Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian hilbert (LV01744)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DOÃN HOÀNG VIỆT

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Doãn Hoàng Việt

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2015

1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí,
người đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận
văn.
Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô
giáo trong tổ Giải tích- khoa Toán- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
cùng gia đình, bạn bè và các thành viên trong lớp Toán giải tích Khóa
17 đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Doãn Hoàng Việt


2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn
của TS. Tạ Ngọc Trí. Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu
trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Các
thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kỳ tạp chí, phương
tiện thông tin nào.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Doãn Hoàng Việt


3

MỤC LỤC

Mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

1.2

Đại số Banach và lý thuyết phổ . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Lý thuyết phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Các toán tử compact trên không gian Hilbert . . . . . .

13

2 Phổ của các toán tử tuyến tính bị chặn
2.1

Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp . . . . . . . .
2.1.1

2.2

17
18

Phép toán đối với phiếm hàm liên tục cho các toán
tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2

Độ đo phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.3

Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp . . . .

25

Lý thuyết phổ cho các toán tử chuẩn tắc . . . . . . . . .

30

3 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không
gian Hilbert

34

3.1

Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2

Các toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4

3.3

Các toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3.1

Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3.2

Tiêu chuẩn cho sự tự liên hợp và tự liên hợp thiết
yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

52

Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn và một số ví dụ 56
3.4.1

Một số vấn đề cơ bản cho các toán tử tuyến tính
không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.4.2

Định lý phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.4.3

Các ví dụ cụ thể về các toán tử không bị chặn và
phổ của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Kết luận

80

Tài liệu tham khảo

81


5

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một chuyên ngành chính giữ vai trò rất quan trọng
trong Toán học, nó giúp ta tìm hiểu và phát triển các ngành khác trong

giải tích. Trong giải tích hàm, lý thuyết toán tử đã được hình thành từ
sớm, từ đầu thế kỷ 20 và ngay lập tức nó đóng vai trò chủ đạo trong
ngành giải tích. Lý thuyết toán tử là một nhánh của giải tích hàm liên
quan đến các toán tử và tính chất của chúng.
Cuốn sách đầu tiên về lý thuyết toán tử được Stefan Banach giới thiệu
lần đầu tiên năm 1932. Sau đó nó đã được nhiều nhà Toán học phát triển
và ứng dụng rất nhiều như Hilbert, Gelfand hay von Neumann. . . Họ
đã phát triển nhiều khái niệm mới về toán tử như toán tử đóng, toán
liên hợp, toán tử không biên. . . Và có một cách phát triển hiện đại để
nghiên cứu về các toán tử, đó chính là nghiên cứu Phổ của chúng, tiêu
biểu là lý thuyết phổ của các toán tử tuyến tính T : H1 → H2 . Kết quả
của lý thuyết phổ có thể được mô tả như việc cố gắng phân loại tất cả
các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert.
Một toán tử tuyến tính xác định trên không gian Hilbert và thỏa mãn
điều kiện bị chặn thì nó là toán tử tuyến tính bị chặn. Tuy nhiên nhiều
toán tử tuyến tính lại không thỏa mãn điều kiện bị chặn này dẫn đến
khái niệm “toán tử tuyến tính không bị chặn”. Khái niệm này khá mới
mẻ ngay cả đối với học viên cao học giải tích, và việc tìm hiểu mở rộng
khái niệm phổ của lớp các toán tử không bị chặn này chắc chắn có nhiều
điều thú vị và có nhiều ứng dụng cần được quan tâm. Vì vậy, việc tìm
hiểu vấn đề phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian
Hilbert là cần thiết.


6

Với mong muốn làm phong phú thêm hiểu biết cho những ai muốn
tìm hiểu về giải tích hàm, đặc biệt là các toán tử, đồng thời tìm hiểu sâu
hơn về vấn đề này, cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy TS. Tạ Ngọc Trí,
tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Phổ của toán tử tuyến tính không

bị chặn trong không gian Hilbert”.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Tìm hiểu về toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian
Hilbert, phổ của các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian
Hilbert.
+ Các định lý, ví dụ và kết quả liên quan đến toán tử tuyến tính
không bị chặn trong không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đến
toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert.
+ Nghiên cứu về phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong
không gian Hilbert.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tuyến tính không bị chặn trong
không gian Hilbert, phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong
không gian Hilbert.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tại liệu có
liên quan đến toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert
và phổ của nó.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết phổ: lý thuyết toán tử,
toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert; kiến thức về đại số
Banach.
+ Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích hàm để tiếp cận
vấn đề.
6. Đóng góp mới
+ Trình bày được nhiều lý thuyết về phổ của các toán tử bị chặn.


7

+ Trình bày về khái niệm toán tử tuyến tính không bị chặn, phổ của
toán tử tuyến tính không bị chặn và ứng dụng của toán tử tuyến tính
không bị chặn trong một số ví dụ cụ thể.
7. Nội dung
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1. Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản để làm nền cho các
chương chính để có thể tiếp cận các chương sau như lý thuyết phổ, đại
số Banach, các toán tử compact. . .
Chương 2. Luận văn trình bày về phổ của các toán tử bị chặn. Qua phần
này, tác giả muốn đóng góp thêm các định lý và ví dụ về phổ của các
toán tử tự liên hợp hay các toán tử chuẩn tắc.
Chương 3. Luận văn trình bày về các toán tử tuyến tính không bị chặn
trong không gian Hilbert và đưa ra một số kết quả liên quan đến phổ
của một số toán tử không bị chặn. Thông qua đó, tác giả cũng nêu được
tầm quan trọng và ứng dụng của toán tử không bị chặn trong một số
trường hợp cụ thể.


8

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1
1.1.1

Đại số Banach và lý thuyết phổ
Đại số Banach

Trước hết ta định nghĩa về đại số: Không gian tuyến tính B được gọi là
một đại số nếu trong nó đưa thêm một đại số nữa -phép nhân, thỏa mãn
các tiên đề:
-(1) (f g) h = f (gh) ∀f, g, h ∈ B.
-(2) f (g + h) = f g + f h và (f + g) h = f h + gh ∀f, g, h ∈ B.
-(3) α (f g) = (αf ) g ∀α ∈ C, f g ∈ B.
-(4) Tồn tại phần tử đơn vị e ∈ B sao cho: ef = f e = f.
-(5) Nếu bản thân phép nhân là giao hoán, tức là f g = gf ∀f, g ∈ B.
-(6) f g ≤ f g
∀f, g ∈ B và e = 1.
Một đại số Banach (trên C, và ta luôn giả sử có đơn vị), là một không
gian Banach A với phép nhân
(a, b) → ab
thỏa mãn quy tắc đại số thông thường (kết hợp, phân phối đối với phép
nhân) là C-tuyến tính, và cùng với chuẩn trên A thỏa mãn hai điều kiện
ab

a

b ,

1 = 1.

và
a1 a2 ...ak

a1 ... ak


9

Ví dụ đơn giản về đại số Banach là A = L(V ), không gian Banach
của các ánh xạ liên tục V → V , ở đây bản thân V là không gian Banach,
với chuẩn toán tử thông thường
T

L(V )

= sup T (υ) = sup
υ

υ=0

1

T (υ)
υ

và phép nhân là tích của hai ánh xạ. Nói riêng, nó bao gồm trường hợp
A = L(H), ở đây H là một không gian Hilbert. Trong trường hợp này
cùng với cấu trúc tuyến tính trên A, toán tử liên hợp T → T ∗ được ký
hiệu bởi
T υ, ω = υ, T ∗ ω , với mọi υ, ω ∈ H
Phép liên hợp này thỏa mãn các quy tắc sau: cộng tính, đối hợp (tức
là ta có (T ∗ )∗ = T ), tuyến tính-liên hợp, tức là (αT )∗ = αT ∗ , và
T∗ = T =
1.1.2

T ∗T =

TT∗ .

(1.1)

Lý thuyết phổ

Cho một Đại số Banach A bất kỳ, ta có phổ của phần tử a của A được
định nghĩa bởi
σ (a) = λ ∈ C | λ · 1 − a ∈
/ A×
phần bù của nó là tập giải thức. Ở đây A× là nhóm (nhân dưới) của
các phần tử khả nghịch của A, là các phần tử a sao cho tồn tại b để
ab = ba=1.
Đặc điểm chủ yếu của đại số Banach, trong phép nhân con với chuẩn
và tính đầy đủ của không gian véctơ cơ sở tất cả tương tác với nhau,
qua bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.1. Cho A là một Đại số Banach. Khi đó A× là mở trong A,
và chính xác hơn nữa, với bất kỳ a0 ∈ A× , khi a0 = 1, tồn tại δ > 0 để
cho phần tử a ∈ A mà a < δ, ta có a0 + a ∈ A× sao cho
k

(a0 + a)−1 = a0 −1

(−1)k a0 −1 a ,
k 0


10

ở đây, chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu a0 = 1, ta có thể lấy δ = 1.

Chứng minh. Ta có
(−1)k a0 −1 a

k

a0 −1 a

k

k

a k,

a0 −1

−1

a0 −1

vì vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối trong A nếu a

.

Tính chất cơ bản của σ (a) ⊂ C là nó là một tập con compact, không
rỗng của C, có thể thấy đơn giản nhất qua việc xem trường hợp các ma
trận hạng-hữu hạn.
Các lớp toán tử đặc biệt trên không gian Hilbert được định nghĩa
dưới đây:
- T là dương nếu ta có
T (υ) , υ

0 ∀υ ∈ V

- T là chuẩn tắc nếu
T ∗T = T T ∗
và điều này tương đương với
T (υ) = T ∗ (υ)

∀υ ∈ V.

(1.2)

- T là tự liên hợp nếu
T ∗ = T,
và điều này tương đương với
T (υ) , υ ∈ R ∀υ ∈ V,

(1.3)

điều này chỉ ra rằng toán tử dương nào cũng là tự liên hợp;
- T là unita nếu nó là khả nghịch và
T −1 = T ∗ ,
vì vậy, nói riêng, một unita T là chuẩn tắc.
Một sự tương tự cơ bản để so sánh L(H) với C như sau, dựa trên sự
tương tự của sự liên hợp với liên hợp phức:


11

- T là tự liên hợp tương ứng với z ∈ R;

- T unita tương ứng với z = 1;
- T là dương tương ứng với z ∈ [0; +∞] .
Ta cũng chú ý đến điều dưới đây: với bất kỳ T ∈ L(H), các toán tử
T T ∗ và T ∗ T đều tự liên hợp và dương: Thật vậy, ta có
T T ∗ (υ) , υ = T ∗ (υ)

2

∀υ.

Ta nhắc lại (1.2) và (1.3) liên quan tới các toán tử chuẩn tắc và tự
liên hợp, rõ ràng cũng trong trường hợp đó, sự định nghĩa các toán tử
đã kéo theo các quan hệ đã biết cho T (υ) , υ hoặc T (υ) . Ngược lại,
chú ý rằng cả (1.2) và (1.3) đều được biểu thị bằng việc sử dụng sử dụng
sự liên hợp như
A (υ) , υ = B (υ) , υ
∀υ,
với một số toán tử A và B để A = B là kết luận mong muốn (ví dụ như
A = T T ∗ , B = T ∗ T bởi tính chất chuẩn tắc). Vì vậy ta cần nhắc lại bổ
đề tiếp theo:
Bổ đề 1.1.2. Cho A, B trong L(H) sao cho
A (υ) , υ = B (υ) , υ

∀υ.

thì ta có A = B; kết quả cũng được giữ nguyên nếu điều kiện giả sử chỉ
giả thiết với υ = 1. Điều ngược lại hiển nhiên đúng.
Chứng minh. Do tính chất tuyến tính, ta có thể giả sử rằng B = 0. Thì
với mọi υ, ω cố định ∈ H và α bất kỳ, β ∈ C, ta khai triển
0 = A (αυ + βω) , αυ + βω = αβ A (υ) , ω + αβ A (ω) , υ .

Điều này, như một đồng nhất thức phù hợp với α và β, kéo theo các hệ
số A (υ) , ω và A (ω) , υ đều bằng 0. Nhưng nếu nó đúng với mọi υ và
ω, cho ω = A (υ) dẫn đến A = 0.


12

Bổ đề này được sử dụng để chỉ ra tính chất quan trọng của phổ
trong L(H). Ta có: σ(T ) ⊂ N (T ), bao đóng của miền trị số được định
nghĩa bởi
N (T ) = { T (υ), υ | υ = 1} .
Một đặc điểm quan trọng của không gian Hilbert là công thức
r(T ) = T

(1.4)

cho bán kính phổ
r(T ) = max {|λ| | λ ∈ σ(T )} = inf T n

1/n

n 1

= lim

n→+∞

Tn

1/n

,

của một toán tử chuẩn tắc; Thật vậy, (1.4) cho từ công thức giới hạn và
đơn giản hóa dưới đây
T2 = T 2
(1.5)
cho một toán tử chuẩn tắc trong L(H). Ta dễ dàng thấy rằng
λ ∈ σp (T ) nếu và chỉ nếu λ ∈ σr (T ∗ )

(1.6)

(vì nếu e0 là véctơ khác 0 của λ − T , ta có
λ − T ∗ (υ) e0 = υ, (λ − T ) e0 = 0,
ta thấy rằng ảnh của λ − T ∗ là chứa trong hạt nhân đóng của phiếm
hàm tuyến tính khác không υ → υ, e0 ), và nó kéo theo rằng phổ thặng
dư của một toán tử tự liên hợp là rỗng.
Ta nhắc lại rằng, phổ điểm σp (T ) của T là tập tất cả các giá trị riêng
λ của T ; phổ thặng dư của T , ký hiệu là σr (T ) là tập các λ nằm trong
phổ của T sao cho λ − T là đơn ánh nhưng ảnh của λ − T chỉ là tập
con thực sự của H chứ không phải toàn bộ H. Phổ liên tục của T , ký
hiệu là σr (T ) là tập các λ thuộc phổ của T sao cho λ − T là đơn ánh
nhưng không phải là toàn ánh, có ảnh không trù mật, là phần còn lại
ngoài phổ điểm và phổ thặng dư. Phổ liên tục trước hết khó có thể hiểu
được; nhưng chú ý sau sẽ giúp ta rõ ràng hơn: nếu λ ∈ C không thuộc
σp (T ) ∪ σr (T ) thì λ ∈ σc (T ) nếu và chỉ nếu
tồn tại véctơ υ với υ = 1 và (T − λ) υ

là nhỏ tùy ý.

(1.7)


13

Thật vậy, sự tồn tại của dãy các véctơ với (T − λ) υn → 0 tương
đương với ánh xạ được mô tả như sau

 Im(T − λ) → H
 ω → υ sao cho (T − λ)υ = ω
là không liên tục (không bị chặn trên hình cầu đơn vị). Một cách trực
quan thì các dãy này hầu hết là các véctơ riêng.

1.2

Các toán tử compact trên không gian Hilbert

Ta có định nghĩa tương đương của các toán tử compact:
(1) T ∈ L(H) là compact, ký hiệu là T ∈ K(H), nếu có một dãy
các toán tử Tn ∈ L(H) với dimIm(Tn ) < +∞ với mọi n, và lim Tn = T
n→+∞

trong tôpô sinh bởi chuẩn trên L(H);
(2) Với tập con bất kỳ bị chặn B ⊂ H, ảnh T (B) ⊂ H là compact
địa phương, nghĩa là bao đóng của nó là compact.
Trong bất kỳ một không gian Hilbert vô hạn chiều nào, có hình
cầu đơn vị đóng của H không compact, điều đó kéo theo rằng các toán
tử đồng nhất không nằm trong K(H). Nói cách khác, định nghĩa thứ
nhất chỉ ra rằng T ∈ K(H) là compact và S ∈ L(H) là tùy ý, ta có
ST, T S ∈ K(H), hoặc theo ngôn ngữ đại số, K(H) là iđêan-2 ngôi

trong đại số Banach L(H). Định nghĩa thứ nhất cũng chỉ ra rằng K(H)
là đóng trong L(H). Thực tế thì nếu H là tách được, K(H) chỉ là iđêan-2
ngôi đóng trong L(H), ngoại trừ 0 và L(H).
Dưới đây là kết quả cơ bản cho toán tử compact trong L(H):
Định lý 1.2.1 (Phổ cho các toán tử compact). Cho H là một không
gian Hilbert vô hạn chiều và cho T ∈ K(H) là một toán tử compact.
(1) Trừ giá trị 0, phổ của T giữ nguyên điểm phổ; nói cách khác ta
có
σ (T ) − {0} = σp (T ) − {0} .


14

(2) Ta có 0 ∈ σ (T ) và 0 ∈ σp (T ) nếu và chỉ nếu T không đơn ánh.
(3) Điểm phổ ngoài 0 là đếm được và có hữu hạn bội số: với mỗi
λ ∈ σp (T ) − {0}, ta có
dim Ker(λ − T ) < +∞.
(4) Giả sử T là chuẩn tắc. Cho H0 = Ker (T ), và H1 = Ker(T )⊥ . Khi
đó T ánh xạ H0 đến H0 và H1 đến H1 ; trên H1 , là tách được, tồn tại
một hệ trực chuẩn (e1 , ..., en , ...) và λn ∈ σp (T ) − {0} sao cho
lim λn = 0

n→+∞

và
T (en ) = λn en

∀n

1.

Nói riêng, nếu (fi )i∈I là hệ trực chuẩn tùy ý của H0 , mà có thể không
tách được, ta có
T

αi f i +
i∈I

αn e n
n 1

=

λn αn en
n 1

với mọi đại lượng vô hướng αi , αn ∈ C mà véctơ bên vế trái nằm trong
H, và chuỗi bên vế phải hội tụ trong H. Điều này cũng được mô tả như
sau
T (υ) =
λn υ, en en .
(1.8)
n 1

Chú ý rằng (1.8) sẽ hầu hết phổ biến với T là một toán tử compact
chuẩn tắc, mà dạng hệ trực chuẩn (en ) của Ker(T )⊥ và T (en ) = λn en .
Chứng minh. Có thể tham khảo [6] để biết thêm chi tiết.
Hệ quả 1.2.2 (Luân phiên Fredholm). Cho H là một không gian Hilbert,
cho T ∈ K(H), và cho λ ∈ C − {0}. Nếu có nghiệm không tầm thường
0 = υ ∈ H để

T (υ) − λυ = 0,


15

thì với mọi ω ∈ H, thì có duy nhất υ ∈ H sao cho
T (υ) − λυ = ω.
Hơn nữa, nghiệm duy nhất này bị chặn bởi υ

C ω .

Chứng minh. Thật vậy, điều giả sử là λ ∈
/ σp (T )−{0}, và điều này nghĩa
là λ ∈
/ σ(T ) trong khi phổ khác không rõ ràng tạo bởi các giá trị riêng.
Như vậy (T − λ) là khả nghịch.
Phần (4) của định lý có một dạng phát biểu tương đương như sau:
Mệnh đề 1.2.3. Bất kỳ toán tử đường chéo nào được định nghĩa trên
không gian Hilbert tách được H bằng việc cố định hệ trực chuẩn (en )n 1
và đặt
T (en ) = λn en
cho các dãy (λn ) của các số phức với λn → 0 là một toán tử compact
trên L(H), và phổ của nó là tập các giá trị của (λn ), thêm vào số 0 nếu
H là vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.2.4. Cho T ∈ K (H) là một toán tử compact tùy ý. Toán
√
tử dương T ∗ T đã được định nghĩa ở mệnh đề trên, được ký hiệu là |T |.
Mệnh đề 1.2.5. Cho H là một không gian Hilbert và cho T ∈ K (H).
Tồn tại hai hệ trực chuẩn (en ) và (fn ) trong H, và các số thực dương sn
với sn → 0 khi n → +∞ sao cho

T (υ) =

sn υ, en fn ,
n 1

với mọi υ ∈ H. Hơn nữa sn là các giá trị riêng không âm của các toán
tử compact dương |T |.
Chứng minh. Toán tử T ∗ T là là một toán tử compact dương, vì vậy ta
có thể tìm S ∈ K(H) với S 2 = T ∗ T . Hơn nữa, ta có
S (υ)

2

= S (υ) , S (υ) = T ∗ T (υ) , υ = T (υ)

2

(1.9)


16

với mọi υ ∈ H. Điều này có nghĩa là T (υ) = 0 nếu và chỉ nếu S (υ) = 0
(nói cách khác là Ker(S) = Ker(T )), và nó kéo theo ánh xạ tuyến tính

 Im(S) → H
 υ → T (ω) ở đây S (ω) = υ
được xác định rõ ràng và khi đó nó là đẳng cự, và liên tục. Một cách
ngắn gọn, định nghĩa có thể được mô tả bởi
U (S (ω)) = T (ω)

với ω ∈ H.
Ta có thể kéo dài U bởi sự liên tục đến bao đóng H1 = Im(S). và
bởi 0 đến
H1⊥ = Im(S)⊥ = Ker(S),
và ta có quan hệ U S = T do trên.
Ngoài ra, ứng dụng các kết quả trong lý thuyết phổ để tìm dãy (sn )
của các giá trị riêng của H và hệ trực chuẩn đếm được (en ) sao cho
S(υ) =

sn υ, en en .
n 1

Nếu ta cho fn = U (en ), đẳng cự của U nghĩa là (fn ) vẫn là một hệ
trực chuẩn, và ta có định nghĩa
T (υ) = U ◦ S (υ) =

sn υ, en fn .
n 1


17

Chương 2
PHỔ CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN

Chương này sẽ bắt đầu từ kết quả mà ta đã có cho các toán tử compact
và phân thành từng lớp các toán tử bị chặn T ∈ L(H) với nội dung chủ
yếu từ [6]. Ta sẽ sử dụng phổ đầy đủ để hy vọng phân loại được các toán
tử bị chặn. Và kết quả của chương sẽ làm sáng tỏ được định lý sau:
Định lý 2.0.6. Cho H là không gian Hilbert tách được và T ∈ L(H)

là một toán tử chuẩn tắc liên tục. Khi đó tồn tại một không gian độ đo
(X, µ), một toán tử unita
U : H → L2 (X, µ)
và một hàm bị chặn g ∈ L∞ (X, µ), sao cho
Mg ◦ U = U ◦ T,
hay nói cách khác, với mọi f ∈ L2 (X, µ), ta có
U T U −1 f (x) = g (x) f (x)
với mọi x ∈ X (hầu khắp nơi).


18

2.1
2.1.1

Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp
Phép toán đối với phiếm hàm liên tục cho các toán tử
tự liên hợp

Phần này ta sẽ định nghĩa hàm f (T ) cho toán tử tự liên hợp T ∈ L(H)
và f ∈ C(σ(T )). Định nghĩa của hàm f (T ) sẽ được sáng tỏ như sau: nếu
d

αj z j

p(z) =
j=0

là một hàm đa thức trong C [X], giới hạn tới σ (T ). Khi đó ta có thể xác
định

d

αj T j ∈ L (H) .

p (T ) =
j=0

Ta sẽ sử dụng định lý và hệ quả sau:
Định lý 2.1.1 (Stone-Weierstrass). Cho X là một không gian tôpô compact. Cho A ⊂ C (X) là một đại số con bất kỳ của các hàm giá trị phức
liên tục trên X sao cho
1 ∈ A,

f ∈ A ⇒ f ∈ A,

và với hai điểm bất kỳ z1 , z2 ∈ X, tồn tại f ∈ A với f (z1 ) = f (z2 ). Khi
đó A là trù mật trong C (X) với chuẩn L∞ ; trong đó
f

C(X)

= max |f (x)| .
x∈X

Hệ quả 2.1.2. Cho X ⊂ R là một tập compact của các số thực với tôpô
cảm sinh. Khi đó không gian của các hàm đa thức (giới hạn tới X) trên
X là trù mật trong C (X) với chuẩn L∞ .
Chứng minh. Rõ ràng không gian A của các hàm đa thức trên X la một
đại số con của C (X), chứa 1, và nó tách các điểm (các hàm đơn x → x

19

cũng như vậy, và nằm trong A). Hơn nữa, nếu
α(j)xj ∈ A,

f (x) =
0 j d

ta có
α(j)xj ,

f (x) =
0 j d

khi x = x, nghĩa là f cũng thuộc A.
Hệ quả 2.1.3. Tổ hợp tuyến tính của các hàm


R→C
1

x→
x−λ
ở đó λ trải đều trên các phần tử không thực của C là trù mật trong
không gian C0 (R) của các hàm liên tục trên R với giới hạn 0 tại ±∞,
với chuẩn supremum.
Chứng minh. Xem [6].
Những điều này được áp dụng cho X = σ(T ) ⊂ R với T tự liên hợp,
ta biết rằng hàm f ∈ C (σ (T )) có thể xấp xỉ đều bởi các hàm đa thức.
Điều này dẫn đến định nghĩa

f (T ) = lim pn (T ) ,
n→+∞

(2.1)

ở đây (pn ) là dãy các đa thức sao cho f − pn C(X) → 0. Định nghĩa này
bao gồm cả chiều và tính dương, và tính chất cơ bản của cấu trúc này
được đưa ra trong định lý sau:
Định lý 2.1.4 (Phép toán cho các hàm liên tục). Cho H là không gian
Hilbert và T ∈ L(H) là một toán tử bị chặn tự liên hợp. Khi đó tồn tại
một ánh xạ duy nhất
φ = φT : C (σ (T )) → L (H) ,


20

cũng ký hiệu là f → f (T ) cùng với các tính chất sau:
-(0) Điều này mở rộng định nghĩa cho các đa thức, hay với bất kỳ
p ∈ C [X], ta có
d

α (j)T j .

φ (p) = p (T ) =
j=0

-(1) Ánh xạ này là một đại số Banach (đẳng cự), nói cách khác, ta
có
φ (f1 f2 ) = φ (f1 ) φ (f2 ) với mọi fi ∈ C (σ (T )) ,

φ (Id) = Id,

và
φ (f ) = f

C(σ(T )) .

(2.2)

Ngoài ra, đồng cấu này còn có các tính chất sau:
-(2) Với bất kỳ f ∈ C (σ (T )), ta có φ(f )∗ = φ f hay f (T )∗ = f (T ),
và nói riêng f (T ) là chuẩn tắc với mọi f ∈ C (σ (T )). Ngoài ra
f

0 ⇒ φ (f )

0.

(2.3)

-(3) Nếu λ ∈ σ (T ) nằm trong điểm phổ và υ ∈ Ker (λ − T), khi đó
ta có
υ ∈ Ker (f (λ) − f (T)) .
-(4) Tổng quát hơn nữa, ta có định lý ánh xạ phổ:
σ (f (T )) = f (σ (T )) = σ (f ) , ở đây σ (f ) tính được với f ∈ C (σ (T )) .
(2.4)
Nhận xét 2.1.5. Cho (1), tính chất (0) là bao hàm duy nhất bởi Ctuyến tính và bởi thực tế là φ (z → z) = T .
Chứng minh. Ta thấy, thực chất việc chứng minh sự tồn tại của φ là chỉ
ra (2.1) là định nghĩa phù hợp. Thực tế nếu ta có thể chứng minh (2.2)
cho f = p ∈ C [X], ta có thể kết luận rằng ánh xạ

Φ : C [X] , ·

C(σ(T ))

→ L(H)


21

ánh xạ p đến p(T ) là tuyến tính, liên tục và thực tế là đẳng cự. Do đó
nó kéo dài duy nhất bởi sự liên tục đến C (σ (T )), và sự mở rộng còn lại
đẳng cự. Bởi tính liên tục, tính chất
φ (f1 f2 ) = φ (f1 ) φ (f2 ) ,

φ(f )∗ = φ f ,

phù hợp với các đa thức (sử dụng T = T ∗ cho phần sau), qua giới hạn
và đúng với mọi f . Điều này chỉ ra rằng
f (T )∗ f (T ) = φ f φ (f ) = φ f f = φ f f = f (T ) f (T )∗ ,
vì vậy f (T ) luôn chuẩn tắc (và tự liên hợp nếu f là giá trị thực). Hơn
nữa, nếu f 0, ta có thể viết
2

f=

f

= g2

ở đây g

0 cũng liên tục trên σ (T ). Khi đó g (T ) được xác định rõ
ràng, tự liên hợp (bởi vì g là giá trị thực), và với mọi υ ∈ V , ta có
f (T ) υ, υ = g(T )2 υ, υ = g (T ) υ
điều này chỉ ra rằng f (T )

2

0,

0.

Có rất nhiều tính chất quan trọng đối với phổ của các toán tử bị chặn
nhưng ta chỉ bổ sung một tính chất rất quan trọng để mô tả về các toán
tử bị chặn trên không gian Hilbert. Để tìm hiểu về tính chất này, ta có
định nghĩa về toán tử nhân qua ví dụ sau:
Ví dụ 2.1.6 (Toán tử nhân). Cho (X, µ) là một không gian độ đo hữu
hạn và cho g ∈ L∞ (X, µ) là một hàm bị chặn. Khi đó ta có một ánh xạ
tuyến tính liên tục

 L2 (X, µ) → L2 (X, µ)
Mg :
 f → gf
và ta có
|g (x) f (x)|2 dµ (x) ≤ g
X

2
∞

f 2,

22

sao cho Mg xác định rõ ràng và liên tục với chuẩn Mg ≤ g
Hơn nữa ta chú ý rằng

∞.

g (x)f1 (x) fx (x)dµ (x) = f1 , Mg (f2 ) ,

Mg (f1 ) , f2 =
X

với mọi f1 , f2 ∈ L2 (X, µ), và khi đó liên hợp của Mg được cho bởi
Mg ∗ = Mg ,
cho thấy rằng Mg là tự liên hợp nếu và chỉ nếu g là giá trị thực (hầu
khắp nơi).
Với g1 , g2 ∈ L∞ (X, µ) ta cũng có quan hệ hiển nhiên sau
Mg1 (Mg2 (f )) = g1 (g2 f ) = g2 (g1 f ) = Mg2 (Mg1 (f )) ,
vì vậy tất cả các toán tử Mg với g ∈ L∞ (X, µ) là giao hoán; nói riêng,
chúng là chuẩn tắc.
Ví dụ 2.1.7. Cho H = L2 (X, µ) với không gian độ đo hữu hạn (X, µ),
và cho g ∈ L∞ (X) là một hàm giá trị thực. Toán tử nhân Mg (ví dụ
trên) khi đó là tự liên hợp trên H. Phổ σ (Mg ) là miền thiết yếu (essential
range) của g, được định nghĩa như sau:
σ (Mg ) = x ∈ R µ g −1 (]x − ε, x + ε[) > 0 với mọi ε > 0 .
Thật vậy, trước tiên ta có Mg − λ = Mg−λ ; Ta có thể giải phương
trình (Mg − λ) ϕ = ψ với ψ ∈ L2 (X, µ) bằng việc đặt
ϕ=

ψ
,
g−λ

và đây là nghiệm như một tập-hàm lý thuyết trên X. Nó chỉ ra rằng ta
có λ ∈ ρ (Mg ) nếu và chỉ nếu toán tử
x ∈ X (g (x) − λ)−1 > C

µ

= 0,

hoặc tương đương
µ

x ∈ X |g (x) − λ| <

1
C

= 0,


23

nói một cách chính xác là λ không nằm trong miền thiết yếu của g.
Trước hết ta định nghĩa của một độ đo của ảnh (image measure) như
sau: nếu (X, Σ, µ) và (Y, Ω, ν) là hai không gian độ đo và f : X → Y là
một ánh xạ đo được, độ đo của ảnh f∗ (µ) trên (Y, Ω) là một độ đo sao

cho f∗ (µ) (B) = µ f −1 (B) . Bây giờ ta có thể xác định giá của độ đo
của ảnh ν = g∗ (µ) trên R:
σ (Mg ) = suppg∗ (µ) .
(Ta nhắc lại rằng giá của một độ đo Borel µ trên không gian tôpô X là
suppµ = x ∈ X µ (U ) > 0 với mọi lân cận mở U của x )
Nói riêng, nếu X là một tập con bị chặn của R và g (x) = x, phổ của
Mx là giá của µ.
Nếu f ∈ C (σ (Mg )), toán tử f (Mg ) được cho bởi f (Mg ) = Mf ◦g tích
f ◦ g được định nghĩa rõ ràng trên L∞ (X), mặc dù ảnh của g có thể
không nằm nguyên trong σ (Mg ) vì mô tả ở trên đã chỉ ra rằng
µ (x |g (x) ∈
/ σ (Mg )) = ν (R − σ (Mg )) = 0,
(phần bù của giá là tập mở lớn nhất với độ đo 0) vì vậy, với hầu hết
tất cả x, g (x) nằm trong σ (Mg ) và do đó f (g (x)) được định nghĩa với
hầu hết x (dĩ nhiên ta có thể định nghĩa tùy ý hàm trên tập con độ đo
không mà ở đó g (x) ∈
/ σ (Mg ), và điều này không thay đổi kết quả với
toán tử nhân được ký hiệu Mf ◦g ).
2.1.2

Độ đo phổ

Sử dụng phép toán trên các phiếm hàm, ta có thể hiểu thêm phổ "biểu
diễn" một toán tử T và nó hoạt động trên các véctơ υ ∈ H như thế nào.
Mệnh đề 2.1.8. Cho H là một không gian Hilbert, cho T ∈ L (H) là
một toán tử tự liên hợp và cho υ ∈ H là véctơ cố định. Ở đó tồn tại một
độ đo dương Radon duy nhất µ trên σ (T ), phụ thuộc vào T và υ, sao