Luận văn thạc sĩ toán cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ thông

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------

TR NăCHỂUăNGUYểN

C C,ă

IăC CăVĨă NGăD NGă

TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG

LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C

Hà N i – N m 2016


B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă I H CăTH NGăLONG
--------------------------------------------

Tr năChơuăNguyênăậ C00451

C C,ă

IăC CăVĨă NGăD NG

TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG
LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

Chuyên ngành: Ph
Mã s :

Ng

ih

ngăphápătoánăs ăc p

60.46.01.13

ng d n khoa h c: PGS.TSKH. S ă

CăQUANG

Hà N i – N m 2016

Thang Long University Libraty


L IăC Mă N
Lu n v n này đ
h

c hoàn thành t i tr

ng d n khoa h c c a PGS.TSKH S

ng

i h c Th ng Long d

is

c Quang. Tôi xin g i l i c m n

đ n Ban Giám hi u, các Th y Cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đ i h c và các
phòng ban liên quan trong Tr

ng

i h c Th ng Long đã t n tình giúp đ và

t o đi u ki n thu n l i cho tôi trong quá trình h c t p và nghiên c u.
c bi t, tôi xin chân thành c m n Th y h
là PGS.TSKH S

c Quang đã t n tình h

trình nghiên c u và hoàn thi n lu n v n.
n đ n toàn th gia đình, ng

ng d n khoa h c c a mình

ng d n và giúp đ tôi trong quá
ng th i tôi xin đ

cg il ic m

i thân và các b n l p cao h c Toán K3 Tr

ng

i h c Th ng Long đã đ ng viên, giúp đ tôi trong quá trình h c t p và
nghiên c u.
Vì đi u ki n công tác và th i gian có h n cùng v i kh i l

ng ki n th c

l n nên lu n v n khó tránh kh i nh ng thi u sót. Tác gi kính mong các Th y,
Cô cùng các b n đ c ti p t c góp ý ki n đ lu n v n đ
Xin chân thành c m n!

3

c hoàn thi n h n.


M CăL C
L IăC Mă N .................................................................................................. 1
M CăL C ........................................................................................................ 2
M ă U .......................................................................................................... 5
Ch ngă1:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGăX ă NH ........... 6
1.1 Không gian x nh ...................................................................................... 6
1.2. T s kép và hàng đi m đi u hòa................................................................ 8
1.3. Ánh x x nh........................................................................................... 13
1.3.1. nh ngh a ............................................................................................ 12
1.3.2. Tính ch t c a ánh x x nh. ................................................................ 14
1.4. Siêu m t b c hai trong không gian x

nh P 2  R  . .................................. 16

1.4.1. nh ngh a. ........................................................................................... 16
1.4.2. Giao c a đ ng b c hai v i đ ng th ng. ........................................... 17
1.4.3. D ng chu n t c c a siêu m t b c hai trong không gian x nh th c .... 18
1.5. i m liên h p qua siêu m t b c hai trong P 2  R  .................................... 19
1.6. Nguyên t c đ i ng u................................................................................. 23
1.7. Các đ nh lý c đi n c a hình h c x nh.................................................. 24
1.8. Mô hình afin c a m t ph ng x nh: ........................................................ 30
1.8.1. Mô hình afin c a m t ph ng x nh: ..................................................... 30
1.8.2. M t s nh n xét: .................................................................................... 31
1.8.3. M t s khái ni m đ i ng u trong P2 : ................................................... 32
Ch ngă2:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGă CLIT ........... 35
2.1. Phép ngh ch đ o ....................................................................................... 35
2.2.
ng tròn tr c giao ................................................................................ 36
2.3. C c và đ i c c.......................................................................................... 36
Ch

ngă3:ăH ăTH NGăBĨIăTOÁNă I NăHÌNHă NGăD NGăC CăVĨă
IăC CăTRONGăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG ........................................ 39
3.1. Các bài toán v quan h vuông góc, song song: ...................................... 39
3.2. Các bài toán v tính đ ng quy, th ng hàng: ............................................. 43
K TăLU N .................................................................................................... 53
DANH M CăTĨIăLI UăTHAMăKH O ..................................................... 54

4

Thang Long University Libraty

M ă

U

C c và đ i c c là m t công c m nh và thú v đ nghiên c u hình h c ph
thông. V i khái ni m c c và đ i c c, chúng ta có th đ a ra cách nhìn khá
nh t quán đ i v i m t s d ng toán đ c tr ng (quan h vuông góc, th ng
hàng, đ ng quy,...).
đ iv iđ

b c THPT, chúng ta xem xét khái ni m c c và đ i c c

ng tròn, đ i v i 3 đ

ng cô-níc ho c v i c p đ

ng th ng. Tuy

nhiên hi n nay, vi c v n d ng các ki n th c v c c và đ i c c vào nghiên c u
và gi i quy t các bài toán hình h c ph thông ch a đ
thác trong ch

c quan tâm và khai

ng trình sách giáo khoa, nh ng nó l i n m trong ph m vi ki n

th c c a các đ thi h c sinh gi i môn Toán

tr

ng THPT. Vì v y tôi l a

ch n nghiên c u đ tài “C c, đ i c c và ng d ng trong d y hình h c ph
thông”.
M c đích c a chúng tôi trong lu n v n nh m trình bày ph

ng pháp s

d ng c c và đ i c c đ gi i quy t bài toán hình h c ph thông. Chúng tôi s
đ a ra h

ng gi i quy t m t s d ng bài toán hình h c s c p b ng cách s

d ng ki n th c v c c và đ i c c mà các ph
nhi u công s c m i gi i quy t đ

ng pháp thông th

ng m t

c. V i mong mu n nh v y, tôi hy v ng

lu n v n có th là m t tài li u tham kh o cho các h c sinh ph thông và các
đ ng nghi p giáo viên Toán THPT và THCS đ ti p c n các bài toán hình h c
s c p theo m t h
Lu n v n đ

ng m i.

c chia ra làm 3 ch

ng. Trong Ch

ng 1, chúng tôi s trình

bày các ki n th c v c c và đ i c c trong m t ph ng x
dành Ch
3 là ch

nh. Chúng tôi s

ng 2 đ trình bày c c và đ i c c trong m t ph ng Euclid. Ch

ng

ng cu i c a lu n v n s dành đ trình bày h th ng m t s d ng bài

t p hình h c s c p đ

c gi i b ng ph

5

ng pháp s

d ng c c, đ i c c.

Ch

ngă1
C CăVĨă

IăC CăTRONGăM TăPH NGăX ă NH

1.1ăKhôngăgianăx ă nh
Cho V n là không gian véc-t n chi u trên tr
 V n  là t p h p các không gian véc-t

ng K , v i n  1 . Ta kí hi u

con m t chi u c a V n . Theo kí hi u

đó, ta hi u V1   V1 .
nhă ngh aă 1.1.1 (Không gian x
gian véc-t

 P, p, V 
n+1

nh). Cho m t t p h p P , m t K –không

n  1 chi u V n+1 , và m t song ánh p :  V n1   P . Khi đó b ba

đ

c g i là không gian x

K – không gian véc-t

nh n chi u trên tr

ng K , liên k t v i

V n+1 b i song ánh p .

đ n gi n, ta kí hi u  P, p, Vn+1  b i P , đ ng th i đ ch rõ nó có s chi u
b ng n , ta kí hi u nó là Pn .
M i ph n t c a Pn đ

c g i là m t đi m c a không gian x

nh Pn . G i u

là véc-t khác 0 c a V n+1 và u là không gian véc-t con m t chi u sinh b i
véc-t u , thì p  u   U là m t đi m nào đó c a Pn . Khi đó ta nói r ng véc-t
u là đ i di n c a đi m U .

Hai véc-t u và u ' (khác 0 ) cùng đ i di n cho m t đi m khi và ch khi
chúng ph thu c tuy n tính, t c là u  ku ' , v i k  K \ 0 .
Không gian x
đ

nh trên tr

c g i là không gian x

ng s th c R liên k t v i không gian véc t ¡

n

nh th c n chi u, kí hi u là P n  R  . Trong lu n v n

này, chúng ta xét đ n không gian x

nh th c 2 chi u P 2  R  .

6

Thang Long University Libraty


nhă ngh aă 1.1.2ă (Ph ng trong không gian x
nh  P 2 , p, R 3  . G i W là không gian véc-t
( 2  m  0 ). Khi đó t p h p p  W  đ

nh P 2 ). Cho không gian x
con m 1

chi u c a R 3

c g i là cái ph ng m chi u (ho c là

m ph ng) c a P 2 .

Nh v y, m i đi m c a P 2 là m t 0  ph ng; 1 ph ng c a P 2 còn g i là
đ

ng th ng; 2  ph ng c a P 2 là c không gian P 2 .
nhă ngh aă 1.1.3ă (H đi m đ c l p c a P 2 ). H r đi m ( r  1 ) c a không

gian x

nh P 2 đ

c g i là h đi m đ c l p n u h r véc-t đ i di n cho

chúng là h véc-t đ c l p tuy n tính trong R 3 . H đi m không đ c l p g i là
h đi m ph thu c.
Theo đ nh ngh a đó, trong P 2 h ch có m t đi m là h đ c l p, h g m hai
đi m là h đ c l p n u hai đi m đó phân bi t, h g m ba đi m đ c l p n u ba
đi m đó không th ng hàng. H g m 4 đi m tr lên luôn luôn là h đi m ph
thu c.
nhăngh aă1.1.4ă(M c tiêu x
P 2 là

nh). M t t p h p có th t g m 4 đi m c a

S0 , S1, S2 ; E đ c g i là m c tiêu x

nh n u b t kì 3 đi m trong 4

đi m đó đ u đ c l p.
Các đi m Si (v i i  0,1, 2 ) g i là các đ nh c a m c tiêu x
là đi m đ n v . Các đ

ng th ng Si S j v i i  j và i, j  0,1, 2 , g i là các tr c

t a đ . V i m i m c tiêu x

e , e , e  c
0

1

véc-t

2

a R 3 sao cho véc-t

nh S0 , S1, S2 ; E , luôn tìm đ

c m t c s

ei là đ i di n c a đ nh Si (v i i  0,1, 2 ) và

e  e0  e1  e2 là đ i di n c a đi m E. C

di n c a m c tiêu x

nh, đi m E g i

nh đã cho.

7

s đó đ

c g i là c s đ i


nhăngh aă1.1.5ă (T a đ đi m đ i v i m t m c tiêu x

e , e , e  c
0

1

nh S0 , S1, S2 ; E có c s đ i di n là

nh P 2  R  cho m c tiêu x

gian x
2

nh). Trong không

a R 3 . V i m i đi m X b t kì c a P 2 ta l y véc-t

X . Khi đó t a đ

 x0 ; x1; x2  c a véc-t x đ i v i c s

x đ i di n cho

e , e , e  c
0

1

2

ng đ

cg i

là t a đ c a đi m X đ i v i m c tiêu S0 , S1, S2 ; E và vi t X  ( x0 ; x1; x2 ) .

1.2.ăT ăs ăképăvƠăhƠngăđi măđi uăhòa
Trong không gian x

nh P 2  R  cho 4 đi m th ng hàng A, B, C , D trong đó ba

đi m A, B, C đôi m t không trùng nhau. Ta g i a , b, c, d là các véc-t l n l

t

đ i di n cho các đi m A, B, C , D thì các véc-t đó thu c m t không gian véc-t
2 chi u, trong đó a , b đ c l p tuy n tính. Khi đó có các s k1, l1 và k2, l2 sao
cho
c  k1 a  l1 b;
d  k2 a  l2 b

Ta chú ý r ng k1  0 và l1  0 vì C không trùng v i A và B .
nhăngh aă1.2.1ă (T s kép c a b n đi m th ng hàng). N u t s
ngh a (t c là l2  0), thì nó đ

k2 k1
có
:
l2 l1

c g i là t s kép c a 4 đi m th ng hàng

A, B, C , D và kí hi u là  A, B, C, D . N u l2  0 thì phân s

k2
không có ngh a,
l2

và khi đó ta xem t s kép c a 4 đi m A, B, C , D b ng  (vô cùng).
 k2 k1
 : , khi l2  0
Nh v y là  A, B, C , D    l2 l1
, khi l  0
2


nh ngh a trên không ph thu c vào vi c ch n véc-t đ i di n cho các đi m.

8

Thang Long University Libraty


nhă lýă 1.2.2 (M t s tính ch t c a t s kép). N u 4 đi m A, B, C , D th ng
hàng và phân bi t thì:

i) Khi hoán v 2 đi m đ u v i nhau, ho c 2 đi m cu i v i nhau thì t s kép
tr thành s ngh ch đ o.
ii) Khi hoán v đ ng th i 2 đi m đ u v i nhau và 2 đi m cu i v i nhau, t s
kép không thay đ i.
iii) Khi hoán v c p đi m đ u v i c p đi m cu i, t s kép không thay đ i.
iv) Khi hoán v 2 đi m
v i nhau thì đ
v)

N u

gi a v i nhau, ho c hoán v đi m đ u và đi m cu i

c t s kép m i b ng 1 tr đi t s kép c .

A,B,C,D,E

là

5

đi m

th ng

hàng

phân

 A, B, C , D  .  A, B, D, E    A, B, C , E  .

Ch ng minh. i) Ta có c  l1 b  k1 a và d  l2 b  k2 a vì v y

 B, A, C , D  

l2 l1
1
1
: 

,
k2 k1 k2 : k1  A, B, C , D 
l2 l1

 A, B, D, C  

k1 k2
1
1
: 

.
l1 l2 k2 : k1  A, B, C , D 
l2 l1

ii) Tính ch t (ii) chính là h qu c a tính ch t (i). Ta có:

 B, A, D, C  

1


 A, B, D, C 

1
  A, B, C , D  ,
1
 A, B, C, D

C , D, A, B   A, B, C , D  .
c  k1 a  l1 b
iii) Ta có 
. T đó ta suy ra
d  k2 a  l2 b

(k1l2  k2l1 )a  l2 c  l1 d
.

 k1l2  k2l1  b  k2 c  k1 d

Vì v y ta đ

c

9

bi t

thì

k

l

k

k

C , D, A, B  2 : 2  2 : 1   A, B, C , D  .
k1 l1 l2 l1

iv) Th t v y, ta có
c  k1 a  l1 b
.

d

k
a

l
b

2
2 1

Do v y ta có
l1 b  k1 a  c
.





l
d
l
k
l
k
a
l
c


 1
1 2
2 1
2

Vì v y, ta đ

c:

 A, C , B, D  

l1k2  l2 k1 k1 l1k2  l2 k1
lk
:

 1  1 2  1   A, B, C , D  .

1
l2
l2 k1
l2 k1

v) Th t v y, ta có
c  k1 a  l1 b

 d  k2 a  l2 b .

e  k3 a  l3 b

T đó, ta suy ra
k k  k k  k k
 A, B, C , D  .  A, B, D, E    2 : 1  .  3 : 2   3 : 1   A, B, C , E  .
 l2 l1   l3 l2  l3 l1

nhăngh aă1.2.3ă (Hàng đi m đi u hòa). N u t s kép  A, B, C, D  1 thì ta
nói r ng c p đi m C , D chia đi u hòa hai đi m A, B . Khi đó, vì C, D, A, B  1
nên c p đi m A, B c ng chia đi u hòa hai đi m C , D . B i th , ta còn nói c p
đi m A, B và c p đi m C , D liên hi p đi u hòa. Ta c ng nói A, B, C , D là m t
hàng đi m đi u hòa.

10

Thang Long University Libraty


nhăngh aă1.2.4ă(Chùm đ
h p các đ

nh P 2  R  , t p

ng th ng). Trong không gian x

ng th ng cùng đi qua m t đi m đ

c g i là chùm đ

ng th ng

v i giá là đi m đó.
M t chùm đ
đ

ng th ng đ

c xác đ nh khi cho giá c a nó, ho c cho hai

ng th ng nào đó c a chùm.
nhălýă1.2.5ă(T s kép c a b n đ

ng th ng thu c m t chùm). Cho 4 đ

ng

th ng U ,V ,W , Z thu c m t chùm trong đó U ,V,W đôi m t phân bi t. N u d là
đ

ng th ng c t 4 đ

ng th ng đó l n l

t t i A, B, C , D (không c t giá c a

chùm) thì t s kép c a 4 đi m đó không ph thu c vào v trí c a đ
d . T s kép nói trên đ

c g i là t s kép c a chùm 4 đ

ng th ng

ng th ng, kí hi u

U ,V,W, Z  .
Chúng minh. Th t v y, ta ch n m t m c tiêu x
m c tiêu đó, các đ

nh nào đó, và gi s đ i v i

ng th ng đó có ma tr n c t là U  , V  và

 W   p1 U   q1 V  ;


 Z   p2 U   q2 V 

còn các đi m A, B, C , D có ma tr n t a đ c t t

ng ng là  A ,  B , C  ,  D .

i m A U , B  V nên ta có U   A  0, V   B  0 , ngoài ra đi m A, B
t

t

là phân bi t nên ta c ng có U   B  0, V   A  0 .
t

t

i m C n m trên đ

ng

th ng AB nên ph i có C   k1  A  l1  B , m t khác C c ng n m trên W nên
t
 W   C   0 hay  p1 U   q1 V    k1  A  l1  B   0. i u này suy ra

p1k1 U   A  q1l1 V   B  p1l1 U   B  q1k1 V   A  0 ,
t

t

t

t

hay p1l1 U   B  q1k1 V   A  0 . T k t qu này ta có th l y s
t

t

k1  p1 U   B , l1  q1 V   A .
t

t

11


ng t nh v y ta có  D  k2  A  l2  B v i:

T

k2  p2 U   B , l2  q2 V   A .
t

t

T đó ta suy ra
p2 U   B p1 U   B p2 p1
k k
:
 : .
 A, B, C , D   2 : 1 
l2 l1 q2 V t  A q1 V t  A q2 q1
t

t

V y t s kép nói trên không ph thu c d .

nh lý đ

c ch ng minh.

Chúăý:ăT cách ch ng minh đ nh lí trên ta suy ra cách tìm t s kép c a chùm
4đ

ng th ng khi bi t t a đ c a chúng đ i v i m t m c tiêu nào đó nh sau:

n u các đ

ng th ng U ,V ,W , Z có ma tr n c t t a đ l n l

t là

U  , V  ,  W   p1 U   q1 V  ,  Z   p2 U   q2 V 
thì
p

p

U ,V,W, Z   2 : 1 .
q2 q1

nhăngh aă1.2.6ă(Chùm 4 đ
U , V , W , Z c a m t chùm đ

ng th ng đi u hòa). B n
c g i là chùm 4 đ

U ,V,W, Z   1 . Khi đó ta còn nói c p đ ng th ng
đ

đ

ng

th ng

ng th ng đi u hòa n u
U ,V

chia đi u hòa c p

ng th ng W , Z .
nhăngh aă1.2.7ă(Hình b n c nh toàn ph n). Trong m t ph ng x

hình g m b n đ
đ

ng th ng trong đó không có 3 đ

c g i là hình b n c nh toàn ph n; m i đ

giao đi m c a 2 c nh đ

ng th ng nào đ ng quy

ng th ng đó g i là m t c nh;

c g i là m t đ nh; hai đ nh không n m trên cùng

m t c nh g i là hai đ nh đ i di n; đ
là đ

nh P 2  R 

ng chéo; giao c a hai đ

ng th ng n i 2 đ nh đ i di n đ

cg i

ng chéo g i là đi m chéo.

12

Thang Long University Libraty


nhălíă1.2.8ă( nh lý hình b n c nh toàn ph n). Trong hình b n c nh toàn
ph n, hai đ

ng chéo đi qua m t đi m chéo nào đó chia đi u hòa hai đ

th ng n i hai đi m chéo đó v i hai đ nh n m trên đ

ng

ng chéo th ba.

Ch ng minh. (hình v )

Gi s a , b, c, d là b n c nh c a hình b n c nh toàn ph n. Các đ nh c a nó
là : P  a  b, Q  c  d , R  a  d , S  b  c,U  a  c,V  b  d. Các đi m chéo
là: I  PQ  RS, J  RS  UV, K  UV  PQ. Nh
đ

ng th ng IJ , IK chia đi u hòa c p đ

 J , K,U ,V  1. Xét hình b n đ nh toàn ph n

v y ta c n ch ng minh c p
ng th ng IU , IV . T c là
PQRS thì k t qu trên là hi n

nhiên.

1.3. Ánhăx ăx ă nh.
Cho các K  không gian x

nh  P, p , V  và  P', p ', V' .

13


1.3.1.

x

nhăngh aă(Ánh x x

nh). M t ánh x

f : P  P' đ

c g i là ánh x

nh n u có ánh x tuy n tính  : V  V' sao cho n u véc-t

xV là đ i

di n cho đi m XP thì vec-t  ( x)  V' là đ i di n cho đi m f  x  P' . Ngh a



 



là, n u p x  X thì p '   x  f  X  . Khi đó ta nói r ng ánh x tuy n tính
là  là đ i di n c a ánh x x

nh f .

1.3.2.ăTínhăch tă c aăánhăx ăx ă nh.ă Cho ánh x x

nh f : P  P' , có đ i

di n là ánh x tuy n tính  : V  V' . Khi đó:
a. Ánh x tuy n tính  là đ n c u. Th t v y, n u vec-t
di n cho đi m XP ,thì vec-t



x  V \ 0 là đ i

  x đ i di n cho đi m

f  X  nên

 ( x) V' \ 0 .
b. Ánh x x

nh f là đ n ánh. Th t v y, gi s

A và B là hai đi m c a P

mà f  A  f  B . Khi đó, n u g i a và b là các vec-t đ i di n c a A và B
thì  (a ) và   b  cùng đ i di n cho m t đi m



f  A  f  B

nên

  

 a  k b   kb , k  0 . Vì  đ n c u nên suy ra a  kb , t c là A và B

trùng nhau.
c. Ánh x x

nh b o t n tính đ c l p và tính ph thu c c a m t h đi m

(do đ n c u tuy n tính b o t n s đ c l p tuy n tính và s ph thu c tuy n
tính c a h vec-t ). T đó suy ra: Ánh x x

nh b o t n các khái ni m:

m ph ng, s chi u c a ph ng, giao và t ng c a các ph ng, t s kép c a hàng

4 đi m và c a chùm b n siêu ph ng.
d. M i đ n c u tuy n tính  : V  V' là đ i di n cho m t ánh x x

nh duy

nh t f : P  P' . Hai đ n c u tuy n tính  : V  V' và  ': V  V' cùng đ i
di n cho m t ánh x x

nh f : P  P' khi và ch khi có s k  K \ 0 sao cho

14

Thang Long University Libraty

  k ' . Th t v y, n u đã cho đ n c u tuy n tính  : V  V' thì ánh x x
f : P  P' đ

nh

c hoàn toàn xác đ nh b i: N u M P có đ i di n là véc-t



x V thì f  M  có đ i di n là  x . N u  ' : V  V' c ng là đ i di n cho ánh

nh f thì v i m i vec-t xV , các vec-t   x và  '  x cùng đ i di n

x x

cho m t đi m c a P' nên   x  kx '  x . Do  và  ' đ u là đ n c u tuy n
tính nên ta suy ra kx không ph thu c vào x .
nhăngh aă1.3.3ă (Phép bi n đ i x

nh). Ánh x x

nh f : P  P' là song

ánh khi và ch khi P và P' có cùng s chi u. Khi đó, f đ
x

nh, hai không gian P và P' đ

c g i là đ ng c u

c g i là đ ng c u.

T các k t qu v đ i s tuy n tính, ta có đ

c các tính ch t sau:

a) Ánh x tuy n tính đ i di n cho đ ng c u x

nh là phép đ ng c u tuy n

tính.
b) M t đ ng c u x

nh f : P  P c a không gian x

g i là phép bi n đ i x
các bi n đ i x

nh P lên chính nó đ

nh (hay ng n g n là bi n đ i x

nh c a P làm thành m t nhóm, nó đ

c a không gian x

nh P . Nhóm x

c

nh) c a P . T p h p
c g i là nhóm x

nh

nh c a P đ ng c u v i nhóm th

ng

GL V  / kIdV k  0 , v i V là không gian vec-t liên k t v i P .

c) N u trong không gian x

S , S , S ; E ' thì có phép bi
'
0

'
1

'
2

nh P 2 cho hai m c tiêu x
nđ ix

nh S0 , S1, S2 ; E và

nh duy nh t f c a P 2 , bi n các đi m Si

thành các đi m Si'  i  0,1, 2 và bi n E thành E ' .
d) M i t p con H c a P 2 đ
đ

ng x

c g i là m t hình. Hình H đ

nh v i hình H ' n u có m t phép bi n đ i x

15

c g i là t

ng

nh f bi n H thành


H ' . Quan h t

ng đ

ng x

M t tính ch t c a hình H đ
n u m i hình H ' t
t

ng đ

D

ng x

ng đ

nh c a các hình là m t quan h t
c g i là tính ch t x

ng đ

nh (hay b t bi n x

ng.
nh)

ng v i H đ u có tính ch t đó. Nh v y, hai hình

nh đ u có các tính ch t x

nh gi ng nhau.

i đây là đ nh lý c b n c a phép bi n đ i x

nh trong P 2 .

nhălíă1.3.4. N u f : P2  P2 là song ánh b o t n s th ng hàng c a ba đi m
và b o t n t s kép c a b n đi m th ng hàng thì f là phép bi n đ i x

nh

trong P 2 .

1.4.ăSiêuăm tăb căhaiătrongăkhôngăgianăx ă nhă P 2  R  .
1.4.1.ă

nhă ngh a. Xét ph

trên tr

ng s th c R , t c là ph

ng trình b c hai thu n nh t c a 3 bi n x0 , x1 , x2
ng trình có d ng
2

 a xx

i , j 0

ij i

j

 0 , (1)

trong đó aij  R, a ji  aij và có ít nh t m t aij  0 .
Ta kí hi u ma tr n A   aij  , i, j  0,1, 2 thì A là m t ma tr n vuông đ i x ng
c p 3 có h ng ít nh t b ng 1. Ta l i kí hi u x là ma tr n 1 c t 3 dòng:
 x0 

 
x   x1  .
x 
 2

Khi đó ph

ng trình (1) có th vi t d

i d ng là

xt Ax  0 , (2)

trong đó xt là ma tr n chuy n v c a ma tr n x , còn 0 là kí hi u cho ma tr n
g m 1 dòng 1 c t g m 1 s 0.

16

Thang Long University Libraty


c g i là ma tr n c a siêu m t b c hai  S  đ i v i m c tiêu đã

Ma tr n A đ

cho. N u det A 0 t c ma tr n A không suy bi n thì siêu m t b c hai  S  đ

c

c l i, n u det A 0 thì siêu m t b c hai  S  đ

c

g i là không suy bi n. Ng
g i là suy bi n.
Ta th

ng g i siêu m t b c hai trong không gian x

nh P 2  R  là đ

ng b c hai  S  và  S ' v i các ma tr n A và A' t

b c hai. Hai đ

ng

ng ng

c xem là trùng nhau khi và ch khi có s th c k  0 sao cho A  kA' . Khái

đ

ni m đ

ng b c hai là m t khái ni m x

1.4.2.ăGiaoăc aăđ
P 2  R  cho đ

nh.

ngăb căhaiăv iăđ

ng b c hai  S  và đ

S0 , S1, S2 ; E sao cho 2 đi m

ngăth ng. Trong không gian x

nh

ng th ng Q . Ta ch n m c tiêu x

nh

S0 , S1 n m trên Q . Khi đó ph
x2  0 .

Gi s khi đó ph

ng trình Q là

(1)

ng trình c a  S  là
2

 a xx

i , j 0

ij i

j

 0 . (2)

Giao c a Q và  S  là t p h p  S ' g m các đi m có t a đ th a mãn h
ph

ng trình (1) và (2), t c là
 x2  0
 2

  aij xi xj  0
i , j  0

- N u các aij , i, j  0,1 đ u b ng 0 thì m i đi m thu c Q đ u thu c  S  . V y :
Q   S  hay  S '  Q .

17


- N u các s đó không đ ng th i b ng 0 thì  S ' là m t siêu m t b c hai
nh 1 chi u Q . Nh v y giao đó ho c là m t đi m ho c

trong không gian x
là hai đi m phân bi t.

1.4.3.ăD ngăchu năt căc aăsiêuăm tăb căhaiătrongăkhôngăgianăx ă nhăth c
Trong P 2  R  đ i v i m c tiêu đã ch n, cho siêu m t  S  có ph

ng trình

xt Ax  0 .

Ta xem xt Ax nh là m t d ng toàn ph

c phép bi n đ i tuy n tính x '  Bx sao cho d ng toàn

đó ta có th tìm đ
ph

ng trong không gian véc-t R 3 . Khi

ng y tr thành d ng chính t c. Ta l i xem phép bi n đ i tuy n tính đó

nh là phép bi n đ i m c tiêu x

nh c a P 2 , và nh ta đi đ n đ nh lý sau.

nhă lý 1.4.4. V i m i siêu m t b c hai  S  trong không gian x
P 2  R  , luôn tìm đ

c m t m c tiêu x

nh sao cho đ i v i nó ph

nh th c

ng trình

c a  S  có d ng chu n t c
 x02  x12  ...  x2p 1  x2p  ...  x2p  q 1  0

(có p d u  và q d u +), trong đó 1  p  q  3 và q  p  0 .
M i siêu m t b c hai có đúng m t ph

ng trình chu n t c. Siêu m t b c hai

 S  trong tr ng h p đó g i là siêu m t b c hai có ch s  p, q  . Ta có đ nh lý
phân lo i siêu m t b c hai nh sau.
nhălý 1.4.5. Hai siêu m t b c hai  S1  và  S2  trong không gian x
là t

ng đ

ng khi và ch khi ph

ng trình chu n t c c a chúng gi ng nhau.

Nh v y trong P 2  R  ta có 5 lo i đ
1) x02  x12  x22  0 (đ
2)  x02  x12  x22  0 (đ

3) x02  x12  0 (c p đ

nh th c

ng b c hai sau đây:

ng ô van o),
ng ô van, hay đ

ng cô nic),

ng th ng o liên h p),

18

Thang Long University Libraty


4)  x02  x12  0 (c p đ
5) x02  0 (c p đ

ng th ng th c phân bi t)

ng th ng trùng nhau).

1.5.ă i măliênăh păquaăsiêuăm tăb căhaiătrongă P 2  R 
Trong P 2  R  v i m c tiêu đã ch n, cho siêu m t b c hai  S  có ph

ng

trình xt Ax  0 , và hai đi m Y  ( y0 : y1 : y2 ) và Z  ( z0 : z1 : z2 ) .
nhăngh aă1.5.1 ( i m liên h p).

i mYđ

c g i là liên h p v i đi m Z

đ i v i  S  n u yt Az  0 , trong đó y và z l n l

t là ma tr n c t t a đ c a

đi m Y và đi m Z .
Khi đó ta c ng có zt Ay  0 , nên đi m Z c ng liên h p v i đi m Y đ i v i

 S  . Nh v y ta nói hai đi m

Y và Z liên h p v i nhau đ i v i  S  .

c bi t

đi m Y liên h p v i chính nó đ i v i  S  khi và ch khi Y n m trên  S  .
nhălí 1.5.2. Gi s hai đi m phân bi t Y và Z liên h p v i nhau đ i v i
siêu m t b c hai  S  trong không gian x
- N u đ

ng th ng Y, Z

nh P 2  R  . Khi đó :

c t  S  t i hai đi m phân bi t M , N thì

Y, Z, M, N   1 ,
- N u Y, Z c t  S  t i m t đi m duy nh t thì đi m đó chính là Y ho c Z .
Ch ng minh. Gi s  S  có ph
-N uđ

ng trình xt Ax  0 .

ng th ng  Y, Z  c t  S  t i hai đúng đi m phân bi t M , N thì

Y  k1  M   l1  N  và  Z   k2  M   l2  N  .
Vì hai đi m Y, Z liên h p v i nhau đ i v i  S  , nên Y A Z   0 , hay
t

 k1  M t  l1  N t  A k2  M   l2  N    0 . *


 

Chú ý r ng do M , N   S  nên  M  A M    N  A N   0 . Do đó t * ta suy
t

t

ra

19


 k1l2  k2l1  M  A N   0 .
t

Vì M , N là hai đi m phân bi t c a  S  nên  M  A N   0 , (vì n u
t

(M )t A( N )  0 thì c đ

ng th ng MN s n m trên S ) suy ra k1l2  k2l1  0 . V y

Y, Z , M , N    M , N , Y, Z   1 .
-N uđ

ng th ng  Y, Z  c t  S  t i đi m duy nh t X thì

 X   k Y  l  Z  và  X  A X   0 ,
t

và do đó
Yt AY  k 2  2 Yt A Z  kl   Z t A Z  l 2  0 .







Chú ý r ng Y A Z   0 , nên ta đ

c

t

Yt AY  k 2   Z t A Z   l 2  0 .






Vì ph

ng trình này ch có m t nghi m kép duy nh t (sai khác m t h ng s

nhân khác 0), nên ho c Y AY  0 ho c  Z  A Z   0 . Nh v y ho c X
t

t

trùng v i Y , ho c X trùng v i Z .
nhălí 1.5.3. Trong P 2  R  cho siêu m t b c hai  S  và đi m Y . T p h p t t
c nh ng đi m liên h p v i Y đ i v i  S  ho c là m t đ

ng th ng trong

P 2  R  ho c là toàn b P 2  R  .

Ch ng minh. Gi s siêu m t b c hai  S  có ph

ng trình

2

 a xx

i , j 0

Y  ( y0 : y1 : y2 ) .

ij i

j

 0 và

i m X  ( x0 : x1 : x2 ) liên h p v i Y đ i v i siêu m t b c hai

 S  khi và ch khi

y Ax  0 , hay
t

2

a

i , j 0
2

2

j 0

i 0

y x j =0 hay

ij i

 ( aij yi ) xj  0 .

(1)

20

Thang Long University Libraty


- N u h s c a xj trong ph

ng trình (1) không đ ng th i b ng 0, hay ma

tr n ytA có các s h ng không đ ng th i b ng 0 thì ph
m tđ

ng th ng trong P 2  R  .

ng trình (1) cho ta

ng th ng đó có ma tr n c t t a đ là Ay.

- N u các h s đó đ u b ng 0 hay ma tr n ytA g m toàn s 0 thì m i đi m X
c a P 2  R  đ u có t a đ th a mãn ph

ng trình (1).

nhăngh aă1.5.4ă(C c và đ i c c qua siêu m t b c hai). N u t p h p các

đi m liên h p đ i v i đi m Y đ i v i siêu m t b c hai (S) là m t đ
thì đ

ng th ng đó đ

Y*. Ng

c l i, đi m Y đ

i m Yđ

c g i là đ

ng th ng

ng th ng đ i c c c a đi m Y và kí hi u là

c g i là đi m đ i c c c a đ

ng th ng Y*.

c g i là đi m kì d c a siêu m t b c hai (S) n u Y liên h p v i

m i đi m c a P 2  R  đ i v i (S). Nh v y đi m kì d c a (S) ph i n m trên (S)
vì đi m kì d liên h p v i chính nó. H n n a ch có siêu m t b c hai suy bi n
m i có đi m kì d . Th t v y, t a đ c a đi m kì d là nghi m c a h ph

ng

trình

2

 a x  0, j  0,1, 2 .
i 0

ij i

B i v y, n u (S) có đi m kì d thì h ph
th

ng trình đó có nghi m không t m

ng, do đó detA= 0, hay (S) suy bi n.
nhăngh aă1.5.5 (Ti p tuy n và ti p đi m). N u đi m Y n m trên siêu m t

b c hai  S  nh ng không ph i là đi m kì d c a  S  thì đ
Y* c a Y đ i v i  S  đ

c g i là đ

g i là ti p tuy n c a  S  t i Y .
đ

ng th ng đ i c c

ng th ng ti p xúc c a  S  t i Y , hay còn

i m Y n m trên đ

ng th ng Y* và đi m Y

c g i là ti p đi m.
Bây gi , ta chú ý r ng: N u siêu m t b c hai (S) không suy bi n thì m i

đ
ph

ng th ng b t kì đ u có đi m đ i c c duy nh t. Th t v y, gi s
ng trình xt Ax  0 v i det A 0 . V i đ

21

 S  có

ng th ng U, đi m X là đ i c c


c a nó khi và ch khi (X)tA= (U)t hay A(X)= (U), do đó (X)= A-1(U) đ

c xác

đ nh duy nh t.
nhăngh a 1.5.6 (

ng th ng liên h p). Hai đ

ng th ng U và V đ

cg i

là liên h p v i nhau qua siêu m t b c hai không suy bi n (S) khi hai đi m đ i
c c c a chúng liên h p v i nhau qua (S).
Cácătínhăch tă:
a) Hai đ

ng th ng liên h p v i nhau qua siêu m t b c hai không suy bi n

(S) khi và ch khi đ

ng th ng này đi qua đi m đ i c c c a đ

ng th ng kia.

Th t v y, cho hai đ

ng th ng U,V có đi m đ i c c đ i v i (S) l n l

t là U*

và V*. Khi đó U liên h p v i V qua (S) khi và ch khi U* và V* là hai đi m liên
h p qua S. Vì U g m nh ng đi m liên h p v i U* nên U đi qua V*. T

ng t

ta c ng có V đi qua U*.
ng th ng U liên h p v i chính nó qua siêu m t b c hai (S) khi và ch

b)

khi U ti p xúc v i (S) t i đi m U* là đi m đ i c c c a U.

c) Cho hai đ

ng th ng phân bi t U,V liên h p v i nhau qua siêu m t b c hai

không suy bi n (S). N u qua U V có hai đ

ng th ng phân bi t P và Q cùng

ti p xúc v i (S) thì U ,V, P , Q  1 . Th t v y, g i các đi m đ i c c c a các
đ

ng th ng U ,V, P , Q l n l

t là U * ,V* , P * , Q* ta có

U   A U  , V   A V  ,  P   A  P  , Q   A Q  .
1

*

Vì các đ

1

*

1

*

1

*

ng th ng U ,V, P , Q cùng thu c m t chùm (có giá là U V ) nên:

 P   k1 U   l1 V  ,  Q   k2 U   l2 V  .
T đó :

 P   A  P   k A U   l A V   k U   l V  ,
1

*

1

1

1

*

1

1

*

1

Q   A Q   k A U   l A V   k U   l V  .
*

1

1

2

1

2

*

2

*

2

22

Thang Long University Libraty


V y b n đi m U * ,V* , P * , Q* th ng hàng. Nh ng hai đi m U * ,V* liên h p v i
nhau đ i v i  S  còn P * , Q* là các giao đi m c a U *V * v i  S  nên
U * ,V* , P * , Q*   1 , do đó U ,V, P , Q  1 .

1.6.ăNguyênăt căđ iăng u
Ta đ nh ngh a v phép đ i x trong P 2 nh sau: Kí hi u  2 là t p h p t t c
các đi m, đ

ng th ng (0 – ph ng và 1 – ph ng trong P 2 ). Ta ch n trong P 2

m t m c tiêu x

nh nào đó và xác đ nh ánh x  :  2   2 nh sau: n u A là

m t đi m thì   A là m t đ

ng th ng có t a đ gi ng nh t a đ c a A, c

th là A   a 0 : a1 : a 2  thì   A   a 0 : a1 : a 2  ; n u U là m t đ
thì  U  

XU

ng th ng nào đó

  X  là m t đi m.

Hai cái ph ng U và V trong m t ph ng x

nh P 2 g i là có quan h liên

thu c n u m t trong hai ph ng đó ch a ph ng kia. T c là U  V ho c V  U .
Khi đó ta nói U thu c V , ho c V thu c U . Ch ng h n, n u đi m A n m trên
đ

ng th ng a thì ta nói: “đi m A thu c đ

ng th ng a ”, ho c nói: “đ

ng

th ng a thu c đi m A”. Nh v y, t “ thu c” đ ng ngh a v i m t trong các
t

“n m trên”, “đi qua”, “ch a”, “ch a trong”.
V i cách hi u nh v y, ta có th nói r ng: Phép đ i x gi nguyên quan h

liên thu c gi a các ph ng, có ngh a là n u U thu c V thì  U  thu c  V  .
nhă ngh aă 1.6.1ă (M nh đ đ i ng u). Gi s
trong m t ph ng x

M là m t m nh đ nào đó

nh P 2 nói v các ph ng và các quan h liên thu c gi a

chúng. N u trong m nh đ đó các t “0 – ph ng” đ
“1– ph ng” và ng

c l i, các t khác gi

g i là m nh đ đ i ng u.

23

c thay b ng các t

nguyên thì đ

c m nh đ m i M *


T tính ch t c a phép đ i x , ta có k t qu sau đây g i là nguyên t c đ i
ng u.
nhălýă1.6.2ă(Nguyên t c đ i ng u). Trong m t ph ng x

nh c p m nh đ

đ i ng u v i nhau ho c cùng đúng, ho c cùng sai.
Víăd .ăTa xét m nh đ sau trong P 2 : “ Có m t và ch m t đ
hai đi m phân bi t cho tr

ng th ng đi qua

c” . Ta phát bi u l i d

i d ng: “ Có m t và ch

m t 1 – ph ng thu c hai 0 – ph ng phân bi t cho tr

c”. Khi đó, m nh đ đ i

ng u c a nó s là: “Có m t và ch m t 0 – ph ng thu c hai 1 – ph ng phân
bi t cho tr

c”, hay phát bi u cách khác : “ Hai đ

ng th ng phân bi t luôn

c t nhau t i m t đi m duy nh t”. C p m nh đ đ i ng u trên đây đ u đúng.

1.7.ăCácăđ nhălýăc ăđi năc aăhìnhăh căx ă nh
nhăngh aă1.7.1ă(Hình sáu đ nh). T p h p g m 6 đi m phân bi t có th t
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 đ

c g i là m t hình sáu đ nh. Nó đ

c kí hi u là

AA
1 2 A3 A4 A5 A6 . Các đi m Ai g i là các đ nh c a hình sáu đ nh đó. Các đ

ng

th ng AA
1 2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A6 , A6 A1 g i là các c nh c a hình sáu đ nh. Các
c p đ nh A1 và A4 , A2 và A5 , A3 và A6 g i là các c p đ nh đ i di n. Các c p c nh
A1 A2 và A4 A5 , A2 A3 và A5 A6 , A3 A4 và A6 A1 g i là các c p c nh đ i di n.

nhălýă1.7.2ă( nh lý Pascal). N u m t hình 6 đ nh có 6 đ nh n m trên m t
đ

ng ôvan (còn g i là hình sáu đ nh n i ti p đ

các c nh đ i di n n m trên m t đ

ng ôvan) thì giao đi m c a

ng th ng.

Ch ng minh. (hình v )

24

Thang Long University Libraty


(Hìnhă1)
Gi s hình 6 đ nh AA
1 2 A3 A4 A5 A6 n i ti p đ

ng ôvan (S). Ta kí hi u:

P  AA
1 2  A4 A5 , Q  A2 A3  A5 A6 , R  A3 A4  A6 A1 .

T đ nh lý Stâyne thu n, ta có:

 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A6    A5 A2 , A5 A3 , A5 A4 , A5 A6  .
Tuy nhiên, ta có:

 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A6    M , A3 , A4 , R ,  A5 A2 , A5 A3 , A5 A4 , A5 A6    A2 , A3 , N , Q  .
Vì v y ta có:

 M , A3 , A4 , R   A2 , A3 , N , Q  .

i u đó ch ng t

r ng, có phép ánh x

x

nh f : A3 A4  A2 A3 mà

f  M   A2 , f  A3   A3 , f  A4   N , f  R   Q , h n th , f là phép chi u xuyên tâm

vì A3 là đi m t

ng. Do v y các đ

ng th ng MA2 , A4 N, QR đ ng quy. Nói

cách khác P , Q, R th ng hàng.
Chúăý:ăCácătr

ngăh păđ căbi tăc aăđ nhălýăPascal.

Ta có th đ nh ngh a hình n m đ nh, hình b n đ nh, hình ba đ nh t

ng

t nh đ nh ngh a hình sáu đ nh. Hãy xét m t hình n m đ nh AA
1 2 A3 A4 A5 n i
ti p đ

ng ôvan  S  . Ta xem hình n m đ nh đó nh là m t tr

ng h p đ c

bi t c a hình sáu đ nh khi hai đ nh liên ti p nào đó trùng nhau, ch ng h n đó

25