Luận văn thạc sĩ toán học một số phương pháp spline để xấp xỉ và nội suy

B ộ• GIÁO DỤC
• VÀ ĐÀO TẠO
•
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC
s ư PHẠM
HÀ NỘI
2
•
•
•
•

NGUYỄN ĐỨC DUYỆT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SPLINE
ĐẺ XẮP XỈ VÀ NỘI SUY
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN
VĂN THẠC
SĨ TOÁN HỌC
•
•
•

Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2
dưới sự giúp đỡ nhiệt tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã
hướng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và
nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tôi vượt qua những
khó khăn trong chuyên môn cũng như trong cuộc sống.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối
với thày. Kính chúc thày và gia đình luôn mạnh khỏe.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa
Toán, Phòng Sau đại học và các thày cô trong Trường đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi ữân ưọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc, tổ Toán khoa
Khoa học cơ bản Trường Cao đẳng Nghề Vĩnh Phúc đã tạo mọi điều kiện
giúp đõ để tôi chuyên tâm nghiên cứu và hoàn thành tốt Luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Nguyễn Đức Duyệt


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Văn Tuấn.
Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân ttọng và biết ơn.
Một số kết quả trong luận văn được trích dẫn rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Nguyễn Đức Duyệt


MỤC LỤC

M Ở ĐẦU

5

C H Ư Ơ N G 1. KIẾN THỨC CH UẨN BỊ

7

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

7

•

1.1.1 Không gian vectơ

7

1.1.2 Không gian Metric

8

1.1.3 Không gian định chuẩn

10

1.1.4 Không gian Hilbert

11

1.2 Số gần đúng và sai số

12

1.2.1 Số gàn đúng

12

1.2.2 Làm tròn số

13

1.2.3 Quy tắc làm tròn số

13

C H Ư Ơ N G 2. ỨNG D Ụ N G HÀM SPLINE ĐỂ XẤP x ỉ VÀ NỘ I
SUY
2.1 Hàm spline, B - spline

14

2.1.1 Định nghĩa

14

2.1.2 Các tính chất

15

2.1.3 Hàm spline bậc d thuộc c k[a; b]

20

2.2 Phương pháp spỉine bậc hai liên tục c 1 để xấp xỉ và nội suy

23

2.2.1 Định nghĩa

23

2.2.2 Xây dựng công thức tính

24


2.3 Phương pháp spline bậc ba liên tục c 1 và sử dụng điểm giữa để 27
xấp xỉ và nội suy
2.3.1 Định nghĩa

27

2.3.2 Xây dựng công thức tính

28

2.4 Phương pháp spline bậc ba liên tục c 1 để xấp xỉ và nội suy

30

2.4.1 Định nghĩa

30

2.4.2 Xây dựng công thức tính

30

2.5 Tốc độ hội tụ của ba phương pháp

34

C H Ư Ơ N G 3. ỨNG D Ụ NG CÁC PH Ư Ơ N G PH ÁP SPLINE ĐẺ
XẤP XỈ VÀ N Ộ I SUY
3.1 ứng dụng phương pháp spline bậc hai liên tục c 1

36

3.1.1 Ví dụ 1

36

3.2 ứng dụng phương pháp spline bậc ba liên tục c 1 và sử dụng 45
điểm giữa

3.2.1 Ví dụ 2
3.3 ứng dụng phương pháp spline bậc ba liên tục

45

c1

55

3.3.1 Ví dụ 3

55

KẾT LUẬN

63

TÀI LIỆU TH AM KHẢO

64


5

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, giải tích số là một ngành của toán học đang ngày càng phát triển
mạnh mẽ. Một trong hướng quan trọng của giải tích số là sử dụng phương
pháp spline để nghiên cứu xấp xỉ và nội suy các hàm số, giải xấp xỉ nghiệm
của phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình

vi tích phân...
Sở dĩ như vậy bởi vì hàm spline là các đa thức nên việc tính toán rất dễ
dàng và lập trình đơn giản.
Với mong muốn tìm hiểu về phương pháp spline nhằm bổ sung và nâng cao
kiến thức đã học trong chương trình đại học và sau đại học, tôi chọn đề tài
“Một sổ phương pháp spline để xấp xỉ và nội suy ” làm luận văn Thạc sỹ của
mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Hiểu được các phương pháp mới về spline. Nắm được các tính chất cơ bản
của hàm spline và ứng dụng của spline vào xấp xỉ và nội suy.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày định nghĩa hàm spline, B - spline. Các tính chất cơ bản của hàm
spline, B - Spline. Các phương pháp spline để xấp xỉ và nội suy.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hàm spline, xấp xỉ và nội suy.
• Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng một số phương pháp hàm spline để xấp
xỉ và nội suy.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phân tích, tổng họp và phương pháp lấy ý kiến
chuyên gia.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn


6

• Cụ thể hóa các ứng dụng của hàm spline để xấp xỉ và nội suy. Viết
chương trình bằng phàn mềm Maple để minh họa cho từng phương
pháp spline được nghiên cứu.
• Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và
học viên cao học.

7

CHƯƠNG 1. KIÉN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 M ột số kiến thức về giải tích hàm
1.1.1 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu: ẫ , ệ , Ỷ , ... và
trường K mà các phần tử được kí hiệu là: x,y, z , ...
Giả sử ữên E có hai phép toán
1) Phép toán cộng, kí hiệu

E X E -» E
(ấ, ệ ) ■-> ẵ + ặ.

2) Phép toán nhân, kí hiệu

E X E -» E
(x, ã) ^ xã.

thỏa mãn các tiên đề sau
a) ẫ + ậ — ệ + ẵ, vã, /? e E;
b) (ã + ặ ) + Ỹ = ẵ + Ợ + Ỹ ) , v ẵ j , Ỹ G E)
c) Tồn tại 8 6 E sao cho: 6 + ã — ã + ỗ = ã, Va 6 £■;
d) Với mỗi ã tồn tại a' G E sao cho: ã + a' = a' + ã = ớ;
e) (% + y )a =
+ y a, Va e E và Vx, y E K;
f) x (a + / ? ) = * « + xậ, Va, p E E,Vx E K;
g) x (y a) = (xy)a,V a G E vàV x,y G /í;
h) 1. a = a, Va e E và Vx, y 6 K)

Khi đó, E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K,
hay K- không gian vectơ, hay không gian tuyến tính.
• Khi K = M thì E được gọi là không gian vectơ thực.
• Khi K = c thì E được gọi là không gian vectơ phức.
Ví dụ 1.1.1. Dễ dàng kiểm tra c[a, b] là một không gian vectơ (/í = M).


8

Định nghĩa 1.1.2. Hệ vectơ (cQ, Vi = 1,2,..., 71 gọi là độc lập tuyến tính nếu
Y i= i x t ã l = 0 kéo theo Xị = 0, Vi = 1 ,2 , ...,71.

Hệ vectơ (õQ, Vi = 1,2,..., 71 gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc
lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử E là một không gian vectơ.
Một hệ vectơ trong E được gọi là hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E đều
biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì £ được gọi là không gian
vectơ hữu hạn chiều.
Một hệ vectơ ừong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc lập
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử
thì số phần tử ừong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ.
Khi E là một K — không gian vectơ có số chiều 71 ta kí hiệu dimE = 71.
Định nghĩa 1.1.5. Tập con w ^ ộ của một K — không gian vectơ E được gọi
là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E, nghĩa
là thỏa mãn các điều kiện sau
1) Va,ß e w => ẵ + ß EW-,
2) Va <= w , Vx e K => x ã e w .
1.1.2 Không gian Metric

Cho X là một tập tùy ý.
Định nghĩa 1.1.6. Một metric trong X là một ánh xạ d\ X X X -» M của tích
X X X vào đường thẳng thực M, thỏa mãn các điều kiện sau đây:
1) d ( x ,y ) > 0,V x ,y E X và d ( x , y ) = 0 <=> X = y;
2) d ( x ,y ) =
d ( ỵ , x ) ,V x ,y e X;
3) d(x, ỳ) < d(x, z) + d(z, ỳ), Vx, y , z G X (bất đẳng thức tam giác).


9

Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảng
cách (hay metric) trong X. Các phần tử của một không gian metric gọi là các
điểm của không gian ấy, số d{x, ỳ) gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.
Ví dụ 1.1.2. c[a, b] là một không gian metric vói khoảng cách
d ( x , y ) = max |%(t) —y (t)|.
a
Định nghĩa 1.1.7. Một dãy điểm (xn),7i = 1,2,... trong không gian metric X
gọi là hội tụ đến điểm a E X nếu:
lim d(xn,à) = 0.

n-> oo

Khi đó, ta kí hiệu
lim xn = a,

n-»00

hoặc xn -» a khi n -» 00.

Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm (xn) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy)
trong không gian metric X nếu với mọi € > 0 cho trước, đều tồn tại một số n 0
sao cho vói mọi n > n 0 và m > n 0 ta đều có:
d(xn>xm) < £.
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.9. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
A \X -» Y được gọi là liên tục tại x0 E. X nếu Ve > 0 ,3Ổ > 0 sao cho Vx E X
thỏa mãn d{ọc,xữ') < 8 thì d(i4(x),i4(x0)) < £.
Định nghĩa 1.1.11. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
A \X -> Y được gọi là ánh xạ co nếu 3a với a < 1 sao cho với Vx, x' 6 X ta
đều có d(i4(x),i4(x')) < a d ( x , x ').
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co)


10

Giả sử X là một không gian metric đầy đủ V&A -.X -» X là một ánh xạ co của
X vào chính nó. Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm X* e X sao cho A(x*) =
1.1.3 Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường P(P = M hoặc p = C).
Định nghĩa 1.1.12. Một chuẩn, kí hiệu II. II trong X là một ánh xạ đi từ X vào
M thỏa mãn các điều kiện:
1) 11*11 > O y x G X ;
2) \\x\\ = 0 khi và chỉ khi X = 6(0 là kí hiệu của phần tử không);
3) IIAxll = \Ả\. \\x\\,Vx € X, VẮ G P\
4) 11%+ yll < \\x\\ + ||y||,V x,y e X;
Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X E X. Một không gian
vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một

không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo p thực hay phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x , y E X, đặt
d{x,ỳ) = \\x —y II. Khi đó d. là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.13. Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội
tụ đến x 0 e X nếu limn^ 00\\xn — x 0 II = 0. Khi đó ta kí hiệu lim n^ 00 xn = x 0
hoặc xn -> XQ khi 71 —>00.
Định nghĩa 1.1.14. Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là một
dãy cơ bản nếu
lim \\xm - x n \\ = 0.

m,n-> 00

Định nghĩa 1.1.15. Giả sử trong không gian định chuẩn X là một không gian
metric đày đủ (với khoảng cách d ( x ,y ) = \\x —yll). Khi đó X được gọi là
một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.16. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường p. Ánh
xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay
toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn


11

1) A (x + y) = Ax + Ay, Vx, y e X)
2) A{ax) = aAx,Vx e ^ , V a e p ;
• Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.
• Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.
• Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.17. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A
từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0
sao cho \\Ax\\ < c||x||, với mọi X G X.

Định nghĩa 1.1.18. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu L(X, 7) là
tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y. Ta
đưa vào h(X, Y) hai phép toán
1) Tổng của hai toán tử A,B G LỤ(, Y) là toán tử, kí hiệu A + B xác định
bởi biểu thức (Ấ + B)(x) = Ax + Bx, Vx E X)
2) Tích vô hướng của a G p ợ = IR hoặc p = (C) với toán tử A G L(X, Y)
là toán tử, kí hiệu aA, được xác định bởi biểu thức (aA) (x) = a(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B 6 LỢ(, 7), aA 6 L Ợ , Y) và hai phép toán trên
thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập ILpC Y') trở thành một không gian
tuyến tính trên trường p.
Định lý 1.1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y) là không gian
Banach.
1.1.4 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.19. Cho không gian tuyến tính X trên trường P(P = M hoặc
p = (C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích
Descartes X X X vào trường p, kí hiệu
) thỏa mãn các tiên đề
1)
2)
3)
4)
5)

(y , x ) = ( x ,y ) ,V x ,y e X;
o + y ,z ) = (x, z) + (ỵ, z), Vx, y , z EX;
(a x ,y ) = a ( x ,y X V a G P,V x,y G X)
(x, x) > 0, nếu X ^ ớ (ớ là kí hiệu của phần tử không), Vx, y 6 X)
(X, x) = 0, nếu X = 0, Vx G X.

12

Các phần tử X, y, z , ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, ý) gọi là
tích vô hướng của hai nhân tử X và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5) gọi là hệ
tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.20. Không gian tuyến tính X trên trường p cùng với một tích
vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert. Với mỗi X G X, ta đặt
11*11 = sj(.x >*)■ Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức
Schwarz)
|(x ,y )| < \\x\\.\\y\\,Vx,y e X.
Định lý 1.1.5. Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian định chuẩn,
với chuẩn 11*11 = yj(x, x).
Định nghĩa 1.1.21. Ta gọi không gian tuyến tính H ừên trường p là không
gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện
1) / / l à không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach vói chuẩn ||x|| = yj{pc, x) với X G X.
Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
1.1 Số gần đúng và sai số
1.1.1 Sổ gần đúng
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng số a là số gần đúng của a* nếu a không sai
khác a* nhiều. Đại lượng A = \a — a*\ phản ảnh mức độ sai lệch giữa a và
a* gọi là sai số thật sự của a.
Định nghĩa 1.2.2. số Aa > 0 gọi là sai số tuyệt đối của a* nếu thỏa mãn điều
kiện
\a — a* \ < Aa,
hay a — Âa < a* < a + Aa. Bởi vậy Âa thỏa mãn điều kiện ữên càng nhỏ thì
độ sai lệch giữa a và a* càng ít.

13

Định nghĩa 1.2.3. số ổa = — gọi là sai số tương đối của a.
1.1.2 Làm tròn số
Số thập phân tổng quát có dạng
a = ±(«p 10p H----- f а,101 H----- f a p_s10p-5).
Trong đó (Zj e

0 < ữj < 9, j = p — 1, p — s, ap > 0

a) Nếu p — s > 0 thì a là số nguyên nên a có giá trị chính xác,
b) Nếu p — s = —к (к > 0) thì a có phần lẻ là к chữ số,
c) Nếu p — s -» —00 (s -» +oo) thì a là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số ã gọn hơn và gần
đúng nhất với a.
1.1.3 Quy tắc làm tròn số
Giả sử a có dạng
я = ± ( a p10p + ••• + ttịio 1 + ••• + ctp-s 10p 5).
Ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i phần bỏ đi là ịи thì
-

ã = ±(ctp 10p Hf a Ể+110í+1

+

õilO ').

Trong đó:
_ _ (ữị nẽu 0 > ỊI> 0,5.10Ểhoầc ịi = 0,5.10Ểmà a t là số chẵn,

1 \ ữị + l n ế u ịi > 0,5.10‘ hoặc ỊJ. = 0,5.10Ếm ằ a i là số lể.
Định nghĩa 1.2.4. Sai số thu gọn Га > 0 là mọi số thỏa mãn điều kiện:
| ã - a | < ra.
Ta có |ã —a| = |(ocỂ- й)101 + fi\ < 0,5.10*.
Sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên
Iа* — а I < Iа* — а\ + \а — а\ < ầ a + Га.


14

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG HÀM SPLINE ĐẺ XẤP
XỈ VÀ NỘI SUY

2.1 Hàm spline, B - spline
2.1.1 Định nghĩa
Có nhiều cách để xây dựng hàm spline, sau đây chúng ta minh họa cho hàm
spline bậc ba.
Xét phân hoạch n ừên đoạn [a, b] vói các mốc nội suy

a = t0 < tx < ••• < tn = b.
Kí hiệu ht = tị — ti_lf nếu hị = h = const thì các mốc nội suy t 0, tlt ...,tn
gọi là các mốc nội suy cách đều.
Định nghĩa 2.1.1. Một spline đa thức bậc ba ừên đoạn [a, b] với phân hoạch
7Tlà hàm số y = s(t) thỏa mãn hai điều kiện sau

1) s(t) e c 2[a,b];
2) Hạn chế của s(t) ưên mỗi khoảng (t0 t Ể+1) là đa thức s ( t) |AÍ với
d eg (s(t)|Ai) < 3,VÉ = 0,1,2,..., 71.
Để nghiên cứu khái niệm B - spline tổng quát ta đi từ khái niệm sai phân của
hàm số.

Chúng ta có
A /(* o )= /O l)-/(* o ).
A*+7 ( * o ) = A */(*i) - A*/(x„).
Cụ thể
A 2/ 0

o)

=

/ ( * 2 )

-

2 / O

J

+

/ O o X

A3/ 0 0) = / f e ) - 3 /(x 2) + 3 / 0 0 - / ( ^ 0),
A4/ ( x 0) = / ( x 4) - 4 /( x 3) + 6/ ( x 2) - 4 / ( x J + / ( x 0).


15

Hệ số của f ( x k) trong An/ ( x 0) là (—l ) fc. c£. Hiển nhiên với các điểm nút
cách đều Xị = x 0 + i. h thì An/ ( x 0) của đa thức bậc 71 —1 bằng 0.

Định nghĩa 2.1.2. Giả sử n là một phân hoạch t0 < t-L < ••• < tn,ĩi > 771 + 1
, n (E N*của [a, b\. Không gian
SmOO = {s(t) G c m~1[a, ft] Idegs(t)I(ti;ti+1) = m},
là không gian các hàm spline đa thức bậc 771 với các mốc nội suy của phân
hoạch n.
Khi đó s(t) được gọi là một spline đa thức bậc m.
2.1.2 Các tính chất
Không gian Sm (7r) ừong trường hợp m = 3 có nhiều ứng dụng, do vậy
chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của chúng.
Mệnh đề 2.1.1. Không gian s 3(7r) là không gian tuyến tính và không gian đó
chứa tất cả các đa thức có bậc bằng 3.
Bài toán 1. Tồn tại duy nhất hàm số s (t) 6 s 3(7r) thỏa mãn hệ điều kiện
■ s(tị) = f ( t ị ) , 0 < i < n
Khi đó, s(t) được gọi là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số / ( 0 - Xây
dựng sự tồn tại của hàm s (t) vói các mốc nội suy cách đều tị = tữ + l(b~a\
71
ừong đó chúng ta bổ sung thêm bốn mốc nội suy t_ 2 <
< t0 và tn+2 >
tn+1 > tn đồng thòi xét hàm số Bị(t) được xác định bởi công thức
(
ơ - t i - 2) 3, t e [ t ị- 2, t i- i\
1 ị h 3 + 3/i2(t - tj_!) + 3 h (t - tị_ {)2 - 3 (t - t i - i ) 3, t 6

^ -Ị h 3 + 3/i2(tí+i - t) + 3/i(tí+1 - t ) 2 - 3 (tí+1 - t ) 3, t G [tỂ; t Ể+1]

l

(ti+2- t ) 2 , t e [ti+1; ti+2]
0,t Ể [ti_2; t i+2].

Hàm số Bị (t) liên tục khả vi hai lần trên M có dạng


16

4 ,j = i
1,j = i — 1 hoặc j = i + 1
.0,7 = i — 2 hoặc j = i + 2.
Hơn nữa mỗi 5 j(t) là bậc ba trên [tjm
, tj+1] nên Bị(t) e s3(n).
Tính Bj (t), Bj (t), Bj' (t) chúng ta có bảng sau
t

tj- 2

B](t)

tj

tj+1

tj +2

1

0

0

1

4

0

3
h

0

0

6
h2

12
h2

3
h

0

6
h2

0

Giả sử s = {B_lt Bữ, ..., Bn+1} và B3(ĩt) = spanB.
Dễ thấy s là độc lập tuyến tính và B3(n) là không gian n + 3 chiều.

Định lý 2.1.1. Có duy nhất hàm s(t) € B3(n) ứiỏa mãn điều kiện của bài
toán 1.
Chứng minh:
Giả sử s(t) € B3(7r) thì
s (t) =

(t) + XqB M + ••• + xn+15 n+1(t).

Vì s(t) thỏa mãn bài toán 1 nên chúng ta có:
.

(to) = x- i B -i(to ) "I"X0B oO-o) "I" "I"Xn+1B n+i( t 0) = / (to),
S(tt) = X_XB_X(ti) + XqB q(tị) + - + xn+1Bn+1 (tị) =

Đây là hệ phương trình tuyến tính gồm 71 + 3 phương trình dạng Ax = b với


17

X=

A =

r/'(to )l

r X~1 1
x0
x[

/(to )

,b =

/ Ợ i)

xn

/( t» )

-x n+ 1-

L / '( t n ) J

B-i(to)^ o(tò)Bi(t0) n+iC^o)
^o(^o) BiO-0) ■■■®n+i(^o)
^-1(^1) Bo(ti) ^i(^i) ■■^n+l c^l)
5-1(O fl0(O

" Bn+lterì)
■B - i ( t j B o(tn)5 i ( t n) B n+1 (ti)-

- 3 / h 0 3/h0 0
1 4 10 0

0
0

0 14 10 0
0 0 14 1 0

0 0 0 ...0 1 4 1
0

0 0 ... O - 3 / / 1O3//1

Ẩ là ma trận đường chéo trội nên không suy biến từ đó hệ phương trình có
nghiệm duy nhất.
■
Định lý 2.1.2. Với các không gian £3 (7r) và B3(n) nêu trên chúng ta có
5 3 (tt) = 5 3(tt).
Chứng minh:
Từ định nghĩa B3(n) ta có B3(n) c s 3(7r).
Chúng ta đi chứng minh £3 (7r) c B 3 (ĩt).

Lấy / ( t ) 6 s 3(n). Khi đó f ' { t ữ) , f ' ( t n) và

0 < i < n đều xác định.

Giả sử s(t) 6 B3(7ĩ)là hàm spline duy nhất được xác đinh trong định lý 2.1.1.
Đặt / ( t ) —s ( t ) = g ( t ) thì g(tị) = 0,0 < i < 71.
Vì
G c 2 [a; ồ] nên g '(t) có 71 nghiệm y t thỏa mãn tị < y t < tị+1
đồng thòi t0, t n là hai nghiệm của g'(t). Như vậy g ' ( t ) có ít nhất72 + 2
nghiệm do đó g"{t) có ít nhất 71 + 1 nghiệm Zị và Xị < Zị < y if 0 < i <
71.
Nhưng g"{t) là đa thức có bậc cao nhất bằng 1 ữên [tị) ti+1] với các điểm
lưới của phân hoạch 7T, YÌ g " ( t) nhận Zị , i = 0,1,2, ...,n là các nghiệm nên
chúng ta suy ra g " ( t) = 0 ữên [tị] tị+1].
Do đó g " ( t) = 0 trên [t0; tn] từ đó chúng ta được g(t) = a t + /?.

18

Mà g ( t 0) =

= 0 suy ra a = p = 0 hay g{t) = 0 trên [t0; tn].

Do đó s(t) = f ( t ) € 53(tt).
Kết luận: B3(tĩ) = s3(tĩ).
Hệ quả 2.1.1. s3(7r) là không gian tuyến tính 71 + 3 chiều với hệ cơ sở
s —{B_lt B0, ..., Bn+1}.
Hệ quả 2.1.2. Tồn tại duy nhất một spline bậc ba s ( t) là nghiệm của bài toán
1.
Hàm s(t) như vậy gọi là spline nội suy bậc ba của / ( t ) .
Định lý 2.1.3. Sai phân bậc n với các nút cách đều của đa thức p(x) bậc
72—1 bất kỳ luôn bằng 0, tức là
ầ np(x) = 0.
Chú ý 1. Định lý không đúng khi các nút không cách đều, chẳng hạn

Hàm Ft (x) là hàm khả vi liên tục hai lần trên toàn trục số nhưng không khả
vi liên tục ba lần.
Thật vậy, hàm F"'t (x) gián đoạn suy ra từ công thức sau


19

dx3

6
X > t,

0
X < t,
k h ỗ n g xác định tại X = t.

Dễ thấy Ft (x), t E Mlà một spline bậc ba, hay Ft (x) € s 3(7r).
Mệnh đề 2.1.2. tf(t) e s 3(tt).
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh rằng \ k {ì ) = B2(t).
Ta có
K(t) = A4Ft (*o)
= F t M - 4Ft 0 3) + 6Ft 0 2) - 4Ft (x1) + Ft 0 o )
= (*4 - 0 + - (*3 - 0 + + 6 (*2 - 0 + - 4(% - tỴ+ + (x 0 - 0 +Suy ra K (t) = 0 ,v t > x4. Hơn nữa, cố định t và X < t, Ft (x) là đa thức
bậc ba. Vì vậy A4Ft (x0) = 0 khi x 0 > t, nghĩa là K(t) = 0 khi t > x 4 và
x 0 > t, các hàm B - spline bậc ba B2(t) cũng có tính chất này. Mà tổng của
các spline bậc ba là (Xi — t ) ị , K ( t ) cũng là spline bậc ba.
Trong trường hợp đặc biệt

(x4 —t) 3, x 3 < t < x4
(x4 - t ) 3 - 4 (*3 - t ) 3, x 2 < t < x 3
Kự) = ị
(x4 —t) 3 —4(x3 —t ) 3 + 6(x2 —t ) 3, x ± < t < x 2
(x4 — t ) 3 —4(x3 —t ) 3 + 6(pc2 — t ) 3 —4(%! —t) 3, *0 < t < X,
0,v t Ể [ XoỉXi].
Ta có
(x4 - t) 3 - 4(x3 - t ) 3
= [(*3 - t) + h]3 - 4(*3 - t y
= (x 3 — t ) 3 + 3(%3 —t Ỵ h + 3(%3 —t) 3/i2 + h3 — 4(x3 —t ) 3
= h3 + 3h2(x3 — t) + 3h(x3 — t ) 2 —3(x3 —t ) 3.

20

Từ đó suy ra
Ậ k (0 = Ậ â*Ft (x0) = B2( t).
Hay

= B2(t).

Do đó Bị(t) = -^A4Ft (Xf_2) là B - spline 5 ,(t) với các nút cách đều.
Tổng quát chúng ta có
Ft (x) = ( x - t ) ? ,
và
íf(t) = Am+1Ft (x) = £

( m + ! ) ( - l ) ‘(x, - 0 ” ,

i=0

với 771 = 1,2,3,... mà (xỂ—t)7 = 0, t > Xị suy ra /f(t) = 0 khi t < x 0 và
t > xm+1. Hơn nữa K(t) là tổng của 771 —1 hàm số khả vi liên tục và K(t)
khả vi liên tục, từ đó ta có:
K(f) £ smw .
v í dụ 2.1.1. Cho m = 1 thì i7; (x) = (x —1)+ và
Ft (x) = A2Ft O )
= (x2 - t ) + - 2(%! - t ) + + (x0 - t ) +
(*2 — t),
< t < x2
(x2 — t) — 2(x± — t), x 0 < t < x ±
0, v t Ể [ x ữ) x 2]

(xz —t), Xx < t < x 2
h — (pc1 — t), x ữ < t < X1
0, v t ế [ x 0;x2].
2.1.3 Hàm spline bậc d thuộc c k [a; b]
Định nghĩa 2.1.3 Cho đoạn [a; b], giả sử n là phân hoạch của đoạn [a; b]
n: a = t0 < ti < ••• < tn = b.


21

Với d, k G N ta gọi hàm spline bậc d, khả vi liên tục k lần trên [a; b] là hàm
s(t) mà
s(t) <= c k [a;b],s(i)\(ti_í;tù <= Pd [a-,bị
ừong đó pd [a; b] là các đa thức có bậc là d.
Tập hợp các hàm spline bậc d thuộc c k [a; ồ]được kí hiệu là s d (n, k).
• s3(n, 2) = 53(ĩt) là không gian các đa thức spline bậc ba.
• s 3( tĩ, 1) = H3(ĩĩ) là không gian gồm các đa thức Hermite bậc ba trên
từng đoạn.
• S3(n, 0) = L3(n) là không gian gồm các đa thức Lagrange bậc ba trên
từng đoạn (không gian này chúng ta sẽ xét kỹ trong các mục sau).
Hàm s(t) G s d(n, k) với việc cố định d và k bất kỳ (/c > —1, k G TL) là
nghiệm của phương trình vi phân
Dd+1s ( t ) = 0,
trên (ti-iJ tị), 1 < i < 71.
s d (n, k) là tập gồm tất cả các hàm s(t) có đạo hàm liên tục đến cấp k thỏa
mãn phương trình vi phân
Dd+1s(t) = 0,
trên (ti-iJ tị), 1 < i < 71.
Khi đó
Si(t) = cidt d +

+ ctlt + ci0f

trên (ti-iJti). Như vậy, s(t) là đa thức có bậc d trên từng đoạn xác định
ữong c k [a; b].
Chúng ta gọi ^2m- 1(ti, 2m — 2) là một đa thức spline nội suy đến hàm / ( t )
và có bậc là 2m —1. Kí hiệu
L g ự ) = Dmg ự ) ,

ưg(tì = (-1 )mc ms(t).


Định lý 2.1.4 Giả sửì f/ G c m[a; b\
b] và giả sử s là một đa thức spline nội suy
2771 —1. Khi đó
đến hàm / và có bậc: là 2771
b

b

b

J ( L f ) 2 = J ( L s ) 2 + Ị ( L f - i s ) 2.
a

a

a

Chứng minh: Từ L = Dm

{ I f f = [/("О ]2 = [Ị/("0 _ s (m)Ị + 5 (m)Ị2
= [/(™) - 5(™)]2 +
Nếu / b s (m) [/(m) —

- s (m)] + [s(7n)]2.

dx = 0, ta sẽ có điều phải chứng minh. Thật vậy

rb
- s (rn)]dx
■'a
= s (m)( ^ ) [ /(m_1) - 5 (m_1)](x )|ũ - j b

- S^m- ^ ] d x

= - Ị b s (rn + l ) ị f ( . m - l ) - S ( m - l ) - ị d X i

từ / (m_1)(a) = s ^ - ^ C a ) và / ( " - « ( b ) = 5Ся1_1)(Ь). Ta có / (m- p)O ) =
s (m -p)
k h ix = a, b v ầ p = 1,2 ,..., m —2, chúng ta chỉ ra

Г

5 (m)^(m)

_ s (m)Ị

=

г

• 'a

5 (2m - 2)|y „ _ 5//]

■ 'а

Vì s(x) là một đa ứiức có bậc là 2m —1 ữên mỗi đoạn [Xi-iJ Xi\, 1 < i < n.
Khi đó s (27n)(X) = 0 trên mỗi khoảng (%jj %i+1), suy ra
Г S(2m- 2)ỊJ// _ s"-ị dx =

J«
Nhưng

ị

ừ Vi

s(2m~2ì [ f ” — s"]dx.


23

Từ / '( a ) = s'(a) và f ' ( b ) = s'(b). Tuy nhiên s (2m 1)(x) = ci trên
%i). Do vậy
b

71

f s(”0[/(»0 - s (m)] d x = ( - 1 ) 2m- 1 Y c t f

Wipe) - s '0 0 ] d x

= ( - 1 ) 2™-1 I f =1 q [ / w - s (x )](x )lĩ^ = 0
từ sC^i) = f(Xị) tại các điểm nút x 0, x l f ..., xn ta có điều phải chứng minh. ■
Định lý 2.1.5 Giả sử / G c m [a; b] và và giả sử s là một đa thức spline nội
suy đến hàm / và có bậc là 2m — 1. Khi đó
b

b

Ị [Lf — Ls]2dx = Ị ( f — s)ƯLfdx.
a

a

Định lý được chứng minh trong cuốn sách [4] bản tiếng anh trang 99,100.
2.2 Phương pháp spline bậc 2 liên tục c 1 để xấp xỉ và nội suy
2.2.1 Định nghĩa
Giả sử cho n + 1 điểm và các cặp giá tri ( x i í / o o ) , i = 0,1,2, ...,71. Nếu
ữên từng đoạn một hàm spline liên tục vói dữ liệu cho trước minh họa như
hình 1, thì trên mỗi đoạn đó hàm spline được định nghĩa bởi phương trình
Sị(x)

=

dị

+

bịipc — x t)

Hình 1.

+

Cị(x — X ị y .


24

2.2.2 Xây dựng công thức tính
Các tham số a 0 bị, Ci được xác định bởi hệ điều kiện liên tục của mỗi hàm
spline giới hạn bởi
S iO i) = /O iX
• Si O i) = Si-1Oi),
S'iiXi) =

SViOi)-

Chúng ta đi giải hệ điều kiện trên để tìm các tham số a u bị, Cị
• $ (z t) = / (z t).

i = L S iO O = a1 ^ a 1 = /O O i = 2,S20 2) = a 2 => a 2 = f(pc2).
i = n,Sn O J = an => an = / O n).
Suy ra a Ể= / O i )
S£O i) = ^ i - i f e ) .
Vói i = 1 ta có
Ị
- W J = «1

ls 0(*i) = a 0 + b0(хг — л:0) + c0(x1 - Х0У = a0 + b0.h + c0.h2.
Trong đó: h = x í+1 — Xị
=* a0 + b0.h + c0.h 2 = a-L
=> bo = ь O i - a 0) - c0h = ^ ( / O i ) - /O o ) ) - c0h.
Với i = 2 ta có
•^2(* 2) —a2
(x2) = Ũ! + bi (*2 —*i) + Ci (x2 —Xl)2 = a-L + bi- h + q . /i2,
di + b ^ h + q . / i 2 = a 2

bi = I (a2 - a j - q /i = £ ( / 0 2) - /O i) ) - q/i.

Vói i = 72 ta có