mot so pp giai pt nghiem nguyen

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
NGHIỆM NGUYÊN
PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC
Một ñiều rất quan trọng khi giải phương trình nghiệm nguyên là chúng ta biết ñược các
nghiệm thuộc tập ℤ là một tập rời rạc, có nghĩa nếu x ∈ [ a; b ] thì ta hoàn toàn có thể liệt
kê tất cả các giá trị của x. Vậy ñi tìm nghiệm của phương trình nghiệm nguyên có thể ñi
ñánh giá miền của mỗi nghiệm hoặc ñánh giá các nghiệm với nhau.

Dạng 1: ðánh giá trực tiếp ñược miền của mỗi nghiệm
Trong các phương trình nghiệm nguyên mà vai trò của các biến như nhau, ta có thể sắp
thứ tự các biến, từ ñó có thể ñánh giá ñược cận trên của giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ
nhất, từ ñó sẽ biết ñược các giá trị của biến ñó, ta sẽ có cơ sở ñể ñánh giá các biến còn lại.

Ví dụ 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình:
x3 + y3 = ( x + y )

2

Giải
Phương trình tương ñương: ( x + y ) ( x 2 + y 2 − x − y − xy ) = 0
Thấy ñược mọi cặp ( k , − k ) , k ∈ ℤ ñều là nghiệm của phương trình.
Nếu x + y ≠ 0 , phương trình tương ñương:
x 2 + y 2 − x − y − xy = 0 ⇔ ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) = 2
2

2

2

Suy ra ( x − 1) ≤ 1 và ( y − 1) ≤ 1 , suy ra x, y là các số nguyên nhận giá trị trong ñoạn:
2

2

[0,2] . Từ ñó ñược các nghiệm là: ( 0,1) , (1,0 ) , (1, 2 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 )
Ví dụ 2: (Romanian Mathematical Olympiad): Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
1 1 1 3
+ + =
x y z 5
Giải
----- Trang 1 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nhận thấy các số x, y, z lớn hơn 1.
Do vai trò x, y, z như nhau, không mất tổng quát giả sử: 2 ≤ x ≤ y ≤ z
Suy ra

3 1 1 1 3
= + + ≤ ⇒ x≤5
5 x y z x

• Với x = 2 suy ra
Suy ra: z = 10 +

1 1 1

+ = ⇒ y ∈ {11,12,..., 20}
y z 10

100
⇒ 100⋮( y − 10 ) ⇒ y = {11,12,14,15, 20}
y − 10

Hay các nghiệm là: ( 2,11,110 ) , ( 2,12,60 ) , ( 2,14,35 ) , ( 2,15,30 ) , ( 2, 20, 20 ) .

• Với x = 3 suy ra

1 1 4
+ = ⇒ y ∈ {3,4,5,6,7}
y z 15

Thay vào phương trình ta ñược các nghiệm: ( 3,4,60 ) , ( 3,5,15 ) , ( 3,6,10 )

• . Với x = 4 suy ra

1 1 7
+ =
⇒ y ∈ {4,5}
y z 20

Thay vào phương trình ta ñược nghiệm:

• Với x = 5 suy ra

( 4,4,10 )

1 1 2
+ = ⇒ y = z = 5 , suy ra nghiệm là ( 5,5,5 )
y z 5

Ví dụ 3: (United Kingdom Mathematical Olympiad): Tìm tất cả các bộ số nguyên dương

( x, y , z )

sao cho:

 1  1  1 
1 +  1 +  1 +  = 2
x 
y 
z


Ví dụ 4 (Putnam MO): Tìm tất cả các số nguyên dương n, k1; k2 ;...; kn thỏa mãn:
 n
 ∑ ki = 5 n − 4
 i =1
 n
 1 =1
∑
i =1 ki
----- Trang 2 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 5:Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 3 ( xy + yz + zx ) = 4 xyz
Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
xy + yz + zx − xyz = 2

Ví dụ 7: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
x 2 y + y 2 z + z 2 x = 3 xyz

Ví dụ 8 (Polish MO): Tìm tất cả các bộ các số nguyên ( a, b, c, x, y, z ) thỏa mãn:
a + b + c = xyz

 x + y + z = abc
Với a ≥ b ≥ c ≥ 1, x ≥ y ≥ z ≥ 1

Ví dụ 9: Cho x, y, z , u, v là các số nguyên dương thỏa mãn: xyzuv = x + y + z + u + v .
Tìm giá trị lớn nhất của max { x, y , z , u , v} .
Tổng quát của ví dụ 9: Tìm max { x1 , x2 ,..., xn } với x1 , x2 ,..., xn ∈ ℕ* thỏa mãn:
n

n

i =1

i =1

∏ xi = ∑ xi
Ví dụ 10: Tìm các số nguyên dương phân biệt x, y, z , t thỏa mãn:
x 2 + y 2 + z 2 = t 2 = 3( x + y + z + t )

Ví dụ 11: Tìm các số nguyên dương x, y, z , t thỏa mãn:

 x n + y = z n
, n≥2

n
n
+
=
x
y
t


Ví dụ 12: Tìm tất cả các cặp só nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn: x y = y x
Ví dụ 13: Tìm tất cả các cặp só nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn: x y + y = y x + x

----- Trang 3 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hướng dẫn, lời giải, ñáp số
3

 1  1  1   1 
Ví dụ 3: Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 2 , ta có: 2 = 1 +  1 +  1 +  ≤ 1 +  ,
x 
y 
z 
z


suy ra: z ≤ 3

Ví dụ 4: Áp dụng BDT Cauchy – Schwarz:
1 1
1
+ + ... +  ≥ n 2
kn 
 k1 k2

( k1 + k2 + ... + kn ) 

Suy ra 5n − 4 ≥ n 2 ⇒ n ≤ 4

Ví dụ 5: Phương trình tương ñương:

1 1 1 4
+ + =
x y z 3

Tương tự như ví dụ 2.

Ví dụ 6: ðể ñưa về cùng dạng như trên, ta ñặt u = x − 1; v = y − 1; t = z − 1
Ví dụ 7: Tương tự như trên, chia cả hai vế cho xyz.
Ví dụ 8 ðánh giá ñược bc hoặc yz có số nhỏ hơn 3.
Ví dụ 9: Giả sử x ≤ y ≤ z ≤ u ≤ v , ta tính giá trị lớn nhất của z.
ðánh giá ñược: v < x + y + z + u + v < 5v

----- Trang 4 -----

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng 2: ðánh giá các ẩn với nhau
Ví dụ 1 (Titu Andreescu): Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x, y, z , t ) thỏa mãn:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 x ( z − 1) + 2 y ( z + 1) = t 2
Giải
Do vế phải là một bình phương, ta ñánh giá vế trái bằng cách chặn nó bới hai số chính
phương, càng gần nhau càng tốt.
Ta có:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 x ( z − 1) + 2 y ( z + 1) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz − 2 x + 2 yz + 2 y
= ( x + y + z ) − 2 x + 2 y > ( x + y + z ) − 2 ( x + y + z ) + 1 + 2 z − 1 > ( x + y + z − 1)
2

2

Tương tự: x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 x ( z − 1) + 2 y ( z + 1) < ( x + y + z + 1)
Vậy ta có: ( x + y + z − 1) < t 2 < ( x + y + z + 1)
2

2

2

2

Suy ra: t = x + y + z
Thay vào hai ñiều kiện trên ta ñược x = y , suy ra t = 2 x + z

Vậy nghiệm của phương trình là: ( k , k , n, 2k + n ) , k , n ∈ ℕ* .

Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 2 (Hungari MO): Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
x 3 + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 7 ) = y 3
3

3

3

Ví dụ 3 (Rumania MO): Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

( x + y)

2

+ 3x + y + 1 = z 2

Ví dụ 4 (Australian MO): Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

( x + 1) − ( x − 1)
4

4

----- Trang 5 -----

= y3

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình: x 6 + ax 4 + bx 2 + c = y 3
Với a ∈ {3, 4,5} , b ∈ {4,5,...,12} , c ∈ {1, 2,...,8} , không có nghiệm nguyên dương.

Ví dụ 6 (Russian MO): Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x 2 − y 2 ) = 1 + 16 y
2

Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên a thỏa mãn phương trình: a + a 2 + a 3 = 20092010
Ví dụ 8: Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không phải là số chính phương.

----- Trang 6 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ðỒNG DƯ
Thường sử dụng với các bài toán chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên: ðánh giá
ñồng dư của hai vế, thấy không bằng nhau.

Bài 1 (Hungari MO): Chứng minh rằng phương trình:

( x + 1)

2

+ ( x + 2 ) + ... + ( x + 99 ) = y z

2

2

Không có nghiệm nguyên x, y, z với z > 1
Giải
99

Chú ý:

∑( x + i)
i =1

2

= 33 ( 3 x 2 + 300 x + 50.199 )

Suy ra y⋮3 ⇒ y z ⋮32
Mà vế phải không chia hết cho 9, nên phương trình vô nghiệm nguyên.

Bài 2 (Titu): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương: ( x; y ) thỏa mãn: x 2 − y ! = 2001
Hướng dẫn:
Ta có: x 2 − y ! = 2001 ⇔ x 2 = y !+ 2001
Nếu y > 5 ⇒ y !⋮9 ⇒ 2001 + y ! ≡ 3 ( mod 9 ) , hay 2001 + y ! không là số chính phương, suy
ra phương trình vô nghiệm.
Vậy y ≤ 5 , xét các trường hợp, suy ra nghiệm của phương trình.

Bài 3 (Bulgaria MO): Tìm bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn: 5 x.7 y + 4 = 3z .
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x 3 + y 4 = 7
Xét ñồng dư mod13, với chú ý: x 3 + y 4 ≡ 7 ( mod13)

Bài 5: Tìm tất các các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: 3x − 2 y = 7
Với y ≥ 3 , xét mod8 thấy vô lí, vậy y < 3 .

Bài 6: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x 3 − 4 xy + y 3 = −1
----- Trang 7 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách 1: Sử dụng ñẳng thức:
a 3 + b3 + c 3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )
Phương trình tương ñương: 27 x3 + 27 y 3 + 43 − 4.27 xy = 37 = −1
x + y = S
, ñưa phương trình ẩn S, P.
Cách 2: ðặt 
xy
P
=

S3 +1
Tính ñược: P =
, tìm ñiều kiện của S ñể P nguyên.
3S + 4

Bài 7 (IMO 37th): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: x y = y x .
2

Bài 8: Chứng minh rằng phương trình: 4xy − x − y = z 2 không có nghiệm nguyên dương.

Bài 9: Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương ( a; n ) thỏa mãn:
a n+1 − ( a + 1) = 2001.
n

 x 2 + 6 y 2 = z 2
không có nghiệm nguyên.
Bài 10: Chứng minh rằng hệ phương trình:  2
2
2
x
+
y
=
t
6


----- Trang 8 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp quy nạp toán học
Chứng minh mệnh ñề Pn ñúng với mọi n ≥ n0
Có 3 loại quy nạp cơ bản:
Loại 1: Chứng minh Pn0 ñúng
Giả sử Pk , chứng minh Pk +1
Loại 2: Chứng minh Pn0 ; Pn0 +1;...; Pn0 + m ñúng

Giả sử Pk ñúng, chứng minh Pk + m+1 ñúng.
Loại 3: Quy nạp kiểu Cosi.

Bài 1 (Bulgarian MO): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 , tồn tại các số
nguyên dương lẻ x, y thỏa mãn: 7 x 2 + y 2 = 2n .
Giải
Ta chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương lẻ xn ; yn thỏa mãn:
7 xn2 + yn2 = 2n , ∀n ≥ 3 .
Với n = 3 , ta có: x3 = y3 = 1 thỏa mãn.
Giải sử với n ≥ 3 tồn tại các số nguyên dương lẻ xn ; yn thỏa mãn: 7 xn2 + yn2 = 2n
Ta cần chứng minh tồn tại các số nguyên dương lẻ xn+1; yn+1 thỏa mãn:
7 xn2+1 + yn2+1 = 2n+1
2

2

 x ± yn   7 xn ∓ yn 
2
2
n +1
Ta có: 7  n
 +
 = 2 ( 7 xn + yn ) = 2
2
 2  


Do một trong hai số

xn + yn xn − yn

;
là lẻ, ta xét hai trường hợp:
2
2

----- Trang 9 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu

xn + yn
7 x − yn
x − yn
là lẻ thì n
= 3 xn + n
là số lẻ.
2
2
2

Ta chọn xn+1 =
Nếu

xn + yn
7 x − yn
.
; yn+1 = n

2
2

xn − yn
7 x + yn
x + yn
là lẻ thì n
= 3 xn + n
là số lẻ.
2
2
2

Ta chọn xn+1 =

xn − yn
7 x + yn
; yn+1 = n
.
2
2

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình: x 2 + y 2 + z 2 = 59n
luôn có nghiệm nguyên dương.
Với n = 1 , phương trình có nghiệm là: ( x1; y1; z1 ) = (1;3;7 )
Với n = 2 , phương trình có nghiệm là: ( x2 ; y2 ; z2 ) = (14;39;42 )
Giả sử với n ∈ ℕ* , phương trình luôn có nghiệm là ( xn ; yn ; zn )
Xét ( xn+ 2 ; yn+ 2 ; zn+ 2 ) với: xn+ 2 = 59 xn ; yn+ 2 = 59 yn ; zn+ 2 = 59 zn
Ta thấy: xn2+ 2 + yn2+ 2 + zn2+ 2 = 59n+ 2 , hay ( xn+ 2 ; yn+ 2 ; zn+ 2 ) là nghiệm khi n + 2 .
Theo quy nạp ta có ñiều phải chứng minh.

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3; n ∈ ℕ , phương trình:

1 1
1
+ + ... + = 1
x1 x2
xn

Có nghiệm nguyên phân biệt.
Giải
Với n = 3 , ta có nghiệm: ( x1; x2 ; x3 ) = ( 2;3;6 )
Giả sử ñúng với n = k , nghĩa là tồn tại các số nguyên dương phân biệt: ( x1; x2 ;...; xk ) thỏa
mãn:

1 1
1
+ + ... + = 1
x1 x2
xk
----- Trang 10 -----


Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Suy ra:

1
1

1
1
1 1
1
1
+
+ ... +
= ⇔ +
+
+ ... +
=1
2 x1 2 x2
2 xk 2
2 2 x1 2 x2
2 xk

Chọn k + 1 số: 2;2 x1;2 x2 ;...;2 xk là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn phương
trình.
Vậy bài toán ñược chứng minh.

Bài 4 (Mathematical Reflections): Chứng minh rằng phương trình:
1
1
1 n +1
+ 2 + ... + 2 = 2
2
x1 x2
xn
xn+1
Có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi n ≥ 3 .

Hướng dẫn
Với n = 1;2 , dễ dàng thấy ñược phương trình vô nghiệm nguyên dương.
Với n = 3 phương trình có nghiệm ( 3;4;5 )
Dễ dàng chứng minh ñược bằng quy nạp với mọi n ≥ 3 phương trình có nghiệm nguyên
n +1 n + 2
1
dương, với chú ý: 2 = 2 − 2 .
xn+1
xn+1 xn+1

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 412 thì tồn tại các số nguyên dương x1; x2 ;...; xn
thỏa mãn:

1 1
1
+ 3 + ... + 3 = 1 .
3
x1 x2
xn

Bài 6 (Titu): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2 tồn tại các số nguyên lẻ x; y
thỏa mãn: x 2 − 17 y 2 = 4n .

Bài 7 (Dorin Andrica): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n tồn tại các số
nguyên x; y thỏa mãn: x 2 + xy + y 2 = 7 n .
Bài 8 (Titu): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n tồn tại các số nguyên
x; y; u; v; w thỏa mãn: ( x 2 + y 2 )( u 2 + v 2 + w2 ) = 2009n .

----- Trang 11 -----

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên –
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 9 (Romanian MO): Nếu a1; a2 ;... là một dãy các số nguyên dương phân biệt thì với
tất cá các số n ≥ 1 ta có bất ñẳng thức:
a12 + a22 + ... + an2 ≥

2n + 1
( a1 + a2 + ... + an ) .
3

Bài 10: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương phân biệt của phương trình:
2
x12 + x22 + ... + x2002
= 1335 ( x1 + x2 + ... + x2002 ) .

----- Trang 12 -----