Luận văn giá trị của hàm zeta riemannn

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
s ư PHẠM
HÀ NỘI
• HỌC
•
•
• 2
===8dBŨIcs===

PHẠM THỊ PHƯỢNG

GIÁ TRỊ CỦA HÀM ZETA RIEMANN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.s N g u y ễn V ăn H ào,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn
thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,
các giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 nẫm 2015
T ác g iả

P hạm T hị Phượng


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của T S . N g u y ễn V ăn H ào.

Tôi xin cam đoan luận văn “G iá t r ị c ủ a h à m z e ta R ie m a n n ”
không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.
Hầ Nội, tháng 7 năm 2015
T ác giả

P hạm Thị Phượng


M ục lục

M ở đầu

2

1 K iến th ứ c ch u ẩ n b ị

3

1.1 Số phức và mặt phẳng p h ứ c ...............................................

2

3

1.1.1

Xây dựng tập hợp số p h ứ c ....................................

3

1.1.2

Một số khái niệm về topo trên mặt phẳng phức

5

1.1.3

Hàm chỉnh h ìn h .......................................................

6

1.1.4 Chuỗi lũy t h ừ a .......................................................

8

1.1.5

Tích phân p h ứ c .......................................................

12

1.1.6

Không điểm, cực đ i ể m ...........................................

22

1.1.7 Thặng dư của hàm biến p h ứ c ..............................

26

1.2 Hàm g am m a..........................................................................

31

M ộ t số vấn đề về g iá t r ị c ủ a h à m z e ta R ie m a n n

37

2.1 Hàm zeta R ie m a n n ..............................................................

37

2.1.1

Khái niệm về hàm zeta Riemann

.......................

2.1.2

Một số công thức biểu diễn khác của hàm zeta

37

R iem a n n ...................................................................

38

2.1.3 Thác triển của hàm zeta R iem ann.......................

40

iii


2.2

2.3

Vấn đề về giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm
nguyên dương c h ẵ n .............................................................

46

2.2.1

Biểu diễn gốc của số B ern o u lli.............................

46

2.2.2

Biểu diễn số Bernoulli từ hàm giải t í c h .............

48

2.2.3

Đa thức B ernoulli...................................................

51

2.2.4

Một số tính chất của đa thức B e rn o u lli.............

51

2.2.5

Kết quả của Euler

52

2.2.6

Mối quan hệ giữa ((h) và B k

................................................
.............................

53

Giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm nguyên dương 55

iv


Mở đầu
1. L ý do ch ọ n đ ề tà i. Hàm zeta Riemann là một trong những hàm
quan trọng và có sức cuốn hút rất lớn đối với giới Toán học. Nhà toán
học L. Euler là người đầu tiên giới thiệu hàm này, nó được định nghĩa
bởi chuỗi
n= 1
Chuỗi này hội tụ khi s là số phức với Re(s) > 1.
Năm 1734, Euler đã khám phá ra một sự kiện đáng kinh ngạc, ông
tuyên bố rằng đã xác định được tấ t cả các giá trị C(2), C(4), C(6)> ••••
Thêm nữa, ông cũng đã khám phá mối liên hệ đẹp đẽ giữa các số
nguyên tố với hàm C(s)- Tuy nhiên, giới Toán học đương thời khi đó
chưa đánh giá cao về sự kiện này. Mãi đến năm 1859, qua sự thác triển
hàm này lên toàn m ặt phẳng phức

c trừ ra tại s = 1 của nhà toán học

Riemann, các nhà Toán học mới thực sự thấy được tầm quan trọng
của vấn đề trên đây. Thậm chí tới tận ngày nay, việc nghiên cứu hàm
zeta Riemann vẫn còn chứa đựng nhiều sự huyền bí. Điều này, ta có
thể nói ngay đến việc ngoài các không điểm tầm thường của hàm này
tại —2, —4, —6,... thì sự phân bố của các không điểm khác vẫn chỉ ở
mức độ mang tính phỏng đoán. Đây là một trong bảy giả thuyết của
Riemann, mà đến nay vẫn chưa giải quyết được.
Ngoài vấn đề trên đây, hiện nay người ta cũng rất quan tâm đến việc
tính giá trị của hàm zeta Riemann, đã có một số phương pháp tính
các giá trị của hàm C(2n). Chẳng hạn, ta có thể kể đến phương pháp
khai triển chuỗi Fourier, dùng tích vô hạn, dùng một số phương trình
1


hàm, dùng thặng dư của hàm biến phức. Tuy nhiên, việc tính giá trị
của hàm zeta Riemann với số mũ lẻ C(2ft + 1) vẫn còn là vấn đề hiện
được các nhà Toán học quan tâm và cũng chưa có được các kết quả
đẹp như giá trị của C(2n). Năm 1979, Apéry [1], chứng minh được
rằng các giá trị C(2) và C(3) là các số vô tỷ. Gần đây hơn năm 2001,
Zudilin [8] cũng đã chỉ ra rằng các giá trị C(3), C(5), C(7), C(9), C (ll)
cũng là các số vô tỷ.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về giá trị của hàm zeta Riemann
tại các số nguyên dương lẻ, nên tôi đã chọn đề tài “G iá t r ị c ủ a h àm
z e ta R ie m a n n ” .
2. M ụ c đ ích n g h iê n cứu. Tìm hiểu một số vấn đề về hàm zeta Riemann. Giới thiệu một phương pháp tính giá trị của hàm zeta Riemann
tại các số nguyên dương lẻ.
3. N h iệm v ụ n g h iê n cứu. Nghiên cứu các giá trị của hàm zeta
Riemann tại các số nguyên dương lẻ.
4. Đ ối tư ợ n g và p h ạ m vi n g h iê n cứu. Trình bày một số kết quả

nghiên cứu về hàm zeta Riemann và một số kỹ thuật tính tổng của
hàm này.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứu. Sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu.
6. Đ ó n g góp c ủ a đề tà i. Trình bày một số phương pháp tính giá
trị của hàm zeta Riemann. Đặc biệt, việc tính giá trị của hàm này tại
các số nguyên dương lẻ.

2


Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

số phức và mặt phẳng phức
X ây d ự n g tậ p hợp số p h ứ c

Số phức là số có dạng 2 = X + iy, với ĩ , Ị / ẽ I với ỉ là đơn vị ảo mà
i2 = —1. Ta gọi X là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu lần lượt bởi
X = Rez; y = ĩmz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi

c và được đồng nhất với mặt

phẳng M2 bởi phép tương ứng

c
z = X + ỉy

R2
(x, y).

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng ỉ2 = —1. Ta có

3


Z ị + Z 2 = {xi + x 2) + i{yx + y2y,
và
Z1 .Z2 =(xi + iyi){x2 + iy2)
=XiX2 + i x xy2 + iyiX2 + i2y m
= {XịX2 - 2/12/2) + i{x 1Ỉ/2 + ỉ№ ) .
Với mỗi số phức z = X + «y, ta xác định modul của số phức z là giá
trị \z\ = \ / X1 + y2. Số phức liên hợp của số phức z = X + iy được ký
hiệu và xác định bởi z = X — iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra
được các mối liên hệ dưới đây

và
1
z

|2 5

UI2’ *

với z Ỷ 0.

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực
z = r.eiớ; với r > 0,0


Trong đó r là modul và 6 được gọi là argument của số phức z và ký
hiệu là ãĩgz (argument của số phức z được xác định một cách duy
nhất với sự sai khác một bội của 2 t ĩ ) . Argument của số phức 2 thỏa
mãn 0 < arg2 < 2tĩ được gọi là argument chính, ký hiệu là ph,z. Ta có
4


eie = cosỡ + ỉ sin в.
Bởi vì IeíớỊ = 1, nên r = \z\ và 9 là góc hợp bởi chiều dương của trục
Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối
cùng, ta lưu ý rằng nếu z — r.eie và w — s.eiỉp thì Z.W — r.s.e^ö+v^.
1.1.2

M ộ t số k h á i n iệm về to p o tr ê n m ặ t p h ẳ n g p h ứ c

Cho zữ e с và r > 0. Ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp
Đr(z0) = {z € С : \z - z0\ < r} ;
đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp
D r(z0) = {z G С : \z —z0\ < r}.
Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn
D r{z0) = {z G С : \z —ZQ\ < r} .
Đĩa mở có tâm zữ = 0 và bán kính r = 1 gọi là đĩa đơn vị, ký hiệu là
Đ r(z0) = {z G С : \z - ZQ\ < r}.

Cho tập íĩ С С, điểm zữ E íĩ được gọi là điểm trong của íĩ nếu tồn

tại r > 0 sao cho Dr(z0) с íì. Phần trong của íì kí hiệu là intíĩ gồm
tấ t cả các điểm trong của íỉ. Tập íỉ là tập mở nếu mọi điểm của nó
đều là điểm trong.
Tập íì được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó c \ í ĩ là mở. Điểm
z £ С được gọi là điểm giới hạn của tập íĩ nếu tồn tại một dãy các
điểm zn £ íĩ sao cho zn Ф z và lim zn = z. Chúng ta có thể kiểm tra
ĩl—
>00
5


được rằng một tập Гì là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.
Bao đóng của tập гì là hợp của ri và các điểm giới hạn của nó, được
ký hiệu là ri. Biên của ri được kí hiệu và xác định bởi ỡfì = íẠ intíỉ.
Tập Q là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho
\z\ < M ; với mọi z £ ri.
Nếu tập Qlà bị chặn, thì ta xác định đường kính của nóbởi số
diam (rỉ) = sup { \ x — y\ : X, y G ri} .

Tập Q được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Q с

с

được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng
fil và ÍỈ2 sao cho

= fil и ÍỈ2 và fil П ÍỈ2 = 0- Một tập mở liên thông

trong С được gọi là một miền. Tập đóng F là liên thông nếu không
thể viết F = Fl u F2; ỏ đó Fi và F2 là các tập đóng rời nhau.

1.1.3

H à m ch ỉn h h ìn h

Cho hàm phức f ( z ) xác định trên tập mở Q. Hàm f ( z ) được gọi là
C —khả vi tại điểm z0 € íỉ nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f ( z 0 + h) - f ( z 0)
h

(1.1)

khi h —»0, ở đ ó O ^ / i ẽ C với z0 + h G ri. Giới hạn trên được ký hiệu
bởi ĩ ' (^o) và gọi là đạo hàm phức của hàm f ( z ) tại điểm z0. Như vậy,
ta có
f ' ( z 0) = lim

f ( z 0 + h) - f { z 0)
h

6


Hàm / được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm zữ €

nếu tồn tại đĩa

mở nào đó Dr(z0) С íỉ sao cho / là C —khả vi tại mọi điểm thuộc đĩa
đó. Hàm / gọi là chỉnh hình trên

nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm

của Q. Nếu M là tập đóng của c , ta nói / là chỉnh hình trên M nếu
/ là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M . Hàm / chỉnh hình
trên С được gọi là hàm nguyên.
Hàm f ( z ) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong с và
f ' ( z ) = 1. T hật vậy, ta có
/((

J = Ịi / ( * + h) - / Ы
h^ữ
h

=

(z + h ) - z = L
/ỉ->0
h

Từ đó, ta suy ra đa thức P ( z ) = aữ + a\Z + ... + anzn

chỉnh hình trên

mặt phẳng С và
P'{z) = Й1 + 2a2z + ... + nanz n~1.
Trong khi đó, hàm f( z ) = z là không chỉnh hình trên toàn mặt phẳng.
Thật vậy, ta thấy
f ( z 0 + h) — f ( z 0)

z + h —z

Z + h —z

h

h

h

h

h

không có giới hạn khi h —»■0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f ( z ) là chỉnh hình tại zữ € Q nếu và
chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho
f ( z 0 + h) - f ( z ữ) = a.h + h.ip(h);

(1 .2)

với Ф{К) là một hàm xác định khi h đủ nhỏvà lim Ip(h) = 0. Dĩ nhiên,
h-ị 0

ta có а = f ' ( z 0).

7


Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm
hai biến có sự khác biệt đáng kể. Như ta đã thấy hàm f ( z ) = Z không
khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ

F : (x , y ) —»■ ( x , —y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo
hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức
Jacobian của nó, ma trận 2 x 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa
độ. Mối quan hệ giữa hai khái niệm khả vi đó được phản ánh qua kết
quả dưới đây
Đ ịn h lý 1.1.1. (Điều kiện Cauchy - Riemann). Điều kiện cần và đủ
để hàm phức f ( z ) = u(x, y ) + iv(x, y ) khả vi tại điểm z = X + ỉy ỉà
tại điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng liên tục của các hàm u ( x , ỳ)
và v ( x , y); đồng thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy Riemann
du
dv
ỡỉi,
ú ( x ' v ) = d y {x' v)' d y (x' v ) =
1.1.4

dv
d x (x' v)-

C h u ỗ i lũ y th ừ a

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
00

'y ]

= ữ0 + al z ■+■

(1-3)

n= 0

trong đó z\ an G C; n = 0 ,1 ,2 ,....
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại điểm z0 nào đó,
thì nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa \z\ < 1^01- Hơn nữa, ta cũng
biết rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.3) hội tụ tuyệt


00

Đ ịn h lý 1.1.2. (Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa Ỵ2

a nZn

■Khi đó, tồn

n= 0

tại số 0 < R < +oo sao cho
(i) nếu \z\ < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối;
(ii) nếu \z\ > R thì chuỗi phân kỳ.

Hơn nữa, nếu ta sử dung quy ước — — oo và — = 0, thì số R đươc
0
oo
tính bởi công thức
1
— = lim sup \an\n.

1_

n -¥ 0o

rt

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền \z\ < R được gọi
là đĩa hội tụ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng
phức là các hàm lượng giác
Z^n

00

00

= Ỵ2 (—l )n7---------vrn=0
; (2n + l)!

cos z = Ỵ2 ( ~ l) n /
71=0
; (2n)!

Bằng tính toán đơn giản ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
piz

C0S2 =

piz _

p ~ iz

—
2

và Sin^ = -------— .
2

00

Đ ịn h lý 1.1.3. Chuỗi lũy thừa f ( z ) = Ỵ2 anZn xác định một hàm
n=0

chỉnh hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f ( z ) cũng là một
chuỗi lũy thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi
với hàm f ( z ) , tức là
00

f '(z) = ^ n a nz n~l .
n= 0

Hơn nữa, f'(z ) có cùng bán kính hội tụ với f ( z ) .
9


Chứnq minh. Bởi vì lim 77," = 1 , nên ta có
nTo0
lim sup|a„|" = lim su p |n a n|".
TI—
>00
Ti—

»00
00

00

Do đó, chuỗi

anz n và
nanzn~1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng
n=0
n=0
minh khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi
00

g(z ) =

nanzn~1
n= 1

bằng đạo hàm của f{z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f ( z ) và giả
sử 1^01 < r < R. Ta viết
f ( z ) = s n{z) + E n (z );
với
oo

N
S n {z ) =

a nZn

và E n (z) =

n= 0

anz n.
n=N + 1

Khi đó, nếu chọn h sao cho \z0 + h\ < r, thì ta có

h

h
+ (S/n (zũ) — g(zữ)) +

E n (zq + h) — E ỵ (zq)
h

Ta thấy
00

E n {zo + h) —E n (z0)
< £
k
h
=JV+1

{zq + h) —Zq
h

00

\nr n —1.

<
n=N + 1

ở đó ta đã sử dụng các điều kiện \z0\ < r và |z0 + h\ < r. Biểu thức
10


ở vế phải là phần dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệt
đối với mọi 1^1 < R. Do đó, với mọi £ > 0 tồn tại Nị sao cho với mọi
N > Nị ta có
£
E n (zq + h) — E ỵ ( z ữ)
h
< 3'

Bởi vì lim S'N(zo) = g(zo) nên tìm được N 2 mà với mọi N > N 2 ta
N —ÏOC

CÓ
lc ố định N > max { N ị , N 2} thì ta có thể tìm được J > 0 sao cho
\h\ < ỏ thì
S n ( zq

£
+ h) — Sn(zq)
—S'N {zo)

h
< 3'

Do đó
f ( z 0 + h ) ~ f { z ữ)
- g{zo) < e\
h

□

khi \h\ < ỏ .

H ệ q u ả 1.1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của
nó. Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng
cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f ( z ) xác định một tập con mở ri được gọi là giải tích (hoặc
có khãi triển chuỗi lũy thừã) tại điểm Zq G íì nếu tồn tại chuỗi lũy
00

thừa J 2 a n( z - z0)n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
n=0
00

f ( z ) = ^ 2 aniz - z0Г ;
71=0

11


với mọi z trong lân cận của điểm Zq.

Nếu f ( z ) có khai triển chuỗi lũy thừa tại mọi z ẽ fỉ, thì ta nói rằng
f ( z ) giải tích trên fỉ. Từ định lý 1.1.3, ta thấy rằng một hàm giải tích
trên Q thì cũng chỉnh hình trên đó.

K h a i tr iể n chuỗi lu ỹ th ừ a c ủ a m ộ t số h à m sơ cấp
,n

n\

+ ■■■

S1Ĩ12 =

z 2n+l

+ ‘ “ + (2n + l ) ! + ‘ "
z2n

,n

ln(l + *) = * - y + y - y + - - - + ( - i r +1

1.1.5

n

T ích p h â n p h ứ c

Lý thuyết tích phân phức được xây dựng trên nền là đường cong trong
mặt phẳng phức. Trước khi giới thiệu khái niệm tích phân phức, chúng

tôi trình bày một số khái niệm cần thiết về đường cong trong mặt
phẳng phức

12


Đ ư ờ ng cong th a m số. Đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] —>c
t z(t) = x ( t ) + iy{t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z'(t) liên tục trên
đoạn [a, 6] và z'(t) 7^ 0; với mọi t G [a, 6]. Tại các điểm t = a và í = b

các đại lượng z'(a) và z'(b) được hiểu như các giới hạn môt phía
K
i:_ z(a + h ) - z ( a )
z(b + h) - z(b)
z (a) = lim --------- 7--------- và z (b) — lim ---------- 7--------- .
h-*0+
h
h^Qh
Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a0 = a < ữi < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [ajfc,ữfc+i]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm aỵ có thể
khác nhau với mọi k = 1 , 2,

n —1 .

Hai đường cong tham số z : [a, &] -> c và 2 : [c, d] —> c được gọi là

tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s —> t(s) từ [c, d]

đến [a, 6] sao cho t'(s) > 0 và z(s) = 2 (t(s)). Điều kiện t'(s) > 0 đảm
bảo hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t( s) chạy từ a
đến b. Họ của tấ t cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác
định một đường cong trơn 7 c c . Đường cong 7 “ là đường cong thu
được từ 7 bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của 7 “ được
xác định như sau
: [a, b]

c

z~{t) = z{b + a — t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường
cong. Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) =
13


z(b). Đường cong được gọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa
là nếu t ^ s thì z(t) ^ 2(5).
V í d ụ 1.1.1. Xét đường tròn Cr(zữ) tâm tại zữ bán kính r được xác
định bởi tập hợp
c r(z0) = {z € c : \z - ZQ\ = r}.
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = ZQ+ reu ; t e [0, 2tĩ]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re -ií; t € [0, 2tĩ].
Đ ịn h n g h ĩa tíc h p h â n p h ứ c. Cho 7 là đường cong được định hướng
dương và được tham số hóa bởi phương trình z : [a, 6] —¥ c . Giả sử
/ là hàm liên tục trên 7 . Tích phân của hàm / dọc theo 7 được xác
định bởi
b

Ị f ( z ) dz = Ị ỉ (z (t)) z'(t)dt.
7

a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn
phương trình tham số đối với 7 . T hật vậy, giả sử z là một tham số
hóa tương đương xác định như trên thì
6

Ị f (z (t))

d

= J f (z{t(s ))) y {t{s)) .t'(s)ds

14


d
= Ị ỉ {z{s))z'{s)ds.
c

Nếu 7 là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
b
Ị f( z ) d z = Ị ỉ {z(t)) z'(t)dt.
7

a

Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong 7 là

V í d ụ 1.1.2. Tính tích phân

/

n

(z —z0) dz;n = 0, ± 1 , ± 2, ...

7

trong đó 7 là đường tròn được tham số hóa bởi phương trình
z = z0 + reu ; t € [0, 27r].
Ta có

7

2ĩT

2ĩT

0

0

Nếu n = —1, thì tích phân trên trở thành
2tt

/Ă -'/

7

0

15

dt = I‘ tĩì.


Nếu n Ỷ —1 thì ta có
f

2tĩ
1 ,

dz

/ --------= ỉ I dt = 2tĩì.
J z - z0
J
7

0

V í d ụ 1.1.3. Giả sử 7 là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham
số z = z(t);t e [a, 6] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó, các
tích phân dưới đây được tính như sau
b

lị = Ị dz
7

=J

b

b

z'(t)dt = j dx(t) + i j dy(t )

a

b

b

= (x{b) - x(a)) + ỉ (;y{b) - y{a))
= z(b) —z(a).
b

I2= Ị
7

b

zdz = Ị z(t).z'(t)dt = ỉ
a

J

d [z2(t)] = ỉ (z 2{b) - 22(a)) .

a

Đ ịn h lý 1.1.4. Nếu hàm f ( z ) /iển tục và có một nguyên hàm F trên
ÍỈ, và 7 là một đường cong trong íỉ có điểm đầu là U3i và điểm cuối U)2
thì
Ị f ( z ) d z = F( oj2) - F M .
7

Chứng minh. Nếu 7 là một đường cong trơn và z(t) : [a,b] —>
phương trình tham số của đường cong 7 thì

16

c là


ъ

=J F' (z(t)).z'{t)dt
a

b

= Ị ị t F(zit))dt
= F (z(b)) - F (z(a))
= F ( u)2) —F(íOị).
Nếu 7 trơn từng khúc thì ta có

í f(z)dz =
[F {z{ak+1)) - F (z(ak))]
7
k=0
= F (z(an)) - F (z(a0))
= F (z(b)) - F (z(a))

= F{íủ2) —

□
H ệ q u ả 1.1.2. Giả sử 7 là đường cong đóng trong tập mở íỉ. Nếu
hàm f ( z ) liên tục và có nguyên hàm trong íĩ thì
Ị f( z ) d z = 0.
7

H ệ q u ả 1.1.3. Nếu f ( z ) chỉnh hình trong miền íỉ và f'(z ) — 0 thì

f(z) là hàm hằng.
Chứng minh, c ố định điểm ujữ £ íĩ. Bởi vì íỉ liên thông nên với điểm
bất kỳ UJ £ íĩ, tồn tại đường cong 7 nối UI với ÜJ0- Ta có
17


J f'(z )d z = f ( u ) - f ( u ữ).
7

Bởi vì f'(z ) = 0 nên

J

f'(z )d z = 0. Do đó /(tư) = f(oJo)-

□

7

Từ các ví dụ 1.1.2 và 1.1.3, chúng ta thấy rằng các tích phân trên
không phụ thuộc vào hình dạng của đường cong và tích phân bằng 0
theo đường cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc
theo đường cong đối với hàm chỉnh hình là
Đ ịn h lý 1.1.5. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên trong
c với biên dD gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f ( z ) là hàm
chình hình trên D liên tục trên D = D u ÕD. Khi đó, ta có
„ x J z = 0.
dD

Chứng minh. Chúng ta viết f ( x + iy) = u ( x , y ) + iv(x, y ). Khi đó

J
dD

f ( z ) d z = I (udx — vdy) + i(vdx + udy).
dD

Theo định lý Green, ta có

Í F=I

dD

dF.

D

Nếu F = udx — vdy: thì theo điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta
có

18


Tương tự, tích phân của phần ảo trong ngoặc cũng bằng 0 và định lý

□

được chứng minh.

Đ ịn h lý 1.1.6. (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f ( z ) là hàm chỉnh
hình trong một miền D và zữ € D. Khi đó, với mọi chu tuyến đóng
bất kỳ 7 c D mà z0 € D1 c D thì
với mọi z0 € -D7.
7

Hơn nữa, nếu f ( z ) liên tục trên D với dD là một chu tuyến đóng thì
với mọi z € D ta có

dD

Chứng minh. Giả sử 7 là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm Zq sao
cho D1 c D. Chọn p đủ bé sao cho đĩa đóng S ( z0, p) tâm zữ bán
kính p chứa trong D1. Ký hiệu Cp là biên của đĩa (S^o, p) và D1 p =

---------- „
HO
' — ——
D j \ S ( z 0, p). Bởi vì - —-— là hàm chỉnh hình với mọi 2 € D j \ S ( zq, p )
nên chúng ta có

c- z0

Từ đó, chúng ta suy ra


[ m
df = [ m
d f.
J c - z0
J c - z0
7
cp
Thực hiện phép đổi biến đối với tích phân ở vế phải ( —z0 = pelt; 0 <
t < 2tĩ, thì d( = ỉpeudt và chúng ta nhận được
2tt

Ỉcp ^ - Ị 0

f { z0 + Pe ) ■
i p é ịdt
peu
2tt

= i Ị f{z0+ pe^dt

0

2tt
= iỊ

[f(z0 + Peit) - /(*o)] dt - 2ĩrif(z0).

0

Bởi vì f ( z ) liên tục, nên khi p

0 thì

lim [
d( = 2ĩrif(zữ).
P-*ÕJ C - z 0
cp
Từ đó, chúng ta suy ra
/(0

Trường hợp f ( z ) liên tục trên D thì ta có thể thay dD cho 7 trong
chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn.

□

Đ ịn h lý 1.1.7. (Công thức tích phẫn Cauchy đối với đạo hàm). Nếu
f ( z ) là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f ( z ) khả vi vô hạn lần
trong D. Hơn nữa, nếu 7 là chu tuyến đóng nằm trong D, thì
20