Luận văn thạc sĩ toán thuật toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (900.45 KB, 66 trang )
BÔ GIÂO DUC VÀ DÀO TAO
TRU ÔNG DAI
SU* PHAM
HÀ NÔI
■ HOC
•
•
• 2
DÔ ANH SON
THUÂT TOÂN TÔ MÀU DÔ THI
VÀ tfNG DUNG
LUÂN
VAN THAC
SÏ TOAN HOC
•
•
•
HÀ NÔI, NAM 2015
B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
ĐỖ ANH SƠN
THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12 ’
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Trần Vĩnh Đức
HÀ NỘI, NĂM 2015
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin ừân ừọng gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy
Trần Vĩnh Đức, thầy đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn em trong suốt quá
trình nghiên cứu đề tài để em hoàn thành tốt luận văn của mình!
Tiếp đến em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo
trong Phòng sau Đại học, các thày giáo, cô giáo ừong trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 và các thầy giáo, cô giáo thỉnh giảng từ các trường Đại học
trên địa bàn Thủ đô Hà Nội đã nhiệt tình truyền tải những kiến thức, kinh
nghiệm cho em trong suốt 2 năm học tại trường.
Em xin chân thành biết ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã hết
sức tạo điều kiện, luôn giúp đỡ và động viên em ừong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và làm việc.
Trân trọng cảm ơn!
Đại học Sư phạm Hà Nôi 2.
Ngày
tháng 12 năm 2015.
Đỗ Anh S(m
LỜI CAM ĐOAN
Tô xin cam đoan:
a) Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng
dẫn trược tiếp của Tiến sĩ Trần Vĩnh Đức.
b) Mọi tham khảo dùng trong luận văn này đều được trích dẫn rõ ràng và
trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố.
c) Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy tắc đào tạo, hay gian dối, tôi
xin chịu hoàn toàn ừách nhiệm.
Xuân Hòa, tháng 12 năm 2015
TÁC GIẢ
Đỗ Anh Sơn
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 1
NỘI DUNG.............................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ............................................................3
1.1. Một số khái niệm cơ bản.......................................................................3
1.2. Hành trình, chu trình và đường đi....................................................... 6
1.3. Cây..........................................................................................................7
1.4. Đồ thịphẳng.......................................................................................... 9
1.5. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận............................................................ 13
1.5.1. Biểu diễn đồ thị bằng ma ừận kề.................................................... 13
1.5.2. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận liên thuộc....................................... 14
CHƯƠNG 2: TÔ MÀU ĐỒ THỊ......................................................................... 16
2.1. Định nghĩa và một số kết quả cơ bản................................................ 16
2.2. Đa thức tô màu.................................................................................... 20
2.3. Thuật toán tham lam tô màu đồ thị................................................... 23
2.4. Một số bài toán....................................................................................25
2.4.1. Bài toán điều khiển đèn hiệu nút giao thông................................. 25
2.4.2. Bài toán lập lịch thi..........................................................................28
2.4.3. Bài toán phân chia tần số................................................................ 29
2.4.4. Bài nữ sinh của Kừkman.................................................................31
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG.................................................................................. 33
3.1. Bài toán lập thời khóa biểu................................................................ 33
3.2. Mô hình bài toán bằng đồ thị.............................................................36
3.3. Siêu đồ thị............................................................................................ 41
3.3.1. Khái niệm siêu đồ th ị......................................................................41
3.3.2. Tô màu siêu đồ th ị.......................................................................... 43
3.4. Mô hình bài toán bằng siêu đồ thị..................................................... 46
3.5. xếp thời khóa biểu.............................................................................. 51
3.6. Kết luận chương 3............................................................................... 57
KẾT LUẬN........................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................59
KÍ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Kí hỉêu
Từ đươc viết tắt
■
•
LTĐT
Lý thuyết đồ thị
THCS
Trung học cơ sở
CN
Công nghệ
GDCD
Giáo dục công dân
TBK
Thời khóa biểu
DANH MỤC CAC BANG
Sổ hiệu bảng
Tên bảng
Trang
2.1
Khoảng cách các đài phát thanh
30
2.2
Gán màu theo bậc của đính
31
3.1
Môn học và khối lượng tiết học trên tuần
33, 34
3.2
Phân công chuyên môn 30 giáo viên
34, 35
3.3
3.4
Phân công chuyên môn 5 giáo viên
36
3.5
Tô màu đỉnh tương ứng
39
3.6
Bậc của đỉnh và cạnh liên thuộc
43
3.7
Số hóa tiết học của các môn trong tuần
47
3.8
Mã số tiết dạy của giáo viên và ký hiệu
48, 49
3.9
Đỉnh đồ thị H và màu tô tương ứng
53, 54
3.10
Tham chiếu màu tô của đỉnh với các siêu cạnh Ả,
B, c,..., AA, AB,
AE
55, 56,
Môn học ứng với đỉnh đồ thị
37, 38
57
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Sổ hiệu hình vẽ
Tên hình vẽ
Trang
1.1
ĐỒ thị G = (V,
3
1.2
Hai đồ thị đẳng cấu
6
1.3
Đồ thị Petersen
7
1.4
Một rừng gồm 4 cây
8
1.5
Đồ thị phẳng và đồ thị không phẳng
9
1.6
Ví dụ đồ thị phẳng G
11
1.7
Đồ thị đẳng cấu với độ chính xác tới đỉnh bậc 2
12
1.8
Biểu diễn đồ thị G
14
2.1
Đồ thị G và ơ °
22
2.2
Tô màu đồ thị G
25
2.3
Đồ thị mô phỏng pha điều khiển giao thông
27
2.4
Đồ thị mô phỏng 7 môn thi
28
2.5
Đồ thị mô phỏng 6 đài phát thanh
30
3.1
Đồ thị môn dạy của 5 giáo viên
38
3.2
Tô màu đồ thị môn dạy của 5 giáo viên
40
3.3
Siêu đồ thị H
42
3.4
Hàng xóm của đỉnh Vn+1
45
1
MỞ ĐẦU
Có thể nói, Leonhard Euler là người đầu tiên nghiên cứu về lý thuyết
đồ thị (LTĐT). Bài báo của ông về Bảy Cây cầu ở thành phố Königsberg
được xem như xuất bản đầu tiên của LTĐT. Đen nay, LTĐT có nhiều ứng
dụng sâu sắc trong nhiều lĩnh vực khác nhau như ừong kinh tế tài chính, trong
công nghiệp, trong công nghệ thông tin...
LTĐT thực sự bắt đầu được nghiên cứu rộng rãi từ những năm 60 của
thế kỷ trước do sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử. Một cách không
hình thức, đồ thị gồm hai loại đối tượng: tập đỉnh và một quan hệ trên tập
đỉnh này. Không bất ngờ, mô hình rất tự nhiên này cho phép mô hình hóa rất
hiệu quả các bài toán thực tế. Các bài toán thực tế thường được chuyển một
cách tự nhiên thành bài toán trên đồ thị, từ đó dễ dàng thiết kế thuật toán để
giải bằng máy tính. Ngược lại, nhiều khái niệm trong đồ thị được lấy từ thực
tế. Ví dụ, khái niệm đường đi, cây, rừng... Quan hệ hai chiều này làm cho
LTĐT trở thành một lĩnh vực hấp dẫn không chỉ cho các nhà lý thuyết mà còn
cho cả những người làm thực hành.
Một trong những bài toán quan ttọng của LTĐT là bài toán tô màu. Tô
màu đồ thị là cách gán giá tri màu cho mỗi đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau có
màu khác nhau. Khái niệm tô màu đồ thị cho phép mô hình các bài toán lập
lịch, phân công công việc, các bài toán thỏa mãn ràng buộc... lìm cách tô
màu đồ thị bằng một số ít màu là bài toán khó, nhưng vô cùng quan trọng. Lợi
ích tương ứng của nó trong thực tế là lòi giải cho vấn đề lập lịch công việc tối
ưu, phân công công việc hợp lý...
Mục đích của luận văn “Thuật toán tô màu đồ thị và ứng dụng” là
nghiên cứu các thuật toán tô màu đồ thị và ứng dụng nó vào ttong bài toán
xếp thòi khóa biểu của Trường THCS Trưng Vương, Mê Linh, Hà Nội.
2
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết đồ thị và tìm hiểu thuật toán tô màu đồ thị để giải
quyết bài toán xếp thòi khóa biểu.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết đồ thị, chỉ ra các bài toán vận dụng thuật toán tô
màu trên đồ thị và giải quyết bài toán thực tế lập thời khóa biểu cho giáo viên,
học sinh trong các trường phổ thông.
Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Đối tượng được nghiên cứu cụ thể là lý thuyết đồ thị, bài toán tô màu
đồ thị và ứng dụng thực tế lập thời khóa biểu. Trong phạm vi giới hạn của đề
tài, luận văn nghiên cứu các giải quyết một số bài toán thực tế và mô hình lập
lịch thời khóa biểu ở trường Trung học cơ sở Trưng Vương huyện Mê Linh.
Phương pháp nghiền cứu
Đọc, phân tích và tổng hợp tài liệu.
Giả thuyết khoa học
Phần nghiên cứu lý thuyết sẽ cung cấp một cách nhìn tổng quát về lý
thuyết đồ thị và các thuật toán đồ thị. Kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho
các trường học phổ thông.
Cấu trúc luận văn: Ngoài chương mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3
chương:
• Chương 1 đưa ra một số khái niệm của lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn
đồ thị và một số thuật toán liên quan đến đồ thị.
• Chương 2 đưa ra các khái niệm về tô màu đồ thị, đa thức tô màu và
trình bày thuật toán tham lam tô màu đồ thị, và một vài ứng dụng đơn
giản.
• Chương 3 trình bày ứng dụng tô màu đồ thị để giải quyết bài toán lập
thời khóa biểu trường THCS Trưng Vương, Mê Linh, Hà Nội.
3
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VÈ ĐỒ THỊ
Trong chương này chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản về đồ
thị, về cây, đường, liên thông, đẳng cấu,.. và biểu diễn đồ thị.
1.1. Môt
cơ bản
• số khái niêm
•
Định nghĩa 1.1. Một đồ thị G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một
tập, còn E là tập với các phàn tử là các tập con hai phần tử của V.
Các phần tử của V cũng được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E
được gọi là các cạnh của đồ thị G. Nếu e = {a,b} là một cạnh của G thì a v ầ b
được gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e, và ta
nói đỉnh a kề với đỉnh b. Ta cũng thường ký hiệu canh {a,b} ngắn gọn là ab.
Đồ thị thường được biểu diễn trên mặt phẳng bằng các điểm và đường.
Mỗi điểm thể hiện một đỉnh của đồ thị, còn mỗi đường nối hai điểm thể hiện
một cạch nối hai điểm đầu mút.
Ví dụ 1.2. Xét đồ thị G = (V, E) với V = {a,b,c,d} và E = { {a,b}, {b,d}, {b,c},
{c,d} }. Khi đó G được biển diễn trên mặt phẳng bằng Hình 1.1 dưới đây
a
Hình 1.1: Đồ thị G = (V,E)
4
Định nghĩa 1.3. Đồ thị G ’ = (V’, E") được gọi là đồ thị con của đồ thị
G = (V, E) nếu V c z V và E 'czE . Đồ thị con G’ = (V ’, E *) của đồ thị
G = (V, E) được gọi là đồ thị con bao trùm của G nếu V’ = V. Nếu E ’ chứa tất
cả các cung hay cạnh của G, mà cả hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V’,
thì G ’ = {V’,E !) được gọi là đồ thị con của G = (V, E) cảm sinh bởi tập đỉnh
V’ hay cũng được gọi là đồ thị con cảm sinh bởi G = (V, E) trên tập đỉnh V’.
Khi đó G ’ cũng được ký hiệu là G ’ = G[F’].
Ta cũng có thể xây dựng đồ thị mới từ các đồ thị đã cho bằng cách xóa
hay thêm một số đỉnh hoặc cạnh. Neu w e V , thì G - W = G [ y \W ] , tức là đồ
thị con của Gnhận được từ Gbằng cách xóa đi các đỉnh thuộc
w và mọi cung
(hay cạch) liên thuộc với các đỉnh trong w.
Hiển nhiên là nếu một đồ thị có cấp bằng n thì cỡ m của nó thỏa mãn
0< m <
. Đồ thị cấp n và cỡ m = 0 được gọi là n-đồ thị rỗng hay n-đồ thị
v2y
hoàn toàn rời rạc và được ký hiệu là On hay En. Còn đồ thị cấp n và cỡ
m=
được gọi là n-đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu Kn.
v2y
Định nghĩa 1.4. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị với \v\ = n. Ta định nghĩa đồ
thị bù của G, ký hiệu G , là đồ thị với tập đỉnh cũng là V, còn cạnh là E(Kn)\E.
Định nghĩa 1.5. Một đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị ra-phần nếu ta có thể
phân loại V thành dạng V =Vl uV 2 u ...u V m với Vị 5*0, i = 1,2,3,
sao
cho các đinh trong cùng Vị, i = 1,2,3,.,.,m ìầ không kề nhau. Neu G là một đồ
thị m-phần và tồn tại cạnh nối một đỉnh bất kỳ của Vị với một đinh bất kỳ của
Vj cho mọi i ^ j thì G được gọi là m-phần đầy đủ.
5
Đồ thị 2-phàn đầy đủ, trong đó các phàn V] và v 2 có \Vj\ = m, \v2\ = n
được ký hiệu là Km
Định nghĩa 1.6. Xét đồ thị G = (V, E) và một đỉnh Ve V . Ta ký hiệu tập các
hàng xóm của V là
AfG(v) = {;x;eVIx ^ v và {x,v}^ E }
Trong trường hợp đồ thị G được hiểu ngầm, ta ký hiệu NG(v) đơn giản
bằngiV(v).
Định nghĩa 1.7. Bậc của đỉnh V trong đồ thị G, ký hiệu là degG(v) hay ngắn
gọn là deg(v), là lực lượng của tập NG(v).
Định lý 1.8 (Bổ đề bắt tay - Hand Shaking Lemma).
Trong đồ thị G = (V, E) bất kỳ ta luôn có
E deg(v) = 2 \E \
veV
Chứng minh: Vì mỗi cạnh ừong đồ thị được tính hai làn (tương ứng cho hai
đỉnh đầu mút) trong tổng bậc.
□
Ta cũng ký hiệu
Ỏ(G) = min deg(v),
veV
A(G) = max deg(v),
veV
tương ứng với bậc nhỏ nhất và bậc lớn nhất của các đỉnh của G. Nếu
Ỏ(G) = A(G) = k, thì mọi đỉnh của G đều có bậc bằng k v ầ G được gọi là đồ
thị chỉnh quy bậc k hay gắn gọn là k-chính quy. Một đồ thị được gọi là chính
quy nếu nó là Ả:-chính quy với một k nào đấy. Đồ thị &-chính quy cũng được
gọi là đồ thị bậc k.
Đính Vđược gọi là đỉnh treo nếu deg(v) = 1, được gọi là đỉnh cô lập nếu
deg(v) = 0.
6
Định nghĩa 1.9. Đồ thị G = (V,E) và G ’ = (V \ E ’) được gọi là đẳng cấu với
nhau nếu tồn tại song ánh
khi{
Ví dụ 1.10. Hai đồ thị G = (V, E) và G ’ = (V \ E ’) là các đồ thị biểu diễn như
trong Hình 1.2. Khi đó G = ơ và ánh xạ
là đẳng cấu của G và G \
a
G = (V,E)
G ’ = {V’,E ’)
Hình 1.2: Hai đồ thị đẳng cấu
1.2. Hành trình, chu trình và đường đi
Trong mục này chúng ta đề cập đến khái niệm hành trình, chu trình và
đường đi trong đồ thị.
Định nghĩa 1.11. Xét đồ thị G - (V, E). Một hành trình trong G là một dãy
đỉnh VoVi v2...,v„ thỏa mãn Vị và Vị+i kề nhau với với mọi i = 0,l,...,n-l. Khi đó
n cũng được gọi là độ dài, đỉnh Vo được gọi là đỉnh đàu, v„ được gọi là đỉnh
cuối của hành trình. Hành trình mà trong đó mọi đỉnh đều khác nhau được gọi
là đường đi.
7
Định nghĩa 1.12. Một hành trình được gọi là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh
cuối của nó trùng nhau. Một hành trình khép kín, mà khi xóa đỉnh cuối thì trở
thành một đường đi được gọi là một chu trình.
Ví dụ 1.13. Cho đồ thị G = (V, E) như Hình 1.3. Đồ thị này được gọi là đồ thị
Petersen. Khi đó,
a) abcde là một đường;
b) abcdea là một chu trình;
a
Hình 1.3: Đồ ứiị Petersen
Định nghĩa 1.14. Một đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông nếu với hai
đỉnh
Vị
đầu là
và
Vị
Vj
khác nhau bất kỳ của G tồn tại một hành trình trong G với đỉnh
và đỉnh cuối là
Vj.
Trong trường họp ngược lại, đồ thị được gọi là
không liên thông.
Định nghĩa 1.15. Đồ thị con liên thông G ’ = (V \ E ’) của một đồ thị
G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thông của G, nếu G ’ = GIV] và
với mọi V " ç V , mà thực sự chứa v \ đồ thị G[V’] là không liên thông.
8
1.3. Cây
Trong mục này chúng ta đề cập đến khái niệm một lóp mô hình đồ thị
không có chu trình và các điều kiện tương đương.
Định nghĩa 1.16. Một đồ thị liên thông và không có chu trình được gọi là cây.
Một đồ thị (không nhất thiết phải là liên thông) không có chu trình được gọi
là rừng.
Các đỉnh bậc một của cây được gọi là đỉnh lá hay đỉnh cuối, còn các
đỉnh bậc lớn hơn 1 của cây được gọi là đỉnh cành hay đỉnh trong.
Ví dụ 1.17. Đồ thị G =(V , E) Hình 1.4 là rừng gồm 4 cây Gj, G2, G3, G4.
r ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ị
Hình 1.4: Một rừng gồm 4 cây
Định lý 1.18. Giả sử T = (V, E) là đồ thị. Khỉ đó các khẳng định sau đây là
tương đương với nhau:
(a) T là cây;
(b) T không chứa chu trình và \E\ = Iv\ -1;
(c) Tliên thông và \E\ =
\v\- 1;
9
(d) T là đồ thị liên thông, nhưng nếu xóa đi một cạnh bất kỳ thì đồ thị nhận
được là không liên thông;
(e) Hai đỉnh khác nhau bat kỳ của T được nổi với nhau bởi đúng một
đường;
ịf) T không chứa chu trình, nhưng nểu ta thêm một cạnh nổi hai đỉnh
không kề nhau trong T thì đồ thị nhận được cỏ đúng một chu trình.
1.4. Đồ thị phẳng
Trong mục này chúng ta đề cập đến lớp đồ thị đặc biệt: Các đồ thị có
thể vẽ ừên mặt phẳng bởi các điểm và các đường không cắt nhau.
Định nghĩa 1.19. Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị phẳng nếu như nó có
thể biểu diễn được ở ừên mặt phẳng sao cho các đường cong biểu diễn các
cạnh hoặc không giao nhau hoặc giao nhau ở các đỉnh chung. Biểu diễn nói
trên của đồ thị phẳng được gọi là biểu diễn phẳng.
Ví dụ 1.20. Trên Hình 1.5. Đồ thị đày đủ K4 biểu diễn bên ừái không là đồ thị
phẳng, còn biểu diễn ở là biểu diễn phẳng của K4. Đồ thị đầy đủ K5 và đồ thị
2-phần đày đủ K33 không là đồ thị phẳng.
KI 1 3 )#
к4
К5
Hình 1.5: Đồ thị phẳng và đồ thị không phẳng
Кз 3
10
Định nghĩa 1.21. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị phẳng. Khi đó, phàn mặt
phẳng được giới hạn bởi các cạnh của G và không bị chia thành các phần nhỏ
hơn bởi các cạnh khác được gọi là một miền (hay cũng gọi là một mặt) của G.
Định lý 1.22 (Công thức Euler). Neu đồ thị phẳng liên thông G = (V, E) có V
đỉnh, e cạnh và f miền, thì V - e + f = 2.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo số miền/. Với / = 1
khi đó G không có chu trình, nhưng G liên thông suy ra G là cây.
Vậy e
= V -
Suy ra
V
1.
- e + f = V - V + 1 + 1 = 2 vậy đúng với/ = 1.
Giả sử định lý đã được chứng minh cho mọi đồ thị phang liên thông có
số miền nhỏ h ơ n /
D o / = 1 định lý đã đúng nên ta có thể giả th iết/ > 2.
D o / > 2 nên G có một chu trình c.
Giả sử e là một cạnh của chu trình c. Giả sử s là miền của G nằm phần
bên trong giới hạn bởi c và T là miền của G nằm phần bên ngoài giới hạn bởi
c sao cho e là cạnh chung của S \ à T được biểu diễn ừong hình vẽ sau đây
Xét đồ thị G ’ có tập đỉnh là V và E ’. G = (V, E) với E ’ = E\{e). Khi đó
G ’ là đồ thị con của đồ thị phẳng (vì G ’ là đồ thị con của đồ thị phẳng G) với
số đỉnh bằng
f-K f-
V
và số cạnh bằng e - 1. Do F và T nhập một nên số miền bằng
11
Do đó
V
- (e -1 ) + (f - 1) = 2 tương đương
V
- e + f = 2 theo giả thiết
quy nạp suy ra điều phải chứng minh.
□
Định lý 1.23 (Bất đẳng thức cạnh đỉnh).
Trong đồ thị phẳng liên thông G = (V, E) bất kỳ với chu vi nhỏ nhất g
(girth) thỏa mãn 3 < g < 00 ta luôn có
E <- 8 ( M - 2 )
8-2
Chứng minh. Giả sử G có các cạnh là e1,e2,...,emvà có các miền Tj,T2,...,Ti
Xác đinh ma trận l cột và m hàng M = (lĩiij)mx I
Với
í rriiị = 1 nếu ei nằm trên biên của Tj.
m.ịj = 0 nếu eị không nằm ừên biên của Tý
Xét ví dụ đồ thị phang G như Hình 1.6 ta có ma trận
M=
ì
0
0
1 0
0
1 1 0
1 0
1 1 0
0 0
0
1'
1
1 0
0
11
12
Tính số s phần tử 1 ừong M. Nếu tính theo hàng ta có 5 < 2m
©
Tính theo cột ta có số phần tử s chính là số cạnhnằm trên biên của miền suy
ra chính là chu trình. Do đó ta có g.l < s
©
Từ (D và © ta suy ra g.l < 2m
Áp dụng công thức Euler cho đồ thị phẳng, ta có:
\ v \ - m + l = 2 <^> 1 = 2 - IVI + m
Với g.l< 2 m ta có g.( 2 - \v\ + m) <2m
m.ịg - 2) < g .(\v \ - 2)
<^> m < —- —(Ivl—2)
8 -2
m chính là số canh nên suy га \E \< — —(lvl-2)
8 -2
□
Hệ quả 1.24. Đồ thị đầy đủ K5 và đồ thị 2-phần đầy đủ Kị 3 không là đồ thị
phẳng.
Chứng minh. Đồ thị K5 có 5 đỉnh, 10 cạnh và chu vi nhỏ nhất g bằng 3. Nếu
Л
?
Ấ ’ ,
K5 là đồ thị phang, thì theo bất đắng thức cạnh đinh 10 <
3
3 2
1
(5 - 2) = 9, điều
này mâu thuẫn. Vậy K5 không là đồ thị phẳng.
Tương tự, đồ thị K33 có 6 đỉnh, 9 cạnh và chu vi nhỏ nhất g bằng 4.
Nếu K33 là đồ thị phẳng, thì theo bất đẳng thức cạnh đính 9 <
điều này mâu thuẫn. Vậy K33 không là đồ thị phẳng.
4
^ (6 - 2) = 8
2
□
Định nghĩa 1.25. Hai đồ thị GỊ và G2 được gọi là đẳng cấu với độ chính xác
tới các đinh bậc 2, nếu chúng hoặc đẳng cấu với nhau hoặc có thể biến đổi
thành các đồ thị đẳng cấu với nhau bằng cách chèn thêm hay xóa đi các đỉnh
bậc 2.
Ví dụ 1.26. Hai đồ thị GỊ và G2 trên Hình 1.7 là các đồ thị đẳng cấu với độ
chính xác tới đỉnh bậc 2.
13
о [=>
|=> <1
Chèn đỉnh bậc 2
Xóa đỉnh bậc 2
Hình 1.7 Đồ thị đẳng cấu với độ chính xác tới đỉnh bậc 2
Định lý 1.27. (Kuratowski - Poutragin, 1930). Một đồ thị là đồ thị phẳng
khi và chỉ khỉ nó không chứa một đồ thị con nào mà đẳng cẩu với độ chính
xác tới các đỉnh bậc hai với đồ thị K ị hoặc đồ thị K ị 3.
1.5. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận
Để có thể biểu diễn đồ thị trong máy tính người ta thường dùng các ma
trận.
1.5.1. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề
Xét đồ thị G = (У, E) với tập đỉnh V = {VJ,V2 ,
của đồ thị G là ma trận
au
°Л2
a 2\
a 22
A = ( a iị)n,n
?
4 Л __
Ở đây
1,
nêu (v,,v .)e£,
0,
neu (vì5V;) ể £,
Khi đó ma trận kề
14
Dễ thấy rằng ma trận kề A của đồ thị G hoàn toàn xác định G. Vì vậy ma trận
kề A được coi là một biểu diễn của G.
Ví dụ 1.28. Giả sử G = (V, E) với V = {vi, v2, v3, v4, v5, v6} và
E = {ei, e2,
e8) là đồ thị được biểu diễn bởi sau:
Hình 1.8. Biểu diễn đồ thị G
Khi đó ma trận kề của G là ma trận
'0
1
А=
1 1 0
00 0 1 0
1 0
0
1 1л
0
1 0
01 0
1 1 0
0
1 0
1 0
1
V1 оо о 1 oy
1.5.2. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận liên thuộc
Giả sử G = (V, E) là đồ thị với V = {v1,v2,...,vn} và E = {ej,e2,...,em}.
Khi đó ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận
B = (bộn*m=
rbn
^12
•
K
^21
^2 2
■
b 2m
A i
b n2
■••
'
Km;
15
ở đây
Ma trận liên thuộc
1,
nêu Vị là đỉnh đâu của ej,
0,
nếu V, không liên thuộc với
в
cũng hoàn toàn xác định đồ thị
G. Vì vậy, в
cũng được
coi là một biểu diễn của G.
Ví dụ 1.29. Giả sử G = (V, E) với V = {Vi, v2, v3, v4> v5> v6} và
E = {ej, e2,
e8) là đồ thị được biểu diễn bởi Hình 1.8. Khi đó ma trận liên
thuộc của G là ma trận
B=
'1
1 0
0 0
0
1
01
0 0
0 0
0
0
0
10
00
10
11
0 0
0 0
0
0
0
0
0
1 0
0
1 Г
1 1 1 0
0 0
1 0
1,
16
CHƯƠNG 2
TÔ MÀU ĐỒ THỊ
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một vài kết quả cơ bản về tô
màu đỉnh của đồ thị. Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa số màu có
thể tô một đồ thị và bậc của đỉnh, liên hệ giữa đa thức tô màu và sắc số. Tiếp
theo chúng ta sẽ trình bày một thuật toán tham lam cho phép tô màu với số
màu họp lý, và cuối cùng sử dụng thuật toán này để giải một vài bài toán đơn
giản có thể mô hình bằng tô màu đồ thị.
2.1. Định nghĩa và một số kết quả cơ bản
Trong mục này chúng ta xem xét định nghĩa về tô màu đỉnh đồ thị và
một vài kết quả liên quan đến một số ước lượng của sắc số.
Định nghĩa 2.1. Một tô màu đỉnh của một đồ thị, mà ta sẽ đơn giản gọi là một
tô màu, là một phép gán các màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau có
màu khác nhau.
Nếu số màu khác nhau, mà ta dùng để tô trong một tô màu của đồ thị,
nhỏ hơn hoặc bằng k thì tô màu đó cũng được gọi là к-tô màu.
Tập tất cả các đỉnh được tô bởi cùng một màu trong một tô màu của đồ
thị được gọi là lớp đỉnh đồng màu của tô màu đó. Như vậy, một к-tô màu
phân hoạch tập đỉnh của đồ thị thành к lớp đỉnh đồng màu.
Định nghĩa 2.2. sắc số của một đồ thị G, ký hiệu là ỵ {G ) , là số tự nhiên k
nhỏ nhất để G có một к-tô màu.
Đồ thị G được gọi là đồ thị к-tô màu được nếu z(G ) < к và được gọi là
к-sắc nếu z(G ) = k .
17
Mệnh đề 2.3. Neu đồ thị G chứa một đồ thị con đẳng cẩu với K n thì x(G) >n.
Chứng minh. Vì mọi đỉnh trong đồ thị Kn đều kề nhau nên mọi cách tô màu
đều phải dùng ít nhất n màu.
□
Định lý 2.4 (König, 1936). Giả sử G = (V,E) là một đồ thị bất kỳ. Khỉ đó các
khắng định sau đây là tương đương nhau:
(a) G là đồ thị 2-sẳc;
(b) G là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng;
(c) G là đồ thị khác đồ thị rỗng và mọi chu trình trongG đều cỏ độ
dài
chẵn.
Chứng minh.
(a) => (b)\ Giả sử G là đồ thi 2-sắc. Ta cũng giả sử rằng V] và v 2 là hai
lớp đinh đồng màu của G ừong một 2-tô màu nào đó. Khi đó dễ thấy rằng G
là đồ thị 2-phàn với các phàn là V] và v 2. Vì G là 2-sắc nên hiển nhiên nó
không là đồ thị rỗng.
(b) => (a): Giả sử G là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng. Ta cũng giả sử
rằng V] và v 2 là các phần của G. Ta tô các đỉnh của Vj bằng một màu và tô
các đỉnh của v 2 bằng một màu khác. Khi đó ta nhận được một 2-tô màu của G
vì G là đồ thị 2-phần. Mặt khác, G không có 1-tô màu vì nó là đồ thị khác đồ
thị rỗng. Vậy z(G ) = 2 và G là đồ thị 2-sắc.
(b) => (с): Giả sử G = (V, E) là đồ thị 2-phần khác đồ thị rỗng với các
phần là V1 và v 2. Ta cũng giả sử rằng с = V]V2 V3.'VnV] là một chu trình bất kỳ
trong G. Nếu Vj e vx, thì v2 eV2, У3 бУр v4 e V2
tức là những đỉnh với chỉ
số dưới lẻ là đinh thuộc V], còn những đỉnh với chỉ số dưới chẵnlà đỉnhthuộc
v2- Vì thế, độ dài của chu trình с phải là chẵn.
(c) => (b): Giả sử G = (V, E) là đồ thị khác đồ thị rỗng trong đó mọi
chu trình đều có độ dài chẵn. Trước hết ta xét trường hợp G là liên thông. Ta
