Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng (LV01806)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

HOÀNG TUYẾT NHUNG

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH XẤP XỈ
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả
đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp, người thân,
các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng sau đại học và các
thầy cô trực tiếp giảng dạy. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tất cả mọi
người đã hỗ trợ tôi hoàn thành Luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS. Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng
và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !.
Hà Nội, 15 tháng 7 năm 2015
Tác giả

Hoàng Tuyết Nhung

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được
trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần
Văn Bằng và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa Toán trường ĐHSP
Hà nội 2 và các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy
Trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn này tôi đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài Định lý giá trị trung bình
xấp xỉ và ứng dụng không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác.
Hà Nội, 15 tháng 7 năm 2015
Tác giả

Hoàng Tuyết Nhung


5

Mục lục
Bảng ký hiệu

6

Mở đầu

7

1 Một số kiến thức chuẩn bị

10

1.1 Một số khái niệm về không gian Banach . . . . . . . . . . . 10
1.2 Hàm trên không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Quy tắc tổng mờ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng

. . . . . . . . . 28

2 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng
2.1 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ

30

. . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1

Tính Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2

Tính đơn điệu theo nón và tính đơn điệu yếu . . . . 34

2.2.3

Tính tựa lồi và tính lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4

Tính đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41


6

Bảng kí hiệu
R
Rn
R = R ∪ {−∞, +∞}
f :X →R
dom(f )
epi(f )
f ′(x)
∇f (x)
∇2f (x)
E∗

intA
A,clA
f ′(x)
∂f (x)
||.||

đường thẳng thực
không gian Euclid n - chiều
tập số thực suy rộng
ánh xạ đi từ X vào R
miền hữu hiệu của f
trên đồ thị của f
đạo hàm của f tại x
gradient của f tại x
ma trận Hessian của f tại x
không gian liên hợp của E
phần trong của A
bao đóng của A
đạo hàm Fréchet của f tại x
dưới vi phân của f tại x
chuẩn trong không gian Banach


7

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi các
nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ kiện
không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ kiện chỉ nửa liên

tục.
Cho tới nay đã có khá nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đã được
đưa ra và thường được gọi với cái tên “dưới vi phân” như: dưới vi phân
suy rộng Clarke, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich,.... Các
đạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra. Tuy
nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm
hiểu và khai thác. Đặc biệt là việc mở rộng các kết quả đã biết đối với đạo
hàm cổ điển sang cho các đạo hàm suy rộng này (xem [3],[4],[6],[7]).
Các định lý giá trị trung bình cổ điển (Định lý Rolle, Lagrange, Cauchy)
là những kết quả quan trọng của Giải tích toán học. Đó là những “cây
cầu” kết nối các tính chất của hàm số khả vi với đạo hàm. Năm 1988, D.
Zagrodny [7] đã đưa ra một kết quả mở rộng của định lý giá trị trung bình


8

cho các hàm không khả vi và gọi là định lý giá trị trung bình xấp xỉ. Kết
quả đó được coi là một trong những công cụ then chốt (theo đánh giá của
J.M. Borwein và Q. J. Zhu [4]) có vai trò tương đương với qui tắc tổng mờ
và nguyên lý cực trị, để nghiên cứu các hàm không trơn.
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài nghiên
cứu:
”Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng của nó
trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm số không trơn như: tính
Lipschitz, tính đơn điệu, tính lồi,. . . .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Tìm hiểu về dưới vi phân Fréchet và các tính chất của dưới vi phân.
-Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ.

-Tìm hiểu khả năng ứng dụng của định lý giá trị trung bình xấp xỉ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng.
- Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề
tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và giải tích


9

không trơn.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống về khái niệm dưới vi phân Fréchet, đính
lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng.


10

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không
gian Banach, hàm trên không gian Banach, dưới vi phân Fréchet, qui tắc
tổng mờ và bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng.

1.1

Một số khái niệm về không gian Banach

Trong luận văn này, khi nói tới không gian Banach chúng ta luôn hiểu

đó là một không gian Banach thực, thường kí hiệu là X, ... với chuẩn .

X

hay đơn giản là . . Cho X là không gian Banach. Kí hiệu hình cầu đơn
vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X lần lượt là các tập hợp

BX := {x ∈ X : x ≤ 1},

SX := {x ∈ X : x = 1}.

Ví dụ 1.1 ([4]). Ta có:
1. Không gian tuyến tính Rk với chuẩn x =

k
i=1 |x(i)|

là không gian

Banach.
2. Cho Ω ⊂ Rk là tập con đo được Lebesgue. Khi đó không gian tuyến


11

tính Lp(Ω) (1 ≤ p < ∞) tất cả các hàm số thực đo được x = x(t)
trên Ω sao cho

p
Ω |x(t)| dt

< ∞ với chuẩn x =

1/p
p
Ω |x(t)| dt

là

không gian Banach. Không gian tuyến tính L∞ (Ω) tất cả các hàm số
thực đo được x = x(t) trên Ω sao cho esssupΩ |x(t)| < +∞ với chuẩn

x = supΩ |x(t)| là không gian Banach.
3. Không gian tuyến tính lp (1 ≤ p < ∞) tất cả các dãy số thực x =

(x(i)) sao cho chuỗi

∞

i=1

p

|x(i)| hội tụ với chuẩn x =

∞

i=1

p

1/p

|x(i)|

là không gian Banach. Không gian tuyến tính l∞ tất cả các dãy số
thực x = (x(i)) sao cho supi |x(i)| < +∞ với chuẩn x = supi |x(i)|
là không gian Banach.
4. Không gian tuyến tính C[a, b] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, b] với chuẩn x = max |x(t)| là không gian Banach.
[a,b]

Với không gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗ là tập hợp tất cả các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên X và gọi là không gian đối ngẫu của X. Nếu

x∗ ∈ X ∗ và x ∈ X thì giá trị của x∗ tại x được kí hiệu là x∗, x .
Định lý 1.2 ([1], Định lý 2.6, trang 78). Không gian đối ngẫu X ∗ của
không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi

x
là một không gian Banach.

∗

| x∗ , x |
= sup
x
x=0

12

Ví dụ 1.3 ([1], trang 108, 110). Không gian đối ngẫu của Lp (Ω), lp (1 <

p < ∞) lần lượt là không gian Lq (Ω), lq với q là số mũ liên hợp của p, tức
là 1/p + 1/q = 1. Đặc biệt không gian đối ngẫu của L1 (Ω), l1 tương ứng
là L∞ (Ω), l∞.
Định nghĩa 1.4. Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không
gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X ∗∗ . Như
vậy X ∗∗ = (X ∗ )∗ .
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ,
nếu X = X ∗∗ .
Ví dụ 1.6 ([1, 6]). Các không gian Lp (Ω), lp (1 < p < ∞) là các không
gian phản xạ.
Theo Định lý 1.2, nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach X được gọi là tách được nếu nó có
một tập con đếm được trù mật.
Ví dụ 1.8 ([6], trang 103). Các không gian Lp (1 ≤ p < ∞), C[a, b] là
không gian tách được; các không gian L∞ (Ω), l∞ không tách được.

1.2

Hàm trên không gian Banach

Cho X, Y là các không gian Banach, f : X → Y là một ánh xạ.


13

Định nghĩa 1.9. Ánh xạ f được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản là khả
vi ) tại x ∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục A : X ∗ → Y ∗
sao cho

lim

h→0

f (x + h) − f (x) − Ah
= 0.
h

Khi đó A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và kí hiệu là Df (x)
hay ∇f (x).
Khi Y = R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm f được xác định bởi
một phần tử của x∗ ∈ X ∗ và biểu thức định nghĩa thường được viết là:

f (x + h) − f (x) − x∗, h
= 0.
lim
h→0
h
Định nghĩa 1.10 ([7], trang 2). Ta nói chuẩn . của X là khả vi Fréchet
hay là chuẩn trơn Fréchet nếu . là hàm khả vi Fréchet tại mọi x ∈ SX
(nhờ tính thuần nhất của chuẩn ta suy ra chuẩn trơn Fréchet sẽ khả vi
Fréchet tại mọi x = 0).
Ví dụ 1.11. Chuẩn Euclide trên một không gian Hilbert H là chuẩn trơn
Fréchet. Thật vậy, do

lim

h→0

nên .

2

x+h

2

− x
h

2

− 2x, h

h
= lim
h→0 h

2

=0

là hàm khả vi Fréchet tại mọi x ∈ H. Theo quy tắc đạo hàm hàm

hợp ta có . khả vi tại mọi x = 0 và

D x =

x
,
x

x = 0.


14

Định lý 1.12 (Smulyan, [7], Định lý 1.4, trang 3). Cho (X, . ) là không
gian Banach với không gian đối ngẫu X ∗ . Khi đó chuẩn . khả vi Fréchet
tại x ∈ SX khi và chỉ khi với mọi dãy fn, gn ∈ SX ∗ , fn(x) → 1 và gn (x) →

1 ta đều có fn − gn → 0.
Ví dụ 1.13. Chuẩn x =

∞
i=1 |x(i)|

trong không gian Banach l1 không

trơn Fréchet.
Thật vậy, với mọi x = (x(i)) ∈ Sl1 . Ta định nghĩa fn , gn ∈ Sl∞ bởi:

fn (x)(i) =

sign(x(i)),
1,

nếu i = n
nếu i = n,

gn (x)(i) =

sign(x(i)),
−1,

nếu i = n
nếu i = n.

Khi đó fn(x) → 1, gn(x) → 1 và fn − gn

l∞

= 2. Theo Định lý 1.12

chuẩn trên l1 không khả vi Fréchet tại x. Từ đây ta có điều phải chứng
minh.
Định lý 1.14 ([7], Hệ quả 3.3, trang 51). Cho X là không gian Banach
tách được. Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi X ∗
tách được.
Ví dụ 1.15. Các không gian Lp (Ω) (1 < p < ∞) là không gian có
chuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó tách
được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều có
chuẩn tương đương trơn Fréchet.


15

1.3

Dưới vi phân Fréchet

Từ đây về sau ta luôn giả thiết X là không gian Banach có chuẩn tương
đương trơn Fréchet và trên X ta luôn giả thiết chuẩn nói đến là chuẩn trơn
Fréchet. Do vậy, ta nói X là không gian có chuẩn trơn Fréchet. Hơn nữa
chúng ta cũng xét các hàm với giá trị thực mở rộng, tức là có giá trị trong
R := R ∪ {+∞}.
Cho hàm f : X → R. Ta gọi

domf := {x ∈ X : f (x) ∈ R},
epif := {(x, λ) ∈ X × R : x ∈ X, λ ≥ f (x)}
tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f.
Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf = ∅.
Định nghĩa 1.16 ([6], trang 10). Hàm f : X → R được gọi là nửa liên
tục dưới (l.s.c.) nếu với mọi λ ∈ R, tập {x ∈ X : f (x) ≤ λ} là tập đóng.
Định lý 1.17 ([6], trang 10). Cho X là không gian Banach, f là hàm
chính thường trên X. Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây là tương
đương
a) Hàm f nửa liên tục dưới.
b) Trên đồ thị epif là tập đóng trong X × R.


16

c) Với mọi x ∈ X, với mọi ε > 0 đều tồn tại một lân cận V của x sao
cho f (y) > f (x) − ε với mọi y ∈ V.
d) Với mọi dãy (xn) hội tụ tới x trong X ta đều có lim inf n→∞ f (xn) ≥

f (x).
e) Nếu f1 , f2 nửa liên tục dưới thì f1 + f2 cũng nửa liên tục dưới.
f) Nếu (fi)i∈I là một họ các hàm l.s.c. thì f (x) = supi∈I fi(x) cũng l.s.c..
g) Nếu f l.s.c. và E ⊂ X là tập compact thì f đạt giá trị lớn nhất trên

E.
Ví dụ 1.18. i) Mọi hàm liên tục đều nửa liên tục dưới.
ii) Hàm

f (x) =

x2 −4
x−2 ,

a,

nếu x = 2
nếu x = 2

nửa liên tục dưới khi và chỉ khi a ≤ 4.
Định nghĩa 1.19 ([4], trang 4, Định nghĩa 1.3). Cho f : X → R là hàm
l.s.c, S ⊂ X là tập con đóng. Ta nói, f là dưới khả vi Fréchet với dưới đạo
hàm Fréchet x∗ tại x nếu tồn tại C 1 - hàm, lõm g sao cho ∇g(x) = x∗ và

f − g đạt cực tiểu địa phương tại x. Tập mọi dưới đạo hàm Fréchet gọi là
dưới vi phân Fréchet của f tại x và ký hiệu là D− f (x).
Nón pháp Fréchet của S tại x là tập hợp

N (S, x) := D− δS (x),

17

trong đó δS là hàm chỉ của tập S, xác định bởi

δS (x) :=

0,
nếu x ∈ S,
+∞, nếu x ∈ S.

Định lý 1.20 ([4], trang 5). Cho X là không gian Banach với chuẩn trơn
Fréchet, f là hàm l.s.c. trên X. Khi đó x∗ ∈ D− f (x) khi và chỉ khi

lim inf
h →0

f (x + h) − f (x) − x∗, h
≥ 0.
h

Nhận xét 1.21. Khái niệm dưới vi phân trong Định nghĩa 1.19 được gọi
là định nghĩa theo nghĩa nhớt. Định lý 1.20 cho thấy, trong lớp không gian
Banach với chuẩn trơn Fréchet thì định nghĩa đó tương đương với định
nghĩa dưới vi phân theo giới hạn trong [4]. Do vậy theo [6] chúng ta có
rất nhiều tính chất của dưới vi phân Fréchet, mối liên hệ của dưới vi phân
Fréchet và các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Gâteaux, dưới vi
phân Clarke,.... Chẳng hạn
i) Nếu f khả vi Fréchet tại x thì D− f (x) = {Df (x)};

ii) Nếu f lồi trên X thì

D− f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (y) − f (x) − x∗, y − x ≥ 0, ∀y ∈ X}.
Ví dụ 1.22. i) Cho hàm f (x) = |x|, x ∈ R. Khi đó, tại x > 0 thì

f khả vi nên D− f (x) = {Df (x)} = {1}; tại x < 0 thì f khả vi nên
D− f (x) = {Df (x)} = {−1}. Tại x = 0 hàm f không khả vi. Do f lồi
nên ta có thể sử dụng Nhận xét 1.21 ii) để tính dưới vi phân. Cụ thể

D− f (0) = {p ∈ R : |y| − py ≥ 0, ∀y ∈ R}.


18

Chọn y = −1 và y = 1 ta suy ra −1 ≤ p ≤ 1. Với p ∈ [−1, 1] ta luôn có

py ≤ |py| ≤ |y| nên D− f (0) = [−1, 1].
ii) Tương tự ta có nếu X là không gian Hilbert và f (x) = x thì ta
cũng có
−

D f (x) =

x
x

BX ,

, nếu x = 0
nếu x = 0.

Định lý 1.23 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, [4], trang 5,
Định lý 1.6). Cho f : X → R l.s.c, ε > 0 và λ > 0. Giả sử u ∈ X thoả
mãn:

f (u) < ε + inf f.
X

Khi đó tồn tại C 1 - hàm lồi g trên X và v ∈ X sao cho:
i) Hàm x → f (x) + g(x) đạt cực tiểu toàn cục tại x = v.
ii) ||u − v|| < λ.
iii) f (v) < ε + inf f.
X

iv) ||∇g(v)|| <

2ε
.
λ

Nhận xét 1.24. Ta hình dung u là điểm cực tiểu của f (hoặc thuộc
một dãy cực tiểu). Khi đó có thể nhiễu f bởi một hàm lồi, trơn, nhỏ do
( ∇g(v) <

2ε
λ)

thì ta nhận được một điểm v bên cạnh u (vì

u−v < λ)

là cực tiểu của hàm nhiễu f + g mà giá trị của f tại đó (f (v)) vẫn không
thay đổi so với f (u) theo nghĩa

inf f ≤ f (v) < ε + inf f.
X

X


19

1.4

Quy tắc tổng mờ

Để phát triển các công cụ của giải tích qua khái niệm dưới vi phân, ta
có thể dựa trên một kết quả mang tính chất nền tảng đó là quy tắc tổng
mờ. Quy tắc này có hai phiên bản: không địa phương và địa phương. Kí
hiệu đường kính của tập S ⊂ X là số

diam(S) := sup { x − y : x, y ∈ S} .
Định lý 1.25 (Quy tắc tổng mờ không địa phương, [4], trang 6, Định lý
2.1). Cho f1 , ..., fN : X → R là các hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới
với
N

lim inf

η→0

n=1

fn(yn ) : diam(y1, ..., yN ) ≤ η

< +∞.

Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại xn, n = 1, ..., N và x∗n ∈ D− fn (xn) thỏa
mãn

diam(x1, ..., xN ) · max(1, x∗1 , ..., x∗N ) < ε

(1.1)

và
N

N

fn(xn) < lim inf
n=1

η→0

n=1

fn(yn ) : diam(y1, ..., yN ) ≤ η

+ε

(1.2)

sao cho
N

0∈

x∗n + εBX ∗ .
n=1

(1.3)


20

Nhận xét 1.26. Các điều kiện f1 , ..., fN : X → R là các hàm bị chặn
dưới và
N

lim inf

η→∞

n=1

fn (yn ) : diam(y1, ..., yN ) ≤ η

<∞

không thể thiếu trong quy tắc tổng mờ không địa phương. Điều này có thể

chỉ ra thông qua các hàm trên R. Hai hàm f1 (x) = x và f2 (x) = 0 không
thỏa mãn quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì f1 không bị chặn dưới.
Hai hàm f1 (x) = δ{0} (x) và f2 (x) = δ{1} (x) cũng không thỏa mãn quy tắc
tổng mờ không địa phương bởi vì thiếu điều kiện

lim inf {f1(y1) + f2 (y2) : y1 − y2 ≤ η} < ∞.

η→0

Kết quả (1.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự như
trong quy tắc tổng mờ (địa phương) thông thường. Tuy nhiên, kết quả
(1.1) chỉ cho chúng ta biết các điểm xn là gần nhau, điều này khác với
quy tắc tổng mờ địa phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần với
điểm cực tiểu của tổng (với một số giả thiết bổ sung). Lưu ý rằng, kết quả
(1.1) còn cho phép ta kiểm soát "cỡ" của các dưới đạo hàm tham gia trong
tổng. Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng. Kết luận (1.2) cho ta điểm
tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới. Trong các ứng dụng, điều
này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm

xn. Ta sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau.
Ví dụ 1.27 (Tính trù mật của tập các điểm dưới khả vi). Cho f : X → R
là một hàm nửa liên tục dưới, x ∈ domf và ε ∈ (0, 1). Áp dụng Định lý


21

2.1 đối với f1 = f + δx+BX và f2 = δ{x} ta có: tồn tại x1 và x2 sao cho

x1 − x2 < ε, 0 ∈ D− f1 (x1) + D− δ{x} (x2) + εBX ∗ và
f1(x1) + δ{x} (x2) < f (x) + ε.

Bất đẳng thức cuối suy ra x2 = x và do đó x1 phải thuộc phần trong của

x + BX nên D− f1(x1) = D− f (x1). Chứng tỏ, dom(D−f ) trù mật trong
domf.
Đây là một kết quả khá mạnh. Cụ thể vì dưới đạo hàm của hàm lõm tự
động là đạo hàm nên từ đây suy ra các hàm lõm liên tục trên các không
gian trơn Fréchet là khả vi Fréchet trù mật.
Tiếp theo ta đề cập tới quy tắc tổng mờ địa phương, một kết quả quan
trọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng các
quy tắc tính dưới vi phân. Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa
phương cần phải có các giả thiết bổ sung.
Định nghĩa 1.28 (Nửa liên tục dưới đều, [4], trang 8, Định nghĩa 2.4).
Cho f1 , ..., fN : X → R là các hàm nửa liên tục dưới và E là một tập con
đóng của X . Ta nói bộ (f1 , ..., fn) là nửa liên tục dưới đều trên E nếu
N

inf

x∈E

n=1

fn (x) ≤
N

lim inf

η→0

n=1

fn(xn) : xn − xm ≤ η, xn, xm ∈ E, n, m = 1, ..., N

.

Chúng ta nói (f1, ...fN ) là nửa liên tục dưới đều địa phương tại x ∈


22
N

∩ domfn nếu (f1, ...fN ) là nửa liên tục dưới đều trên một hình cầu đóng

n=1

tâm tại x nào đó.
Nhận xét 1.29. Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ (f1 , ...fN ) là
nửa liên tục dưới đều địa phương tại x là
(a) Tất cả, chỉ trừ ra một trong các hàm fn liên tục đều trong một lân
cận của x;
(b) Có ít nhất một trong các hàm fn có các tập mức compact trong
một lân cận của x.
Định lý 1.30 (Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh, [4], trang 9, Định lý
2.6). Cho f1 , ...fN : X → R là các hàm nửa liên tục dưới. Giả sử (f1 , ...fN )
N

nửa liên tục dưới đều địa phương tại x và

fn đạt cực tiểu địa phương

n=1

tại x. Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại xn ∈ x + εB và x∗n ∈ D− fn (xn), n =

1, ..., N sao cho
|fn(xn) − fn (x)| < ε,

diam(x1, ..., xN ).max( x∗1 , ..., x∗N ) < ε,

n = 1, 2, ..., N và
N

x∗n < ε.
n=1

Kết quả này là quy tắc "mạnh" vì nó khẳng định các dưới đạo hàm gần
nhau theo chuẩn.
Quy tắc tổng mờ yếu sau chỉ yêu cầu các hàm thành phần nửa liên tục
dưới nhưng kết luận thì liên quan đến tôpô yếu* và các giả thiết về tính


23

cực tiểu được nới lỏng.
Định lý 1.31 (Quy tắc tổng mờ địa phương yếu, [4], trang 10, Định
lý 2.7). Cho f1 , ..., fN : X → R là các hàm nửa liên tục dưới. Giả sử

x∗ ∈ D − (

N

n=1 fn )(x).

Khi đó với bất kì ε > 0 và bất kì lân cận yếu

∗

V

của 0 trong X ∗ , đều tồn tại xn ∈ x + εB , x∗n ∈ D− fn (xn), n = 1, ..., N sao
cho |fn (xn) − fn (x)| < ε, x∗n diam({x1 , ..., xN }) < ε, n = 1, 2, ..., N và
N
∗

x ∈

x∗n + V.
n=1

Định nghĩa 1.32 (Tính nửa liên tục dưới đều theo dãy, [4], trang 11,
Định nghĩa 2.9). Cho f1 , ..., fN : X → R là các hàm nửa liên tục dưới.
Ta nói hệ (f1 , ..., fN ) là nửa liên tục dưới đều theo dãy tại x nếu tồn tại
một hình cầu đóng x + ηB với tâm tại x sao cho với mỗi N, các dãy

{xnr } , n = 1, 2, ..., N, r = 1, 2, ... thuộc x + ηBX và xnr − xmr

→ 0

khi r → ∞, tồn tại một dãy {ur } các phần tử thuộc hình cầu sao cho

xnr − ur → 0 và

N

lim inf

r→∞

n=1

(fn(xnr ) − fn(ur )) ≥ 0.

Để ý rằng, điều kiện của Định nghĩa 1.28 mà chúng ta sử dụng ở đây
mang tính tô pô hơn điều kiện về tính nửa liên tục đều theo dãy trong
Định nghĩa 1.32. Không khó để nhận ra rằng: tính nửa liên tục dưới đều
theo dãy suy ra tính nửa liên tục dưới đều địa phương. Hơn nữa, tính nửa
liên tục dưới đều địa phương thực sự yếu hơn tính nửa liên tục dưới đều


24

theo dãy. Điều này được khẳng định qua ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.33. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều và lấy một
dãy ek trong X sao cho ek = 1 và ek − el ≥ 1/2 khi k = l. Đặt

A := {ek /l : k, l = 1, 2, ...} ∪ {0},
B := {(ek + e1 /k)/l : k, l = 1, 2, ...} ∪ {0}.
Khi đó cả A và B đều là các tập con đóng và A ∩ B = 0. Đặt f1 := δA
và f2 := δB . Ta chứng tỏ rằng, với bất kì η > 0, (f1 , f2 ) không là nửa liên
tục dưới đều địa phương trên ηB . Thật vậy, nếu l là một số nguyên sao
cho 2/l < η và cho x1r = er /l; x2 r = (er + e1 /r)/l thì x1r − x2r → 0 và

f1(x1r ) = f2(x2r ) = 0 ∀r. Nếu ur là dãy sao cho xnr − ur → 0, n = 1, 2
thì ta phải có ur = 0 với r đủ lớn. Vì thế có ít nhất một trong hai giá trị

f1(ur ), f2(ur ) bằng ∞ và do đó
2

lim inf

r→∞

n=1

(fn(xnr ) − fn(ur )) = −∞ < 0.

Tuy nhiên, (f1 , f2 ) là nửa liên tục dưới đều địa phương, theo Định nghĩa
1.28 bởi vì vế phải luôn không âm trong khi vế trái bằng 0.
Ví dụ 1.34. Lấy X := l2 và ek là một cơ sở trực chuẩn trong X . Khi
đó x ∈ X có thể biểu diễn duy nhất x =
n
k=1 x(k)ek ,

với mọi n.

∞
k=1 x(k)ek .

Đặt Pn (x) :=

ta có Pm (x) ≤ Pn (x) với m ≤ n, nói riêng Pn ≤ 1

25

Do xk → 0 khi k → ∞ nên x

∞

:= max {|xk (k)| : 1 ≤ k < ∞} tồn

tại. Hơn nữa, với k0 sao cho |x(k0 )| = x

∞,

ta có

|x(k0)| = Pk0 +1 (x) − Pk0 (x) ≤ 2 x .
Do vậy

·

∞

là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng 2.

Đặt Fn = {x : x ≤ 3, x(i) ≥ 0 và x(i) = 0 khi i mod 3 = 0 và khi

i ≤ 3n}. Ta xét hai hàm

0
f1 (x) := − √1n − y


+∞
và


0
f2 (x) := − √1n − y

+∞

∞

∞

nếu x = 0;
nếu x = n1 e3n−1 + y, y ∈ Fn ;
nếu trái lại
nếu x = 0;
nếu x = n1 e3n−2 + y, y ∈ Fn ;
nếu trái lại.

Rõ ràng domf1 ∩ domf2 = {0} nên theo tính duy nhất của biểu diễn
qua cơ sở suy ra f1 + f2 đạt cực tiểu tại 0. Từ định nghĩa ta thấy f1 và f2
đều bị chặn dưới bởi −7 vì

·

∞

là Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng

2.
Bây giờ chúng ta chỉ ra f1 là nửa liên tục dưới. Giả sử xn ∈ domf1 và

xn → x.
Nếu x = 0 chúng ta có thể giả sử xn = 0 và do đó xn =

yn , yn ∈ Fkn . Do kn → ∞ và yn → 0 nên − √1k − yn
n

∞

1
kn e3kn −1

+

→ 0.

Nếu x = 0 thì kn → ∞. Thật vậy, nếu kn → ∞ thì với mỗi i ta có

xn(i) → 0 khi n → ∞ vì xn (i) = 0 với mọi i ≤ 3kn − 1.


26

Do giới hạn theo chuẩn và giới hạn theo từng tọa độ phải trùng nhau
nếu cả hai tồn tại, nên xn → 0 theo chuẩn.
Do kn → ∞ nên kn = n0 với mọi n đủ lớn (bởi vì, khi n = m,

1
1
1 1
e3n−1 + yn − ( e3m−1 + ym ) ≥ max
,
n
m
n m
với ym ∈ Fm , yn ∈ Fn ). Vì thế nên xn =

1
n0 e3n0 −1

+ yn , yn ∈ Fn0 với mọi

n đủ lớn. Điều này chứng tỏ yn → y ∈ Fn0 . Từ đây và tính liên tục của
chuẩn .

∞

ta suy ra

1
f1(xn) = − √ − yn
n0

∞

1
→ −√ − y

n0

∞

= f1(x).

Điều này chứng tỏ f1 là nửa liên tục dưới. Tương tự, ta cũng có f2 nửa
liên tục dưới.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi xi ∈ B và x∗i ∈ D− fi(xi) ta đều
có x∗1 + x∗2 ≥ 1. Thật vậy, gọi gi là các hàm tương ứng với x∗i , i = 1, 2
như trong định nghĩa dưới đạo hàm Fréchet. Để ý rằng D− f1 (0) = ∅ vì

√
1
1
n f1(0 + e3n−1) − f1(0) ≤ n − √ − 0 = − n.
n
n
Tương tự D− f2 (0) = ∅. Do đó ta có thể viết x1 =
1
n e3n−1

+ y2 , trong đó y1 =

∞

k=m

1
m e3m−1

∞

ak e3k ∈ Fm và y2 =

k=n

+ y1 và x2 =

bk e3k ∈ Fn. Ta

sẽ chứng minh x∗1 + x∗2 ≥ 1 trong trường hợp m ≤ n (chứng minh cho
trường hợp m ≥ n là tương tự). Đặt bk0 = maxk≥n{bk } thì 0 ≤ bk0 ≤

2 x2 ≤ 2, do đó y2 + te3k0 ∈ Fn với 0 ≤ t ≤ 1 và
y + te3k0

∞

= y

∞

+ t.