Giá trị của hàm zeta riemannn (LV01755)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

PHẠM THỊ PHƯỢNG

GIÁ TRỊ CỦA HÀM ZETA RIEMANN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hào,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn
thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,
các giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Phượng

i


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào.

Tôi xin cam đoan luận văn “Giá trị của hàm zeta Riemann”
không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Phượng

ii


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Xây dựng tập hợp số phức . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Một số khái niệm về topo trên mặt phẳng phức

5

1.1.3

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.6

Không điểm, cực điểm . . . . . . . . . . . . . .

22

1.1.7

Thặng dư của hàm biến phức . . . . . . . . . .

26

Hàm gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2 Một số vấn đề về giá trị của hàm zeta Riemann
2.1

37

Hàm zeta Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.1.1

Khái niệm về hàm zeta Riemann . . . . . . . .

37

2.1.2

Một số công thức biểu diễn khác của hàm zeta

2.1.3

Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Thác triển của hàm zeta Riemann . . . . . . . .

40

iii


2.2

2.3

Vấn đề về giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm
nguyên dương chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2.1

Biểu diễn gốc của số Bernoulli . . . . . . . . . .

46

2.2.2

Biểu diễn số Bernoulli từ hàm giải tích . . . . .

48

2.2.3

Đa thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.2.4

Một số tính chất của đa thức Bernoulli . . . . .

51

2.2.5

Kết quả của Euler . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.6

Mối quan hệ giữa ζ(k) và Bk

53

. . . . . . . . . .

Giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm nguyên dương 55

iv


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Hàm zeta Riemann là một trong những hàm
quan trọng và có sức cuốn hút rất lớn đối với giới Toán học. Nhà toán
học L. Euler là người đầu tiên giới thiệu hàm này, nó được định nghĩa
bởi chuỗi

∞

ζ(s) =
n=1

1
.
ns

Chuỗi này hội tụ khi s là số phức với Re(s) > 1.
Năm 1734, Euler đã khám phá ra một sự kiện đáng kinh ngạc, ông
tuyên bố rằng đã xác định được tất cả các giá trị ζ(2), ζ(4), ζ(6), ....
Thêm nữa, ông cũng đã khám phá mối liên hệ đẹp đẽ giữa các số
nguyên tố với hàm ζ(s). Tuy nhiên, giới Toán học đương thời khi đó
chưa đánh giá cao về sự kiện này. Mãi đến năm 1859, qua sự thác triển
hàm này lên toàn mặt phẳng phức C trừ ra tại s = 1 của nhà toán học
Riemann, các nhà Toán học mới thực sự thấy được tầm quan trọng
của vấn đề trên đây. Thậm chí tới tận ngày nay, việc nghiên cứu hàm
zeta Riemann vẫn còn chứa đựng nhiều sự huyền bí. Điều này, ta có
thể nói ngay đến việc ngoài các không điểm tầm thường của hàm này
tại −2, −4, −6, ... thì sự phân bố của các không điểm khác vẫn chỉ ở
mức độ mang tính phỏng đoán. Đây là một trong bảy giả thuyết của
Riemann, mà đến nay vẫn chưa giải quyết được.
Ngoài vấn đề trên đây, hiện nay người ta cũng rất quan tâm đến việc
tính giá trị của hàm zeta Riemann, đã có một số phương pháp tính
các giá trị của hàm ζ(2n). Chẳng hạn, ta có thể kể đến phương pháp
khai triển chuỗi Fourier, dùng tích vô hạn, dùng một số phương trình
1


hàm, dùng thặng dư của hàm biến phức. Tuy nhiên, việc tính giá trị
của hàm zeta Riemann với số mũ lẻ ζ(2n + 1) vẫn còn là vấn đề hiện
được các nhà Toán học quan tâm và cũng chưa có được các kết quả
đẹp như giá trị của ζ(2n). Năm 1979, Apéry [1], chứng minh được
rằng các giá trị ζ(2) và ζ(3) là các số vô tỷ. Gần đây hơn năm 2001,

Zudilin [8] cũng đã chỉ ra rằng các giá trị ζ(3), ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)
cũng là các số vô tỷ.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về giá trị của hàm zeta Riemann
tại các số nguyên dương lẻ, nên tôi đã chọn đề tài “Giá trị của hàm
zeta Riemann”.
2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu một số vấn đề về hàm zeta Riemann. Giới thiệu một phương pháp tính giá trị của hàm zeta Riemann
tại các số nguyên dương lẻ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu các giá trị của hàm zeta
Riemann tại các số nguyên dương lẻ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Trình bày một số kết quả
nghiên cứu về hàm zeta Riemann và một số kỹ thuật tính tổng của
hàm này.
5. Phương pháp nghiên cứu. Sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu.
6. Đóng góp của đề tài. Trình bày một số phương pháp tính giá
trị của hàm zeta Riemann. Đặc biệt, việc tính giá trị của hàm này tại
các số nguyên dương lẻ.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Số phức và mặt phẳng phức
Xây dựng tập hợp số phức

Số phức là số có dạng z = x + iy, với x, y ∈ R với i là đơn vị ảo mà
i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu lần lượt bởi

x = Rez; y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C và được đồng nhất với mặt
phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có

3


z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 );
và
z1 .z2 =(x1 + iy1 )(x2 + iy2 )
=x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
=(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá
trị |z| =

x2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký

hiệu và xác định bởi z¯ = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra
được các mối liên hệ dưới đây

Rez =

z + z¯
z − z¯
, Imz =

2
2i

và
1
z¯ 1
z¯
= 2 , = 2 , với z = 0.
z
|z| z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực
z = r.eiθ ; với r > 0, θ ∈ R.
Trong đó r là modul và θ được gọi là argument của số phức z và ký
hiệu là argz (argument của số phức z được xác định một cách duy
nhất với sự sai khác một bội của 2π). Argument của số phức z thỏa
mãn 0 ≤ argz < 2π được gọi là argument chính, ký hiệu là phz. Ta có
4


eiθ = cosθ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục
Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối
cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2

Một số khái niệm về topo trên mặt phẳng phức

Cho z0 ∈ C và r > 0. Ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp

Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} ;
đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r}.
Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} .
Đĩa mở có tâm z0 = 0 và bán kính r = 1 gọi là đĩa đơn vị, ký hiệu là
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r}.
Cho tập Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn
tại r > 0 sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là intΩ gồm
tất cả các điểm trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó
đều là điểm trong.
Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm
z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các
điểm zn ∈ Ω sao cho zn = z và lim zn = z. Chúng ta có thể kiểm tra
n→∞

5


được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.
Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, được
¯ Biên của Ω được kí hiệu và xác định bởi ∂Ω = Ω\intΩ.
¯
ký hiệu là Ω.
Tập Ω là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho
|z| ≤ M ; với mọi z ∈ Ω.
Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} .
Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Ω ⊂ C
được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng

Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1 ∪ Ω2 và Ω1 ∩ Ω2 = ∅. Một tập mở liên thông
trong C được gọi là một miền. Tập đóng F là liên thông nếu không
thể viết F = F1 ∪ F2 ; ở đó F1 và F2 là các tập đóng rời nhau.
1.1.3

Hàm chỉnh hình

Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là
C−khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
;
h

(1.1)

khi h → 0, ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu
bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm phức của hàm f (z) tại điểm z0 . Như vậy,
ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

6


Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại đĩa
mở nào đó Dr (z0 ) ⊂ Ω sao cho f là C−khả vi tại mọi điểm thuộc đĩa

đó. Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm
của Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu
f là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M . Hàm f chỉnh hình
trên C được gọi là hàm nguyên.
Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và
f (z) = 1. Thật vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
(z + h) − z
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f (z0 ) = lim

Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n chỉnh hình trên
mặt phẳng C và
P (z) = a1 + 2a2 z + ... + nan z n−1 .
Trong khi đó, hàm f (z) = z¯ là không chỉnh hình trên toàn mặt phẳng.
Thật vậy, ta thấy
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h
=
=
=
h
h

h
h
không có giới hạn khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và
chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0 ) = a.h + h.ψ(h);

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
h→0

ta có a = f (z0 ).

7


Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm
hai biến có sự khác biệt đáng kể. Như ta đã thấy hàm f (z) = z¯ không
khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ
F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo
hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức
Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa
độ. Mối quan hệ giữa hai khái niệm khả vi đó được phản ánh qua kết
quả dưới đây
Định lý 1.1.1. (Điều kiện Cauchy - Riemann). Điều kiện cần và đủ
để hàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là
tại điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng liên tục của các hàm u(x, y)
và v(x, y); đồng thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy Riemann
∂v

∂u
∂v
∂u
(x, y) =
(x, y); (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x
1.1.4

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n + ...

(1.3)

n=0

trong đó z; an ∈ C; n = 0, 1, 2, ....
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại điểm z0 nào đó,
thì nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| < |z0 |. Hơn nữa, ta cũng
biết rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.3) hội tụ tuyệt
đối.
8

∞

Định lý 1.1.2. (Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa

an z n . Khi đó, tồn

n=0

tại số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) nếu |z| < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối;
(ii) nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
1
1
= ∞ và
= 0, thì số R được
0
∞

Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước
tính bởi công thức

1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi
là đĩa hội tụ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng
phức là các hàm lượng giác

2n+1
∞
z 2n
n z
(−1)
và sinz =
(−1)
.
cos z =
(2n)!
(2n + 1)!
n=0
n=0
∞

n

Bằng tính toán đơn giản ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
eiz + e−iz
eiz − e−iz
cosz =
và sinz =
.
2
2
∞

Định lý 1.1.3. Chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n xác định một hàm

n=0

chỉnh hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f (z) cũng là một
chuỗi lũy thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi
với hàm f (z), tức là
∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f (z) có cùng bán kính hội tụ với f (z).
9


1

Chứng minh. Bởi vì lim n n = 1, nên ta có
n→∞

1

1

lim sup |an | n = lim sup |nan | n .

n→∞

∞

Do đó, chuỗi

n→∞

an z n và

n=0

∞

nan z n−1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng

n=0

minh khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi
∞

g(z) =

nan z n−1

n=1

bằng đạo hàm của f (z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f (z) và giả
sử |z0 | < r < R. Ta viết
f (z) = Sn (z) + EN (z);
với
N

∞

n

an z và EN (z) =

SN (z) =
n=0

an z n .

n=N +1

Khi đó, nếu chọn h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
− g(z0 ) =
h

SN (z0 + h) − SN (z0 )
− S N (z0 )
h

+ (S N (z0 ) − g(z0 )) +

EN (z0 + h) − EN (z0 )
.
h

Ta thấy

EN (z0 + h) − EN (z0 )
≤
h

∞

n=N +1
∞

(z0 + h)n − z0 n
|an |
h
|an |nrn−1 ;

≤
n=N +1

ở đó ta đã sử dụng các điều kiện |z0 | < r và |z0 + h| < r. Biểu thức
10


ở vế phải là phần dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệt
đối với mọi |z| < R. Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi
N ≥ N1 ta có
ε
EN (z0 + h) − EN (z0 )
< .
h
3
Bởi vì lim SN (z0 ) = g(z0 ) nên tìm được N2 mà với mọi N ≥ N2 ta

N →∞

có
ε
|S N (z0 ) − g(z0 )| < .
3
Cố định N > max {N1 , N2 } thì ta có thể tìm được δ > 0 sao cho
|h| < δ thì
ε
SN (z0 + h) − SN (z0 )
− S N (z0 ) < .
h
3

Do đó
f (z0 + h) − f (z0 )
− g(z0 ) < ε;
h
khi |h| < δ .
Hệ quả 1.1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của
nó. Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng
cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc
có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy
∞

thừa

an (z − z0 )n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho

n=0
∞

an (z − z0 )n ;

f (z) =
n=0

11


với mọi z trong lân cận của điểm z0 .
Nếu f (z) có khai triển chuỗi lũy thừa tại mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng
f (z) giải tích trên Ω. Từ định lý 1.1.3, ta thấy rằng một hàm giải tích
trên Ω thì cũng chỉnh hình trên đó.

Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp
z2 z3
zn
e =1+z+ + +···+
+···
2! 3!
n!
z

2n+1
z3 z5
n z
+···
sin z = z − + − · · · + (−1)

3! 5!
(2n + 1)!
2n
z2 z4
n z
cos z = 1 − + − · · · + (−1)
+···
2! 4!
(2n)!

z3 z5
z 2n+1
shz = z + + + · · · +
+···
3! 5!
(2n + 1)!
z 2n
z2 z4
+···
cosh z = 1 + + + · · · +
2! 4!
(2n)!
n
z2 z3 z4
n+1 z
ln(1 + z) = z − + − + · · · + (−1)
+ · · ·.
2
3
4

n

1.1.5

Tích phân phức

Lý thuyết tích phân phức được xây dựng trên nền là đường cong trong
mặt phẳng phức. Trước khi giới thiệu khái niệm tích phân phức, chúng
tôi trình bày một số khái niệm cần thiết về đường cong trong mặt
phẳng phức

12


Đường cong tham số. Đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên
đoạn [a, b] và z (t) = 0; với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b
các đại lượng z (a) và z (b) được hiểu như các giới hạn môt phía
z (a) = lim+
h→0

z(a + h) − z(a)
z(b + h) − z(b)
và z (b) = lim−
.
h→0
h
h

Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [ak , ak+1 ]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thể
khác nhau với mọi k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d]
đến [a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Điều kiện t (s) > 0 đảm
bảo hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a
đến b. Họ của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác
định một đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu
được từ γ bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được
xác định như sau
z − : [a, b] → C
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường
cong. Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) =
13


z(b). Đường cong được gọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa
là nếu t = s thì z(t) = z(s).
Ví dụ 1.1.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 bán kính r được xác
định bởi tập hợp
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}.
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit ; t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it ; t ∈ [0, 2π].
Định nghĩa tích phân phức. Cho γ là đường cong được định hướng

dương và được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C. Giả sử
f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f dọc theo γ được xác
định bởi
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn
phương trình tham số đối với γ. Thật vậy, giả sử z¯ là một tham số
hóa tương đương xác định như trên thì
b

d

f (z(t)) .z (t)dt =
a

f (z(t(s))) .z (t(s)) .t (s)ds
c

14


d

=

f (¯
z (s)) z¯ (s)ds.
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
a

Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Ví dụ 1.1.2. Tính tích phân
n

(z − z0 ) dz; n = 0, ±1, ±2, ...
γ

trong đó γ là đường tròn được tham số hóa bởi phương trình
z = z0 + reit ; t ∈ [0, 2π].

Ta có
2π

n

(re ) (ireit )dt = i

(z − z0 ) dz =
γ

2π
it n

0

rn+1 ei(n+1)t dt.
0

Nếu n = −1, thì tích phân trên trở thành
2π

dz
=i
z − z0
γ

dt = 2πi.
0

15

Nếu n = −1 thì ta có
2π

dz
=i
z − z0

dt = 2πi.

γ

0

Ví dụ 1.1.3. Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham
số z = z(t); t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó, các
tích phân dưới đây được tính như sau
b

dz =

I1 =
γ

b

z (t)dt =
a

b

dx(t) + i
b

dy(t)
b

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a).
b

b

I2 =

1
z(t).z (t)dt =
2

zdz =
γ

d z 2 (t) =

1 2
z (b) − z 2 (a) .
2

a

a

Định lý 1.1.4. Nếu hàm f (z) liên tục và có một nguyên hàm F trên
Ω, và γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2
thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Chứng minh. Nếu γ là một đường cong trơn và z(t) : [a, b] → C là
phương trình tham số của đường cong γ thì
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) .z (t)dt
a

16


b

=

F (z(t)) .z (t)dt
a
b

d
F (z(t)) dt
dt

=
a

= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2 ) − F (ω1 ).
Nếu γ trơn từng khúc thì ta có
n−1

[F (z(ak+1 )) − F (z(ak ))]

f (z)dz =
γ

k=0

= F (z(an )) − F (z(a0 ))
= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2 ) − F (ω1 ).

Hệ quả 1.1.2. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu
hàm f (z) liên tục và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.1.3. Nếu f (z) chỉnh hình trong miền Ω và f (z) = 0 thì
f (z) là hàm hằng.

Chứng minh. Cố định điểm ω0 ∈ Ω. Bởi vì Ω liên thông nên với điểm
bất kỳ ω ∈ Ω, tồn tại đường cong γ nối ω với ω0 . Ta có
17


f (z)dz = f (ω) − f (ω0 ).
γ

Bởi vì f (z) = 0 nên

f (z)dz = 0. Do đó f (ω) = f (ω0 ).
γ

Từ các ví dụ 1.1.2 và 1.1.3, chúng ta thấy rằng các tích phân trên
không phụ thuộc vào hình dạng của đường cong và tích phân bằng 0
theo đường cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc
theo đường cong đối với hàm chỉnh hình là
Định lý 1.1.5. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên trong
C với biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f (z) là hàm
chỉnh hình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
f (z)dz = 0.
∂D

Chứng minh. Chúng ta viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi đó
(udx − vdy) + i(vdx + udy).

f (z)dz =
∂D

∂D

Theo định lý Green, ta có
F =
∂D

dF .
D

Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta
có

18


udx − vdy =

−

∂v ∂u
−
dxdy = 0.
∂x ∂y

D

∂D

Tương tự, tích phân của phần ảo trong ngoặc cũng bằng 0 và định lý
được chứng minh.
Định lý 1.1.6. (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f (z) là hàm chỉnh

hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến đóng
bất kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z) =

1
2πi

f (ζ)
dζ; với mọi z0 ∈ Dγ .
ζ − z0
γ

Hơn nữa, nếu f (z) liên tục trên D với ∂D là một chu tuyến đóng thì
với mọi z ∈ D ta có
f (z0 ) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
ζ −z
∂D

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z0 sao
cho Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0 , ρ) tâm z0 bán
kính ρ chứa trong Dγ . Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0 , ρ) và Dγ, ρ =
f (ζ)
là hàm chỉnh hình với mọi z ∈ Dγ \S(z0 , ρ)
Dγ \S(z0 , ρ). Bởi vì

ζ − z0
nên chúng ta có

γ+Cρ−

f (ζ)
dζ = 0.
ζ − z0

Từ đó, chúng ta suy ra

19


f (ζ)
dζ =
ζ − z0
γ

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
Cρ

Thực hiện phép đổi biến đối với tích phân ở vế phải ζ − z0 = ρeit ; 0 ≤
t < 2π, thì dζ = iρeit dt và chúng ta nhận được
2π

f (ζ)
dζ =

ζ − z0
Cρ

f (z0 + ρeit ) it
iρe dt
ρeit

0
2π

f (z0 + ρeit )dt

=i
0
2π

f (z0 + ρeit ) − f (z0 ) dt − 2πif (z0 ).

=i
0

Bởi vì f (z) liên tục, nên khi ρ → 0 thì
f (ζ)
dζ = 2πif (z0 ).
ζ − z0

lim

ρ→0
Cρ

Từ đó, chúng ta suy ra
f (z) =

f (ζ)
dζ.
ζ − z0

1
2πi
γ

Trường hợp f (z) liên tục trên D thì ta có thể thay ∂D cho γ trong
chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn.
Định lý 1.1.7. (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu
f (z) là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f (z) khả vi vô hạn lần
trong D. Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến đóng nằm trong D, thì
20