Tổng hợp kiến thức hình học 6 7 8

CC KIN THC HèNH HC C BN LP 6 - 7 - 8
1. Cỏc gúc:
+ Gúc vuụng cú s o bng 900
+ Gúc nhn nh hn gúc 900
+ Gúc bt cú s o bng 1800
+ Gúc tự nh hn gúc bt v ln hn gúc 90 0
+ Hai gúc ph nhau cú tng bng 900
+ Hai gúc bự nhau cú tng s o bng 180 0
* Trung im ca on thng l im nm gia v cỏch u 2 u mỳt ca
on thng
.
.
.
Nu M l trung im ca AB thỡ
A
B
M
MA = MB =
2. Tia phõn giỏc ca mt gúc.
a. nh ngha : Tia phõn giỏc ca mt gúc l tia nm gia v to vi 2 cnh ca
gúc 2 gúc bng nhau.
b. Tớnh cht: Mi im nm trờn tia phõn giỏc ca gúc thỡ cỏch u 2 cnh ca
gúc
Nu OM l tia phõn giỏc ca
A
Thỡ =
M

O

3. Đờng trung trực của đoạn thẳng

a. Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc
với một đoạn thẳng tại trung điểm của
nó đợc gọi là đờng trung trực của đoạn
thẳng ấy
b. Tổng quát:
a là đờng trung trực của AB
c. im nm trờn ng trung trc ca
on thng AB thỡ cỏch u 2 u mỳt ca
on thng AB v ngc li
4. Hai gúc i nh:
+ nh ngha: Hai gúc i nh l 2 gúc cú
mi cnh ca gúc ny l tia i ca mt
cnh ca gúc kia.
+ Tớnh cht : Hai gúc i nh thỡ bng
nhau.

B

A

a

I

5. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng
a) Các cặp góc so le trong:
v ; v
b) Các cặp góc đồng vị:
v ; v
v ; v

B


c) Khi a//b thì v ; v gọi là các cặp
góc trong cùng phía bù nhau

a

A
3 2
4 1

b

B
3 2
41
6. Hai đờng thẳng song song
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng
thẳng a, b và trong các góc tạo thành
có một cặp góc so le trong bằng nhau
(hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau)
thì a và b song song với nhau
b) Tiên đề Ơ_clít

c
a

b

- Qua một điểm ở ngoài một đờng
thẳng chỉ có một đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó

M

b
a

c, Tính chất hai đờng thẳng song song
- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau;
Hai góc đồng vị bằng nhau;
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
d) Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông
góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau
a //b
- Một đờng thẳng vuông góc với một
trong hai đờng thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đờng thẳng kia
ab

c

b
a

c
ba


e) Ba đờng thẳng song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng
song song với một đờng thẳng
thứ ba thì chúng song song với
nhau
a//c và b//c => a//b
7. Góc ngoài của tam giác
a) Định nghĩa: Góc ngoài của một
tam giác là góc kề bù với một góc của
tam giác ấy
b) Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam
giác bằng tổng hai góc trong không kề
với nó
= +

a
b
c

A

B

C

8. Hai tam giác bằng nhau

a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng
nhau là hai tam giác có các cạnh tơng
ứng bằng nhau, các góc tơng ứng bằng
nhau
ABC = A,B,C,

x

A

B

B'

A'

C

C'


b) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c
*) Trêng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh
A
(c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba
c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c
®ã b»ng nhau
Nếu ABC và A,B,C, có:
B

AB = A,B,
, ,
, , ,
AC = A B ABC = A B C (c.c.c)
A'
, ,
BC = B C

C'

B'
*) Trêng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh
(c.g.c)
- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam
gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã
b»ng nhau
Nếu ABC và A,B,C, có:
,

A

B

,

AB = A B
=
ABC = A,B,C, (c.g.c)
BC = B,C,

B'
*) Trêng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)

C

A'

C

C'


- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam
gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã
b»ng nhau
Nếu ABC và A,B,C, có:
=
BC = B,C,
=

ABC = A,B,C, (c.g.c)


c) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
Trêng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai
c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng
nhau. (c.g.c)

B

B'

A

C A'

C'

 Trêng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy
cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän
kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
(g.c.g)

B

B'

A

C A'

C'

 Trêng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng
nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th×
hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

 Trêng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c
vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c
vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.


B

B'

A

C A'

C'

9. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam
giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
trong tam giác)
- Trong một tam giác, góc đối diện với
cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
ABC: Nu AC > AB thỡ

A

C

B

- Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn
ABC: Nu thỡ

10. Quan hệ giữa đờng vuông góc và đờng xiên, đờng xiên và hình
chiếu
Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng
xiên
Lấy A d, kẻ AH d, lấy B d và B H. Khi đó

- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vuông
góc kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên
đờng thẳng d
- Đoạn thẳng AB gọi là một đờng
xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu
của đờng xiên AB trên đ.thẳng d

:

A

H

B

d

Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc: Trong các đờng xiên và đờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đờng thẳng đến đờng thẳng đó,
đờng vuông góc là đờng ngắn nhất.
Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu: Trong hai đờng xiên kẻ
từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì:
- Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
- Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
- Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc
lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.
11. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác.
Bất đẳng thức tam giác


- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn
độ dài cạnh còn lại.

A
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB

B

C

- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ
hơn độ dài cạnh còn lại.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn
hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC

12. Tính chất ba đờng trung tuyến của tam giác
Ba đờng trung tuyến của một tam giác
cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách

A

2
3

F

mỗi đỉnh một khoảng bằng
độ dài
đờng trung tuyến đi qua đỉnh ấy:

G

B

D

G là trọng tâm của tam giác ABC

E
C

13. Tính chất ba đờng phân giác của tam giác
Ba đờng phân giác của một
A
tam giác cùng đi qua một
điểm. Điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó
- Điểm O là tâm đờng tròn nội
tiếp tam giác ABC (lớp 9)

O
B
14. Tính chất ba đờng trung trực của tam giác

C


Ba đờng trung trực của một tam giác
cùng đi qua một điểm. Điểm này cách
đều ba đỉnh của tam giác đó

A

- Điểm O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC

O
C

B
15. Tính chất ba đờng cao của tam giác
Ba ng cao ca tam giỏc cựng i qua mt im
H l trc tõm ca tam giỏc

A
H

C
B
* Tam giỏc ABC cõn ti A : Hai trong 4 ng sau
trựng nhau : ng trung trc cnh BC, ng
trung tuyn, ng cao v ng phõn giỏc cựng xut phỏt t nh A.
* Nu tam giỏc ABC u thỡ trng tõm, trc tõm, im cỏch u 3 nh v im
( nm trong tam giỏc) cỏch u 3 cnh l 4 im trựng nhau.
16. Phơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản (sử dụng một
trong các cách sau đây)
a) Chứng minh tam giác cân
1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao
4. Chứng minh tam giác đó có đờng cao vừa là đờng phân giác ở đỉnh
b) Chứng minh tam giác đều
1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 600
c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành

1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
5. Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng là hình
bình hành
d) Chứng minh một tứ giác là hình thang: Ta chứng minh tứ giác đó
có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân
1. Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
2. Chứng minh hình thang có hai đờng chéo bằng nhau
f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật
1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
4. Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật
g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi
1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
3. Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau
4. Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc


h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông
1. Hình chữ nhật co hai cạnh kề bằng nhau
2. Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc
3. Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc
4. Hình thoi có một góc vuông
5. Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau
17. Đờng trung bình của tam giác, của hình thang

a) Đờng trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung
điểm hai cạnh của tam giác
Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba
và bằng nửa cạnh ấy

A
BC // BC, DE = BC

E

D
B

C

b) Đờng trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh bên của hình thang
Định lí: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy
và bằng nửa tổng hai đáy
B

A

EF//AB, EF//CD,

EF = AB + CD
2

E

F

D

C

18. Tam giác đồng dạng
a) Định lí Ta_lét trong tam giác: Nếu một đờng thẳng song song với
một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh
đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ

A
B'

B,C,//BC

B

C'

a
C

b) Định lí đảo của định lí Ta_lét: Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh
của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tơng
ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác
Ví dụ: // BC ; Các trờng hợp khác tơng tự
c) Hệ quả của định lí Ta_lét

- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song
với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ
lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Hệ quả còn đúng trong trờng hợp đờng
thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai
cạnh còn lại ( // BC )


A

a
C'

B'
A

C

B

a
B'

C'

C

B

d) Tính chất đờng phân giác của tam giác: Đờng phân giác trong
(hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với

hai cạnh kề của hai đoạn đó
A

A

B

D

C

C

B

D'

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : Hai tam giác đồng
dạng là hai tam giác có các góc tơng ứng bằng nhau và các cạnh tơng ứng tỉ l
A,B,C, S ABC
= k t s ng dng
f) Định lí về hai tam giác đồng dạng: Nếu một đờng thẳng cắt hai
cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một
tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

A

MN / /BC => AMNS ABC

M

*) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với trờng
hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh
của tam giác và song song với cạnh còn lại

B

N

a
C

g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác
*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam
giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.


A'
A

C

B

B'

C'

Nu A,B,C, v ABC cú
thỡ A,B,C, ABC (c.c.c)

*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam
giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng
dạng

A'

A

C

B

B'

C'

Nu A,B,C, v ABC cú
thỡ A,B,C, ABC (c.g.c ) (c.c.c)
*)Trờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của
tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;

A'
A

B

C

B'

C'

Nu A,B,C, v ABC cú
thỡ A,B,C, ABC (g.g. )
h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì
chúng đồng dạng;

B'

B

A

C

A

C'


, , ,
B Ccạnh
v góc
ABC
cú của tam giác vuông này tỉ lệ với
*)Trờng hợp 2: Nu
Nếu A
hai
vuông

, , ,
thỡ của
ABC
) kia thì hai tam giác đó đồng dạng;
hai cạnh góc vuông
tamABC
giác(g.g
vuông

B'
B

C

A

C'

A'

Nu A,B,C, v ABC vuụng ti A v
thỡ A,B,C, ABC (c.g.c )
*)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông
này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai
giác đó đồng dạng.
Nu A,B,C, v ABC vuụng ti A v
thỡ A,B,C, ABC (cnh huyn- cnh gúc vuụng )
19. Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số
đồng dạng

- Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số
đồng dạng
- Cụ thể :
=>

A 'B 'C'

S

ABC theo tỉ số k

20. Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9)
2



b = ab'

A

2



c = ac '
2

2

a = b +c

bc = ah

2

(Pi_ta_go)

2



c

h = b' c '
1 + 1 = 1
2
2
2
b
c
h


21. Diện tích các hình

B

h

b
b'

c'
H

a

C


h

b
a

h

a

S = a. b

a
S=

S=
a

S=

b
h

E
a
S=

h

F

h

a

S = E F. h

d2
d1

a

S=ah

S=

22. Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình cơ bản (dùng thớc và compa)
a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trớc;
b) Dựng một góc bằng một góc cho trớc;
c) Dựng đờng trung trực của một đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm

của một đoạn thẳng cho trớc;
d) Dựng tia phân giác của một góc cho trớc;
e) Qua một điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với một đờng thẳng
cho trớc;
f) Qua một điểm nằm ngoài một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng
song song với một đờng thẳng cho trớc;
g) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa, hoặc
biết một cạnh và hai góc kề.