Luận văn thạc sĩ toán phương pháp số phức trong đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN KHẮC KHANH

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN KHẮC KHANH- C00448

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI

Hà Nội - Năm 2016

Thang Long University Libraty

i

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long
dưới dự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Qua đây, tác
giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa
học của mình, GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài và tận
tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác
giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại
học - Trường Đại học Thăng Long, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài
liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác
giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán
khóa 3- Trường Đại học Thăng Long, đã động viên giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và làm luận văn.
Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ
bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành
cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Khắc Khanh


ii

Mục lục
Mở đầu

1

1 Số phức và phương trình đại số

3

1.1

Sự hình thành khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Các tính chất số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

1.5

1.6

1.3.1

Các tính chất liên quan đến phép cộng . . . . . . . .

8

1.3.2

Các tính chất liên quan đến phép nhân . . . . . . .

9

Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1

Ý nghĩa hình học của số phức và mô đun . . . . . . 16

1.4.2

Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . 17

Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1

Tọa độ cực của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.2

Các phép toán số phức trong tọa độ cực . . . . . . 20

1.5.3

Ý nghĩa hình học của phép nhân

1.5.4

Căn bặc n của đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

. . . . . . . . . . 20

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Số phức và đa thức

28

2.1

Định lý về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3

Phương trình bậc ba

2.4

Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5

Một số bài toán về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Thang Long University Libraty


iii

2.5.1
2.5.2
2.6

Số phức trong các bài toán về đa thức

. . . . . . . 45

Số phức và đa thức trong bài toán đếm . . . . . . . 53

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

60


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Số phức đôi khi được gọi là "số ảo" nhưng trường số phức lại đóng vai
trò quan trọng trong đời sống thực tế của chúng ta. Với vai trò như một
công cụ đắc lực giúp giải quyết các bài toán đại số, hình học, tổ hợp, lượng
giác hay trong các bài toán về điện xoay chiều, số phức tỏ ra rất hiệu quả
khi đưa ra những lời giải ngắn gọn và đầy đủ mà chỉ qua những phép biến
đổi cơ bản. Chính vì vậy số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương
trình giải tích lớp 12. Hầu hết các đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học,
cao đẳng, thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế những năm gần đây thường
chú ý khai thác triệt để các ứng dụng của số phức bằng các dạng toán
phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm được các đặc trưng và tính chất để
đưa ra lời giải và ứng dụng phù hợp. Tuy nhiên do tính mới mẻ và sự hạn
chế của tài liệu mà đa số học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhận
dạng bài tập và sử dụng linh hoạt các ứng dụng này. Đề tài “ Phương pháp
số phức trong đại số” là một trong những đề tài được nghiên cứu một số
phương pháp vận dụng số phức giải điển hình cho một số bài toán cụ thể,
đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, giáo viên trong
quá trình giảng dạy.
2. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài đã được vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học sau:
+ Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập.
+ Đưa ra ví dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng.
+ Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô, bạn bè cùng chuyên môn.
+ Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách nói

Thang Long University Libraty


2

về kiến thức cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài.
3. Mục đích của luận văn
Đề tài “Phương pháp số phức trong đại số” được nghiên cứu với mục
đích trình bày hệ thống các kiến thức tổng quan, giới thiệu về lịch sử phát
triển số phức trong đại số; giới thiệu một số phương pháp sử dụng số phức
trong việc giải phương trình đại số, nghiên cứu tính chất của các đa thức;
cung cấp một hệ thống các dạng bài tập ứng dụng trong đại số, đa thức
được giải bằng phương pháp số phức, đồng thời giới thiệu một số kĩ thuật
tính toán liên quan nhằm làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh
trung học phổ thông.
4. Nội dung của luận văn
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Số phức và phương trình Đại số.
1.1. Lịch sử phát triển số phức.
1.2. Định nghĩa và tính chất số phức.
1.3. Tính chất của số phức.
1.4. Dạng đại số của số phức.
1.5. Dạng lượng giác của số phức.
1.5. Bài tập.
Chương 2: Số phức và Đa thức.
2.1. Định lý về đa thức.
2.2. Phương trình bậc hai.
2.3.Phương trình bậc ba.
2.4. Phương trình bậc bốn.

2.5. Một số bài toán về đa thức.
2.6. Bài tập.


3

Chương 1

Số phức và phương trình đại số
Trong chương này, chúng tôi trình bày lịch sử phát triển số phức, cấu
trúc đại số, dạng lượng giác của số phức, những kiến thức liên quan khác
nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi. Các khái niệm và kết quả của chương
này được trích dẫn từ [1], [2], [3], [4].

1.1

Sự hình thành khái niệm số phức

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của
√
√
toán học châu Âu sau đêm dài trung cổ. Các đại lượng ảo −1, b −1,
√
a + b −1 xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của các
nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại, hay là về các quy tắc của đại số”

(1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli
(1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã đánh giá
công trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này
đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán

học thời cổ đại”.
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí
√
hiệu −1, là lời giải hình thức của phương trình x2 + 1 = 0. Xét biểu
√
thức b −1 là nghiệm hình thức của phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó
√
biểu thức tổng quát hơn có dạng a + b −1, b = 0 có thể xem là nghiệm
hình thức của phương trình (x − a)2 + b2 = 0.

Thang Long University Libraty


4

√
Về sau biểu thức dạng a + b −1, b = 0 xuất hiện trong quá trình giải

phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng
“ảo” và sau đó được K.Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là
√
a + ib, trong đó kí hiệu i := −1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là
đơn vị “ảo”.

Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã
√
diễn ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu i := −1 là đơn vị ảo cũng
đã gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng
niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc
dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa

i2 = −1.
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một
cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông
thường cho các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng
√
hạn như nghịch lí sau đây: vì i := 1 −1 nên i2 = −1 , nhưng đồng thời
bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậc
hai lại thu được
√
√ √
2
2
i = −1 −1 = (−1)(−1) = (−1) = 1 = 1
Như vậy −1 = 1.

Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức i2 = −1 là định nghĩa số mới i cho

phép ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể

chứng minh, nó chỉ là quy ước. Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh
hệ thức đó. Trong cuốn sách “phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S.
Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó như sau: Đầu tiên người ta lấy
nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tùy ý của nửa đường tròn
hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các đoạn
AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình
phương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây giờ, trở về với
mặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R. Khi
đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau: Đoạn

5

thẳng RS là i , đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí vừa
nhắc lại ở trên ta có: i2 = (−1)(+1) = −1

Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và
giảng dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II. Lịch sử toán
học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng
lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ phương
trình

x + y = 10
xy = 50
√
Cardano đã tìm được nghiệm 5 ± −5 và ông đã gọi nghiệm này là
“âm thuần túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”. Có lẽ tên
gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của số
học”.
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII, bản chất đại số
và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một
cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.
Newton(1642-1727) đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem
các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G. Leibniz(1646-1716)
thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu
đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống
ở một chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích của việc đưa số phức vào toán học chính
là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định
nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo

nên lí thuyết các số “ảo”.
Thuật ngữ "số phức" được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831).

Thang Long University Libraty


6

Vào thế kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các
tính chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng.
Chẳng hạn L. Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức
bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Pháp nghiên cứu
và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người
Na uy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép
toán trên chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu
diễn minh họa số phức cũng được gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công
lao của nhà toán học Thụy Sỹ là R. Argand – người thu được kết quả như
của C.Wessel một cách độc lập.
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp
số thực có thứ tự (a,b), a ∈ R, b ∈ R được xây dựng bởi nhà toán học

Ireland là W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” chỉ đơn giản là một cặp
số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện
thực.
Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng
một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền
với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số
khẳng định rằng trong trường số phức ∈ C mọi phương trình đa thức đều

có nghiệm.

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của
trường mở rộng (đại số) ∈ C của trường số thực ∈ R thu được bằng phép
ghép đại số vào R nghiệm i của phương trình x2 + 1 = 0.

Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường ∈ C

trở thành trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của
phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới.
Đương nhiên trường số thực ∈ R (trường hữu tỉ ∈ Q) không có tính chất

đóng đại số. Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có
nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagoras tới giờ, con đường phát triển


7

khái niệm về số có thể tóm tắt bởi N → Z → Q → R → C với các bao

hàm thức: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Thông qua các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán

học K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi
cố gắng mở rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả
khả quan. K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở
rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập
hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của

các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức.
Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ
mỗi khi đưa vào những số mới, các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào
các quy tắc thực hiện các phép toán trên chúng. Đồng thời với điều đó
các nhà Toán học luôn luôn cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản
(luật giao hoán của phép cộng và phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố,
luật sắp xếp thứ tự tuyến tính của tập hợp số). Tuy nhiên sự bảo toàn đó
không phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi xây dựng trường số
phức người ta không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trong
trường số thực.
Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán
học Đức L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:
“Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là
công trình sáng tạo của con người”.
Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định
nền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang
sở hữu.

1.2

Định nghĩa số phức

Giả sử ta đã biết định nghĩa và tính chất cơ bản của tập số thực R.
Ta xét tập hợp
R2 = R × R = {(x, y)|x, y ∈ R}

Thang Long University Libraty


8

Hai phần tử (x1 , y1 ) và (x2 , y2 ) bằng nhau khi và chỉ khi

x1 = x2
y1 = y2
Các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 như sau:

z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2
và

z1 .z2 = (x1 , y1 ).(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2
với mọi z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 và z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 . Phần tử z1 + z2 gọi là

tổng của z1 , z2 , phần tử z1 .z2 ∈ R2 gọi là tích của z1 , z2
Nhận xét

1) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 và z2 = (x2 , 0) ∈ R2 thì z1 z2 = (x1 x2 , 0).

2) Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 và z2 = (0, y2 ) ∈ R2 thì z1 z2 = (−y1 y2 , 0).
Ví dụ
1) Nếu z1 = (−5, 6) và z2 = (1, −2) thì z1 +z2 = (−5, 6)+(1, −2)=(−4, 4).

và z1 z2 =(−5, 6)(1, −2)=(−5 + 12, 10 + 6)=(7, 16).

2) Nếu z1 = − 12 , 1 và z2 = − 31 , 12 thì z1 + z2 = − 31 − 21 , 1 +

(− 56 , 23 ) và z1 z2 = − 16 − 21 , − 14 −

1
3

1
2

=

7
)
= (− 13 , − 12

Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp R2 cùng với phép cộng và phép nhân gọi là
tập số phức, kí hiệu C. Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C2 được gọi là một số

phức.

Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C\ (0, 0)

1.3

Các tính chất số phức

1.3.1

Các tính chất liên quan đến phép cộng

Phép cộng các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đây
Tính giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1 , z2 ∈ C.


9

Tính kết hợp: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C .
Nếu z1 = (x1 , y1 ) ∈ C, z2 = (x2 , y2 ) ∈ C, z3 = (x3 , y3 ) ∈ C thì

(z1 + z2 ) + z3 = [(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) +
(x3 + y3 ) = ((x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 ),
và z1 + (z2 + z3 ) = (x1 , y1 ) + [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )] = (x1 , y1 ) + (x2 +
x3 , y2 + y3 ) = (x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )).
Các phép toán kết hợp như trong đại số.
Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0, 0) ∈ C để z + 0 =
0 + z = z , với mọi z = (x, y) ∈ C.
Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có duy nhất số phức −z =
(−x, −y) ∈ C sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0 và
z1 − z2 = (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ) ∈ C
1.3.2

Các tính chất liên quan đến phép nhân

Phép nhân các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đây
Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 , z2 ∈ C.

Tính kết hợp:(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C .

Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1=(1, 0) ∈ C thỏa mãn z1= 1z =

z , với mọi z ∈ C. Số phức 1=(1, 0) gọi là phần tử đơn vị với mọi z ∈ C .
Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z = 0 có duy nhất số
′
′
′

′
phức z −1 = (x , y ) ∈ C sao cho z.z −1 = z −1 .z = 1, số phức z −1 = (x , y )
gọi là phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C.
Ví dụ
1 −2
−2
1
1) Nếu z = (1, 2) thì z −1 = ( 12 +2
2 , 12 +22 ) =
5, 5 .
2
3+8 −4+6
, 9+16 ) = 11
2) Nếu z1 = (1, 2) và z2 = (3, 4) thì zz21 = ( 9+16
25 , 25
Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C∗ được định nghĩa như
sau: z 0 = 1, z 1 = z , z 2 = z.z và z n = z.z...z với số nguyên n > 0 và
n lần

z = (z ) với mọi số nguyên n < 0.
y
x
∗
−1
z = 1.
3) Nếu z = (1, 2) thì z −1 = z1 = ( x2 +y
2 , − x2 +y 2 ) ∈ C bởi vì z
n

−1 −n

Thang Long University Libraty


10

z1
z

Khi có hai số phức z −1 = (x1 , y1 ) ∈ C và z = (x, y) ∈ C∗ thì tỷ số
y
x
= z1 z −1 = (x, y).( x2 +y
2 , − x2 +y 2 ) =

−x1 y+y1 x
x1 x+y1 y
x2 +y 2 , − x2 +y 2

∈ C.

Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ và mọi số nguyên m, n ta có các tính chất

sau:

1) z m .z n = z m+n ;
2)

zm
m−n

;
zn = z
m n
mn

3) (z ) = z

;

n

4) (z1 .z2 ) = z1n .z2n ;
5)

z1
z2

n

=

z1n
z2n ;

Khi z = 0 ta định nghĩa 0n = 0 với mọi số nguyên n > 0.
Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C∗ .

1.4

Dạng đại số của số phức

Định nghĩa 1.4.1. Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ
tự, nên khi thực hiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó
là lý do để tìm dạng khác khi viết.
Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp R × {0} cùng với
phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 .

Hàm số: f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) là một song ánh và ngoài ra

(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0) . (y, 0) = (xy, 0) . Các phép toán đại
số trên R × {0} đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta có
thể đồng nhất cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R. Ta sử dụng song ánh
trên và ký hiệu (x, 0) = x. Xét i = (0, 1) ta có
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) =
x + yi = (x, 0) + (0, 1)(y, 0).
Từ đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4.2. Mỗi số phức z = (x, y) có thể biểu diễn duy nhất dưới
dạng z = x + yi với mọi x, y ∈ R.


11

Hệ quả : i2 = −1.

Điều này được suy ra từ định nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) =

(−1, 0) = −1.
Biểu thức x + yi được gọi là biểu thức (dạng) đại số của số phức z =
(x, y). Vì thế ta có thể viết
C = x + yi x ∈ R, y ∈ R, i2 = −1 .

Từ giờ ta ký hiệu z = (x, y) bởi z = x + yi. Số thực x=Re(z) được gọi
là phần thực của số phức z = (z, y), y = Im(z) được gọi là phần ảo của z .
Số phức có dạng yi, y ∈ R∗ gọi là thuần ảo, số phức i gọi là đơn vị ảo.
Từ các hệ thức trên dễ dàng có các kết quả sau:
a) z1 = z2 khi và chỉ khi Re (z1 ) = Re(z2 ) và Im(z1 )= Im(z2 ).
b) z ∈ R khi và chỉ khi Im(z)= 0.
c) z ∈ C\R khi và chỉ khi Im(z) = 0.
Sử dụng dạng đại số, các phép toán về số phức được thực hiện như sau:
Phép cộng
z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C
Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần
thực, có phần ảo là tổng các phần ảo:
Re(z1 + z2 )= Re(z1 )+ Re(z2 );
Im(z1 + z2 )= Im(z1 )+ Im(z2 ).
Phép trừ

z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C.
Ta có
Re(z1 − z2 )= Re(z1 )- Re(z2 );
Im(z1 − z2 )= Im(z1 )- Im(z2 ).
Phép nhân

z1 .z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i ∈ C.
Ta có

Thang Long University Libraty


12

Re(z1 z2 )= Re(z1 )Re(z2 )-Im(z1 )In(z2 );
Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re (z2 )+ Im (z2 ) Re(z1 ).
Mỗi số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là

tích của một số thực với một số phức. Ta có các tính chất sau:
1)λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 ;
2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z ;

3)(λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z , với mọi z, z1 , z2 ∈ C và λ, λ1 , λ2 ∈ R.
Lũy thừa của số i

Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toàn đối
với dạng đại số z = x + iy . Xét z = i, ta thu được.

i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = −i;
i4 = i3 .i = 1; i5 = i4 .i = i; i6 = i5 .i = −1; i7 = i6 .i = −i
Ta có thể tổng quát các công thức trên đối với số mũ nguyên dương n
i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i
Vì thế in ∈ {−1, 1, −i, i} với mọi số nguyên n 0. Nếu n là số nguyên
âm ta có:
−n
= (−i)−n .
in = (i−1 )n = n1
Ví dụ
1) Ta có: i105 + i23 + i20 − i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 − i4.8+2 =
i − i + 1 + 1 = 2.
2) Tính z 3 = 18 + 26i, với z = x + yi và x, y là số nguyên. Khi đó ta
viết (x + yi)3 = (x + yi)2 (x + yi) = (x2 − y 2 + 2xyi)(x + yi)=
(x3 − 3xy 2 ) + (3x2 y − y 3 )i = 18 + 26i.
Ta có hệ phương trình sau:

x3 − 3xy 2 = 18

3x2 y − y 3 = 26
Đặt y = tx, từ hệ trên ta có 18(3x2 y − y 3 ) = 26(x3 − 3xy 2 ), với x = 0
và y = 0, ta có 18(3t − t3 ) = 26(1 − 3t2 ) ⇔ 18(3t − t3 ) = 26(1 − 3t2 ) ⇔
(3t − 1)(3t2 − 12t − 13) = 0
√
6±5 3
1
⇔ t1 = 3 và t2,3 = 3 .


13

Do x, y là số nguyên, nên ta loại t2 , t3
Vậy với t1 = 31 , Ta có x = 3, y = 1 và z = 3 + i.

Số phức liên hợp

Mỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x − yi, số phức đó được gọi

là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z .

Mệnh đề 1.4.3. 1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R;
2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z ;

3) Mỗi số phức z ta luôn có z.z là một số thực không âm;
4) z1 + z2 = z1 + z2 ( số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số
phức liên hợp);

5) z1 .z2 = z1 .z2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức
liên hợp);
6) Mỗi số phức z = 0 đẳng thức sau luôn đúng z −1 = (z)−1 ;
7)

z1
z2

=

z1
z2 ,

z2 = 0 ( liên hợp của một thương bằng thương các liên

hợp);
8) Từ mối liên hệ z + z = (x + yi) + (x − yi) = 2x và z − z =

(x + yi) − (x − yi) = 2yi. Công thức Re(z) =
với số phức z ∈ C .
Từ 4 và 5 ta có: 4’)

n

n

zk

=

k=1

5”)

n

n

5’)

zk

=

k=1
(z n ) =

n

Bài toán

k=1

z+z
2

và Im(z) =

z−z
2i ,

đúng

zk ;

k=1

zk với zk ∈ C, k = 1, 2, ..., n.

(z) với n là số nguyên và z ∈ C.

1) Chứng minh rằng

|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 , với z1 , z2 ∈ C.

Giải:

Áp dụng mệnh đề 4 vào, ta có

|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z 2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z 2 )
= |z1 |2 + z1 z2 + z2 z1 + |z2 |2 + |z1 |2 − z1 z2 − z2 z1 + |z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 .

Thang Long University Libraty


14

2) Chứng minh rằng, nếu A = |z1 | = |z2 | = 1 và z1 z2 = −1 thì

z1 +z2

1+z1 z2

là

một số thực.
Giải:

Áp dụng mệnh đề 4, ta có: z1 z1 = |z1 |2 = 1 và z1 =

z2 =
A=

1
z2 . Do đó ta có thể biểu diễn
1
1
z1 + z2
z1 +z2
z1 +z2
= 1+z
=
=A
1+z1 .z2
1+ z1 . z1
1 z2
1

1
z1

tương tự,

số phức thức liên hợp của A như sau

2

Vậy A là một số thực.
3) Chứng minh rằng với bất kỳ số phức z ,

1.
|z + 1| √12 ; z 2 + 1
Giải:
Giả sử z 2 + 1 < √12 và z 2 + 1 < 1 là đúng. Đặt z = a + bi, với
a, b ∈ R suy ra z 2 = a2 − b2 + 2abi, ta có 1 + a2 − b2
(1 + a)2 + b2 < 12 , và do đó
a2 + b 2

2

2

+ 4a2 b2 < 1 và

+ 2 a2 − b2 < 0

2 a2 + b2 + 4a + 1 < 0
và
1
(1 + a)2 + b2 <
2

2
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ta được: a2 + b2 + 2a2 + 1 < 0,
điều này vô lý. Vậy điều giả sử là sai, hay điều cần chứng minh là đúng.
4) Cho x, y, z ∈ C, với x = y = z ; y = tx + (1 − t)x, với t ∈ (0, 1)
Chứng minh rằng:

Giải:

|z| − |y|
|z − y|

|z| − |x|
|z − x|

|z| − |x|
|y − x|

Từ giả thiết y = tx + (1 − t)x ⇔ z − y = t(z − x), ta có bất đẳng thức

suy ra |z| − |y|

|z| − |y|
|z − y|

|z| − |x|
|z − x|

t (|z| − |x|) ⇔ |y| (1 − t) |z| + t |x| là bất đẳng thức
tam giác, khi đó |y| = (1 − t) |z| + t |x|
y = (1 − t)z + tx ⇔ y − x = (1 − t)(z − x).

15

Ghi chú
a) Phần tử nghịch đảo của số phức z ∈ C∗ có thể được tính như sau

y
x
z
= z.z
= xx−yi
2 +y 2 = x2 +y 2 − x2 +y 2 i.
b) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức
(x1 +y1 i)(x2 −y2 i)
−x1 y2 +x2 y1
+y1 y2
.
như sau: zz21 = zz21.zz 22 = xx1 x2 22+y
2 +
x2 2 +y2 2 i =
x2 2 +y2 2
2
Ví dụ
5+5i
20
1) Tính z = 3−4i
+ 4+3i
Giải: Ta có
(5 + 5i)(3 + 4i) 20(4 − 3i) −5 + 35i 80 − 60i

+
z=
+
=
9 − 16i2
16 − 9i2
25
25 .
75 − 25i
=3−i
=
25
2) Cho z1 , z2 ∈ C. Chứng minh rằng E = z1 .z2 + z1 .z2 là một số thực.
Giải:
Ta có E = z1 .z2 + z1 .z2 = z1 .z2 + z1 .z2 . vậy E ∈ R.
Modun của số phức
Số |z| = x2 + y 2 được gọi là modun của số phức z = x + yi.
1
z

Mệnh đề 1.4.4. 1) − |z|

Re(z) |z| và − |z| Im(z) |z| ;
2) |z| 0, ∀z ∈ C, ngoài |z| = 0 khi và chỉ khi z = 0;
3) |z| = |−z| = |z|;
4) z.z = |z|2 ;
5) |z1 z2 | = |z1 | . |z2 | ( mô đun của một tích bằng tích các mô đun);
6) |z1 | − |z2 | |z1 + z2 | |z1 | + |z2 | ;
7) z −1 = |z|−1 , z = 0
1|

8) zz21 = |z
|z2 | , z2 = 0( mô đun của một thương bằng thương các mô đun)
9)|z1 | − |z2 | |z1 + z2 | |z1 | + |z2 |.
Nhận xét:
1) Từ Bất đẳng thức |z1 − z2 |

|z1 | + |z2 | , dấu ” = ” xẩy ra khi và chỉ
khi Re(z1 z2 ) = |z1 | |z2 |. Ta đặt z1 = tz2 , với t là số thực không âm.
Bài tập:

Thang Long University Libraty


16

1) Giải phương trình sau trong tập số phức:

z 2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0.
Giải: Ta có

∆′ = (4 − 4i)2 − (63 − 16i) = −63 − 16i
và
Với ∆′ =

b 2
2

r = |∆′ | =

632 + 162 = 65.

− ac, thì phương trình có dạng y 2 = −63 − 16i có nghiệm

y1,2 = ±

65 − 63
+i
2

65 + 63
2

= ± (1 − 8i) .

Khi đó z1,2 = 4 − 4i ± (1 − 8i) hay z = 5 − 12i và z = 3 + 4i.
1.4.1

Ý nghĩa hình học của số phức và mô đun

Ý nghĩa hình học của số phức
Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x + yi là một cặp số thực
sắp thứ tự (x, y) ∈ R × R, vì thế hoàn toàn tự nhiên khi xem mỗi số

phức z = x + yi là một điểm M (x, y) trong không gian R × R. Xét P

là tập hợp các điểm của không gian Π với hệ tọa độ (x, y) và song ánh

φ : C → P, φ(z) = M (x, y). Điểm M (x, y) được gọi là dạng hình học của
số phức z = x + yi. Số phức z = x + yi được gọi là toạ độ phức của điểm
M (x, y). Chúng ta kí hiệu M (z) để chỉ tọa độ phức của điểm M là số

phức z .
Dạng hình học của số phức liên hợp z của số phức z = x + yi là điểm
M ′ (x, −y) đối xứng với M (x, y) qua trục tọa độ 0x. Dạng hình học của số
đối −z của số phức z = x + yi là điểm MJ (−x, −y) đối xứng với M (x, y)
qua gốc tọa độ.
Song ánh φ từ tập R lên trục 0x ta gọi là trực thực, lên trục 0y gọi là trục
ảo. Không gian
cùng với các điểm được đồng nhất với số phức gọi là
không gian phức. Ta cũng có thể đồng nhất các số phức z = x + yi với


17

−−→
−
véc tơ →
v = OM , với M (x, y) là dạng hình học của số phức z . Gọi V0 là
tập các véc tơ có điểm gốc là gốc tọa độ 0. Ta có thể định nghĩa song ánh
−−→
→
−
→
−
→
− →
−
φ′ : C → V0 , φ′ (z) = OM = x i + y j , với i , j là các véc tơ đơn vị
trên trực tọa độ 0x, 0y .

Ý nghĩa hình học của mô đun

Xét số phức z = x + yi biểu diễn hình học trong mặt phẳng là M (x, y).
Khoảng cách Ơclit OM cho bởi công thức

(xM − x0 )2 + (yM − y0 )2 .
−
v |, mô đun |z| của số phức z = x + yi
Vì thế 0M = x2 + y 2 = |z| = |→
→
−
→
−
−
là độ dài của đoạn thẳng 0M hoặc là độ lớn của véc tơ →
v =x i +y j .
0M =

Chú ý

a) Mỗi số thực dương r, tập hợp số phức có mô đun r tương đương với
đường tròn C (0; r) tâm 0 bán kính r trong mặt phẳng.
b) Các số phức z với |z| < r là các điểm nằm bên trong đường tròn

C (0; r). Các số phức z với |z| > r là các điểm nằm bên ngoài đường tròn
C (0; r).
1.4.2

Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số

a) Phép cộng và phép trừ
Xét hai số phức z1 = x1 + y1 i và z2 = x2 + y2 i tương đương với hai véc

→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
tơ →
v1 = x1 i + y1 j và →
v2 = x2 i + y2 j .
Tổng của hai số phức là

z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i.
Tổng hai véc tơ

→
−
→
−
→
−
−
v1 + →
v2 = (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j
−
−
Vì thế z1 + z2 tương đương với →

v1 + →
v2 . Hoàn toàn tương tự đối với phép
trừ.
Hiệu của hai số phức là

Thang Long University Libraty


18

z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i.
Hiệu hai véc tơ

→
−
→
−
→
−
−
v1 − →
v2 = (x1 − x2 ) i + (y1 − y2 ) j
−
−
Vì thế z1 − z2 tương đương với →
v1 − →
v2
Chú ý:
Khoảng cách giữa M1 (x1 , y1 ) và M2 (x2 , y2 ) bằng mô đun của số phức
−

−
z1 − z2 hoặc độ dài của véc tơ →
v1 − →
v2 . Vậy
−
−
M M = |z − z | = |→
v −→
v | = (x − x )2 + (y − y )2 .
1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

b) Tích của số thực và số phức

→
−
→
−
−
Xét số phức z = x + yi tương đương với véc tơ →
v = x i + y j . Nếu
λ là số thực, thì tích số thực λz = λx + λyi tương đương với véc tơ
→
−
→
−
−
λ→
v = λx i + λy j .
Chú ý:
−
−
−
−
Nếu λ > 0 thì véc tơ λ→
v và →
v cùng hướng và |λ→
v | = λ |→
v |, Nếu
−
−
−
−

λ < 0 thì véc tơ λ→
v và →
v ngược hướng và |λ→
v | = −λ |→
v |, Tất nhiên
−
λ = 0 thì λ→
v = 0.
1.5

Dạng lượng giác của số phức

Xét mặt phẳng tọa độ mới M (x, y) không trùng gốc tọa độ. Số thực r =

x2 + y 2 gọi là bán kính cực của điểm M . Góc định hướng t∗ ∈ [0, 2π)
−→
giữa véc tơ 0M với chiều dương của trục tọa độ gọi là argumen cực của
điểm M . Cặp số (x, t∗ ) gọi là tọa độ cực của điểm M . Ta sẽ viết (x, t∗ ).
Chú ý hàm số h : R × R\ {(0, 0)} → (0, ∞) × [0, 2π), h ((x, y)) = (x, t∗ )
là song ánh.
Gốc tọa độ O là điểm duy nhất sao cho r = 0, argumen t∗ của gốc
không được định nghĩa.


19

Mỗi điểm M trong mặt phẳng, có duy nhất giao điểm P của tia với
đường tròn đơn vị gốc O. Điểm P giống như argumen cực t∗ . Sử dụng
định nghĩa hàm sin và cosin ta có

x = r cos t∗ , y = r sin t∗ .
Vì thế ta dễ dàng có tọa độ Đề Các của một điểm từ tọa độ cực.
Ngược lại, xét điểm M (x, y). Bán kính cực là r =

x2 + y 2 . Ta xác

định argument cực trong các trường hợp sau:
a) Nếu x = 0, từ đó tan t∗ = xy ta suy ra


0 khix > 0, y 0


t∗ = arctan xy + kπ , với k = 1 khi x < 0, y ∈ R



2 khi x > 0, y < 0
b) Nếu
x = 0 và y = 0 thì
π

 khi x > 0
2
∗
t = 3π


khi x < y
2

1.5.1

Tọa độ cực của số phức

Mỗi số phức z = x + yi có thể viết dưới dạng cực

z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) , với r ∈ [0, ∞) và t∗ = [0, 2π) ,
gọi là tọa độ cực dạng hình học của số phức z .
Argument cực của dạng hình học của số phức z được gọi là argument
của z , kí hiệu là argz . Bán kính cực của dạng hình học của số phức z bằng
mô đun của z . Khi z = 0 mô đun và argument của z được xác định một
cách duy nhất.
Xét z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) và t = t∗ + 2kπ với k là số nguyên thì

z = r (cos(t − 2kπ) + i sin(t − 2kπ)) = r (cos t + i sin t) .
Mỗi số phức z có thể biểu diễn như z = r (cos t + i sin t) với r

0 và
t ∈ R. Tập hợp Argz = {t∗ + 2kπ, k ∈ Z} được gọi là argument mở rộng
của số phức z . vì thế, hai số phức z1 , z2 = 0 có dạng

Thang Long University Libraty


20

z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) và
z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 )
bằng nhau khi và chỉ khi r1 = z2 và t1 − t2 = 2kπ , với k là số nguyên.

Chú ý: Các dạng sau nên nhớ

π
π
+ i sin ,
2
2
3π
3π
−1 = cos π + i sin π , −i = cos
+ i sin .
2
2
1 = cos 0 + i sin 0; i = cos

1.5.2

Các phép toán số phức trong tọa độ cực

Phép nhân
Giả sử rằng z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) và z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) thì

z1 z2 = r1 r2 (cos(t1 + t2 ) + i sin(t1 + t2 )).
Lũy thừa của một số phức(De moirve):
Cho z = r (cos t + i sin t) , n ∈ N, ta có z n = rn (cos nt + i sin nt).
Phép chia

Giả sử rằng z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) và z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) ,
thì

1.5.3

r1
z1
= (cos(t1 − t2 ) + i sin(t1 − t2 )).
z2
r2
Ý nghĩa hình học của phép nhân

Xét

z1 = r1 (cos t1 ∗ + i sin t1 ∗ ) và
z2 = r2 (cos t2 ∗ + i sin t2 ∗ ).
Biểu diễn hình học của chúng là M1 (r1 , t∗1 ) và M2 (r2 , t∗2 ) . Gọi P1 , P2
lần lượt là giao điểm của C (0, 1) với các tia OM1 và OM2 . Lấy P3 ∈

C (0, 1) với argument cực là t∗1 + t∗2 và chọn M3 ∈ OP3 sao cho OM3 =