ON THI CAO HOC TOAN CC 1 Bai_Tap_Vi_phan

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:
a)

y '− y − 3 y + 4 = 0

b)

(1 + e ) y dy = e dx

c)

y' = 2 x + y − 3

d)

xydy − y dx = ( x + y ) dx

e)

2

2x

2

x

2

2

3
y '− y = x cos 2 x
x

thoả
đầu

ĐK

y ( 0) = 0

2

1


f)

x y y '+xy = 1

g)

(3 y + 2 xy + 2 x)dx + (6 xy + x + 3)dy = 0

2

2

3

2

h) ( x sin

2

y + y cos y )dx + ( x cos y − y sin y )dy = 0

2. Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau:
a)

3x
′
′
y − 2 y '+4 y = e ( x + 2)

b)

y′′ − 5 y '+6 y = 13 sin 3 x

c)

−4 x
−x
′
′
y − 3 y '−4 y = e + xe

d)

x y′′ − 3 xy + 5 y = 3 x
2

2
2


PHẦN HƯỚNG DẪN GiẢI BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1) Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:
a. Đưa về dạng phương trình tách biến:
ĐS: Nghiệm tổng quát:

Trường hợp:

y = 1 + 4ce5 x
1 − ce

y = 1, y = −4

5x

(Nhận)
3


b. Đưa về dạng phương trình tách biến:
2

y

x
ĐS: Nghiệm tổng quát:
= arctg e + c
3
3
y
x
π
Nghiệm thoả ĐK y (0) = 0 là
= arctg e −
3
4
c. Đưa về dạng phương trình tách biến:
ĐS:

2 2 x + y − 3 − 4 ln(2 + 2 x + y − 3) = x + c
4


d. Đưa về dạng phương trình đẳng cấp:
ĐS:

y
x
ln 1 + +
= ln x + c
x x+ y

Trường hợp:

 x=0

 y = −x

(Nhận)
(Nhận)

e. Đây là phương trình tuyến tính cấp 1:
ĐS: Nghiệm tổng quát:

1
x

y = x  sin 2 x + cos 2 x + c ÷
4
2

2

5


f. Đưa về dạng phương trình Bernouli:
ĐS: Nghiệm tổng quát:

2
3
1
y = 3 ( x + c)
x 2

3

g. Đây là phương trình vi phân toàn phần:
Nghiệm tổng quát:
h. Thừa số tích phân:

3y x + x y + x + 3y = c
2

2

H ( x) = e

2

x

Nghiệm tổng quát:

e ( x sin y + y cos y ) − e sin y = c
x

x

6


2.Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau:

y = y+ y

a.Nghiệm tổng quát:

∗

⇒ y = e (c1 cos 3 x + c2 sin 3 x) + e ( 1 x + 10 )
7 49
x

3x

y = y+ y

b. Nghiệm tổng quát:

∗

5
1
⇒ y = (c1e + c2e ) + ( cos 3x − sin 3x)
6
6
2x

3x

7


c. Nghiệm tổng quát:

y= y+ y + y
*
1

*
2

1 −4 x
x
1
⇒ y = (c1e + c2e ) +
e − ( + ).x.e− x
24
10 25
−x

4x

d. Đây là phương trình Euler

t = ln | x |

Nghiệm tổng quát:

y = x (c1 cos(ln | x |) + c2 sin(ln | x |)) + 3 x
2

2

8


9