Hàm lồi véc tơ và ứng dụng (LV01815)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN VĂN TUYỀN

HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN VĂN TUYỀN

HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

HÀ NỘI, 2015


i

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận
một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn
học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015
Tác giả

Phan Văn Tuyền


ii

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng
và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015

Tác giả

Phan Văn Tuyền


iii

DANH MỤC KÍ HIỆU
x∈M

Phần tử x thuộc tập M

y∈
/M

Phần tử y không thuộc tập M

∅

Tập rỗng

M ⊂N

M là một tập con của N

M ∪N

Hợp của hai tập hợp M và N

M ∩N

Giao của hai tập M và N

M ×N

Tích Đề-các của hai tập M và N

∀x

Với mọi x

∃x

Tồn tại x

supx∈K f (x)

supremum của tập {f (x)|x ∈ K}

inf x∈K f (x)

infimum của tập {f (x)|x ∈ K}

co D

Bao lồi của tập D

coD

Bao lồi đóng của tập D

int D

Phần trong của tập D

x

Chuẩn của X trong không gian định chuẩn X

Rn

Không gian Euclide n chiều

clD, D

Bao đóng của tập D

L(Rn , Rm )

Không gian các ma trận cấp n × m

x, y

Tích vô hướng của x, y trong không gian Hilbert

coneA

Nón sinh bởi A

K∗

Nón cực của nón K

dom(f )

Miền xác định của f

epi(f )

Trên đồ thị của f


iv

Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

DANH MỤC KÍ HIỆU

iii

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Hàm lồi vô hướng và ứng dụng

3

1.1

Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất . . . . . . . .

3

1.1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Tính liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Phép biến đổi Young-Fenchel . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Tính chất của hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . .

10

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5

2 Hàm lồi vectơ và ứng dụng

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17


v

2.2

Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . .

19

2.3

Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4

Các đặc trưng của hàm lồi vectơ . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5

Ánh xạ lùi xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.6

Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57


1

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hàm lồi vectơ đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc
biệt trong tối ưu. Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú
trọng rất nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của các lớp hàm vectơ và ứng dụng
vào tối ưu vectơ, đặc trưng của tính lồi được biểu diễn thông qua phép vô
hướng hóa và thông qua bậc một của hàm suy rộng. Một trong những tính
chất hữu ích của hàm lồi vectơ là tính liên tục Lipschitz cục bộ trên phần
trong tương ứng của miền xác định của nó. Tuy nhiên chúng ta cũng quan

tâm đến điều kiện để tính liên tục vẫn đúng tại những điểm biên. Trong tối
ưu, để có điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, chúng ta cần hoặc một điều kiện
bậc hai hoặc một giả thuyết lồi. Bên cạnh đó còn một phương pháp nghiên
cứu điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu dựa trên ánh xạ lùi xa. Khó khăn trong
mở rộng và nghiên cứu ánh xạ lùi xa trong trường hợp vectơ là cấu trúc đa
trị của ánh xạ này.
Việc nghiên cứu các tính chất của hàm lồi véctơ được nhiều tác giả
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và ứng dụng như: GS.TSKH.
Đinh Thế Lục; GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn; PGS.TS. Phan Nhật Tĩnh;
GS. TSKH. Do Sang Kim.
Lý thuyết đối ngẫu của bài toán quy hoạch lồi véctơ cũng được xây
dựng cho nhiều kết quả trong môn giải tích lồi cổ điển cũng được mở rộng
cho trường hợp véctơ và ứng dụng của nó trong các bài toán thực tế với lý
do đó tôi chọn đề tài
Hàm lồi vectơ và ứng dụng.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày những kiến thức cơ bản trong giải tích lồi đặc biệt là các tính
chất:
- Tính liên tục của hàm lồi vectơ.
- Tính Lipschitz địa phương của hàm lồi vectơ.
- Bài toán quy hoạch lồi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm, đọc các tài liệu liên quan đến hàm lồi và đưa ra một số ứng dụng
của nó trong bài toán quy hoạch lồi.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất của hàm lồi vectơ và một số ứng dụng vào

tối ưu vectơ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kết quả trong giải tích lồi
vô hướng và tìm cách mở rộng các kết quả này cho trường hợp véctơ.
6. Đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về quy hoạch lồi vô hướng và mở rộng một số kết quả từ vô
hướng sang vectơ và tìm ra ứng dụng.


3

Chương 1
Hàm lồi vô hướng và ứng dụng
Trong những năm gần đây giải tích lồi là một trong những môn học phát
triển và ứng dụng mạnh mẽ trong các bài toán vào thực tế như toán tối ưu,
toán vận trù học, toán kinh tế và trong các ngành kỹ thuật. Mục đích của
chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, hàm lồi, các tính
chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả dưới vi phân của hàm lồi và
ứng dụng trong lý thuyết tối ưu. Chương này được viết dựa trên tài liệu [1].

1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất
1.1.1 Tập lồi
Cho X là không gian tô pô tuyến tính thực, X ∗ = f : X → R tuyến tính
liên tục là không gian đối ngẫu của X, R là tập số thực, ký hiệu
R = R ∪ {±∞}.
Ta nhắc lại, tập lồi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ X là tập lồi nếu ∀a, b ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1] ta
có
λa + (1 − λ)b ∈ A.

4

Tập A ⊂ X với mọi ∀a, b ∈ A đoạn thẳng nối a và b được xác định bởi
[a, b] = {x ∈ A : x = λa + (1 − λ)b; 0 ≤ λ ≤ 1} .
Ví dụ. Các đa giác lồi, đa diện lồi quen thuộc trong hình học sơ cấp 2
hoặc 3 chiều đề là các tập hợp lồi. Tiếp theo là các khái niệm khác liên
quan tới tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Cho A ⊂ X. Khi đó
i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của A
n

coA =

x∈X: x=

αi xi, xi ∈ A,

i = 1, 2, · · · , n ;

i=1

ii) Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng
của A, ký hiệu là coA.
Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:
1) A là tập lồi khi và chỉ khi A = coA;
2) coA là tập lồi nhỏ nhất chứa A;
3) coA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;
4) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = coA.
Mệnh đề 1.1. Giả sử A ⊂ X là một tập lồi, khi đó

i) Phần trong intA và bao đóng A là các tập lồi;
ii) Với x1 ∈ intA, x2 ∈ A thì [x1, x2) ⊂ intA;
iii) Nếu intA = ∅ thì A = intA, intA = intA.


5

Khái niệm tách các tập lồi đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tối
ưu.
Định nghĩa 1.3. Cho các tập A, B ⊂ X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên
tục f = 0 tách A và B nếu tồn tại một số α sao cho
f, y ≤ α ≤ f, x , với mọi x ∈ A, với mọi y ∈ B.

(1.1)

Trong đó, f, x = f (x) là tích vô hướng giữa X và X ∗ .
Nếu các bất đẳng thức ở (1.1) là thực sự, tức là
f, y < α < f, x

với mọi x ∈ A, y ∈ B

thì ta nói f tách chặt A và B.
Siêu phẳng H = {x ∈ X : f, x = α} gọi là siêu phẳng tách A và B.
Các tập A và B được gọi là tách được.
Nhận xét 1.1.

i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với
f, y ≤ f, x , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

ii) Phiếm hàm f = 0 tách chặt A và B, nếu tồn tại số ε > 0 sao cho

f, y ≤ f, x − ε, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.
Định lý 1.1. ([1], Định lí 1.2.2) Cho A và B là các tập lồi trong X,
A ∩ B = ∅ hoặc intA = ∅ hoặc intB = ∅. Khi đó tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f = 0, f ∈ X tách A và B.


6

Hệ quả 1.1. Cho A và B là các tập lồi trong X, intA = 0 khi đó A, B
tách được nếu và chỉ nếu (intA) ∩ B = ∅.
Định lý 1.2. ([1], Định lí 1.2.3) Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian
lồi địa phương X và x0 ∈
/ A. Khi đó tồn tại f ∈ X ∗ , f = 0 tách chặt A và
x0 .
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A ⊂ X ta có
i) coA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A;
ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng nếu và chỉ nếu A đóng theo tô pô yếu.
1.1.2 Hàm lồi
Cho A ⊂ X là tập lồi f : A → R.
Định nghĩa 1.4. Hàm f được gọi là hàm lồi nếu với mọi x, y ∈ A; ∀λ ∈
[0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
Nếu (1.2) xảy ra thực sự ∀x = y thì f thực sự là lồi trên A
Định nghĩa 1.5.

i) Trên đồ thị của hàm f được ký hiệu

epif = {(x, α) ∈ A × R sao cho x ∈ A : f (x) ≤ α} ;
ii) Miền hữu hiệu của hàm f ký hiệu là domf
domf = {x ∈ A : f (x) < +∞} ;

(1.2)


7

iii) Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu
domf = ∅ và f (x) > −∞ với ∀x ∈ X;
iv) Tập mức tại α ∈ R của hàm f là tập
lev(f, α) = {x ∈ A : f (x) ≤ α} ;
v) Hàm f được gọi là lõm trên A nếu −f là hàm lồi trên A.

1.2 Tính liên tục
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa về hàm số liên tục. Hàm số f : D → R
được gọi là liên tục nếu xn → x, thì f (xn) → f (x).
Định nghĩa 1.6.

i) Bao đóng của hàm f là một hàm ký hiệu là clf
epi(clf ) = cl(epif );

ii) Bao lồi đóng của hàm f là một hàm ký hiệu là cof
epi(cof ) = coepif ;
iii) Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong X × R.
iv) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu
f (x) ≤ lim inf f (y);
y→x


8

v) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu
f (x) ≥ lim sup f (y);
y→x

vi) Hàm f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu f là nửa liên tục trên và nửa
liên tục dưới tại x. Hàm f được gọi là hàm liên tục nếu nó đồng thời
vừa liên tục trên vừa liên tục dưới;
vii) Hàm f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.2. ([1]) Hàm f là đóng nếu và chỉ nếu
lev(f, α) = {x : f (x) ≤ α} ,
là tập đóng với α ∈ R.
Mệnh đề 1.3. ([1]) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới
Định lý sau cho ta các điều kiện để hàm lồi liên tục.
Định lý 1.3. ([1], Định lý 1.3.5) Cho f là hàm lồi chính thường trên X.
Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) f bị chặn bên trong một lân cận của x0 ∈ X;
ii) f liên tục tại x0 ;
iii) int(epif ) = ∅;
iv) int(dom f ) = ∅ và f liên tục trên int(dom f ) đồng thời
int(epif ) = {(x, α) ∈ X × X : x ∈ int(domf ), f (x) < α} .


9

1.3 Tính liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.7. Giả sử X là không gian định chuẩn với chuẩn được ký
hiệu là · . Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 ∈ X
nếu tồn tại lân cận U của x0 và k > 0 sao cho
∀x, x′ ∈ U : |f (x) − f (x′)| ≤ k x − x′ .

(1.3)

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D ⊂ X nếu f Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ D.
Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập D ⊂ X nếu
(1.3) đúng với mọi x ∈ D.
Định lý 1.4. ([1]) Giả sử X là không gian định chuẩn, f là hàm lồi trên
tập lồi mở D ⊂ X, f bị chặn trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc
D. Khi đó f Lipschitz địa phương trên D.
Hệ quả 1.3. Giả sử f : D → R là hàm lồi liên tục tại x0 thuộc tập lồi mở
D khi đó f Lipschitz địa phương trên D.

1.4 Hàm liên hợp
1.4.1 Phép biến đổi Young-Fenchel
Giả sử X là không gian lồi địa phương, X ∗ là không gian liên hợp của X,
f là hàm xác định trên X. Ta có thể cho tương ứng hàm với một hàm lồi
như sau.
Định nghĩa 1.8. Phép biến đổi Young-Fenchel của hàm f hay hàm liên


10

hợp với f được xác định trên X như sau
f ∗ (x∗) = sup { x∗, x − f (x)} ,

∀x∗ ∈ X ∗ .

(1.4)

x∈X

Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa 1.8 ta có
f (x) + f ∗(x∗) ≥ x∗, x ,

∀x ∈ X, ∀x∗ ∈ X ∗ .

(1.5)

Bất đẳng thức (1.5) gọi là bất đẳng thức Young - Fenchel.
1.4.2 Tính chất của hàm liên hợp
Từ định nghĩa 1.8 suy ra
f ∗∗(x) = (f ∗)∗(x) = sup { x∗, x − f ∗(x∗)} .
x∗

Mệnh đề 1.4. Với hàm bất kỳ ta có f ∗∗ ≤ f .
Định lý 1.5. ([1]) Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên X khi đó f ∗
là hàm lồi chính thường.
Định lý 1.6. ([1]) Giả sử X, Y là các không gian lồi địa phương, A : X →
Y là phép đồng phôi tuyến tính, g là hàm xác định trên Y .
Đặt
f (x) = λg(Ax + y0) + x∗0, x + γ0 .
Trong đó y0 ∈ Y, x∗0 ∈ X ∗ , γ0 ∈ R, λ > 0. Khi đó,
f ∗(x∗) = λg(λ−1 A−1 (x∗ − x∗0)) − x∗ − x∗0, A−1y0 > −γ0.
∗

Hệ quả 1.4.

i) f (x) = g(x + x0 ) ⇒ f ∗(x∗) = g ∗ (x∗) − x∗, x0 ;


11

ii) f (x) = g(x) + x∗0, x ⇒ f ∗(x∗) = g ∗ (x∗ − x∗0);
iii) f (x) = λg(x), λ > 0 ⇒ f ∗(x∗) = λg ∗ (λ−1x∗ );
iv) f (x) = λg(λ−1 x), λ > 0 ⇒ f ∗(x∗) = λg ∗ (x∗);
v) f (x) = g(λx), λ > 0 ⇒ f ∗(x∗) = g ∗ (λ−1x∗).
Định lý 1.7. ([1], Định lý 1.4.3, Fenchel - Moreau) Giả sử X là không gian
lồi địa phương Hausdorff, f : X → (−∞, +∞]. Khi đó f = f ∗∗ khi và
chỉ khi f lồi đóng.
Dưới đây ta liệt kê một số tính chất quan trọng của hàm liên hợp.
1. Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên X. Khi đó
f (x) = sup {h(x) : h − affine liên tục, h ≤ f } .
2. Giả sử cof là hàm chính thường. Khi đó
f ∗∗ = cof.
3. Giả sử cof là hàm chính thường. Khi đó
f ∗ = (cof )∗.

1.5 Dưới vi phân
Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan trọng bậc nhất trong các bài toán
tối ưu. Lớp hàm lồi có tính khả dưới vi phân rất đẹp mà các lớp hàm khác
không có. Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm f xác
định trên D ⊂ X; f : D → R, |f (x)| < +∞.


12

Ta biết rằng trong trường hợp f khả vi tại x0 ∈ domf , khi đó tại lân cận
của x0, f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó. Đối với hàm
lồi, nói chung là không liên tục và không khả vi.
Định nghĩa 1.9. Đạo hàm của hàm f theo phương d tại x0 ∈ X ký hiệu là
f ′(x0, d) được xác định như sau

f (x0 + λd) − f (x0)
λ→0
λ

f ′(x0, d) = lim

nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞).
Định nghĩa 1.10. Cho D là một tập lồi không rỗng của X và x0 ∈ D.
Hướng d được gọi là hướng chấp nhận được của D tại x0 nếu tồn tại một
số λ > 0 sao cho x0 + λd ∈ D.
Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại x0 được ký hiệu là
T (D, x0).
Nhận xét 1.3. Nếu f là hàm lồi chính thường trên X thì
i) f ′(x0, ·) là hàm thuần nhất dương trên X tức là với mọi λ > 0 thì
f ′ (x0, λd) = λf ′ (x0, d).
ii) Với mọi x ∈ domf thì f ′(x0, ·) là dưới tuyến tính.
Mệnh đề 1.5. ([1], Mệnh đề 1.5.1) Cho hàm f : X → R là hàm lồi chính
thường trên X khi có đạo hàm theo phương tại mọi điểm x0 ∈ domf đồng
thời
f (x0 + λd) − f (x0)
.
λ>0
λ

f ′(x0, d) = inf


13

Định nghĩa 1.11. i) Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈

K, ∀λ > 0, λx ∈ K.
ii) Tập K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0.
iii) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi và
∀x, y ∈ K, ∀α, β > 0 : αx + βy ∈ K.
iv) Nếu K là lồi đóng thì nó được gọi là nón lồi đóng.
v) Giao của tất cả các nón lồi có đỉnh tại 0 chứa tập A và điểm 0 là một
nón lồi và gọi là nón lồi sinh bởi A ký hiệu KA .
Mệnh đề 1.6. ([1]) Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên X. Khi đó
i) Nếu f liên tục tại mọi điểm của U ⊂ X thì f liên tục tại mọi điểm
của nón KU sinh bởi điểm U có thể trừ điểm 0,
ii) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0 thì f liên tục trên X.
Định lý 1.8. Cho f : X → R là hàm lồi chính thường trên X liên tục tại
các điểm của tập U ⊂ X. Khi đó
i) Nếu tại d′ ∈ X thỏa mãn x + d′ ∈ U mà f (x, d′) hữu hạn thì hàm
f (x, ·) liên tục tại mọi điểm của nón KU −x sinh bởi tập U − x (có thể
trừ điểm 0);
ii) Nếu f liên tục tại x thì f (x, ·) hữu hạn và liên tục trên X.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.6 ta chỉ cần chứng minh rằng f (x, ·) liên
tục tại mọi điểm của tập U − x.
Trước hết ta chỉ ra rằng f (x, ·) là hàm chính thường. Do |f (x, d)| < +∞


14

nên x ∈ domf . Từ Mệnh đề 1.5 ta nhận được
f ′(x, d) ≤ f (x + d) − f (x),

∀d ∈ X.

Nếu ∃d1 ∈ X : f ′ (x, d1) = −∞, theo Định lý 1.4: x + d′ ∈ int(domf ).

Do đó với ε > 0 đủ nhỏ
x + (d′ + ε(d′ − d1)) = x + d2 ∈ domf
. Vì x + λd′ =

1
(x
1+ε

+ λd2 ) +

ε
(x
1+ε

+ λd1 ).

Cho nên
f (x + λd′ ) ≤

ε
1
f (x + λd2 ) +
(x + λd1 );
1+ε
1+ε

⇒ f ′(x, d′) ≤

1
ε

f ′(x, d2) +
f ′ (x, d1).
1+ε
1+ε

(1.6)

Do x + d2 ∈ domf nên f ′ (x, d2) < +∞. Vì vậy từ (1.6) ta suy ra
f ′(x, d′) = −∞. Điều này mâu thuẫn với điều kiện |f (x, d′)| < +∞.
Do đó f ′ (x, ·) là hàm chính thường.
Nếu d1 ∈ U − x thì f bị chặn trên với hằng số C trong một lân cận đủ nhỏ
V của x + d1 . Khi đó
f ′(x, d) ≤ f (x + d) − f (x) ≤ C − f (x),
⇒ f ′(x, ·)
⇒ f ′(x, ·)

∀d ∈ V − x;

hữu hạn và bị chặn trên tập V − x;
liên tục tại d1 (theo Định lí 1.4).

Khẳng định i) được chứng minh.
ii) Do tính lồi nên nếu f liên tục tại 0 thì f liên tục trong một lân cận của


15

0. Áp dụng Mệnh đề 1.6 ta nhận được khẳng định ii).
Mệnh đề 1.7. Tại mỗi x ∈ D ta có: T (D, x) là một nón lồi.
Mệnh đề 1.8. ([1]) Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗng

D ⊆ X vào R và x ∈ D, d ∈ T (D, x) khi đó
i) f có đạo hàm theo hướng d khi và chỉ khi tập
f (x + λd) − f (x)
, λ > 0, x + λd ∈ D
λ
bị chặn dưới và
f ′ (x, d) = inf

f (x + λd) − f (x)
, λ > 0, x + λd ∈ D ;
λ

ii) f ′(x, ·) là hàm thuần nhất dương, lồi khi domf ′ (x, ·) lồi.
Hệ quả 1.5. f (x, ·) là hàm thuần nhất dương lớn nhất xác định trên domf ′(x, ·)
có tính chất
f (x + λd) − f (x) ≥ f ′ (x, λd),

∀d ∈ domf ′ (x, ·); λ > 0, x + λd ∈ D.

Định nghĩa 1.12. Cho hàm f : X → R là hàm lồi trên X. Dưới vi phân f
tại x0 ∈ X, ký hiệu ∂f (x0) và được định nghĩa như sau
∂f (x0) = {ξ ∈ X ∗ : f (x) − f (x0) ≥ ξ, x − x0 ,

∀x ∈ X} .

Nếu tập ∂f (x0) = ∅ ta nói rằng f khả vi dưới vi phân tại x0.
Mệnh đề 1.9. ([1], Mệnh đề 1.5.4) Cho hàm f lồi chính chính thường trên
X và x ∈ domf . Khi đó các khẳng định sau là tương đương

16

i) x∗ ∈ ∂f (x0);
ii) f (x0) + f ∗(x∗) = x∗, x0 ;
iii) f ′(x0, d) ≥ x∗ , d ,

∀d ∈ X.

Định lý 1.9. ([1], Định lý 1.5.7)
i) Cho f1, f2 là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó
∂f1(x) + ∂f29x) ⊆ ∂f (f1 + f2)(x),

∀x ∈ X.

ii) Nếu tại x0 ∈ domf1 ∩ domf2 một trong hai hàm là liên tục thì
∂f1(x) + ∂f2(x) = ∂f (f1 + f2 )(x),

∀x ∈ X.


17

Chương 2
Hàm lồi vectơ và ứng dụng
Hàm lồi vectơ có thể định nghĩa trong không gian tô pô tuyến tính lồi
địa phương. Để cho dễ hình dung, trong chương này ta chỉ trình bày các
khái niệm và kết quả trong trường hợp hữu hạn chiều. Bằng cách đưa ra
định nghĩa của khái niệm toán tử C-xác định cho các toán tử từ Rn vào Rm
trong đó, C ⊂ Rm là một nón lồi. Đặc trưng bậc nhất qua tính đơn điệu,
qua đạo hàm theo hướng. Tổng quát các khái niệm của ma trận nửa xác

định dương cho ta đặc trưng cấp hai của tính lồi của các hàm lồi véc tơ.
Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là đủ cho một hàm vectơ lồi
liên tục tương đối trên miền định nghĩa. Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi
xa của các hàm lồi véc tơ được đưa ra bằng nghiên cứu các tính chất đó và
áp dụng vào chứng minh điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu có
ràng buộc và không có ràng buộc.

2.1 Giới thiệu
Hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt trong
tối ưu. Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú trọng rất


18

nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của lớp hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu
vectơ ( [9]). Trong ([3], [4]), các đặc trưng của tính lồi được trình bày dưới
dạng của đạo hàm tổng quát bậc nhất. Nhưng gần như là không có kết quả
nào về đặc trưng bậc hai. Một trong những tính chất hữu ích của các hàm
lồi vectơ là tính liên tục Lipschitz địa phương trên phần trong tương đối
của miền xác định đó ([4]). Tuy nhiên ta cũng quan tâm đến các điều kiện
theo đó tính liên tục vẫn còn đúng tại những điểm biên. Trong tối ưu, để
có điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, chúng ta cần hoặc một điều kiện bậc
hai hoặc một giả thuyết lồi. Bên cạnh đó còn một phương pháp nghiên cứu
điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu dựa trên ánh xạ lùi xa ([5]).
Cái khó trong việc mở rộng và nghiên cứu ánh xạ lùi xa trong trường hợp
ánh xạ đa trị.
Mục đích của chương này là trình bày các vấn đề liên quan đến hàm lồi
vectơ. Bằng cách giới thiệu các định nghĩa của khái niệm toán tử C-xác
định cho các toán tử từ Rn tới Rm , L(Rn , Rm) kí hiệu không gian ánh xạ
tuyến tính liên tục từ Rn tới Rm và C ⊂ Rm là một nón lồi. Tổng quát khái

niệm của ma trận nửa xác định dương, ta chỉ ra đặc trưng cấp hai cho tính
lồi của hàm vectơ khả vi liên tục hai lần. Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng
tính đóng là điều kiện đủ để hàm lồi vectơ liên tục. Cuối cùng, định nghĩa
ánh xạ lùi xa của các hàm lồi vectơ được đề xuất và nghiên cứu tính chất
của ánh xạ này ta tìm ra các điều kiện tồn với các phương án tối ưu của các
bài toán vectơ có ràng buộc. Một số ví dụ cũng được đưa ra để minh họa
các kết quả.
Các khái niệm và kết quả được viết dựa trên cơ sở của bài báo [9] của
tác giả Phan Nhật Tĩnh và Do Sang Kim.