Đề thi Olympic 30 tháng 4

Đề Thi Lớp 10 Olympic Miền Nam 30-4 năm 2008
Môn : Toán
Thời gian : 180 phút
Câu 1:
⎧x + y − z = 7
Giải hệ phương trình : ⎪⎨ x 2 + y 2 − z 2 = 37
⎪ x3 + y 3 − x3 = 1
⎩

Câu 2:
Cho tam giác ABC có diện tích S .Gọi M , N , K là các điểm nằm trên BC , CA, AB sao cho :
uuur uuuur
uuur uuur
uuur uuur ur
30MB + MC = 4 NA + NC = 14 KA + KB = O . Gọi D, E , F lần lượt là các giao điểm của các đoạn thẳng
AM và CK , AM và BN , CK và BN . Tính S ΔDEF theo S .
Câu 3:
Chứng minh rằng ∀n ∈ N * và x ∈ ( 0,1) , ta luôn có bất đẳng thức : x 2 . n 1 − x ≤ ⎛⎜

2n ⎞ 1
⎟
⎝ 2n + 1 ⎠ n 2n + 1

Câu 4:
Tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho : ∀a ∈ Z , ∀b ∈ Z , a 2 ≡ b 2 (mod m) ⇒ a = ±b(mod m)
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường tròn : (C1 ) : x 2 + y 2 = 2 và (C2 ) : x 2 + y 2 = 5 và
điểm A(0;1) . Xác định tọa độ điểm B trên (C1 ) và C trên (C2 ) sao cho SΔABC đạt giá trị lớn nhất .

Copyright by Nguyễn Trần Thi
ĐH Sư Phạm TPHCM

Đề Thi Lớp 11 Olympic Miền Nam 30-4 năm 2008
Môn : Toán
Thời gian : 180 phút

Bài 1:
⎧⎪2 x + 2 = 3 y − 3 y
Giải hệ phương trình : ⎨ x
y
⎪⎩3 + 3 x = 2 − 2

Bài 2:
Cho dãy số U n được xác định bởi :
Chứng minh rằng : U1 + U 2 + ... + U 2008 <

(

)

n +1 + n Un =

2
với n ∈ N * .
2n + 1

1004
1005

Bài 3:

Cho tứ diện OABC vuông tại O . M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC . Tìm giá trị lớn
nhất của :

MA2 MB 2 MC 2
+
+
OA2 OB 2 OC 2

Bài 4:
Cho phương trình x + 2 x 2 + 3 x 3 + ... + nx n =

3
4

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất xn > 0
b) Chứng minh rằng tồn tại lim xn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
n →∞

Bài 5:
Tìm hàm số f : Z → R + thỏa mãn : f (m − 1) f (m) + f ( m) f (m + 1) ≥ 2 f (m − 1) f (m + 1)

Copyright by Nguyễn Trần Thi
ĐH Sư Phạm TPHCM