HUONG DAN BAI TAP TOAN ROI RAC ON THI CAO HOC UIT

HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC
1/ a) p(x) đúng  x  [2,4] ; p(x) sai  x  (,2)  (4,+) ; q(x) đúng  x  (,1)  (2,+) ;
q(x) sai  x  [1,2] . Từ đó suy ra chân trị của các vị từ tùy theo giá trị của biến x.
b) Tương tự a). Để ý (x2  3x + 10) > 0 x  R.
2/ b) Ta có thể viết A = “ (3a + 1)  0 và (2a  5) (3a + 1)1 > 0 “ rồi suy ra A .
c) và d) Để ý miền xác định của biểu thức rồi thể hiện A tương tự như trong b). Từ đó suy ra A .
e), f), g), h) và i) A nêu ra các tỉ lệ và dùng một trong các dấu <, >, =, ,  . Từ đó suy ra A .
j), k), l), m) và n) A nêu ra các số lượng và dùng một trong các dấu <, >, =, ,  . Từ đó suy ra A .
o) Mệnh đề kéo theo p) Không ai muốn = mọi người không muốn
q) Cả lớp = mọi người trong lớp
s) Các cầu thủ = mọi cầu thủ t)  x) Các từ nối đều có nghĩa là “ và” y) Họ = mọi người trong số họ
z),) Chúng tôi = mọi người trong chúng tôi ; các anh ấy, nhóm bác sĩ, nhóm kỹ sư được hiểu tương tự
3/ a) p  q

b) p  q

c) p  q  r

d) p  r

e) p  q

f) p  q  r  s

4/ a)  h) và j) Dùng các luật logic biến đổi tương đương vế trái thành vế phải.
i) Chiều () : dùng qui tắc suy diễn tam đoạn luận ; Chiều () : hiển nhiên
5/ a)  g) Dùng các luật logic biến đổi thành 1
h), i) và j) Dùng các luật logic biến đổi thành O
a), c), f) và g) Có thể dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh hằng đúng.
6/ a) và b) Lần lượt gán  =  và  =  ( mỗi câu xét 2 mệnh đề A1 và A2 )

c), d), e), f) và g) Lần lượt gán ( = ,  =), ( = ,  = ), ( = ,  = ), ( = ,  = )
( mỗi câu xét 4 mệnh đề A1, A2 , A3 và A4 ).
g) Để ý a  R, ! a’ Z thỏa a’  a < a’ + 1. Ký hiệu a’ = [ a ] và gọi a’ là phần nguyên của a.
7/ a) x | y nghĩa là “x là ước số của y”

e) Để ý y  Q, 2y + 2y  2 (Cauchy)

f) A sai

g) A đúng

8/, 10/ và 11/ Dùng định nghĩa của lượng từ (nếu có), các qui tắc suy diễn phối hợp với các luật logic.
9/ Chọn các phản ví dụ ( bằng cách gán cho mỗi biến mệnh đề chân trị 1 hoặc 0 tùy ý ) sao cho
a), b) và f) Một vế đúng và một vế sai
c) và e) Vế trái sai
d) Vế trái đúng
g)  n) Vế trái đúng và vế phải sai

CHƯƠNG 2 : PHƯƠNG PHÁP ĐẾM
1/ Dùng | X  Y | = | X | + | Y |  | X  Y | lần lượt cho
( X = A, Y = B  C ), ( X = B, Y = C ) và ( X = A  B, Y = A  C ) .
2/ b) Để ý Y = B  H với H tùy ý  ( E \ A ), Z = ( D \ A )  K với K tùy ý  A,
T = ( A \ B )  L với L tùy ý  ( E \ A ) và W = P  C với P tùy ý  A .


3/ N = abcdef với b, c, d, e  { 0, 1,…, 9}, f  { 0, 2, 4, 6, 8 }, a, b, c, d, e, f khác nhau đôi một.
a) Trường hợp 1 (N là số nguyên dương) thì a  {1, 2, …,9}: dùng nguyên lý nhân và nguyên lý cộng.
* Khi f = 0 : 9 cách chọn a, 8 cách chọn b, 7 cách chọn c, 6 cách chọn d và 5 cách chọn e.
* Khi f  {2,4,6,8}: 0  {b,c,d,e} nên ta có thể giả sử b = 0 (3 trường hợp còn lại cho cùng kết quả):
4 cách chọn f, 8 cách chọn a, 7 cách chọn c, 6 cách chọn d và 5 cách chọn e.

b) Trường hợp 2 (N là dãy số nguyên ) thì a  {0,1,2, …,9}: làm tương tự như trường hợp 1.
4/ b) A = {3} A’ với | A’ | = 4 và A’  {4,5,…,10}: để ý số tập hợp A = số tập hợp A’
c) Xét minA = 3, minA = 2 hay minA = 1 : mỗi trường hợp tương tự như b) rồi dùng nguyên lý cộng
d) Cách 1 : phối hợp kết quả a) và c) ; Cách 2 : xét minA = 4, minA = 5 hay minA = 6 : tương tự như c)
5/ a) Trường hợp n = 2k chẵn (A1 = {1, 3,…, (2k  1)}, A2 = {2, 4,…, 2k} có | A1 | = k) :
kết quả là |(A) \ (A1) | = |(A) | \ |(A1) | .
b) Trường hợp n = (2k + 1) lẻ (A1 = {1, 3,…, (2k  1), (2k + 1)} có | A1 | = k + 1) : tương tự như a) .
6/  = {A  S / | A | = 5} và  = {A  S / | A | = 5 và 7  A}. Ta có |  | = 4 |  | là một phương trình
theo ẩn số n  7 mà ta cần giải. Việc tính |  | làm tương tự như b) của bài 4 .
7/ S1 = { 1, 3,…, 15 }, S2 = { 2, 4,…, 14} có | S1 | = 8 và | S2 | = 7 .
a) Đếm số tập A thỏa   A  S1 b) A = A1  A2 với A1  S1, | A1 | = 3 và A2  S2 : nguyên lý nhân
c) Như b) thêm | A2 | = 5 : nguyên lý nhân d) Như b) thêm | A2 | = 5, 6 hay 7 : nguyên lý nhân và
cộng
8/ a) Chỉ cần xác định đội học Anh văn : số cách chia Cn1 + Cn2 + … + Cnn 1 = 2n  2 .
b) Chỉ cần xác định đội nhỏ (có không quá 21n sinh viên) :
* Khi n = 2k chẵn : số cách chia Cn1 + Cn2 + … + Cnk = 2n  1  1 + 21 Cnk .
* Khi n = (2k + 1) lẻ : số cách chia Cn1 + Cn2 + … + Cnk = 2n  1  1
9/ Dùng tổ hợp, nguyên lý nhân và nguyên lý cộng : a) 6 nam và 6 nữ b) (8 + 4) hay (9 + 3) hay (10 + 2)
c) (5 + 7) hay (4 +8) hay (3 + 9) hay (2 +10) d) (2 +10) hay (4 +8) hay (6 + 6) hay (8 +4) hay (10 + 2)
10/ Chỉ quan tâm sự xuất hiện các bit 1 : dùng tổ hợp và nguyên lý cộng
a) chọn 3 trong 8
b) có từ 4 đến 8 bit 1
c) có từ 0 đến 5 bit 1

d) có từ 3 đến 5 bit 1

11/ Xem việc chia bút lần lượt cho 4 người chính là 4 việc liên tiếp : dùng tổ hợp và nguyên lý nhân.
12/ b) Đặt x = u, y3 = v, z2 = w và t3 = h. Ta tìm hệ số của u3v3w2h trong khai triển (2u  v  3w + 4h)9
13/ b) n

c) n(n  4) [ mỗi cạnh của đa giác liên kết với (n  4) đỉnh không liền kề ]

d) Dùng a), b) và c)

14/ Nhóm người xếp gần nhau (nhóm nam, nhóm nữ, nhóm đồng nghiệp) xem như là “một người” xếp
hàng với các người khác. Dùng phép hoán vị (đối nội và đối ngoại), nguyên lý cộng và nguyên lý nhân
a) 2.5!5! b) 6!5!
c) 4!7!
d) 2.4!6! e) dùng nguyên lý bù trừ phối hợp b),c) và d) f) 3!6!7!8!
15/ Ghi số thứ tự cho các ghế từ 1 đến 10 (theo chiều kim đồng hồ).
Dùng phép hoán vị (đối nội và đối ngoại), nguyên lý cộng và nguyên lý nhân.
b) Có 10 cách chia thành 2 khu : một khu cho 5 nam ngồi gần nhau, một khu cho 5 nữ ngồi gần nhau.
c) Có 2 cách chia thành 5 khu :mỗi khu gồm 2 ghế liên tiếp dành cho một cặp vợ chồng ngồi gần nhau.
16/ Tương tự bài 14. Tính chất “cùng màu” tương đồng vói tính chất “đồng nghiệp” hay “ cùng giới tính”.


CHƯƠNG 3 : QUAN HỆ TRÊN CÁC TẬP HỢP
1/ Liệt kê tập hợp  = { (x,y)  S2 / x  y } rồi xét các tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng và truyền.
a) +  +  b)  +  + c)    + d)  +   e) +  +  f)     ( + : có ;  : không có )
2/ Xét các tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng và truyền của  :
a) +    b)     c)   + + d) +   + e)  +   f)   +  ( + : có ;  : không có )
3/ a) toàn phần, có min và max
c) bán phần, có max và các phần tử tối tiểu
e) bán phần, có các phần tử tối tiểu và các phần tử tối đại

b) bán phần, có min và các phần tử tối đại
d) bán phần, có min và max
f) toàn phần, có min và max

4/ Liệt kê 12 phần tử của S .

5/ a) Có 7 trường hợp khác nhau

b) Có 4 trường hợp khác nhau

CHƯƠNG 4 : HÀM BOOL
1/ Dùng các luật của hàm Bool để nhân ra dạng đa thức, rút gọn và nâng bậc các đơn thức.
2/ a) 8 tế bào lớn loại 1 ô, 1 phép phủ, 1 công thức đa thức tối tiểu.
b) 5 tế bào lớn (2 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 1 phép phủ, 1 công thức đa thức tối tiểu.
c) 4 tế bào lớn loại 4 ô, 2 phép phủ tối tiểu, 2 công thức đa thức tối tiểu.
d) 5 tế bào lớn (1 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 2 phép phủ tối tiểu, 1 công thức đa thức tối tiểu
e) 6 tế bào lớn loại 2 ô, 3 phép phủ tối tiểu, 3 công thức đa thức tối tiểu.
f) 6 tế bào lớn (5 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 2 phép phủ tối tiểu, 1 công thức đa thức tối tiểu
g) 7 tế bào lớn (2 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 4 phép phủ tối tiểu, 1 công thức đa thức
tối tiểu.
h) 8 tế bào lớn (5 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 5 phép phủ tối tiểu,1 công thức đa thức tối tiểu.
Dựa vào mỗi ô của S = Kar(f) hay S , ta viết được dạng nối rời chính tắc của f và f .
3/ a) S = Kar(f) = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,2), (4,3), (4,4) } và S có 5 tế bào lớn
(1 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 1 phép phủ, 1 công thức đa thức tối tiểu.
b) S = Kar(f) = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,1), (4,4) } và S có 5 tế bào lớn
(2 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 2 phép phủ tối tiểu, 2 công thức đa thức tối tiểu.
c) S = Kar(f) = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,4) } và S có 6 tế bào lớn
(3 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 2 phép phủ tối tiểu, 1 công thức đa thức tối tiểu.
d) S = Kar(f) = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (4,1), (4,2), (4,3) } và S có 6 tế bào lớn
(3 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 2 phép phủ tối tiểu, 1 công thức đa thức tối tiểu.
e) S = Kar(f) = { (1,1), (1,3), (1,4), (2,3), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3) } và S có 6 tế bào lớn
(2 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 3 phép phủ tối tiểu, 3 công thức đa thức tối tiểu.
f) S = Kar(f) = { (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,3), (4,4) } và S có 6 tế bào lớn
(1 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 2 phép phủ tối tiểu, 1 công thức đa thức tối tiểu.
g) S = Kar(f) = { (1,4), (2,2), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4) } và S có 7 tế bào lớn
(1 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 4 phép phủ tối tiểu, 2 công thức đa thức

tối tiểu.
h) S = Kar(f) = { (1,2), (1,4), (2,1), (2,4), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) } và S có 8 tế bào lớn
(1 tế bào lớn loại 4 ô, còn lại là loại 2 ô), 5 phép phủ tối tiểu, 1 công thức đa thức tối tiểu.
Dựa vào mỗi ô của S = Kar(f), ta viết được dạng nối rời chính tắc của f và f .


4/ Chọn một công thức đa thức tối tiểu của f để vẽ mạng các cổng tổng hợp f .
5/ a) Có tất cả 26 = 64 vector Bool. Có C62 = 15 vector Bool có đúng 2 biến nhận giá trị 1.
Số hàm Bool cần tính là 264  15 = 249
b) Có C62 + C63 + … + C66 = 26  ( C60 + C61 ) = 57 vector Bool có ít nhất 2 biến nhận giá trị 1.
Số hàm Bool cần tính là 264  57 = 27 = 128
5
c) Số hàm Bool cần tính = số hàm Bool của F5 = 22 = 232
3
d) Số hàm Bool cần tính = số hàm Bool của F3 = 22 = 28 = 256