Đề cương môn Toán học kỳ I lớp 11 Lê Văn Đoàn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.43 MB, 148 trang )
T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
TRUNG TM HONG GIA
C
NG TON
Học kì 1 Năm học 2016 2017
Biên soạn & Giảng dạy:
Ths. Lê Văn Đoàn
(sin x cos x )2 2 sin2 x
2
sin x sin 3x
2
2 4
1 cot x
4
1
x
2
x
3
x
u 2
2
un 1 2un 3, n
2
C 6C 6C 9x 14x
S
A'
C'
A'
E'
H
D'
B'
B'
C'
M
A
E
D
A
C
F
G
E
B
B
C
I
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
PHẦN i. Giải tích
Chương 1 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
§ 0. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trò lượng giác
sinx
Cung ph n t
II
I
II
III
IV
sin
cosx
O
cos
tan
IV
III
I
Giá tr LG
cot
Nh t c
Nhì sin
Tam tan
T cos
2. Công thức lượng giác cơ bản
tan . cot 1
sin2 cos2 1
1 tan2
1
cos2
1 cot2
1
sin2
3. Cung góc liên kết
Cung đ i nhau
Cung bù nhau
cos(a ) cos a
sin( a ) sin a
sin(a ) sin a
cos( a ) cos a
tan(a ) tan a
tan( a ) tan a
cot(a ) cot a
cot( a ) cot a
Cung h n kém
sin( a ) sin a
cos( a ) cos a
Cung ph nhau
sin a cos a
2
cos a sin a
2
tan a cot a
2
cot a tan a
2
Cung h n kém
2
sin a cos a
2
cos a sin a
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 1 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
tan a cot a
2
cot a tan a
2
tan( a ) tan a
cot( a ) cot a
4. Công thức cộng cung
sin(a b ) sin a cos b cos a sin b.
tan(a b)
cos(a b) cos a cos b sin a sin b.
tan a tan b
1 tan a tan b
H qu
tan(a b)
tan a tan b
1 tan a tan b
1 tan x
1 tan x
và tan x
tan x
4
4
1 tan x
1 tan x
5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đơi
H b c
sin 2 2 sin cos
sin2
1 cos 2
2
cos2 sin2
cos 2
2
2
2 cos 1 1 2 sin
cos2
1 cos 2
2
tan 2
2 tan
1 tan2
tan2
1 cos 2
1 cos 2
cot2
cot2 1
2 cot
cot2
1 cos 2
1 cos 2
Nhân ba
sin 3 3 sin 4 sin 3
cos 3 4 cos 3 3 cos
tan 3
3 tan tan3
1 3 tan2
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
a b
a b
cos
2
2
cos a cos b 2 sin
a b
a b
cos
2
2
sin a sin b 2 cos
a b
a b
sin
2
2
a b
a b
sin
2
2
tan a tan b
sin(a b)
cos a cos b
tan a tan b
sin(a b)
cos a cos b
cot a cotb
sin(a b)
sin a sin b
cot a cotb
sin(b a )
sin a sin b
Đ c bi t
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 2 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
sinx cos x 2 sinx 2 cosx
4
4
Mơn Tốn Năm h c
sin x cos x 2 sinx 2 cos x
4
4
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a cos b
1
cos(a b ) cos(a b)
2
sin a cos b
B ng l
sin a sin b
1
cos(a b) cos(a b)
2
1
sin(a b) sin(a b)
2
ng giác c a m t s góc đ c bi t
sin
cos
tan
cot
kxđ
kxđ
M t đi m M thu c đ
ng tròn l
ng giác s có t a đ M cos
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
kxđ
kxđ
sin
Page - 3 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
§ 1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Tính ch t c a hàm s
a Hàm s ch n hàm s l
Hàm s y f (x ) có t p xác đ nh D g i là hàm s ch n n u v i m i x D thì x D
và f (x ) f (x ). Đ th hàm s ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ng
Hàm s y f (x ) có t p xác đ nh D g i là hàm s l n u v i m i x D thì x D và
f (x ) f (x ). Đ th hàm s l nh n g c t a đ O làm tâm đ i x ng
b Hàm s đ n đi u Cho hàm s y f (x ) xác đ nh trên t p (a;b) .
y f (x ) g i là đ ng bi n trên (a;b) n u x 1, x 2 (a;b) có x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ).
y f (x ) g i là ngh ch bi n trên (a;b) n u x 1, x 2 (a;b) có x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ).
c Hàm s tu n hồn
Hàm s y f (x ) xác đ nh trên t p h p D, đ c g i là hàm s tu n hồn n u có s
T 0 sao cho v i m i x D ta có (x T ) D và (x T ) D và f (x T ) f (x )
N u có s d
tu n hồn f .
ng T nh nh t th a mãn các đi u ki n trên thì T g i là chu kì c a hàm
Hàm s y sin x .
Hàm s y sin x có t p xác đ nh là D y sin f (x ) xác đ nh f (x ) xác đ nh
T p giá tr T 1;1 , nghĩa là 1 sin x 1
0 sin x 1
0 sin2 x 1
Hàm s y f (x ) sin x là hàm s l vì f (x ) sin(x ) sin x f (x ). Nên đ th
hàm s y sin x nh n g c t a đ O làm tâm đ i x ng
Hàm s y sin x tu n hồn v i chu kì To 2, nghĩa là sin(x k 2) sin x . Hàm s
y sin(ax b) tu n hồn v i chu kì To
2
a
Hàm s y sin x đ ng bi n trên m i kho ng k 2;
k 2 và ngh ch bi n
2
2
3
trên m i kho ng k 2;
k 2 , v i k .
2
2
Hàm s y sin x nh n các giá tr đ c bi t
k 2
2
sin x 0 x k
, (k ).
sin x 1 x k 2
2
sin x 1 x
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 4 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Đ th hàm s
Mơn Tốn Năm h c
y
y sin x
3
2
O
2
2
3
2
x
5
2
Hình d ng đ th hàm s y sin x
Hàm s y cos x .
Hàm s y cos x có t p xác đ nh D y cos f (x ) xác đ nh f (x ) xác đ nh
T p giá tr T 1;1 , nghĩa là 1 cos x 1
0 cos x 1
0 cos2 x 1
Hàm s y f (x ) cos x là hàm s ch n vì f (x ) cos(x ) cos x f (x ), nên đ th
c a hàm s nh n tr c tung Oy làm tr c đ i x ng
Hàm s y cos x tu n hồn v i chu kì To 2, nghĩa là cos(x k 2) cos x . Hàm s
y cos(ax b ) tu n hồn v i chu kì To
2
a
Hàm s y cos x đ ng bi n trên m i kho ng ( k 2; k 2) và ngh ch bi n trên m i
kho ng (k 2; k 2).
Hàm s y cos x nh n các giá tr đ c bi t
cos x 1 x k 2
cos x 0 x
k , (k ).
2
cos x 1 x k 2
y
Đ th hàm s
y cos x
3
2
2
O
2
3
2
5
2
x
Hàm s y tan x .
Hình d ng th hàm s y cos x
Hàm s y tan x có t p xác đ nh D \ k , k , nghĩa là x k
2
2
hàm s y tan f (x ) xác đ nh f (x ) k ; (k ).
2
T p giá tr T .
Hàm s y f (x ) tan x là hàm s l vì f (x ) tan(x ) tan x f (x ) nên đ th
c a hàm s đ i x ng qua g c t a đ O.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 5 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
Hàm s y tan x tu n hồn v i chu kì To y tan(ax b ) tu n hồn v i chu
kì To
a
Giá tr đ c bi t
tan x 0 x k
tan x 1 x k
, (k ).
4
tan x 1 x k
4
y
Đ th hàm s y tan x
3
2
2
y tan x
O
2
3
2
2
x
5
2
Hàm s y cot x .
Hàm s y cot x có t p xác đ nh là D \ k , k , nghĩa là x k ; (k )
hàm s y cot f (x ) xác đ nh f (x ) k ; (k ).
T p giá tr T .
Hàm s y f (x ) cot x là hàm s l vì f (x ) cot(x ) cot x f (x ) nên đ th
c a hàm s đ i x ng qua g c t a đ O.
Hàm s y cot x tu n hồn v i chu kì To y cot(ax b ) tu n hồn v i chu
kì To
a
Giá tr đ c bi t
k
2
cot x 1 x k
, (k ).
4
cot x 1 x k
4
cot x 0 x
y
Đ th hàm s y cot x
y cot x
2
3
2
2
O
2
3
2
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
x
Page - 6 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
Dạng toán 1: Tìm tập xác đònh của hàm số lượng giác
Ph
ng pháp gi i Đ tìm t p xác đ nh c a hàm s l
ng giác ta c n nh
y tan f (x )
sin f (x )
KX
cos f (x ) 0 f (x ) k , (k ).
cos f (x )
2
y cot f (x )
cos f (x )
KX
sin f (x ) 0 f (x ) k , (k ).
sin f (x )
M t s tr
y
y
ng h p tìm t p xác đ nh th
ng g p
1
KX
P (x ) 0.
P (x )
1
2n
P (x )
KX
y 2n P (x )
P (x ) 0.
KX
P (x ) 0.
A 0
r ng 1 sin f (x ); cos f (x ) 1 và A.B 0
B 0
V i k , ta c n nh nh ng tr ng h p đ c bi t
L u
k 2
2
sin x 0 x k
sin x 1 x k 2
2
cos x 1 x k 2
sin x 1 x
Ví d
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
tan x 1 x k
4
Tìm t p xác đ nh c a hàm s
y f (x )
k
2
cos x 1 x k 2
cos x 0 x
k
2
cot x 1 x k
4
cot x 1 x k
4
cot x 0 x
sin 3x
2 cos x
2
1 cos x
tan x 1
Gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 7 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Tìm t p xác đ nh c a hàm s
Mơn Tốn Năm h c
y f (x )
2 x 2
cos x
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
BT
Tìm t p xác đ nh c a các hàm s l
ng giác sau
4
x
b
y cos 2x .
y
1 cos x
sin x
d
2
y tan 5x
3
e
y
2 tan 2x 5
sin 2x 1
f
y
g
y
tan 2x
sin x 1
h
y
cos x 4
sin x 1
i
y
j
y
2 sin x
cos x 1
k
y
l
y
1 sin x
1 cos x
a
y cos
c
cos x 2
1 sin x
cot 2x
1 cos2 x
m y
x
sin x
n
y
o
x2 1
x cos x
p
y
y
Tìm t p xác đ nh c a các hàm s l
a
c
y
y
2 x 2
sin 2x
tan 2x
4
1 sin x
8
tan 2x
1 cos2 x
cos 2x
tan x .
1 sin x
tan 2x
sin x 1
ng giác sau
b
y 2 4x 2 tan 2x .
d
tan x
4
y
1 cos x
3
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 8 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
e
1 tan x
4
y
cos x 2
3
cos x cos 3x
g
y
i
y 2 sin x
k
1 cos x
y cot x
6
1 cos x
1
tan x 1
Mơn Tốn Năm h c
y
h
y cot 2x . tan 2x .
3
j
2
3 sin 4x
cos x 1
f
l
4
sin x cos2 x
1 cot x
3
y
2
tan 3x
4
y
2
Dạng toán 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Ph
ng pháp gi i
D a vào t p giá tr c a hàm s l
1 sin x 1
ng giác ch ng h n
0 sin x 1
0 sin2 x 1
ho c 1 cos x 1
0 cos x 1
0 cos2 x 1
Bi n đ i v d ng m y M .
K t lu n max y M và min y m.
Ví d
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y f (x )
4
5 2 cos2 x sin2 x
Gi i
Ví d
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a f (x ) 3 sin2 x 5 cos 2 x 4 cos 2x 2.
Gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 9 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a f (x ) sin6 x cos6 x 2, x ;
2 2
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s l
a
BT
b
y 1 cos 4x .
c
y 3 sin 2x 4.
d
y 4 5 sin2 2x cos2 2x .
e
y 3 2 sin 4x .
f
y 4 2 sin5 2x 8.
g
y
4
1 3 cos2 x
h
y
i
y
j
y
l
y
k
BT
y 5 3 cos 2x 4.
ng giác sau
2
2
4 2 sin2 3x
4
y
2 cos x 3
6
4
5 2 cos2 x sin2 x
3
3 1 cos x
2
3 sin 2x cos 2x
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s l
ng giác sau
a
y sin2 x cos x 2.
b
y sin4 x 2 cos2 x 1.
c
y cos2 x 2 sin x 2.
d
y sin 4 x cos4 x 4.
e
y 2 cos 2x sin2 x .
f
y sin6 x cos6 x .
g
y sin 2x 3 cos 2x 4.
h
y cos2 x 2 cos 2x .
i
y 2 sin2 x cos 2x .
j
y 2 sin 2x (sin 2x 4 cos 2x ).
k
y 3 sin2 x 5 cos2 x 4 cos 2x .
l
y 4 sin2 x 5 sin 2x 3.
m y (2 sin x cos x )(3 sin x cos x ).
n
y sin x cos x 2 sin x cos x 1.
o
y 1 (sin 2x cos 2x )3 .
p
y 5 sin x 12 cos x 10
q
y 2 sin x 2 sin x 1.
4
r
2
y 2 cos 2x cos 2x 3.
3
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s l
ng giác sau
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 10 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
a
c
f
y sin 2x , x 0;
2
y sin 2x , x ;
4 4
4
y 2 sin2 x cos 2x , x 0;
3
Mơn Tốn Năm h c
b
d
g
2
y cos x , x ; 0
3
3
y sin4 x cos4 x , x 0;
6
3
y cot x , x ;
4
4
4
Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Ph
ng pháp gi i
B
c
B
c
Tìm t p xác đ nh D c a hàm s l ng giác
N u x D thì x D D là t p đ i x ng và chuy n sang b c
Tính f (x ), nghĩa là s thay x b ng x , s có k t qu th ng g p sau
N u f (x ) f (x ) f (x ) là hàm s ch n
N u f (x ) f (x ) f (x ) là hàm s l
L u
N u khơng là t p đ i x ng (x D x D ) ho c f (x ) khơng b ng f (x ) ho c
f (x ) ta s k t lu n hàm s khơng ch n khơng l
Ta th ng s d ng cung góc liên k t d ng cung đ i trong d ng tốn này c th
cos(a ) cos a, sin(a ) sin a, tan(a ) tan a, cot(a ) cot a.
Ví d
a
Xét tính ch n l c a hàm s
b
f (x ) sin2 2x cos 3x .
BT
f (x ) cos x 2 16.
BÀI T P V N D NG
Xét tính ch n l c a các hàm s sau
a y f (x ) tan x cot x .
b y f (x ) tan 7 2x . sin 5x .
9
c y f (x ) sin 2x
d y f (x ) 2 cos3 3x
2
2
e
y f (x) sin3(3x 5) cot(2x 7).
f
y f (x ) cot(4x 5) tan(2x 3).
g
y f (x ) sin 9 x 2 .
h
y f (x ) sin2 2x cos 3x .
Cố gắng hết sức ở giây phút này sẽ đặt bạn vào vò trí tuyệt vời nhất ở những khoảng khắc sau.
O. Winfrey
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 11 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Mơn Tốn Năm h c
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
V i k , ta có các ph
ng trình l
ng giác c b n sau
a b k 2
sin a sin b
a b k 2
tan a tan b a b k.
a b k 2
cos a cos b
a b k 2
cot a cot b a b k.
N u đ bài cho d ng đ (o ) thì ta s chuy n k 2 k 360, k k 180, v i 180o.
Nh ng tr
ng h p đ c bi t
k 2
2
sin x 0 x k
sin x 1 x k 2
2
cos x 1 x k 2
sin x 1 x
Ví d
cos x 0 x
k
2
cot x 1 x k
4
cot x 1 x k
4
cot x 0 x
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
tan x 1 x k
4
Gi i các ph
k
2
cos x 1 x k 2
ng trình
a
1
sin 2x
2
b
cos x 1.
3
c
tan(2x 30o ) 3.
d
cot x 1.
3
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
a
c
ng trình l
2
3
sin 2x 1.
6
sin x sin
ng giác sau gi s đi u ki n đ
b
d
c xác đ nh
1
sin 2x
6 2
cos 2x cos
3
4
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 12 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
e
g
i
k
m
1
cos x
2
f
h
2 sin(x 300 ) 3 0.
2 cos 2x 2 0.
4
j
(1 2 cos x )(3 cos x ) 0.
2 sin 2x 2 cos x 0.
o sin 2x .cos 2x
Mơn Tốn Năm h c
1
0.
4
cos x 1.
6
cot(4x 35o ) 1.
2 cos x 3 0.
6
l
tan(x 300 ). cos(2x 1500 ) 0.
n
sin x 3 sin
p
sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x
x
0.
2
1
16
II. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác
1. Sử dụng thành thạo cung liên kết
Cung đ i nhau
Cung bù nhau
cos(a ) cos a
sin( a ) sin a
sin(a ) sin a
cos( a ) cos a
tan(a ) tan a
tan( a ) tan a
cot(a ) cot a
cot( a ) cot a
Cung h n kém
Cung ph nhau
sin a cos a
2
cos a sin a
2
tan a cot a
2
cot a tan a
2
Cung h n kém
2
sin a cos a
2
cos a sin a
2
sin( a ) sin a
cos( a ) cos a
tan a cot a
2
cot a tan a
2
tan( a ) tan a
cot( a ) cot a
Tính chu k
sin(x k 2) sin x
cos(x k 2) cos x
sin x ( k 2) sin x
cos x ( k 2) cos x
tan(x k ) tan x
cot(x k ) cot x
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 13 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
a
Gi i ph
ng giác sau gi s đi u ki n đ
sin 2x cos x
3
Ví d
a
ng trình l
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình l
b
tan 2x cot x
3
3
ng giác sau gi s đi u ki n đ
sin 3x cos x 0.
3
b
c xác đ nh
c xác đ nh
tan x . tan 3x 1 0.
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau gi s đi u ki n đ
c xác đ nh
a
sin 2x cos x
6
b
2
9
sin 3x cos x
3
4
c
cos 2x sin x .
4
d
2
cos 2x sin x
3
e
cos 4x sin 2x 0.
5
f
2
9
sin 3x cos x
3
4
g
3
cot 2x tan x
4
6
h
tan 3x cot x .
5
Mu n bi n đ i sin thành cos tan thành cot và ng
c l i ta s làm nh th nào
Hãy vi t các cơng th c cung góc liên k t d ng cung góc ph nhau
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau gi s đi u ki n đ
c xác đ nh
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 14 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
a
c
e
g
i
k
b
cos(3x 450 ) cos x .
sin x sin 2x
4
6
tan 3x tan x .
3
cos 3x cos x 0.
3
sin 2x cos x 0.
4
d
f
h
tan 3x tan 2x 0.
4
Mu n b d u tr
Mơn Tốn Năm h c
cos 2x cos x
3
sin 2x sin x 0.
3
4
cot x cot x 0.
4
2
2
7
sin 3x sin x 0.
3
5
j
cos 4x sin x 0.
3
4
l
tan 2x . tan 3x 1.
c sin cos tan cotan ta s làm nh th nào
Hãy vi t cơng th c cung góc liên k t d ng cung đ i nhau
BT
Gi i các ph
a
c
e
f
h
ng trình l
ng giác sau
sin 4x 2 cos2 x 1 0.
sin 5x 2 cos2 x 1.
cos x sin 2x 0.
2
x
cos 5x 1.
2
4
x cos x 3.
sin
9
18
2 sin2
b
d
f
g
i
2 cos 5x . cos 3x sin x cos 8x .
cos 2x cos x cos x sin 2x sin x .
1 tan x
cot2x
1 tan x
4
sin 3x sin 3x 3.
5
5
5
cos 3x sin 3x 2.
3
6
2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng
a b
a b
cos
2
2
cos a cos b 2 sin
a b
a b
cos
2
2
sin a sin b 2 cos
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
a b
a b
sin
2
2
a b
a b
sin
2
2
Khi áp d ng t ng thành tích đ i v i hai hàm sin và cosin thì đ c hai cung m i là
a b a b
;
Do đó khi s d ng nên nh m t ng và hi u hai cung m i này tr c đ
2
2
nhóm h ng t thích h p sao cho xu t hi n nhân t chung cùng cung v i h ng t còn l i
ho c c m ghép khác trong ph ng trình c n gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 15 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình sin 5x sin 3x sin x 0.
Gi i ph
ng trình cos 3x cos 2x cos x 1 0.
Gi i
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
sin x sin 2x sin 3x 0.
b
cos x cos 3x cos 5x 0.
c
1 sin x cos 2x sin 3x 0.
d
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0.
e
sin 3x cos 2x sin x 0.
f
sin x 4 cos x sin 3x 0.
g
cos 3x 2 sin 2x cos x 0.
h
cos x cos 2x sin 3x .
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
sin 5x sin x 2 sin2 x 1.
b
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x.
c
cos 3x 2 sin 2x cos x sin x 1.
d
4 sin 3x sin 5x 2 sin x cos 2x 0.
e
sin 5x sin 3x 2 cos x 1 sin 4x .
f
cos2x sin 3x cos 5x sin10x cos 8x .
g
1 sin x cos 3x cos x sin 2x cos 2x .
h
sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x .
3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos
sin2
1 cos 2
2
tan2
L u
cos2
1 cos 2
1 cos 2
1 cos 2
2
cot2
1 cos 2
1 cos 2
đ i v i cơng th c h b c c a sin và cosin
M i l n h b c xu t hi n h ng s
1
và cung góc tăng g p đơi
2
M c đích c a vi c h b c h b c đ tri t tiêu h ng s khơng mong mu n và nhóm
h ng t thích h p đ sau khi áp d ng cơng th c t ng thành tích sau khi h b c s
xu t hi n nhân t chung ho c làm bài tốn đ n gi n h n
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 16 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
1
cos10x .
2
Gi i ph
ng trình sin2 2x cos2 8x
Gi i ph
ng trình cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x
Gi i
Ví d
3
2
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
a
sin2 x
c
cos2 x
e
ng trình l
ng giác sau
1
2
2 3
4
7
2
sin2 3x sin2 x
3
4
g
sin2 2x sin2 x 1.
i
sin2 x sin2 2x sin2 3x
k
3
2
sin2 x sin2 2x sin2 3x 2.
3
cos2 2x
4 4
d
4 sin2 x 1 0.
f
1
cos4 x sin 4 x
4 4
h
sin2 2x cos2 3x 1.
j
cos2 x cos2 2x cos2 3x
l
2
n
8
Gi i các ph ng trình l ng giác sau
a sin2 4x cos2 6x sin10x, x 0; b
2
m sin 3 x cos x sin x cos3 x
BT
b
3
2
sin2 x sin2 3x cos2 2x cos2 4x .
sin 3 x cos x sin x cos3 x
2
4
5x
9x
cos3x sin7x 2sin2 2cos2
4 2
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 17 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
c
Mơn Tốn Năm h c
2 sin2 2x sin 7x 1 sin x .
7
cos2 x cos2 2x cos2 3x
3
4
d
g
sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x.
h
tan2 x sin2 2x 4 cos2 x .
i
cos2 3x .cos 2x cos2 x 0.
j
4 sin2
e
f
cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x 2.
sin2 4x cos2 6x sin 10x, x 0;
2
2
x
3
3 cos2x 1 2cos2 x
2
4
4. Xác đònh nhân tử chung để đưa về phương trình tích số
Đa s đ thi ki m tra th ng là nh ng ph ng trình đ a v tích s Do đó tr c khi gi i
ta ph i quan sát xem chúng có nh ng l ng nhân t chung nào sau đó đ nh h ng đ
tách ghép nhóm phù h p M t s l ng nhân t th ng g p
— Các bi u th c có nhân t chung v i cos x sin x th
ng g p là
1 sin 2x sin2 x 2 sin x cos x cos2 x (sin x cos x )2 .
cos 2x cos2 x sin2 x (cos x sin x )(cos x sin x ).
cos4x sin4 x (cos2 x sin2 x )(cos2 x sin2 x ) (cos x sin x )(cos x sin x ).
cos3x sin 3 x (cos x sin x )(1 sin x cos x ).
1 tan x 1
sin x
cos x sin x
cos x
cos x
cos x
sin x cos x
sin x
sin x
1
cos x sin x
(sin x cos x ).
4
4
2
1 cot x 1
1
sin x cos x
(sin x cos x )............
4
4
2
— Nhìn d
i góc đ h ng đ ng th c s 3, d ng a 2 b 2 (a b )(a b), ch ng h n
sin2 x 12 cos2 x (1 cos x )(1 cos x )
sin x cos x 1 2
2
2
cos x 1 sin x (1 sin x )(1 sin x )
2
2
cos3 x cos x . cos2 x cos x .(12 sin2 x ) cos x (1 sin x )(1 sin x ).
sin 3 x sin x .sin 2 x sin x .(12 cos 2 x ) sin x (1 cos x )(1 cos x ).
3 4 cos2 x 3 4(1 sin2 x ) (2 sin x )2 12 (2 sin x 1)(2 sin x 1).
sin 2x (1 sin 2x ) 1 (sin x cos x )2 12 (sin x cos x 1)(sin x cos x 1).
2(cos4x sin 4 x ) 1 3 cos2 x sin2 x ( 3 cos x sin x )( 3 sin x cos x ).........
— Phân tích tam th c b c hai d ng f (X ) aX 2 bX c a.(X X1 ) (X X 2 ) v i X
có th là sin x , cos x ,....
và X1, X 2 là nghi m c a f (X ) 0.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 18 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình 2 cos x 3 sin x sin 2x 3.
Gi i ph
ng trình cos 2x (1 sin x )(sin x cos x ) 0.
Gi i ph
ng trình (sin x cos x 1)(2 sin x cos x ) sin 2x 0.
Gi i ph
ng trình (2 sin x 3)(sin x cos x 3) 1 4 cos2 x .
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
sin 2x 3 sin x 0.
b
(sin x cos x )2 1 cos x .
c
sin x cos x cos 2x .
d
cos 2x (1 2 cos x )(sin x cos x ) 0.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 19 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
BT
BT
e
(tan x 1)sin2 x cos 2x 0.
f
sin x .(1 cos 2x ) sin 2x 1 cos x .
g
sin 2x cos x 2 sin x 1.
4
h
1 cos 2x
2 cos x
1 cot x .
4
sin x
i
1 tan x 2 2 sin x
4
j
Gi i các ph
ng trình l
cos x cos 3x 1 2 sin 2x
4
ng giác sau
a
2 sin2 x 3 sin x cos x cos2 x 1. b
c
4 sin2 x 3 3 sin 2x 2 cos 2 x 4.
d
(cos x 1)(cos2x 2cos x ) 2 sin2 x 0.
e
(2cosx 1)(sin2x 2sinx 2) 4cos2 x 1. f
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx 3) 4sin2 x 1.
g
(2sin x 1)(2sin2x 1) 4 cos2 x 3.
h
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx 1) 3 4cos2 x.
i
sin2x (sinx cosx 1)(2sinx cosx 2). j
Gi i các ph
a
BT
Mơn Tốn Năm h c
ng trình l
4sin2x sin x 2sin2x 2sin x 4 4cos2 x.
2(cos4 x sin 4 x ) 1 3 cos x sin x .
ng giác sau
sin x 4 cos x 2 sin 2x .
b
sin 2x 3 2 cos x 3 sin x .
c
2(sin x 2 cos x ) 2 sin 2x .
d
sin 2x sin x 2 4 cos x .
e
sin 2x 2 cos x sin x 1 0.
f
sin 2x 2 sin x 2 cos x 2 0.
g
sin 2x 1 6 sin x cos 2x .
h
sin 2x cos 2x 2 sin x 1.
i
sin 2x 2 sin x 1 cos 2x .
j
sin x (1 cos 2x ) sin 2x 1 cos x .
l
sin 2x sin x 2 cos 2x 1.
m (2cos x 1)(2sin x cos x) sin2x sin x.
n
tan x cot x 2(sin 2x cos 2x ).
o
(1 sin2 x)cosx (1 cos2 x)sinx 1 sin2x.
p
sin 2x 2 sin2 x sin x cos x .
q
cos 3x cos x 2 3 cos 2x sin x .
r
cos 3x cos x 2 sin x cos 2x .
s
2 sin2 x sin 2x sin x cos x 1.
t
cos x tan x 1 tan x sin x .
u
tan x sin 2x 2 cot2x .
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
cos x 2sin x.(1 cos x )2 2 2sin x.
b
2(cos x sin 2x ) 1 4 sin x (1 cos2x ).
c
x
1 sin x cos x 2 sin x cos 2
2
d
sin 2x cos x 2 sin x 1.
4
e
2
sin 2x sin x
2
4
4
f
2
cos x sin 2x
4
2
4
g
sin 3 x cos3 x sin x cos x .
h
sin 3 x cos3 x 2(sin5 x cos5 x ).
i
2 sin 3 x cos 2x cos x 0.
j
5
sin8 x cos8 x 2(sin10 x cos10 x) cos2x.
4
l
sin 2x cos 2x 2 sin x 0.
m tan 2x cot x 8 cos2 x .
n 3sin3x 2 sin x(3 8cos x) 3cos x.
o
2 sin x (2 cos 2x 1 sin x ) cos 2x 2.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 20 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
Mơn Tốn Năm h c
III. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác
Quan sát và dùng các cơng th c bi n đ i đ đ a ph ng trình v cùng m t hàm l ng giác
cùng sin ho c cùng cos ho c cùng tan ho c cùng cot v i cung góc gi ng nhau ch ng h n
D ng
Đ t n ph
Đi u ki n
a sin2 X b sin X c 0
t sin X
1 t 1
a cos2 X b cos X c 0
t cos X
1 t 1
a tan2 X b tan X c 0
t tan X
a cot2 X b cot X c 0
t cot X
X
k
2
X k
N u đ t t sin2 X , cos2 X ho c t sin X , cos X thì đi u ki n là 0 t 1
Ví d
Gi i ph
ng trình 4 cos2 x 4 sin x 1 0.
Gi i ph
ng trình cos 2x 3 cos x 2 0.
Gi i ph
ng trình 3 cos 2x 7 sin x 2 0.
Gi i ph
ng trình 4 sin 4 x 5 cos2 x 4 0.
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
Ví d
Gi i
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 21 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
Mơn Tốn Năm h c
Gi i ph
ng trình cos 4x 12 sin2 x 1 0.
Gi i ph
1
2
5
ng trình tan2 x
0.
2
cos x 2
Gi i
Ví d
Gi i
BÀI T P V N D NG
BT
Gi i các ph
BT
ng giác sau
a
2 sin2 x sin x 1 0.
b
4 sin2 x 12 sin x 7 0.
c
2 2 sin2 x (2 2)sin x 1 0.
d
2 sin 3 x sin2 x 2 sin x 1 0.
e
2 cos2 x 3 cos x 1 0.
f
2 cos2 x 3 cos x 2 0.
g
2 cos2 x ( 2 2) cos x 2.
g
4 cos2 x 2( 3 2)cos x 6.
i
tan2 x 2 3 tan x 3 0.
j
2 tan2 x 2 3 tan x 3 0.
k
tan2 x (1 3) tan x 3 0.
l
3 cot2 x 2 3 cot x 1 0.
m
BT
ng trình l
3 cot2 x (1 3)cot x 1 0.
Gi i các ph
ng trình l
n
3 cot2 x (1 3)cot x 1 0.
ng giác sau
a
6 cos2 x 5 sin x 2 0.
b
2 cos2 x 5 sin x 4 0.
c
3 4 cos2 x sin x (2 sin x 1).
d
sin2 x 3 cos x 3 0.
e
2 sin2 x 3 cos x 3 0.
f
2 cos2 2x 5 sin 2x 1 0.
g
3 sin2 x 2 cos4 x 2 0.
h
4 sin 4 x 12 cos2 x 7.
i
4 cos 4 x 4 sin2 x 1.
j
4 sin 4 x 5 cos2 x 4 0.
Gi i các ph
ng trình l
ng giác sau
a
2 cos 2x 8 cos x 5 0.
b
1 cos 2x 2 cos x .
c
9 sin x cos 2x 8.
d
2 cos 2x 5 sin x 0.
e
3 sin x cos 2x 2.
f
2 cos 2x 8 sin x 5 0.
g
2 cos2 2x 5 sin 2x 1 0.
g
5 cos x 2 sin
x
7 0.
2
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 22 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
h
BT
BT
Gi i các ph
cos 2x cos2 x sin x 2 0.
ng giác sau
3 cos2 x 2 cos 2x 3 sin x 1.
b cos 4x 12 sin2 x 1 0.
c
cos 4x 2 cos2 x 1 0.
d
16 sin2
e
cos 2x 2 cos x 2 sin2
f
cos 2x 3 cos x 4 cos2
g
1 cos 4x 2 sin2 x 0.
h
8 cos2 x cos 4x 1.
i
6 sin2 3x cos12x 4.
j
5(1 cos x ) 2 sin 4 x cos 4 x .
k
cos4 x sin 4 x cos 4x 0.
l
4(sin4 x cos4 x ) cos 4x sin 2x 0.
b
cos2 x 4 cos x 4.
3
6
Gi i các ph
ng trình l
x
2
x
cos 2x 15.
2
x
2
ng giác sau
a
2
cos 2x 3 cos x 1 0.
3
3
c
4 cos2 (6x 2) 16 cos2 (1 3x ) 13. d
5
5 cos 2x 4 sin x 9.
3
6
e
7
5
sin2x 3cosx 1 2sin x. f
2
2
cos2x 3 sin 2x 3 sin x 4 cos x .
g
3 sin2x 3 sin x cos2x cos x 2. h
1
1
7. j
4sin2 x 2 4 sin x
sin x
sin x
Gi i các ph
a
c
e
g
BT
ng trình l
k
a
i
BT
sin2 x cos 2x cos x 2.
Mơn Tốn Năm h c
ng trình l
2
sin x
cos2 x
1
cos x 1
2
2
cos x
cos2 x
ng giác sau
3
3 2 tan2 x .
2
cos x
3
4 2
2cos2 x 2 9
cos x 1.
cos x cos x
b
1
3 cot2 x 5.
2
cos x
3 cot x 3.
d
9 13 cos x
3
cos x
f
1
2
5
tan2 x
0.
2
cos x 2
g
2 sin2 x tan2 x 2.
2 tan2 x 3
3 sin x cos x
Gi i các ph
1
cos x
ng trình l
4
0.
1 tan2 x
ng giác sau
a
8 sin x cos x cos 4x 3 0.
b
2 sin2 8x 6 sin 4x cos 4x 5.
c
cos x
1 sin x .
1 sin x
d
1 cos x (2 cos x 1) 2. sin x
1.
1 cos x
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 23 -
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
TT. HỒNG GIA, S 14, Th ng Nh t, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
S 56, Ph Ch , P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
BT
Mơn Tốn Năm h c
f
2 sin2 x 3 2 sin x sin 2x 1
1.
(sin x cos x )2
g
3
4 2sin2x
2 3 2(cot x 1).
2
sin2x
cos x
3 cos 4x 2 cos2 x 3 8 cos6 x .
k
3 cos x 2 3(1 cos x ).cot2 x .
l
sin 3x cos 2x 1 2 sin x cos 2x .
m 2 cos 5x . cos 3x sin x cos 8x .
n
4(sin6 x cos6 x ) 4 sin 2x .
o
sin 4x 2 cos 3x 4 sin x cos x .
b
3tan2x
e
3 sin 2x 2 sin x
2.
sin 2x cos x
g
2 cos 2x 8 cos x 7
h
Gi i các ph
ng trình l
1
cos x
ng giác sau
cos2 x cos3 x 1
cos2 x
3
2tanx 2
4cos2 x 2.
cos2x 1 tan x
a
cos2x tan2 x
c
(2 tan2 x 1)cos x 2 cos 2x .
d
2cos2 x 3 cos x 2cos 3x 4 sin x sin2x.
e
4 sin x 3 2(1 sin x ) tan 2 x .
f
2sin3 x 3 (3sin2 x 2sin x 3)tan x .
g
5 sin x 3(1 cos x )cot2 x 2.
2
g
3 sin2 x 2 sin x 3
3 2 sin 3 x .
cot x
h
5sin x
cos 3x sin 3x
3 cos2x.
1 2sin2x
k
3
1 tanx tan x
tan
2
3
sin
x
x
2
cos2 x
2. Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)
D ng t ng qt a sin x b cos x c
Đi u ki n có nghi m c a ph
Ph
() , a, b \ 0
ng trình a 2 b 2 c 2 , ki m tra tr
c khi gi i
ng pháp gi i
Chia
Gi s
v
a 2 b 2 0, thì ()
cos
a
2
a b
2
, sin
a
a 2 b2
b
2
2
sin x
b
a 2 b2
cos x
c
a 2 b2
()
, 0;2 thì
a b
c
c
() sin x cos cos x sin
sin(x )
: d ng c b n
a 2 b2
a 2 b2
sin a cos b cos a sin b sin(a b)
L u
Hai cơng th c s d ng nhi u nh t là
cos a cos b sin a sin b cos(a b)
Các d ng có cách gi i t ng t
2
2
a b cos nx
a.sin mx b.cos mx
, (a 2 b2 0)
PP
2
2
Chia : a 2 b2 .
a b sin nx
a.sin mx b.cos mx c.sin nx d.cos nx, (a 2 b 2 c2 d 2 )
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Page - 24 -
