skkn PHƯƠNG PHÁP TIẾP cận các bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 12

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài
toán khó đối với đa số học sinh, vì vậy học sinh thường rất ngại những bài toán này. Có
những em chỉ làm ý dễ còn khi gặp ý tìm khoảng cách thì bỏ, mà trên thực tế trong các đề
thi tốt nghiệp hay thi đại học cao đẳng thì phần tìm khoảng cách rất thường gặp trong câu
hình học không gian, nó chiếm nửa số điểm của câu này. Học sinh một phần do ý nghĩ
phần hình khó nên bỏ qua phần này để dồn sức cho những câu khác, một phần nhiều học
sinh gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu. Những câu hỏi thường đặt
ra với các em: tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia,… . Với đặc điểm đó tôi
muốn đem đến cho học sinh cái nhìn thân thiện, gần gũi và hứng thú với hình học không
gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách. Trong đợt thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới
tôi muốn trình bày một số cách tiếp cận bài toán dạng này.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 12 thường xuất hiện trong các
đề thi, nhất là trong các đề thi tuyển sinh và thường nằm ở ý khó của bài toán hình học
không gian. Vì thế rất nhiều học sinh xác định đây là phần khó nên không chú tâm lắm đến
phần này và thường bỏ để làm phần khác. Trong các sách về hình học không gian các tác
giả trình bày tốt các phương pháp, tuy vậy trong các ví dụ cụ thể thì các tác giải chỉ trình
bày lời giải mà không nêu hướng tiếp cận bài toán, làm cho người đọc phân vân và thường
đặt câu hỏi “ Làm sao tác giả dùng phương pháp đó? Xuất phát điểm từ đâu?...” . Nói
chung trong các ví dụ đó thường nghiêng về trình bày kĩ thuật giải nhiều hơn, chưa nói
được những dấu hiệu để có được điểm xuất phát và từ đó có được hướng tiếp cận bài toán.
Trước các thực trạng đó tôi đưa ra một số cách tiếp cận bài toán hình học không gian
của lớp 12.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Một số giải pháp được trình bày trong đề tài:
 Giải pháp 1: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng.
 Giải pháp 2: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một

mặt phẳng.
 Giải pháp 3: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau.
 Giải pháp 4: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong hình học giải
tích trong không gian.

Trang 1


GIẢI PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH
TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
- Với bài toán có câu hỏi: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng có vẻ “dễ thở”
nhất trong các phần tính khoảng cách còn lại. Chỉ lưu ý với học sinh: muốn tính khoảng
cách từ A đến đường thẳng d thì ta chỉ cần gọi H là hình chiếu của điểm A trên d rồi ta xem
đoạn AH là đường cao trong tam giác ABC nào đó, và ta xem tam giác ABC đó là tam giác
gì. Nếu tam giác vuông tại A thì độ dài được tính như thế nào? Tam giác đều thì tính làm
sao?
- Một số học sinh biết hướng làm nhưng lại quên mất các hệ thức lượng trong tam giác
vuông, công thức tính diện tích tam giác. Một số kiến thức và một số kết quả thường dùng:

-

-

1
1
1
=
+
2

2
AB
AC 2
Trong tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH thì: AH
AH =

Trong tam giác thường ABC, thì ta đi tính diện tích ∆ABC , từ đó:

2 S ABC
BC

3
2
là tam
giác đềucóthìđáy
AHABCD
bằng tích
của cạnh
tam giác
Ví dụ- 1: Nếu
Cho hình chóp
S.ABCD
là hình
chữ nhật
tâmvới
O, cạnh
SA ⊥ ( ABCD )

, cạnh AB = 6a, BC = 8a . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 300

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC.
b) Tính khoảng cách từ O đến cạnh SC.
Lời giải:
S

Hướng giải quyết:
- Cứ gọi H là hình chiếu của A
trên SC, khi đó AH chính là
đường cao của tam giác vuông
SAC.
- Để tính AH ta đi tính độ dài
hai hạnh góc vuông của tam
giác SAC rồi sẽ tính được AH.

H

A

D
K
O

B

C

a) Gọi H là hình chiếu của A trên SC, khi đó AH là đường cao của tam giác vuông SAC
1
1
1

=
+
2
2
AC
AS2
Ta có AH
Trang 2


AC 2 = BA2 + BC 2 = ( 6a ) + ( 8a ) = 100a 2 ⇒ AC = 10a
2

Mà trong tam giác vuông ABC:

2

0
·
Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, suy ra góc SCA = 60 .
0
Trong tam giác SAC: SA = AC tan 60 = 10a 3

Từ đó suy ra:

1
1
1
1
1

=
+
=
+
2
2
2
2
AH
AC
AS
( 10a ) 10a 3

(

)

2

=

4
1
=
2
300a
75a 2

Suy ra AH = 75a ⇒ AH = 5a 3
b) Gọi K là hình chiếu của O trên SC, khi đó OK//AH. Trong tam giác AHC ta suy ra OK

2

2

là đường trung bình nên

OK =

1
5a 3
AH =
2
2 .

 Nhận xét:
- Giả sử không có câu hỏi ở câu a mà chỉ có câu hỏi ở câu b thì để tính khoảng cách từ O
đến SC ta đi tính khoảng cách từ A đến SC trước rồi từ đó suy ra khoảng từ O đến SC.
- Học sinh có thể tính OK bằng cách áp dụng vào tam giác vuông OKC có cạnh OC = 5a
3 5a 3
OK = OC.sin 600 = 5a.
=
µC = 600
2
2 .
và có góc
suy ra

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác DAB và DAC là hai tam giác đều cạnh 2a ,
tam giác ABC vuông ở A. Gọi M là trung điểm của AD, hãy tính khoảng cách
từ diện tích tam giác MBC và khoảng cách từ B đến CM.

D

Phân tích:
Để tính khoảng cách từ B đến
MC thì ta có thể dựa trực tiếp
vào tam giác BCM. Vậy ta phải
nhận dạng được tam giác BCM
là tam giác gì. Để nhận dạng
tam giác thì ta đi tính các cạnh
của tam giác

M
C

A

K

B

Lời giải:
Tam giác DAB và DAC là hai tam giác đều cạnh 2a nên BM = CM = a 3 .
Tam giác ABC là tam giác vuông ở A và có cạnh góc vuông là 2a nên BC = 2a 2
Trang 3


Vậy tam giác MBC là tam giác cân ở M. Gọi K là trung điểm của BC
⇒ AK =

BC

=a 2
2

Ta có MK là đường cao của tam giác ABC, ta cần đi tính MK
Trong tam AMK vuông ở K

AD ⊥ ( MBC ) ⇒ AD ⊥ MK

(vì

)

MK = AK 2 − AM 2 = a

 Vậy diện tích tam giác MBC là

S MBC =

1
1
MK .BC = a.2a 2 = a 2 2
2
2

2S
1
2a 2 2 2a 6
S MBC = CM .d ( B, CM ) ⇒ d ( B, CM ) = MBC =
=
2

CM
3
a
3
 Ta có

 Nhận xét:
Giả sử không có ý tính diện tích tam giác MBC thì chúng ta cũng phải đi xác định các
yếu tố của tam giác MBC để xem nó là tam giác gì. Bài giải trên là một cách tính khoảng
cách dựa vào công thức tính diện tích tam giác.
Bài tập áp dụng
1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O. SA = a và vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi I,M theo thứ tự là trung điểm của SC,AB.
a) Chứng minh rằng:

OI ⊥ ( ABCD )

.

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM, từ đó suy ra khoảng cách S đến
CM.
( Gợi ý: Gọi H là hình chiếu của O trên CM, tính OH, rồi suy ra IH
d ( S , CM ) SC
=
= 2 ⇒ d ( S , CM ) = 2d ( I , CM ) = 2 IH
d ( I , CM ) IC

)

0

·
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA=SB= 2a , ABC = 60 và

SA ⊥ ( ABCD )

.

a) Chứng minh BD ⊥ SC , suy ra
b) Tính

d ( O, SB )

( Gợi ý: Câu a)

và

d ( D, SB )

d ( O, SC ) =

d ( O, SC )

.

.

1
d ( A, SC )
d A, SC )
2

, đi tính (

Trang 4


Câu b)

d ( D, SB ) = 2d ( O, SB )

, đi tính

d ( O, SB )

Gọi H là hình chiếu của O trên SB, khi đó
SBO vuông ở O,

SO =

d ( O, SB ) = OH

với tam giác

a 5
a 3
, OB =
2
2 )

SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a.
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

Gọi

E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE.
⇒ d ( S , BE ) = SH
( Gợi ý: Kẻ AH ⊥ BE tại H, chứng minh BE ⊥ SH

Kéo dài BE cắt AD tại M ⇒ AM = 2a . Xét ∆ABM tính được AH
Dựa vào tam giác SAH để tính SH)

GIẢI PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH

TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể xem là phần quan trọng nhất
trong bài toán tính khoảng cách bởi vì không những được hỏi trực tiếp mà còn dùng để tính
các loại khoảng cách khác.
Những khó khăn của đa số học sinh:
- Lúng túng không biết hình chiếu của M nằm trên đường nào trong mặt phẳng (P).
- Lúng túng trong suy nghĩ: có thể tính được khoảng cách từ M đến (P) mà không cần dựng
hình chiếu của M trên (P) hay không?
 Để giải quyết một bài toán thì cần có kết kợp của nhiều yếu tố như: đọc và hiểu đề, vẽ
hình, chọn phương pháp giải. Vì vậy để giải quyết một phần sự lúng túng của học sinh, tôi
trình hai phương pháp giải những bài toán này: tính khoảng cách trực tiếp, tính khoảng
cách gián tiếp, để học sinh có hướng tiếp cận bài toán một cách nhanh chóng.
I. TÍNH KHOẢNG CÁCH TRỰC TIẾP
- Là ta phải dựng được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, sau đó mới đi tính toán.
- Cơ sở để dựng được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng là: hai mặt phẳng vuông
góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a
vuông góc với mặt phẳng kia. Cho học sinh ghi nhớ các bước xác định khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (P).
Trang 5

— Tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P).
— Tìm giao tuyến  của (Q) và (P).
— Trong (Q), kẻ MH vuông góc với . Khi đó d(M,(P))= MH.

- Bước làm khó nhất là tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). Thường nếu ta
∆ ⊂ ( P)
thấy trong hình chóp có SM ⊥ ∆ ( với
) thì (Q) là mặt phẳng chứa SM và vuông

góc với ∆ .
SA ⊥ ( ABC )
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,
và

góc giữa SB và mặt (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC).
Hướng giải quyết
- Xác định được mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
- Xác định được giao tuyến của mặt phẳng đó với (SBC).
- Kẻ đường vuông góc hạ từ A xuống giao tuyến.
Từ dấu hiệu BC ⊥ SA nên ta dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc với BC
Lời giải:
S

H

C

A

60 0

I

B

Gọi I là trung điểm của cạnh BC, khi đó AI ⊥ BC và

AI =

a 3
2

(1)

 BC ⊥ AI
⇒ BC ⊥ ( SAI )

SBC ) ⊥ ( SAI )
Ta có:  BC ⊥ SA
suy ra (
.

Giao tuyến của mặt phẳng (SBC) và (SAI) là SI . Vậy trong (SAI) ta kẻ AH vuông góc với
SI tại H, suy ra AH là khoảng cách từ A đến (SBC).
Trang 6

1
1
1
=
+ 2
2
2
AS
AI
Trong tam giác vuông SAI ta có: AH

(2)

0
·
Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB, suy ra góc SBA = 60 .
0
Trong tam giác SAB ta có : SA = AB.tan 60 = a 3

1
1
=
2
AH
a 3

(

Thay (1) và (3) vào (2) ta được :

Suy ra

AH 2 =

)

2

+

(3)
1
2

a 3

÷
 2 

=

5
3a 2

3a 2
3
⇒ AH = a
5
5.

Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

a

3
5.

 Nhận xét: Trong lời giải trên mặt phẳng (SAI) đóng vai trò là mặt phẳng (Q)
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

SA ⊥ ( ABC )

Biết rằng: AC = 4, BC = SB = 5 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích: Nhận thấy dấu hiệu SA ⊥ BC nên ta đi dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc
với (SBC).
Lời giải
Trong tam giác ABC kẻ AI vuông góc với BC. Ta có
 BC ⊥ AI
⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAI )

 BC ⊥ SA

Trang 7


S

H

C

A

I
B

Mặt phẳng chứa SA và vuông góc với (SBC) là (SAI).
Giao tuyến của (SAI) và (SBC) là SI. Kẻ AH vuông góc với SI tại H =>

d ( A, ( SBC ) ) = AH

1
1
1
=
+ 2
2
2
AS
AI
Trong tam giác SAI ta có : AH
2
2
2
2
Trong tam giác ABC : AB = BC − AC = 5 − 4 = 3 , suy ra :

1
1
1

1 1
25
=
+
= + =
2
2
2
AI
AB
AC
9 16 144
2
2
Trong tam giác SAB : SA = SB − AB = 4

1
1
1
1 25
34
=
+ 2
+
=
2
2
2
AS
AI = 4 144 144

Vậy AH

=>

AH =

12
12
d ( A, ( SBC ) ) =
34 =>
34 .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a , đường
chéo AC = a . SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của
AB. Hãy tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo a .
Phân tích

Trang 8


Đầu tiên ta xem SI có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không, nếu vuông góc thì
SI sẽ vuông góc với một đường nằm trong (SBC). Khi đó ta dựng được mặt phẳng chứa SI
và vuông góc với mặt phẳng (SBC) như ví dụ 1 và ví dụ 2.
Lời giải:
S

H

D

A

I

B

Ta có

O

F

C

E

SI ⊥ AB, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD )

.

 BC ⊥ AE
⇒ IF ⊥ BC

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE, ta có  IF / / AE
.
 BC ⊥ IF
⇒ BC ⊥ ( SIF ) .

BC

⊥
SI

Ta có:

Trong mặt phẳng (SIF), dựng IH ⊥ SF với H ∈ SF .
 IH ⊥ SF
⇒ IH ⊥ ( ABC ) ⇒ d ( I , ( SBC ) ) = IH .

IH
⊥
BC

Ta có:
a 3
3a
·
·SCI
·SCI = 600 CI = 2 ⇒ SI = CI .tan SCI = 2 .
Góc giữa SC và (ABCD) là
nên
,
AE =

a 3
AE a 3
⇒ IF =
=
2
2

4 .

1
1
1
4
16
52
= 2+ 2 = 2+ 2= 2
2
IS IF
9a 3a
9a
Từ đó: IH

Trang 9


Do đó

d ( I , ( SBC ) ) = IH =

3a 13
26 .

Nhận xét: Với giả thiết đã cho nếu để ý một chút ta có thấy tam giác ABC là tam giác đều
nên CI ⊥ AB . Có thể không cần dựng chính xác điểm F, ta dựng IF ⊥ BC và tính
1
1
1

1
1
1
1
= 2+ 2
= 2+ 2+ 2
2
2
IB
IC , từ đó suy ra IF
IS IB
IC .
IF theo công thức IF

II. TÍNH KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP
Khi tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) thì không phải lúc nào ta cũng
dễ dàng dựng được đoạn vuông góc từ M đến (P), hoặc khi dựng được thì việc tính toán
phức tạp, trong trường hợp đó ta có thể tính khoảng cách từ M đến (P) bằng một trong
các cách sau:
Phương pháp:
3V
1
d ( A, ( SBC ) ) = A.SBC
VA.SBC = S SBC .d ( A, ( SBC ) )
S SBC .
3
1) Dựa vào công thức
để suy ra

2) Các trường hợp đặc biệt:

d A, P = d ( B, ( P ) )
và ∀A, B ∈ a thì ( ( ) )

— Nếu

a / / ( P)

— Nếu

( P ) / / ( Q ) và ∀A, B ∈ ( Q ) thì d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) )

3) Sử dụng tỉ số khoảng cách: cho hai điểm A,B và mặt phẳng (P). Gọi
d ( A, ( P ) )

, khi đó:
d ( A, ( P ) )
d ( B, ( P ) )

d ( B, ( AP ) )

IA
IB

B

IA
=
IB

A'
P

=

B'

I

Trang 10


3V
1
d ( A, ( SBC ) ) = A.SBC
VA.SBC = S SBC .d ( A, ( SBC ) )
S SBC .
3
1. Dựa vào công thức
để suy ra

- Chúng ta thường dùng cách này khi đa giác đối diện của đỉnh A là một đa giác đặc biệt
mà ta có khả năng tính ngay được diện tích của đa giác đó.
Ví dụ 1:
Cho khối chóp S.ABC có có tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác SBC là
SA ⊥ ( ABC )
tam giác đều cạnh a 2 và
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng

cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

S

A

C

a 2
B

Nhận xét: Tam giác SBC là tam giác đều nên diện tích của tam giác SBC ta có thể tính dễ
dàng. Vậy để tính

d ( A, ( SBC ) )

ta hướng tới sử dụng công thức

d ( A, ( SBC ) ) =

3VA.SBC
S SBC .

Trước đó ta cần đi tính thể tích khối VA.SBC .
Lời giải:
Tam giác SBC là tam giác đều cạnh a 2 nên suy ra SB = a 2 .
2
2
2
Tam giác vuông cân tại A nên AB=AC và AC + AB = BC . Suy ra

2 AB 2 = BC 2 = 2a 2 ⇒ AB = a

Xét tam giác SAB vuông ở A ta có:

SA = SB 2 − AB 2 =

( a 2)

2

− a2 = a

1
a2
AB. AC =
2
Suy ra diện tích tam giác ABC bằng: 2
1
1 a2
a3
VS . ABC = S ABC .SA = . .a =
3
3 2
6
Vậy thể tích khối S.ABC bằng
Trang 11


3V
1
d ( A, ( SBC ) ) = A.SBC

VA.SBC = .S SBC .d ( A, ( SBC ) )
S SBC
3
* Từ công thức tính thể tích
ta có:
1
a2 3
S SBC = .a 2.a 2 sin 600 =
2
2
Tam giác SBC là tam giác đều nên:

d ( A, ( SBC ) )

Vậy:

a3
a
= 26 =
a 3
3
2
.
3.

 Nhận xét: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng dựa vào thể tích của
khối chóp là một cách làm hay và thường được sử dụng. Vì vậy để thực hiện được phương
pháp này người làm toán cần phải nhận xét được đa giác đối diện của điểm đó có gì đặc
biệt ( chẳng hạn tam giác vuông, tam giác đều hay hình vuông….) để ta đi tìm dữ kiện tính
diện tích của đa giác. Để thành thạo với cách làm này học sinh cần thực hành với nhiều

bài tập nhằm làm quen với cách nhận diện đa giác tính diện tích đa giác đó.
·

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 30 , SBC là tam
giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a
khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
(2013-Khối A)
0

Hướng giải quyết:
- Nhận dạng tam giác SAB.
- Tính thể tích khối S.ABC và diện tích tam giác SAB.
Lời giải:
S

A

K
B
H
C

Ta có:

d ( C , ( SAB ) ) =

3VS . ABC
S ABC .

Trang 12

Gọi H là trung điểm của BC, ta có
Tam giác SBC đều, cạnh a nên

SH ⊥ BC , ( SBC ) ⊥ ( ABC )

SH =

. Suy ra

SH ⊥ ( ABC )

.

a 3
2 .

BC a
a 3
BC = a, ·ABC = 300 ⇒ AC =
= ⇒ AB =
2
2
2
⇒ S ABC =

1
a2 3
1

a3
AB. AC =
⇒ VS . ABC = SH .S ABC =
2
8
2
16

 HA = HB = HC
⇒ SA = SB ⇒ SK ⊥ AB.

SH ⊥ ( ABC )


Gọi K là trung điểm của AB, ta có :
3a 2 a 13
1
a 2 39
SK = SB − KB = a −
=
S SAB = SK . AB =
16
4 suy ra
2
16
2

Do đó

2

d ( C , ( SAB ) ) =

2

3VS . ABC a 39
=
S SAB
13 .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
(2013-khối B)
S

H

Hướng giải quyết:
- Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Nhận dạng tam giác SCD
- Tính thể tích khối chóp S.ACD, diện tích
tam giác SCD

D

A
I

K

B

C

Lời giải
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có SI là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên có
a 3
SAB ) ⊥ ( ABCD )
SI ⊥ ( ABCD )
độ dài bằng 2 . Do (
theo giao tuyến AB nên
.

Trang 13


1
1
a 3 a3 3
VS . ABCD = .S ABCD .SI = .a 2 .
=
3
3
2
6 .
Suy ra
1
a3. 3
VS . ACD = VS . ABCD =

2
12

Nhận xét: ∆SIC = ∆SID ⇒ SC = SD ⇒ ∆SCD cân tại S
Gọi K là trung điểm CD. Khi đó SK là đường cao của tam giác SCD.
Ta có:
S SCD =

SK = IK 2 + IS2 = a 2 +

3a 2 a 7
=
4
2

1
1a 7
a2 7
SK .CD =
.a =
2
2 2
4

d ( A, ( SCD ) ) =

3VA.SCD
S SCD

a3 . 3

a 21
= 2 12 =
7
a . 7
4
.
3.

2. Sử dụng các trường hợp đặc biệt
- Giả sử đang cần tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta phát hiện được hình
chiếu của đỉnh hình chóp trên mặt phẳng đáy là I và điểm A cùng nằm trên một đường
thẳng song song với mặt phẳng (P) thì khi đó ta thường hướng tới việc thay cho việc tính
khoảng cách từ A đến (P) thì ta đi tính khoảng cách từ I đến (P). Ta thường vận dụng trong
các trường hợp sau:
d A, P = d ( B, ( P ) )
và ∀A, B ∈ a thì ( ( ) )

— Nếu

a / / ( P)

— Nếu

( P ) / / ( Q ) và ∀A, B ∈ ( Q ) thì d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) )

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
(2013-khối B)

Trang 14


S

Hướng giải quyết
- Tính khoảng cách từ A đến (SCD) thông
qua một điểm khác. Ta thấy AB//(SCD) nên
khoảng cách từ A đến (SCD) bằng khoảng
cách từ một điểm nào đó trên cạnh AB đến
(SCD).

H

D

A
I

K

B

C

- Ta nhận thấy điểm A và I cùng nằm trên đường thẳng song song với (SCD)
d ( A, ( SCD ) ) = d ( I , ( SCD ) )

, vì vậy từ dấu hiệu

SI ⊥ ( ABCD )

ta đi tính khoảng cách từ I đến

(SCD).
Lời giải
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có SI là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên
a 3
SAB ) ⊥ ( ABCD )
SI ⊥ ( ABCD )
có độ dài bằng 2 . Do (
theo giao tuyến AB nên
.

Suy ra

VS . ABCD

1
1 2 a 3 a3 3
= .S ABCD .SI = .a .
=
3
3
2
6

Nhận thấy AI//(SCD) nên

d ( A, ( SCD ) ) = d ( I , ( SCD ) )

Gọi K là trung điểm của CD, H là hình chiếu của I trên SK. Ta có:
CD ⊥ IK
⇒ CD ⊥ ( SIK ) ⇒ CD ⊥ IH

CD ⊥ SI
 IH ⊥ CD
⇒ IH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( I , ( SCD ) )

IH
⊥
SK

= IH
Vậy
d ( I , ( SCD ) ) = HI =

IS .IK
IS + IK
2

2

=

a 21
a 21
⇒ d ( A, ( SCD ) ) =
7
7 .

Nhận xét:
- Giả sử câu hỏi là tính khoảng cách từ điểm B đến (SCD) hoặc một điểm M bất kì nằm
trên đường thẳng AB thì các khoảng cách này cũng bằng với khoảng cách từ điểm I đến
(SCD) vì vậy ta cũng quy về tính khoảng cách từ I đến (SCD).
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân AB = AC = a ,
·
BAC
= 1200 . Mặt phẳng ( AB ' C ') tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối lăng
Trang 15


AB ' C ')
trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (

theo a .
Hướng giải quyết:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng.

AB ' C ')
AB ' C ')
- Nhận xét mối quan hệ giữa B ' C ' và mặt (
. Nếu B ' C ' // (
thì khoảng cách
AB ' C ')
AB ' C ')
giữa B ' C ' và mặt (
bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên B ' C ' đến (

C

A

Lời giải:
AB
'
C
',
A
' B ' C ' đều cân và cùng
Tam giác

K
B

H

chung đáy B ' C ' .
Gọi I là trung điểm của B ' C ' khi đó
A ' I và AI cùng vuông góc với B ' C ' .

Suy ra góc giữa

A'

( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') là

C'

60 0

I

góc ·AIA ' => ·AIA ' =600.
- Tam giác A ' B ' I vuông ở I và có

B'

· ' A ' I = 600
A ' B ' = a, B
nên ta tính được

- Trong tam giác AIA' ta có

AA ' = A ' I tan 600 =

-Ta có diện tích tam giác A ' B ' C ' bằng

S A ' B 'C ' =

a 3
2 .
1
1
3 a2 3
A ' B '. A ' C 'sin1200 = a.a.
=
2
2
2
4

a 2 3 a 3 3a 3
.
=
2
8
- Thể tích khối AB ' C ', A ' B ' C ' là 4
 BC / / B ' C '
⇒ BC / / ( AB ' C ' )

B ' C ' ⊂ ( AB ' C ' )


- Ta có

Gọi K là trung điểm của BC, khi đó

d ( BC , ( AB ' C ') ) = d ( K , ( AB ' C ' ) )

Gọi H là hình chiếu của K trên AI.

Trang 16


 KH ⊥ AI
⇒ KH ⊥ ( AB ' C ')

⇒ d ( K , ( AB ' C ') ) = KH
 KH ⊥ B ' C '
1

1
1
4
4
16
=
+ 2 = 2+ 2= 2
2
2
KA KI
a 3a
3a
- Trong tam giác KAI (vuông ở K) ta có KH
KH =

a 3
a 3
d ( BC , ( AB ' C ' ) ) = KH =
4 . Vậy
4 .

Nhận xét :

- Trong việc tính khoảng cách trên, ta dễ dàng nhận biết được BC// (
- Có thể thấy

d ( K , ( AB ' C ') ) = d ( A, ( AB ' C ' ) )

AB ' C ')

.

nên ta có thể tính khoảng cách này dựa vào

tam giác AA ' I .
3. Sử dụng tỉ số khoảng cách:

Cho hai điểm A,B và mặt phẳng (P). Gọi

I = AB ∩ ( P )

d ( A, ( P ) )

, khi đó:

d ( B, ( P ) )

=

IA
IB

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm
a 3
của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng 6 . Tính

khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) theo a .

S

H

Hướng giải quyết
- Ta nhận thấy đường thẳng OG cắt
d ( O, ( SCD ) )

(SCD) tại A nên

d ( G, ( SCD ) )

=

A

AO
AG

K

G

D

I

O
B
C

Lời giải

Trang 17


Ba điểm A,G,O thẳng hàng. Trong tam giác SAC ta có:

AO =

3
AG
2

Ta có đường thẳng OG cắt (SCD) tại A nên
d ( O, ( SCD ) )

d ( G, ( SCD ) )

=

AO 3
3
3 a 3 a 3
= ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = d ( G , ( SCD ) ) = .
=
AG 2
2
2 6
4

.

Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã khai thác được mối quan hệ giữa khoảng cách từ
điểm O đến (SCD) và khoảng cách từ G đến (SCD).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = AD = 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi

I là trung điểm của đoạn AD, hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc
với (ABCD). Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
S

H
A

B

I
K
D

C

E

( SBI ) ⊥ ( ABCD )

( SCI ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD )

( SBI ) ∩ ( SCI ) = SI
Ta có: 

Trong (ABCD), dựng IK ⊥ BC , K ∈ BC
Trong (SIK), dựng IH ⊥ SK , H ∈ SK .
Từ

IH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( I , ( SBC ) ) = IH

Trang 18


S IBC = S ABCD − S DIC − S ABI = 3a 2 −

a2
3a 2
− a2 =
2
2

E = AI ∩ ( SBC )
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AD ∩ BC thì
.

Trong tam giác ABE: DC//AB và

trung điểm của BE. Ta có
⇒ IK =

BC =

DC =

1
AB
2
nên DC là đường trung bình, suy ra C là

1
1
1
BE =
AB 2 + AE 2 =
2
2
2

( 2a )

2

+ ( 4a ) = a 5
2

2 S IBC 3a 2 3a 5
=
=
BC
5
a 5

3a 15
·

·
·
SKI
⇒ SKI
= 600 ⇒ SI = IK .tan SKI
=
5
Góc giữa (SBC) và (ABCD) là
1
1
1
5
5
20
3a 15
= 2+ 2 =
+ 2 =
d ( I , ( SBC ) ) = IH =
2
2
2
IS IK
27 a 9a
27 a Suy ra
10 .
Ta có: IH
d ( A, ( SBC ) )

Ta có:

d ( I , ( SBC ) )

=

EA 4
=
EI 3

=>

d ( A, ( SBC ) ) =

4d ( I , ( SBC ) )
3

=

2a 15
5

Nhận xét: Sử dụng tỉ số khoảng cách ta có thể tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng thông qua điểm khác, quan trọng là biết cách xuất phát từ điểm nào
trước. Từ dấu hiệu

SI ⊥ ( ABCD )

, ta chọn khoảng cách từ điểm I đến (SBC) bằng

phương pháp trực tiếp trước. Sau đó dựa vào tỉ số khoảng cách để suy ra khoảng
cách cần tìm.

Bài tập áp dụng
1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 2a . Gọi I là giao điểm
của AC và BD, hãy tính khoảng cách từ I đến một mặt bên của hình chóp.
(Hướng dẫn : Gọi K là trung điểm của CD, gọi H là hình chiếu của I trên SK
⇒ d ( I , ( SCD ) ) = IH

. Tính SI, rồi áp dụng vào tam giác SIK để tính IH
Đáp số:

d ( I , ( SCD ) ) = a

2
3 ).

Trang 19


2. Cho S.ABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân tại đỉnh B và AC = 2a ,
cạnh

SA ⊥ ( ABC )

và SA= a .

a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
(Gợi ý: tính được cạnh BA=BC= a 2 . Chứng minh tam giác SBC vuông. Tính được
VS . ABC , S SBC rồi suy ra khoảng cách d ( A, ( SBC ) ) . Còn

Đáp số:

3. Cho hình chóp S.ABCD có

SA = 3a, SA ⊥ ( ABC )

d ( O, ( SBC ) ) =

1
d ( A, ( SBC ) )
2

d ( A, ( SBC ) ) =

2a
6 ).

. Tam giác ABC có AB = BC = 2a,

·ABC = 1200
. Tính thể tích khối tứ diện S.ABC và tính khoảng cách từ A đến (SBC).
AH ⊥ ( SBC )
( Hướng dẫn: vẽ AI ⊥ BC tại I, vẽ AH ⊥ SI , chứng minh
⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH

. Đáp số

d ( A, ( SBC ) )

3a
= 2
).

4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi SH là đường cao của hình
a 3
chóp và bằng 2 . Tính khoảng cách từ trung điểm I của SH đến (SBC).
1
d ( H , ( SBC ) )
d H , SBC ) )
( Gợi ý: HI cắt (SBC) tại S, d(I,(SBC))= 2
. Tính ( (
)

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của SA. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
( Hd: Gọi I là trung điểm của AB, khi đó:

Đáp số:

d ( M , ( SCD ) ) =

d ( M , ( SCD ) ) =

1
1
d ( A, ( SCD ) ) = d ( I , ( SCD ) )
2
2

a 21
14 )

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; với AB = 2a, AD = a , tam giác SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến (SBC).
(Hd:

AD / / ( SBC ) ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )

Trang 20


Tính

VA.SBC , S SBC ⇒ d ( A, ( SBC ) )

. Đáp số

d ( D, ( SBC ) ) = a 3

)

GIẢI PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau luôn là bài toán khó với
phần lớn học sinh. Để giải quyết được bài toán này học sinh cần nắm được các kiến thức cơ
bản sau:
1. Cách tìm đường thẳng vuông góc đường vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau a và b
- Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa b và
song song với a. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và vuông góc với (P). Mặt phẳng (Q) cắt b

tại M và cắt (P) theo giao tuyến a’. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) ,
khi đó ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) và cắt a tại N. Đường thẳng ∆ cùng vuông góc với hai
đường thẳng a và b nên ∆ chính là đường vuông góc chung của a và b, còn độ dài đoạn
thẳng MN là khoảng cách giữa hai đường chéo nhau đó.
a

N

a'

M

Q
P

b
∆

 Nhận xét:
— Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai
đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
— Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
2. Phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
Cách tính bằng cách xác định trực tiếp đoạn vuông góc chung thường khó với đa số học
sinh vì nó liên quan nhiều đến phần chứng minh quan hệ vuông góc nên tôi xin trình bày
hai trường hợp sau:
 Trường hợp a ⊥ b
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và vuông góc
với a tại A.

- Trong (P) dựng AB ⊥ b tại B. Khi đó độ
dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai

a

b

A
B
P

Trang 21


đường thẳng chéo nhau a và b.
 Trường hợp tổng quát
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và song song
với a .

a

- Gọi a ' là hình chiếu của vuông góc của a
trên (P).
- Mặt phẳng (Q) chứa a và a ' cắt b tại B.
Qua B dựng đường thẳng ∆ vuông góc với
(P), gọi A = ∆ ∩ a . Khi đó độ dài đoạn thẳng
AB chính là khoảng cách giữa hai đường
chéo nhau a và b

A

Q
B

a'

P

b
∆

3. Một số ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao và bằng a .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng (SMN) vuông góc với (SCD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Hướng giải quyết:
- Trước tiên ta nhận thấy hai đường thẳng SC và AB là hai đường thẳng chéo nhau và
không vuông góc nên ta đi tìm một mặt phẳng chứa đường này và song với đường kia
Lời giải
S

H
A

M

D

C

B

a)

Ta có

CD ⊥ MN

N

O

 MN / / BC
⇒ MN ⊥ CD

CD
⊥
BC

(vì

( 1)

 MN / / BC

CD ⊥ BC )

CD ⊥ SN ( vì tam giác SCD cân tại S)

=>

CD ⊥ ( SMN )
Trang 22


Mà

CD ⊂ ( SCD )

nên

( SCD ) ⊥ ( SMN )

b) Ta có AB//CD nên AB//(SCD)

⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( M , ( SCD ) )

trong tam giác SMN kẻ MH ⊥ SN .
Do

CD ⊥ ( SMN ) ⇒ CD ⊥ MH

 MH ⊥ SN
⇒ MH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( M , ( SCD ) ) = MH

MH
⊥
CD


Ta có :

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO là chiều
cao của hình chóp, suy ra SO = a .
Trong tam giác SMN ta có : MH.SN=SO.MN
⇒ MH =

Vậy

d ( AB, SC ) =

SO.MN
=
SN

SO.MN
SO 2 + ON 2

=

a2
2a 5
=
5
a 5
2

2a 5
5

Nhận xét :
—Mặt phẳng (SCD) là mặt phẳng chứa SC và song song với AB nên khoảng cách giữa AB
và SC bằng khoảng cách giữa AB và (SCD). Đến đây bài toán lại quy về tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng. Ta cần khéo léo trong việc chọn một điểm nằm trên cạnh
AB, ta thường nghĩ tới những điểm đặc biệt trên đoạn AB như trung điểm của đoạn AB.
Cách tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau dựa vào khoảng cách giữa một đường
với một mặt chứa đường còn lại và song song với nó là một cách thường dùng nhất.
— Ta có thể tính MH bằng cách tính

d ( O, ( SCD) )

dựa vào nhận xét MH=2

d ( O, ( SCD) )

.

SA ⊥ ( ABCD )
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ,
.

Gọi M là trung điểm của SD, góc tạo bởi SD và mặt phẳng đáy bằng 450.
tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và CM.

Trang 23


S

Phân tích:

- Từ dấu hiệu M là trung
điểm ta nghĩ tới việc chứng
minh quan hệ song song.
- Gọi I là trung điểm của
BD thì IM là đường trung
bình của tam giác SBD nên
SB//IM. Vậy
d(SB,CM)=d(SB,(CMA))
Hướng giải quyết:
- Chứng minh SB//(AMC) =>

M

A
D

I
B

C

d ( SB, CM ) = d ( SB, ( AMC ) ) = d ( B, ( AMC ) ) = d ( D, ( AMC ) )

- Tính VD. AMC , S AMC
Lời giải:

-

0
·

Hình chiếu của SD trên (ABCD) là AD nên SDA = 45 .

Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A ⇒ SA = a .
Khi đó

VS . ABCD =

a3
3

⇒ SB / / ( AMC )
Gọi I = AC ∩ BD , suy ra MI / / SB
d ( SB, CM ) = d ( SB, ( AMC ) ) = d ( B, ( AMC ) ) = d ( D, ( AMC ) )

(vì (AMC) đi qua trung điểm

của BD).
Ta lại có

VD. AMC

1
a3
= VS . ABCD =
4
12

Ta cần đi tính diện tích tam giác MAC.
Nhận thấy trong tam giác MAC có đường trung tuyến
MI =

MI =

1
SB
a 2
MI =
2
2 )
(vì

AC
2 . Vậy tam giác AMC vuông ở M (Đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối

diện)
a 2
a 2
1
a2
AM =
⇒ CM =
⇒ S MAC = MA.MC =
2
2
2
4
Ta lại có
Trang 24

d ( D, ( AMC ) ) =

Vậy

3VD. AMC
a
=
S AMC
3
a
3

d ( SB, CM ) =

 Nêu vấn đề:
- Nếu ta thay đổi câu hỏi là: tính khoảng cách từ trung điểm của SB đến mặt phẳng
(AMC) thì ta làm như thế nào?
Gợi ý: Khoảng cách này bằng khoảng cách từ B đến (AMC), vậy ta cũng quy về tính
khoảng cách từ B đến (AMC).
Ví dụ 3 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
AB = a, BC = SA = 2a, SA ⊥ ( ABC )

. Gọi M là trung điểm của cạnh AC.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM.
Hướng giải quyết :
Nhận thấy điểm A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) nên ta hướng tới việc
α
tìm mặt phẳng ( ) chứa SM và song song với AB, khi đó khoảng cách giữa A và SM là

khoảng cách từ A đến

( α ) . Tương tự ta cũng tính khoảng cách giữa BC và SM bằng

cách tìm mặt phẳng chứa SM và song song với BC.
Lời giải :
a) Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình chữ nhật AIMD, với I là trung điểm của AB.
 AB / / DM
  MD ⊥ AD ⇒ AB / / ( SDM )
DM ⊂ ( SDM )
Ta có   MD ⊥ SA ⇒ MD ⊥ ( SAD )
Mặt khác 

(
) ( (
))
Do
đó⊂ ( SDM
MD
) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SDM )
d AB, SM = d A, SDM

Mà

d ( BC , SM ) = d ( B, ( SIM ) )

MD ⊂ ( SDM ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SDM )

theo giao

tuyến SD.
Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH thì
AH ⊥ ( SDM ) ⇒ d ( A, ( SDM ) ) = AH

Trong tam giác vuông SAD tại A ta có:
AD = MI = a
1
2

=

1
2

+

1
2

=

1
2

+

1
2

=

5
2

Trang 25