Bài toán sylvester và bài toán fermat torricelli cho các hình cầu euclid

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT Oă
TR

NGă

IăH CăTH NGăLONG

-----------------------------------------

HOĨNGăTH ăTHÙYăLINH

BĨIăTOÁNăSYLVESTERăVĨăBĨIăTOÁNă
FERMAT ậ TORRICELLI CHO
CÁCăHỊNHăC UăEUCLID

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

HƠăN iă- N mă2016


B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT Oă
TR

NGă

IăH CăTH NGăLONG

-----------------------------------------

HOĨNGăTH ăTHÙYăLINH

BĨIăTOÁNăSYLVESTERăVĨăBĨIăTOÁNăFERMATậ
TORRICELLIăCHOăCÁCăHỊNHăC UăEUCLID

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C
CHUYÊNăNGĨNHă:ăPH

NGăPHÁPăTOÁNăS ăC Pă

MẩăS ă:ă60ă46ă01ă13
NG

IăH

NGăD NăKHOAăH C

PGS.ăTS.ă

ăV NăL U

HƠăN iăậ N mă2016

Thang Long University Libraty


L iăc mă n
Tr
PGS.TS.ăă

cătiên,ăemăxinăbƠyăt ălòngăbi tă năchơnăthƠnhăvƠăsơuăs cănh tăt iă
V năL uăậ Ng

iăTh yăđưăluônăgiúpăđ ăvƠăh

ngăd năemătrongă

su tăh căt păvƠălƠmălu năv nănƠy.
Emăxinăc mă năt iătr

ngă

iăh căTh ngăLongăHƠăN i.ăEmăxinăc mă nă

t iăcácăGiáoăs ,ăTi năs ăvƠăcácăTh y,ăcôăgiáoătrongăb ămônăToánăđưăgi ngăd yă
choăemănh ngăki năth căc ăb n,ăn năt ngăquýăbáuătrongăth iăgianăh căcaoăh c.
Emăxinăc mă năphòngăQu nălýăSauăđ iăh căđưăt oăđi uăki năthu năl iă
đ ăemăhoƠnăthƠnhăkhóaălu nănƠy.
C mă năcácăb nătrongăl păcaoăh căToánăK3ă
chuyênăngƠnhăPh

iăh căTh ngăLong,ă

ngăphápătoánăs ăc p,ăđưăluônăthơnăthi năvƠănhi tătìnhă

giúpăđ ătôiătrongăth iăgianăh căt păv aăqua.
Tôiăc mă nănh ngăng

iăthơnăyêuătrongăgiaăđìnhăvƠăcácăb năbèăluônă

ngăh ,ăđ ngăviênăvƠălƠăch ăd aătinhăth năv ngăch cătrongăsu tăquáătrìnhăh că
t păvƠăth iăgianălƠmălu năv n.

Tácăgi

HoƠngăTh ThùyăLinh


M CăL C
Trang
M ăđ u......................................................................................................1
Ch

ngă 1:ă CÁCă KI Nă TH Că C ă B Nă V ă HĨMă L Iă VĨă D

Iă

VIăPHỂNăHĨMăL I
1.1.ăăăăăT păl iăvƠănónăl i.....................................................................3
1.1.1.ăăT păl i......................................................................................3
1.1.2.ăăNónăl i.....................................................................................4
1.2.ăăăăăHƠmăl i.....................................................................................8
1.2.1.ăăHƠmăl i.....................................................................................8
1.2.2.ăăCácăphépătoánăv ăhƠmăl i.......................................................14
1.3.ăăăăăD

iăviăphơnăhƠmăl i.............................................................17

D

iăviăphơnăhƠmămax..........................................................23

1.4.

Ch

ngă 2:ă BĨIă TOÁNă SYLVESTERă VĨă BĨIă TOÁNă FERMATă -

TORRICELLIăCHOăHỊNHăC UăEUCLID
2.1.ăăăăăăKháiăni măvƠăđ nhăngh a.......................................................25
2.2.ăăăăăăBƠiătoánăSylvesterăchoăhìnhăc uăEuclid...........................26
2.2.1.ăăăS ăt năt i,ăduyănh tănghi măvƠăđi uăki năt iă u..............26
2.2.2.ăăăBƠiătoánăSylesterăsuyăr ngăchoăbaăhìnhăc u....................32
2.3.ăăăăăăBƠiătoánăFermatăậ Torricelliăchoăhìnhăc uăEuclid.............49
2.3.1.ăăăS ăt năt iăvƠăduyănh tănghi măc aănghi măt iă u............49
2.3.2.ăăăC uătrúcănghi m...............................................................56ăăă
K TăLU N.......................................................................................63
TĨIăLI UăTHAMăKH O......................................................................64

Thang Long University Libraty


M ă

U

1. Lýădoăch năđ tƠi
Gi iătíchăl iăchoătaăm tălýăthuy tăphongăphúăvƠăđ păđ ăv ăhƠmăl iă
vƠă ngăd ngătrongăt iă uăhóaăv iănhi uăk tăqu ăn iăti ngăch ngăh nănh :ă
B tăđ ngăth căJensen,ă

nhălýăFenchelăậ Moreauăv ăhƠmăliênăh p,ă

lýăMoreauăậ Rockafellarăv ăd

iăviăphơnăhƠmăl i,ă

nhă

nhălýăKuhnăậ Tucker

choăbƠiătoánăt iă uăl iăcóărƠngăbu c,…Cóăth ănóiăt păl i,ăhƠmăl iăcácăđ iă
t

ngăđ pătrongăt iă uă hóa.V iă cácă bƠiă toánă l iătaă cóă cácă đi uăki năđ că

tr ngăchoănghi măc aăbƠiătoánăđóăd

iăngônăng ăd

iăviăphơnăc aăhƠmă

l i.
Trongă toánă s ă c pă nhi uă bƠiă toánă đ

că phátă bi uă v iă cácă hƠmă l i.ă

V iăcácăbƠiătoánăc cătr ,ăhƠmăl iăđóngăm tăvaiătròăr tăquanătr ng.ăC cătr ă
đ aăph

ngăc aăhƠmăl iătrênămi năl iăc ngălƠăc căti uătoƠnăc c,ăc căđ iăc aă

m tăhƠmăl iătrênăm tăđaăgiácăl iăđ tăt iăm tătrongăcácăđ nhăc aăđaăgiácăđó.ă
Nhi uă bƠiă toánă s ă c pă hayă đ

că phátă bi uă theoă h

Sylvesteră choă cácă hìnhă c uă Euclidă đ

ngă nƠy.ă BƠiă toánă

căphátăbi uă nh ăsau:ă “ă Choăhaiă h ă

h uăh năcácăhìnhăc uăEuclid.ăTìmăm tăhìnhăc uăEuclidănh ănh tăch aăcácă
hìnhă c uă c aă h ă th ănh tăvƠă c tă t tă c ă cácă hìnhă c uă c a h ăth ă hai”.ă BƠiă
toánăFermatăậ Torricelliăchoăcácăhìnhăc uăEuclidăđ

căphátăbi uănh ăsau:ă“ă

Choă haiă h ă cácă hìnhă c uă Euclid.ă Hưyă tìmă m tă đi mă lƠmă c că ti uă t ngă
kho ngăcáchăxaănh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ănh tăvƠăkho ngăcáchăg nă
nh tăđ năcácăhìnhăc uăc aăh ăth ăhai”.ăCácă bƠiătoánăđóăđ

cănghiênăc uă

b ngăcôngăc ăgi iătíchăl iătrongă[3].ăăChínhăvìăv y,ătôiăch năđ ătƠiăă“BĨIă
TOÁNă SYLVESTERă VĨă BĨIă TOÁNă FERMATă - TORRICELLI
CHOăCÁCăHỊNHăC UăEUCLID ”
4


2. N iădungăđ tƠi
Lu năv nătrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăhƠmăl i,ăd

iăviăphơnă

hƠmăl iăvƠăcácăk tăqu ăv ăs ăt năt iăduyănh tănghi m,ăđi uăki năt iă uăvƠă
cáchăgi iăchoăăbƠiătoánăSylvesterăvƠăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăc aăN.ăM.ă
Nam,ăN.ăHoangăvƠăN.ăT.ăAnăđ ngătrênăt păchíăJ.ăOptim.ăTheoryăAppl.ă160ă
(2014)ăb ng ph

ngăphápăgi iătíchăl i.

Lu năv năbaoăg măph năm ăđ u,ăhaiăch

ng,ăk tălu năvƠădanhăm că

cácătƠiăli uăthamăkh o.
Ch

ngă1:ă“Cácăki năth căc ăb năvêăhƠmăl iăvƠăd

iăviăphơnăhƠmăl i”

TrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăt păl i,ănónăl i,ăhƠmăl iăvƠăcácăphép
toánăv ăhƠmăl i,ăd
Ch

iăviăphơnăhƠmăl iăvƠăd

iăviăphơnăc aăhƠmămax.ă

ngă2:ă“ăBƠiătoánăSylesterăvƠăbƠiătoánăFermatăậ Torricelliăchoăhìnhăc uă

Euclid”
TrìnhăbƠyăcácăk tăqu ăv ăs ăt năt iăvƠăduyănh tăănghi m,ăđi uăki nă
t iă uăvƠăcáchăgi iăc aăNamăậ Hoang ậ Ană(2014)ăchoăbƠiătoánăSylesteră
v iăcácăhìnhăc uăEuclidăvƠă bƠiătoánăFermată ậ Torricelliăv iăbaăhìnhăc uă
Euclid.ăTr

ngăh păquanătr ngăc aăbƠiătoánăSylesterăv iăbaăhìnhăc uăvƠă

m iăquanăh ăv iăbƠiătoánăApolloniusăc ngăđ

cătrìnhăbƠyătrongăch

ngă

nƠy.

5

Thang Long University Libraty


Ch

ngă1

CÁCăKI NăTH CăC ăB NăV ăHĨMăL IăVĨăD

IăVIăPHỂNă

HĨMăL I

Ch

ngă1ătrìnhăbƠyăm tăs ăki năth căc ăb năv ăt păl i,ănónăl i,ăhƠmăl iăvƠă

cácă phépătoánăv ă hƠmăl i,ăd

iăviăphơnăc aă hƠmăl iăvƠă d

max.ăCácăki năth cătrìnhăbƠyătrongăch

ngănƠyăđ

iăviăphơnăc aă hƠmă

căthamăkh oătrongă[1],ă[2].

1.1.ăăT PăL IăVĨăNịNăL I
1.1.1.ăT păl i
Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianătuy nătính,ăRălƠăt păcác s ăth c.
nhăngh aă1.1
T pA  Xđ

c g i là l i, n u:

 x1, x2  A,    R : 0    1   x1 + (1 -  ) x2  A .

Gi ăs

A  X; x1, x2  A .

nhăngh aă1.2
o n n i x1, x2 đ

c đ nh ngh a nh sau:

[x1, x2] = { x  A : x =  x1 + (1 -  ) x2, 0    1}.
nhăngh aă1.3
Vect x  X đ
i  0 ( i = 1, ..., m),

c g i là t h p l i c a các vect x1, ... , xm  X , n u
m

m

i 1

i 1

 i = 1, sao cho x =  i xi .

Nh năxétă1.1
T păAălƠăl i,ăn u:ă  x1, x2  A  [x1, x2]  A.
Víăd ă1.1

6


Cácăn aăkhôngăgianălƠăcácăt păl i.ăCácătamăgiácăvƠăhìnhătrònătrongăm tă
ph ngălƠăcácăt păl i.ăHìnhăc uăđ năv ătrongăkhôngăgianăBanachălƠăt păl iă...

M nhăđ ă1.1
Gi s A   X (   I) là các t p l i, v i I là t p ch s b t k . Khi đó,
t p A=

A


I

c ng l i.

T ăđ nhăngh aă1.1ătaănh năđ

căcácăm nhăđ ăsau:

M nhăđ ă1.2
Gi s t p Ai  X l i, i  R ( i = 1, ..., m). Khi đó, 1 A1 + ... + 2 A2 là
t p l i.
M nhăđ ă1.3
Gi s Xi là không gian tuy n tính, t p Ai  Xi l i ( i = 1, ..., m). Khi đó,
tích

các A1  ...  Am là t p l i trong X1  ...  Xm .

M nhăđ ă1.4
Gi s X, Y là các không gian tuy n tính, T : X  Y là toán t tuy n
tính. Khi đó
a) A  X l i



T(A) l i;

b) B  Y l i



Ngh ch nh T –1(B) c a B là t p l i.

nhălýă1.1
Gi s t p A  X l i; x1, ... , xm  A. Khi đó, A ch a t t c các t h p
l i c a x1, ... , xm .
1.1.2.ăăNónăl i
Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianătuy nătính.
nhăngh aă1.4
T pK  Xđ

c g i là nón có đ nh t i 0 , n u:

7

Thang Long University Libraty


 x  K,  > 0

Kđ



 x  K.

c g i là nón có đ nh t i x0, n u K – x0 là nón có đ nh t i 0.

nhăngh aă1.5
Nón K có đ nh t i 0 đ

c g i là nón l i, n u K là m t t p l i, có ngh a là:

 x, y  K ,  ,  > 0 

 x +  y  K.

Víăd ă1.2
Cácăt păsauăđơyătrongăRn :
{( 1 , ... ,  n )  Rn : i  0, i = 1, ... , n},
{( 1 , ... ,  n )  Rn : i > 0, i = 1, ... , n}
lƠăcácănónăl iăcóăđ nhăt iă0.ă
M nhăđ ă1.5
Gi s
Khi đó,

 I

K (   I ) là các nón l i có đ nh t i x0 v i I là t p ch s b t k .

K là nón l i có đ nh t i x0 .

Víăd ă1.3
n

X = Rn , b  R (   I ).ăKhiăđó:

K = { x  Rn : < x , b >  0,   I }
lƠăm tănónăl iăb iăvìăKă=ăă

 I

K ,ătrongăđó:ăăăăăăăăăăăăăă

K = { x  Rn : < x , b >  0}

lƠănónăl i.
nhălýă1.2
T p K  X là m t nón l i có đ nh t i 0 khi và ch khi:
 x, y  K,  > 0 

x + y  K,  x  K.

Ch ngăminh
a)ăGi ăs ăKălƠănónăl i.ăKhiăđó,ădoăKălƠăt păl i,ătaăcó:

8


z=

1
(x + y)  K .
2

DoăKălƠănónăcóăđ nhăt iă0,ătaăl iăcó:
x + y = 2z  K .
b)ăNg

căl i,ăv iă  x  K,  >ă0ătaăcóă  x  K,ăv yăKălƠăm tănónăcóăđ nhăt iă

0.ăV iă0ă<ăă  < 1, x, y  Kătaăcóă(1ă-  )x  K,  y  KăvƠă(1ă-  )x +  y  K.
Chúăýăv iă  =ă0ăho că1ătaăv năcóă(1ă-  )x +  y  K.ăV yăKălƠănónăl iăcóăđ nhă
t iă0.ăăăă
H ăqu ă1.1
T p K  X là nón l i  K ch a t t c các t h p tuy n tính d
các ph n t c a K, t c là n u x1, ... , xm  K, 1 , ... , m > 0 thì

ng c a

m

 x K .
i 1

i i

H ăqu ă1.2
Gi s A là t p b t k trong X, K là t p t t c các t h p tuy n tính
d

ng c a A. Khi đó, K là nón l i nh nh t ch a A.
nhăngh aă1.6
T

ng giao c a t t c các nón l i (có đ nh t i 0) ch a t p A và đi m 0 là

m t nón l i và đ

c g i là nón l i sinh b i A, ký hi u là KA.

nhăngh aă1.7
T

ng giao c a t t c các không gian con tuy n tính ch a t p A đ

c

g i là bao tuy n tính c a t p A, ký hi u là lin A.
Nh năxétă1.2
lin A = KA - KA .
M nhăđ ă1.7
a) KA = KconvA ,
b) N u A là t p l i thì :

9

Thang Long University Libraty


 A = {x  X : x =  z,   0, z  A},

KA =

 0

trong đó convA là bao l i c a A.
Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianăl iăđ aăph

ng,ăX * lƠăkhôngăgianăcácăphi măhƠmă

tuy nătínhăliênăt căătrênăX.
nhăngh aă1.8
Vec t x*  X* đ

c g i là pháp tuy n c a t p l i A t i x A, n u:

< x* , x - x >  0 ( x  A).
T p t t c các vec t pháp tuy n c a t p l i A t i x A đ

c g i là nón pháp

tuy n c a A t i x , ký hi u là N ( x |A). Nh v y:
N( x |A) = {x*  X* : < x*, x – x >  0, x  A}.
Nh năxétă1.3
Nónăphápătuy năc aăt păl iăAăt iă x AălƠăl iăđóng.
Bơyăgi ăgi ăs ăXălƠăkhôngăgianătuy nătính.
nhăngh aă1.9
Gi s

A  X l i, khác  . Ta nói t p A lùi xa theo ph

ng d  0, n u

A +  d  A (   0), hay:

x +  d  A (   0, x  A).

(1.1)

Nh năxétă1.4
T păAălùiăxaătheoăph

ngădăn uăAăch aăt tăc ăcácăn aăđ

phátăt ăcácăđi măc aăAăvƠătheoăph

ngăth ngăxu tă

ngăd.

nhăngh aă1.10
T p các vect d  X th a mãn (1.1) và vec t d = 0 đ
xa (recession cone) c a A; ký hi u là o+ A.
nhălýă1.3

10

c g i là nón lùi


Gi s t p A  X l i, khác  . Khi đó, o+ A là nón l i ch a đi m 0.
ng th i :
o+ A = {d  X : A + d  A}.
Víăd ă1.4
X = R2 .

a) C1 = {(x, y) : x > 0, y 


1
}
x

o+ C1 = {(x, y) : x  0, y  0} .
b) C2 = {(x, y) : y  x2 }



o+ C2 = {(x, y) : x = 0, y  0}

1.2.ăăHĨMăL I.
1.2.1ăăHƠmăl i.
Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianăl iăđ aăph

ng,ăDă  X, f : D  R

{  }.

nhăngh aă1.11
Trên đ th ( epigraph ) c a hàm f, ký hi u là epif, đ

c đ nh ngh a nh

sau:
epif = {(x, r)  D  R : f(x)  r}.
nhăngh aă1.12

Mi n h u hi u (effective domain) c a hàm f, ký hi u là dom f, đ

c đ nh

ngh a nh sau:
Dom f = {x  D : f(x) < +  }.
nhăngh aă1.13
Hàm f đ

c g i là chính th

ng (proper), n u dom f   và f(x) > - 

(  x  D).
nhăngh aă1.14

11

Thang Long University Libraty


Hàm f đ

c g i là l i trên D, n u epif là t p l i trong X  R. Hàm f đ

c

g i là lõm trên D, n u –f là hàm l i trên D.
Nh năxétă1.5ăăă
N uăfăl iăăăăă 

domăfăl i.

Th tăv y,ădomăfălƠăhìnhăchi uătrênăXăc aăepif :
dom f = { x : f(x) < +  } = {x :  r , (x, r)  epif }.
Nh ăv y,ădomăfălƠă nhăc aăt păl iăepifăăquaăm tăánhăx ătuy nătính.ăDoăđó,ădomăfăă
l i.
Víăd ă1.5
HƠmăaffineă
f(x) = < x* , x > +  ( x*  X* ,   R)
lƠăhƠmăl iătrênăX,ătrongăđóăX* lƠăkhôngăgianăcácăphi măhƠmătuy nătínhăliênăt că
trênăX.
Víăd ă1.6
Gi ăs ăfălƠăhƠmăgiáătr ăth căkh ăviăliênăt căhaiălơnătrênăt păl iăm ăAă  Rn . Khi
đó,ăfăl iătrênăAăkhiăvƠăch ăkhiămaătr năHessiană:
 2 f
Qx = 
 xi x j

lƠăbánăxácăđ nh d





ngăă(  x  A),ăt călƠă:
< z, Qxz >  0 (  z  Rn,  x  A).

Víăd ă1.7
Chu năEuclideălƠăm tăhƠmăl iătrênăRn :

|| x || = < x, x >1/2 = (x12 + ... + xn2 )1/2 ,
trongăđóăxă=ă(x1, ... , xn)  Rn
Víăd ă1.8

12


HƠmăch ă(indicatorăfunctionă)ă  (ă.ă|A)ăc aăt păl iăAă  XălƠăhƠmăl i:
 ( x |A) =

Víăd ă1.9
Gi ăs ăX* lƠ khôngăgianăliênăh păc aăX.ăHƠmăt aă(supportăfuntion)ăs(ă.ă|A)ăc aă
t păl i A  X* lƠăm tăhƠmăl i:
< x* , x> .
s (x|A) = sup
*
x A

nhălýă1.4
Gi s D là t p l i trong không gian X, hàm f : D  ( ,  ]. Khi đó, f
l i trên D khi và ch khi:
f(  x + (1 -  )y) ≤  f(x) + (1 -  )f(y)
(    [0,1],  x, y  D).

(1.2)

Ch ngăminh
a)ăGi ăs ăfălƠăhƠmăl i.ăKhôngăm t tínhăt ngăquátăcóăth ăxemănh   (0, 1).
Khôngăth ăx yăraătr

ngăh păf(x)ă<ă  , f(y) <  ,ămƠăfă(  x +(1 -  )y) =  ,

b iăvìădomăfăl i,ăv iăx,ăyă  domăfăăthìă[x,ăy]ă  dom f. Do   (0,ă1),ănên:ăf(x)ă=ăă




 f(x) =  .ăN uăxăho căyă  domăfă,ăthìăf(x)ă=ă  ho căf(y)ă=ă  vƠă

(1.2)ăđúng.
B iăvìăepifăl i,ă  (x, r)  epif ,  (y, s)  epif,    (0, 1),  (x, r) + (1 -  )
(y, s) = (  x + (1 -  )y,  r + (1 -  )s)  epif .


f(  x + (1 -  )y)   r + (1 -  )s.



f(  x + (1 -  )y)   f(x) + (1 -  )f(y)
(ăl yără=ăf(x),ăsă=ăf(y)ă).
b)ăNg

căl i,ăgi ăs (1.2) đúng.ăL yă(x,ăr)ă  epif , (y, s)  epif ,   [0, 1]

taăph iăch ngăminh:

13

Thang Long University Libraty

 (x, r) + (1 -  )(y, s)  epif.

Th tăv y:ăăăăă
(x,  )  epif, (y, s)  epif



f(x)  r, f(y)  s.



f(  x + (1 -  )y)   f(x) + (1 -  )f(y)   r + (1 -  )s



(  x + (1 -  )y,  r + (1 -  )s)  epif



 (x, r) + (1 -  )(y, s)  epif

nhălýă1.5ăăăă(B t đ ng th c Jensen)
Gi s f : X  ( ,  ]. Khi đó, f là hàm l i khi và ch khi  i  0 (i =
m

1, ... , m),


i 1

i

= 1,  x1, ... , xm  X,
f( 1 x1 + ... + m xm)  1 f(x1) + ... + m f(xm).

(1.3)

Ch ngăminh
Khôngăgi măt ngăquát,ăcóăth ăxemănh ă i > 0 (iă=ă1,ă...ă,ăm).ăKhiăđó,ăn uă
xi  domăfăthìăf(xi) =  , i f(xi) =  vƠăb tăđ ngăth că(1.3)ălƠăt măth
domăfăl iănênăkhôngăx yăraătr



ng.ăDoă
m



 i 1



ngăh păf(xi) <  (iă=ă1,ă...ă,ăm)ămƠăf   i xi  =

m

 ,ăb iăvìăkhiăđóă  i xi  dom f.
i 1

N uăăxi  domăfăă(iă=ă1,ă...ă,ăm),ădoăepifăl iăvƠă(x i, f(xi))  epif (i = 1, ... , m),
theoăđ nhălýă1.4,ătaăcó:
( 1 x1 + ... + m xm, 1 f(x1) + ... + m f(xm))  epif.


f( 1 x1 + ... + m xm)  1 f(x1) + ... + m f(xm).

M nhăđ ă1.8
Gi s f : X  [ ,  ]. Khi đó, f là hàm l i khi và ch khi:
f(  x + (1 -  )y) <  r + (1 -  )s

14


(    (0, 1),  x, y : f(x) < r, f(y) < s) .
nhălýă1.6
Gi s f là hàm l i trên X,   [ ,  ]. Khi đó, các t p m c { x : f(x)
<  } và {x : f(x)   } l i.
Ch ngăminh
a)ăL yăx1, x2  {x : f(x) <  },ătaăcóăf(x1) <  , f(x2) <  .ăT ăm nhăđ ă1.8
suy ra :    (0, 1) :
f(  x1 + (1 -  ) x2) <  + (1 -  )  = 


 x1 + (1 -  ) x2  {x : f(x) <  }



{x : f(x) <  } l i.

b)ăăT pă{xă:ăf(x)ă   }ăl i,ăb iăvì:
{ x : f(x)   } =

{ x : f(x) <  } .
 

H ăqu ă1.3
Gi s

f là hàm l i trên X,   R (   I), I là t p ch s b t k .

Khi đó, t p
A = {x  X : f (x)   ,   I} – l i.
nhăngh aă1.15
Hàm f(x) xác đ nh trên X đ

c g i là thu n nh t d

ng , n u  x  X, 

 (0,  ),

f(  x) =  f(x).
nhălýă1.7
Hàm thu n nh t d

ng f : X   ,   là l i khi và ch khi:

f  x  y  f  x  f  y 

15

 x, y  X  .

(1.4)

Thang Long University Libraty


Ch ngăminh
Gi ăs ăhƠmăthu nănh tăd

a)

ngăf lƠăl i.ăL yă x, y  X .ăKhiăđó,

1 
1
1
1

f  x, y   2 f  x  y   2  f  x  f  y   = f  x  f  y 
2 
2
2
2


Ng

b)

căl i,ăgi ăs ă(1.4)ăđúng.ăL yă  xi , ri   epif (i = 1, 2)

Taăcóă  x1  x2 , r1  r2   epifă,ăb iăvì:
f  x1  x2   f  x1   f  x2   r1  r2 .

H năn a,ăb iăvìăf lƠăhƠmăthu nănh tăd

ng,ăchoănênăn uă  x, r   epif thìă f  x  r

vƠă
(0 <  <  ) .

 f ( x)  f ( x)   r
   x, r   epif .

Nh ăv y,ăăepifăăđóngăăđ iăv iăphépăc ngăvƠăphépănhơnăvôăh

ng.ăDoăđó,

epifăălƠăm tănónăl i.ăV yăăf lƠăhƠmăl i.ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă
H ăqu ă1.4
Gi

s

f là hàm l i chính th

ng, thu n nh t d

ng. Khi đó,

xi  X, i  0  i  1,..., m
f  1 x1  ...  m xm   1 f  x1   ...  m f  xm  .

nhălýă1.8
Hàm f đóng khi và ch khi t t c t p m c có d ng  x : f  x    c a f là
đóng.
Ch ngăminh
Kíăhi uăcácăt păm căc aăf lƠă L f .Taăcó:
L f   x  X : f  x      x  X :  x,    epif  .

16


Vìăv y,ăepif đóngăkéoătheoăt tăc ăcácăt pă L f đóng.
Ng

căl i,ăgi ăs ăt tăc ăcácăt pă L f đóng.ăTaăch ngăminhă epif đóng?

Th tăv y,
L f 

Gi ăs ă  x0 ,  0   epif .ă

 

(1.5)

L f .

ăch ngăminhă epif đóng,ătaăch ngăminhăt năt iălơnăc năVă

c aă  x0 ,  0  sao cho:

 epif   V   .
B iăvìăă  x0 ,  0   epif ,ăchoănênă x0  L f .ăT (1.5) suy ra    0 : x0  L f . Doăđóă
0

t năt iălơnăc năUăc aă x0 :  L f   U   .
t:ă
V   x,    X  R : x  U ,    .

Khiăđó,ăVălƠălơnăc năc aăđi mă  x0 ,  0  trong X  R .
N uăăă  x,    V thìăăxă 
(epif)

f. Do  <  , x 

fă.ăVìăv y,ăăf(x)ă>ă  ,ăăngh aălƠă

V = .

1.2.2. Cácăphépătoánăv ăhƠmăl i
nhălýă1.9
Gi s

f1 ,..., fm là các hàm l i chính th

ng trên X. Khi đó t ng f1  ...  fm

là m t hàm l i.
Nh năxétă1.6
N uă f1 ,..., fm lƠăcácăhƠmăl iăchínhăth
cóăth ăkhôngăchínhăth

ng,ăthìă f1  ...  fm lƠăhƠmăl iănh ngă

ng.

nh lýă1.10

17

Thang Long University Libraty


Gi s F là t p l i trong X  R và
f  x  inf  :  x,    F .

(1.6)

Khi đó f chính là hàm l i trên X.
Chú ý: Ta quy

c infimun trên t p  (các s th c) b ng  .

Ch ngăminh
N uă f  x1   r thìăăt ă(1.6) suy ra:





1  r , x1 , 1  F .

N u f  x2   s thìăăă 2  r ,  x2 , 2   F .


(0 <  < 1)

 x1  (1   ) x2 .1  (1   )  2  F



 f   x1  1    x2   inf  :   x1  1    x2 ,    F



  1  1    2   r  1    s.

Suy ra f lƠăhƠmăl iă(m nhăđ ă1.8)
nhăngh aă1.15
Gi s

f1 ,..., fm là các hàm chính th

convolution) c a f1 ,..., fm , đ

ng trên X. T ng ch p infimal ( infimal

c xác đ nh nh sau:

m


f  x  inf  f  x1   ...  f  xm  : xi  X ,  xi  x .
i 1



và đ

(1.7)

m

c kí hi u là  fi hay f1  ...  fm .
i 1

Nh năxétă1.7
Tr

ngăh păm=2,ăthìă(1.7)ăcóăd ng:

 f1  f2  x  inf  f1  x  y   f2  y .
y

nhălýă1.11

Gi s

f1 ,..., fm là các hàm l i chính th

18

m

ng trên X. Khi đó  fi là hàm l i
i 1


trên X.
Ch ngăminh
tă Fi  epifi , F  F1  ...  Fm .ă Khiăđó,ă F lƠă t pă l iătrongă X  R .ă Theoă đ nhă
ngh aă  x,    F  xi  Rn , i  R sao cho:
f  x1   i , (i  1,..., m),   1   2  ...   m , x  x1  ...  xm

Doăđó,ăhƠmăf đ

căxácăđ nhăb iă(1.7)ălƠăm tăhƠmăl i đ

căxơyăd ngătheoăđ nhălýă

1.10 b iăt păF.
nhăngh aă1.16
Gi s  f  I là m t h tùy ý các hàm.
a) C n trên c a các hàm f , kí hi u là VI f , đ

c xác đ nh nh sau:

VI f  x  sup f  x ;
 I

b)C n d

i c a hàm f , kí hi u là I f , đ

c xác đ nh nh sau:

 I f  x  infI f  x ;
c) Bao l i c n d

i c a các hàm f , kí hi u co I f , đ

 conv I

c xác đ nh nh sau:




f  x  : inf    R :  x,    conv  epif   .
  I



M nhăđ ă1.9
Gi s

f ,   I  là các hàm l i trên X. Khi đó,

a)

VI f là hàm l i,

b)

conv I f là hàm l i.

nhăngh aă1.17
a)

Bao đóng c a hàm f, kí hi u là f , đ

c xác đ nh nh sau:

epi f = epif

19

Thang Long University Libraty


Bao l i và bao l i đóng c a hàm f, kí hi u là convf và convf , đ

b)
đ nh t

c xác

ng ng nh sau:
epi  convf   conv epif  ,





epi convf  conv  epif  .

Nh năxétă1.8
a)

HƠmăf đóngă  f  f

b)

Baoăđóngăc aăm tăhƠmăl iălƠăm tăhƠmăl i;

Víăd ă1.10
Gi ăs ă A1 , A2  X v iăcácăhƠmăch ă  . A1  ,  . A2  .ăKhiăđó:
a)

 . A1    . A2    . A1    . A2    . A1  A2  ;

b)

 . A1    . A2    . A1  A2  ;

1.3.ăăD

IăVIăPHỂNăHĨMăL I

Gi ăs ăf lƠăhƠmăl iătrênăX; X* lƠăkhôngăgianăliênăh păc aăX.
nhăngh aă1.18
Phi m hàm x  X  đ

c g i là d

i gradient c a hàm f t i x  X n u :



f  x  f x  x , x  x 

 x  X  .

nhăngh aă1.19
T p t t c các d

i gradient c a f t i x đ

c g i là d

i vi phân c a f

t i x , kí hi u là f  x , t c là:

 





f x  x  X  : f  x  f x  x , x  x 

x  X .

nhăngh aă1.20
Hàm f đ

c g i là kh d

i vi phân t i x n u f  x   .

nhălýă1.12

20


ng trên X và x  domf . Khi đó:

Gi s f là hàm l i chính th



 

x f x  f ' x; d  x , d 

 d  X  .

Ch ngăminh
N uă x  f  x ,ăthìăv iăm iă d  X ,   0 , taăcó:



 

f x  d  f x    x , d  .

Theoăđ nhălý 4.1 [1], f cóăđ oăhƠmăt iă x theoăph

ngăd,ăchoănên:

 

Ng

f ' x; d  x , d  .

(1.8)

căl i,ăn uă(1.8)ăđúng,ătaăl yă x  X, d  x  x t ăd nhălíă4.1 [1] taănh năđ

c:



 



  

 x , x  x  f ' x; x  x  f x  x  x  f x .

Doăđó,ă x f  x .
H ăqu ă1.5



 

f x   d f ' x;0 ,

trong đó  d là vi phân d

i c a f '  x; d  theo bi n d.

Ch ngăminh
Do f '  x;0  0 theoăđ nhălíă1.12 taăcó:



 

 

x f x  f ' x; d  f ' x;0  x , d 

d  X

 

 x  d f ' x;0 .

nhălýă1.13
Gi s f là hàm l i chính th



ng trên X và x  domf . Khi đó:



x f x  f x  f   x   x , x  ,

21

Thang Long University Libraty


trong đó f*(x*) = sup  x* , x   f ( x) .
xX

Ch ngăminh
a)

Gi ăs ă x f  x . Khiăđó,



f  x  f x  x , x  x 

x  X


 x , x   f  x  sup  x , x   f  x 

 x* , x   f x  x , x   f  x  , x  X




x

= f * ( x* ) .

(1.9)

M tăkhác,ătheoăb tăđ ngăth căYoungăậ Fenchel [1],ătaăcó:
 x* , x   f ( x)  f * ( x* )

(1.10)

T ă(1.9),(1.10) suy ra:



f x  f   x   x , x 

b)

(1.11)

Gi ăs ă(1.11)ăđúng.ăT ăb tăđ ngăth căYoung - Fenchel [1] v iă   0, d  X ,

taăcó:







 

f x   d  x , x   d    x  x   f x




     x ,  d   x , d 

f x  d  f x

 











 f ' x; d  x , d , d  X



(đ nhălýă1.12)

 x f x

Víăd ă1.11
ChoăhƠmăaffine f  x  x , x   ,  x  X,   R . Khiăđó:
f  x  x , x  X .

22


Víăd ă1.12
ChoăhƠmăch ă f  x   . A trongăđóăAălƠăt păl iăkhácăr ng.
Khiăđó,ăv iăm iă x  A,

 

 

x  x A    x A   x A   x , x  x , x  X
 x , x  x  0, x  A.

i uăđóăcóăngh aălƠă x lƠăvectoăphápătuy năc aăAăt iă x .
Nh ăv y,ă  ( x | A) lƠănónăphápătuy năc aăAăt iă x :

 

 

 x A  N x A

V iă x  A,   x A   .
Víăd ă1.13
Gi ăs ăXălƠăkhôngăgianăBanach,ă f  x  x .
a)

V iă x  0 ,ătaăcó:



f  x  x  X : x  1,  x , x  x



Th tăv y,ăn uă x th aămưnă x  1,  x , x  x thì
 x , z  z x  z , x  X
 x , z  x  z  x  x f  x .

Ng

căl i,ăn uă x  f  x thì:
 x  0  x  x , 0  x    x , x 
x  2 x  x  x , 2 x  x  x , x 

 x  x* , x 

(1.12)

V iă z  X ,   0 taăcó:

23

Thang Long University Libraty


 z  x  x  x ,   z  x  x  x ,  z 
 z

x 1
 x  x , z 
z 

Cho    taănh năđ

c:ă

z  x , z , z  X

 x 1

Nh ngă x khôngăth ănh ăh nă1ăvìăn uă x nh ăh nă1ăthì:ă
 x , z   1,  z  X, z  1

V iă z 

x
 z  1 . Doăđó,
x
 x ,

x
  1  x , x  x .
x

i uănƠyămơuăthu năv iă(1.12).ăVìăv yă x =1.
b)

V iăx=0,ătaăcó:
f  0    x  X * : z  x , z 



 x  X* : x  1



 B  0,1 (hìnhăc uăđ năv ăđóngătrongă X  )

Tr

ng h p riêng: X  R, f  x  x ,

V iă x  0 : f lƠăhƠmăkh ăvi,ăvƠ:





f  x  x x .
1

V iăx=0:ă
f  0     R : z   , z , x  R
   R :   1   1,1 .

24