Luận văn định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
===bdBŨIg8 ===

HOÀNG TUYẾT NHUNG

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH XẮP x ỉ
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN
VĂN THẠC
SĨ TOÁN HỌC
•
•
•
Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả
đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp, người thân,
các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng sau đại học và các
thầy cô trực tiếp giảng dạy. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tấ t cả mọi
người đã hỗ trợ tôi hoàn thành Luận văn này.

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS. Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng

và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn !.

Hà Nội, 15 tháng 7 năm 2015
Tác giả

H o à n g T u yết N h u n g


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được
trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần
Văn Bằng và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa Toán trường ĐHSP
Hà nội 2 và các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy

Trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn này tôi đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài Đ ịn h lý giá trị tru n g b ìn h
xấ p x ỉ và ứng d ụ n g không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác.
Hà Nội, 15 tháng 1 năm 2015
Tác giả

H o à n g T u yết N h u n g


5

M ục lục

B ả n g ký h iệu

6

M ở đầu

7

1

2

M ộ t số kiến th ứ c chuẩn bị

10

1.1

Một số khái niệm về không gian B a n a c h ..................................

10

1.2

Hàm trên không gian B a n a c h .......................................................

12

1.3

Dưới vi phân F r é c h e t .....................................................................

15

1.4

Quy tắc tổng mờ

...........................................................................

19

1.5

Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng

............................. 28

Đ ịn h lý giá trị tru n g bình xấp x ỉ và ứng d ụ n g
2.1

Định lý giá trị trung bình xấp xỉ

2.2

ứ n g dụng

30

....................................... 30

......................................................................................... 33

2.2.1

Tính L ip s c h i t z .................................................................. 33

2.2.2

Tính đơn điệu theo nón và tính đơn điệu yếu

2.2.3

Tính tựa lồi và tính l ồ i ................................................. 36

2.2.4

Tính đơn điệu cực đ ạ i .....................................................39

K ết luận
Tài liệu th a m khảo

. . . . 34

40
41

6

B ản g kí hiệu
R
Rn
R = M u {—00 , + 00 }
/ : X -> R
d o m (/)
e p i(/)
/ ( 3)

v ỉ(x\

v v ứ
E*
int^4
A ,clA

f / [x \

df(x)

đường thẳng thực
không gian Euclid n - chiều
tập số thực suy rộng
ánh xạ đi từ X vào R
miền hữu hiệu của /
trên đồ thị của /
đạo hàm của / tại X
gradient của / tại X

ma trận Hessian của / tại X
không gian liên hợp của E
phần trong của Ả
bao đóng của A
đạo hàm Fréchet của / tại X
dưới vi phân của / tại X
chuẩn trong không gian Banach


7

M ở đầu
1. Lý do chọn đề tà i
Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi các
nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ kiện
không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ kiện chỉ nửa liên
tục.
Cho tới nay đã có khá nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đã được
đưa ra và thường được gọi với cái tên “dưới vi phân” như: dưới vi phân
suy rộng Clarke, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich,.... Các
đạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra. Tuy
nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm
hiểu và khai thác. Đặc biệt là việc mở rộng các kết quả đã biết đối với đạo
hàm cổ điển sang cho các đạo hàm suy rộng này (xem [3], [4], [6], [7]).
Các định lý giá trị trung bình cổ điển (Định lý Rolle, Lagrange, Cauchy)
là những kết quả quan trọng của Giải tích toán học. Đó là những “cây
cầu” kết nối các tính chất của hàm số khả vi với đạo hàm. Năm 1988, D.
Zagrodny [7] đã đưa ra một kết quả mở rộng của định lý giá trị trung bình

8

cho các hàm không khả vi và gọi là định lý giá trị trung bình xấp xỉ. Kết
quả đó được coi là một trong những công cụ then chốt (theo đánh giá của
J.M. Borwein và Q. J. Zhu [4]) có vai trò tương đương với qui tắc tổng mờ
và nguyên lý cực trị, để nghiên cứu các hàm không trơn.
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài nghiên
cứu:
’’Đ ịn h lý giá trị tru n g b ìn h xấp x ỉ và ứng d ụ n g ”
2. M ụ c đích n g h iên cứu
Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng của nó
trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm số không trơn như: tính
Lipschitz, tính đơn điệu, tính lồ i,.. . .
3. N h iệ m v ụ n g h iên cứu
-Tìm hiểu về dưới vi phân Fréchet và các tính chất của dưới vi phân.
-Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình xấp xỉ.
-Tìm hiểu khả năng ứng dụng của định lý giá trị trung bình xấp xỉ.
4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm v i n g h iên cứu
- Đối tượng: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng.
- Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới.
5. P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề
tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và giải tích


9

không trơn.
6. D ự kiến đ ón g góp củ a đề tà i
Trình bày một cách hệ thống về khái niệm dưới vi phân Fréchet, đính

lý giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng.


10

Chương 1
M ột số kiến thứ c chuẩn bị
Trong chương này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không
gian Banach, hàm trên không gian Banach, dưới vi phân Fréchet, qui tắc
tổng mờ và bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng.

1.1

M ột số khái niệm về không gian B anach

Trong luận văn này, khi nói tới không gian Banach chúng ta luôn hiểu
đó là một không gian Banach thực, thường kí hiệu là X , ... với chuẩn ||.||x
hay đơn giản là ||.|| . Cho X là không gian Banach. Kí hiệu hình cầu đơn
vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X lần lượt là các tập hợp

Bx := {x e X : ||a:|| < 1}, sx := {x e X : Ị|x|Ị = 1}.
V í dụ 1.1 ([4]). Ta có:

1. Không gian tuyến tính R k với chuẩn ||;c|| =

1 l3^ ) ! là không gian

Banach.
2. Cho Í2 c

là tập con đo được Lebesgue. Khi đó không gian tuyến


11

tính L p(íì) (1 < p < oo) tấ t cả các hàm số thực đo được X = x ( t )
trên íì sao cho f fì \x(t)\pdt < oo với chuẩn \\x\\ = ( f fì \ x ị t ) ^ d£Ỷ^v là
không gian Banach. Không gian tuyến tính L°°(Í2) tấ t cả các hàm số
thực đo được X = x ị t ) trên íỉ sao cho esssup^ \x(t)\ < + 0 0 với chuẩn
Ị|xỊ| = supn \x(t)\ là không gian Banach.
3. Không gian tuyến tính lp (1 < p < 00 ) tấ t cả các dãy số thực X =
00

/ 00

\ 1 /p

(x(i)) sao cho chuỗi Ỵ2
hội tụ với chuẩn ||:c|| = Ị
)
i=1
■i= 1
là không gian Banach. Không gian tuyến tính z ° ° tấ t cả các dãy số
thực X = {x(i)) sao cho supỂỊ^c(ỉ)Ị < + 0 0 với chuẩn |Ị:cỊ| = supi |rc(i)I
là không gian Banach.
4. Không gian tuyến tính C[a,b] các hàm thực liên tục trên một đoạn
[a, 6] với chuẩn ||a:|| = m ax |a;(í)| là không gian Banach.
[a,ò]
Với không gian định chuẩn X , kí hiệu X* là tập hợp tấ t cả các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên X và gọi là không gian đối ngẫu của X . Nếu

X* € X * và X € X thì giá trị của X* tại X được kí hiệu là {x*,x} .

Đ ị n h lý 1.2 ([1], Định lý 2.6, trang 78). Không gian đối ngẫu X * của
không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi
x*\\ = sup
x^O
là một không gian Banach.


12

V í d ụ 1.3 ([1], trang 108, 110). Không gian đối ngẫu của L p(fì,),lp (1 <
p < oo) lần lượt là không gian L q(íì), l9 với q là số mũ liên hợp của p, tức
là 1/ p + 1/ q = 1. Đặc biệt không gian đối ngẫu của L 1 (Í2) , / 1 tương ứng
là L°°((ì), l°°.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.4. Không gian liên hợp của không gian X * gọi là không
gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X**. Như
vậy X** = (X*)*.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ,
nếu X = X**.
V í d ụ 1.6 ([1, 6]). Các không gian L p($}),lp (1 < p < 00 ) là các không
gian phản xạ.
Theo Định lý 1.2, nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.7. Không gian Banach X được gọi là tách được nếu nó có
một tập con đếm được trù mật.
V í d ụ 1.8 ([6], trang 103). Các không gian L p (1 < p < oo),C[a,b] là
không gian tách được; các không gian L °°(íỉ ) , / 00 không tách được.

1.2

H àm trên không gian B anach

Cho X , Y là các không gian Banach, / : X —>■y là một ánh xạ.


Đ ị n h n g h ĩ a 1.9. Ánh xạ / được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản là khả
vi) tại X E X nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục A : X* —¥ Y*

sao cho
r

Í -?0

\ \ f { x + h ) ~ f { x ) ~ A h\\ =

\\h\\

Khi đó Ả được gọi là đạo hàm Fréchet của / tại X và kí hiệu là D f ( x )
hay v / ( z ) .
Khi Y = R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi
một phần tử của X* G X* và biểu thức định nghĩa thường được viết là:
f ( x + h ) ~ f ( x ) - ( x \ h)
lh^o
i m ---------------- 7|Ịaỉ||
Г7ГЙ---------------- =

°-

Đ ị n h n g h ĩ a 1.10 ([7], trang 2). Ta nói chuẩn ||.|| của X là khả vi Fréchet
hay là chuẩn trơn Fréchet nếu ||.|| là hàm khả vi Fréchet tại mọi X G S x

(nhờ tính thuần nhất của chuẩn ta suy ra chuẩn trơn Fréchet sẽ khả vi
Fréchet tại mọi Ï ^ 0).
V í d ụ 1.11. Chuẩn Euclide trên một không gian Hilbert H là chuẩn trơn
Fréchet. T h ật vậy, do
||s + h\\2 - ||ж||2 - (2x, h )
||/ỉ||2
l i->0
m ---------------- |Ị/ỉ||
iiìũi----------------/г=->0lim
/г
\\h\\iĩIn = 0
nên |Ị.Ị|2 làhàm khả vi Fréchet tại mọi X £ H. Theo
hợp ta có||.||khả vi tại

mọi X Ỷ 0 và

quy tắc đạo hàm hàm


14

Đ ịn h lý 1.12 (Smulyan, [7], Định lý 1.4, trang 3). Cho (X , II. II) là khồng
gian Banach với không gian đối ngẫu X*. Khi đó chuẩn ||.|| khả vi Fréchet
tại X e S x khi và chỉ khi với mọi dẫy f n, gn e S x *, fn{%)
1 ta đều có IIf n - gn II

1 và gn ( x ) —>

0.

V í dụ 1.13. Chuẩn ||x|| = Ỵ^iL 1

trong không gian Banach l1 không

trơn Fréchet.
T h ật vậy, với mọi X = (a?(ỉ)) G Sịi. Ta định nghĩa f n:gn G Sị°° bởi:
sign(a:(z)),
1,

nếu i Ỷ n
nếu ỉ = ĩl
nếu ỉ 7^ n
nếu ỉ = n.

Khi đó f n(x) -*■ 1 , g n{x) -*■ 1 và ||/„ - gn ||ỉoo = 2. Theo Định lý 1.12
chuẩn trên l 1 không khả vi Fréchet tại X. Từ đây ta có điều phải chứng
minh.
Đ ị n h lý 1.14 ([7], Hệ quả 3.3, trang 51). Cho X là không gian Banach
tách được. Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi X*
tách được.
V í d ụ 1.15. Các không gian L P(Q) (1 < p < oo) là không gian có
chuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó tách
được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều có
chuẩn tương đương trơn Fréchet.


15

1.3

Dưới vi phân Eréchet

Từ đây về sau ta luôn giả thiết X là không gian Banach có chuẩn tương
đương trơn Frechet và trên X ta luôn giả thiết chuẩn nói đến là chuẩn trơn
Frechet. Do vậy, ta nói X là không gian có chuẩn trơn Frechet. Hơn nữa
chúng ta cũng xét các hàm với giá trị thực mở rộng, tức là có giá trị trong
K := K u {-ị-ooỊ-.
Cho hàm f : X

Ta gọi
d o m / := { x G X : f ( x ) G K},

e p i / := {(a:, A) E X x l : x ẽ I , Ằ > f ( x )}
tương ứng là mi ền hữu hiệu và trên đồ thị của / .
Hàm / được gọi là chính thường (proper) nếu d o m / Ỷ 0Đ ị n h n g h ĩ a 1.16 ([6], trang 10). Hàm / : X —> K được gọi là nửa liên
tục dưới (l.s.c.) nếu với mọi A G M, tập { x G l : f { x ) ^

là tập đóng.

Đ ịn h lý 1.17 ([6], trang 10). Cho X là không gian Banach, f là hàm
chính thường trên X . Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây là tương
đương
a) Hàm f nửa liên tục dưới.
b) Trên đồ thị epi/ là tập đóng trong X X R.


16

c) Với mọi X G X , với mọi £ > 0 đều tồn tại một lân cận V của X sao
cho f ( y ) > f ( x ) — £ với mọi y G V.

d) Với mọi dãy ( xn) hội tụ tới X trong X ta đều có liminfjj^oo f ( x n) >
f ( x )e) Nếu / i , /2 nửa liên tục dưới thì /1 + /2 cũng nửa liên tục dưới.
f) Nếu (fi)i£j là một họ các hàm l.s.c. thì f ( x ) = supi£i f i {x) cũng I.S.C..
g) Nếu f l.s.c. và E с X là tập compact thì f đạt giá trị lớn nhất trên
E.
V í dụ 1.18. i) Mọi hàm liên tục đều nửa liên tục dưới.
ii) Hàm
a,

nếu X Ф 2
nếu X = 2

nửa liên tục dưới khi và chỉ khi a < 4.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.19 ([4], trang 4, Định nghĩa 1.3). Cho / : X —¥ M là hàm
l.s.c,

s

С X là tập con đóng. Ta nói, / là dưới khả vi Fréchet với dưới đạo

hàm Fréchet X* tại X nếu tồn tại с 1 - hàm, lõm g sao cho V g(x) = X* và
ĩ — g đạt cực tiểu địa phương tại X. Tập mọi dưới đạo hàm Fréchet gọi là
dưới vi phân Fréchet của / tại X và ký hiệu là D~ f ( x ) .
Nón pháp Fréchet của s tại X là tập hợp
N ( S , x ) : = D ~ S s (x),


17

trong đó ỗs là hàm chỉ của tập s , xác định bởi
x , .
/ 0,
Ỗs{x)' - \ + o o ,

nếu X G s ,
nếu x ị s .

Đ ị n h lý 1.20 ([4], trang 5). Cho X là không gian Banach với chuẩn trơn
Frechet, f là hàm l.s.c. trên X . Khi đó X* G D~ f ( x ) khi và chỉ khi
l i m i n í n x + h ) - f ( f - {x' ' h ) > 0 .
||Ä||->0
II h |Ị
N h ậ n x é t 1.21. Khái niệm dưới vi phân trong Định nghĩa 1.19 được gọi
là định nghĩa theo nghĩa nhớt. Định lý 1.20 cho thấy, trong lớp không gian
Banach với chuẩn trơn Frechet thì định nghĩa đó tương đương với định
nghĩa dưới vi phân theo giới hạn trong [4]. Do vậy theo [6] chúng ta có
rất nhiều tính chất của dưới vi phân Frechet, mối liên hệ của dưới vi phân
Frechet và các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Gâteaux, dưới vi
phân Clarke,.... Chẳng hạn
i) Nếu / khả vi Frechet tại X thì D~ f ( x ) = { D f ( x ) } ]
ii) Nếu / lồi trên X thì
D ~ f ( x ) = {x* e X* : f ( y ) - f ( x ) - (x*, y - x) > 0, Vy e X } .
V í d ụ 1.22. i) Cho hàm f ( x ) = \ x\ , x G R. Khi đó, tại X > 0 thì
/ khả vi nên D ~ f ( x ) = { D f ( x )} = {1}; tại X < 0 thì / khả vi nên
D ~ f ( x ) = { D f ( x ) } = { —1}. Tại X = 0 hàm / không khả vi. Do / lồi
nên ta có thể sử dụng Nhận xét 1.21 ii) để tính dưới vi phân. Cụ thể

D~f(Q) = {p e K : \y\ -py > 0, Vy e K}-

18

Chọn y = —1 và у = 1 ta suy ra —1 < p < 1. Với p G [—1,1] ta luôn có
p y < \py\ < \y\ nên D / ( 0 ) = [ -1 ,1 ].
ii) Tương tự ta có nếu X là không gian Hilbert và f ( x ) = IlXII thì ta
cũng có
nếu X Ỷ 0
nếu X = 0.
Đ ị n h lý 1.23 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, [4], trang 5,
Định lý 1.6). Cho f : X

Ш l.s.c, £ > 0 và A > 0. Giả sử и £ X thoả

mãn:

ii) |Ịw - г>|| < Л.

N h ậ n x é t 1.24. Ta hình dung и là điểm cực tiểu của / (hoặc thuộc
một dãy cực tiểu). Khi đó có thể nhiễu / bởi một hàm lồi, trơn, nhỏ do
(II V<7(v) |Ị< у ) thì ta nhận được một điểm V bên cạnh и (vì Ị| u —v Ị|< Л)
là cực tiểu của hàm nhiễu / + g mà giá trị của / tại đó (f ( v )) vẫn không
thay đổi so với f ( u ) theo nghĩa
i n f / < f ( v ) < £ + inf / .


19

1.4

Q uy tắc tổn g mờ

Để phát triển các công cụ của giải tích qua khái niệm dưới vi phân, ta
có thể dựa trên một kết quả mang tính chất nền tảng đó là quy tắc tổng
mờ. Quy tắc này có hai phiên bản: không địa phương và địa phương. Kí
hiệu đường kính của tập s с X là số
diam(/S') := sup {||ж — y \I : X, y G S } .
Đ ịn h lý 1.25 (Quy tắc tổng mờ không địa phương, [4], trang 6 , Định lý
2.1). Cho / i , / i v '■X — R là các hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới
với
N

lim inf
77—
>•0

^ 2 fn{Vn) ■d ia m (yu

yN) < ĩ]

Khi đó, với bất kì £ > 0, tồn tại x n, n = 1

< + 00 .

và x*n G D~ f n ( x n) thỏa

mẫn
d i a m ( x i , XN) • m a x ( l, ll^ill ,

|| ж^| | ) < £

(1.1)

và
N

r N
}
f n ( x n) < lim in f <
fn{yn) ■diam (yi, ...: yN) < 7/ } + £
71=1
rỊ^ ữ ^Ti=l
'

(1.2)

sao cho
N

0

x*n + e B x >.

71= 1

(1.3)


20

N h ậ n x é t 1.26. Các điều kiện / i , . . . , / j v : X —> M là các hàm bị chặn
dưới và

không thể thiếu trong quy tắc tổng mờ không địa phương. Điều này có thể
chỉ ra thông qua các hàm trên R. Hai hàm f i ( x ) = X và / 2(2?) = 0 không
thỏa mãn quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì /1 không bị chặn dưới.
Hai hàm f i ( x ) = ổ{0}(^) và / 2(2;) =

cũng không thỏa mãn quy tắc

tổng mờ không địa phương bởi vì thiếu điều kiện
lim in f { / 1 (2/1) + / 2(^ 2) : \\yi - Ỉ/2 II < VÌ < 00•
Kết quả (1.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự như
trong quy tắc tổng mờ (địa phương) thông thường. Tuy nhiên, kết quả
( 1 . 1 ) chỉ cho chúng ta biết các điểm x n là gần nhau, điều này khác với
quy tắc tổng mờ địa phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần với
điểm cực tiểu của tổng (với một số giả thiết bổ sung). Lưu ý rằng, kết quả
(1.1) còn cho phép ta kiểm soát "cỡ" của các dưới đạo hàm tham gia trong
tổng. Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng. Kết luận (1.2) cho ta điểm
tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới. Trong các ứng dụng, điều
này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm
x n. Ta sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau.
V í d ụ 1.27 (Tính trù m ật của tập các điểm dưới khả vi). Cho / : X —> K
là một hàm nửa liên tục dưới, X €E d o m / và £ €E (0,1). Áp dụng Định lý


21

2.1 đối với /1 = / + àx+Bx và /2 = ổỊa;} ta có: tồn tại Xi và x 2 sao cho
11^1 - £ 2 II < e, 0 G D~ f i ( x i ) + D~ỏ{x} (x 2 ) +

và

/l(® l) + <*{*}(Z2) < f { x ) + £.
Bất đẳng thức cuối suy ra x 2 = X và do đó Xi phải thuộc phần trong của
X + B ỵ nên D

~

= D ~ f ( x 1). Chứng tỏ, d o m ( D ~ f ) trù m ật trong

d o m /.
Đây là một kết quả khá mạnh. Cụ thể vì dưới đạo hàm của hàm lõm tự
động là đạo hàm nên từ đây suy ra các hàm lõm liên tục trên các không
gian trơn Fréchet là khả vi Fréchet trù mật.
Tiếp theo ta đề cập tới quy tắc tổng mờ địa phương, một kết quả quan
trọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng các
quy tắc tính dưới vi phân. Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa
phương cần phải có các giả thiết bổ sung.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.28 (Nửa liên tục dưới đều, [4], trang 8 , Định nghĩa 2.4).
Cho / 1,

/jv : X —> R là các hàm nửa liên tục dưới và E là một tập con

đóng của X . Ta nói bộ ( / 1,

f n) là nửa liên tục dưới đều trên E nếu

N

inf X—I f n ( x ) <
xtE
Ti— 1

lim inf

77—>■0

- Xr

< T),xn, x m e E , n , m

=

1

Chúng ta nói ( /i,.../iv ) là nửa liên tục dưới đều địa phương tại X G


22

N
n d om /n nếu ( / i, .../iv) là nửa liên tục dưới đều trên một hình cầu đóng
71=1

tâm tại X nào đó.
N h ậ n x é t 1.29. Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ

là

nửa liên tục dưới đều địa phương tại X là
(a) Tất cả, chỉ trừ ra một trong các hàm f n liên tục đều trong một lân
cận của x\
(b) Có ít nhất một trong các hàm f n có các tập mức compact trong
một lân cận của X.
Đ ị n h lý 1.30 (Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh, [4],trang 9,Định lý
2 .6 ) . Cho / i , . . . f ỵ : X —> № tò các h à m nửa liên tục dưới. Giả sử ( / i ,

.../a t)

N
nửa liên tục dưới đều địa phương tại X và Ỵ2 fn đạt cực tiểu địa phương
71=1

tại X. Khi đó, với mọi £ > 0, tồn tại x n E X + e B và x*n E D~ f n ( x n), n =
1, N

sao cho

If n { x n) - f n { x )I < e,
n = 1 ,2 ,N

d i a m ( a : i , x Ar).max(||a:ĩ|| ,

| | a^| | ) < £,

và
N

E

n=l

< e.

Kết quả này là quy tắc "mạnh" vì nó khẳng định các dưới đạo hàm gần
nhau theo chuẩn.
Quy tắc tổng mờ yếu sau chỉ yêu cầu các hàm thành phần nửa liên tục
dưới nhưng kết luận thì liên quan đến tôpô yếu* và các giả thiết về tính


23

cực tiểu được nới lỏng.
Đ ịn h lý 1.31 (Quy tắc tổng mờ địa phương yếu, [4], trang 10, Định
lý 2.7). Cho

: X —>■ № tò các hàm nửa liên tục dưới. Giả sử

X* e D~(J2n=i f n){x). Khi đó với bất kì £ > 0 và bất kì lân cận yếu * V
của 0 trong X * , đều tồn tại x n £ X + s B , X* £ D~ f n( x n), n = 1, N

sao

cho If n { x n) - f n( x )I < £, ||a;*|| d i a m ( { a ;i ,í C jv } ) < £, n = 1 , 2 , N

và

N

Đ ịn h n g h ĩa 1.32 (Tính nửa liên tục dưới đều theo dãy, [4], trang 11,

Định nghĩa 2.9). Cho / i , . . . , / i v : X
Ta nói hệ ( / i,

M là các hàm nửa liên tục dưới.

là nửa liên tục dưới đều theo dẫy tại X nếu tồn tại

một hình cầu đóng X + Ĩ]B với tâm tại X sao cho với mỗi N, các dãy
{ x nr} , n = 1 , 2 , N , r = 1, 2,... thuộc X + Ĩ]BX và ||xnr — a;mr|| —»■ 0

khi r —> 00 , tồn tại một dãy {iir } các phần tử thuộc hình cầu sao cho
||a;nr — Mr || —y 0 và
N
lim in f ^ 2
r - ¥ 00

(ĩn {X n r ) -

fn {u r )) >

0

.

Để ý rằng, điều kiện của Định nghĩa 1.28 mà chúng ta sử dụng ở đây
mang tính tô pô hơn điều kiện về tính nửa liên tục đều theo dãy trong
Định nghĩa 1.32. Không khó để nhận ra rằng: tính nửa liên tục dưới đều
theo dãy suy ra tính nửa liên tục dưới đều địa phương. Hơn nữa, tính nửa
liên tục dưới đều địa phương thực sự yếu hơn tính nửa liên tục dưới đều

24

theo dãy. Điều này được khẳng định qua ví dụ dưới đây.
V í d ụ 1.33. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều và lấy một
dãy eỵ trong X sao cho ||е*|| = 1 và I\ũk — егII > 1/2 khi к ф l. Đặt
A : = {ek/ l : k , l = 1 , 2 ,...} и { 0 },
В := {(efe + e i / к ) / ỉ : k , ỉ = l , 2 , . . . } u { 0 } .
Khi đó cả A và В đều là các tập con đóng và А п в = 0. Đặt f l := ỏA
và / 2 := ỏB■Ta chứng tỏ rằng, với bất kì Г) > 0, ( / i, / 2 ) không là nửa liên
tục dưới đều địa phương trên Ĩ]B. T h ật vậy, nếu ỉ là một số nguyên sao
cho 2/ 1 < Г) và cho Xir = e r / l \ X 2 r = ( e r + e i / r ) / l thì Ị|xir — X 2 r\\ —>• 0 và

f i ( x i r ) = / 2(-^2r) = OVr. Nếu u r là dãy sao cho \\xnr — u r \\ —Ï 0 , n = 1,2
thì ta phải có u r Ỷ 0 với r đủ lớn. Vì thế có ít nhất một trong hai giá trị
f 2(ur) bằng 00 và do đó
2
lim inf у ; (/„ (* „ ,) - f n ( u r )) = - 0 0 < 0 .

r —¥ 00

Tỉ— 1

Tuy nhiên, {fi, f ĩ ) là nửa liên tục dưới đều địa phương, theo Định nghĩa
1.28 bởi vì vế phải luôn không âm trong khi vế trái bằng 0.
V í d ụ 1.34. Lấy X := Ỉ2 và 6k là một cơ sở trực chuẩn trong X . Khi
đó X € X có thể biểu diễn duy nhất X = Ỵ2kLi x(k)ek- Đặt Pn( x ) :=
Z) f e= i

х(к)ек,

với mọi n.

t a c ó Ị | Pm ( x ) | Ị <

| ỊPn ( x ) Ị | v ớ i

m < n,

n ó i r i ê n g Ị | P n Ị| <

1


25

Do Xỵ —> 0 khi к —>• оо nên ЦжЦоо := m a x {|a:jfc(A:)| : 1 < А: < оо} tồn
tại. Hơn nữa, với kữ sao cho |ж(&о)| = 11жlloo’

c°

z(fc0)| = ||-Pfc0+i(aO - Pko{x)\\ < 2 ||ж|| .
Do vậy II ■11^ là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng 2.
Đặt Fn = { x : ||жII < 3, x(i ) > 0 và x(i ) = 0 khi i

m od 3 ф 0 và khi

ỉ < 3n}. Ta xét hai hàm

và

Rõ ràng d o m /i П dom /2 = {0} nên theo tính duy nhất của biểu diễn
qua cơ sở suy ra /1 + /2 đạt cực tiểu tại 0. Từ định nghĩa ta thấy /1 và /2
đều bị chặn dưới bởi —7 vì II • 11^ là Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng
2.

Bây giờ chúng ta chỉ ra /1 là nửa liên tục dưới. Giả sử x n G dom f l và
x n —> X.

Nếu X = 0 chúng ta có thể giả sử x n Ỷ 0 và do đó x n = -r-e3k
fĩn n-1 +
Уп, Уп G Fkn. Do kn

00 và yn

0 nên - ^ = - \\уп \\ж -»• 0.

Nếu X Ф 0 thì kn ■/> 00 . T h ật vậy, nếu kn —> 00 thì với mỗi %ta có
x n{ỉ) —ì 0 khi n —y 00 vì x n ịi) = 0 với mọi ỉ < 3 k n — 1.


26

Do giới hạn theo chuẩn và giới hạn theo từng tọa độ phải trùng nhau
nếu cả hai tồn tại, nên x n —> 0 theo chuẩn.
Do kn

oo nên kn = riQ với mọi n đủ lớn (bởi vì, khi n Ỷ rni

1 —1ì>

> m ax sí —,
ln m J
với ym G Fm, yn G Fn). Vì thế nên x n = ^ e 3rỉũ_i + yn, yn G Fno với mọi
n đủ lớn. Điều này chứng tỏ yn

y G Fno. Từ đây và tính liên tục của

chuẩn ||.||oc ta suy ra
1

y/nõ

1

- IÌVn

00

y/nõ

Điều này chứng tỏ / i là nửa liên tục dưới. Tương tự, ta cũng có /2 nửa
liên tục dưới.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi Xị & B và x*ị € D~ f ị ( x i) ta đều
có IIxỊ + x*2 II > 1. T h ật vậy, gọi gi là các hàm tương ứng với Xị, i = 1, 2
như trong định nghĩa dưới đạo hàm Fréchet. Để ý rằng D ~ / 1(0 ) = 0 vì
n

/1(0 H— Ê3n-i) — / 1 (0 ) < n
n

y/n.

— 0 = —\ f n .

Tương tự D / 2(0 ) = 0. Do đó ta có thể viết Xi = —e 3m_i + yi và X 2 =
n e 3 n-i + V2 , trong đó yi =

e Fm và y2 = E bke3k e Fn. Ta
k=m

k=n

sẽ chứng minh llxỊ + X2II > 1 trong trường hợp m < n (chứng minh cho
trường hợp m > n là tương tự). Đặt 6fc0 = maxfc>n{ 6fc} thì 0 < K
2 II2-2II < 2, do đó 2/2 + t e 3fc0 ẽ Fn với 0 < t < 1 và

\\y +

íe3feolloo = llvlloo

<