Các phương pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông

B ăGIỄOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------

NGUY NăV NăKHỄIăậ C00447

CỄCăPH

NGăPHỄPăVĨăD NGăTOỄN

CH NăL CăV ăDĩYăS ă ăPH ăTHỌNG

LU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C
CHUYÊN NGÀNH: PH
NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P
MĩăS :ă60ă46ă01 13
NG

IăH

NGăD NăKHOAăH C:ăTSăLểă ỊNHăNAM

Hà N i – N m 2016
1


M CăL C
Trangăph ăbìa...................................................................................................01
M căl c............................................................................................................02
L iăcamăđoan...................................................................................................04

Tómăt tălu năv n..............................................................................................05
M ăđ u............................................................................................................06
Ch

ngă1.ă

IăC

NGăV ăDĩYăS

1.1 DÃY S ....................................................................................................08
1.2ăDẩYăS ăT NG,ăDẩYăS ăGI M............................................................08
1.3ăDẩYăTU NăHOÀN..................................................................................08
1.4 DÃY CON.................................................................................................09
1.5ăM TăS ăDẩYă

CăBI T.......................................................................09

1.5.1 C păs ăc ng............................................................................................09
1.5.2ăC păs ănhơn............................................................................................09
1.5.3 Dãy Fibonacci ........................................................................................10
1.5.4 Dãy Lucas...............................................................................................11
Ch

ngă2.ăCỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS

2.1ăGI IăH NăDẩYăS .................................................................................12
2.2ăM TăS ăD NGăTOÁNăV ăDẩYăS .....................................................13
2.2.1ăXétăs ăh iăt ăc aădƣyăs .........................................................................13
2.2.2ăTìmăgi iăh năc aădƣyăs .........................................................................22

2.3 BÀIăT P....................................................................................................26
2.4 H
Ch

NGăD NăGI I.................................................................................27
ngă 3.ă M Tă S ă PH

NGă PHỄPă XỄCă

NHă S ă H NGă T NGăă

QUỄTăC AăDĩYăS
3.1ăPH

NGăPHÁPăSAIăPHÂNăVÀăPH

NGăTRÌNHăSAIăPHÂN..........31

3.1.1 Sai phân..................................................................................................31
2

Thang Long University Libraty


3.1.2ăPh

ngătrìnhăsaiăphơn.............................................................................33

3.1.3ăBƠiăt p.....................................................................................................37
3.1.4ăH

ngăd năgi i.......................................................................................37

3.2ăPH

NGăPHÁPăHÀMăSINH..................................................................40

3.2.1ăHƠmăsinhăvƠăs h ngăt ngăquátăc aădƣyăs ă............................................40
3.2.2ăBƠiăt p.....................................................................................................46
3.2.3ăH

ngăd năgi i.......................................................................................46

3.3ăPH

NGăPHÁPăL

3.3.1ăN iădungăph

NGăGIÁCăVÀăQUYăN P...................................49

ngăpháp...........................................................................49

3.3.2ăBƠiăt p.....................................................................................................53
3.3.3ăH

ngăd năgi i.......................................................................................54

3.4ăPH

NGăPHÁPăTUY NăTệNHăHÓAăH ăTH CăTRUYăH I..............56

3.4.1ăQuyătrìnhătuy nătínhăhóaăm tăh ăth cătruyăh iăkhơngătuy nătính...........56
3.4.2ăBƠiăt p....................................................................................................62
3.4.3 H
Ch

ngăd năgi i.......................................................................................63

ngă4.ăM TăS ăD NGăTOỄNăKHỄCă

4.1ăCH NGăMINHăM TăDẩYăLÀăDẩYăS ăNGUYÊN.............................65
4.2ăBÀIăTOÁNăLIÊNăQUANă
4.3ăDẩYăS ăCHệNHăPH

NăCHIAăH T.............................................76

NG.....................................................................80

4.4ăCÁCăBÀIăTOÁNăV ăPH NăNGUYÊNă..................................................86
4.5ăDẩYăS ăVÀăS ăNGUYÊNăT ...............................................................89
4.6ăM TăS ăBÀIăTOÁNăV ăDẩYăS ăFIBONACCI...................................92
K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH ...............................................................98
TĨIăLI UăTHAMăKH O............................................................................99

3


L IăCAMă OAN

Tơiăxinăcamăđoanăd

iăs ăgiúpăđ ,ăh

ngăd n,ăch ăb oăt nătìnhăc a TS

Lêă ìnhă Nam,ă lu nă v nă caoă h că chuyênă nghƠnhă ph
v iăđ ătƠiă“Các ph

ng pháp Toán s c p

ng pháp và d ng toán ch n l c v dãy s

ph thơng”ă

là cơng trình nghiên c uăc aăriêngătơiătrongăth iăgianăh căt păvƠ nghiênăc u
t iătr

ngă

iăh căTh ngăLong.

Trongăquáătrìnhănghiênăc uăvƠăth căhi nălu năv n,ătácăgi ăđƣăk ăth aăvƠ
phátăhuyănh ngăk tăqu ăc aăcácănhƠăkhoaăh căv iăs ătrơnătr ngăvƠăbi tă n.

Hà N i, tháng 6 n m 2016
Tácăgi

Nguy năV năKhái

4

Thang Long University Libraty


TịMăT TăLU NăV N
PH Nă1.ăM ăđ u
PH Nă2.ăN iădung
Ph nănƠyăg măb năch
Ch

ngă1.ă

IăC

ng.

NGăV ăDĩYăS

1.1ăDẩYăS
1.2ăDẩYăS ăT NG,ăDẩYăS ăGI M
1.3 DÃY TU NăHOÀN
1.4 DÃY CON
1.5ăM TăS ăDẩYă
Ch

CăBI T

ngă2.ăCỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS

2.1ăGI IăH NăDẩYăS
2.2ăM TăS ăD NGăTOÁNăV ăDẩYăS
Ch

ngă 3.ă M Tă S ă PH

NGă PHỄPă XỄCă

NHă S ă H NGă T NGă

QUỄTăC AăDĩYăS
3.1ăPH

NGăPHÁPăSAIăPHÂNăVÀăPH

3.2ăPH

NGăPHÁPăHÀMăSINH

3.3ăPH

NGăPHÁPăL

3.4ăPH

NGăPHÁPăTUY NăTệNHăHÓAăH ăTH CăTRUYăH I

Ch

NGăTRÌNHăSAIăPHÂN

NGăGIÁCăVÀăQUYăN P

ngă4. M TăS ăD NGăTOỄNăKHỄC

4.1ăCH NGăMINHăM TăDẩYăLÀăDẩYăS ăNGUYÊN
4.2ăBÀIăTOÁNăLIÊNăQUANă
4.3ăDẩYăS ăCHệNHăPH

NăCHIAăH T

NG

4.4 CÁC BÀI TOÁNăV ăPH NăNGUYÊN
4.5ăDẩYăS ăVÀăS ăNGUYÊNăT
4.6ăM TăS ăBÀIăTOÁNăV ăDẩYăS ăFIBONACCIă
PH Nă3. K tălu năvƠăkhuy năngh .
5


M ă

U

Dƣyăs ălƠăm tăph năquanătr ngăc aăđ iăs ăvƠăgi iătíchătốnăh c nóăc ngă
lƠă m tăl nhăv că r tăkhóăvƠă r tăr ng, s ăd ngănhi uăki năth căkhácănhauăc aă
toánăh c. Cácăv năđ ăliênăquanăđ nădƣyăs ăc ngăr tăđaăd ng, cácăbƠiătoánăv ă
dƣyăs ăth

ngălƠăcácăbƠiătốnăhayăvƠăkhó. Vìăth ,ădƣyăs ăth ngăxu tăhi nătrongă

cácăk ăthiăh căsinhăgi i,ăthiăOlympicătốnăđ ăđánhăgiáăkh ăn ngăt ăduyăc aăh căsinh.ă

H nă n aă c ngă cóă nhi uă tƠiă li uă vi tă v ă v nă đ ă nƠy,ă cácă tƠiă li uă nƠyă c ngă
th

ngăvi tăkháăr ngăv ăcácăv năđ ăc aădƣyăs . Tuyănhiênănóăch aăđ

th ngă đ yă đ ă theoă d ngă toánă c ngă nh ă ph
ch

ngă phápă gi iă t

căh ă

ngă ngă trongă

ngătrìnhătốnăph ăthơng.ăVìălíădoătrênătơiăđiăth căhi n đ ătƠiă"Các ph

pháp và d ng toán ch n l c v dãy s

ph thơng" ch ăy uăđ ăb iăd

ng

ngăh că

sinhăgi iăTốnăvƠănh mătìmăhi uăsơuăh năv ăcácăn iădungăliênăquanăđ n dãy
s .
Lu năv năg măb năch

Ch

ng:

ngă1: TrìnhăbƠyăcácăkháiăni măc ăb nănh ăkháiăni mădƣyăs ,ădƣyă

s ăt ng,ădƣyăs ăgi m,ădƣyăs ătu năhoƠn,ădƣyăcon,ăvƠă m tăs ădƣyăs ăđ că bi tă
đ ngăth iăc ngătrìnhăbƠyăm iăliênăh ăc ăb năgi aăcácădƣyăđ căbi t.
Ch

ngă 2: Trìnhă bƠyă cácă v nă đ ă v ă gi iă h nă dƣyă s ă đ ngă th iă c ngă

phơnălo iăm tăs ăd ngătoánăth

ngăg păv ăgi iăh nădƣyăs ănh ăxétăs ăh iăt ă

c aădƣyăs ,ătìmăgi iăh năc aăcácădƣyăchoăb iăd ngăphơnăth c,ăvơăt ,ădùngăđ nhă
líăgi iăh năk păgi a,ădƣyăconăđ ăkh oăsátăs ăh iăt ăc aădƣyăs .
Ch

ngă3: TrìnhăbƠyăm tăs ăph

c aădƣyăs ănh ăph
l

ngăphápăxácăđ nhăs ăh ngăt ngăquátă

ngăphápăsaiăphơn,ăph

ngăgiácăvƠăquyăn p,ăph

ngăphápăhƠmăsinh,ăph

ng pháp

ngăphápătuy n tínhăhóaăh ăth cătruyăh i.
6

Thang Long University Libraty


Ch

ngă4: TrìnhăbƠyăm tăs ăd ngătốnăhayăliênăquanăt iădƣyăs ăngun

nh ă ch ngă minhă m tă dƣyă lƠă dƣyă s ă nguyên,ă bƠiă tốn chiaă h t,ă dƣyă s ă chínhă
ph

ng,ăcácăbƠiătốnăv ăph năngun,ădƣyăs ăvƠăs ănguyênăt ăc ngănh ăm tă

s ăbƠiătoánăv ădƣyăs ăFibonacci.
Tácăgi ăxinăbƠyăt ălịngăbi tă năsơuăs căđ năTS.ăLêă ìnhăNam,ăTr
iăH căBáchăKhoaăHƠăN i là ng

iăđƣăt nătìnhăh

ngă

ngăd n,ăgiúpăđ vƠăt oă

m iăđi uăki năđ ătácăgi ăcóăth ăhoƠnăthƠnhălu năv nănƠy.ă
Tácă gi ă c ngă xină chơnă thƠnhă c mă nă cácă th yă cơă trongă khoaă Tốnă
Tr

ngă

iă H că Th ngă Long,ă phòngă Sauă đ iă h că vƠă Qu nă lýă khoaă h că -

Tr

ngă

iăh căTh ngăLong.ă

ngăth iătơiăxinăg iăl iăc mă năt iăt păth ăl pă

CTM3 khóa 2014 ậ 2016ă c aă Tr

ngă

iă h că Th ngă Longă c ngă nh ă cácă

đ ngănghi păn iătôiăcôngătác đƣăđ ngăviênăgiúpăđ ătơiătrongăqătrìnhăh căt pă
và th căhi nălu năv nănƠy.
M cădùăb năthơnăđƣăcóănhi u c ăg ng songădoăth iăgianăcóăh năvƠătrìnhă
đ ăcịnăh năch ănênălu năv năkhơngătránhăkh iănh ngăthi uăsótănh tăđ nh.ăTác
gi ăr tămongănh năđ
v năđ

cănh ngăýăki năđóngăgópăc aăth yăcơăvƠăb năbèăđ ălu nă

căhoƠnăthi năvƠăphátătri năh n.
Tácăgi ăxinătrơnătr ngăc mă nă!
Hà N i, tháng 6 n m 2016
Tácăgi
Nguy năV năKhái

7


Ch

ngă1.
IăC

NGăV ăDĩYăS

1.1 DĩYăS
nhăngh aă1.1.1ăM tădayăsô lƠăm tăánhăx ăt ăt păcácăs ăt ănhiênă  (ho că *
) vào t pă K ( K lƠăt pă  ho că  ).
u:   K
n  u ( n)  un

Kýăhi u:  un n0 ho căđ năgi nălƠă  un .
nhăngh aă1.1.2 S ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs ă  un  lƠăbi uăth c f  n  c aă
bi năduyănh tă n sao cho un  f (n) , v i m iăs ăt ănhiênă n.
1.2 DĩYăS ăT NG,ăDĩYăS ăGI M
Dƣyăs ă  un  đ

căgoiălaădayăsôăt ngănêuă un  un1 , v iămoi n.

Dƣyăs ă  un  đ

căgoiălaădayăsôăgiamănêuă un  un1 , v iămoiă n .

Dƣyăs ăt ngăhayădƣyăs ăgi măđ

căg iăchungălƠădƣyăđ năđi u.

1.3 DĩYăTU NăHOĨN
1.3.1ăDƣyătu năhoƠnăc ngătính
Dãy  un  đ
nguyênăd

căg iălƠătu năhoƠnăc ngătínhăkhiăvƠăch ăkhiă t năt iăs ă l

ng sao cho ul n  un , v iăm iăs ăt ănhiênă n.

S ă l nh ănh tăđ

căg iălƠăchuăkìăc ăs ăc aădƣyă  un .

căbi t:ă  un  tu năhoƠnăc ngătính,ăchuăkìă l  1 lƠădƣyăh ng.
8

Thang Long University Libraty


1.3.2ăDƣyătu năhoƠnănhơnătính
Dãy  un  đ

căg iălƠătu năhoƠnănhơnătínhăkhiăvƠăch ăkhi t năt iăs ă l

 l  1 nguyênăd

ng sao cho ul .n  un , v iăm iăs ăt ănhiênă n.

S ă l nh ănh tăđ

căg iălƠăchuăkìăc ăs ăc aădƣy.

1.4 DÃY CON

 

Cho  un  ,ăt ăcácăs ăh ngăc aănóăl păm tădƣyăm iă unk v i:

 

n1  n2  ...  nk  ... Taăg iă unk lƠăm tădƣyăconăc aă  un .

1.5 M TăS ăDĩYă

CăBI T

1.5.1ăC păs ăc ng
nhăngh a 1.5.1.1 Dãy đ

căg iălƠăc păs ăc ngăkhiăvƠăch ăkhiăk ăt ăs ăh ngă

th ă2ătr ăđiăm iăs ăh ngăb ngăs ăh ngăđ ngătr

cănóăc ngăv iăs ăkhơngăđ iă d

Tínhăch t 1.5.1.2 Cho  un  lƠăc păs ăc ngăcóăs ăh ngăđ u u1 , cơng sai d, ta có
a) Cơngăth căs ăh ngăt ngăquát:ă un  u1  (n  1)d , n *.
b) un1 

un  un  2
, n  *.
2

c) T ng c a n s h ngăđ u tiên:

Sn  u1  u2  ...  un 

n  u1  un  n  2u1   n  1 d 

.
2
2

1.5.2 C p s nhân
nhăngh aă1.5.2.1 Dãy đ

căg iălƠăc păs ănhơnăkhiăvƠăch ăkhiăk ăt ăs ăh ngă

th ă2ătr ăđiăm iăs ăh ngăb ngăs ăh ngăđ ngătr

q.

9

cănóănhơnăv iăs ăkhơngăđ iă


Tínhăch tă1.5.2.2 Cho dƣyăs ă  un  lƠăc păs ănhơnăcóăs ăh ngăđ uă u1 , cơngăb iă
là q, ta có:
a) Cơngăth căs ăh ngăt ngăqt:ă un  u1.qn1, n *.
b) un21  un .un2 v iăm iă n thu căvƠoă  * .
c) T ng c a n s h ngăđ u tiên:

1  q  , (q  1).
u .
n

Sn  u1  u2  ...  un

1

1 q

d) T ngăc aăc păs ănhơnălùiăvôăh n:

S  u1  u2  ...  un  ... 

u1
, q  1.
1 q

1.5.3 Dãy Fibonacci

nhăngh a 1.5.3.1 Dãy Fibonacci  Fn  là dãy s đ

c cho b i h th c truy

h i sau:
 F0  0, F1  1

*
 Fn1  Fn  Fn1 , n   .

Côngăth căt ngăquátăc aădƣyă  Fn  là:
n
n
1  1  5   1  5  

Fn 
 
  , n   (Côngăth căBinet).
5  2   2  



Tínhăch tă1.5.3.2
a)  Fn , Fn1   1, n .
b) N uăn chiaăh tăchoăm thì Fn chiaăh tăchoă Fm .
c) N uă Fn chiaăh tăchoă Fm thì n chiaăh tăchoăm v iă m 2.
d)  Fn , Fm   Fd v iă d   m, n .
10

Thang Long University Libraty

e) N uă n  5 và Fn lƠăs ănguyênăt ăthìăn lƠăs ănguyênăt .
f) Dãy Fibonacci  Fn  ch aăt păh păvôăh nănh ngăs ăđôiăm tănguyên
t ăcùngănhau.
g) F5 n  5Fn .qn v iă q n khôngăchiaăh tăchoă5.
h) Fn 5k  nk.
i) Fn cóăt năcùngălƠă0ăkhiăvƠăch ăkhiă n15.
k) Fn cóăt năcùngălƠăhaiăch ăs ă0ăkhiăvƠăch ăkhiă n150.
1.5.4 Dãy Lucas
nhăngh a 1.5.4.1 Dãy Lucas  Ln  đ

căxácăđ nhăb iăh ăth cătruyăh iăsau:

 L0  2, L1  1


 Ln1  Ln  Ln1 , n   .

Côngăth căt ngăquátăc aădƣyă  Ln  là:
n

n

1 5  1 5 
Ln  
 
 , n   (Cơngăth căBinet).
2
2


 

Tínhăch tă1.5.4.2 (Tính ch t s h c)
a) Lmn chiaăh tăcho Ln n uăm lƠăs ăl .ă
n

n

1 5  1 5 
b) Ln    (1   )    ( )  
 
 .
2
2

 

n

n

n

n



1 5
 1,6180339887...  .

V i lƠăt ăl ăvƠngă   
2



11


Ch

ng 2.
CỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS

2.1 GI IăH NăC AăDĩYăS
nhăngh a 2.1.1 Taănóiădƣyăs ă  un  cóăgi iăh năh uăh năa n uăv iăm iă   0,
nh ă tùyă ý,ă đ u t nă t iă s ă t ă nhiên N0 saoă choă v iă m iă n  N0 ta đ uă có

un  a   .
Kíăhi u:ă lim un  a .
lim un  a    0, N0   , n  N0 : un  a   .

Tínhăch tă2.1.2 M iădƣyăh iăt đ uăcóăgi iăh năduyănh t.
Tínhăch tă2.1.3 (Phép tốn các dãy h i t ) N uă un  ,  vn  lƠăcácădƣyăh iăt ă
vƠăcóăgi iăh năt

u 
ngă ngălƠă a , b thìăcácădƣyăs un  vn , un  vn , un .vn ,  n 
 vn 

c ngăh iăt ăvƠăcóăgi iăh năt

h pădƣyăs ăth

ngă ngălƠă a  b, a  b, a .b,

ngă

ng,ătaăgi ăs ă vn  0 và b  0) .

nhăngh aă2.1.4 Taănóiădƣyăs ă  un  d năđ năd
th căd

a
. (Trong tr
b

ngăvôăc c n uăv iăm iăs ă

ng M l nătùyăý,ăt năt iăs ăt ănhiênă N0 (ph ăthu căvƠoădƣyăs ă u n và

M ) saoăchoăv iăm iă n  N0 , ta có un  M .
lim un    M  0, N0   : n  N0 ta có un  M .

T

ngăt
lim un    P  0, N0   : n  N0 ta có un  P .

12

Thang Long University Libraty

Dƣyăs ăcóăgi iăh năh uăh năđ

căg iălƠădƣyăh iăt .ăDƣyăs ăkhơngăcóăgi iăh nă

h uăh năho căd năđ năvôăc c (  ho că  )ăg iălƠădƣyăphơnăkì.
Tínhăch tă2.1.5 (Tính ch t c a dãy s có gi i h n vơ c c)
i) N uă lim un   thì lim

1
 0.
un

ii) N uă lim un  , lim vn   thì lim un .vn  .
iii) N uă lim un  , lim vn  L  0 thì lim un .vn  .
N uă lim un  L  0, lim vn  0 và  vn  cóă d uă xácă đ nhă k ă t ă m tă s ă
h ngănƠoăđóătr ăđiăthìă lim

un
 .
vn

iv) N uă lim un  , lim vn  L thì lim un  vn   .
Tínhăch tă2.1.6 M tădƣyăt ngăvƠ b ăch nătrênăhayăm tădƣyăgi mă vƠăb ăch nă
d

iăthìăh iăt .ă

Tínhăch tă2.1.7

i) N uădƣy  un  t ngăvƠăcóăgi iăh nălƠăL thì ta có un  L v iăm iă n.
ii) N uădƣyă  un  gi măvƠăcóăgi iăh nălƠăL thì ta có un  L v iăm i n.
Tínhăch tă2.1.8 N uădƣyă  un  h iăt ăv ă a thìăm iădƣyăconăc aănóăc ngăh iăt ă
v ă a.
H ăqu 2.1.9

 un 

h iăt ăđ nă a đi uăki năc năvƠăđ ălƠăhaiădƣyăcon u2n 

và  u2 n1  cùngăh iăt ăv ă a.
2.2 M TăS ăD NGăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS
2.2.1 Xétăs ăh iăt ăc aădƣyăs
2.2.1.1ăS ăd ngătínhăđ năđi uăvƠăb ăch năđ ăxétăs ăh iăt ăc aădƣyăs
13


u1  1

Víăd ă1 Choădƣyăs ă (un ) : 
3 n  2 
n

u
u


 n1 2  n  1 n 2  n  1 , n   .

a)ăCh ngăminhăr ngădƣyăs ăb ăch nătrên.

b) Ch ngăminhăr ngădƣyăs ăt ng.
Ch ngăminhăTaăd ăđốnădƣyăs ăb ăch nătrênăb iăs ăthíchăh pănh t.ăXu tăphátă
t ăyêuăc uăth ăhai, t ăgi ăthi tătaăcó:

un1  un 

3  un   n  2  0 suy ra u
n 1

n

 3.

a)ăTaăch ngăminhă un  3, n  * b ngăph

ngăphápăquyăn p.

V iă n  1 ta có u1  3 m nhăđ ăđúng.
Gi ăs ăm nhăđ ăđúngăv iă n  k, k  , 1  k  n  1.
Taăđiăch ngăminh: uk 1  3
Th tăv y:
uk 1 

3 k  2 
3 k  2 
k
3k


 3.

uk 
2  k  1
2  k  1 2  k  1 2  k  1

V yă uk 1  3 m nhăđ ăđúng.ăDoăđóă un  3, n  *.
V yădƣyăs ăđƣăchoăb ăch n.
b) Ta có un1  un 

3  un   n  2  0, n  *
n 1

Doăđóădƣyăs ăđƣăchoălƠădƣyăs ăt ng.
n

 1
Víă d ă 2 Ch ngă minhă r ngă dƣy s un  1   , n  * lƠă dƣyă s ă đ nă đi uă
 n

t ngăvƠăb ăch nătrên.
Ch ngăminhăTa có:
14

Thang Long University Libraty


1 

1

un1  n  1 


n
un
 1
1  
 n

n 1


1 
 1 

  n  12 



n 1

.

1  n 1
n 1 
 1 
 1.

n
 n 1 n

Doăđóădƣyă  un  lƠădƣyăs ăt ng.

M tăkhác
n  n  1 ... n  n  1 1
n n  n  1 1
 1
. 2  ... 
. n
1    1  
n
n
n!
n
2!
 n
n

11

1  1
1  1  2   n  1 
1    ...  1  1  ...1 

2!  n 
n!  n  n  
n 

11

1
1
1

1
 ...   1  1   ...  n1
n!
2!
2
2

11

1
1
1
 ...  n1  ...  1 
 3.
1
2
2
1
2

V yădƣyăs ăđƣăchoălƠădƣyăs ăt ngăvƠăb ăch nătrên.

1 
1
 1 
Víă d ă3 Ch ngă minhă dƣyă s : un  1  1  2  ...1  n  , n  * là dãy
 2  2   2 
s ăh iăt .
Ch ngăminh
Ta có

un1
1
 1  n1  1, n  * doăđóădƣyăs ăđƣăchoălƠădƣyăs ăt ng.
un
2

Taăđiăch ngăminhădƣyăs ănƠyăb ăch n

1
1
 1


ln un  ln 1    ln 1  2   ...  ln 1  n 
 2
 2 
 2 

11

1
1
1
1
1 1
 ...  n  1  1   ...  n  ...  .
 1.
2
2

2
2
2 1 1
2
15


Ta có un  e, n  * doăđóădƣyăs ăb ăch n.
V yădƣyăs ăđƣăchoăh iăt .
2.2.1.2 Dùngădƣyăconăđ ăkh oăsátăs ăh iăt ăc aădƣyăs
Khiăkh oăsátăs ăh iăt ăc aădƣyăs ătaăth

ngăs ăd ngăcácăđ nhălýăv ătínhă

đ nă đi uă vƠă b ă ch n.ă Tuyă nhiênă cóă nh ngă dƣyă s ă ph că t p, t ngă gi mă b tă
th

ng,ă trongă tr

ngă h pă nh ă th ă taă th

ngă xơyă d ngă cácă dƣyă s ă ph ă đ nă

đi u,ăch ngăminhăcácădƣyăs ăph ăcóăgi iăh n,ăsauăđóăch ngăminhădƣyăs ăbană
đ uăcóăcùngăgi iăh n,ăcácădƣyăs ăph ăph iăđ

căxơyăd ngăt ădƣyăs ăchính

Ta đã bi t: N u lim u2 n  lim u2 n1  a thì lim un  a .
M t cách t ng quát ta có

Cho s nguyên m 2 n u lim umni  a , i  0,1,2,..., m  1 thì lim un  a .
Víăd ă1 Dƣyăs ă (u n ) đ

căxácăđ nhăb iăcôngăth c:

u0  u1  1

5un2  un  2un1.

Ch ngăminhăr ngădƣyă (u n ) h iăt .
Ch ngăminh Xétădƣyăs ă  a n  đ

căxácăđ nhăb iă a 0  1, a n1 

2a n
.
3

Taăth yă  a n  gi măd năv ă 0.
Taăch ngăt ă max u2n , u2n1  an , n

(*)

Th tăv y,ă(*)ăđúngăv iă n  0 và n  1.
Gi ăs ăă(*)ăđúngăv iă n và do  a n  lƠădƣyăgi mănên
5u2 n 2  u2 n  2u2 n1  3a n  u2 n 2  a n1

và 5u2 n2  u2 n1  2u2 n2  a n  2a n1  3a n  u2 n3  a n1.
16

Thang Long University Libraty


Nh ăv yă(*)ăđúngăv iă n  1 hayă(*)ăđúngă n  0,1,2,3,...
D ăth yă un  0, n vƠăt ă(1)ătheoănguyênălýăk pătaăcóă lim u2 n  lim u2 n1  0
suy ra lim un  0.
Nh năxét: Vi căđ aăvƠoădƣyăph ă  a n  cóătácăd ngăch năc ăhaiădƣyăconă u2n 
và  u2 n1  vƠălƠmăchúngăcùngăh iăt ăv ăm tăđi m.
Víăd ă2 Dãy (u n ) đ

căxácăđ nhăb i:
u0 , u1 , u2   0;1

2
2
3un 2  un  un 2 .

Ch ngăminhăr ngădƣyă (u n ) h iăt .
Ch ngăminh
Ta xétădƣyăs ă  a n  xácăđ nhăb i:
2a n2
a 0  max u0 , u1, u2  , a n1 
.
3

D ăth yădƣyăs ă  a n  gi măd năv ă 0.
Taăch ngăt ă max u3n , u3n1, u3n2  an , v iăm iăs ăt ănhiênă n

(*)

Th tăv y,ă(*)ăđúngăv iă n  0,1,2,...
Gi ăs ă(1)ăđúngăv iă n và do  a n  lƠădƣyăgi mănênătaăcó:

3u3n3  u32n  u32n2  2an2 suy ra u3n3  a n1.
3un4  u32n1  u32n3  an2  an21  2an2 suy ra u3n 4  a n1
3un5  u32n2  u32n4  an2  an21  2an2 suy ra u3n5  a n1.
Nh ăv y,ă(*)ăđúngăv iă n  1, theoănguyênălýăquyăn p,ă(*)ăđ
D ăth yă un  0 T ăđóătheoănguyênălýăk păgi a ta có

lim u3ni  0,  i  0,1,2 doăđóă lim un  0.
17

căch ngăminh.ăă


T ăcácăcáchăch nădƣyăs ăph ănh ătrênătaăcóăcácădƣyăs ăsauăđ uăh iăt ăv ă 0
v iă u0 , u1 , u2 , u3 đ uăthu că  0;1.

3un3  un2  un1un2 , 3un3  un2  unun1
un2  un22
3un3 
 un21, 6un4  un1un2  un2  2unun1 ầ
2
Víăd ă3ă Dãy (u n ) đ

căxácăđ nhăb i:
u0 , u1 , u2  0

un3  un  un 2 .

Ch ngăminhăr ngădƣyă(un)ăh iăt .
Ch ngăminh
Ta xơyăd ngăhaiădƣy (a n) và (bn)ănh ăsau:
a 0  max{u0 , u1 , u2 ,2}

a n1  2a n .

b0  min{u0 , u1 , u2 ,2}

bn1  2bn .

Dãy  a n  lƠădƣyăgi măd năv ă2,ădƣyă  bn  t ngăd năv ă2.
B ngăquyăn păd ăch ngăminhăđ

c

bn1  min{u3n , u3n1 , u3n2 }  max{u3n , u3n1 , u3n2 }  a n , v iăm iă n.

T ăđó,ăd năđ nă lim u3n  lim u3n1  lim u3n2  2 suy ra lim un  2.
Víăd ă4 Cho dãy (u n ) đ
u0, u1, u2 lƠăcácăs ăd

căxácăđ nhănh ăsau:
ngăchoătr

c

un2  un1  u n  un1 v iăm iă n  

Ch ngăminhăr ngădƣyă  un  h iăt ăvƠătìmăgi iăh năc aădƣy.

Ch ngăminh
Ta xơyăd ngăhaiădƣyă  a n  và  bn  nh ăsau:
18

Thang Long University Libraty


a 0  max{u0 , u1 , u2 ,9}

n  0,1,2,...
a n1  3 a n ,
b0  min{u0 , u1 , u2 ,9}

n  0,1,2,...
bn1  3 bn ,

Dãy

 an 

lƠă dƣyă gi mă d nă v ă 9,ă dƣyă  bn  t ngă d nă v ă 9ă suyă ra

lim a n  lim bn  9.
Taăch ngăminhă bn1  min{u3n , u3n1 , u3n2 }  max{u3n , u3n1 , u3n2 }  a n , n

(1)

Th tăv y,ăv iă n  0 thìă(1)ăhi nănhiênăđúng.
Gi ăs ă(1)ăđúngăv iă n  k, khiăđóăv iă n  k  1 ta có
bn  bn1  3 bn  u3k3  u3k2  u3k1  u3k  3 a n  a n1  a n .

bn  bn1  3 bn  u3k4  u3k3  u3k2  u3k1  3 a n  a n1  a n .
bn  bn1  3 bn  u3k5  u3k4  u3k3  u3k2  3 a n  a n1.

V yă(1)ăc ngăđúngăv iă n  k  1.
Theo ngunălýăquyăn păthìă(1)ăđúngăv iăm iăs ăt ănhiênă n.
T ăđóătheoăđ nhălýăk pătaăcó lim u3n  lim u3n1  lim u3n2  lim a n  lim bn  9.
Nên lim un  9.
D

iăđơyălƠăm tăs ăbƠiătốnătìmăgi iăh nădƣyăs ăd ngă un1  f (un ) (dãy

s ăxácăđ nhănh ăv yăg iălƠăchoăd

iăd ngăl p).ă ơyălƠăd ngătốnăth

nh tă trongă cácă bƠiă tốnă v ă tìmă gi iă h nă dƣyă s ,ă dƣyă s ă hoƠnă toƠnă đ

ngăg pă
că xácă

đ nhăkhiăbi tă f vƠăgiáătr ăbanăđ uă u0 . Doăv yăs ăh iăt ăc aădƣyăs ăph ăthu că
vƠoă tínhă ch tă c aă f  u n  và u0 . M tă đ că đi mă quană tr ngă khácă c aă dƣyă s ă
d ngă nƠyă lƠă n uă aă lƠă gi iă h nă c aă dƣyă s ă thìă aă lƠă nghi mă c aă ph

u  f  u .
19

ngă trình

Víăd ă5 Choădƣyăs ă  un  đ

căxácăđ nhănh ăsau:
u

n
 1 
u1  0, un1    , n  *.
 27 

Ch ngăminhăr ngădƣyăs ă  un  cóăgi iăh năvƠătìmăgi iăh năđó.
Ch ngăminh
Nh năxétăr ngă un  0, n *.
x

 1 
XétăhƠmăs ă f  x    ngh chăbi nătrongăkho ng 0;  .
 27 

Khiăđóă un1  f (un ), n  * và f  u   f  0 nên 0  un  1
Ta có u1  0, u2  1, u3 

1
nên u1  u3 và u4  f u3   f u1   u2
27

Bơyăgi ătaăch ngăminhăb ngăph

ngăphápăquyăn p u2 n1  u2 n1 và u2 n 2  u2 n ,

v iă n  *.
Th tăv y,ăgi ăs ăcóă u2 n1  u2 n1 thì f u2n1   f u2n1  nên u2 n  u2 n2 vìăv yă

f u2n   f u2n2  suy ra u2 n1  u2 n3 .
T

ngăt ,ă gi ă s ă có u2 n  u2 n2 thì f u2n   f u2n2  suy ra u2 n1  u2 n3 vì

v yă f  u2n1   f  u2n3  suy ra u2 n 2  u2 n 4 .
V yădƣyă  u2n1  lƠădƣyăt ngăvƠădƣyă u2n  lƠădƣyăgi măvƠăđ uăthu c 0;1 nên
cóăgi iăh năh uăh n:ă lim u2 n  a , lim f u2n1   b.
Và a  lim u2 n2  lim f (u2 n1 )  lim f ( f (u2 n ))  f ( f (a )) .

 1 
Nên a   
 27 
T

 1 
 
 27 

a

suy ra a 

ngăt ătaăc ngătìmăđ

1
3

1
că b  .
3

20

Thang Long University Libraty


V yă a  b 

1
1
nên lim un  .
3
3

Víăd ă6 (VMOă2008)ăChoădƣyăs ăth că  un  xácăđ nhănh ăsau:ă
u1  0, u2  2, un2  2un 

1
v iăm iă n  1,2,3,...
2

Ch ngăminhăr ngădƣyăs ă  un  cóăgi iăh năh uăh n,ătìmăgi iăh năđó.
Ch ngăminh
XétăhƠmăs ă f  x  2 x 

1

xácăđ nhătrênă .
2

V iăm iăn   , ta có un4  f  un2   f  f  un   hay un4  g un  , trongăđó

g lƠăhƠmăs ăxácăđ nhătrênă  và g  x  f  f  x  , x   (1).
D ăth yăhƠmăs ă f gi mătrênă  ,ădoăđóăhƠmăs ă g t ngătrênă . Vìăth ăt ă(1)ă
suyăraăv iăm iă k 1;2;3;4, dãy  u4nk  , n  lƠădƣyăđ năđi u,ăH năn a,ăt ă
cách xácăđ nhădƣyă  un .
Taăth yă 0  un  2, n   * . Doăđóăv iăm iă k 1;2;3;4, dãy  u4nk  là dãy
h iăt .ăV iăm iă k 1;2;3;4, đ tă lim u4 nk  a k ta có 0  a k  2 .ăH năn a,ădoă
hƠmăs ă g liênăt cătrênă  nênăt ă(1)ăsuyăraă g  a k   a k (2).
2
 f  x  x
. ln 2   1  0,
XétăhƠmăs ă h  x  g  x  x trên 0;2. Ta có h '  x  2 

x [0;2] (do f  x  x  0, x [0;2] )ăSuyăra,ăhƠmăs ă h gi mătrênă 0;2. Vì

th ăcóănhi uănh tăm tăđi mă x[0;2] sao cho h  x  0 hay g  x  x. Mà

g 1  1 nênăt ă(2)ătaăđ

că a k  1 v iăm iă k1;2;3;4. T ăđơy,ăvìădƣyă  un 

lƠăh păc aăb nădƣyăconă  u4nk  nên dãy  un  h iăt ăvƠă lim un  1.

21

Víăd ă7ăăCh ngăminhăr ngăv iăm iăs ăngunăd

ngăn choătr

căthìăph

ngă

trình x2 n1  x  1 cóă đúngă m tă nghi mă th c.ă G iă nghi mă đóă lƠă xn . Tính
lim xn .

L iăgi i
N uă x  1 thì x2 n1  x  x  1.





N uă 1  x  0 thì x2 n1  x    x 1  x2 n  1 suy ra x2 n1  x  1.
N uă 0  x  1 thì x2 n1  x  x  1.
V yăn uă x lƠănghi măc aăph

ngătrìnhă x2 n1  x  1 thìătaăph iăcóă x  1.

tă fn  x  x2n1  x  1. Ta có fn'  x   2n  1 x2n  1  0 trên 1,  suy ra
hàm f t ngătrênăn aăkho ngănƠy.
Vì f 1  1  0 và f  2  22n1  3  0 nênăph

ngătrìnhănƠyăcóănghi mă xn

thu că 1,2 . Theoălýălu nătrên,ănghi mănƠyălƠăduyănh t.
Xét fn  x  x2 n3  x  1.
Ta có

fn1 1  1  0 và

fn1  xn   xn2n3  xn2n1  0. T ă đóă taă suyă raă

1  xn1  xn . Dãy  xn  gi mă vƠă b ă ch nă d

iă b iă 1, suy ra dãy  xn  cóă gi iă

h năh uăh nă a , h năn a a  1. Taăch ngăminhă a  1.
Th tăv y,ăgi ăs ă a  1. Khiăđóă xn  a v iăm iă n vƠătaătìmăđ

că n đ ăl năsaoă

cho: xn2n1  a 2n1  3. Trongăkhiăđóătaăcóă xn  1  x1  1  3.
Mơuăthu năvìă fn  xn   0.
2.2.2 Tìmăgi iăh năc aădƣyăs
2.2.2.1 Gi iăh năc aădƣyăs ă un 

P (n)
, v iă P  n  , Q n  lƠăcácăđaăth c
Q(n)

Víăd ă1 Tìmăgi iăh nădƣyăs
22

Thang Long University Libraty

13  2n  1  3n  1
3

2n 3  n 2  7
a) lim 3
.
9n  3n2  n  1

b) lim

 3n  2   2n  3
5

3

5

.

L iăgi iă
a) Chiaăc ăt ăvƠăm uăchoă n 3 ta có:
1 7
 3
2n  n  7
2
n
n
 lim

 .
lim 3
2
3 1
1
9n  3n  n  1
9  2  3 9
n n
n
3

2

2

b) Chiaăc ăt ăvƠăm uăchoă n 8 ta có
3

5

1 
1

13  2    3  
3
5
3 5
13  2n  1  3n  1
n 
n  13.2 .3


lim
lim


 13.
5
3
5
3
5 3
3
.2
2 
3
 3n  2   2n  3

3   2  
n 
n


2.2.2.2 Gi iă h nă c aă dƣyă s

un 

P (n)
, v i P  n  , Q n  lƠă cácă bi uă th că
Q(n)

ch aăc năth c
Víăd ă2 Tìmăgi iăh nădƣyăs
a) lim



3



n3  3n 2  n 2  2n .

b) lim n





n 2  2n  2 n 2  n  n .

L iăgi iă
a) lim



3



n3  3n 2  n 2  2n  lim



3

3n 2

 lim
3

n

3

 3n 2   n 3  n3  3n 2   n 2
2

3

 lim

2

3

 3
 3
1    3 1    1
 n
 n

 lim





n3  3n 2  n  lim n  n 2  2n

 lim

2n
n  n 2  2n

2
2
1 1
n

23

 1  1  2.






n 2  2n  2 n 2  n  n

2n 2



b) lim n

 lim
 lim

 lim





n 2  2n  n  1

n 2  2n  n  2 n 2  n



2n 2
n 2  2n  n  2 n 2  n





n 2  2n  n  1

2

2
1 
2
1
 1   1  2 1   1   1  
n
n 
n
n


Víăd ă3 Tìmăgi iăh nă lim



1
.
4

1 
1
1
1




...


.
n  1 3
3 5
2n  1  2n  1 

L iăgi iă
Ta có

1
2n  1  2n  1
2n  1
2n  1



2
2
2n  1  2n  1  2n  1   2n  1

Suy ra un 

1 
1
1
1


 ... 



3 5
2n  1  2n  1 
n  1 3



 2n  1
1  3 1   5
3
2n  1  




...



 



2 
2  
n  2 2   2
 2



1
2n  1  1
.
.
2
n

Doăđó lim un  lim

1
2n  1  1
2

.
.
2
2
n

2.2.2.3 Dùngăđ nhălíăgi iăh năk păgi a

vn  un  wn , n  
Nh năxét: Choăbaădƣyăs ă  un  ,  vn  ,  wn  th aămƣn : 
lim vn  lim wn  A.
24

Thang Long University Libraty


Thì lim un  A.

Víăd ă4 Ch ngăminhăr ngăn uă q  1 thì lim qn  0.
Ch ngăminhă

1
 1, ta có:
q

tă a 

a n  1   a  1  Cn0  Cn1  a  1  Cn1  a  1  ...Cnn  a  1  1  n  a  1  0.
1
1
1

.
Suy ra 0  n 
a 1  n  a  1 n  a  1
n

n

2

Mà lim0  0 và lim

1
1
n
 0 nên lim n  0 hay lim q  0.
a

n  a  1

Doăđóă lim qn  0.
Víăd ă5 Tìm lim n n.
L iăgi i
n  1 


suy ra



n

n



n

n 1   1 n


n 1 



n



n 1 

n(n  1)
2



n



2

n  1  ... 

n(n  1)
2



n



n 1

2

2

2
, mà lim
= 0 nên lim n n  1.
n 1
n 1

Ví d 6 Ch ng minh lim n a  1 (v i a  0 ).
Ch ng minh
N u a  1, ta có: 1  n a  n n , n  a mà lim n n  1 theoă đ nhă líă v ă dƣyă b ă
k păthìă lim n a  1.
N uă 0  a  1, đ tă b 

1
1
 1. Khiăđóă lim n b  1 nên lim n a  lim n  1.
a
b

25