Luận văn thạc sĩ toán phương trình hàm đa thức

L I NÓI

U

Nh m đáp ng xu th h i nh p th gi i, đ a kinh t Vi t Nam lên m t t m
cao m i, giáo d c Vi t Nam c ng ph i có nh ng bi n chuy n m nh m nh m
nâng cao ch t l

ng giáo d c đ có th đào t o ra m t l p ng

i lao đ ng: “t

ch , n ng đ ng, sáng t o, có n ng l c gi i quy t v n đ do th c ti n đ t ra, t lo
li u vi c làm, l p nghi p và th ng ti n trong cu c s ng, qua đó góp ph n xây
d ng đ t n

c giàu m nh, xã h i công b ng, dân ch , v n minh”.

Trong s r t nhi u n i dung ph i thay đ i thì không th không nói đ n n i
dung đ i m i ph

ng pháp d y h c.

th c hi n đ

c nhi m v này, m i giáo

viên ph i trang b cho mình m t cái nhìn t ng th , toàn di n và sâu s c v n i
dung ch

ng trình. Vì v y, vi c nghiên c u n i dung ch

ng trình sách giáo

khoa v i m i giáo viên là m t trong nh ng vi c r t c n thi t. Trong lu n v n
này, tôi xin đ

c phép trình bày nh ng nghiên c u c a b n thân v m ng tri th c

liên quan đ n parabol trong ch

ng trình toán ph thông nh là m t tài li u đ

ph c v cho công tác gi ng d y sau này.
Cu i cùng, tôi xin chân thành c m n GS.TS Tr n V Thi u đã t n tình
h

ng d n tôi hoàn thành lu n v n này.

Hà N i, tháng 06 n m 2016
Tác gi lu n v n
Tr n M nh Sơm

1


M

U

1. Lý do ch n đ tài: Parabol đã tr thành m t m ng ki n th c tr ng tâm

c a ch

ng trình l p 10, h c sinh s g p parabol trong c

i s và Hình h c.

V n đ là li u h c sinh khi g p m t bài toán v parabol s áp d ng ki n th c
đ

c h c nh th nào?

rèn luy n các k n ng toán h c, nâng cao kh n ng

sáng t o và linh ho t trong t duy cho h c sinh đòi h i giáo viên ph i gi ng d y
đ m b o tính logic, h p lý và tính s ph m cao đ h c sinh có th l nh h i tri
th c d dàng. Do đó, tôi ch n đ tài “M t s tính ch t c a parabol và ng d ng”
v i m c đích tìm hi u l ch s hình thành và m t s ki n th c liên quan đ n
parabol đ áp d ng vào vi c gi ng d y n i dung parabol trong ch
thông. T đó, giúp h c sinh th y đ

c m i quan h gi a

ng trình ph

i s và Hình h c qua

m ng ki n th c parabol.
2. M c đích nghiên c u: Parabol là m t ph n ki n th c c b n c a hình
h c nói chung và c a hình s c p nói riêng. Trong lu n v n này tôi đ c p đ n
m t s v n đ nh m i quan h gi a

parabol; ph

i s và Hình h c qua m ng ki n th c

ng trình c a parabol; ti p tuy n và ng d ng c a parabol nh m

ph c v cho vi c h c t p và gi ng d y hình h c theo ch

ng trình giáo d c ph

thông hi n hành c a B Giáo d c và ào t o.
3.
nh ph

it

ng và ph m vi nghiên c u: Các v n đ liên quan đ n parabol

ng trình c a parabol; ti p tuy n và ng d ng c a parabol

4. Ph

ng pháp và t ch c nghiên c u: Nghiên c u l ch s c a parabol

trong m i quan h v i l ch s ra đ i c a các đ
các đ

ng conic. Quan đi m

is v

ng conic.

2

Thang Long University Libraty


Ch

ng 1

T NG QUAN
1.1. L ch s ra đ i c a parabol
Các đ

ng conic là m t ch đ toán h c đ

th ng và tri t đ . Nh ng đ
Hy L p, 375 – 325 n m tr
Great. Nh ng đ

c phát hi n b i Menaechmus (ng

c phôi thai trong n l c gi i 3 bài toán n i ti ng:

c thành ba góc b ng nhau, g p đôi kh i l p ph

ng vòng tròn. Nh ng đ

ng conic đ

đ nh v i m t

ng sinh c a hình nón, tùy thu c vào góc nh , b ng,

hay l n h n 900 mà chúng ta có đ

ng elip, parabol, hay hypebol t

Appollonius (262 – 190 n m tr

c Công nguyên) – đ

ng ng.

c bi t đ n nh m t

nhà hình h c v đ i – đã c ng c và m r ng nh ng k t qu tr
đ

ng và

c đ nh ngh a l n đ u tiên

nh là s giao nhau c a m t hình nón tròn xoay hai t ng có góc
m t ph ng vuông góc v i đ

i

c Công nguyên), t ng là giám h cho Alexander the

ng conic đ

chia m t góc cho tr
phép c u ph

ng conic đ

c nghiên c u m t cách có h

c đó v nh ng

ng conic trong chuyên kh o "Conic Sections" (Thi t di n conic), g m 8 t p

sách v i 487 đ nh đ . Morris Kline đã nh n xét: “Conic Sections c a
Appollonius là m t thành t u quá v đ i, nó h u nh đã là m t đ tài khép kín
đ i v i các nhà t t
T p th

ng sau này, ít nh t là t quan đi m thu n túy hình h c”.

VIII c a “Conic Sections” đã b th t l c. “Conic Sections” c a

Appollonius và “Elements” c a Euclid có th đ
h c Hy L p. Appollonius c ng là ng

c xem là tinh hoa c a n n toán

i đ t tên elip, hypebol và parabol. M t

b n gi i thích tóm t t v vi c đ t tên có th đ

c tìm th y trong “Howard Eves”

– m t tác ph m gi i thi u v l ch s toán h c. Trong Renaissance, nh ng quy
lu t chuy n đ ng c a hành tinh c a Kepler, t a đ hình h c c a Descarte và
Fermat và nh ng công trình hình h c x
Pascal đã m r ng nh ng đ

nh ban đ u c a Desargues, La Hire,

ng conic lên m t c p đ cao. Nhi u nhà toán h c
3


sau này c ng đóng góp vào s phát tri n c a đ

ng conic, đ t bi t là s phát

tri n c a hình h c x

ng conic là đ i t

nh là l nh v c mà nh ng đ

nh hình tròn trong hình h c Hy L p. Trong s nh ng ng

ng c b n

i đóng góp ph i k

đ n Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, và
Steiner. Thi t di n conic là m t đ tài kinh đi n đã thúc đ y nhi u s phát tri n
trong l ch s toán h c.
1.2. Quan đi m đ i s v các đ
Trong t a đ

cac, các đ

ng conic

ng conic th a mãn ph

ng trình b c hai có

d ng: ax 2  bxy  cy2  dx  ey  f  0 trong đó a, b, c, d, e và f là các h ng s ;
a, b, b là các s khác 0. Khi chúng ta thay đ i m t vài trong các h ng s này thì
hình d ng t

ng ng c a đ

ng conic s thay đ i theo. Vì v y, t p trung chú ý

vào nh ng s thay đ i này trong các ph
đ

ng trình đ i s khi nghiên c u t ng

ng conic là m t đi u quan tr ng. Vi c chúng ta bi t đ

c s khác bi t trong

các ph

ng trình s giúp chúng ta xác đ nh m t cách nhanh chóng lo i đ

conic đ

c bi u di n b ng ph

v i nh ng ph

ng trình đã cho. Có l chúng ta đã làm vi c nhi u

ng trình nh v y, m c dù có th không nh n ra nó

quan đ n các đ

ng

góc đ liên

ng conic.

N u b2 - 4ac < 0 thì ph

ng trình bi u di n m t elip (tr tr

ng h p a = b

và c = 0)
N u b2 - 4ac = 0 thì ph

ng trình bi u di n m t parabol.

N u a2 - 4ac > 0 thì ph

ng trình bi u di n m t hypebol.

N u có thêm đi u ki n a + c = 0, ph

ng trình bi u di n m t hypebol đ u.

Thay đ i h tr c t a đ , ta có th đ a các ph
d ng chính t c.

ng trình c a các đ

ng conic v

x2 y2
x2 y2
Elip: 2  2  1 ; 2  2  1 ; Parabol: y 2  2 px ; Hypebol:
b
a
a
b

x2 y2

y2
x2


1
hay
.
a2 b2
a2
b2
4

Thang Long University Libraty


1.3. Nói v Parabol
Thu t ng “parabol” xu t phát t t “parabole” c a ti ng Hy L p. Parabol
có th đ

c xem nh là elip v i m t tiêu đi m

các tia sáng song song cùng chi u vào m t chi c g
t i m t đi m. Ng

vô c c.

i u này có ngh a là

ng hình parabol s g p nhau

i ta k r ng: Archimedes đã s d ng g

ng hình parabol

trong chi n tranh. Su t th i k bao vây thành ph Syracuse (214 - 212 n m tr
Công nguyên) b i nh ng ng

i La Mã, Archimedes đã xây d ng các g

c
ng

ph n chi u làm t nh ng t m kim lo i ghép theo hình d ng c a parabol. Nh ng
t m kim lo i đ

c dùng đ h i t nh ng tia n ng m t tr i vào tàu c a ng

i La

Mã, và làm chúng b c cháy.
Menaechmus tìm th y parabol trong khi đang th tìm m t hình vuông có
di n tích b ng hai l n di n tích c a hình vuông đã cho.
Euclid đã vi t v parabol và Apollonius (200 n m tr
đ a ra đ

ng cong này cùng v i tên c a nó.

Pascal đã xem đ
Luca Valerio (ng
1606; đ

c Công nguyên) đã

ng cong này là hình chi u c a m t hình tròn.
i Ý) đã xác đ nh di n tích c a m t parabol vào n m

c g i là phép c u ph

Nh ng Archimedes là ng

ng c a parabol.
i đ u tiên tìm ra giá tr c a di n tích này trong

tác ph m "Quadrature of a Parabola" c a ông.
Cu i th i Trung c , súng đ i bác đ

c dùng

chi n tr

ng. B i v y, vi c

d đoán v trí chính xác đích c a nh ng viên đ n b n ra là r t quan tr ng. Nhi u
nhà khoa h c c tìm câu tr l i cho câu h i này và Galileo Galilei là ng

iđ u

tiên tìm ra m i quan h . ó là qu đ o c a đ n b n ra khi b qua hi u ng c a s
ma sát thì có d ng c a m t parabol.
M t parabol có th đ

c v trên h tr c t a đ Oxy d a vào ph

c a nó. Parabol là m t trong nh ng đ

ng cong conic đ

c t o nên b i vi c giao

c a m t hình nón tròn xoay và m t m t ph ng. Parabol đ
5

ng trình

c t o nên khi m t


ph ng song song v i m t đ

ng th ng đ

c v trên b m t xiên c a hình nón t

đ nh c a hình nón t i đáy c a nó.
M t parabol là t p h p c a t t c nh ng đi m mà kho ng cách t i m t
đ

ng th ng c đ nh (đ

n m trên đ

c g i là đ

ng chu n – (đ

ng chu n) và m t đi m c đ nh – không

c g i là tiêu đi m) là b ng nhau.

Còn m t vài thu t ng khác t n t i trong m i quan h v i parabol.
thu c parabol, n m gi a tiêu đi m và đ
và đ

ng chu n c a parabol đ

ng th ng đi qua tiêu đi m và đ nh đ

i m

c g i là đ nh

c g i là tr c c a parabol.

6

Thang Long University Libraty


Ch

PH
2.1.

ng 2.

NG TRÌNH PARABOL

nh ngh a
nh ngh a parabol

2.1.1.

Trong toán h c, parabol là m t đ

ng conic đ

nón và m t m t ph ng song song v i đ
có th đ

c t o b i giao c a m t hình

ng sinh c a hình đó. M t parabol c ng

c đ nh ngh a nh m t t p h p các đi m trên m t ph ng cách đ u m t

đi m cho tr

c (tiêu đi m) và m t đ

ng th ng cho tr

c (đ

ng chu n).

Hình 2.1. Khái ni m parabol

Tr
tr

ng h p đ c bi t x y ra khi m t ph ng c t ti p xúc v i m t conic. Trong

ng h p này, giao tuy n s suy bi n thành m t đ

ng th ng.

Parabol là m t khái ni m quan tr ng trong toán h c tr u t
nó c ng đ

ng. Tuy nhiên,

c b t g p v i t n su t cao trong th gi i v t lý và có nhi u ng d ng

trong k thu t, v t lý, và các l nh v c khác.
M t parabol c ng có th đ

c đ nh ngh a là m t đ

ng conic v i tâm

sai b ng 1. Là m t k t qu c a đ nh ngh a này, các parabol đ u đ ng d ng. M t
7


parabol có th đ

c d ng b ng cách tìm gi i h n c a m t chu i elip trong đó

m t tiêu đi m, đ

c gi c đ nh, trong khi tiêu đi m kia đ

V i ngh a này, m t parabol có th đ

c di chuy n ra xa.

c coi là m t elip v i m t tiêu đi m

h n. Parabol là m t nh ngh ch đ o c a m t cardioid (đ

vô

ng hình tim).

M t parabol ch có m t tr c đ i x ng duy nh t, đi qua tiêu đi m và vuông
góc v i đ

ng chu n c a nó. Giao đi m c a tr c này và parabol đ

c g i là đ nh

c a parabol. M t parabol quanh xung quanh tr c c a nó trong không gian ba
chi u s t o ra m t hình tròn xoay, g i là m t paraboloid.
B ng 2.1. Các khái ni m c b n v Parabol

ng
chu n

là đ ng th ng c đ nh mà nh ng đi m thu c
parabol luôn cách đ u đ ng th ng này và m t
đi m c đ nh

là đi m c đ nh mà nh ng đi m thu c parabol
Tiêu đi m luôn cách đ u đi m này và m t đ ng th ng c
đ nh

Dây cung

o n th ng n i hai đi m b t k trên parabol.

Ti p tuy n

ng th ng n m ngoài và ti p xúc v i
parabol t i đúng m t đi m.

Cát tuy n

ng th ng đi ngang qua parabol và c t
parabol t i hai đi m phân bi t.

8

Thang Long University Libraty


2.1.2. Quan h v i các đ
Các đ
t 200 n m tr

ng cônic

ng cônic (bao g m đ

ng tròn, elip, parabol, hypebol) đã đ

c Công nguyên và Apollonius là ng

c bi t

i đ u tiên nghiên c u có h

th ng các tính ch t c a chúng.
Trong t nhiên, các đ

ng cônic có m t vai trò r t quan tr ng, vì chúng là

mô hình cho nhi u quá trình v t lý x y ra trong t nhiên. Có th ch ra r ng m t
v t th b t k d

i tác đ ng c a l c h p d n ph i có q y đ o là m t đ

ng

cônic. Các thiên th hút l n nhau v i l c h p d n t l ngh ch v i bình ph

ng

kho ng cách gi a chúng. Vì th q y đ o c a các thiên th là các đ
Qu đ o c a các h t đi n tích c ng là các đ
mô đ n th gi i vi mô, các đ

Elip

ng cônic.

ng cônic. Nh v y, t th gi i v

ng cônic xu t hi n trong t nhiên.

Parabol

Hypebol

Hình 2.2 Thi t di n cônic

ng cônic có th đ
a)

c đ nh ngh a theo nhi u cách khác nhau.

nh ngh a hình h c

Các đ
cônic hay đ

ng tròn, elip, parabol hay hypebol có tên g i chung là thi t di n
ng cônic.

ng côníc là giao tuy n gi a m t m t nón tròn xoay

hai t ng v i m t m t ph ng, theo các góc nghiêng khác nhau (xem Hình 2.2).
+ Khi giao c a m t nón và m t ph ng là m t đ
m t ph ng c t t t c các đ

ng cong khép kín, t c là

ng sinh và không song song v i đ

9

ng sinh nào, thì


ta có thi t di n là m t elip, tr

ng h p riêng là m t đ

ng tròn khi m t ph ng

n m ngang c t m t nón, nh ng không đi qua đ nh c a nón.

+ Khi m t ph ng song song v i m t đ
nh n đ

ng sinh c a m t nón, đ

ng côníc

c là m t parabol.

+ Cu i cùng, khi m t ph ng c t c hai m t nón có chung đ nh s t o nên hai
đ

ng cong tách bi t, g i là hypebol.
b)

nh ngh a d a trên tiêu đi m vƠ đ

ng chu n

Trong m t ph ng cho đi m c đ nh F và đ
qua F. Ký hi u Q là chân đ

ng vuông góc h t P t i L. T p h p các đi m P

sao cho t s PF/PQ b ng m t s d

ng e cho tr

i m F g i là tiêu đi m, L g i là đ
l ch tâm c a đ

ng th ng c đ nh L không đi
cđ

c g i là đ

ng cônic.

ng chu n và e g i là tâm sai hay đ

ng cônic.

T đ nh ngh a trên có th th y:
o

Elip là đ

o

Para bôn là đq

o

Hypebôn là đ

a)

ng cônic tâm sai e < 1 (Hình 2.3 a).
ng cônic tâm sai e = 1 (Hình 2.3 b).
ng cônic tâm sai e > 1 (Hình 2.3 c).

b)

Hình 2.3. Tiêu đi m vƠ đ

c)
ng chu n c a đ

i v i elip và hypebol, có hai c p "tiêu đi m - đ

ng cônic

ng chu n". Các c p này

t o nên m t elip ho c hypebol hoàn ch nh, đ ng th i chúng t o ra tâm đ i x ng
(trung đi m c a đo n th ng n i hai tiêu đi m). Theo đó, elip và hypebol còn có
th đ nh ngh a theo m t cách khác mà parabol không th đ nh ngh a theo cách đó
đ

c. ó là
10

Thang Long University Libraty




Elip là t p h p các đi m M sao cho MF1 + MF2 = 2a (h ng s ), trong đó

F1 và F2 là hai tiêu đi m.



Hypebol là t p h p các đi m M sao cho |MF1 - MF2| = 2a (h ng s ), trong

đó F1 và F2 là hai tiêu đi m.
V i đ nh ngh a này, parabôn có th xem nh d ng suy bi n c a elip khi tiêu
đi m th hai b đ y ra xa vô t n. C ng v y, đ

ng tròn xem nh d ng suy bi n

c a elip khi hai tiêu đi m g p l i thành m t.
• D ng suy bi n c a đ

ng cônic

Theo đ nh ngh a hình h c, có m t s d ng suy bi n khác nhau c a đ
cônic, trong đó có tr
tr

ng

ng h p m t ph ng đi qua đ nh c a nón. Giao tuy n trong

ng h p này có th là m t đ

ng th ng (khi m t ph ng ti p xúc v i m t nón);

m t đi m (khi góc t o b i m t ph ng v i tr c c a nón l n h n góc t o b i m t
ph ng ti p xúc v i m t nón) ho c m t c p đ

ng th ng c t nhau (khi góc đó nh

h n).
c)

nh ngh a đ i s

Các đ

ng cônic còn có th xem nh t p nghi m c a ph

ng trình b c 2

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0.
Ký hi u
a b d
a b
= ac - b2, S = a + e.
 = b c e,=
b c
d e f

Các đ i l

ng này không thay đ i khi t nh ti n g c t a đ và quay h tr c

t a đ , ngh a là sau khi bi n đ i t a đ ph

ng trình đ

ng cong có d ng

a'x2 + 2b'xy + c'y2 + 2d'x + 2e'y + f' = 0 thì các giá tr ,  và S, tính theo các h
s m i, gi nguyên các giá tr ban đ u.
D ng c a đ

ng cong bi u di n b i ph

nh sau (xem B ng 2.2):
11

ng trình b c hai đ

c xác đ nh


- Tr

ng h p  ≠ 0:

1. Elip khi  > 0: a) elip th c n u .S < 0; b) elip o n u .S > 0.
2. Hypebol khi  < 0.
3. Parabol khi  = 0.
- Tr

ng h p  = 0: C p đ
B ng 2.2 Các đ

ng th ng (song song, c t nhau hay o).
ng cong b c hai (thi t di n cônic)

D ng đ

ng cônic





≠0

<0

hypebol

≠0

=0

parabol

≠0

>0

.S < 0

elip th c

≠0

>0

.S > 0

elip o

=0

<0

=0

>0

=0

=0

d2 - af < 0

=0

=0

d2 - af = 0

=0

=0

d2 - af > 0

S

hai đ

ng th ng c t nhau
đi m

hai đ
hai đ
hai đ

ng th ng song song o
ng th ng trùng nhau

ng th ng song song tách bi t

2.2. Cách v Parabol
D
B

M

F



C

A

12

Thang Long University Libraty


Hình 2.4. V đ

ng cong parabol

S d ng đ nh ngh a, chúng ta có th v ra m t parabol v i thi t b khá đ n
gi n g m: m t th

c th ng, m t th

c tam giác vuông (Êke ABC), m t s i dây

không đàn h i có đ dài b ng AB, m t đinh ghim và m t cây bút chì. B ng
th

c th ng d c theo đ

đ nh B c a êke.

ng , bu c m t đ u dây vào đi m F và đ u kia vào

t êke sao cho c nh AC n m trên , l y đ u bút chì ép sát s i

dây vào c nh AB và gi cang s i dây r i cho c nh AC c a êke tr

t trên . Vì

MF luôn luôn b ng MA, nên đ u bút chì M s v ch lên m t ph n Parabol v i
đ

ng chu n  và tiêu đi m F
2.3. Ph
2.3.1. Ph

ng trình Parabol
ng trình chính t c

Cho parabol v i tiêu đi m F và đ
P  .

ng chu n . K FP vuông góc v i ,

t FP = p (tham s tiêu).

Ta ch n h tr c t a đ Oxy sao cho O là trung đi m c a FP và đi m F n m
p



 p



trên tia Ox. Nh v y ta có F   ; 0  ; P    ; 0  và ph

2 
 2 
th ng  là x 

ng trình c a đ

p
 0.
2

Hình 2.5. Ph

ng trình chính t c c a parabol

13

ng


i m M(x, y) n m trên parabol đã cho khi và ch khi kho ng cách MF b ng
2


p
p
2
kho ng cách t M đ n , t c là:  x    y  x  .
2
2


Bình ph
Ph

ng 2 v c a đ ng th c r i rút g n, ta đ

ng trình (*) g i là ph

Bây gi , ta thay đ i ph

c y2 = 2px (p > 0).

(*)

ng trình chính t c c a parabol.

ng trình chính t c c a parabol ta thu đ

c thêm 3

lo i parabol sinh ra t s thay đ i đó.

y2 = 2px, p < 0

x2 = 2py, p > 0

x2 = 2py, p < 0

Hình 2.6. Các d ng parabol khác nhau

Vì v y, chúng ta th y r ng có 4 h

ng khác nhau c a parabol: Bi n nào là

bi n b c hai (x hay y); p là s âm hay s d

ng.

Ví d 2.1. Xác đ nh t a đ đ nh, tiêu đi m và ph

ng trình đ

ng chu n

c a các parabol sau:
a) y2 = 4x;

b) y2 = - x/12;

c) x2 = 6y;

d) x2 = - y.

L i gi i
a) y2 = 4x = 2.2x

p = 2.

Khi đó parabol có đ nh O(0; 0), tiêu đi m F(1; 0), ph

ng trình đ

ng

ng trình đ

ng

chu n x + 1 = 0.
b) y2 = - x/12 = 2(- 1/24)x

p = - 1/24.

Khi đó parabol có đ nh O(0; 0), tiêu đi m F(- 1/48, 0), ph
chu n : x - 1/48 = 0.
14

Thang Long University Libraty


c) x2 = 6y = 2.3y

p = 3.

Khi đó parabol có đ nh O(0; 0), tiêu đi m F(0, 3/2), ph

ng trình đ

ng

ng trình đ

ng

chu n : y + 3/2 = 0.
d) x2 = - y = 2(- 1/2)y

p = - 1/2.

Khi đó parabol có đ nh O(0; 0), tiêu đi m F(0, - 1/4), ph
chu n : y - 1/4 = 0.
Ví d 2.2. V các parabol sau:
a) y2 = 4x;

b) y2 = x/2;

c) x2 = 6y;

d) x2 = - y.

L i gi i

a) y2 = 4x.
Hình 2.7 a

2
b) y 

x
2

Hình 2.7 b

15


2

c) x

 6y
Hình 2.7 c

2

d) x   y
Hình 2.7 d

Ví d 2.3. Vi t ph

ng trình chính t c c a parabol

a) Có tiêu đi m F(5; 0)
b) i m M(54; - 7) thu c (P)
c) Có tham s tiêu p 
d)

1
42 3

ng chu n là tr c đ ng ph

C  : x

2

1

ng c a 2 đ

ng tròn

 y2  2 x  6 y  2  0 và  C2  : x2  y2  x  6 y  7  0

e) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng Oy và đi qua đi m A(8; - 14)
f) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng trùng v i tr c t a đ và ch n trên đ
th ng d : x 

ng

1
m t dây cung AB = 16.
3

L i gi i

16

Thang Long University Libraty

a) Có tiêu đi m F(5; 0) 

p
 5  p  10  Ph
2

ng trình chính t c c a

(P) : y2  20 x

b) i m M(54; -7) thu c (P)
Gi s parabol (P) có ph

ng trình chính t c là (P) : y2  2 px . Do (P) đi qua

M(54; -7) nên t a đ đi m M ph i th a mãn ph
trình:

(P) :  7   2 p.54  p 

(P) : y2 

216
x
49

2

c) Ta có tham s tiêu p 

 Ph

d)

108
 Ph
49

ng

1

1

42 3





2
ng trình chính t c c a (P) : y 

ng chu n là tr c đ ng ph

C  : x

2

1

trình



3 1



ng trình (P), ta có ph



2

chính

1
3 1



t c

ng
c a

3 1
2



3 +1 x

ng c a 2 đ

ng tròn

 

2
2
 y2  2 x  6 y  2  0 và C2 : x  y  x  6 y  7  0
2
2

x  y  2x  6 y  2  0
 3x  9  0  x  3
ng trinh  2
2
x
y
x
y





6

7
0



Xét h ph

 Tr c đ ng ph

ng c a 2 đ

c a parabol (P) nên tham s

ng tròn trên là x = -3 c ng là đ

tiêu p =

6  Ph

ng chu n

ng trình chính t c c a

(P) : y2  12 x

e) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng Ox và đi qua đi m A(8; -14)
Gi s parabol (P) có ph

ng trình chính t c là (P) : y2  2 px . Do (P) đi qua

A(8; -14) nên t a đ đi m M ph i th a mãn ph
trình: (P) :  14   2 p.8  p 
2

49
 Ph
4

17

ng trình (P), ta có ph

2
ng trình chính t c c a (P) : y 

ng

49
x
2


f) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng Ox và ch n trên đ

ng th ng d : x 

1
m t
3

dây cung AB  16
Gi s parabol (P) có ph

ng trình chính t c là (P) : y2  2 px . Do tính đ i

AB  Ox

 AB  2 y A  16  y A  8 , do A  d  x A  1
3
AB  16

x ng c a (P) nên t 
i m

A

thu c

(P)

nên

1
2
(P)  8  2p.  p  96  Ph
3

2.3.2. Các ph

t a

đ

A

th a

mãn

ph

ng

trình

ng trình chính t c c a (P) : y2  192 x

ng trình hình gi i tích khác c a parabol

a) Trong h t a đ Descartes:
- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Oy và có đ nh S(h; k),
tiêu đi m F(h; k + p) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n : y = k - p, v i p là kho ng cách t đ nh

2
ng trình nh sau: (x  h)  4p(y  k)

Ta có th bi n đ i ph

ng trình trên v d ng:

y  a(x  h)2  k  y  ax 2  bx  c ,

b
4ac  b
1
h2
h
; k
a
;
b
;
c



 k; h 
trong đó:
.
2a
4a
4p
2p
4p
2

- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Ox và có đ nh S(h; k),

tiêu đi m F(h + p; k) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n : x = h - p, v i p là kho ng cách t đ nh

2
ng trình nh sau: (y  k)  4p(x  h)

Ta có th bi n đ i ph

ng trinhg trên v d ng:

x  a(y  k)2  h



x  ay 2  by  c

4ac  b2
b
1
k
k2
; k
trong đó: a  ; b  ; c   h; h 
.
4a
2a
4p
2p

4p

18

Thang Long University Libraty


T ng quát h n, m t parabol là m t đ
đ nh ngh a b i ph

ng trình t i gi n có d ng ax2  bxy  cy2  dx  ey  f  0 ,

2
trong đó b  4ac . Ph

bi u di n d

ng cong trên m t ph ng Decartes

ng trình đ

i d ng tích hai ph

c g i là t i gi n n u nó không th đ

c

ng trình tuy n tính (không nh t thi t khác

nhau).

Ví d 2.4. Xác đ nh t a đ đ nh, tiêu đi m và ph

ng trình đ

ng chu n

c a các parabol sau
2
a) y  x  1 ;

b) y  x2  4x  3 ; c) y  x2  4x ; d) y  x2  3x  2 .

L i gi i
- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Oy và có đ nh S(h; k),
tiêu đi m F(h; k + p) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n : y = k - p, v i p là kho ng cách t đ nh

2
ng trình nh nh sau: (x  h)  4p(y  k)

2
a) y  x  1   x  0   4.
2

1
1
y   1  h  0; p  ; k  1
4

4





Khi đó parabol có tr c đ i x ng song song v i Oy và có đ nh S(0; -1), tiêu
đi m F  0;  3  và đ
4








ng chu n  : y  

2
b) y  x  4x  3   x  2  4.
2

5
4

1
1
y   1  h  2; p  ; k  1
4

4





Khi đó parabol có tr c đ i x ng song song v i Oy và có đ nh S(2; -1), tiêu


3





đi m F  2;   và đ
4

ng chu n  : y  

5
4

 1
1
2
2
c) y  x  4x  x  4x  4  4.     y  4   h  2; p   ; k  4
4
 4

19


Khi đó parabol có tr c đ i x ng song song v i Oy và có đ nh S(2; 4), tiêu
 15 

đi m F  2;  và đ
 4

ng chu n  : y 

17
4
2


 1 
9
1
3
1
d) y  x  3x  2  x  3x   y    x    4    y  
4
4
2
4

 4 
2

2

3
1
1
 h  ;p   ;k 
2
4
4
3 1

Khi đó parabol có tr c đ i x ng song song v i Oy và có đ nh S  ;  , tiêu
2 4
3 
đi m F  ; 0  và đ
2 

Ví d

ng chu n  : y 

1
2

2.5. V các parabol sau:

a) y  x 2  4x
Hình 2.8 a

2
b) y  x  3x  2

20

Thang Long University Libraty


Hình 2.8 b

2
c) y  x  2x

Hình 2.8 c

d) y  x2  4x  3
Hình 2.8 d

Ví d 2.6. Vi t ph

ng trình parabol có tr c đ i x ng song song v i Oy

a) i qua 3 đi m A 0; 1 ; B 1; 1 ; C  1;1
b) i qua A 0;3 và đ nh parabol là S  2; 1
L i gi i
a) Gi

s

parabol (P) có tr c đ i x ng song song v i Oy có d ng

y  ax 2  bx  c

Do (P) đi qua 3 di m A, B, C nên t a đ các đi m này th a mãn ph
trình c a (P). Ta có h ph

c  1
a  1


ng trình a  b  c  1   b  1
a  b  c  1
c  1


21

ng


2
V y (P): y  x  x  1

b) Gi

s

parabol (P) có tr c đ i x ng song song v i Oy có d ng

y  ax 2  bx  c

Do (P) đi qua A 0;3 và đ nh parabol là S  2; 1 nên ta có h ph

ng trình


1
c  3
a  2

 b

  b  2
  2
 2a
c  3
4a  2b  c  1 


b) D ng tham s
- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Oy và có đ nh S(h; k),
tiêu đi m F(h; k + p) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n  : y = k - p, v i

là kho ng cách t đ nh


x  2pt  h

,t 
ng trình tham s nh sau: 
2
y

pt

k



- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Ox và có đ nh S(h; k),
tiêu đi m F(h + p; k) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n  : x = h - p, v i

là kho ng cách t đ nh

x  pt 2  h
,t 
ng trình tham s nh sau: 


y
2pt
k


c) Trong t a đ c c

Trong h t a đ c c, m t parabol v i tiêu đi m là g c t a đ và đ
chu n là tr c d

ng Ox đ

c cho b i ph

ng

ng trình r(1  cos )  l trong

đó, l là bán tiêu: n a đ dài cung đi qua m t tiêu đi m và song song v i đ

ng

chu n. L u ý r ng đo n này g p đôi kho ng cách t tiêu đi m t i đ nh c a
parabol và b ng m t n a bán kính qua tiêu. Bán kính qua tiêu và m t dây cung
đi qua tiêu đi m và vuông góc v i tr c đ i x ng, nó có đ dài b ng 4a.

22

Thang Long University Libraty


Ví d 2.7. Cho parabol (P): y2  12x . G i AB là m t dây cung đi qua têu
đi m c a (P). Ch ng minh r ng tích kho ng cách t A, B đ n tr c hoành là m t
s không đ i

y
y1

L i gi i

A

F

x

B

y2

Hình 2.9

T
đ

ph

ng trình c a (P) suy ra 2p=12  p  6  F  3;0  . Ph

ng trình

ng th ng AB đi qua F là: a  x  3  by  0  ax  by  3a  0
Do A và B không thu c Ox nên a  0 , t a đ A và B là nghi m c a h

ph

2


y  12x
 ay2  12by  36a  0 (*)
ng trình 

ax  by  3a  0

V i a  0 ph
Kho ng

ng trình (*) luôn có 2 nghi m phân bi t y1 ,y2 : y1.y 2  36

cách

t

A

và

B

đ n

tr c

hoành

l n

l

t

là

d1  y1 ,d 2  y2  d1 .d 2  y1.y2  36 không đ i

T ng quát: Cho parabol (P): y 2  2px . G i AB là m t dây cung đi qua têu
đi m c a (P). Ch ng minh r ng tích kho ng cách t A, B đ n tr c hoành là m t
s không đ i
T ph

p



ng trình c a (P) suy ra F  ; 0  . Ph
2 


p
qua F là: a  x    by  0  2ax  2by  ap  0
2


23

ng trình đ

ng th ng AB đi


Do A và B không thu c Ox nên a  0 , t a đ A và B là nghi m c a h
ph

y2  2px

 ay2  2bpy  ap2  0 (*)
ng trình 

2ax  2by  ap  0

V i a  0 ph
Kho ng

ng trình (*) luôn có 2 nghi m phân bi t y1 , y 2 : y1 .y 2   p2

cách

t

A

và

B

đ n

tr c

hoành

l n

l

t

là

d1  y1 ,d 2  y2  d1 .d 2  y1 .y2  p2 không đ i

Ví d 2.8. Cho parabol (P): x2  y . M t góc vuông đ nh O c t parabol t i A
và B. G i A1 ,B1 là hình chi u vuông góc c a A, B trên tr c Ox. Ch ng minh:
a) Tích OA.OB không đ i
b)

ng th ng AB luôn đi qua m t đi m c đ nh

L i gi i

y
A

O

B1

A1

x

B

Hình 2.10

a) Gi s A  x1; y1  ; B  x 2 ; y 2  , đi u ki n đ t n t i góc vuông AOB là A, B
không trùng v i O  x1 .x 2  0
OA  OB  OA.OB  0  x1x 2  y1y 2  0 .
2

2
x1  y1
 y1y2   x1x2 
Hai đi m A, B đ u thu c (P) nên  2

x 2  y 2

(1)
(2)

24

Thang Long University Libraty


Thay (2) vào (1) đ
là

A1;B1

Do

 x1x2  0 (lo¹i)
2
x
x
x
x
0





c 1 2

1 2
 x1x2  1

hình

chi u

c a

A

và

B

trên

Ox

nên

OA1  x1 ;OB1  x2  OA1.OB1  x1x2  1 không đ i

b) Ph

ng trình đ

x  x1
y  y1
x  x1
y  x12



ng th ng AB:
x 2  x1 y 2  y1
x 2  x1 x 22  x12

  x2  x1  x  x1   y  x12

Do x1  0 nên nhân x1 vào 2 v ph

x x

1 2



ng trình trên đ



c



 x12  x  x1   x1y  x13  x12 1 x  x1   x1y  x13

 xx12  1  y  x1  x  0

Gi s H(x; y) là đi m c đ nh mà đ
ph

ng th ng AB luôn đi qua, khi đó

x  0
x  0

ng trình sau có nghi m v i m i x1  
1  y  0
y  1

V yđ

 

ng th ng AB luôn đi qua đi m c đ nh H 0;1

2
Ví d 2.9. Cho parabol (P): y  2px . G i AB là m t dây cung c a (P) đi

qua tiêu đi m c a (P). Ch ng minh đ
đ

ng tròn đ

ng kính AB luôn ti p xúc v i

ng chu n c a parabol y
L i gi i

y
A1

A
F
I

I1
B1

B


Hình 2.11
25

x