Thuat toan floyd tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trên đồ thị vô hướng

1. Mục đích của Floyd-Warshall Algorithm (viết tắt là F-W Algo.) là tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi
cặp đỉnh trên đồ thị vô hướng không có chu kỳ âm dựa trên khái niệm “các đỉnh trung gian”.
2. Khái niệm trung tâm của F-W Algo. là “các đỉnh trung gian”.”
3. Định nghĩa: Ký hiệu p=(x1, x2,…, xk)là đường đi từ x1 đến xk thì mọi đỉnh x2,…,xk gọi là các đỉnh
trung gian trên đường đi p từ x1 đến xk.
4. Ý tưởng chính của F-W Algo. là: Cho V={1, 2,…, n} là tập đỉnh của đồ thị và tập đỉnh U={1, 2,…,
k}. Xét cặp đỉnh i,j và mọi đường đi có thể từ i đến j với các đỉnh trung gian chỉ là các đỉnh thuộc tập
U. Gọi p là đường đi ngắn nhất từ i đến j với các đỉnh trung gian thuộc U. Khi đó ta có hai tình huống
sau:
a. Nếu k không là đỉnh trung gian trên đường đi từ i đến j thì đường đi ngắn nhất từ i đến j có các
đỉnh trung gian là {1, 2,…, k-1} cũng là đường đi ngắn nhất từ i đến j với các đỉnh trung gian là {1, 2,
…, k}
b. Nếu k là một đỉnh trung gian trên đường đi từ i đến j thì ta tách đường đi p thành hai đoạn con là
p1 đi từ i đến k và p2 đi từ k đến j. Các đoạn đường con p1, p2 là các đường đi ngắn nhất với các đỉnh
trung gian là các đỉnh
hệ thức sau:

{1, 2,…, k-1}. Từ đó suy ra cách xác định độ dài của đường đi từ i đến j nhờ

c.

Trong đó dij là độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j; wij là trọng số trên đường đi ij.
Từ hệ thức trên ta thấy: để xác định độ dài đường đi ngắn nhất dij{1..k} từ i đến j qua các đỉnh
tập {1, 2,…, k} ta chỉ cần dựa vào dij{1..k-1} (đường đi ngắn nhất từ i đến j qua tập đỉnh 1… k-1).∈
5. Đến đây ta có thủ tục mô tả ý tưởng chính của F-W Algo:
Procedure F_W;
{Đoạn chương trình khởi trị cho các biến}
Begin
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do
d[i,j]:=w[i,j];

trọng sô w[i,j] }
nhất đến j}
End;

{Trị ban đầu của biến lưu đường đi ngắn nhất là

p[i,j]:=i; {Ghi nhớ đỉnh i đứng trước j có đưưòng đi ngắn


{Đoạn chương trình mô tả F-W Algo.}
Begin
For k:=1 to

n do

For i:=1 to n

do

For j:=1 to n do
If

di,j]>d[i,k]+d[j,k] Then
Begin
d[i,j:=d[i,k]+d[j,k];

nhất từ i đếnj}

p[i,j]>p[k,j];

{k là đỉnh trung gian trên đường ngắn

End;
End;

6. Cài đặt trực quan (trên ngôn ngữ Pascal) cho F-W Algo. (Cài đặt này đã dùng trong nhiều năm
liền để cho sinh viên CNTT một số trường công, tư lập từ Hà nội đến Đồng Hới thực hành thành công
thuật toán F-W)
PROGRAM FLOYD_WARSHALL;
USES CRT,GRAPH;
CONST R=15;DL=500;N=5;VC=200;VOCUC=10000;
C:ARRAY[1..5] OF INTEGER=(240,460,350,130,20);
D:ARRAY[1..5] OF INTEGER=(20,240,460,460,240);
EC:ARRAY[1..10] OF INTEGER=(350,276,204,130,405,295,240,240,185,75);
ED:ARRAY[1..10] OF INTEGER=(130,166,166,130,360,360,240,460,360,360);
VAR

G,A,P:ARRAY[1..N,1..N] OF INTEGER;
DAU,CUOI:INTEGER;

(*-----------------------------------------------------------------------*)
PROCEDURE INITGR;

{KHOI TAO DO HOA}

VAR GD,GM:INTEGER;
BEGIN
GD:=DETECT;
INITGRAPH(GD,GM,'..BGI');

IF (GRAPHRESULT<> GROK) THEN
BEGIN
WRITELN('LOI KHOI TAO DO HOA, GO ENTER KET THUC !');
READLN;
HALT(1)
END
END;
(*-----------------------------------------------------*)
PROCEDURE VENUT(U,M1,M2:INTEGER);

{Ve cac dinh do thi}

VAR ST:STRING[3];
BEGIN
SETFILLSTYLE(1,M2);
SETCOLOR(M1);
FILLELLIPSE(C[U],D[U],R,R);
STR(U,ST);
OUTTEXTXY(C[U]-2,D[U]-2,ST);
END;
(*-------------------------------*)
PROCEDURE LINK(X,Y,M1,M2:INTEGER);
VAR T:INTEGER;ST:STRING[3];
BEGIN
SETCOLOR(M2);
LINE(C[X],D[X],C[Y],D[Y]);
T:=Y-X+((X-1)*(2*N-X)) DIV 2;
STR(G[X,Y],ST);
SETCOLOR(M1);

OUTTEXTXY(EC[T],ED[T],ST);
END;
(*-------------------------------*)

{Noi cac dinh}


PROCEDURE INIT_GRAPH; {Tu dong tao cau truc do thi mot cach ngau nhien}
VAR I,J:INTEGER;
BEGIN
RANDOMIZE;
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN
G[I,I]:=0;
FOR J:=I+1 TO N DO
BEGIN
IF RANDOM(2)=1 THEN G[I,J]:=10+RANDOM(VC-10)
ELSE G[I,J]:=VOCUC;
G[J,I]:=G[I,J]
END;
END;
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN
J:=0;
REPEAT
J:=J+1
UNTIL ((G[I,J]>0) AND (G[I,J]
IF (J=N) AND ((G[I,N]=0) OR (G[I,N]=VOCUC)) THEN
BEGIN
J:=1+RANDOM(N);

IF J=I THEN IF I
G[I,J]:=10+RANDOM(VC-10);G[J,I]:=G[I,J]
END;
END;
END;

(*--------------------------------------------------*)
PROCEDURE DEMO;

{Ghi cac thao tac ra man:}


VAR K:CHAR;I:INTEGER;
BEGIN
SETFILLSTYLE(1,BLUE);
BAR(480,0,GETMAXX,GETMAXY);
SETCOLOR(YELLOW);
OUTTEXTXY(500,30,'Nhap Hai Dinh:');
OUTTEXTXY(500,60,'Dinh Dau, Cuoi');
SETCOLOR(WHITE);
OUTTEXTXY(500,105,'Dau=');
REPEAT K:=READKEY;VAL(K,DAU,I) UNTIL I=0;
OUTTEXTXY(540,105,K);
OUTTEXTXY(500,150,'Cuoi=');
REPEAT K:=READKEY;VAL(K,CUOI,I) UNTIL I=0;
OUTTEXTXY(548,150,K);
OUTTEXTXY(490,270,'Go Space Tim Tiep...');
SETCOLOR(YELLOW);
OUTTEXTXY(490,320,'Go Enter Tao Moi...');
SETCOLOR(RED);

OUTTEXTXY(490,370,'Go Esc Ket Thuc !');
END;
(*--------------------------------------------------*)
PROCEDURE PRINT_GRAPH;

{In do thi}

VAR I,J:INTEGER;
BEGIN
SETBKCOLOR(BLUE);CLEARDEVICE;
SETFILLSTYLE(1,DARKGRAY);
BAR(0,0,GETMAXY,GETMAXY);
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN


FOR J:=I+1 TO N DO
IF (G[I,J]>0) AND (G[I,J]
VENUT(I,YELLOW,BLUE);
END;
END;
(*---------------------------------------------------------*)
PROCEDURE FLOYLD_WARSHALL;

{Thuat toan Floyld_Warshall}

VAR I,J,K:INTEGER;
BEGIN
FOR I:=1 TO N DO
FOR J:=1 TO N DO

BEGIN
A[I,J]:=G[I,J];
P[I,J]:=0;
END;
FOR K:=1 TO N DO
FOR I:=1 TO N DO
FOR J:=1 TO N DO
IF A[I,K]+A[K,J]
BEGIN
A[I,J]:=A[I,K]+A[K,J];

{Day la duong di min}

P[I,J]:=K;

{Ghi nho dinh k vao mang P}

END;
END;
(*------------------------------*)
PROCEDURE SEARCHD(D1,D2:INTEGER);
VAR ST:STRING[20];
BEGIN
IF P[D1,D2]=0 THEN
BEGIN


VENUT(D1,BLUE,YELLOW);DELAY(DL);
VENUT(D2,BLUE,YELLOW);DELAY(DL);
END ELSE

BEGIN
SEARCHD(D1,P[D1,D2]);
SEARCHD(P[D1,D2],D2);
END;
END;
(*-----------------------------------------------*)
PROCEDURE SEARCH;
VAR ST:STRING[20];
BEGIN
IF A[DAU,CUOI]=VOCUC THEN ST:='Khong Co Duong Di !' ELSE
BEGIN
STR(A[DAU,CUOI],ST);
ST:='Min = '+ST;
SEARCHD(DAU,CUOI);
END;
SETCOLOR(RED);
OUTTEXTXY(490,210,ST);
END;
(*-------------------------------------------------------*)
PROCEDURE TRAVERSE;
VAR K:CHAR;
BEGIN
IF KEYPRESSED THEN
REPEAT K:=READKEY UNTIL NOT KEYPRESSED;
REPEAT
INIT_GRAPH;


FLOYLD_WARSHALL;
REPEAT

PRINT_GRAPH;
DEMO;
SEARCH;
K:=READKEY;
UNTIL (K=#27) OR (K=#13);
UNTIL (K=#27);
END;
(*--------------------------------------*)
BEGIN (* CHUONG TRINH CHINH *)
CLRSCR;
INITGR;
TRAVERSE;
CLOSEGRAPH;
END.