Phương pháp ritz và ứng dựng trong giải bài toán biên phương trình vi phân (LV01729

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ THỊ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS.
Khuất Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng
dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Trong suốt quá trình thực hiện
luận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự
chỉ bảo tận tình của thầy Khuất Văn Ninh đã giúp tác giả có ý thức
trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy
cao học chuyên ngành Toán Giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học
Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Đỗ Thị Ngọc

1


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn tốt nghiệp được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn tôi có sử dụng sách tham khảo
của một số tác giả, các nhà nghiên cứu đã nêu trong mục tài liệu tham
khảo.
Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là trung thực, không sao chép từ
các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào
khác.

Hà Nội, ngày 8 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Đỗ Thị Ngọc

2


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

5
7

Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính trong không
gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . . . .

10

1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3

Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.4

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Bài toán biên của phương trình vi phân . . . . . . . . . .

15

1.4

3


1.4.1

Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . .

15

1.4.2

Bài toán biên phương trình vi phân . . . . . . . .

16

2 PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI
BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

19

2.1

Phương pháp Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên phương
trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

24

Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên đối
với phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4

Các hệ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.5

Những hệ cực tiểu mạnh và những hệ hầu như trực giao

35

2.6

Nhận xét về quá trình Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.6.1

Một số phương pháp biến phân khác . . . . . . .

45

2.6.2

Phương pháp chiếu trực giao . . . . . . . . . . . .

47

2.6.3

Phương pháp Trephsa . . . . . . . . . . . . . . .

48

Tính chất giới hạn của dãy Ritz . . . . . . . . . . . . . .

49

2.7

3 THỬ NGHIỆM SỐ

60

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán giải xấp xỉ phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn
và ý nghĩa thực tiễn cao. Xét phương trình
Ax = f.
Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử trong không gian
định chuẩn.
Trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho bài toán chỉ có tính chất

gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn
đề mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Một trong các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình là
phương pháp biến phân. Phương pháp biến phân có thể được hiểu là
phương pháp tìm nghiệm của phương trình thông qua việc tìm cực tiểu
của một phiếm hàm được xây dựng từ các yếu tố của bài toán giải phương
trình toán tử. Một trong những phương pháp biến phân là phương pháp
Ritz về giải phương trình toán tử trong không gian Hilbert. Với mong
muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này em đã chọn đề
tài: “Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biên
phương trình vi phân”.
2. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 3 chương
5


Chương 1: Các kiến thức cơ sở
Chương 2: Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biên
phương trình vi phân
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Ritz
3. Mục đích nghiên cứu
Luận văn sẽ nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử bằng phương
pháp Ritz và ứng dụng phương pháp đó vào giải bài toán biên phương
trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trình
toán tử. Trình bày một số ứng dụng của phương pháp biến phân vào
giải bài toán biên đối với phương trình vi phân.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trình toán tử.

- Ứng dụng vào giải bài toán biên đối với phương trình vi phân.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại
các vấn đề liên quan tới đề tài.
7. Đóng góp của đề tài nghiên cứu
- Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phương pháp Ritz.
- Nêu một số ứng dụng về phương pháp Ritz vào giải xấp xỉ bài toán
biên đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng.

6


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính
trong không gian định chuẩn

1.1.1

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian
tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R
hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là
. và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ);
ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .

Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X. Các tiên đề i), ii), iii) gọi là tiên đề chuẩn.

7


1.1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm
{xn} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X
nếu lim ||xn − x|| = 0. Ký hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞).
n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.2.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {xn} của không gian định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim ||xn − xm || = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn X gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

1.1.3

Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên
trường P (P = R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào Y gọi

là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:
1) (∀x, x ∈ X) A(x + x ) = Ax + Ax ;
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Aαx = αAx.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử
A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P
thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử
tuyến tính A từ không gian X vào Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số

8


C > 0 sao cho:
Ax ≤ C x , ∀x ∈ X.

(1.1.1)

Định nghĩa 1.1.5. Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Hằng số C ≥ 0 nhỏ nhất
thỏa mãn hệ thức (1.1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .
Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
1) (∀x ∈ X) Ax ≤ A

x ;

2) (∀ε > 0) (∃xε ∈ X) ( A − ε) xε ≤ Axε .

1.1.4

Ví dụ

Ví dụ 1. Cho không gian vectơ l2
∞

l2 = {x = (x1 , x2 , ..., xi , ...)|xi ∈ R, ∀i ∈ N∗ ,

|xi |2 < +∞ .

i=1

Với vectơ bất kỳ x = (xn ) ∈ l2 ta đặt
∞

|xn |2 .

x =
i=1

Dễ dàng chứng minh được công thức nêu trên xác định một chuẩn
trên l2 . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là l2 . Dễ dàng thấy l2
là không gian Banach.
Ví dụ 2. Cho không gian vectơ C[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ
x(t) ∈ C[a,b] ta đặt
x = max |x(t)| .
a≤t≤b

9

Dễ dàng chứng minh được công thức nêu trên xác định một chuẩn
trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là C[a,b] . Dễ dàng
thấy C[a,b] là không gian Banach.
Ví dụ 3. Cho không gian vectơ L[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈
L[a,b] ta đặt
b

|x(t)| dt.

x =
a

Dễ dàng chứng minh được công thức nêu xác định một chuẩn trên L[a,b] .
Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là L[a,b] . Dễ dàng thấy L[a,b]
là không gian Banach.
Ví dụ 4. Xét không gian hữu hạn chiều X = Rn và ánh xạ tuyến
tính A : Rn → Rn . Giả sử với một cơ sở cố định cho trước ánh xạ A cho
bởi ma trận (aij )n i,j=1 .
Khi đó ta có ba chuẩn thường dùng trong Rn là:
n

+) x
+) x
+) x

1.2

1

2

=

|xi |.
i=1
n

=

∞

|xi |2

1
2

.

i=1

= max |xi | .
1≤i≤n

Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn

Đạo hàm và vi phân Fréchet
Cho X,Y là hai không gian Banach và toán tử f : X → Y .
10

Định nghĩa 1.2.1. (Đạo hàm Fréchet) Cho x0 là một điểm cố định
trong không gian Banach X. Toán tử f : X → Y gọi là khả vi theo nghĩa
Fréchet tại x0 nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A(x0 ) : X → Y
hay A(x0 ) ∈ L(X, Y ) sao cho:
f (x0 + h) − f (x0 ) = A(x0 )(h) + α(x0 , h)
với mọi h ∈ X trong đó
lim

h →0

α(x0 , h)
= 0,
h

thì toán tử A(x0 ) được gọi là đạo hàm Fréchet cấp một của toán tử f
tại x0 , kí hiệu là f (x0 ).
A(x0 )(h) được gọi là vi phân Fréchet cấp một của toán tử f tại x0 , kí
hiệu là df (x0 , h). Vậy df (x0 , h) = f (x0 )(h).
(Do f (x0 ) là một toán tử nên kí hiệu f (x0 )(h) có nghĩa là giá trị của
toán tử f (x0 ) tại h).
Định lý 1.2.1. Cho toán tử f : U → X với U là một tập con mở của
không gian Banach X. Giả sử f khả vi Fréchet tại một điểm x0 ∈ U thì
f cũng liên tục tại điểm đó.
Định lý 1.2.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một toán
tử có đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất.
Định lý 1.2.3. Cho hai toán tử tuyến tính f : U → X và g : U → Y
với X, Y là hai không gian Banach, U là một tập con mở của không gian
Banach X. Giả sử f, g đều khả vi Fréchet tại một điểm x0 ∈ U . Khi đó:
1) (f + g) (x0 ) = f (x0 ) + g (x0 ),
2) (kf ) (x0 ) = kf (x0 ), với mọi k ∈ R.

11


Định lý 1.2.4. Cho X, Y, Z là những không gian Banach thực. Nếu
g : X → Y là khả vi Fréchet tại một điểm x ∈ X và f : Y → Z khả vi
Fréchet tại y = g(x) ∈ Y thì φ = f.g cũng khả vi Fréchet tại x và
φ (x) = f (g(x)) .g (x)(h).
Ví dụ. Nếu hàm f : X → Y tuyến tính ta có
f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 ) + f (h) − f (x0 ) = f (h).
Vậy f (x0 + h) − f (x0 ) = f (h).
Đặt A(h) = f (h) ta thấy α(x0 , h) = 0.
Do đó f (x)(h) = f (h).

1.3
1.3.1

Không gian Hilbert
Tích vô hướng

Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P
là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng
trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P ,
ký hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề:
i) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
ii) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
iii) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α(x, y);
iv) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử không),
(x, x) = 0 nếu x = θ.
12

Các phần tử x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi là
tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề i), ii), iii), iv) gọi là
hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3.2. Không gian vectơ X cùng với một tích vô hướng
trên nó được gọi là không gian tiền Hilbert.

1.3.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử
x, y, z, ... nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều
kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
2) H được trang bị bởi một tích vô hướng (., .);
3) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H.

1.3.3

Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.3.4. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử
dương nếu
(Ax, x) ≥ 0,

∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.3.5. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử

13


xác định dương nếu ∃γ > 0 sao cho
(Ax, x) ≥ γ||x||2 ,

∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.3.6. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử
đối xứng nếu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.
Định lý 1.3.1. (Định lý Ritz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục
trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (x) = (x, a),

∀x ∈ H

trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
||f || = ||a||.

1.3.4

Ví dụ

Ví dụ 1. Rn là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng

n

(x, y) =

xi yi , với x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn .

i=1
n

n

Ví dụ 2. R với tích vô hướng (x, y) =

xi yi là không gian Hilbert.
i=1

Vì chuẩn sinh ra tích vô hướng
n

x =

(x, x) =

n

|xi |2 .

xi .xi =
i=1

i=1

là một chuẩn đủ trên không gian Rn .
Ví dụ 3. Kí hiệu L2 (E, µ) là không gian vectơ các hàm số bình phương
khả tích trên tập E theo độ đo µ. Với ∀x(t) ∈ L2 (E, µ), y(t) ∈ L2 (E, µ)
14


ta đặt
(x, y) =

x(t)y(t)dµ.

(1.3.1)

E

Dễ dàng thấy hệ thức (1.3.1) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn
sinh ra bởi tích vô hướng (1.3.1)
x =

x2 (t)dt, x(t) ∈ L2 (E, µ).

(x, x) =
E

Do đó không gian vectơ L2 (E, µ) cùng với tích vô hướng (1.3.1) là một
không gian Hilbert.

1.4

1.4.1

Bài toán biên của phương trình vi phân
Một số khái niệm về phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các
đạo hàm của nó.
Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương
trình vi phân thường.
Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai hay nhiều biến độc lập ta có phương
trình đạo hàm riêng.
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa
hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của
hàm số đó:
F x, y(x), y (x), ..., y (n) (x) = 0,
15


hay viết gọn là:
F x, y, y , ..., y (n) = 0,

(1.4.1)

trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm.
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt
trong phương trình.
Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4.1) nếu thay
y = ϕ(x),y = ϕ (x), ..., y (n) = ϕ(n) (x), vào (1.4.1) thì ta thu được phương
trình đồng nhất thức.
Hàm số y = ϕ(x, c), c ∈ R có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.1) nếu:
i) ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra
c = ϕ(x, y).
ii) Hàm y = ϕ(x, c), c ∈ R thỏa mãn (1.4.1) khi (x, y) chạy khắp D với
mọi c ∈ R.

1.4.2

Bài toán biên phương trình vi phân

Giả sử hàm f (x), fi (x) liên tục trên [a, b] và fn = 0.
Lập phương trình vi phân tuyến tính
n

fi (x)y (i) (x) = f (x).

L(y) =
i=0

16

(1.4.2)


Chọn các hằng số αjk , βjk sao cho ma trận

(0)
(n−1)
(0)
(n−1)

α1 . . . α1
β1 . . . β1

 (0)
 α2 . . . α2(n−1) β2(0) . . . β2(n−1)
X=

 ....

(0)
(n−1)
(0)
(n−1)
αm . . . αm
βm . . . βm





.




(1.4.3)

có hạng là m.
Ta lập tổ hợp tuyến tính như sau
n−1

(k)

(k)

αj y (k) (a) + βj y (k) (b) ; j = 1, m.

Vj (y) =

(1.4.4)

k=0

Do ma trận (1.4.3) có hạng m nên các tổ hợp (1.4.4) độc lập tuyến tính.
Các đẳng thức
Vj (y) = gj ; j = 1, m,

(1.4.5)

trong đó gj là những số được gọi là điều kiện biên của phương trình
(1.4.4).
Nếu gj = 0 thì điều kiện (1.4.5) được gọi là điều kiện biên thuần nhất.
Phương trình (1.4.1) cùng các điều kiện (1.4.5) lập thành bài toán
biên.
Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0.
Trong các trường hợp khác ta gọi bài toán biên không thuần nhất. Đôi
khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0 nhưng f (x) = 0.
Ví dụ. Cho hàm f (x, y) xác định và liên tục trên G ∪ Γ, G bị chặn

17

trong không gian R2 , Γ là biên của G. Xét bài toán

 ∆u = ∂ 2 u2 + ∂ 2 u2 = f (x, y)
∂x
∂y
 u| = ϕ
Γ

ϕ là hàm hai biến xác định trên Γ.
Bài toán nói trên gọi là bài toán biên Dirichlet đối với phương trình
elliptic. Hàm cần tìm là hàm u = u(x, y).

18


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG
DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN
BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2.1

Phương pháp Ritz

Giả sử H là không gian Hilbert thực, A là toán tử tuyến tính xác
định trên một tập hợp HA trù mật khắp nơi trong H.
Xét phương trình toán tử
Ax = f,

(2.1.1)

trong đó f ∈ H là phần tử cho trước, x ∈ HA là phần tử cần tìm.
Phương pháp Ritz được dựa trên định lý sau đây:
Định lý 2.1.1. Giả sử toán tử A dương và đối xứng. Nếu phương
trình (2.1.1) có nghiệm x∗ , thì tại giá trị đó phiếm hàm
J(x) = (Ax, x) − 2(f, x)
19


đạt giá trị cực tiểu. Ngược lại nếu tại một phần tử nào đó x∗ mà phiếm
hàm trên đạt giá trị cực tiểu thì phần tử đó là nghiệm của phương trình
(2.1.1).
Chứng minh
Giả sử x∗ là nghiệm của phương trình (2.1.1). Lấy một phần tử tùy
ý y ∈ HA . Đặt y = x∗ + h. Khi đó
J(y) = (Ay, y) − 2(f, y)
= (Ax∗ + Ah, x∗ + h) − 2(f, x∗ + h)
= (Ax∗ , x∗ ) + (Ax∗ , h) + (Ah, x∗ ) + (Ah, h) − 2(f, x∗ ) − 2(f, h)
= J(x∗ ) + 2(Ax∗ , h) + (Ah, h) − 2(f, h)
= J(x∗ ) + 2(Ax∗ − f, h) + (Ah, h)
= J(x∗ ) + (Ah, h).
Do (Ah, h) ≥ 0 cho nên J(y) ≥ J(x∗ ), có nghĩa là tại x∗ phiếm hàm
J(x) đạt giá trị cực tiểu.
Bây giờ giả sử tại x∗ ∈ HA nào đó phiếm hàm J(x) đạt giá trị cực
tiểu. Lấy một phần tử tùy ý y ∈ HA và một số tùy ý λ. Khi đó
x∗ + λy ∈ HA ,

J(x∗ + λy) ≥ J(x∗ ).

Ta có:

J(x∗ + λy) = (A(x∗ + λy), x∗ + λy) − 2(f, x∗ + λy)
= (Ax∗ , x∗ ) + 2λ(Ax∗ , y) + λ2 (Ay, y) − 2(f, x∗ ) − 2λ(f, y)
= J(x∗ ) + 2λ(Ax∗ − f, y) + λ2 (Ay, y)
J(x∗ + λy) − J(x∗ ) = 2λ(Ax∗ − f, y) + λ2 (Ay, y),
cho nên 2λ(Ax∗ − f, y) + λ2 (Ay, y) ≥ 0.
20


Từ đó suy ra
2(Ax∗ − f, y) + λ(Ay, y) ≥ 0 với λ > 0,
2(Ax∗ − f, y) + λ(Ay, y) ≤ 0 với λ < 0.
Chuyển qua giới hạn khi λ → +0 trong bất đẳng thức thứ nhất và
λ → −0 trong bất đẳng thức thứ hai ta được:
(Ax∗ − f, y) ≥ 0, (Ax∗ − f, y) ≤ 0.
Vậy
(Ax∗ − f, y) = 0.
Do y là phần tử tùy ý thuộc HA và HA trù mật khắp nơi trong H,
cho nên Ax∗ = f . Định lý được chứng minh.
Định lý trên đây chứng tỏ rằng để tìm nghiệm của phương trình
(2.1.1) ta chỉ cần tìm điểm mà tại đó phiếm hàm J(x) đạt giá trị cực
tiểu. Sau đây ta sẽ nêu cách tìm những giá trị gần đúng của điểm nói
trên.
Định nghĩa 2.1.1. Ta nói rằng dãy {xn } , (xn ∈ A) là dãy cực tiểu
hóa đối với phiếm hàm J(x) nếu
lim J(xn ) = inf J(x).

n→∞

x∈HA

Định lý 2.1.2. Giả sử toán tử A là toán tử đối xứng xác định dương,
phương trình (2.1.1) có nghiệm x∗ . Khi đó mọi dãy cực tiểu hóa {xn }
của phiếm hàm J(x) đều hội tụ đến nghiệm của phương trình (2.1.1).
Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác định bởi bất đẳng thức
xn − x∗ ≤

1
[J(xn ) − J(x∗ )] ,
γ
21


trong đó γ là một hằng số dương nào đó.
Chứng minh
Theo giả thiết ta có Ax∗ = f . Khi đó
J(x∗ ) = (Ax∗ , x∗ ) − 2(f, x∗ )
= (Ax∗ , x∗ ) − 2(Ax∗ , x∗ )
= −(Ax∗ , x∗ )
và
J(xn ) − J(x∗ ) = (Axn , xn ) − 2(f, xn ) + (Ax∗ , x∗ )
= (Axn , xn ) − 2(Ax∗ , xn ) + (Ax∗ , x∗ )
= (A(xn − x∗ ), xn ) − (A(xn − x∗ ), x∗ )
= (A(xn − x∗ ), xn − x∗ ).
Theo giả thiết A là toán tử xác định dương cho nên
(Ax, x) ≥ γ x 2 , ∀x ∈ HA ;
γ là một hằng số dương nào đó.
Từ những đẳng thức trên ta có
J(xn ) − J(x∗ ) ≥ γ xn − x∗ 2 ,
hay là xn − x∗

2

≤

1
γ

(J(xn ) − J(x∗ )) .

Định lý được chứng minh.
Từ định lý này suy ra rằng, có thể lấy nghiệm gần đúng của phương
trình (2.1.1) là một phần tử tùy ý xn của dãy cực tiểu hóa phiếm hàm
J(x), với n đủ lớn.
Bây giờ ta chuyển sang xây dựng dãy cực tiểu hóa.
22


Giả sử {ϕn } là một dãy các phần tử trong HA thỏa mãn các tính chất
sau:
a) mọi tập con hữu hạn của dãy này đều tạo nên một hệ độc lập tuyến
tính;
b) với mọi ε > 0 và mọi phần tử tùy ý x ∈ HA đều tìm được một số
m và các số c1 , c2 , ..., cm sao cho có bất đẳng thức
m

m

ck ϕk ), x −

A(x −

ck ϕk

< ε.

k=1

k=1

Với mỗi n ta xây dựng những phần tử:
n

xn =

αk ϕ k
k=1

trong đó αk là những hệ số thực.
Phiếm hàm J(xn ) sẽ là hàm số các biến số thực α1 , α2 , ..., αn
n

n

αi αj (Aϕi , ϕj ) − 2

J(xn ) = J(α1 , α2 , ..., αn ) =
i,j=1

αj (f, ϕj ).
j=1

Các hằng số α1 , α2 , ..., αn được chọn sao cho phiếm hàm J(xn ) tại
điểm đó đạt giá trị cực tiểu. Khi đó (α1 , α2 , ..., αn ) phải thỏa mãn điều
kiện sau đây:
∂J(xn )
= 0 (j = 1, n),
∂αj
hay là

n

αk (Aϕk , ϕj ) = (f, ϕj ), (j = 1, 2, ..., n).
k=1

Đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính đối xứng, định thức của
hệ này khác không. Vì vậy hệ đó có nghiệm duy nhất. Ký hiệu nghiệm
23


của hệ đó là α1∗ , α2∗ , ..., αn∗ . Khi đó có thể chứng minh rằng dãy {x∗n } mà
n

x∗n

αk ϕ k

=
k=1

là dãy cực tiểu hóa.

2.2

Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán
biên phương trình vi phân thường

Phương pháp Ritz được ứng dụng để giải bài toán biên tuyến tính
đối với phương trình vi phân thường. Xét bài toán biên
x = q(t)x + f (t),

(2.2.1)

x(0) = x(T ) = 0,
trong đó q(t) ≥ q0 > 0, f (t), (0 ≤ t ≤ T ) là những hàm số thực liên tục.
Đặt H = L2[0, T ], và
Ax ≡ −x + qx.
Kí hiệu HA là tập hợp những hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục và
thỏa mãn điều kiện biên x(0) = x(T ) = 0.
Khi đó bài toán (2.2.1) có thể viết dưới dạng toán tử Ax = −f.
Ta chứng minh rằng A là toán tử đối xứng xác định dương trong HA .
Giả sử x, y ∈ HA . Khi đó

24