Đáp án đề 701

Câu I.
Có
(2 )( 1)
1
m m
y x m
x
− −
= − +
−
1. Khi m = 0 có
2
1
y x
x
= −
−
1.1. Tập xác định:
\{1}¡

1.2. Sự biến thiên:
-Có
2
2
' 1 0
( 1)
y x
x
= + > ∀ ∈
−

\{1}¡

nên hàm số đồng biến trên từng khoảng
( ;1)
−∞
;
(1; )
+∞

và không có cực trị
-Ta có
1 1
2 2
lim lim ( ) lim ; lim lim ( ) lim
1 1
x x x x
x x
y x y y x y
x x
+ −
→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
→ →
= − = = −∞ = − = = +∞
− −
Và
2 2
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0
1 1
x x x x
y x y x

x x
→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
− = − = − = − =
− −
Nên phương trình tiệm cận đứng là
: 1x
=

và
y x=
là phương trình của tiệm cận xiên
-Bảng biến thiên:
.
SM+


1.3 Đồ thị:


2. Trong trường hợp tổng quát
\{2;1}m
∈
¡
ta có:
tập xác định:
\{1},¡
SM+

2
( 1)( 2)

' 1
( 1)
m m
y
x
− −
= +
−
-Nếu
( 1)( 2) 0 \[1;2]m m m− − > ⇔ ∈ ¡
thì
' 0y >
trên từng khoảng xác định hàm tăng ngặt
trên từng khoảng ấy, nên hàm số không có cực trị.
-Nếu
( 1)( 2) 0 (1;2)m m m− − < ⇔ ∈
thì
2
( 1 (1 )( 2))( 1 (1 )( 2))
'
( 1)
x m m x m m
y
x
− − − − − + − −
=
−
Đặt
1 2
1 (1 )( 2) ;1 (1 )( 2)m m x m m x− − − = + − − =

ta có bảng biến thiên hàm số
x
- ∞ x
1
1 x
2
+ ∞
y’ + 0 - || - 0 +
y
CD
CT
Như vậy khi
(1;2)m∈
thì
hàm số có cực đại
1 2 (1 )( 2);
CD
y m m m= − − − −

và cực tiểu
1 2 (1 )( 2);
CT
y m m m= − + − −
Vậy
2
(1 2 (1 )( 2))(1 2 (1 )( 2))
7 4 4
5( )
5 5 5

CD CT
y y m m m m m m
m
= − − − − − + − −
= − − ≥ −
dấu = xảy đến khi
7
5
m =
để ý là
7
(1;2)
5
∈
nên GTNN của
CD CT
y y
là
4
5
−
đạt tại
7
5
m =
vậy
7
5
m =
là giá trị cần tìm để thỏa yêu cầu bài toán.

Câu II:
SM+

1.
Hệ phương trình đề ra:
2 2
2 2
2
2
3( ) 2 0
3 2 4 0
( )( 3( ) 2) 2( 3 2 4) 0
3( ) 2 0
( ) 3(( ) 2 ) 2( ) 8 0
3( ) 2 0
( )(3( ) 2) 3(( ) 2(3( ) 2)) 2( ) 8 0
3( ) 2 0
xy x y
x y x y
x y xy x y x y x y
xy x y
xy x y x y xy x y
xy x y
x y x y x y x y x y
xy x y
− + + =

⇔

− − + =



− − − + + + − − + =
⇔

− + + =


+ − + − − + + =
⇔

− + + =


+ + − − + − + − − + + =
⇔

− + + =

⇔
14( ) 4 0
3( ) 2
2
7
8
7
x y
xy x y
x y
xy

+ − =


= + −


+ =


⇔

−

=


Điều này thông báo
;x y
là hai No phân biệt của phương trình
2
7 2 8 0x x− − =
Tức là:
1 57 1 57
;
7 7
x y
− +
= =
hoặc
1 57 1 57

;
7 7
x y
+ −
= =

Vậy hệ có 2 cặp No
1 57 1 57
( ; ) ( ; )
7 7
x y
− +
=
và
1 57 1 57
( ; ) ( ; )
7 7
x y
+ −
=
.

2. Bất phương trình

3 3 (1 1 ) 3
(3 2)(1 1 ) 3 2(1 1 ) 3
m x x
m x x x
⇔ + + + ≤
⇔ − + + ≤ − + + −

Mà
2
((1 1 ) 1) 1x x= + + − −
nên bất phương trình
(3 2)(1 1 ) ( 1 2)(3 1 4)m x x x⇔ − + + ≤ + − + +

Khi
[0;3]x∈
thì rõ ràng
1 [1;2]x+ ∈
nên
1 1 0 ( 1 2)(3 1 4)x x x+ + ≥ ≥ + − + +
nên để
bất phương trình có No thì cần phải xảy ra
3 2 0m
− ≤
Tuy nhiên nếu
2
3 2 0
3
m m− ≤ ⇔ ≤
thì ta nhận thấy rằng
2x
=
luôn là No của bất phương
trình.đã cho khi ta thay vô trực tiếp.
Tóm lại
2
3

m ≤
là điều kiện cần và đủ với m để thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu III.
SM+

1.
1
∆
có véc tơ chỉ phương là
1
(2;3;1)u
ur
và nó chứa
1
( 1;1;2)M
−


2
∆
có véc tơ chỉ phương là
2
(2;5; 2)u
−
uur
và nó chứa
2
(2; 2;0)M
−

Hai đường này chéo nhau
1 2 1 2
v=[ ; ] 0u u M M
⇔ ≠
ur uur uuuuuur

Ta có
1 2
[ ; ]=(-11;6;4)u u
ur uur
và

1 2
(3; 3; 2)M M − −
uuuuuur
Nên
v=-59
vậy sự thật là hai đường đó chéo nhau
Khoảng cách giữa chúng
1 2
| | 59 173
173
|[ ; ]|
v
d
u u
= =
ur uur
2. Gọi
1 2

;A B∆ ∩ ∆ = ∆ ∩ ∆ =

Do
1 2
( 1 2 ;1 3 ;2 ); (2 2 ; 2 5 ; 2 )A A a a a B B b b b∈∆ ⇒ − + + + ∈∆ ⇒ + − + −
d1
d2
A
B
M
Sự thẳng hàng của
; ;A B M
dẫn đến

3 2 3 3
: .
6 2 5 6 2 2
3 3 11 6 3
4 22 6 4
21 7
;
55 17
4289 191 2283
(2 2 3;5 3 3; 2 2) ( ; ; )
935 935 935
4 4 2
:
4289 191 2283
a a a
k MA k MB

b b b
a a
b
a b
AB b a b a b a
x y z
+ −
∃ = ⇔ = =
+ − − −
+ −
⇔ = =
− +
−
⇔ = =
−
⇒ − + − − − − − =
+ − −
⇒ = =
−
uuur uuur
uuur
V

Câu IV.
1. Có
2
( 2 1) 1
2
x
x

− +
=
.nên nếu đặt
2 1x t− =
;
SM+