Vấn đề cực trị hình học trong không gian euclid e3

B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TR

NG

I H C TH NGăLONG

--------------------------***--------------------------

NGUY N V NăH O

V Nă

C C TR HÌNHăH C TRONG
KHÔNGăGIAN EUCLID E3

LU NăV NăTH CăS ă TOÁNăH C

Hà N i - N m 2016


B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TR

NG

I H C TH NGăLONG

--------------------------***--------------------------

NGUY NăV NăH O – C00257

V Nă

C C TR HÌNHăH C TRONG
KHÔNGăGIAN EUCLID E3

LU NăV NăTH CăS ă TOÁNăH C
CHUYÊN NGÀNH: Ph

ng pháp toán s c p

MÃ S : 60460113

NG

IH

NG D N KHOA H C:

PGS.TS NGUY N DOÃN TU N

Hà N i - N m 2016

Thang Long University Libraty


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS Nguyễn Doãn Tuấn
Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và mọi tham khảo điều được trích

dẫn và ghi gõ nguồn gốc.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.

Tác giả

Nguyễn Văn Hảo


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian theo học ở trường Đại học Thăng Long – Hà
Nội và đặc biệt là trong khoảng thời gian thực hiện luận văn tốt nghiệp,
tôi đã nhận được sự giúp đỡ hết lòng về mặt vật chất, tinh thần, kiến
thức và những kinh nghiệm quí báu từ gia đình, thầy cô và bạn bè.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quí Thầy, Cô
trường Đại học Thăng Long – Hà Nội, đặc biệt là quí Thầy, cô khoa
Toán, những người đã hết lòng truyền đạt kiến thức và những kinh
nghiệm quí báu trong suốt thời gian chúng tôi theo học ở trường để
chúng tôi có thể tự lập được trong công việc sau này, đặc biệt là người
thấy kính mến PGS – TS Nguyễn Doãn Tuấn - người đã tận tình hướng
dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn tốt
nghiệp, Các anh chị học viên trong lớp Cao học khóa 3 và các bạn đồng
nghiệp đã ủng hộ, giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm và tài liệu
cho tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ của
luận văn nên bản thân mới chỉ trình bày được một phần nào đó không
tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của
thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn
Hà nội, ngày ...... tháng ......năm 2016
Học viên thực hiện

Nguyễn Văn Hảo

Thang Long University Libraty


Mục lục
Mục lục
0.1

iii
Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

v
1

1.1

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Bất đẳng thức cơ bản: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN . . . . . . .

6

1.3.1

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Tìm thiết diện của hình đa diện (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

6

1.3.3

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . .

6

1.3.4

Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt

1.3

phẳng: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . .

8

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU . . . . . . . . . . .

10

1.3.5
1.4

1.4.1

Thể tích khối chóp: (Phương pháp xác định chiều cao của
khối chóp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.2

Thể tích hình lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.3

Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu bán kính R: . . . . . . . .

11

1.4.4

Tỷ số thể tích của hình chóp tam giác . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 PHÂN LOẠI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
2.1

BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ . . . . . .

14
14
iii


MỤC LỤC

2.2

CỰC TRỊ KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN 32

2.4

CỰC TRỊ LIÊN QUAN HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN, HÌNH CẦU . . .

51

2.5

CỰC TRỊ CỦA THỂ TÍCH KHỐI CHÓP . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.6

CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI CHÓP VÀ LĂNG TRỤ . . . . .

67

2.7

MỞ RỘNG TRONG KHÔNG GIAN CỦA MỘT SỐ BẤT ĐẲNG
THỨC NỔI TIẾNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.7.1

Bất đẳng thức Ptôlêmê mở rộng trong không gian . . . . . . .

79

2.7.1.1

Định lý Ptôlêmê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.7.1.2

Bất đẳng thức Ptôlêmê . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.7.1.3

Bất đẳng thức Ptôlêmê mở rộng . . . . . . . . . . . .

83

Bất đẳng thức Erd¨os mở rộng trong không gian . . . . . . . .

85

2.7.2.1

Định lý (Bất đẳng thức Erd¨os) . . . . . . . . . . . . .

85

2.7.2.2

Bất đẳng thức Erd¨os mở rộng . . . . . . . . . . . . . .

87

2.8

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.9

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.7.2

Tài liệu tham khảo

91

iv

Thang Long University Libraty


Giới thiệu
0.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một môn học chiếm một vị trí quan trọng trong nhà
trường nói chung và Trường THPT nói riêng, Dạy toán chủ yếu dạy cho
học sinh phương pháp suy luận lôgíc, Toán học chủ yếu là học và rèn
luyện khả năng tư duy logic. Việc giải toán là một công việc mà giáo
viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững tri thức phát triển tư duy hình
thành kĩ năng, kĩ xảo.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất( hay còn gọi là bài toán
cực trị) là các bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất,
dài nhất, ngắn nhất. . . Để từ đó dần hình thành cho học sinh thói quen đi
tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong thực tiễn cuộc
sống sau này.
Các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học là các bài toán
tương đối hay và khó, thường gặp trong thực tiễn giảng dạy ở cấp học
THPT và trong cuộc sống. Loại toán này rất phong phú và đa dạng đòi
hỏi suy luận một cách hợp lý nhiều khi độc đáo và bất ngờ, do đó học
sinh khi gặp loại bài toán này thường có tâm lý sợ, e ngại. Hơn nữa hiện
nay đã có một lượng đáng kể tài liệu về các vấn đề cực trị hình học, tuy
nhiên tài liệu còn nằm rải rác. Mặt khác theo tôi được biết tài liệu về
phân loại “ Vấn đề cực trị hình học trong không gian Euclid E3 ” chưa
có nhiều mà giáo viên cũng gặp khó khăn khi tập hợp và tuyển chọn
những bài toán dạng đó. Từ những lí do trên tôi đã chọn đề tài luận văn
" Vấn đề cực trị hình học trong không gian Euclid E3 " với mong muốn
có một tài liệu hệ thống về toán cực trị để làm tài liệu giảng dạy cho học
sinh trong trường THPT.

Luận văn được hình thành nhờ sự giúp đỡ của các thầy cô, anh
chị đồng nghiệp, các thầy cô thuộc tổ toán của Trường Đại Học Thăng
Long - Hà Nội và đặc biệt Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn
Doãn Tuấn đã hướng dẫn tận tình, sát sao và cho những nhận xét quý
báu về nội dung của luận văn.

0.2 Tên đề tài
“ VẤN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN EUCLID E3 ”

0.3 Bố cục luận văn
Luận văn được chia thành 2 chương chính, cụ thể như sau:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương này tập trung đưa ra kiến thức cần sử dụng: như các định
lý trong tam giác về quan hệ góc, cạnh, chu vi, diện tích,các kiến thức
cơ bản trong hình học không gian, các công thức tính thể tích khối trụ,
khối cầu, khối nón và diện tích thiết diện. Các bất đẳng thức Cauchy,
cực trị hàm số, công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,
giao tuyến hai mặt phẳng, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng. . . .Đồng thời đi sâu nghiên cứu một số bất đẳng thức nổi tiếng và
các mở rộng ứng dụng của chúng.
Chương 2: Một số bài toán về cực trị khoảng cách, thiết diện
và thể tích, diện tích của hình chóp, lăng trụ. . . trong không gian.
Chương này đi sâu vào các bài toán cực trị học hình trong không
gian, các bài toán liên quan đến cực trị về khoảng cách, diện tích thiết
diện, thể tích khối chóp, khối cầu. . . đồng thời phát triển một số kết quả
có trong hình học phẳng vào hình học không gian.

Thang Long University Libraty

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC
Định lý 1.1.1 Định lý hàm số Sin: Trong tam giác ABC ta có:
a
b
c
=
=
= 2R
Si nA Si n B Si nC

Định lý 1.1.2 Định lý hàm số Cos: Trong tam giác ABC ta có:
a 2 = b 2 + c 2 − 2b cCos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2a cCos B
c 2 = b 2 + a 2 − 2b a Cos C

Định lý 1.1.3 Các công thức tính diện tích tam giác ABC:
1
1
1
S = a · h a = b · hb = c · h c
2
2
2
1
1
1

= b cSi nA = a cSi n B = a bSi nC
2
2
2
a +b +c
= P · r (Trong đó: P =
: nửa chu vi, r: bán kính đường tròn nội tiếp)
2
abc
=
4R
=

P (P − a ) (P − b ) (P − c ) Công thức Hêrông

1


CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC

Định lý 1.1.4 Công thức đường trung tuyến. Trong tam giác ABC
b2 + c2 a2
−
2
4
2
2
b2
a +c
−

m b2 =
2
4
2
2
c2
b +a
−
m c2 =
2
4
m a2 =

Định lý 1.1.5 Công thức tính diện tích hình thang
S =h·

a +b
: Chiều cao nhân với trung bình cộng của tổng hai cạnh đáy là
2

diện tích của hình thang.

Công thức tính chu vi hình thang: P = a + b + c + d : Bằng tổng độ dài hai đáy và
hai cạnh bên.
Định lý 1.1.6 Định lý Pythagoras:
Thuận: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương
hai cạnh góc vuông: a 2 = b 2 + c 2
Đảo: Trong tam giác, nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh
còn lại thì tam giác đó vuông.
Định lý 1.1.7 Định lý Thales

Thuận: Với tam giác ABC, nếu có đường thẳng d song song với BC và cắt AB, AC
lần lượt tại 2 điểm D,E thì:
AD A E AD A E D B E C
=
,
=
,
=
A B AC D B E C A B
AC

Đảo: Với tam giác ABC, nếu có đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại D, E và
AD A E
DB EC
AD A E
=
hoặc
=
ha y
=
thì D E //BC ha y d //BC
A B AC
DB EC
AB
AC

Hệ quả 1.1.8 Với tam giác ABC, nếu có đường thẳng d song song với BC, cắt AB,
AC lần lượt tại 2 điểm D,E thì

AD A E D E

=
=
A B AC
BC
2

Thang Long University Libraty


CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN

1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN
1.2.1

Bất đẳng thức cơ bản:

Các bất đẳng thức đại số được sử dụng rất rộng rãi trong các bài toán cực trị. Trong
luận văn này xin trình bày hai bất đẳng thức đại số cơ bản nhất đó là bất đẳng thức
Cauchy, bất đẳng thức Cauchy – Schawrs.
Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Cauchy). Với n số thực không âm bất kỳ a 1 , a 2 , ...a n
ta có bất đẳng thức:
a 1 + a 2 + .... + a n
≥
n

n

a 1 a 2 · ....a n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a 1 = a 2 = a 3 = ........ = a n

Bài toán 1.2.2 [I M D1964]
Cho a, b, c là chiều dài các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
a 2 · (b + c − a ) + b 2 (c + a − b ) + c 2 (a + b − c ) ≤ 3a b c

Chứng minh:
Đặt: x = b + c − a , y = c + a − b, z = a + b − c . Khi đó: x , y , z ≥ 0
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

x +y
≥
2

xy ,

y +z
≥
2

y z,

x +z
≥
2

xz

x +y y +z x +z
·
·

≥ xy z.
2
2
2
Từ đó, theo cách đặt trên ta được: a b c ≥ (b + c − a ) · (c + a − b ) · (a + b − c )

Do đó:

Mà

(b + c − a ) · (c + a − b ) · (a + b − c )
= a 2 · (b + c − a ) + b 2 (c + a − b ) + c 2 (a + b − c ) − 2b a c

Từ đó thu được bất đẳng thức cần chứng minh
3


CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN

Bài toán 1.2.3
Cho a, b, c là chiều dài cạnh của

A BC . Chứng minh rằng:

1 1 1
1
1
1
+ + ≤
+

+
a b c a +b −c b +c −a a +c −b

Chứng minh: Áp dụng hệ quả 1.2.3 ta có:
1
2

1
1
+
a +b −c b +c −a

≥

1
2
= (1)
a +b −c +b +c −a b

Chứng minh tương tự ta cũng có:

1
1
1
+
2 b +c −a a +c −b
1
1
1
+

2 a +c −b a +b −c

1
(2)
c
1
≥ (3)
a

≥

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế với vế ta được bất đẳng thức theo yêu
cầu. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Hệ quả 1.2.4 (Bất đẳng thức Cauchy).Với mọi số dương ta đều có:
n

a 1 · a 2 · .....a n ≥

n
1
1
1
+
+ .... +
a1 a2
an

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = a 3 = ..... = a n
Hệ quả 1.2.5 Với mọi bộ số dương a 1 , a 2 , ...a n ta đều có:
1

1
1
1
+
+ .... +
·
n
a1 a2
an

≥

n
a 1 + a 2 + ... + a n

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = a 3 = ..... = a n
Hệ quả 1.2.6 Với mọi số không âm a 1 , a 2 , ...a n , và m=1,2,.... ta đều có:
a 1m + a 2m + .... + a nm
n

a 1 + a 2 + ... + a n
≥
n

m

4

Thang Long University Libraty

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN

Định lý 1.2.7 (Bất đẳng thức Cauchy – Schawrs)
Xét hai bộ số thực tùy a 1 , a 2 , ...a n và b 1 ,b 2 , ...b n khi đó ta có:
(a 1b 1 + a 2b 2 + ... + a n b n )2 ≤ a 12 + a 22 + ..... + a n2

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi:

b 12 + b 22 + ..... + b n2

an
a1 a2 a3
=
=
= ... =
b1 b2 b3
bn

(với quy ước mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

Định lý 1.2.8 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Hàm số: y = f (x )
xác định trên tập D
a) Số M được là giá trị lớn nhất của f (x ) trên tập D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:


 f (x ) ≤ M , ∀x ∈ D
 ∃x ∈ D, f
(x 0 ) = M , ký hiệuM = max f (x ) , x ∈ D
0

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x ) trên D nếu thỏa mãn:


 f (x ) ≥ m , ∀x ∈ D
 ∃x ∈ D, f
(x 0 ) = m , ký hiệu= min f (x ) , x ∈ D
0

c) Tìm GTLN – GTNN của hàm số:

Loại 1: Tìm giá trị lớn nhất – GTNN của hàm số y = f (x ) khi hàm sốy = f (x ) liên
tục[a ,b ], khả vi trên khoảng [a ,b ]
Bước 1: Tìm đạo hàm y’ và tìm nghiệm x i ∈ [a ,b ] của phương trình y’=0 (i = 1, 2, 3, ...)
Bước 2: Tính: f (a ) , f (b ) , f (x i ) ...và so sánh các số này ta sẽ có kết quả

Loại 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x ) khi hàm số y = f (x ) liên tục trên
(a,b) Cho hàm số y = f (x ) liên tục và có duy nhất một cực trị trên khoảng (a,b) nếu
cực trị này là:
*) Cực tiểu (Yc t ) thì: Min y [a ,b ] = y c t
5


MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

*) Cực đại (Yc d ) thì Max y [a ,b ] = Yc d

1.3 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.3.1

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta tìm hai điểm chung thuộc cả
hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó ta tìm được giao tuyến cần tìm.

1.3.2

Tìm thiết diện của hình đa diện (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P) và hình (H)
Xác định thiết diện là tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình đa
diện. Thiết diện thu được là một hình đa giác tạo bởi các giao tuyến đó

1.3.3

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh a ⊥b thường sử dụng những phương pháp sau:

Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Góc nội tiếp, định lý Pytago đảo,...
Sử dụng phương pháp tích vô hướng của hai véc tơ:
−
→

−
→

−
→
Nếu −→

a · b = 0 ⇒ a ⊥b ( a , b ) là hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng a,b

Sử dụng tính chất:





c ⊥b
c //a

⇒ a ⊥b

Một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với
mặt phẳng (P) thì a ⊥b tức là:




a ⊥ (P)
b ⊂ (P)

⇒ a ⊥b
6

Thang Long University Libraty


MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc
với mặt phẳng (P) thì a ⊥b tức là:




a // (P)
b ⊥ (P)

⇒ a ⊥b

Sử dụng định lý 3 đường vuông góc: a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mp (P),
b ⊂ (P). Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b khi và chỉ khi b vuông góc

với a’. Nói ngắn gọn b vuông góc với hình chiếu thì b vuông góc với đường xiên.

1.3.4

Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng các
phương pháp sau:
Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mp(P):
a ⊥b ⊂ (P)
a ⊥c ⊂ (P)

⇒ a ⊥ (P)

b ∩ c ⊂ (P)

Hai mp (Q) và (R) cùng vuông góc với mp(P), có giao tuyến là đường thẳng a thì a
vuông góc với (P):
(Q) ⊥ (P)
(R) ⊥ (P)

⇒ a ⊥ (P)

(Q) ∩ (P) = a

7


MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến b. Một đường thẳng a thuộc
mp (Q) vuông góc với b, thì a vuông góc với mp (P).
(P) ⊥ (Q)
(P) ∩ (Q) = b
a ⊂ (Q)

⇒ a ⊥ (P)

a ⊥b

Đường thẳng b vuông góc với mp (P), đường thẳng a song song với b, suy ra a
vuông góc với (P)
a //b
b ⊥ (P)

⇒ a ⊥ (P)

Đường thẳng a song song với mp (Q), mp (P) song song với (Q) nên a vuông góc
với (P):
a ⊥ (Q)
(Q) // (P)

1.3.5

⇒ a ⊥ (P) .

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên
của hình chóp
Phương pháp:
Xác định giao tuyến d của mặt bên và mặt phẳng chiếu
Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, dựng AH ⊥d (H ∈ d )

Dựng A I ⊥SH (I ∈ SH ). Khoảng cách cần tìm là AI với S là đỉnh, A là hình chiếu

vuông góc của đỉnh lên mặt đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) hãy xác định khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
8

Thang Long University Libraty


MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Lời giải:
Nhận thấy BC là giao tuyến (SBC) và (ABC). Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A,
dựng AH ⊥BC ≡ H Dựng A I ⊥SH ≡ I . Vì:
BC ⊥SA
BC ⊥AH

⇒ BC ⊥ (SAH ) ⇒ (S BC ) ⊥ (SAH )

Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAH) theo giao tuyến SH
ta có A I ⊥SH = I nên: A I ⊥m p (S BC ) ⇒ d A, m p (S BC ) = A I

Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm M bất kỳ đến một mặt phẳng (P)
Phương pháp 1: Nếu tìm trực tiếp hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt
phẳng (P) mà gặp khó khăn thì ta làm theo các bước sau để chuyển điểm M sang
điểm N mà tính d(N, (P)) dễ dàng hơn.
Bước 1: Tìm giao điểm I của đường thẳng MN với mp (P)
Bước 2: Tìm tỷ số:

d (M , (P)) I M
IM
và sử dụng tính chất:
=
IN
d (N , (P)) I N

Chứng minh: Kẻ: M H ⊥ (P) , N K ⊥ (P) , H , K ∈ (P) t h `iM H //N K
⌢

⌢

nên: I M H = I N K

Do đó: Tam giác vuông IMN, INK đồng dạng (g.g)
Nên:

d (M , (P)) I M
MH IM
=
⇒
(đpcm)
=
NK
IN
d (N , (P)) I N

Chú ý:

Hai điềm M, N nằm ở khác phía đối với mp (P) thì tính chất trên vẫn đúng
Nếu MN//(P) thì d(M, (P))= d(N, (P))
Nếu N là trung điểm của IM thì d (M , (P)) = 2d (N , (P))
Nếu I là trung điểm của MN thì: d (M , (P)) = d (N , (P))
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ
thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ
9


THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU

thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ M đến mp (P)
Phương pháp 2: Phải tìm đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà có thể
tính khoảng cách đến mp (P). Kinh nghiệm thường điểm A là hình chiếu của đỉnh.

1.4 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU
1.4.1

Thể tích khối chóp: (Phương pháp xác định chiều cao của khối
chóp)

Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy, thì cạnh đó là chiều cao của khối chóp
Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chiều cao chính là đường kẻ từ
đỉnh vuông góc với giao tuyến.
Khối chóp có hai mặt kề nhau vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến
của hai mặt kề nhau đó.
Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau, hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc
bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.
Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm vòng tròn nội tiếp.
1
3

Công thức tính thể tích khối chóp: V = B · h Với B: là diện tích đáy, h là chiều
cao của khối chóp

1
2

Với hình chóp tam giác (tứ diện) S.ABC thì VS.A BC D = S A BC d (S, (A BC ))

Ta cũng có thể đổi đỉnh S sang đỉnh A hoặc B hoặc C, tức là:
VS.A BC = VA.S BC = VB.SAC = VC .SA B (Tùy theo bài toán ta chọn đỉnh thích hợp)
1
Với hình chóp tứ giác S.ABCD thì: VS.A BC D = S A BC D · d (S, (A BC D))
3

10

Thang Long University Libraty


THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU

1.4.2

Thể tích hình lăng trụ
V = B.h

Trong đó B là diện tích đáy, và h là chiều cao, đó là khoảng cách giữa hai đáy.
Với hình lăng trụ ABC.A’B’C’ thì: V A BC D.A ′ B ′C ′ D ′ = S A BC .d ((A BC ) , (A ′ B ′C ′ ))
Với hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ thì: VA BC A ′ B ′C ′ = S A BC · AA′

Với hình hộp chữ nhật với ba kích thước là a, b, c thì: V = a · b · c
Với hình lập phương cạnh a thì V = a 3

1.4.3

Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu bán kính R:
S mặt cầu = 4 · π · R 2 , Vkhối cầu =

1.4.4

4
· π · R3
3

Tỷ số thể tích của hình chóp tam giác

Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, AB, SC, lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’
khác với S thì:
VS.A ′ B ′C ′ SA ′ S B ′ SC ′
=
·
·
VS.A BC
SA S B SC

Chứng minh:
1
d A ′ , S B ′C ′ · SS B ′C ′ d (A ′ , (S BC )) S ′ ′
VS.A ′ B ′C ′ VA ′ .S B ′C ′
SB C
3
Ta có:
=
=
=
·
1
VS.A BC

VA.S BC
d (A, (S BC )) SS BC
d (A, (S BC )) · SS BC
3
d (A ′ , (S BC )) SA ′
=
Do: S = SA ∩ (S BC ) , A ′ ∈ SAn eˆ n
d (A, (S BC ))
SA
⌢
⌢
⌢
⌢
1 ′
1
′
′
′
′
′
Vì: SS B,C = S B · SC · Si n B SC SS BC = S B · SC · Si n BSC m a` B SC ′ = BSC
2
2
SS B ′C ′ S B ′ · SC ′ S B ′ SC ′
=
=
·
nên
SS BC
S B · SC

S B SC
VS.A ′ B ′C ′ SA ′ S B ′ SC ′
=
·
·
(đpcm)
Vậy:
VS.A BC
SA S B SC
VS.A ′ B ′C ′ S B ′ SC ′ VS.A BC ′ SC ′
=
=
Đặc biệt:
·
,
VS.A BC
S B SC VS.A BC
SC
11


THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU

Hình 1.1:

Chú ý: Không có công thức tương tự về tỷ số của thể tích hình chóp tứ giác, tức là
cho hình chóp SABCD, lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’, D’ trên cạnh SA, SB, SC,
SD thì ta có công thức:
VS.A ′ B ′C ′ D ′ SA ′ S B ′ SC ′ SD ′
=

·
·
·
VS.A BC D
SA S B SC SD

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA=2a, SA⊥ (A BC ).
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích
ABCMN
Lời giải
VS.AM N SM SN
=
·
VS.A BC
S B SC

Tam giác vuông SAB có:
S B 2 = SA 2 + A B 2 = 4a 2 + a 2 = a 5
1
1
1
1
1
5
=
+
=
+
=
AM 2 A B 2 SA 2 a 2 4a 2 4a 2

2a
⇒ AM =
5
12

Thang Long University Libraty


THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU

Hình 1.2:

⇒ SM 2 = SA 2 − AM 2 = 4a 2 −
SM
=
SB

4a 2 16a 2
4a
=
⇒ SM =
5
5
5

4
5·a 5 5
SN 4
=
Và tương tự, ta có:

SC
5
16
VS.AM N SM SN 16
=
·
=
⇒ VS.AM N =
· VS.A BC
Do đó:
VS.A BC
S B SC
25
25
1 a2 · 3
a3
1
· 2a =
Mà: VS.A BC = S A BC · SA = ·
3
3
4
2 3
8a 2
16 a 2
=
Nên: VS.AM N = ·
25 2 3 25 3
8a 3
9a 3

a3
−
=
Vậy: VA.BC N M = VS.A BC − VS.AM N =
2 3 25 3 50 3

Suy ra:

4a

=

13


CHƯƠNG 2
PHÂN LOẠI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Trong chương này chúng tôi muốn phân loại và trình bày một số bài toán cực trị
thuộc các dạng khác nhau, giúp hệ thống tốt hơn cho việc dạy và học chủ đề này.
Giải bài toán cực trị hình học trong không gian chủ yếu dựa vào các phương pháp:
Phương pháp sử dụng thuần túy các định lý về hình học, công cụ tọa độ
Phương pháp thiết lập hệ thức xác định và kết hợp với công cụ đại số
Phương pháp véc tơ

2.1 BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Như đã biết, có thể sử dụng công cụ giải tích để xét sự biến thiên và tìm cực trị của
một số độ dài, khoảng cách, góc trong các bài toán tọa độ trong không gian. Mặc
dù cách giải khá rõ ràng nhưng lại phải tính toán phức tạp. Trong phần này chúng
tôi xét một số bài toán cực trị với bản chất hình học của nó, từ đó giải bài toán cụ

thể bằng công cụ thuần túy hình học.
Bài toán 2.1.1 Cực trị về họ mặt phẳng, họ đường thẳng quay xung quanh một
điểm cố định
Cho 2 điểm phân biệt A, B, tìm vị trí của mặt phẳng (α) chứa B và cách A một
khoảng lớn nhất
Phương pháp giải
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (α), khi đó:
14

Thang Long University Libraty


BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Hình 2.1:

∆ ABH vuông tại H, và d (A; (α))= AH ≤ A B

Vậy khoảng cách lớn nhất khi H ≡ B , khi đó mặt phẳng (α) qua B vuông góc với

AB (Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất)

Ví dụ1: Viết phương trình mặt phẳng qua B (1; 2; -1) cách gốc tọa độ một khoảng
lớn nhất.
Phương pháp giải
−→

Theo bài toán 1: mặt phẳng cần tìm có 1véc-tơ p tuyến O B = (1; 2; −1)

Vậy mặt phẳng cần tìm là: 1 (x + 1) + 2 y − 1 − 1 (z − 1) = 0

Bài toán 2.1.2 Cực trị về họ mặt phẳng quay xung quanh 1 đường thẳng cố định
Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A, Tìm vị trí của mặt phẳng (α) chứa
∆ sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất.

Phương pháp giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (α), K là hình chiếu của A trên ∆
Ta thấy d (A; α) = AH ≤ A K (quan hệ đường xiên và hình chiếu)

Vậy d (A; α) lớn nhất ↔ H ≡ K . Hay vị trí mặt phẳng cần tìm là (α) chứa ∆ và
vuông góc với AK

15


BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Hình 2.2:

Ví dụ2a: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: (m − 1) x + y + m z − 1 = 0 . Tìm m

để khoảng cách từ điểm A (1;1;2) đến mặt phẳng (α) lớn nhất
Phương pháp giải:



x =t


Ta thấy mặt phẳng (α) chứa đt cố định ∆ có phương trình:  y = 1 + t Gọi K là


z = −t

hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng ∆ Thì K (t; 1+t; -t);
−→
A K = (t − 1; t ; −t − 2)

1
−4 1 −5
−→
vậy A K =
;− ;
3
3
3 3
m −1 1 m
= =
=> m=5
mặt phẳng cần tìm vuông góc với AK nên :
4
1
5
−→

→
Vì A K ⊥−
u ∆ nên (t − 1) 1 + t + t + 2 = 0 ⇒ t =

16

Thang Long University Libraty


BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Ví dụ2b Cho 3 điểm A (1;1;1); B (2; 1;0); C (2; 0; 2). Viết phương trình mặt
phẳng (α) đi qua 2 điểm B và C và cách điểm A một khoảng lớn nhất.
Phương pháp giải:
Theo bài toán 2: mặt phẳng cần tìm chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Ta có:
−→
−→ −→
−→
−−−→
BC = (0; −1; 2); A B = (1; 0; −1) ⇒ n (A BC ) = BC ; A B = (1; 2; 1)
−→ −
→
→
Suy ra mặt phẳng (α) có một véc-tơ pháp tuyến là: −
n α = BC ; n (A BC ) = (−5; 2; 1)

Vậy, phương trình mặt phẳng (α) là: −5 (x − 2) + 2 y − 1 + z = 0

Hay: −5x + 2y + z + 8 = 0
Bài toán 2.1.3

Cho đường thẳng ∆1 , ∆2 phân biệt không song song với nhau. Viết phương trình
mặt phẳng (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất.
Phương pháp giải:
Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại K. Gọi A là điểm cố

định trên ∆3 và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) ta có góc giữa ∆2 và (α)
chính là góc AKH.
Kẻ AT ⊥

1 (T
⌢

∈

Nên: c osA K H =

1)

Khi đó tam giác HKT vuông tại T

HK
KT
≥
không đổi
AK
AK

Vậy góc AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK= KT hay H ≡ T góc lớn nhất chính là:
⌢

AK T = (

1;

2)

. Khi đó, mặt phẳng (α) cần tìm chứa ∆1 và vuông góc với mặt

−→
phẳng (∆1 ; ∆2 ) hay nó có một véc-tơ chỉ phương −→
u 1; u 2
→
−→ −→ −→
Do đó VTPT của mặt phẳng (α) là: −
nα = u 1; u 1; u 2
x −1 y
z
x y −1 z
=
= và ∆2 :
= =
1
1
2
1
1 1
Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất

Ví dụ3: cho 2 đường thẳng ∆1 :

Phương pháp giải:
Ta thấy 2 đường thẳng trên là phân biệt và không song song. Vậy theo kết quả của
17