Luận văn định lý dubovitskir milyutin và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (900.17 KB, 64 trang )
BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2
TRẦ N TH Ị THOA
Đ ỊN H LÝ D U B O V IT SK IR -M IL Y U T IN
VÀ Ứ N G D Ụ N G
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
H à N ội-2015
BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2
TRẦ N TH Ị THOA
Đ ỊN H LÝ D U B O V IT SK IR -M IL Y U T IN
VÀ Ứ N G D Ụ N G
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
Chuyên ngành: T o án giải tíc h
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: P G S . T S . N g u y ễn N ă n g T âm
H à N ội-2015
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình
hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong phòng sau đại học, trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Học viên
T rầ n T h ị T h o a
2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Nguyễn Năng
Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý
Dubovitskir-Milyutỉn và ứng dụng”, được hoàn thành bởi nhận thức của
bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
T ác g iả
T rầ n T h ị T h o a
3
M ục lục
M ở đ ầ u ..
C h ư ơ n g 1 M ộ t số k iến th ứ c ch u ẩ n bị
3
1 . 1 . Không gian Banach
3
1 . 2 . Toán tử và phiếm hàm tuyến tính
8
1 .2 . 1 . Toán t ử tu y ế n tín h
8
1 .2 .2 . P hiếm h à m tu y ế n tín h
11
1.3. Tô pô yếu, tô pô yếu*
13
1.3.1.
Tôpô yếu
13
1.3.2.
Tôpô yếu*
13
1.4. Tập lồi, nón lồi
14
1.5. Các định lý tách
15
s
1 . 6 . Anh xạ khả vi
18
1.7. Hàm lồi
19
1 . 8 . Nón liên hợp
23
C hư ơ n g 2. Lý th u y ế t các đ iề u k iện cực t r ị c ủ a D u b o v itsk irM ily u tin và ứ n g d ụ n g
24
2 . 1 . Điều kiện cần cực trị của Dubovitskir-Milyutin
4
24
2 .2 . ứng dụng cho bài toán quy hoạch toán học
39
2.3. ứng dụng cho bài toán điều khiển tối ưu
53
K ế t lu ậ n
58
T ài liệu th a m k h ảo
58
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tà i
Lý thuyết các điều kiện tối ưu đã phát triển từ những giai đoạn sớm
nhất của Toán học. Sự phát triển mạnh mẽ của Lý thuyết các bài toán
cực trị đã cho ta những điều kiện tối ưu dưới dạng quy tắc nhân tử
Lagrange và nguyên lý cực đại Pontryagin. Năm 1965 Dubovitskir và
Milyutin đưa ra lý thuyết các điều kiện cần cực trị dưới ngôn ngữ giải
tích hàm. Lược đồ mà Dubovitskir và Milyutin đưa ra bao hàm được
tấ t các bài toán cực trị. Sau khi được học các kiến thức về Toán giải
tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối
quan hệ và ứng dụng của chúng. Tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Định lý
Dubovitskir-Miỉyutỉn và ứng dụng”.
2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir- Milyutin
và ứng dụng.
3. N h iệm vụ nghiền cứu
Nghiên cứu lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir-Milyutin
và áp dụng cho bài toán quy hoạch toán học và bài toán điều khiển tối
1
ưu.
4. Đ ối tư ợ ng và phạm vi nghiền cứu
Lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir-Milyutin trong không
gian Banach và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm.
2
Chương 1
M ột số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích
hàm, giải tích lồi như: Không gian Banach, toán tử và phiếm hàm tuyến
tính, ánh xạ khả vi, tôpô yếu, tôpô yếu*, tập lồi, hàm lồi, nón lồi, nón
liên hợp,... Những kiến thức này được sử dụng để trình bày các khái
niệm và các tính chất quan trọng của lý thuyết các điều kiện cực trị của
Dubovitskir-Milyutin và ứng dụng của nó trong bài toán quy hoạch toán
học và bài toán điều khiển tối ưu. Các khái niệm này ta có thể tìm thấy
trong [I]và [13j
1.1. K hông gian B anach
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Cho X là không gian vectơ trên trường số thực M.
Chuẩn trong X , ký hiệu ||.||; là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa
mãn các tiên đề sau
i) (Vx e X ) ||a;|| > 0, ||a;|| = 0
X
= ớ;
ii) (\/x G X ) (Va G M) ||a!x|| = \a\ ||x ||;
3
Ui) {Vx,y e X ) ||a; + y II < ||a:|| + ||y|| .
Số ||x|| gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trongkhông gian
đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.
Đ ịn h lý 1.1. (xem l$ỊỊ) Giả sử X ỉà không gian tuyến tínhđịnhchuẩn,
đặt
d ( x , y ) = \ \ x - y \ \ ì V
x , y e X
(1 .1 )
Khi đó, d là một metric trên X .
N h ậ n x é t 1.1. Mọi không gian tuyến tính định chuẩn đều là không gian
metric với metric (1.1)
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Dãy điểm {x n} của không gian tuyến tính định chuẩn
X được gọi ỉà hội tụ tới điểm X £ X nếu lim I I —x|| = 0.
ĩl—
>00
Ký hiệu lim x n = X hay x n —>■X khi n —> 00 .
n—
>oo
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Dẫy điểm {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn
X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim \\xn —x m II = 0.
m,n—>00
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Trong không gian tuyến tính định chuẩn X , chuỗi
00
k
x n được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn lim «Sfc = s , với Sk =
xn
n=1
fc->00
n=l
là tổng riêng thứ k của chuỗi.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Trong không gian tuyến tính định chuẩn X , chuỗi
00
00
Ỵ2 x n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi Ỵ2 ll^nll hội tụ.
n= 1
n=1
4
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi ỉà không
gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tứ
trong X .
V í d ụ 1.1. X ét không gian vectơ thực n —chiều
với mỗi ĩ ễ I " ,
r f~
X = ( x i , X ỵ ) trong đó, i = 1 , к. Đặt ||x|| = i ^2 x \ .
V i=1
Khi đó Mn là không gian Banach.
T hật vậy, dễ dàng kiểm tra được Mn là không gian định chuẩn. Lấy
{x n} là dãy cơ bản trong Mn. Ta có
lim \\xn — x m\\ = 0 nghĩa là
r a , 71 —
>00
(Ve > 0) (3M € N *) (Vm,n > M) : \\xn —x m\\ < £
I't'nJ
^ £ ■
j=l
Suy ra (với mỗi j e N cố định), (Ve > 0) (3Mj £ N *) (Vm,n > Mj) :
Vậy với mỗi j
N cố định thì dãy {xn j} là một dãy cơ bản hội tụ.
Ký hiệu Xj = lim x n j , j = l , k nghĩa là
n —¥00
’
(Ve > 0) (Vj = 1 , k) (3Mj e N*) (Vn > Mj) : \\xnJ - Xj\I < ~^=.
vn
Đặt X = (Xj)
, ta sẽ chứng minh {жп} hội tụ đến Ж.
Đặt M0 = max {Mi, M2,
Mit} thì
2
\x n , j
7 ^ , j
- X j \ <
Je
=> E
j=i
=
1 , 2 , . . . , Ả: = >
ПГ
- 3 j|2 < e2 =► л / Е
V j=i
Vậy { x n} hội tụ đến X.
5
\x n J
- X j \
£2
<
- Zj|2 < £•
—
77/
V í d ụ 1.2. X ét không gian vectơ thực n —chiều Rn, với mỗi
X = ( í C i , Xk) trong đó, i = 1 , /c. ỡ ặ í ||a;||
X
e
= max Ịa^ịỊ.
1
Khỉ đó có thể chứng minh Mn là không gian Banach.
V í d ụ 1.3. Xét không gian vectơ thực n —chiều
với mỗi X £ IRn;
n
X = ( x i , X ] ị ) trong đó, i = 1 , k. Đặt llxllj =
|xj|.
i=0
Khi đó có thể chứng minh Mn là không gian Banach.
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Giả sử E là không gian tuyến tính trên R và II.IIx, ||.ỊỊ2
là hai chuẩn cùng xác định trên E. Khỉ đó hai chuẩn này được gọi là
tương đương nếu tồn tại 0 < m < M sao cho
mllxỊ^ < ||x||2 < MỊIxlluVx € E.
Đ ịn h lý 1.2. (xem l$$) (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi)
00
Cho X là không gian Banach. Chuỗi Ỵ2 x n hội tụ khi và chỉ khi Ve > 0,
n= 1
tồn tại n ữ e N* sao cho Vn > n0 và 'ip e N*
+2 “ỉ- ' ' ' “ỉ- ^n+pll
£•
Đ ịn h lý 1.3. (xem ịỌI) Không gian tuyến tính định chuẩn X là không
gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X đều hội
tụ.
00
Chứng minh. Giả sử X là không gian Banach và chuỗi
||a;n|| hội tụ.
71=1
Khi đó Ve > 0, tồn tại nữ e N* sao cho Vn > n ữ và Vp € N* thì
p
\ \ x n + j II <
6
e.
Suy ra Ve > 0, tồn tại n ữ € N* sao cho Vn > n 0 và Vp e N* thì
p
É=1 a:
j I < e.
j=l
3
00
Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi XI
hội tụ trong không gian X .
n=l
Ngược lại, giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi chuỗi
hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (xn) là dãy Cauchy tùy ý trong X . Ta có
Ve > 0, tồn tại 77,0 € N* sao cho Vn,m > n 0 : \\xn — x m\[ < e.
Nhờ đó, với số e là phần tử của dãy số (^r) ta tìm được số nỵ sao cho
\x n k+1
< Ặ ( k
X nk
Từ đó, suy ra chuỗi ||a;ni II + \\xn2 - x ni II + . . . + 11^71*+! -
x nk
II + ••• là hội
tụ. Theo giả thiết, chuỗi x ni + (Xn2 - x ni) + ... + (Xnk+1 -
Xnk)
+ ... hội tụ
trong không gian X , kí hiệu tổng của chuỗi này là s . Hiển nhiên
s = lim [xni + (x n2 - x ni) + ... + (x nk+1 - x nk)\ = lim x n
k —too
k-¥00
.
Từ chứng minh trên và từ hệ thức
ill + |K * +1 - s II
0(k,n
co)
suy ra s = lim x n trong không gian tuyến tính định chuẩn X . Do đó,
ĩl—^oo
X là không gian Banach. Định lý được chứng minh.
□
Đ ịn h lý 1.4. (xem ị3$) Nếu E là một không gian tuyến tính định chuẩn
hữu hạn chiều thì mọi chuẩn trên E là tương đương.
Chứng minh. T hật vậy, giả sử trên E có ||.ỊỊ1 và ||.ỊỊ2 là hai chuẩn cho
trước. Gọi s = {x e X : ||a;IIx = 1}. Vì s đóng và E có số chiều hữu hạn
7
nên ||.ỊỊ2 đạt max và min trên s , kí hiệu lần lượt là M và m.
Xét X ^ 0 là phần tử bất kỳ trong E , khi đó:
X
R |2 =
Vì
X
\x\
X
\x\ 1'
£
= 1 nên m <
X
\x\
1-
x\
< M =>• 777/IIXII< ||x||2 <
Vậy hai chuẩn là tương đương.
□
1.2. Toán tử và phiếm hàm tu yến tín h
1.2.1. T o án t ử tu y ế n tín h
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường số
K
Đ ịn h n g h ĩa 1.8. A được gọi là một ánh xạ tuyến tính hoặc toán tử
tuyến tính, hay gọi tắt là toán tứ, nếu Vx Ễ X,V|/ Ễ Y,\/a,Ị3 ẽ K
A (a x + fly) = a A x + (3Ay.
Nhận xét.
a) A : X —»• Y là toán tử tuyến tính, suy ra ^40 = 0, A ( —x) = —Ax.
b) Giả sử A, B : X —>Y là hai toán tử tuyến tính. Ta định nghĩa A + B
như sau
(^4 + B )x = A x + By(\fx € X ).
Với số À G K ta định nghĩa tích XA như sau
(AA )x = \A x {\/x
Khi đó A 4- B và XA là toán tử tuyến tính.
c) Giả sử X , Y, z là ba không gian tuyến tính trên cùng trường số K . Nếu
A :X
Y, B : Y —¥ z là các toán tử tuyến tính thì tích B A : X —►z
cũng là một toán tử tuyến tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Giả sử A : X —> Y là toán tử tuyến tính. Hạch của A
là tập hợp
KerA = ^4_1(0) = {x € X : A x = 0};
Ảnh của A là tập hợp
ImA — A ( X ) = {y G Y : y = A x , x ệ X }
Đ ịn h n g h ĩa 1.10. Toán tử tuyến tính A : X —>• Y được gọi là một đẳng
cấu tuyến tính của X lên Y nếu KerA = {0} và ImA = Y .
Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Các không gian tuyến tính X và Y được gọi ỉà đẳng
cấu với nhau, nếu tồn tại một đẳng cấu tuyến tính A của X lên Y .
Đ ịn h lý 1.5. (xem ịSỊỊ) Giả sử A ỉà một đẳng cấu tuyến tính của X lên
Y . Khi đó tập M c X và tập
A {M ) = { A x : x e M } C Y
cùng độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh, a) Giả sử M phụ thuộc tuyến tính, tức là 3xị G M (i =
n
l,...,n ) và 3aị(i =
không đồng thời bằng 0 sao cho Ỵ^aịXị =
i=l
0 ^ > 0 = ^40 = ^4ÍX] a ix i ) — X) (XịAxi =>■ A ( M ) phụ thuộc tuyến tính.
\i=1
Ji=i
b) Giả sử A ( M ) phụ thuộc tuyến tính. Bởi vì M = A ~1[A(M)]Ì nên
A~1[A(M )] = M phụ thuộc tuyến tính (theo phần a)).
9
□
Đ ịn h lý 1.6. (xem ị$$) Giả sử X và Y là các không gian định chuẩn,
A : X —>Y là một toán tử tuyến tính. Các mệnh đề sau là tương đương
(i) A liên tục (tức A liên tục tại mọi điểm của X );
(ii) A liên tục tại mọi điểm x ữ G X ;
(ỉỉỉ) A liên tục tại 0;
(iv) 3 M > 0,Vx G X : ||-Aa;|| < M ||a;||.
Chứng minh. (ỉ) =>• (ii) : Hiển nhiên.
(ii) =$■ (iii) : Lấy x n —> 0 => x n + x 0 —> x 0
A x n + A x ữ = A (x n + x0)
A x ữ (Do A liên tục tại x 0)
Axn
0=
j40 : A liên tục tại 0.
(iii) => (iv ) Do Ả liên tục tại 0, có tồn tại r > 0 sao cho:
A[Bx (0;r)] C B Y (0; 1),
trong đó B x {0;r) là hình cầu mở trong X tâm 0, bán kính r. Nói cách
khác
( 1 .2 )
2 ẽ I , ||z|| < r =>■ \Az\ < 1.
Lấy
J
G X,
X
7^ 0 và đăt z =
, , ■Ta có \z\ = —< r =>• \Az\ < 1 (do
r
2 \x\
X
11 2
1 1
v
X
(L2)).
(1.3)
Với
(ỉv)
X
=
0
(ỉ)
,
( 1
. 3
)
: Lấy
II
vẫn đúng. Vậy ta
X
c ó
(
i v ).
€ X . Từ (ỉ v ) suy ra
A x n
-
A
í c | |
=
II
A (xn
10
-
í c ) | |
<
M \\xn
-
X
=>- A liên tục tại
X.
□
Vậy ta có (i).
Đ ịn h n g h ĩa 1.12. Toán tử tuyến tính A : X —»■Y được gọi là bị chặn
nếu 3 M > 0,V:r € X
||A e || < M||a:||.
Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Chuẩn của toán tử A được định nghĩa như sau
ll^ ll
1.2.2. P h iế m h à m tu y ế n tín h
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường số thực hay phức
K.
Đ ịn h n g h ĩa 1.14. Toán tử tuyến tính f : X —>■ K được gọi là phiếm
hàm tuyến tính xác định trên X .
Đ ịn h n g h ĩa 1.15. Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên Xđược gọi
là không gian liên hợp đại số hay không gian đối ngẫu đại số của X ; kí
hiệu là X * .
Đ ịn h lý 1.7. (xem ỊS$) Giả sử hệ
c X* là độc lập tuyến
tính. Khi đó tồn tại X I,...,xn G X sao cho:
1, nếu i = j
0, nếu i Ỷ 3
Chứng minh. Với n = 1 : /i Ỷ 0 =>• 3a:0 E X : f i ( x ữ) Ỷ 0- Lấy X ị =
ocQ
T'
ta có f ( x i) = 1. Giả sử định lý đúng cho 77, — 1 phiếm hàm. Lấy
11
/i, f n
€ X* sao cho hệ { f u ...fn} độc lập tuyến tính =>- 3y2, y n € X
sao cho
/ỉ(ỉ/j) =
Với
X
= 2,3,..., ra).
£ X đặt
n
(1.4)
y :=x - £ / < ( * ) *
i=2
Suy ra /i(ỉ/) = /^(a;) - 'Ế f i { x ) f j (yi) = /j-(íc) - fj{ x ) fj (yi) = 0(j =
2
,
1= 2
Với y có dạng (1.4), nếu f i y = 0 ta suy ra với mọi
X
&X,
n
fÁ x) = ^ ĩi{ x )ỉi{ y i)
i=2
n
=>- f i =
= 2, ...,rc). Suy ra hệ { / i , .../„} phụ thuộc tuyến tính
i=2
(mâu thuẫn với giả thiết). Vì vậy 3x £ X : fi(y) Ỷ 0 trong đó y có dạng
(1.4). Đặt
Xị
=
y^
/i(y)
ta có
= l,/j(a ;i) = 0(j = 2
Hoàn
toàn tương tự ta tìm được các vectơ x 2, ...,xn thỏa mãn
fi( x j)
ổịj
<
1, nếu
i =
j
{i = 1
= 2 , n).
0, nếu i Ỷ j
□
Đ ịn h n g h ĩa 1.16. Giả sử M là không gian con tuyến tính cực đại của
X, a € X . Tập hợp a + M = {a + y : y & M } được gọi là siêu phẳng
trong X . Để ý rằng M cũng là một siêu phẳng qua 0.
12
1.3. Tô pô yếu, tô pô yếu*
1.3.1. T ôpô yếu
Cho (X, r) là không gian tôpô lồi địa phương. Với mỗi / €E X*, tập
hợp
V( f ; 1) := { x £ X : \ f ( x ) \ < l }
là một tập lồi cân đối hấp thụ trong X . Họ
B0 := { v ( / ; l ) ) : / € * • }
sẽ xác định một tôpô lồi địa phương тш trên X . Tôpô này nhận họ sau
làm cơ sở lân cận gốc
{ ra
f | vựi-, t) : m g N*; £ > 0; и € X*, 1 < i < m . .
i =ì
Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X
bảo đảm sự liên tục của tấ t cả các phiếm hàm / e X*. Nói riêng тш с r.
Do đó ta sẽ gọi тш là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh là T.
1.3.2. T ôpô yếu*
Tương ứng với mỗi X ẽ X ta thiết lập một phiếm hàm фж trên X*
được xác định bởi
< M /) := / W . V / 6 X * .
Dễ kiểm chứng được đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X* và do
đó nếu đồng nhất mỗi X G X với Фа; ta có thể xem X như một họ các
phiếm hàm tuyến tính trên X*. Tôpô tuyến tính yếu nhất тш. trên X*
bảo đảm sự liên tục của mọi
X
£ X được gọi là tôpô yếu* trên X*.
13
1.4. Tập lồi, nón lồi
Đ ịn h n g h ĩa 1.17. Tập А с E được gọi là tập lồi nếu với mọi x , y € A
và với mọi Л e M : 0 < Л < 1 thì Xx + (1 —Аy) e A.
Đ ịn h lý 1.8. (xem Щ) Giao của một họ tùy ý các tập lồi trong E là
một tập lồi trong E.
Chứng minh. Giả sử A a € Mn(a; € I ) là các tập lồi với I là tập chỉ số
bất kỳ, ta cần chứng minh tập Ả = Pl A a là tập lồi.
a ẽ ỉ
Lấy tùy ý Xị, X2 ẽ A. Khi đó Xi, X2 €: A a, vổi mọi a G I. Do A là lồi nên
AiÆi 4- (1 —a ) x 2 ẽ A a, với mọi а e [о, 1] =>• AlXi + (1 —a )x 2 € A. Vì
vậy A là tập lồi.
□
H ệ q u ả 1.1. Cho bi & E : ßi G ш,г G I với I là tập chỉ số tùy ý. Khi đó
А = {x £ E / (x', bị) < ßi,i £ 1} là một tập lồi trong E.
Đ ịn h lý 1.9. ( xem Щ) Giả sử Aị с E lồi, Xị G м(г = 1,2,..., ra). Khi
đo Ằ\A\ “I- Л2-А2 ""b ••• “I-
Id lot.
Đ ịn h n g h ĩa 1.18. Vectơ X € E được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ
m
x i , .. ., x m £ E nếu
> о, (г = 1,2
Xị = 1 sao cho X =
1=1
m
i=1
te i-
Đ ịn h lý 1.10. (xem Щ) Một tập trong E là lồi khi và chỉ khi nó chứa
tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó. A là tập lồi trong E khi và
chỉ khi:
{
m
X=
m
AịXị : Xi e A;
i=1
Xị = 1, л_г > 0; г = 1, m, Vm e N ►.
i=1
>
14
Chứng minh. (-£=) Chọn m = 2, hiển nhiên đúng.
(^>) Ta chứng minh bằng quy nạp.
Giả sử A là tập lồi, ta lấy tùy ý
m
Xi,
x 2,
e A] X ị , X m > 0 và
x m
rn
= 1, X —
\ x ị . Ta chứng minh
i=1
Ĩ=1
m = 1 : Xi € A; \ i = 1 => X & A.
X
€ A.
m = 2 : Xị, x 2 G ^4; Ai + A2 = 1 mà A lồi=>■ a: =
ẰịXi
+ X2x 2 G A
Giả sử X ẽ i đúng với m — 1 ta có
m
ra
AjXj G A, \/Xi € ^4;
Aj = 1, Aj > 0, i € N.
j=l
i=l
X6t X — ^ ' AịXị — } ' AịXị "1“ \ mx m.
i=i
i=1
Với ÀTO= 0 4 1 e Ẩ.
Với Am = 1 =>• Ai = ... = Am_i = 0 => X
= € A.
Với 0 < A < 1 ta có
1 — Am = Ai + ... + Am_i > 0
1
-L
- > 0(i = 1,
Am
m — 1).
m-1
2=1
Vì V — - = 1 nên theo giả thiết quy nap y = ------ -Xị G A.
i= 1 lAm
m - 1
Với y £ A vầ x m € i4 ta có 1 - Am > 0 và (1 — Àm) + Àm = 1 =>• X =
( 1
A
m
) y
“ t"
Xmx m
G
- A .
ũ
1.5. Các định lý tách
Đ ịn h n g h ĩa 1.19. Trong không gian E cho tập con D và F khác rỗng.
Điểm a
6
c được gọi là điểm bọc nếu với mọi
15
X
thuộc c , tồn tại số
a > 0 sao cho а — a (x — a) củng thuộc с . Tập các điểm bọc của с kí
hiệu là rỉC.
Đ ịn h n g h ĩa 1.20. Trong không gian cho hai tập lồi C ,D khác rỗng và
rời nhau.
Cho а €E M, siêu phẳng (t, x) = a; t ф 0 tách hai tập lồi C : D nếu
sup (t , x) < a < inf (t , у ) .
Cho а
€ M, siêu phang (t, X) = a \t ф 0 tách hẳn hai tập lồi c , D nếu
sup (t , x) < a < inf (t , у ) .
жес
y^D
Bổ đề 1.1. Trong E cho một tập lồi đóng с Ỷ 0 và một điểm a G с .
Bao giờ cũng có một điểm duy nhất x° G с sao cho ịa —x ữ, X —Ж0) <
0, Væ g C.
Đ ịn h lý 1.11. (xem Щ) Nếu hai tập lồi C ,D không rỗng mà rời nhau
thì có một siêu phẳng tách chúng.
Chứng minh. Xét с —D := {x —у : X £ с , y G D}
с —D lồi và о Ф
C-D.
T hật vậy, giả sử O e C — D ^ x — y = 0 ^ x = y E C r \ D (vô lý).
Đặt E := cl(C — D ). Va G ri(C — D) do о ^ с — -D=>- điểm đầu tiên
không thuộc ri(C —D ) trên đoạn [a, 0] một điểm biên của с —D. Suy
ra О ф E hoặc 0 G E \r iE .
Nếu 0 7£ E. Theo Bổ đề 1.1 ta có x° G E : t = II0 —£°|| Ỷ 0 sao ch°
(t, X — Æ0) < 0, Væ G E =>- (t , z) < 0, \/x € E.
=>■ sup (t , z) < 0
=ф (t,x —y) < 0,Væ g c, \ / y
g
D
16
(t , X) < sup (t , X) < (i, y ) , My € D , Vx G c .
xec
(t, æ) < a < (t,y) ,\/y £ D ,V x G D ,a = sup (i, ж)
xec
=>■ a tách hai tập ơ, D.
О G E \r iE . Lấy một điểm и e ri-E1 và dãy afe = — Ả: = 1,2,...
=>■ {afc} € Mn\Æ và afe —>• 0 khi A; —>• + 00 .
Theo Bố đề 1.1 ta có z k G Æ :
7^ afc (a fe — z k,z — z k) < 0,
£ E.
=ï 77 fc 3 fc|| (ofc - z k, z - z k) < 0,V2 G E.
Ị|afc —2fcỊ|
/ ak — z k
\
_
^ \ v = Î î v z - z / - û^ z e E gk —2 ^
Đặt t k =— -J7T => {t k,z - z k) < Q,Vz G E => (t , z ) < {tk, z k) ,V z e
Iữ
/S' I
E.
Do \\tk\\ = 1 và m ặt cầu
Nên 3tũ € 5 : t k
Mà ak -> 0 =*
s = ị t k € Rn : ||ífc|| = 1 } là compact.
tữ với ||ífe|| = 1.
-> 0 nên (tk, z - z k) -> (í°, г)
(í0,*) < 0,v* & c - D c E
(t°,x — ỳ) < 0,Vx G c , Vy G D.
Tương tự với a; = sup (t°,x).
xeC
Siêu phẳng a tách C ,D .
□
Đ ịn h lý 1.12. (xem Щ) Nếu hai tập c \ D lồi, đóng, c , D không rỗng
mà rời nhau và một trong hai tập ấy rời nhau thì có một siêu phẳng tách
hẳn chúng.
Chứng minh. Giả sử
с compact. Đặt E = с — D =ï E đóng.
T hật vậy giả sử
= x k — y k, x k € c , yk £ D. Do с compact nên
3x° e С : x k —»• x°. Mà z k
z° và yk = x k —z k =>■ yk = x k —z k —>• x° —z ữ.
17
Mà D đóng =>• y° = lim yk e D =>- z° = y° — z° =>- E đóng.
k-ịoo
0 £ E nên theo Bổ đề 1.1 ta có t Ф 0 : (t, z) < 0, Wz e E <=>• (t , X —y) <
О, Ух € С, у € D.
Vậy tồn tại a = sup (í, x) tách hẳn ơ , D.
□
X€C
1.6. Á nh xạ khả vi
Đ ịn h n g h ĩa 1.21. Giả sử ĩ và g ỉà các ánh xạ từ tập mở chứa điểm x 0
củak hông gian Banch E vào không gian Banach F . Ta nói rằng f tiếp
xúc với g tại x ữ £ E nếu
lim
x->x0,xý=x0
M í ĩ b l M I U n.
ỊỊíE — Xq
Dễ dàng thấy rằng quan hệ tiếp xúc tại x ữ là một quan hệ tương đương.
Cũng thấy rằng: không có quá и G L (E , F) để ánh xạ X —>f ( x 0) + u(x —
x ữ) tiếp xúc với f tại x 0, trong trường hợp có ánh xạ и như vậy ta nói:
ánh xạ f khả vi tại điểm x 0,u ỉà đạo hàm của f tại điểm x 0. Đạo hàm
của f tại điểm x ữ thường được kí hiệu là f ' ( x o) hoặc D f { x ữ).
Dễ dàng thấy rằng ánh xạ / khả vi tại x ữ khi và chỉ khi có и G L(E] F)
sao cho
f ( x 0 + h) = f ( x 0) + u(h) + o(h) với
Chú ý rằng tính khả vi của ánh xạ f : E
lim
= 0.
h УhoỊỈi^ho ||/i||
F không phụ thuộc vào các
chuẩn tương đương trong mỗi không gian E, F .
V í d ụ 1.4. Hàm hằng từ E vào F là khả vi tại mọi điểm và đạo hàm
của nó tại điểm bất kỳ đều là ánh xạ 0 G L(E\ F).
18
V í d ụ 1.5. Nếu и € L ( E , F ) thì и khả vi tại mọi điểm
X
€ E và
D u (x ) = u.
1.7. H àm lồi
Đ ịn h n g h ĩa 1.22. Cho hàm f : s —»■ M, trong đó s с
= lu
{—oo,+oo}, các tập
dom f = {x G s
: f ( x ) < + 00 } ,
epif = {(ж, a) e
s : f(x) < a} ,
được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f .
Đ ịn h
1.23. hàm f : s —> Шđược gọi là lồi nếu
n g h ĩa
dom f ^ 0 và f ( x ) > —00 với mọi
nó là một tập lồitrong s X E. Nếu
X G s ta nói hàm f là chính thường.
V í d ụ 1.6. Hàm
f :R
R
f { x ) = X2
epi f — {(ж;ịi) £ M X R : f ( x ) = X2 < /x} ,
là tập lồi trong M X R
trên đồthịcủa
/ là hàm lồi.
V í d ụ 1.7. Hàm
/ :R
R
f ( x ) = X3
19
