Điều kiện karush kuhn tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa m

M CL C
M

U .......................................................................................................... 2
Ch
CÁC

ng 1

NH Lụ LUÂN PHIÊN VÀ I U KI N C N T I

U

CÁC KHÁI NI M VÀ K T QU B TR ....................................... 4

1.1.
1.1.1.

BƠi toán t i u đa m c tiêu ................................................................. 4

1.1.2.

Nghi m h u hi u đ a ph

1.1.3.

Nón ti p tuy n vƠ nón radial dưy ........................................................ 7

1.1.4.
1.1.5.

o hƠm Dini –

o hƠm Hadamard.................................................. 7

M t s k t qu b tr .......................................................................... 9
CÁC

1.2.

ng ............................................................. 5

NH LÝ LUÂN PHIÊN .......................................................... 11

1.3.

I U KI N CHệNH QUY VÀ CÁC I U KI N C N T I

1.4.
PH

I U KI N C N KKT M NH CHO NGHI M H U HI U A
NG ..................................................................................................... 23
Ch

U ... 18

ng 2

I U KI N KARUSH ậ KUHN - TUCKER M NH QUA D
PHÂN SUY R NG

I VI

2.1.

CÁC KHÁI NI M .............................................................................. 28

2.2.

CÁC I U KI N KKT M NH ........................................................ 36

2.2.1.

i u ki n c n .................................................................................... 37

2.2.2.

i u ki n đ ...................................................................................... 42

2.2.3.

M t s đi u ki n chính quy khác vƠ m i quan h gi a các đi u ki n ..
........................................................................................................... 44

2.2.4.
i u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu v i rƠng bu c
đ ng th c vƠ b t đ ng th c ....................................................................... 49
K T LU N .................................................................................................... 55
TÀI LI U THAM KH O ............................................................................ 56

1


M

U

V i các bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c, các đi u ki n t i u
Fritz John ch đ m b o các nhơn t Lagrange không đ ng th i b ng 0; các
đi u ki n t i u Karush – Kuhn – Tucker đ m b o nhơn t Lagrange t

ng

ng v i hƠm m c tiêu khác 0. ThƠnh ph n nƠo c a nhơn t Lagrange t

ng

ng v i hƠm m c tiêu khác 0 thì thƠnh ph n t
m t trong các đi u ki n c n t i u. Ng

ng ng c a hƠm m c tiêu có

i ta mong mu n t t c các thƠnh ph n

c a hƠm m c tiêu đ u có m t trong đi u ki n c n t i u, có ngh a lƠ t t c các
nhơn t Lagrange t

ng ng v i các thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu lƠ khác 0.

Khi đó, đi u ki n Karush – Kuhn – Tucker (KKT) đ

c g i lƠ m nh.

T.Maeda ([6],1994) đư xét các đi u ki n chính quy đ nh n đ

c các

đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán v i các hƠm kh vi Fréchet. V. Preda – I.
Chitescu ([7],1999) đư m r ng các k t qu c a Maeda cho bƠi toán v i các
hƠm bán kh vi. D.V. Luu – N.M. Hung ([5],2009) đư thi t l p các đi u ki n
KKT m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng
th c vƠ rƠng bu c t p v i các hƠm kh vi Gơteaux. M. Golestani – S.
Nobakhtian ([3],2012) đư d n các đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa
m c tiêu có rƠng bu c b t đ ng th c d

i ngôn ng d

i vi phơn suy r ng.

Lu n v n trình bƠy các đi u ki n KKT m nh c a Luu – Hung [5] vƠ
c a M. Golestani – S. Nobakhtian [3] cho bƠi toán t i u đa m c tiêu có rƠng
bu c.
Lu n v n bao g m ph n m đ u, hai ch

ng, k t lu n vƠ tƠi li u tham

kh o.
Ch

ng 1 trình bƠy k t qu nghiên c u c a Luu – Hung [5] v các đ nh

lý luơn phiên cho m t h g m các b t đ ng th c, đ ng th c vƠ m t t p xác
2

Thang Long University Libraty


đ nh, đó lƠ s t ng quát hóa c a đ nh lý luơn phiên Tucker c đi n.
trong ch

ng nƠy, đ nh lý Kuhn – Tucker c ng đ

ng th i,

c phát tri n đ i v i

nghi m h u hi u c a bƠi toán t i u trong không gian đ nh chu n mƠ các
nhơn t Lagrange t
d

ng ng v i t t c các thƠnh ph n c a hƠm m c tiêu đ u

ng.
Ch

ng 2 trình bƠy k t qu

Nobakhtian [3]. N i dung ch

nghiên c u c a M. Golestani – S.

ng nƠy đ c p các đi u ki n chính quy vƠ đi u

ki n c n t i u Kuhn – Tucker m nh cho bƠi toán t i u đa m c tiêu không
tr n có rƠng bu c b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p. Công c chính c a ch
nƠy lƠ khái ni m d

i vi phơn suy r ng. Trong ch

ng

ng nƠy, tác gi c ng trình

bƠy thêm m t đi u ki n đ vƠ m i quan h gi a các đi u ki n chính quy. M c
2.2.4 lƠ k t qu m i c a tác gi v đi u ki n KKT m nh cho bƠi toán t i u đa
m c tiêu có rƠng bu c đ ng th c, b t đ ng th c vƠ rƠng bu c t p.
Nhơn d p nƠy, tôi xin chơn thƠnh c m n Ban ch nhi m Khoa Toán –
Tin, tr
h c.

ng

i h c Th ng Long cùng các th y cô đư tham gia gi ng d y khóa

c bi t, tôi xin g i l i c m n sơu s c đ n th y PGS.TS

t n tình h

V n L u đư

ng d n, giúp đ tôi hoƠn thƠnh lu n v n nƠy.
HƠ N i, tháng 6 n m 2016
Tác gi

Mai Thanh V n

3


Ch
CÁC

ng 1

NH Lụ LUÂN PHIÊN VÀ I U KI N C N T I

Ch

U

ng 1 trình bƠy k t qu nghiên c u c a D.V.Luu – N.M.Hung

([5],2009) v các đ nh lý luơn phiên cho m t h g m các b t đ ng th c, đ ng
th c vƠ m t t p xác đ nh.
Tucker c đi n.
đ

ó lƠ s t ng quát hóa c a đ nh lý luơn phiên

ng th i, trong ch

ng nƠy, đ nh lý Kuhn – Tucker c ng

c phát tri n đ i v i nghi m h u hi u c a bƠi toán t i u trong không gian

đ nh chu n mƠ các nhơn t Lagrange t
hƠm m c tiêu đ u d
1.1.

ng ng v i t t c các thƠnh ph n c a

ng.

CÁC KHÁI NI M VÀ K T QU B

TR

1.1.1. BƠi toán t i u đa m c tiêu
Gi s

lƠ không gian tuy n tính đ nh chu n;
lƠ các ánh x t

r ng c a
Nh v y,

vƠo

,

,

lƠ m t t p con khác

.
,

,

,

trong đó

.

Xét bƠi toán t i u đa m c tiêu:
min

,

.
Ký hi u
.
T p

đ

c g i lƠ t p ch p nh n đ

c c a bƠi toán

.

4

Thang Long University Libraty


Chú ý: Tr

, ta có bƠi toán t i u đ n m c tiêu cho hƠm

ng h p

nhi u bi n.
Ví d 1.1: Xét bƠi toán:
v i các đi u ki n:

min





lƠ đ

T p ch p nh n

ng cong

hypebol n m trong góc ph n t th nh t :

1.1.2. Nghi m h u hi u đ a ph
nh ngh a 1.1:

i m

n ut nt i

toán

ng
là nghi m h u hi u đ a ph

ng c a bài

 ,

sao cho v i m i


trong đó

là c-t ng không âm c a

 là hình c u m tâm , bán

,

kính .

Ví d 1.2: 1) Xét
Khi đó

.








5


ơy lƠ khái ni m c c ti u đ a ph

ng thông th

ng.

2) Xét
Ta có

Suy ra

.

Do đó

có 3 tr



(Ký hi u I II III vƠ IV l n l


ng h p:

t lƠ các góc ph n t c a m t ph ng t a đ .)

I 








II












IV










Trong t t c các tr
Tóm l i,
sao cho

ng h p, có ít nh t m t

lƠ nghi m h u hi u đ a ph

ng c a bƠi toán

.
n ut nt i

 th a mưn
6

Thang Long University Libraty


v i nƠo đó thu c

vƠ

.

1.1.3. Nón ti p tuy n vƠ nón radial dưy
nh ngh a 1.2: Nón ti p tuy n (hay còn g i là nón ti p liên) c a t p
là t p sau đây:

t i

.
nh ngh a 1.3: Nón các ph
radial dãy) c a

ng tuy n tính dãy (hay còn g i là nón

là t p sau đây:

t i

.
Chú ý:
 C 2 nón nƠy đ u khác
 Nón


vì ch a đi m .

đóng, có th không l i.


thì
o hƠm Dini ậ

1.1.4.

, ta ch n dưy

. Th t v y,
. Do đó,

.

o hƠm Hadamard

nh ngh a 1.4:
i)

o hàm Dini d

ic a

t i

theo ph

ng

đ

c đ nh

t i

theo ph

ng

đ

c đ nh

ngh a nh sau:

ii)

lim inf

o hàm Dini trên c a

ngh a nh sau:
lim s��
7

nh ngh a 1.5:
i)

o hàm Hadamard d

ic a

t i

theo ph

ng

đ

c

t i

theo ph

ng

đ

c

đ nh ngh a nh sau:

ii)

lim

inf

lim

s��

o hàm Hadamard trên c a

đ nh ngh a nh sau:

Chú ý:

thì ta ký hi u giá tr chung đó lƠ

 N u
. ơy lƠ đ o hƠm theo ph

ng thông th

ng c a

t i

theo ph

ng

:
lim

lƠ ánh x tuy n tính liên t c thì ta nói

 N u
Gơteaux t i .

ng th i,

trong đó

lƠ đ o hƠm Gơteaux c a

phi m hƠm tuy n tính

vƠ

lƠ giá tr c a

t i .

Ví d 1.3: Cho hƠm

đ

c xác đ nh nh sau:
n �

sin

o hƠm Dini trên vƠ d

t i

kh vi

ic a

n �

l nl

t i

t lƠ

8

Thang Long University Libraty


lim s��
Do đó, t i

lim s��

lim inf

lim inf

, đ o hƠm Dini t n t i vƠ

lƠ ánh x tuy n tính liên t c theo

D th y
vƠ

sin

.

sin

nên

kh vi Gơteaux t i

Suy ra

 N u

kh vi Fréchet t i

v i đ o hƠm Fréchet

thì

thì ta ký hi u giá tr chung đó lƠ

 N u

. Khi đó

,
t c lƠ

c ng lƠ đ o hƠm Hadamard c a

t i

theo ph

1.1.5. M t s k t qu b tr
t

t n t i, ta đ t

V im i
9

ng .


t n t i, ta đ t

V im i

Do tính thu n nh t d
d

lƠ m t nón trong

Ký hi u

ng Dini vƠ Hadamard

lƠ các nón có đ nh t i .

vƠ

i, ta có

Cho

ng c a các đ o hƠm theo ph

có đ nh t i .

lƠ nón đ i ng u c a :





,

trong đó

lƠ không gian đ i ng u tôpô c a .

Khi đó,

lƠ nón l i đóng y u .

M t s k t qu sau đơy trong [4] c n dùng đ ch ng minh các k t qu chính
c a ch

ng nƠy:

M nh đ 1.1: Gi s

là các nón l i đóng y u trong

,

đóng y u . Khi đó,

M nh đ

1.2 (đ nh lý Dubovitskii ậ Mylyutin): Gi
là các nón l i có đ nh t i

Khi đó
đ ng th i b ng

trong

n u và ch n u t n t i 
sao cho 





;

s
m .

không
.

10

Thang Long University Libraty


M nh đ 1.3 [2] (đ nh lý Fakas ậ Minkowski): Gi s :

Khi đó,

M nh đ 1.4 [2]: Gi s : 

;



,



,



.

Khi đó,







,
,



1.2.

CÁC
Gi s

NH Lụ LUÂN PHIÊN
lƠ không gian tuy n tính đ nh chu n vƠ
lƠ các vect

ng u c a

lƠ không gian đ i

thu c

lƠ m t t p con khác r ng c a .
, ta đ t

V i

,

Chú ý:
11


 Các t p

vƠ

lƠ các nón l i

đóng có đ nh t i .
 Các t p

lƠ các nón l i m có đ nh t i .

 Các t p

lƠ các không gian con tuy n tính đóng

c a .
nh lý 1.1: Gi s
(a)

là m t nón con l i khác

, t p sau đóng y u trong

(b) V i m i

Khi đó, các phát bi u sau là t

ng đ

và

đóng;

:

ng :

, h sau không có nghi m

(i) V i m i

(ii) T n

v i đ nh t i

c a

t i 

, 

:

, 

sao cho







Ch ng minh :

12

Thang Long University Libraty


(i)  (ii): Ta ch c n xét tr
thì ta s l y 

n u
V im i

, b i vì

ng h p t t c
.
không có nghi m

, ta gi s h

.

t

Ta có

lƠ m t nón l i khác , có đ nh t i .

H n n a,

.

Chú ý r ng

lƠ nón l i, khác

(vì

), có đ nh t i .

Áp d ng m nh đ 1.2, ta suy ra t n t i 

b ng

vƠ 

không đ ng th i

sao cho





ta suy ra 

T

(vƠ  c ng

). H n n a, các nón l i
vƠ

,

đóng, cho nên

chúng đóng y u. Nh v y, các gi thi t c a m nh đ 1.1 th a mưn. Áp d ng
m nh đ nƠy, ta nh n đ

c

M t khác theo m nh đ 1.4 v các nón đ i ng u, ta có





13


B i vì

,














, ta suy ra 



v i

.

, t n t i

Do



vƠ 



t



do

sao cho









,



, ta nh n đ



,

 ,



c

,
,

,





,

. T (1.7) ta suy ra







Do đó,





Chú ý r ng v i m i

, ta nh n đ

v c a các b t đ ng th c







,



. C ng 2

vƠ đ t

, ầ,



c b t đ ng th c





14

Thang Long University Libraty


ta nh n đ

c 

, 

, 

vƠ







(ii)  (i): Gi s t n t i 



th a mưn

cho h

có nghi m



,
. N u (i) sai thì t n t i

sao

. Vì v y,



i u nƠy mơu thu n v i

,



. Do đó ta có đi u c n ch ng minh.

Nh n xét:
(1) N u gi thi t a) đ
vƠ

lƠ nón con l i khác r ng c a

đóng” thì đ nh lý v n đúng b i vì

(2) Trong tr

= X, b t đ ng th c

ng h p





H qu 1.1: Gi s
trong

c thay b i “

.

tr thƠnh


l i và v i m i

:

Khi đó, hai phát bi u sau là t



ng đ

ng :

15

, t p sau đóng y u


(i) V i m i

, h

không có nghi m

v i

c thay b i

.

t i 

(ii) T n

đ

, 

, 

sao cho







Ch ng minh :
Vì

l i, khác

nên

lƠ nón l i đóng, khác . Áp d ng đ nh lý

ta nh n đ

1.1 cho
Bơy gi , v i m i

c k t lu n c a h qu 1.1.

, ta đ t

lƠ nón đóng khác

Rõ rƠng

nh lý 1.2: Gi s
v i đ nh t i

và

,

(ii) T n

ng đ

, t p

c a
đóng.

ng:
không có nghi m

,h

t i 

sao cho

là m t nón con l i khác

đóng; v i m i

Khi đó, các phát bi u sau là t
(i) V i m i

có đ nh t i .

, 

.
, 

đúng.

Ch ng minh:

16

Thang Long University Libraty


B i vì dim

, ta có dim

dim

vƠ các tôpô m nh, y u, y u

trùng nhau. Theo m nh đ 1.1, ta suy ra v i m i

trong









:





T đó suy ra

Vì v y, theo gi thi t, t p h p sau đóng :

Do đó t p h p nƠy đóng y u . Nh v y các gi thi t c a đ nh lý 1.1 đ

c

th a mưn. Vì v y ta suy ra đi u ph i ch ng minh.

Chú ý:
Trong tr

, t đ nh lý 1.2, ta nh n đ

ng h p dim

Kuhn – Tucker c đi n nh m t tr

ng h p đ c bi t.
. Khi đó, hai kh ng đ nh sau t

H qu 1.2: Gi s
đ

c đ nh lý

ng

ng:
(i) V i m i
(ii) T n

không có nghi m

,h

t i 

, 

sao cho :

17

.
, 








Ch ng minh:
, ta có

V i
dim

. Do đó,

,v im i

vƠ

. H n n a, b i vì

lƠ m t nón l i đóng khác

,

. Vì v y,

đóng trong

. Nh v y,

Áp d ng đ nh lý 1.2 cho

, ta suy ra (i) t

T n t i

ng đ

,

trong
.

ng v i
,

sao

cho





B t đ ng th c nƠy t
1.3.

ng đ



ng v i (1.10).

I U KI N CHệNH QUY VÀ CÁC I U KI N C N T I
M nh đ 1.5: Gi s
a) N u v i m i

U

.
, t n t i các đ o hàm theo ph

ng

thì

Hadamard


b) N u v i m i

, t n t i các đ o hàm theo ph

ng Dini

thì



18

Thang Long University Libraty


Ch ng minh:
, còn

Ta ch ng minh
Tr

đ

c ch ng minh t

ng t .




c h t, ta ch ra r ng

trong đó

V i

,

vƠ

,t nt i

 . Khi đó,

 , vì

H n n a, v i

 . Do đó,
, ta có

, do

Do đó,
lim inf

lim inf

lim

. Nh v y,

Vì v y,
T

đúng.

ta suy ra

19

sao cho
.



M nh đ đ

c ch ng minh.

Chú ý: Chi u ng

c l i c a các bao hƠm th c

vƠ

nói

chung không đúng.
i u ki n chính quy ki u Abadie :
d n đi u ki n c n cho nghi m h u hi u c a bƠi toán (MP), ta đ a
vƠo các đi u ki n chính quy ki u Abadie sau :




, t n t i các đ o hƠm theo ph

N u v i m i
vƠ

trong đó

, ta đ t

v i

ký hi u t p ch p nh n đ

c c a bƠi toán

ng Hadamard

.

i u ki n c n cho nghi m h u hi u:
nh lý 1.3: Gi s
, các hàm



đ o hàm theo ph

là nghi m h u hi u đ a ph
liên t c t i ; v i m i

t n t i các

và

ng Hadamard

. H n n a, gi s đi u ki n chính quy
m i

ng c a bài toán

đúng t i . Khi đó, v i

,
20

Thang Long University Libraty


Ch ng minh:
Gi s ng

c l i, t n t i

sao cho

T đó suy ra t n t i

B i vì

.
, ta suy ra

. Do đi u ki n chính quy

Rõ rƠng lƠ

Vì v y,

, ta có

.

Do đó, t n t i dưy

vƠ

Vì v y,

vƠ

H n n a, v i 

, ta có

t n t i s t nhiên

sao cho

,

sao cho

. Do tính liên t c c a


21

.



,


M t khác, do

lƠ nghi m h u hi u đ a ph

, t n t i

ng c a

sao

 th a mưn

cho

v i nƠo đó thu c

.

T ch ng minh trên ta suy ra t n t i s t nhiên

sao cho

.

, ta có
Do đó, v i

,
.

Vì v y,
.
i u nƠy mơu thu n v i
V y, v i m i
T

.
đúng.

,

ng t đ nh lý 1.3, bơy gi n u v i m i

theo ph

t n t i các đ o hƠm
thì v i

vƠ

ng Dini
, ta đ t

m i

nh lý 1.4 : Gi s
; các hàm
đ o hàm theo ph



là nghi m h u hi u đ a ph
liên t c t i ; v i m i

ng c a bài toán
, t n t i các

và

ng Dini

22

Thang Long University Libraty


. H n n a, gi s đi u ki n chính quy
m i

,

Ch ng minh: ch ng minh t
1.4.

ng t đ nh lý 1.3.

I U KI N C N KKT M NH CHO NGHI M H U HI U
PH
NG
Xét bƠi toán

v i

đúng t i . Khi đó, v i

đ o

hƠm

. Gi s r ng các hƠm

A

kh vi Gơteaux t i

Gơteaux
vƠ các hƠm



liên t c. Khi đó, v i m i

,

vƠ

Chú ý: N u hƠm

kh vi Gơteaux t i



thi t liên t c t i .
t

Ã

nh trong ph n 1.2 vƠ

23

thì không nh t

nh lý 1.5: Gi s
;

là nghi m h u hi u đ a ph

là nón con l i khác r ng b t k c a

ng c a bài toán

có đ nh t i 0 và

, t p h p sau đây đóng y u trong

Gi s r ng v i m i

đóng.
:

Gi s đi u ki n chính quy (1.14) đúng t i .
Khi

đó,

t n

t i 

, 

, 

sao cho








Ch ng minh:
Theo đ nh lý 1.3, v i m i

, h sau không có nghi m

:

Áp d ng đ nh lý 1.1 v i
, ta suy ra t n t i 
,

,

sao cho

24

Thang Long University Libraty




, ta l y 

V i 

vƠ nh n đ

H n n a, ta c ng nh n đ
, ta có 





c

, vì v i

c

là nghi m h u hi u đ a ph

:

Gi

đi u ki n chính quy

đúng t i

,

. Khi đó, t n t i 

,

đúng, trong đó

đ

ng c a bài toán

, t p h p sau đây đóng y u

l i. Gi s r ng v i m i

trong

s

ng ng v i các thƠnh ph n c a hƠm

ng.

H qu 1.3: Gi s
,

vƠ v i

, ta có

.

Chú ý: Các nhơn t Lagrange t
m c tiêu đ u d

.

c thay b ng

và

sao cho
.

Ch ng minh:
B i vì

khác , l i,

đ nh lý 1.5 cho

lƠ nón l i đóng khác
, ta nh n đ

c đi u ph i ch ng minh.

nh lý 1.6 (cho s chi u h u h n): Gi s
h u hi u đ a ph
c a

ng c a bài toán

có đ nh t i

và

c a . Áp d ng

là nghi m

; K là nón con l i khác r ng b t k

đóng. Gi s v i m i

đóng, trong đó
25

,t p