt,
)
0

)

−1

:= R

λ và

( )

x∈ X
.

A

(1.1.8)

t≥0

Chứng minh
1.

Do T

(t),

{

là

}

C0 − nửa nhóm, từ điều kiện (T1) của Định
nghĩa 1.1.1 ta dễ dàng chứng
minh tính giao hoán của

T và

T
t
( h

) ( )

v
ớ
i

∀h T t T h = T t + h
( ) ( )
t
( ) với h ≥ 0 .
≥
∀t,
,
0, =T h+t =T h T

(

)

( )

t ,

( )
2.

V
ì

T t x liên tục

( )

với

mọi

x∈ X

t
r
ê
n







0,1



nên

{

T t
( ) là tập bị chặn. Theo nguyên lý bị

x,t∈

chặn đều ta luôn có

0,1






}

T

v ∀τ : 0 ≤τ T =1
τ ớ ≤1 và vì
0 suy
( ) i
( ra

≤

K
Với

)
ta có thể viết dưới n

∀t ≥
dạng t = n +τ ,
0
ta có

K ≥1.

∈
Æ,

0 ≤τ <1,

T∀t
.

(
)3.
=

T

(

n
+

τ
)

=
T

và toán tử sinh A của nó là
toán
tử tuyến tính. Ta phải chứng minh:

{
T

T

(
)
và
T t

( )=
T

(

n
T

= ≤ T

≤
T
T
n+1
1
K

(

(

n

1

) ) (
τ T τ )n
( τ
) (
) )

=ω = ln K ,
Ke

Giả sử lấy
sao x → Axn ta phải
dãy xn ⊂ cho n
{ }
x và → chứng

(
t
)
,
t

y

D A

( )

m
i x∈ D Ax = y.
n A
≥
h ( )
và

0

}

(

n

a. A là toán tử đóng

Do

(1.1.5
) ta có

t

T t x −
( )
x = Tn
sn Ax∫ ds,

()

l
à

C Do T
0

− (•)
Ax
n
ử
a

n
h
ó
m

hội tụ

đều
trên




n

0

( T ≤ ∀s∈  0,t  ).

M
0, ( s ) ,
t


n



t ≥ 0.





t

Cho n →∞ ta có
suy ra

T t x − x = T s yds

∫ ()

( )

1

,

0

T t x−x =

( ( )

)

1t

T

t

s yds,

()

0

t

1
Cho t thì giới hạn vế phải
→ 0+ tồn tại và

T s yds
suy ra giới
()
→
∫ y,
hạn vế
t

0

trái tồn tại và
hội tụ tới

A suy x∈ D Ax = y. Vậy A
( đóng.
x, ra
A và

)

b. D( A) = X

1t

Thật vậy, do
(1.1.3) ta có

do (1.1.1) ta có

T s xds

()

∈D A ,

( )

0

lim 1 t T
D( A)
Su = X .

s xds = x,

t

∀x∈ X .

()

t→0+

0

y
ra

∀λ
∈Ø: Reλ >
ω,
4.

∃ λI− R λ
A

(

A

và
∞

−1

)

=:

RA λ
( )

x= e

∫

( )

−
T t
( )
xdt,

t

0

)

x∈
X.
T

' t

( )

∀
x
∈

bị chặn mũ
ừ suy ra tích
phân vế
( phải luôn
1 tồn tại với

( )

xdt . ∫

0

0
0

e−λtT ' t xdt = e−λtT

( ∞)
∫(t ) x +∞ + λ e−λtT (t )
xdt∫

0

0

1

= −x + λ

.

∫

Lấy tích phân từng phần

X
,

.

xdt = A e−λtT t xdt = e−λtT

e−λtT t xdt.

∫

0

7

∞

( )

)

T

(
t

)
∀λ ∈Ø , Reλ >
ω . Với ∀x∈ D
A và do A là

( )

toán tử đóng ta
có

∫e−
λt
A
T

(

t

∞

0

∞

Thác triển liên tục trên toàn không gian X = D(

ta được

λ
I
−λ
−
t(e A
T )t
(
xdt
)x x,
=
X∈
.

A)

∞

∫(1.1.9)

M
ặ
t

0

k
h
á
c

l
ạ
i
c
ó

∫ x∈
e
tD
(
(A

(.

)

−

xdt
=
0

Từ (1.1.9) và (1.1.10)
suy ra sự tồn tại toán tử
bị chặn trên X

(1.1.
10)

∞

R

(

∞

λ RA λ x = x ∈ X .
e

: ∫T t xdt,

)

( 0)

=

(

( )

λ

)

và

0

( )0 ( )

nT

(

Cho là toán tử liên tục mạnh
sao cho

t

+s

∃ω ∀t T ≤ Keωt.
K∈ ≥
≥\, 0 ,
1,
(
t

)

=

T

(
)

)

t
T
s

( )

∞

,

R λ = e T t
( )
( )
dt, Re λ ∫> ω .

0
K (
hi
λ thỏa mãn phương trình giải thức
đ
ó

)

Ch
ứn
g
mi

nh
Cho

(

∫

mã

T

R

T

c
e

ả

Mệnh đề 1.1.3

Đ
ặt

L

∀s a
và At ≥ p
∞

∞
−µ s
chỉ , 0 . l R µ R λ = e
( −λ)t ( ) ∫
a
e T s T t dsdt,
nếu
tho

I−
−
A
1

nếu

µ−λ R

)

λ R µ
( ) (
=R λ
)
(
−R µ ,
) ( )

Re λ ,
Re µ

> ω,

(
1
.
1
.1
1
)

Re λ,

ta
Re µ >
c
ó ω , từ
Định lý
duy
nhất của
phép
biến đổi

−

−

R (λ ) − R ( µ ) ∞ (λ − µ )t
∞
− ( λ −µ ) t −λ t

= e
R λ dt − µ − λ 1 e
e T
t dt
( )
(
)

( )

∫

µ−λ
∞

∞

∫0

0

= e

∫

()

∫

= e(λ −µ )t e−λsT s dsdt

∫0

t

∞

∞

∫0

t

= e−µt e
∞

= e

∫0

R λ

Vậy

( )

∞

e

∫0

t

∫

0

0

()

∫

∞

T s dsdt

−λ s

T s + t dsdt

(

)

∫

( λ − µ )t

(

.

thỏa mãn phương trình giải
thức

R ( µ ) R (λ ) =
khi và chỉ khi

dsdt

( )−λs

−λ s−

()

∫

−µt

(λe − µT )st

∞

T s dsdt − e

e

0

R λ −R µ
( )
( )

T s T t = T s với ∀t, s ≥ 0 .
( ) ( )
(
+t
)

Định lý Hille-Yosida: (Đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co liên
tục)
Đối với toán tử

A

(

A, D

(

trên không gian Banach X , các tính chất

))

sau là tương đương
a.

(
A

A, D

))

(

sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh.

µ−

b.

A, D

(
A

có λ ∈ ρ

là toán tử đóng xác định trù mật

(

λ R λ,

đồng thời

(

(

A

)

(
A

với

A, D

D( A) =
X

và ∀λ ∈Ø

≤ 1.

)

là toán tử đóng xác định trù mật

(

))

Re λ
0

và ∀λ > 0 ta

))

A ,

c.

D( A) =
X

( )

> ta có λ ∈ ρ

đồng thời

(

A ,

)

R λ, A

(

)

≤

Re λ

( )

.

1

1.2 Bài toán Cauchy
Xét bài toán Cauchy

u ' t = Au
( )
t ,
( )

u 0 =
x,

( )

t≥
0,

(CP)
tro g

D

ng gi
đó a (

A

n

là

BA

toá a )
n

n

tử a ⊆
tuy c

X

ến h.

,

tín Đ
ịn
h, h
n
g
đó hĩ
a
ng 1.
2.
với 1
mi
ền
xá
c
địn
h
kh
ôn

∀
Τ∈
Τ
>\ .

X là
H
àu ( •) ∈ C1 { 0, ∞ ) , X } ∩ C


m

{  0,

B0
ổ,

∞ ) , D ( A) được gọi là

}

đ
ề

nghiệm
của bài toán
Cauchy (CP)
nếu u t

( )

thỏa mãn
phương trình
với ∀t ≥ 0

và
thỏ
a

mãn điều kiện

ban đầu với t =

0.

Định nghĩa
1.2.2
Bài toán Cauchy (CP)
được gọi là đặt chỉnh đều
n trên
ế
u

E E
⊂ (
X, =X

)

1. Luôn
∀x∈ E ;
tồn tại
nghiệ
m với

 >
∀t ∈ 0,Τ 0,



,

3. Nghiệm ổn định
đều đối với điều
kiện ban đầu

Giả sử
ρK∀tồ
h xn
i ∈tại
(đ và
ó Ddu
y
An nh
ế ất
(
)u ng
hi
v ệ
ớ Am
≠i

)

.

2. Nghiệm là
Τ Τ∈\ ;
duy nhất với

u