pp vecto giai pt vo ti

Phương pháp vecto giải phương trình
I.

Lí thuyết

Sử dụng một số bất ñẳng thức ñơn giản:
u1 + u2 + ... + un ≤ u1 + u2 + ... + un " = " ⇔ ui ↑↑

u ↑↓ v
u +v ≥ u − v "="⇔ 
v = 0
u.v ≤ u . v " = " ⇔ u / / v

(u )

2

≥0

II.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình:

x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 = 29

 x 2 − 2 x + 5 ≥ 0
luôn ñúng.
ðiều kiện:  2
 x + 2 x + 10 ≥ 0

Nhận xét ñược: 29 = 4 + 25 = 22 + 52.
Vì thế ta chọn hai vecto u; v sao cho: u = x 2 − 2 x + 5 , v = x 2 + 2 x + 10 và u + v = 29
ở ñây việc chọn hai vecto u và v có chứa x, nhưng tổng của hai vecto này không còn x, như thế
hệ số của x trong hai vecto là ñối nhau.
Từ những nhận xét ñó, ta có cách chọn các vecto:

u = (1 − x;2 ) và v = ( x + 1;3) thì ta có: u = x 2 − 2 x + 5 ; v = x 2 + 2 x + 10 ; u + v = ( 2;5)
Phương trình trở thành: u + v = u + v ⇔ u ↑↑ v ⇔
1
Vậy phương tình có nghiệm duy nhất: x = .
5

1− x 2
1
= >0⇔ x=
x +1 3
5


Qua bài tập thứ nhất, chúng ta có thể thấy cách sáng tác các bài tập thuộc dạng này là rất ñơn
giản. Chúng ta chỉ cần lấy hai vecto ban ñầu thỏa mãn tổng của hai vecto không chứa x, ñưa ra
phương trình dựa vào ñộ dài của mỗi vecto ñó.
Một số ví dụ:
1.

4 x 2 − 4 x + 2 + 4 x 2 − 12 x + 13 = 13

2.

5 x 2 + 12 x + 9 + 5 x 2 − 12 x + 8 = 29

Bài 2: Giải phương trình:
2x2 − 2 x + 1 + 2x2 −

(

)

3 − 1 x + 1 + 2 x2 +

(

)

3 +1 x +1 = 3

Ta thấy ñộ khó ñã tăng lên nhiều so với những bài trên. Trước hết, muốn dùng cách trên thì phải
chọn tới 3 vecto, nhưng ñiều ñó không quan trọng, vấn ñề là chọn vecto nào?
Do chúng ta sử dụng ñến hằng ñẳng thức: ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 , vì vậy cần có hệ số 2 cho
2

3 − 1; 3 + 1 thì việc thêm bớt ñể ra hằng ñẳng thức là khó khăn.

hạng tử a.b, nếu ñể hệ số là:

Vì vậy tư tưởng ñơn giản là chúng ta nhân cả hai vế với

2.

Phương trình tương ñương:
4x2 − 4x + 2 + 4 x2 − 2

(

)

3 − 1 x + 2 + 4 x2 + 2

(

)

3 +1 x + 2 = 3 2

⇔

( 2 x − 1)

2

+ 1 + 3 x 2 − 2 3x + 1 + x 2 + 2 x + 1 + 3 x 2 + 2 3x + 1 + x 2 + 2 x + 1 = 3 2

⇔

(1 − 2 x )

2

+1 +

(1 −

)

2

3 x + ( x + 1) +
2

(1 +

)

2

3x + ( x + 1) = 3 2
2

ðến ñây chúng ta ñã nhận thấy việc ñặt các vecto:

(

)

(

)

u = (1;1 − 2 x ) ; v = 1 − 3x; x + 1 ; w = 1 + 3 x; x + 1

1 − 3x x + 1
=
≥ 0 1 − 3x x + 1

u ↑↑ v
=
≥0
 1

1 − 2x
⇔
⇔ 1
⇔ x=0
Phương trình tương ñương: 
1 − 2x
x
x
1
+
3
+
1
u ↑↑ w

1 − 3x = 1 + 3 x
 1 = 1 − 2 x ≥ 0 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0.
Một bài toán với cách ñặt các vecto tương ñối phức tạp.

Chúng ta cùng ñến với bài tập tiếp theo:


Bài 3: Giải phương trình:

9 x 3 − 18 x 2 + 36 x 2 − 9 x 3 = 9 + x 2

9 x3 − 18 x 2 ≥ 0
9 x − 18 ≥ 0
x ≥ 2
⇔
⇔
⇔ x ∈ [ 2;4]


ðiều kiện: 
2
3
x
x
−
≥
≤
36
9
0
4

36 x − 9 x ≥ 0 

Với bài tập này, ở cả hai vế ñều chứa x, trong ñó vế phải x không trong căn, vì vậy vế phải có
thể thấy ñược không phải là ñộ dài của một vecto. Ta quan tâm ñến vế trái của phương trình:
Nếu mỗi căn bình phương cộng với nhau ta sẽ ñược: 18 x 2 , ñó có thể là ñộ dài của một vecto,
vecto ñó là: u =

(

)

9 x 3 − 18 x 2 ; 36 x 2 − 9 x 3 , nhận thấy ngay vecto còn lại là: v = (1;1) .

Khi ñó ta có: u.v = 9 x 3 − 18 x 2 + 36 x 2 − 9 x 3
u . v = 2. 18 x 2 = 6 x

Từ phương trình có: 9 + x 2 = u.v ≤ u . v = 6 x ⇔ ( x − 3) ≤ 0 ⇔ x = 3
2

Thử lại thấy x = 3 là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 4: Tìm m ñể phương trình có nghiệm
x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m
ñiều kiện: mọi x

Dạng bài tập này, chúng ta cần tìm khoảng giá trị của vế trái, từ ñó pt có nghiệm khi m thuộc
khoảng ñó.
Nhận thấy dạng phương trình tương tự như bài tập 3, có khác là vế trái có hiệu hai căn, vì thế có
thế nghĩ ñến bất ñẳng thức: u + v ≥ u − v
2

Biến ñổi phương trình tương ñương:

2

1 3
1 3


x+  + − x−  + =m
2 4
2 4




1
1 3
3
ðặt: u =  x + ;
 ; v =  − x; −

2 2 
2 

2

(chú ý ñến ñiều kiện xảy ra dấu = của bất ñẳng thức là hai vecto ngược hướng, vì vậy cần chọn
tung ñộ mang dấu ñối nhau).


Từ phương trình ta có: m =

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = u − v ≤ u + v = 1 + 0 = 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: hoặc có một vecto bằng 0 , hoặc hai vecto ngược hướng.
Do u.v =

1
3
1
− x 2 − = − x 2 − < 0 nên hai vecto ngược hướng.
4
4
2

Nếu hai vecto ngược hướng, có nghĩa: x +

1
1
1
1

= −  − x  ⇔ = − (vô lí), hay hai vecto không
2
2
2
2


ngược hướng.
Vậy phương trình có nghiệm khi: m ∈ ( −1;1) .

Qua một số ví dụ trên, chúng ta ñã có một số bài tập vận dụng các bất ñẳng thức ñã nêu ở phần
ñầu. Việc nhận dạng ñược bất ñẳng thức cần dùng chủ yếu dựa vào dạng của phương trình ñã
cho, và ñây là công việc then chốt ñể tìm ra lời giải cho bài toán.
Một số bài tập vận dụng
1.

x 2 − x + 1 + x 2 − 3x + 1 = 2

2.

10 − 3 x − x 2 + 18 − 7 x − x 2 = 77

3. x x + 1 + 3 − x ≥ 2 x 2 + 1
4.

x 2 + 2 x + 2 x − 1 ≥ 3x 2 + 4 x + 1