Luận văn tính lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến

B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O TẠ O
TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

V Ũ THỊ TH AN H NG A

T ÍN H ư B Ị C H Ặ N
C Ủ A T O Á N TỬ G IẢ V I P H Â N T R Ê N X U Y E N

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC s ĩ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích

N g ư ờ i h ư ớ ng dẫn: T S . B ù i K iê n C ư ờng

H à N ộ i - 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Bùi Kiên Cường. Sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã
giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong việc tiếp cận một vấn đề
mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối
với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên nghành Toán Giải tích đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.
Nhân dịp này tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh
Vĩnh Phúc, Ban Giám hiệu và đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Viết

Xuân - Vĩnh Phúc, người thân, bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học thạc sĩ và hoàn thành
luận văn này .
Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Vũ T hị T hanh N ga


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường. Luận văn không trùng lặp với
những đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Vũ T hị T hanh N ga


M ục lục
M ở đ ầ u ..........................................................................................................

1

C h ư ơ n g 1. M ộ t số k h ái n iệm và k ết q u ả ch u ẩn b ị .............................

4

1.1. Một số không gian h à m ........................................................................... 4
1.1.1. Không gian các hàm thử D và không gian đối ngẫu D ’......

4

1.1.2. Không gian Schwartz và không gian các hàm suy rộng tăng
ch ậm ....................................................................................................

5

1.1.3. Không gian Lp, 1 < p < 00 và không gian L°°.......................

6

1.1.3. Không gian B M O ..........................................................................

9

1.2. Phép biến đổi Fourier..........................................................................

14

1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1........................... 14
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schawrtz............... 15
1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2........................... 16
1.3. Không gian Sobolev H s,2(Rn) .............................................................

17

1.4. Một số không gian hàm xác định trên z n........................................ 18
1.5. Một số không gian hàm trên xuyến.................................................... 20
1.6. Biến đổi Fourier trên lớp hàm tuần hoàn......................................... 22
1.6.1. Biến đổi Fourier trên lớp hàm tuần hoàn............................... 22
1.6.2. Không gian Sobolev H s (Tn) ...................................................... 24
1.7. Toán tử giả vi phân trong

............................................................

26

1.7.1. Biểu trưng của toán tử giả vi p h â n ......................................... 26
1.7.2. Một số tính chất của toán tử giả vi phân trong không gian
Sobolev H s’2{Rn) ............................................................................ 33


1.7.3. Tính bị chặn của toán tử giả vi phân trong không gian ư
C h ư ơ n g 2. T ín h ư b ị ch ặn củ a to á n t ử g iả v i

34

p h â n tr ê n x u y ế n

35

2.1. Toán tử giả vi phân trên x u y ế n ........................................................

35

2.1.1. Biểu trưng......................................................................................

35

2.1.2. Toán tử giả vi phân trên xuyến................................................ 40
2.1. Tính ư bị chặn của toán tử giả viphân trên xuyến.....................

44

K ế t l u ậ n ........................................................................................................... 57
Tài liệu th a m k h ả o ..................................................................................... 58


1

MỞ ĐẦU
1. L í d o ch ọ n đ ề tà i
Toán tử giả vi phân hay toán tử tích phân kì dị là một trong những
công cụ để giải bài toán elliptic trong lý thuyết phương trình đạo hàm
riêng. Lí thuyết toán tử giả vi phân được hình thành từ nửa sau thế kỉ 20
qua các nghiên cứu của Calderón-Zymund, K.Nirenbeg, L. Hỏrmander,
M.E. Taylor,...Nó có ứng dụng rất rộng rãi ở đa ngành: vật lí, toán học,
công nghệ, ... Chính vì tính hấp dẫn của nó mà nhiều nhà toán học đã
nghiên cứu dưới nhiều góc độ khác nhau. Nhà toán học Julio Delgado
đã xét toán tử giả vi phân tuần hoàn trong khuôn khổ của giải tích vi
phân trên xuyến mà được phát triển ở gần đây trong công trình của M.
Ruzhansky, V. Turunen và G. Vainikko.
Một trong những thú vị nhất của toán tử giả vi phân là nghiên cứu tính
liên tục của toán tử giả vi phân lớp Hỏrmander S™s trong những không
gian hàm có ý nghĩa cho Vật lý, công nghệ. Trong bài báo của mình

(xem [7]), Charles Fefferman đã thiết lập tính Lp bị chặn cho các toán
tử giả vi phân có biểu trưng thu ộc lớp / S ^ R 71 X R n) nhờ nội suy thực và

phức từ tính chất ư bị chặn. Tiếp theo đó, tính chất ư bị chặn của các
toán tử với biểu trưng không thuần nhất. Tính chất Lp bị chặn của các
toán tử giả vi phân trong xuyến cũng đã được khảo sát trước đây trong
các công trình của S.Molahajloo và M.W.Wong (xem [10]) khi khảo sát
toán tử giả vi phân trên s 1. Năm 2013, nhà toán học Julio Delgado (xem
[16]) đã thiết lập tính Lp - bị chặn cho các lớp toán tử giả vi phân có
biểu trưng thuộc S™s(Yn x Z " ).


2

Nhằm hệ thống hóa sự phát triển của các nghiên cứu trên và được sự
hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu: ’’Tính Lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến” để thực hiện
luận văn tốt nghiệp thạc sĩ.
2. M ụ c đ ích n g h iê n cứ u
• Nghiên cứu về tổng quan hàm, biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân.
• Nghiên cứu tính bị chặn trong ư

của toán tử giả vi phân trên

xuyến.
3. N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u
Nghiên cứu tổng quan về tính chất bị chặn trong ư của toán tử giả
vi phân trên xuyến.
4. Đ ố i tư ợ n g n g h iê n cứ u
• Nghiên cứu các không gian hàm thử, hàm suy rộng.

• Nghiên cứu phép biến đổi Fourier trên các không gian hàm.
• Nghiên cứu về toán tử giả vi phân trên xuyến.
• Nghiên cứu tính bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề
tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết
tối ưu.
6 . Đ ó n g g óp củ a đ ề tà i


3

Luận văn là tài liệu tổng quan về tính bị chặn trong ư của toán tử
giả vi phân trên xuyến.


4

Chương 1
M ột số khái niệm
và kết quả chuẩn bị
1.1.

M ột số không gian hàm

1 .1 .1 .

K h ô n g g ia n cá c h à m th ử D v à k h ô n g g ia n đ ố i n g ẫ u D ’

Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Không gian các hàm thử hay hàm kiểm tra, ký hiệu

D(Çt) là không gian véc tơ các hàm C£°(f2) cùng với tô pô được trang bị
bởi sự hội tụ: dãy (ip.)°°=í hội tụ tới ífiũ trong Ơ ^ (Í 2) nếu:
i) Tồn tại tập compact K c ũ sao cho ip. = 0 với mọi j = 0,1, 2,...
trong Q \ K .
ii) Đối với đa chỉ số a tùy ý, dãy D a(p hội tụ đều đến D a(p0 trong
K khi j —> 00 .
ở đây D a là đạo hàm cấp |a;|, còn a G Nn là đa chỉ số và D a =
D Ị 'D Ĩ ...D - n%D k = \ Ị - .
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Một hàm suy rộng trên

là một phiếm hàm tuyến

tính liên tục trên D {ũ ). Không gian tất cả các hàm suy rộng trên
được kí hiệu là D'(ũ).
Khi A £ D'(JÌ), ta kí hiệu giá trị của hàm A tại tp G ơ “ (n) là A(hoặc (A,

5

C h ú ý 1.1.
1. Không gian D'(ũ) tự nó đã cung cấp một tô pô yếu trên nó tức là tô
pô đó được xác định bởi hệ các nửa chuẩn Pự trên D !(ũ).
P y - . u ^ \(u,(p)\.
2. Không gian D '(ũ) là một không gian lồi địa phương tách được đối với
tôpô yếu * nghĩa là với mỗi u G D'(Q,),U ^ 0, tồn tại ip G D(fì) sao cho
(u,ip) í 0 .
3. Không gian Z)'(fi) là một không gian đầy đủ.
B ổ đ ề 1.1. Nếu f £ Liioc (fỉ) sao cho f f(x)ũ

thì f = 0 .

1 .1 .2 .

K h ô n g g ia n S ch w a rtz v à k h ô n g g ia n cá c h à m su y rộn g
tă n g ch ậm

Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh, còn gọi
là không gian Schwartz, ký hiệu s = /S'(Mn), là không gian véc tơ tất cả
các hàm khả vi vô hạn ự> xác định trên Mn thỏa mãn sup |rEa (D p(p(x)) \ <
R"
oo với mọi đa chỉ số ip, ¡3 G Nn cùng với tôpô xác định bởi:
Dãy <fj G s được gọi là hội tụ về 0 khi j —> oo nếu với mọi đa chỉ số
Qí, /3 G Nn dãy (xaD^(pj(x)) hội tụ đều về 0 trong

khi j —> oo.

Với tôpô này, không gian s là một không gian đầy đủ.
Đ ịn h lý 1 . 1 . Không gian Schwartz

s

trù mật trong không gian Lp(M.n), 1 <

p < 00 .
Không gian s không trù mật trong không gian


Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Không gian S"(Mn) là không gian véc tơ gồm tất cả
các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(R.n). Mỗi phần tử của S'(Rn)

được gọi là một hàm suy rộng tăng chậm.
C h ú ý 1.2. Tôpô trên S'(M.n) là tôpô yếu* và S'(M.n) cũng là một không
gian đầy đủ.
B ổ đ ề 1.2. D(M.n) =

là một không gian trù mật của không gian

S ( R n).
Đ ịn h lý 1.2. Ánh xạ J : A I-» A' từ không gian S'(M.n) vào không gian
ơ { Rn) được định nghĩa như sau
< A » = A ( ip ) ,< p e D ( R n)
là đơn ánh và do đó S"(Mn) c -D'(Mn) .
B ổ đ ề 1.3. Với 1 < p < 00 và f E Lp(M.n). Ánh xạ
ip €

f fipdx với
Rn
xác định một hàm suy rộng. Theo Bổ đề 1.1, với mỗi p ta có

một đơn ánh liên tục từ Lp(Rn) vào S'(Rn), do đó Lp(Rn) c S'(Rn). Ta
gọi mỗi hàm thuộc Ư { Rn) là hàm suy rộng chính quy.
M ệ n h đ ề 1.1 (Mối quan hệ giữa các không gian hàm).
D ( R n) c S ( R n)
S'{Rn) c ơ ( R n)

1 .1 .3 .

K h ô n g g ia n Lp, 1 < p < oo v à k h ô n g g ia n L°°

Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Giả sử Í2 là tập mở trong Mn và p là một số thực thỏa

mãn 1 < p < oo. Kí hiệu LP(Q,) là tập hợp tất cả các hàm / xác định và


đo được theo độ đo Lebesgue trên Q với | / | p khả tích trên Q , có nghĩa

J \f ( x ) \ p dx < 00 .
n
Với phép cộng hai hàm số thông thường và phép nhân hàm số với một
số, ư ( ũ ) làm thành không gian tuyến tính thực (hoặc phức). Chuẩn
của hàm / thuộc LP(Q), 1 < p < 00 , được xác định bởi:
.ì

Với chuẩn này LP(D,) làm thành một không gian định chuẩn và được gọi
là không gian Lp(fì).
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Một hàm / đo được trên Í2 được gọi là bị chặn cốt
yếu trên Í 2 nếu tồn tại một hằng số k > 0 sao cho
( 1 -1 )

\f(x)\ < k hầu khắp nơi trên ũ.

Hằng số k nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là cận trên cốt yếu của /
trên

và được ký hiệu là esssup |/( x ) |.
xEĨl
Ký hiệu L°°(Q) là không gian véc tơ các hàm / bị chặn cốt yếu trên
Chuẩn của hàm / thuộc L 00 (Q) được xác định bởi:
11/11^ = esssup \f (x )\ = inf {k : ịf(x)\ < k h.k.n
x€fl

X

e £}} .

Đ ịn h lý 1.3 (Định lí Fischer - Riesz). Giả sử 0 là một tập mở trong
Rn. Với mỗi p G [1; oo], LP(Í2) là một không gian Banach.
Đ ịn h lý 1.4. L 2(Mn) là một không gian Hỉllbert với tích vô hướng


và chuẩn tương ứng

u \ I = í / lw(;r) |2 dx

Đ ịn h lý 1.5. Tập hợp

các hàm khả vi vô hạn giá compact trong

Mn trù mật trong Lp(M.n), 1 < p < 0 0 .
Đ ịn h lý 1.6 (Định lí Tonelli). Giả sử ÍỈ! c Mn,í2 2 c
tập mở và F :

X Í22 -ì►

là

những

là hàm đo được. Giả thiết rằng: F :

fil X í ỉ 2 —> M với hầu khắp nơi X G ÍỈ1 và f dx f IF ( x , y ) \dy < oo thế

thì F €

X ỉ ì 2).

Đ ịn h lý 1.7 (Định lí Fubini). Giả sử ÍỈ1 c

c

là những tập

mở và F € L 1(í2i X Q2); thế thì với hầu khắp X G ũ ị , F ( x , .) G L 1(fì2)
và

Ị

^ ( „ y ^ d y e L 1^ )

0,2
hay củng vậy với hầu khắp y € O2, F ( . , y ) € L ^Q i) và

Ị

\F(x, ,)\dx 6 L l ( ũ 2)

Hơn nữa chúng ta có:

Ị dx J F ( x , y ) d y = Ị
ÍÌ2

ÍÌ2

dy /
^1

F ( x ,y ) d x =

JJ F (x ,y )d x d y .
X í ^2

Đ ịn h lý 1.8 (Bất đẳng thức Minkowski). Giả sử hàm số f ( x , y ) , x , y G
Rn xác định và đo được trên Rn X Kn sao cho với mỗi y € Rn, / ( . , y) G


9

ư { Rn), 1 < p < 00 . Khi đó:

Ị J f{x,y)dy

dx Ị

J Ị

<

tã"

ỉ(x,y)dx

dy

IR"

Đ ịn h lý 1.9 (Bất đẳng thức Hỏlder). Giả sử ũ c l "

là tập mở và các

hàm f , g € Z/2(fi). Khi đó hàm f g € L 1(fì) và

dx

1 .1 .4 .

V\íì

\g(x)\2 d x \

.

K h ô n g g ia n B M O

Ký hiệu Q là hình lập phương có các cạnh song song với các trục tọa
độ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Cho / là hàm khả tích địa phương xác định trên Rn,
n > 1. Ký hiệu fq là dao động trung bình của / trong hình lập phương

Q
f i p/ \
=

ầ

l

ư

{

x

)

p J_
íx,
~

f

Q

Ì

ủ

i

trong đó

í

Ĩq = T77T f(x )d x .
JQ
\ Q\ J q
Hàm toán tử # :/•-> ■ / # được định nghĩa như sau:
(1 .2 )

ỉ * ( x ) = s u p / ^ . r),
r>0

trong đó Q(x; r ) là một hình lập phương có tâm tại

£{Q) = r.

X

và có đường kính


10

Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Hàm / được gọi là hàm có dao động trung bình bị
chặn nếu / # e L°°(Rn). Không gian tất cả các hàm / có dao động trung
bình bị chặn được ký hiệu là B M O ( Rn) hay B M O . Chuẩn của hàm
/ € B M O , ký hiệu là 11/11,, xác định bởi 11/11, = | | / # iu~.
Khi đó, B M O ( Rn) là một không gian Banach. Hơn nữa,
11/ 11* = 0 nếu / = hằng số.

Do đó, mỗi phần tử trong B M O thật ra là một lớp tương đương. Chính
xác hơn,
/ = g trong B M O

f — g = hằng số.

Ngoài ra, ta có thể thay fọ, giá trị trung bình của / trên Q , bằng bất kỳ
hằng số nào. Chính xác hơn, ta có thể chứng minh rằng / G BMO(M.n)
khi và chỉ khi với bất kỳ hình lập phương Q c r , tồn tại một hằng số
C q (phụ thuộc Q) sao cho

SUP^>Ĩ I \f{x) - CQ{x)\dx < oo.
Q \Q\ J q

N h ậ n x é t 1.1.
1. Ký hiệu

ll/ll** = supinf Ậ - Í \f(x) —c\dx.
Q c \{°¿\ J q
Khi đó các chuẩn 11/11* và 11/11** là tương đương.

2. Dễ thấy L°° c BMO, nhưng B M O <£. L°°. Một phản ví dụ nổi tiếng
là log |x| G £?MO(Rn)\Z/°°(Rn). Một hiện tượng thú vị khác đó là, nói
chung ta không thể địa phương hóa một hàm B M O . Một phản ví dụ là
hàm X [0 00) log \x\ ị 5 M O ( l ) m ặc dù log \x\ G


11

3. Ta có
“/ € B M O ( R n)

ỊJQ \ f ( x ) - f Q\d

X < oo”

kéo theo
7 e ß M O (r )^

[ \ f ( x ) - f Q\pdx < oo, với 1 < p < oo”.
JQ

Ngoài ra, ta có thể đưa ra giả thiết yếu hơn về JQ \f(x) — fọ\dx < oo
để mô tả đặc điểm của BMO(M.n). Ký hiệu
ịiQ(à) = |{z e Q : \f{x) - f ọ \ > a } |,

(1.3)

trong đó \A\ là độ đo Lebesgue của tập A. Khi đó ta có
M ệ n h đ ề 1.2. Nếu tồn tại hai hằng số B , ß sao cho, với mọi hình lập
phương Q,
M « ) < B ■IQI • e-»a

(1.4)

thì f € B M O ( R n).
Thật ra, tính chất (1.4) đặc trưng tính chất của B M O . Nhưng ta có
thể phát biểu dạng tổng quát hơn. Cho $ : M+ —> M+ là hàm liên tục
đơn điệu tăng thỏa mãn $(M +) = M+ và
$(dí + ß) < c$ ($ (d í) + &{ß) + 1),
với c $ > 1 là hằng số chỉ phụ thuộc

với mọi a , ß G M+ ,

Ký hiệu

B M O $ ( R n) =
= Ị/ e

L foc(^n)

■ 11/ 11*,® = 3>_1 ( suP cinfơ

J

$ ( I / M - CQ\)dx^ < o o |


12

Nếu $ (x ) = xp thì ta viết B M O p(Rn), thay cho BMO<ỉ>. Khi đó B M O p ( Rn)
là lớp tất cả các hàm đo được sao cho
p —
*,p

sup ~\n\ Í
Q Ivl J q

“ Ĩ q \P(ỉx < °°;

với B M O \ — B M O .
Đ ịn h lý 1.10 (Bất đẳng thức John-Nirenberg). Với mọi f G B M O § ,
vói mọi Q c M.n, và a > 0, tồn tại hằng số B chỉ phụ thuộc số chiều n

và hằng số bf sao cho
p

(-£ )

(1.5)

trong đó ịấq{oÌ) được xác định bởi (1.3).
H ệ q u ả 1.1. Giả sử f là một hàm đo được sao cho với mọi hình lập
phương Q tồn tại một hằng số C q để
s u p ì | { x € Q : If ( x ) — C q|}| = 'ip(ca) —> 0 ,
Q Q

khi a —> oo.

Khi đó f e S M ỡ ( r ) .
Một trong các ứng dụng của bất đẳng thức John-Nirenberg là để chứng
minh rằng mọi B M O p(R.n) là tương đương khi 1 < p < 00 . Thật vậy,
Giả sử rằng / e B M O p(Rn). Vì $(:r) = xp, ta có
$ { a + ß) < Cp(Q(a) + Q(ß)).
Ngoài ra, ta có thể chọn hằng số B như trong (1.4) bằng e. Do đó, hằng
số bf sẽ là
( C r r e W f K ^ + C M i ï J = ơ p\\f\ị,,p.


13

Do do, ta co the viet (1.5) nhtf sau:

w \ l { x € Q : \ f i x ) ~ CQ\ > a } l - e ' e x p i ~ ^ m z ,

Tif do suy ra
ll/ll* = SUP W /
q \Q\ J q

~

e

Lro

e

x

p

I/0*0 -

cQ\dx

i ~ c M z ) d a - 6 * ' ll/l1 * ' -

Tiidng ttf, ta co

= s ? ( w \ J Q l f [ x ) ~ CQldx)
< C 'p ^ J

a p~1e~‘^ d a ' \ r

< GP ■ll/ll..

Bay gicJ ta co he qua sau.
H e q u a 1.2. Cho 1 < p < oo, khi do B M O p(M.n) = BMO(M.n). Chinh
xac hdn,
C p l / l k p < ll/ll. < Cp||/||.,p.
Bay gid chung ta phat bieu dinh ly ctfc dai cua ham toan tut # dtfa
theo C. Fefferman va E.M. Stein. Dinh ly nay cho phep noi suy gitfa
khong gian Lp va khong gian B M O .
D in h ly 1.11 (Ham toan tut # ) . Cho 1 < p < oo. Vdi moi f G Lp(Rn)
ton tai mot hang so Cp, doc lap vdi f , chi phu thuoc n va p, sao cho
Cp'll/IU* < | | / # IUp(h-) < C pll/lli,

( 1 .6 )


14

và do đó
f e ư ( R n) ^ f * e Lp(Rn).

(1.7)

Đ ịn h lý 1 .1 2 . Nếu / e B M O n L 1 thì f € ư , 1 < p < 00 . Ngoài ra,
1

1

Đ ịn h lý 1.13 (Định lý nội suy giữa ư và B M O ) . Cho 1 < p < oo và
T là một toán tử tuyến tính, liên tục từ ư

vào chính nó và từ L°° vào

B M O , tức là
T : Lp(Rn)

Lp(Rn) và T : L°°(R")

B M 0 ( R n)

liên tục. Khi đó T : L 9(Rn) —> L q(Rn) liên tục với mọi p < q < 00 .

1.2.

P h ép biến đổi Fourier

1 .2 .1 .

P h é p b iến đ ổ i F ourier tr o n g k h ô n g g ia n L 1

Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Nếu / € I/ỢR71) thì phép biến đổi Fourier của / được
định nghĩa bởi

m ) =m

=

(2»)“ f e - ^ f ( x ) đ x , í e R”
R ”

trong đó XỆ = Zi£i + x 2^2 + ... + xn£n.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 0 . Nếu các hàm u,ự> £ I/ỢR71) thì tích chập của u và (p

kí hiệu là u * (f, được định nghĩa bởi
(u*(fi)(x) = Ị u(y)ip(x - y)dy.
Rn


15

Đ ịn h lý 1 .1 4 (Phép biến đổi Fourier của tích chập). Nếu các hàm
u, !fi £

thì
( u ^ ) ( £ ) = (27t)> u ( Q v (Q.

Đ ịn h lý 1 .1 5 . Cho u,íp £

khi đó phép biến đổi Fourier của f

có các tính chất sau:
1. f e L°°(Rn) và

L°°{R")

<

/

2 .f liên tục trên Mn.
3- /( £ )

> 0 khi £ —> oo.

ị . Nếu fj —>■ / trongkhi j —> 00 thì fj hội tụ đều đến f trong
Rn khi j —>■00 .
M ệ n h đ ề 1.3. Nếu / £ C^(]Rn) và D af £
M ệ n h đ ề 1.4. ivếw / , 5 G L ^ R 71)

Ể/Ù D af = (£)“/(£)■

/ f(x ) g (x ) d x = f f{xỴg{x)dx.
ĩ"

1 .2 .2 .

I"

P h é p b iến đ ổ i F ourier tr o n g k h ô n g g ia n S ch a w rtz

Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Biến đổi Fourier của hàm / G /S^R71) là hàm số, ký
hiệu F f hoặc / , được định nghĩa bởi:

F f ( 0 = (27r) “=»”

J e ixịỉ { x ) d x ^

Rn
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 2 . Biến đổi Fourier ngược của hàm / G /S'(Mn) là hàm
số, ký hiệu -F1-1/) được định nghĩa bởi:

F - lf(x) = (2,0 V

J e"'f(ỉ)dỉ, X G
R"


16

M ệ n h đ ề 1.5. Cho / G (SỢR™) khỉ đó ta có:
1. f e S ( R n).
2. D af = (£)“/( £ ) với mọi đa chỉ số a.
3. x af = (—Dç)af(Ç) với mọi đa chỉ số a.
Ậ. Ánh xạ f —>■/ ỉà ánh xạ ỉiên tục trên S ( Rn).
M ệ n h đ ề 1.6. Cho f , g € S(M.n) khi đó ta có:

1- f ì{x)g{x)dx = J f(x)g(x)dx

3- (f-g)(£) = (27r)’ / ( 0 *?(£)

Đ ịn h lý 1 .1 6 . Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ S(Mn) lên
S(M.n) . Hơn nữa, với mỗi f G S(M.n), ta có:

f{x) = (2tt)^

ị

eixííf{£)dti.

R"
~

Đ ịn h lý 1.17. Dối với mỗi u ,v €

s

,

-

9

.

ta có đẳng thức:

/» W „ (l) à = / î K ) W
I"

Rn

N h ậ n x é t 1.2. Từ Định lí 1.17, chọn u = V ta nhận được:
J \u(x)\2 dx = Ị |w(£)|2#£
R"

với mọi u €

1 .2 .3 .

s

R"

đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.

P h é p b iến đ ổ i F ourier tr o n g k h ô n g g ia n L 2

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 3 . Giả sử / G L 2(Rn). Do /S'(Mn) trù mật trong L 2(Mn)
nên tồn tại dãy { f j } œ=1 c S(M.n) sao cho Il/j — / | | i 2(Rn) —> 0 khi j —»■00 .


17

Từ đó dãy {fj}°°=i là dãy Cauchy trong L 2(Rn). Từ đây và do đẳng thức
Parseval suy ra dãy

cũng là dãy Cauchy trong L 2{Rn).

Do L 2(Rn) là đầy, nên dãy | / j I

hội tụ đến một hàm nào đó mà ta

ký hiệu là / và gọi đó là phép biến đổi Fourier của hàm / G L 2(Rn).
Đ ịn h lý 1 .1 8 . Nếu f G L 2(M.n) thì / G L 2(M.n) và ta có:
II/IIl2(K") =

ỉ

L 2{R")

Đ ịn h lý 1.19. Nếu u, ộ £ L 2(M.n) thì
( W ) ( f l = (2 7 T )^ (O fe ).
M ệ n h đ ề 1.7 (Công thức tổng Poisson). Giả sử / £ L 2(Rn) thỏa mãn

các điều kiện:
ỉ. Chuỗi ^2 f ( x + 2ĩĩk) hội tụ khắp nơi về hàm liên tục nào đó.
h£Zn
2. Chuỗi Fourier ^2 f { k ) é lkx hội tụ khắp nơi, thế thì với mọi a,Ị3 > 0
k e Z"

mà a ệ = 2ĩĩ, đẳng thức sau đây là đúng:

k e Z"

'

'

k e Z"

Đẳng thức này được gọi là công thức tổng Poisson.

1.3.

K hông gian S obolev H s,2( W l)

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 4 . Với s £ R, không gian Sobolev H s,2(Rn) là tập hợp
tấ t cả các hàm rộng tăn g chậm u trên Mn sao cho

ơ_su e L 2{Rn)


18

trong đó crs(£) = ^1 + |£|2^

, £ £ Mn, U là biến đổi Fourier của u. Chuẩn

II. IIs 2 trong không gian H s’2(M.n) được xác định bởi

V

l + KI2) > ( 0 l2 ^ j
Đặc biệt khi s = 0 thì H ữ’2(Rn) = L 2(Rn).
M ệ n h đ ề 1.8. Nếu SI,S2 £ Mn mà Sị < s 2 thì

H s"2{Rn) c t f Sl’2( i r )
và
||u|l
II HSlj-i0 < Hull
11 Us2,20 .
M ệ n h đ ề 1.9. Tập hợp ơ ^ (M n) trù mật khắp nơi trong không gian
H Q’2(Rn).
M ệ n h đ ề 1 .1 0 . H ữ,2(Rn) là một không gian Hilbert với chuẩn tương ứng
11-11«,2-

Đ ịn h lý 1 .2 0 . (Bổ đề Sobolev) Nếu u € H ữ'2{Rn) với s > k + ị , k G
z , k ^ 0; thì u bằng với m ột hàm V € ( ^ ( R 71) hầu khắp nơi.

1.4.

M ột số không gian hàm xác định trên z n

Đ ịn h n g h ĩa 1.15 (Không gian Schwartz S ( z n)). Ta ký hiệu S ( z n) là

không gian các hàm giảm nhanh

c . Tức là ip £ chỉ khi với m ọi 0 < M < oo, tồn tạ i hằng số Cy

M

ke(í)| < c „ ,„ ( ? > " " , Ví e Z " ,

sao cho


19

cùng với tô pô xác định bởi họ nửa chuẩn pk{ip) = sup (£)k|<^(£)| với mọi
k e N.
Ký hiệu S'(7jn) là không gian đối ngẫu của S Ợ / 1). Nó bao gồm tất cả
các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(7jn) có dạng
ip ^ (u,tp) := ^ 2
£ezn
ở đó hàm u : z n —> c tăng trưởng kiểu đa thức ở vô tận, tức là tồn tại
một hằng

số

M

< oo

và Cu M sao cho
WOI < CU,M { i ) M

với mọi £ E z n.
Đ ịn h n g h ĩa 1.16 (Không gian Lp( z n)). Cho 1 < p < 00 , chúng ta xác
định các không gian hàm sau:
(i) LpựLn)

= {/ : zn —
>c :

^2

neZn

l / ( n )lP <

II/IU-(Z.) = ( E

°0} V(3i chuẩn

I / W I ”) '1-

n e Z"

(ii)L°°(Zn) = { / : z n —> c : s u p { |/(n )|, n G z n} < oo} với chuẩn
||/IU«(Z«) = s u p { |/(n )|,n G z n}.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 7 . Ký hiệu ej

e Nn, (ej)j = 1 và (ej)i = 0 nếu i

Giả sử ơ : z n —> c . Ta gọi là sai phân riêng theo biến thứ j của ơ,
hiệu bởi A |., xác định bởi

\ j ơ ( 0 = ơ (£ + ej ) - ơ ( 0 Ký hiệu

với a e Nn.

j.
ký


20

BỔ đ ề 1.4. Với mỗi đa chỉ số a e Nn, ta có
A ^ ( Í ) = E ( - 1)'“"/’I c ^ « + «

( 1 -8)

/3
Và
A ^ (Í) = E ( - i f ơ M í - « •
p
(1.9)

Bằng phép quy nạp, ta có thể chứng minh được công thức Leibnitz
cho sai phân:
B ổ đ ề 1.5 (Công thức sai phân Leibnitz). Cho ậ, ý : zn —>■c. Khỉ đó
A í (<H>) ( í ) = E c » ( A ^ ( f ) ) A r ^ ( í +
p
(L1 °)

Công thức tổng từng phần tương tự như công thức tích phân từng
phần:
B ổ đ ề 1.6.

£ 4>«) (A?^)(?) =(-1)1“1ỆeZn
E ((Ãe“)V) (í)i>(í),

^eZ"

(111)

miễn ỉà chuỗi ở cả hai vế hội tụ tuyệt đối.

1.5.

M ột số không gian hàm trên xu yến

Đ ịn h n g h ĩa 1.18 (Hàm tuần hoàn). Một hàm / : Rn —>■c tuần hoàn
chu kỳ 2ĩĩ nếu f ( x + k) = f ( x ) với m ọi X G K n và k € 27ĩZn. Chúng

ta đồng nhất hàm như vậy với hàm xác định trên Tn = Mn/27ĩZn =
{x + 2?rZn : X G R n}.