Bao hàm thức tựa biến phân pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN ANH SƠN

BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO HỖN HỢP
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN ANH SƠN

BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO HỖN HỢP
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã tận tình
hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành đề tài này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
và thực hiện đề tài nghiên cứu này.
Hà Nội, tháng 08 năm 2015
Học viên

Phan Anh Sơn


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Bao hàm thức tựa biến phân Pareto
hỗn hợp và một số vấn đề liên quan " được hoàn thành do sự cố
gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận
tình của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với kết quả của tác
giả khác.
Hà Nội, tháng 08 năm 2015
Học viên

Phan Anh Sơn

Mục lục

Bảng kí hiệu và viết tắt

3

Mở đầu

5

1

Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị
1.1

10

Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.1

Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.2

Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4

Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . .

24

2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp

27

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1


2.2.1

Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn
hợp trên - trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn
hợp trên - dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3

2.3

40

Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dưới
- trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4

33

41

Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn
hợp dưới - dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3.1

Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto . . . . . .

45

2.3.2

Bài toán tựa cân bằng Pareto hỗn hợp . . . . . .

49

Kết luận

55

Tài liệu tham khảo

56

2


BẢNG KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT
Trong luận văn này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định
dưới đây:
N∗ : tập hợp các số tự nhiên khác không
Q : tập hợp các số hữu tỷ
R : tập hợp các số thực
R+ : tập hợp các số thực không âm
R− : tập hợp các số thực không dương
Rn : không gian vector Euclid n - chiều
Rn+ : tập hợp các vector có các thành phần không âm của không gian Rn
Rn− : tập hợp các vector có các thành phần không dương của không gian
Rn
X ∗ : không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X
2X : tập các tập con của tập hợp X
ξ, x : giá trị của ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X
i = 1, n i = 1, 2, ..., n
{xα } : dãy suy rộng
xn → x : xn hội tụ yếu tới x
∅ : tập rỗng
F : X → 2Y : ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y
domF : miền định nghĩa của ánh xạ F

GrF : đồ thị của ánh xạ đa trị F
C : nón đối ngẫu của nón C

3


C + : nón đối ngẫu chặt của nón C
C − : nón đối ngẫu yếu của nón C
A ⊆ B : A là tập con của B
A

B : A không là tập con của B

A ∪ B : hợp của hai tập hợp A và B
A ∩ B : giao của hai tập hợp A và B
A\B : hiệu của hai tập hợp A và B
A + B : tổng đại số của hai tập hợp A và B
A × B : tích Descartes của hai tập hợp A và B
coA : bao lồi của tập A
coneA : bao nón lồi của tập hợp A
clA : bao đóng tôpô của tập hợp A
intA : phần trong tôpô của tập hợp A

4


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Năm 1972 Ky Fan và năm 1978 Brouwer - Minty đã phát biểu bài toán
bất đẳng thức biến phân một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại

nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng
về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Brouwer - Minty nặng về
tính đơn điệu của hàm số. Cho D ⊂ Rn , T : D → Rn . Tìm x sao cho
T (x), x − x ≥ 0, ∀x ∈ D.
Bài toán này được mở rộng cho không gian vô hạn chiều và ánh xạ
đa trị.
Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn
trị từ không gian vô hạn chiều này sang không gian đối ngẫu của nó và
thứ tự sinh ra bởi nón. Khái niệm ánh xạ đa trị đã được xây dựng và
phát triển do nhu cầu phát triển toán học và các lĩnh vực khác. Từ đó
người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa
trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhiều nhà toán học nghiên
cứu trong những năm gần đây và gọi chúng là bài toán bao hàm thức
biến phân.
Ví dụ, ta xét các bài toán sau:
Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập khác rỗng, C ⊆ Y là nón lồi đóng nhọn.
Cho các ánh xạ:
S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , P1 , P2 : D → 2D , Q : K × D → 2K ,
5


F : K × D × D → 2Y .
1, Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K
a) x ∈ S(x, y);
b) y ∈ T (x, y);
c) F (y, x, x) ⊆ F (y, x, x) + C,
tương ứng, (F (y, x, x) ∩ F (y, x, x) + C = ∅), ∀x ∈ S(x, y)
được gọi là bài toán bao hàm thức tưa biến phân lý tưởng trên
(tương ứng, dưới) loại 1.
2, Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho

a) x ∈ P1 (x);
b) F (y, x, x) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x),
(tương ứng, (F (y, x, x) ∩ F (y, x, x) + C(y, x) = ∅)), với mọi x ∈
P2 (x), y ∈ Q(x, x) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân
lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 2. Bài toán bao hàm thức tựa
biến phân lý tưởng trên (dưới) hỗn hợp là bài toán bao gồm cả 2
bài toán trên.
3, Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:
a) x ∈ S(x, y);
b) y ∈ T (x, y);
c) F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x−C\{0}), (F (y, x, x)∩F (y, x, x)−C\{0} =
∅), ∀x ∈ S(x, y) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân
Pareto trên (dưới) loại 1. Tương tự, ta có bài toán bao hàm thức
tựa biến phân Pareto loại 2 và bài toán bao hàm thức tựa biến phân
6


Pareto hỗn hợp trên (dưới).
Tương tự, như vậy ta cũng phát triển các loại bài toán bao hàm thức
tựa biến phân loại 1,2 và hỗn hợp cho trường hợp thực sự và yếu. Các
bài toán này tổng quát các bài toán đã biết như cân bằng, tối ưu đa trị.
Như vậy, trong trường hợp đa trị ta có 9 loại bài toán bao hàm thức
tựa biến phân khác nhau. Các loại bài toán đã được các nhà toán học
trong và ngoài nước quan tâm và nghiên cứu rất nhiều có thể kể đến
như GS. TSKH. Đinh Thế Lục, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh, GS. Lai
Jiu Lin, ...
Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, cùng sự hướng dẫn
giúp đỡ tận tình của thầy GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã
chọn nghiên cứu đề tài"Bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn
hợp và một số vấn đề liên quan" làm luận văn Thạc sĩ của mình.

2. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 2 chương:
1. Chương 1: Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị
1.1 Nón và ánh xạ đa trị
1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị
1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị
1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị
2. Chương 2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp
7


2.1 Đặt vấn đề
2.2 Sự tồn tại nghiệm
2.3 Một số vấn đề liên quan
3. Mục đích nghiên cứu
+ Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân.
+ Đi sâu vào bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên, dưới, hỗn hợp.
+ Giới thiệu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của chúng và các vấn đề liên
quan.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đến
ánh xạ đa trị.
+ Nghiên cứu bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp,
xét sự tồn tại nghiệm của nó và các bài toán liên quan.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan
tới ánh xạ đa trị cụ thể là bài toán bao hàm thức tựa biến phân
Pareto hỗn hợp và sự tồn tại nghiệm của nó.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu có
liên quan đến bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và một

số bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị.
8


6. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng kiến thức cơ bản của giải tích đa trị: khái niệm và tính
chất của ánh xạ đa trị, kiến thức về bao hàm thức tựa biến phân
Pareto hỗn hợp.
+ Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích đa trị để tiếp cận
vấn đề.
7. Dự kiến đóng góp mới
+ Luận văn trình bày các kết quả về một lớp bài toán trong lý thuyết
tới ưu.
+ Nghiên cứu sâu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp.

9


Chương 1
Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị
Ánh xạ đa trị được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ lâu do nhu cầu
phát triển của toán học và nhiều ngành khoa học khác. Để nghiên cứu
các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị ta cần phải nghiên cứu các tính
chất của ánh xạ đa trị. Trong chương này ta xét một số khái niệm của
ánh xạ đa trị. Dựa trên các khái niệm này, ta tìm các điều kiện cần và
đủ để ánh xạ đa trị liên tục trên, liên tục dưới. Một số kết quả về mối
liên quan giữa tính liên tục trên và dưới của ánh xạ đa trị lồi (lõm) cũng
được đưa ra. Phần cuối của chương trình bày về tính lồi theo nón, mói
liên quan giữa tính C - tựa lồi thực sự, C - tựa lồi trên của ánh xạ đa
trị với tính lồi của hàm vô hướng. Kiến thức của chương này sẽ được sử

dụng cho việc nghiên cứu các phần của chương sau.

10


1.1

Nón và ánh xạ đa trị

Trong toán học và trong thực tế, ta gặp nhiều bài toán liên quan đến
phép tương ứng một điểm của tập hợp này với một tập con của tập hợp
kia. Một phép tương ứng như vậy được gọi là ánh xạ đa trị. Để xác định
thứ tự trong không gian và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ có
giá trị là vector hoặc ánh xạ đa trị, người ta đưa ra khái niệm nón. Từ
đó, ta mở rộng được khái niệm đã biết của không gian số thực hoặc số
phức cho không gian tôpô tuyến tính. Mục này dành cho các khái niệm,
tính chất của nón, ánh xạ đa trị và các khái niệm có liên quan. Các kiến
thức của mục này được tham khảo từ cuốn sách của GS. Nguyễn Xuân
Tấn và PGS. Nguyễn Bá Minh ([2]).

1.1.1

Nón

Để đưa vào thứ tự từng phần trong không gian tuyến tính người ta
đưa vào khái niệm nón.
Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Ta nói
rằng C là nón có đỉnh tại gốc (gọi tắt là nón) trong Y nếu tc ∈ C, ∀c ∈
C, t ≥ 0.
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y , ta kí hiệu clC,

intC, coneC lần lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón C.
Ta thường quan tâm tới các loại nón sau:
i). Nón C là nón lồi (nón đóng) nếu tập C là tập lồi (tập đóng);
11


ii). Ta kí hiệu l(C) = C ∩ (−C) là phần trong tuyến tính của nón C.
Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0;
Với nón C cho trước, ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự trong Y như
sau:
1). ∀x, y ∈ Y, x

Cy nếu x − y ∈ C, (có thể viết x

y nếu không sợ

nhầm lẫn);
2). ∀x, y ∈ Y , kí hiệu x

y nếu x − y ∈ C\l(C);

3). ∀x, y ∈ Y , kí hiệu x

y nếu x − y ∈ intC.

Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và nó là quan
hệ thứ tự từng phần trên Y . Hơn nữa, nếu C là nón nhọn thì quan hệ
trên có tính chất phản đối xứng, có nghĩa là nếu x

y và x

x = y.
Ví dụ 1.1.1.
1. Cho Y = Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xj ∈ R, ∀j = 1, n}, tập
C = Rn+ = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn |xj ≥ 0, ∀j = 1, n},
là nón lồi, đóng, nhọn.
Trên C ta xác định quan hệ thứ tự như sau:
x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) thuộc Rn
x ≥ y khi và chỉ khi xj ≥ yj , với mọi j = 1, n.
Nón C = Rn+ được gọi là nón Orthant dương trong Rn .
2. Cho Y = Rn
C = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xn ≥ 0}
12

y thì


C là nón lồi, đóng nhưng không nhọn vì
l(C) = {x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 0) ∈ Rn } = {0}.
Định nghĩa 1.1.2. Cho Y là không gian tuyến tính, Y ∗ là không gian
tôpô đối ngẫu của Y ,< ξ, y > là giá trị của ξ ∈ Y ∗ tại y ∈ Y . Nón đối
ngẫu C’ và nón đối ngẫu chặt C + của C lần lượt dược định nghĩa là
C = {ξ ∈ Y ∗ : ξ, c ≥ 0, với mọi c ∈ C},
C + = {ξ ∈ Y ∗ : ξ, c > 0, với mọi c ∈ C\l(C)}.
Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón, ta có thể định nghĩa được điểm hữu
hiệu của một tập hợp bất kì, cụ thể như sau:
Định nghĩa 1.1.3. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự
sinh bởi nón C, A là tập con của Y .
1). Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với
nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A.

Tập điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C kí hiệu là IM in(A|C).
2). Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto)
của tập A đối với nón C nếu không tồn tại y ∈ A, y = x để
x − y ∈ C\l(C.)
Tập điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C kí hiệu là P M in(A|C)
hoặc đơn giản hơn là M in(A|C).
3). Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của tập A đối với nón C
(trong trường hợp intC = ∅ và C = Y ) nếu x ∈ M in(A|intC ∪{0}).
Tức là x là điểm hữu hiệu Pareto của tập A đối với nón (intC ∪{0}).
13


Tập điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C kí hiệu là W M in(A|C)
hay W M in(A).
4). Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với
nón C nếu tồn tại nón lồi C˜ khác hoàn toàn không gian và chứa
˜
C\l(C) trong phần trong của nó sao cho x ∈ M in(A|C).
Tập điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C kí hiệu là P rM in(A|C).
Từ định nghĩa trên ta có IM in(A|C) ⊆ P rM in(A|C) ⊆ M in(A|C) ⊆
W M in(A|C).
Ví dụ 1.1.2. Trong R2 lấy hai tập
A = {(x, y) ∈ R2 |(x−1)2 +(y−1)2 ≤ 1, y ≤ 1}∪{(x, y) ∈ R2 |x ≥ 1, y ∈ [0, 1]}
B = A ∪ {(0, 0)}.
a) Lấy thứ tự sinh bởi nón C = R2+ , ta có
IM inA = ∅,
PrM inA = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, x < 1, y < 1},
M inA =PrM inA ∪ {(0, 1), (1, 0)},
W M inA = M inA ∪ {(x, y) : y = 0, x ≥ 1},
IM inB =PrM inB=M inB = W M inB = {(0, 0)}.

b) Lấy thứ tự sinh bởi nón C = (R1 , 0) ⊆ R2 , ta có
IM inA = ∅,
PrM inA = M inA = W M inA = A,
IM inB = ∅,
14


PrM inB = M inB = W M inB = B.

1.1.2

Ánh xạ đa trị

Cho hai tập hợp X, Y, D ⊆ X là tập con.
Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ F : D → Y biến mỗi điểm x ∈ D thành
một tập con F (x) của Y , (F (x) có thể bằng rỗng), được gọi là ánh xạ
đa trị. Ta kí hiệu 2Y là họ các tập con của Y và F : D → 2Y là ánh xạ
đa trị từ tập D vào tập Y .
Nếu với mỗi x ∈ X, F (x) chỉ gồm một phần tử thì F gọi là ánh xạ
đơn trị, ta sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X → Y .
Định nghĩa 1.1.5. Cho D ⊆ X, ta gọi miền xác định và đồ thị của ánh
xạ G : D → 2Y tương ứng là các tập hợp
domG = {x ∈ D|G(x) = ∅},
Gr(G) = {(x, y) ∈ D × Y |y ∈ G(x)}.
1) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu đồ thị
Gr(G) của nó là tập con đóng (mở) trong không gian X × Y .
2) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ compact, nếu bao đóng clG(D) của
G(D) là một tập compact trong không gian Y .
3) Ánh xạ G gọi là có nghịch ảnh mở, nếu với mọi y ∈ Y , tập G−1 (y) =
{x ∈ D|y ∈ G(x)} là mở.

Nếu G(x) là tập đóng (compact) với mọi x ∈ D thì ta nói ánh xạ
G có giá trị đóng (tương ứng, có giá trị compact).
15


Từ Định nghĩa ta thấy,
i) G là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng {xα } ⊆
D.{yα } ⊆ Y, xα → x, yα ∈ G(xα ), ta có y ∈ G(x).
ii) Khi X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh xạ F : X → 2Y
có ảnh ngược tại mỗi điểm là tập mở trong X thì ánh xạ bao lồi
coF : X → 2Y của nó, (coF )(x) = coF (x), cũng có tính chất như
vậy.

1.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Cho X, Y là các không gian tôpô, D ⊆ X. Ta biết rằng, ánh xạ đơn
trị f từ D vào Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mọi tập
mở V chưa f (x) đều tồn tại tập mở U chứa x sao cho f (x ) ∈ V với mọi
x ∈ U ∩ D. Đối với ánh xạ đa trị, f (x) ∈ V tương ứng với khả năng:
F (x) ⊆ V hoặc F (x) ∩ V = ∅. Từ đó có thể mở rộng từ khái niệm liên
tục đối với ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và
ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên
và nửa liên tục dưới. Hai khái niệm này được đưa ra đầu tiên năm 1932
bởi B.Bouligand và K.Kuratowski (theo Aubin và Frankowska (1990)).
Sau đó, Berge (1959) ([7]) đã khảo sát khá kĩ về vấn đề này, ta nhắc lại
định nghĩa của Berge.
Định nghĩa 1.2.1. Cho tập con D ⊆ X, ánh xạ đa trị F : D → 2Y .
1. F được gọi là nửa liên tục trên (dưới) (viết gọn là u.s.c (tương

16


ứng, l.s.c)) tại x ∈ D nếu mỗi tập mở V chứa F (x) (tương ứng,
F (x) ∩ V = ∅), tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊆ V
(tương ứng, F (x) ∩ V = ∅), với mọi x ∈ U ∩ D.
2. F được gọi là u.s.c (l.s.c) trên D nếu nó là u.s.c (tương ứng, l.s.c)
tại mọi điểm x ∈ D.
Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng hai khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục
trên, nửa liên tục dưới là hoàn toàn khác nhau.
Ví dụ 1.2.1. Lấy X = Y = R, D = [−a, a], với a ∈ R, a > 0. Ánh xạ

F : D → 2 , F (x) =
R



{0},

nếu x = 0;


[−a, a], nếu x = 0.
1. F nửa liên tục dưới tại x = 0. Thật vậy, V là tập mở bất kì,
V ∩ F (0) = ∅ (trong trường hợp này V chưa 0 = F (0)). Khi đó, rõ
ràng, lấy một lân cận U của điểm x ∈ 0, lấy bất kì x ∈ U, x = 0
thì F (x ) = [−a, a] ∩ V = ∅ (chúng chứa 0).
2. F không nửa liên tục trên tại x = 0. Thật vậy, lấy tập mở V =
a a
(− , ), F (0) = {0} ⊂ V . Mọi lân cận U của 0, lấy bất kì x ∈

2 2
U, x = 0 thì F (x ) = [−a, a] V
Ví dụ 1.2.2. Tương tự ta chứng minh được rằng ánh xạ


[−a, a], nếu x = 0;
R
H : D → 2 , H(x) =

{0},
nếu x = 0,
17


nửa liên tục trên nhưng không nửa liên tục dưới tại x = 0.
Tiếp theo, cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa
phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Y . Các mệnh đề sau nêu lên các điều
kiện cần, đủ để ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.2.1. ([18]) Giả thiết F : D → 2Y là ánh xạ đa trị với giá
trị compact. Khi đó F là nửa liên tục dưới tại x ∈ D nếu và chỉ nếu
với mọi y ∈ F (x) và với mọi dãy {xα } trong D hội tụ tới x, tồn tại dãy
{yα }, yα ∈ F (xα ) với mọi α và yα → y.
Mệnh đề 1.2.2. ([20]) Ánh xạ đa trị F có nghịch ảnh mở thì nửa liên
tục dưới.
Ngược lại không đúng, chẳng hạn trong ví dụ trên, ánh xạ F nửa liên
tục dưới nhưng các nghịch ảnh {0}, [−a, 0], (0, a] không mở.
Mệnh đề 1.2.3. ([6]) Nếu F : D → 2K là ánh xạ đa trị nửa liên tục
trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại nếu F là ánh xạ
đóng và K là tập compact, thì F là ánh xạ nửa liên tục trên.
Cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính, các tập con không

rỗng D ⊆ X, K ⊆ Y .
Định nghĩa 1.2.2. Cho F : K × D × D → 2Y là một ánh xạ đa trị và
C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị (với mỗi (y, x) ∈ K × D, C(y, x)
là một nón trong Y ).
i). F được gọi là C - liên tục trên (dưới) tại điểm (y, x, t) ∈ domF
nếu với mọi lân cận V của gốc trong Y , tồn tại lân cận U của điểm
18


(y, x, t) sao cho:
F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V + C(y, x)
(tương ứng, F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V − C(y, x))
với mọi (y, x, t) ∈ U ∩ domF .
ii). Nếu F đồng thời là C - liên tục trên và C - liên tục dưới tại (y, x, t),
ta nói F là C - liên tục tại (y, x, t).
iii). Nếu F là C - liên tục trên, dưới, ... tại mọi điểm thuộc domF , ta
nói F là C - liên tục trên, dưới,... trên D.
Chú ý 1.2.1.
i). Nếu ánh xạ nón C = {0} trong Y (C(x, y) = 0, ∀(y, x) ∈ K ×D), ta
nói rằng F là liên tục trên (dưới) thay vì {0} - liên tục trên (dưới).
Và F là liên tục nếu nó đồng thời liên tục trên và dưới. Nếu thêm
giả thiết F (y, x, t) là tập compact thì phần i) của Định nghĩa 1.2.2
trùng với định nghĩa về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
của Berge.
ii). Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm C - liên tục trên và
C - liên tục dưới là một và ta nói F là C - liên tục. (Đặt biệt, nếu F
là C - liên tục tại (y, x, t) và Y = R, C = R+ (hoặc, C(y, x) = R− ),
thì F nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) tại (y, x, t)
theo nghĩa thông thường).

19


Ví dụ 1.2.3. Cho f : D → K là một ánh xạ đơn trị. C là ánh xạ nón
hằng (giá trị tại mọi điểm đều bằng nhau) trong Y . Khi ấy ánh xạ đa
trị F (x) = f (x) + C vừa là C - liên tục trên, vừa là C - liên tục dưới
tại điểm mà f liên tục. Trong [14], N.X. Tấn và Lin, L.J. đã đưa ra các
điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C - liên tục trên (dưới).

1.3

Tính lồi của ánh xạ đa trị

Trong mục này, chúng tôi giả thiết X, Y là các không gian tuyến tính,
D là tập con lồi trong X. Với các ánh xạ đơn trị, ta đã biết đến các khái
niệm hàm lồi, hàm tựa lồi, hàm vector lồi, giống tựa lồi theo nón. Các
khái niệm này được mở rộng tương ứng trong trường hợp ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.1. Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị và C là nón trong
Y.
1. Ánh xạ F được gọi là C - lồi trên (dưới) trên D nếu với mọi x1 , x2 ∈
D, α ∈ [0, 1], ta có αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C
(tương ứng, F (αx1 ) + (1 − α)x2 ⊆ αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) − C).
2. Ánh xạ F được gọi là C - giống như tựa lồi trên (dưới) trên D nếu
với mọi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1],
F (x1 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C
hoặc, F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C
(tương ứng, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x1 ) − C
hoặc, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C).
20

Chú ý. Ta dễ thấy rằng:
1. Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm C - lồi trên (dưới)
(hoặc, C - giống tựa lồi trên (dưới)) là như nhau và ta nói F là C
- lồi (hoặc, C - giống tựa lồi).
2. Trong trương hợp Y = R, C = R+ và F là ánh xạ đơn trị, nếu F là
ánh xạ C - giống tựa lồi đơn trị thì F là hàm tựa lồi.
Các khái niệm ánh xạ C - lồi trên (dưới) hay C - giống tựa lồi trên (dưới)
là sự tổng quát các khái niệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị. Có thể
thấy rằng, ánh xạ C - lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C - giống tựa
lồi trên (dưới) và ngược lại.
1

Ví dụ 1.3.1.([12]) Xét các ánh xạ F, G : R → R2 , với F (x) = (x 3 , x) và
G(x) = (x, 1 − x). Với nón C = R2+ , ta dễ dàng chỉ ra được rằng, F là
ánh xạ C - giống như tựa lồi nhưng không phải là C - lồi và ánh xạ G
là C - lồi nhưng không là C - giống như tựa lồi.
Định nghĩa 1.3.2. Cho D là tập lồi trong X, F : D × D → 2Y là ánh
xạ đa trị và C : D → 2Y là ánh xạ nón.
1. F được gọi là C - lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai
nếu với mọi tập hữu hạn {x1 , . . . , xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , . . . , xn }, x =
n

n

αj xj , αj ≥ 0,
j=1

αj = 1, ta có
j=1

n

αj F (x, xj ) ⊆ F (x, x) + C(x)
j=1

21