Đáp án đề 702

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN 702
Câu I.
Có
1
1y x m
x m
= + + +
−
1. Khi
0m
=
có
1
1y x
x
= + +
1.1. Tập xác định:
\{0}¡

1.2. Sự biến thiên:
-Có
2
2 2 2
1
1 1 ( 1)( 1)
' 1 ; ' 0
1
x
x x x
y y

x
x x x
=

− − +
= − = = = ⇔

= −


-Ta có
0 0
lim lim ; lim lim
x x
x x
y y y y
− +
→−∞ →+∞
→ →
= = −∞ = = +∞
Và
1 1
lim ( ( 1)) lim ( ) lim ( ( 1)) lim ( ) 0
x x x x
y x y x
x x
→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
− + = = − + = =
Nên phương trình tiệm cận đứng là
: 0x =

và
1y x= +
là phương trình của tiệm cận xiên
-Bảng biến thiên:
Nhận xét:
-Hàm số đồng biến trên từng khoảng
( ; 1)−∞ −
và
(1; )+∞
-Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
( 1;0)−
và
(0;1)
-Cực đại của hàm số là
1−
đạt tại
1x
= −
-Cực tiểu của hàm số là
3
đạt tại
1x =
SM+

1.3 Đồ thị:
4
2
-2
-4

-5 5
y=x+1
O
I
Đồ thị nhận
(0;1)I
làm tâm đối xứng !
2. Trong trường hợp tổng quát ta có:
tập xác định:
\{1},¡

Có
2
2 2 2
1
1 ( ) 1 ( 1)( 1)
' 1 ; ' 0
1
( ) ( ) ( )
x m
x m x m x m
y y
x m
x m x m x m
= −

− − − − − +
= − = = = ⇔

= +

− − −

Bảng biến thiên:
Như vậy với
m
tùy ý đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại
( 1;2 1)M m m− −
và điểm cực tiểu
'( 1;2 3)M m m+ +
Khi ấy
'
'
'
1 | . |
( ; '). ' . '
2
2 | |
MM
OMM
MM
OM n
S d O MM MM MM
n
= =
V
uuuur r
r
mà
' '
' (2;4) ( 4;2)

MM MM
MM u n= = ⇒ − =
uuuuur r r
và
( 1;2 1)OM m m= − −
uuuur
SM+

Vậy
2 2
'
2 2
| 4( 1) 2(2 1) |
2 4 1
2 4 ( 2)
OMM
m m
S
− − −
= + =
+ −
V
(đvcd)
Điều này báo cho chúng ta biết những gì cần CM đã được khẳng định hoàn toàn !
Câu II
1. Phương trình tương đương với:
2 1 os2
(1 3) (sin 2 os2 ) 2 2( os( ) )
2 3 2
(1 3)sin 2 (1 3) os2 4 os( ) 2

3
(sin 2 3 os2 ) ( os2 3sin 2 ) 4 os( ) 2
3
2sin(2 ) 2 os(2 ) 4 os( ) 2
3 3 3
c x
x c x c x
x c x c x
x c x c x x c x
x c x c x
π
π
π
π π π
−
+ + = − −
⇔ + − − = − −
⇔ + − − = − −
⇔ + − + = − −
Đặt
3
x t
π
= +
thay vô ta được phương trình tương đương:
2
sin(2 2 ) os(2 2 ) 2cos 1
3 3 3 3
os2 sin 2 2cos 1 2cos 2cos .(sin 1) 0
2cos .(sin cos 1) 0 cos .( 2 os( ) 1) 0

4
cos 0
2
;
1
os( )
2 (1 ( 1) .3)
4
2
4
3
n
t c t t
c t t t t t t
t t t t c t
t
t k
k n
c t
t k
x k
π π π π
π
π
π
π
π
π
π π
π

⇔ + + − + + = −
⇔ − = − ⇔ − + =
⇔ + + = ⇔ − + =

=

= +


⇔ ⇔ ∀ ∈


− = −

= + + −




= + +
⇔
¢
2
;
2 (1 ( 1) .3)
3 4
n
k n
x k
π π

π


∀ ∈


= + + + −


¢
Tóm lại phương trình có No
3 2
x k
π π
π
= + +


2 (1 ( 1) .3) ; ;
3 4
n
x k k n
π π
π
= + + + − ∀ ∈ ¢

Câu II:
1. Hệ phương trình đề ra:
SM+

2
2
2 2
2
2
3 1
1
(1 )
3 1
1
y a x a
x x
x y a
x x
y a x a
y x a

− + =

⇔

+ −
+ + =

+ −


− + =

⇔


+ + =


Nhận xét rằng hễ
0 0
( ; )x y
là một cặp No của hệ thì
0 0
( ; )x y−
cũng thế, điều này chỉ ra rằng để
0 0
( ; )x y
có thể là cặp No duy nhất của phương trình thì
0 0
( ; )x y =
0 0
( ; )x y−
; nói khác đi nếu
0 0
( ; )x y
là No duy nhất thì
0
0x =
vậy nếu
a
thỏa hệ ý có No duy nhất thì
2
2
3 1 0

1 0
3(*)
y a a
y a
a

− + =

⇒

+ + =


⇒ =
Với
3a
=
hệ

2
2
2
2
3 3 1 3
1 1
1 3
2
0
y
y x

x
y x
y
x

=

− + =
 
⇔ ⇔
 
+ =

+ + =



=

⇔

=

Vậy quả đúng là khi
3a =
hệ có No duy nhất (**)
Từ các kết luận ở (*) và (**) ta có điều kiện cần và đủ cần tìm là
3a
=
Câu III.

P
dm
A
H
A'
C
A*
1. Giả sử
A'
là tọa độ điểm đối xứng cần tìm và
AA' ( )P H∩ =
SM+

Ta có:
' ' '
. ( 1; ;1 ) ( ; ; )
( 1 ; ; 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1 0
1 1
1 4 1 2
( ; ; ) ( ; ; )
3 3 3 3 2 2 2
5 2 1
'( ; ; )
3 3 3
P H H H
A A A
AH h n x y z h h h
H h h h P h h h
x y z
h H

A
= ⇒ + + = −
⇒ − + − − ∈ ⇒ − + + − − − + =
− −
− − − −
⇒ = ⇒ =
− − −
⇒
uuur uur
Vậy tọa độ điểm đối xứng cần tìm là
5 2 1
'( ; ; )
3 3 3
A
− − −
2. (Chịu khó đến buổi chữa bài xem, ko chữa vào đây !)
Câu IV.
1.
2
ln ln(((2 1 ) 2) 1)
x x
x e e
= = + + − −
Nên nếu đặt
2 1
x
e t+ + =
; thì
x

0

ln3
t
2 2+

4

Và:
4
2
2
2 2
4 4
2 2
2 2
2 2 2 2
4 4
2
2 2 2 2
3(( 2) ) 1) 8
(ln(3(( 2) ) 1) 8))
2(3(( 2) ) 1) 8)( 2) (3(( 2) ) 1) 8)( 2)
2
(( 2) 1) (( 2) 1)
3 16 17 17 2 2
2 (3 2 2 (3 2( ))
( 1)( 3) 3 ( 1) 3( 3)
6
(6

t
I d t
t
t t t t
dt dt
t t t t
t t
dt dt
t t t t t t
t
+
+ +
+ +
− − +
= − − +
− − + − − − + −
= =
− − − −
− +
= − = − − −
− − − −
= −
∫
∫ ∫
∫ ∫
4
2 2
8 8
ln 8ln( 1) ln( 3)) |
3 3

68 2 2 1 2 8
6(2 2) ln 8ln ln( 1 2)
3 4 3 3
t t t
+
+ − − −
+ +
= − + − + − +
2. (Không chữa ở đây)
Câu Va
d2
d1
d
M
B
A
SM+