Luận văn thạc sĩ toán học: Rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Vì vậy, việc nâng cao chất lượng dạy học
nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng luôn là một yêu cầu đối
với ngành Giáo dục nước ta.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được ghi rõ trong các văn
bản pháp quy của nhà nước và ngành Giáo dục. Mục 2, điều 28, khoản 1 của
Luật Giáo dục (2005) đã ghi: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc
điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”.
Việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục
đã và đang được tiến hành đồng bộ từ giáo dục Mầm non, Tiểu học cho tới
giáo dục Trung học phổ thông. Tuy nhiên, bước đầu kết quả đạt được vẫn
chưa đáp ứng được yêu cầu đặt ra.
Từ thực tiễn học tập của bản thân trong trường phổ thông và Đại học,
kết hợp với những kinh nghiệm giảng dạy có được, tôi nhận thấy đa số học
sinh còn gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận với kiến thức về hình học không
gian. Việc làm sao để học sinh có hứng thú, tích cực, chủ động nhận thức các
đối tượng, các khái niệm, các định lí của hình học không gian luôn là vấn đề
trăn trở với nhiều giáo viên.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn, để đào tạo cho học sinh thành những người
nắm toán học, để cải tạo thực tiễn thì “không thể chỉ dạy học thứ toán học đã
hình thành sẵn mà phải dạy cho học sinh thứ toán học đang vận động, đang phát
triển do sự thúc đẩy của thực tiễn và do những nhu cầu nội tại” [5; tr.101]. Vì
vậy việc dạy cho học sinh khả năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán trong dạy
học môn Toán giúp học sinh kiến tạo kiến thức, chứ không tiếp thu kiến thức
như “đã có sẵn”. Quá trình dạy học như vậy phản ánh được phương pháp nhận

1

thức hay phương pháp phát minh toán học. Nhờ đó, nó sẽ góp phần phát triển
năng lực sáng tạo và phát triển tư duy khoa học cho học sinh.
Đối với nhiều kiến thức trong phần Hình học không gian lớp 11 trung học
phổ thông, giáo viên không phải mất nhiều thời gian để giúp học sinh phát hiện
hay đưa ra những kết luận có tính dự đoán. Vì vậy Vviệc tiến hành dạy học theo
hướng dự đoán và kiểm chứng dự đoán sẽ góp phần phát triển năng lực quan sát,
năng lực khái quát hoá, khả năng giải quyết vấn đề, chứng minh hoặc bác bỏ một
nhận định ... cho học sinh. Từ đó, tạo niềm vui hứng thú cho học sinh, giúp học
sinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập.
Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài nghiên cứu về việc dự đoán và
kiểm chứng trong một tình huống dạy học cụ thể như [6, tr.100 - 111] và bước
đầu đã thu được những thành công nhất định. Tuy nhiên, có rất ít các tài liệu
trình bày cụ thể việc rèn luyện khả năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán
trong dạy học Hình học không gian.
Xuất phát từ những lí do trên, đề tài nghiên cứu được chọn là:
“ Rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh trong dạy học
Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề xuất những biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự
đoán cho học sinh trong dạy học nội dung Hình học không gian lớp 11 Trung
học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình dự đoán và kiểm chứng dự đoán thông qua
việc phân tích một vài ví dụ cụ thể trong môn Hình học không gian.
- Điều tra thực trạng dạy và học phần Hình học không gian lớp 11 theo
hướng rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán.
- Đề xuất những biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng
dự đoán trong dạy học Hình học không gian lớp 11.

2


- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu quả của các
biện pháp được đề xuất trong đề tài.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là quá trình dạy học Hình học không
gian lớp 11 nâng cao ở trường Trung học phổ thông.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được những biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể rèn
luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán cho học sinh trong dạy học
Hình học không gian lở lớp 11 Ttrường trung học phổ thông, góp phần nâng
cao chất lượng dạy học Hình học 11 nói riêng và chất lượng dạy học môn
Toán nói chung..
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp, so sánh, hệ thống hóa,…các
tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài.
- Điều tra – quan sát: Quan sát thực trạng dạy và học môn Toán nói
chung, dạy học nội dung “Hình học không gian” lớp 11 theo hướng rèn luyện
kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán nói riêng tại một số trường Trung
học phổ thông ở tỉnh Bắc Ninh.
- Thực nghiệm sư phạm: Để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp sư phạm đã đề xuất.
- Phương pháp thống kê: Lập bảng số liệu , xây dựng đồ thị và tính các
tham số đặc trưng để có căn cứ kết luận về tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp sư phạm đã đề xuất..
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, luận văn được trình
bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

3


Chương 2: Những biện pháp rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm
chứng cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp 11 nâng cao
Trung học phổ thông
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.

Tổng quan vấn đề nghiên cứu của đề tài
Trong giáo trình Phương pháp dạy học môn Toán (2004), tác giả

Nguyễn Bá Kim đã trình bày hai con đường dạy học định lí, trong đó có con
đường Dạy học định lí có khâu suy đoán. Con đường này thường được sử
dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học sinh có thể hiểu
được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ nhất định.
Tác giả Nguyễn Phú Lộc cũng đã đưa ra các phương án dạy học
định lí trong môn Giải tích có khâu nêu giả thuyết [6; tr.100 - 111]. Tác
giả quan niệm dự đoán như một giả thuyết khoa học, và phân tích quá
trình dạy học này dưới góc độ của nhiều lí thuyết dạy học khác nhau.
Trong tài liệu này, tác giả đã làm nổi bật sự cần thiết của việc dạy học
định lí trong giải tích có khâu nêu giả thuyết và phương pháp xây dựng
giả thuyết trong dạy học giải tích.
Thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông cho thấy giáo viên và
học sinh thường ít quan tâm sử dụng cách dạy, cách học theo con đường dự
đoán và kiểm chứng. Trong khi đó, quá trình dự đoán khơi dậy ở học sinh sự
sáng tạo, tư duy lôgic bằng những suy luận có lí, và quá trình kiểm chứng

chính là việc chứng minh những dự đoán đó bằng những suy luận chứng
minh. Hai việc làm này thúc đẩy sự phát triển tư duy toán học cho học sinh,
làm tăng hứng thú học tập toán học, đồng thời tập dượt cho những học sinh
say mê toán cách tiếp cận toán học như một nhà khoa học.

4


Trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, có khá nhiều tình
huống có thể thiết kế để dạy và học theo con đường dự đoán và kiểm chứng.
Đó có thể là một tình huống dạy học khái niệm, một tình huống dạy học định
lí, một tình huống dạy học quy tắc phương pháp hay một tình huống dạy học
giải bài tập toán học. Kĩ năng dự đoán và kiểm chứng không chỉ được rèn
luyện ở một bộ phận toán học nhất định mà có thể được rèn luyện trong nhiều
phân môn khác nhau của Toán như: Đại số, Giải tích, Hình học. Trong luận
văn này, tôi mong muốn đưa ra những biện pháp dạy học Hình học không
gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông theo hướng rèn luyện kĩ năng dự
đoán và kiểm chứng. Luận văn sẽ tập trung vào việc đưa ra biện pháp tổng
quát và ứng dụng vào dạy học các tình huống điển hình của toán học: dạy học
khái niệm, dạy học định lí, dạy học các quy tắc phương pháp và dạy học giải
bài tập toán học.
1.2.

Kĩ năng

1.2.1. Khái niệm kĩ năng
“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong
đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một
việc gì” [1, tr.548].
Chúng ta thường nhầm lẫn kĩ năng với phản xạ, thói quen hay một

loại kiến thức. Vì vậy cần thiết phải phân biệt kĩ năng với một số thứ có
vẻ giống kĩ năng.
Kĩ năng khác với phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi
trường. Phản xạ mang tính thụ động. Kĩ năng ngược lại là phản ứng có ý thức
và hoàn toàn mang tính chủ động. Ví dụ: Một học sinh chưa từng biết về cách
biểu diễn các khối hình không gian thì khi đứng trước yêu cầu: “vẽ hình lập
phương” học sinh này chỉ có phản xạ cầm bút và thước kẻ nhưng không thể

5


vẽ được hình theo yêu cầu. Trong khi đó, với một học sinh đã được luyện tập
vẽ hình lập phương nhiều lần thì em này sẽ dùng những kĩ năng có được để
thực hiện yêu cầu đề ra.
Kĩ năng khác với thói quen: Hầu hết các thói quen được hình thành một
cách vô thức, khó kiểm soát. Trong khi đó kĩ năng được hình thành một
cách có ý thức do quá trình luyện tập.
Kĩ năng khác với kiến thức: Kiến thức thuần túy chỉ là biết, là hiểu
nhưng chưa bao giờ làm, thậm chí không bao giờ làm. Trong khi đó kĩ năng
lại là hành động thuần thục trên nền tảng kiến thức.
Thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể hoặc vận dụng tri thức đã biết để
tiếp cận, tìm ra tri thức mới, nguyên nhân là do: học sinh không nắm vững
kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, khiến chúng không trở thành cơ sở
của kĩ năng. Muốn hình thành được kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng dự đoán và
kiểm chứng các dự đoán, người giáo viên cần phải cho học sinh học Toán
trong hoạt động và bằng hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo.
1.2.2. Đặc điểm của kĩ năng
Khái niệm kĩ năng trình bày ở mục 1.2.1 chứa đựng những đặc điểm
sau (Phần này có tham khảo trong [3; tr.14 – 15]):

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Bởi vì, cấu trúc của kĩ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của
tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng, cần hướng mạnh vào việc

6


vận dụng những tri thức và rèn luyện kĩ năng, vì kĩ năng chỉ có thể được hình
thành và phát triển trong hoạt động.
- Kĩ năng trong toán học phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm:
kiến thức, kĩ năng, phương pháp.
1.2.3. Sự hình thành kĩ năng
Bất cứ một kĩ năng nào được hình thành nhanh hay chậm, bền vững
hay lỏng lẻo đều phụ thuộc vào khát khao, quyết tâm, năng lực tiếp nhận của
chủ thể, cách luyện tập, tính phức tạp của chính kĩ năng đó. Dù hình thành
nhanh hay chậm thì kĩ năng cũng đều trải qua những bước sau đây [16]:
- Hình thành mục đích. Lúc này thường thì chủ thể tự mình trả lời
câu hỏi “Tại sao tôi phải sở hữu kĩ năng đó?”; “Sở hữu kĩ năng đó tôi có
lợi gì?”…
- Lên kế hoạch để có kĩ năng đó. Thường cũng là tự làm. Cũng có
những kế hoạch chi tiết và cũng có những kế hoạch đơn giản như là “ngày
mai tôi bắt đầu luyện kĩ năng đó”.
- Cập nhật kiến thức / lý thuyết liên quan đến kĩ năng đó. Thông qua tài
liệu, báo chí hoặc buổi thuyết trình nào đó. Phần lớn thì những kiến thức này
chúng ta được học từ trường và từ thầy cô của mình.
- Luyện tập kĩ năng. Học sinh có thể luyện tập kĩ năng trong các giờ
học tại lớp cùng giáo viên và tự luyện tập.

- Ứng dụng và hiệu chỉnh. Để sở hữu thực sự một kĩ năng chúng ta phải
ứng dụng nó trong cuộc sống và công việc. Công việc và cuộc sống thì biến
động không ngừng nên việc hiệu chỉnh là quá trình diễn ra thường xuyên
nhằm hướng tới việc hoàn thiện kĩ năng của chúng ta.
1.3.

Dự đoán và kiểm chứng dự đoán trong dạy học môn Toán

1.3.1. Giả thuyết khoa học

7


Trong bài viết Vấn đề xây dựng giả thuyết nghiên cứu trong các đề
tài khoa học của sinh viên , tác giả Nguyễn Phúc Chỉnh – Trường Đại học
Sư Phạm Thái Nguyên đã trích dẫn từ [15]: Giả thuyết khoa học
(Scientific hypothesis), hay giả thuyết nghiên cứu (Research hypothesis),
là sự giải thích quan hệ nhân quả của hiện tượng nào đó cần khám phá
nhưng chưa đủ độ tin cậy, là một sự phán đoán khoa học giả định, là
phương thức của hoạt động nhận thức.
Giả thuyết khoa học còn gọi là giả thuyết nghiên cứu, là một nhận định
sơ bộ, một kết luận giả định về bản chất sự vật do người nghiên cứu đưa ra để
chứng minh hay bác bỏ [2]. Thực chất giả thuyết là câu trả lời có thể có cho
vấn đề đặt ra, nhưng cần phải chứng minh hoặc bác bỏ. Như vậy, hình thành
một giả thuyết khoa học chính là đưa ra một dự đoán về bản chất sự vật. Giả
thuyết là một khâu trong phương pháp nghiên cứu khoa học. Xét về mặt cấu
trúc logic của nghiên cứu thì giả thuyết nằm ở vị trí luận đề. Giả thuyết khoa
học luôn vượt ra khỏi phạm vi khảo sát sự kiện, không chỉ giải thích chúng
mà còn làm chức năng dự báo.
Theo nhiều nhà nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu khoa học bao

gồm các bước sau đây:
Bước 1: Quan sát
Bước 2: Phát biểu vấn đề cần giải quyết
Bước 3: Xây dựng giả thuyết (dự đoán) trả lời sơ bộ cho vấn đề đặt ra.
Bước 4: Tìm cách để kiểm tra giả thuyết đúng hay sai (kiểm chứng)
Bước 5: Kết luận: chấp nhận, bổ sung hay bác bỏ giả thuyết.
Đánh giá về vai trò của giả thuyết trong sự phát triển khoa học, F.
Engels viết: “Hình thức phát triển của khoa học tự nhiên, trong chừng mực

8


mà khoa học này tư duy, là giả thuyết... Tài liệu kinh nghiệm sau này sẽ chọn
lọc lại những giả thuyết ấy, gạt bỏ những giả thuyết này, sửa đổi những giả
thuyết khác cho đến lúc, cuối cùng, quy luật được xác định dưới hình thức
thuần khiết” [6; tr.101].
Trong toán học, M. Seigel và R. Borasi (1994) cho rằng, tri thức
toán học được tạo ra thông qua một quá trình không tuyến tính ; trong đó,
sự khái quát hóa các giả thuyết đóng vai trò then chốt. Quan điểm này có
nhiều điểm chung với luận điểm của Lakatos rằng, tri thức toán học có ý
nghĩa được tạo ra thông qua quá trình lặp đi lặp lại của “các chứng minh
và bác bỏ” khi nhà toán học đặt ra cơ cấu giải thích tạm thời – một giả
thuyết – trước khi có chứng cứ đầy đủ nhằm giúp cho cơ cấu giải thích
hay giả thuyết đó được chấp nhận. Logic của khám phá toán học của
Lakatos có thể được diễn giải như một quy trình có tính vòng tròn, trong
đó giả thuyết và chứng minh không chính thức được đưa ra trước. Như
vậy, T t heo nhiều nhà nghiên cứu lịch sử toán học thì lịch sử phát triển
của toán học là lịch sử của các chứng minh và bác bỏ các giả thuyết khoa
học [6; tr.101]. Trong phạm vi hẹp, chúng tôi coi quá trình dự đoán cũng
giống như quá trình hình thành một giả thuyết khoa học. Do vậy, dự

đoán và kiểm chứng dự đoán được xem là một phương pháp nhận thức
khoa học nói chung và là phương pháp nhận thức toán học nói riêng.
1.3.2. Nghiên cứu quá trình dự đoán và kiểm chứng dự đoán
Quá trình dự đoán và kiểm chứng các dự đoán liên quan đến việc ứng
dụng kiến thức. Đó là một quá trình mà chúng ta có thể làm một cách thật tự
nhiên trong rất nhiều tình huống dạy học môn Toán. Chẳng hạn như sau:

9


Ví dụ 1.1. Một học sinh tham gia vào quá trình dự đoán và kiểm chứng
dự đoán nếu như sau một hồi quan sát các vị trí có thể có giữa đường thẳng và
mặt phẳng, học sinh đó đi đến kết luận: đường thẳng và mặt phẳng có thể
không có điểm nào chung (tạm gọi là vị trí song song), đường thẳng và mặt
phẳng có một điểm chung duy nhất (lúc đó đường thẳng xuyên qua mặt phẳng
hay tạm gọi là cắt mặt phẳng), đường thẳng và mặt phẳng có vô số điểm
chung (tạm gọi là đường thẳng nằm trên mặt phẳng).

Hình 1.1
Khi đó, học sinh này có thể suy nghĩ đến mối quan hệ giữa số điểm
chung của đường thẳng và mặt phẳng với vị trí tương đối của chúng: không
có điểm chung thì song song, có một điểm chung duy nhất thì cắt nhau và có
vô số điểm chung thì chứa nhau. Vậy học sinh đó có thể đặt ra câu hỏi: Liệu
giữa đường thẳng và mặt phẳng cần có tối thiểu bao nhiêu điểm chung để
chúng chứa nhau (tức là đường thẳng nằm trên mặt phẳng)? Từ kết luận mà
học sinh đó rút ra sau khi quan sát ở trên, học sinh này có thể dự đoán rằng
giữa đường thẳng và mặt phẳng chỉ cần có hai điểm chung phân biệt thì sẽ có
vô số điểm chung tức là mọi điểm của đường thẳng đều nằm trên mặt phẳng.
Học sinh này sẽ kiểm tra lại những dự đoán của mình thông qua những kiến
thức đã biết về hình học không gian.

10


Thật vậy: Giả sử A và B là hai điểm phân biệt của mặt phẳng ( P ) , ∆
là đường thẳng đi qua A và B .
Theo tính chất thừa nhận “Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết
của hình học phẳng đều đúng” thì trong ( P ) có một đường thẳng ∆ ' đi qua A
và B . Lại theo tính chất thừa nhận “Có một và chỉ một đường thẳng đi qua
hai điểm phân biệt cho trước” thì ∆ trùng với ∆ ' . Do đó ∆ nằm trong mặt
phẳng ( P ) .
Như vậy, trong ví dụ này, học sinh đã tham gia vào quá trình dự đoán
và kiểm chứng dự đoán. Dự đoán mà học sinh đưa ra đã được khẳng định là
đúng sau khi em đó chứng minh nó bằng những suy luận lôgic. Cũng có
những trường hợp dự đoán đưa ra bị bác bỏ nhờ một phản ví dụ hoặc chứng
minh được điều ngược lại… Trong trường hợp này người học sẽ tích cực suy
nghĩ để đưa ra một dự đoán khác chính xác hơn.
1.3.2.1. Dạy học có khâu dự đoán và kiểm chứng có yếu tố củalà dạy học
khám phá
“Khám phá là quá trình hoạt động và tư duy, có thể bao gồm quan sát,
phân tích, nhận định, đánh giá, nêu giả thuyết, suy luận… nhằm đưa ra những
khái niệm, phát hiện ra những tính chất, quy luật … trong các sự vật hiện
tượng và các mối liên hệ giữa chúng” [8; tr.159].
Để tham gia vào quá trình dự đoán và kiểm chứng các dự đoán, học
sinh phát hiện ra một vấn đề phải trải qua các hoạt động gần giống như một
nhà toán học.
Ví dụ 1.2. Nhờ mô hình và phương tiện dạy học, học sinh có cơ hội dự
đoán, kiểm chứng (ở một mức độ nào đó) để khám phá một số tính chất thừa
nhận của Hình học không gian.
- Trong mặt phẳng, qua hai điểm phân biệt cho trước kẻ được mấy

đường thẳng?

11


- Em hãy chống hai viên phấn lên bàn và coi hai đầu phấn là hình ảnh
hai điểm phân biệt trong không gian. Một em khác cầm một cái thước kẻ bằng
gỗ. Nếu coi mép thước kẻ là hình ảnh một phần đường thẳng thì liệu có đặt
được thước lên hai đầu viên phấn không?
- Em thứ ba cũng cầm một cái thước kẻ bằng gỗ. Muốn đặt cái thước
gỗ thứ hai này lên hai đầu viên phấn (tức là phải có vết phấn trên thước sau
khi đặt) thì hiện tượng gì xảy ra?
Qua quá trình thực nghiệm và quan sát nói trên, học sinh sẽ nhận thấy
muốn thước thứ hai đặt trên hai đầu viên phấn thì nó phải thay thế vị trí của
thước thứ nhất, nghĩa là hai đường thẳng tượng trưng bởi hai thước này phải
trùng nhau.
Để cho học sinh tự nghĩ và làm các thí nghiệm tương tự, các em sẽ rút
ra một dự đoán: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
cho trước. Lúc này, giáo viên khẳng định lại dự đoán đó của các em.
1.3.2.2. Dạy học có khâu dự đoán và kiểm chứng có yếu tố củalà dạy học
kiến tạo
Trong [8; tr.76] của tác giả Bùi Văn Nghị có nêu những luận điểm cơ
bản của thuyết kiến tạo, một trong những luận điểm đó là: “Học sinh đạt được
tri thức mới theo chu trình: tri thức đã có → dự đoán → kiểm nghiệm →
(thất bại) → thích nghi → tri thức mới”.
Kiến thức toán học được học sinh tiếp thu không phải là kiến thức toán
học đã “được làm sẵn” hay “kiến thức đã hình thành” mà học sinh phải liên
hệ với vốn tri thức đã biết để đưa ra dự đoán, và tích cực vận dụng các kiến
thức đã biết để chứng minh hay bác bỏ dự đoán đó. Khi tiến hành dạy học
theo mô hình này, giáo viên có nhiều cơ hội tạo ra sự tương tác giữa giáo viên

và học sinh, giữa học sinh với học sinh thông qua việc thảo luận để đưa ra dự

12


đoán và tranh luận với nhau, nhằm để chấp nhận hay bác bỏ dự đoán đã đưa
ra.
Ví dụ 1.3. Giáo viên có thể thiết kế một tình huống dạy học khái niệm
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng như sau:
- Ta đã biết khái niệm hai đường thẳng vuông góc với nhau trong
không gian, vậy cần quan niệm thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng?
- Nếu coi cái cọc là một đường thẳng và mặt sân là một mặt phẳng thì
khi nào cái cọc vuông góc với mặt sân?
- Chúng ta đã biết theo sức hút của trái đất thì một chiếc dây dọi được
xem là vuông góc với mặt đất. Vậy cái cọc muốn vuông góc với mặt sân thì
nó phải có phương như thế nào? (Cùng phương với chiếc dây dọi).
- Trong trường hợp mặt phẳng đang xét là một bức tường thì nên quan
niệm thế nào về cái cọc vuông góc với bức tường?”. Hoặc ngược lại, khi nào
thì cái cọc xiên góc (không vuông góc) với bức tường? (Câu trả lời có thể
được dự đoán là: khi có một đường thẳng nằm trên tường không vuông góc
với nó).
- Vậy ngược lại có thể đưa ra dự đoán: một đường thẳng được gọi là
vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi đường thẳng trong
mặt phẳng ấy.
- Dự đoán này giải quyết được vấn đề đặt ra, đó là trả lời cho câu hỏi
khi nào một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, và dự đoán đó phù
hợp với những kiến thức đã biết trước đây. Đến lúc này giáo viên khẳng định
tính đúng đắn của dự đoán tìm được và phát biểu khái niệm.
1.3.2.3. Dạy học có khâu dự đoán và kiểm chứng có yếu tố củalà dạy học

phát hiện và giải quyết vấn đề

13


Then chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là
giáo viên thiết kế được những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình
huống có vấn đề khai thác được từ nội dung bài học. [8; tr.153]
Việc hình thành dự đoán chính là nêu ra một tình huống có vấn đề. Giai
đoạn kiểm chứng chính là giai đoạn giải quyết vấn đề và bổ sung chính xác
hóa (nếu cần). Việc phát biểu kết luận chính là giai đoạn cuối cùng của dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.4. Sau khi học xong quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, giáo viên có thể dạy học sinh xây dựng quy
trình xác định hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng (trên hình
biểu diễn) như sau (có thể chia nhóm):
- Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' .
Hãy xác định hình chiếu của:
a) Điểm A ' trên mặt phẳng ( ABCD )
b) Điểm A ' trên mặt phẳng ( AB ' D ')

Hình 1.2
- Ở trường hợp a) học sinh dễ dàng phát hiện (dự đoán) hình chiếu của A '
trên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm A và cũng dễ dàng kiểm chứng (giải quyết
vấn đề) xem A ' A có vuông góc với ( ABCD ) tại A hay không.
- Ở trường hợp b) học sinh có thể phát hiện (dự đoán) sai rằng hình chiếu của
A ' trên mặt phẳng ( AB ' D ') chính là điểm I (giao điểm của A ' C ' và B ' D ' ).

Khi đó, học sinh có thể tự bác bỏ hoặc bác bỏ dự đoán đó dưới sự gợi ý của
giáo viên (ví dụ: em có chứng minh được A ' I ⊥ ( AB ' D ') hoặc nếu

A ' I ⊥ ( AB ' D ') thì có dẫn đến điều gì mâu thuẫn với giả thiết không?).

14


- Giáo viên gợi ý (nếu cần) để học sinh phát hiện ( dự đoán) về hình chiếu của A '
trên mặt phẳng ( AB ' D ') và kiểm chứng dự đôán đó (giải quyết vấn đề).
- Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra quy trình tìm hình chiếu của một điểm
trên một mặt phẳng.
- Giáo viên nhận xét, chính xác hóa quy trình do học sinh đề xuất.
1.4. Chương trình và nội dung Hình học không gian lớp 11 nâng cao
Trung học phổ thông
1.4.1. Phân phối chương trình
Theo sách giáo viên Hình học nâng cao 11 phân phối thời gian dạy và học
phần Hình học không gian như sau: (33 tiết/47 tiết)
Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Quan hệ song song

16 tiết

§1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

4 tiết

§2. Hai đường thẳng song song

2 tiết

§3. Đường thẳng song song với mặt phẳng

2 tiết

§4. Hai mặt phẳng song song

3,5 tiết

§5. Phép chiếu song song

2,5 tiết

Ôn tập và kiểm tra chương II

2 tiết

Chương III: VecTơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

17 tiết

§1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vecto

3 tiết

§2. Hai đường thẳng vuông góc

2 tiết

§3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3 tiết

§4. Hai mặt phẳng vuông góc

3 tiết

§5. Khoảng cách

3 tiết

Ôn tập và kiểm tra chương III

3 tiết

1.4.2. Mục tiêu dạy học Hình học 11 nâng cao

15


Môn Toán Trung học phổ thông có nhiệm vụ cung cấp cho học sinh những kiến
thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực, góp phần
quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc
trưng của Toán học, cần thiết cho cuộc sống, góp phần hình thành và phát triển
các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và
thói quen tự học thường xuyên. Môn Toán tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học lên
đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao
động theo định hướng của Ban khoa học tự nhiên.
Việc dạy học Hình học 11 nâng cao nhằm các mục tiêu sau:
(1) Hoàn thiện kiến thức về Hình học phẳng (chương I: Phép dời hình và phép
đồng dạng trong mặt phẳng). Bổ sung kiến thức về hình học không gian trong
đó Hình học không gian được nghiên cứu chủ yếu bởi phương pháp tiên đề và
phương pháp vectơ (phương pháp tọa độ sẽ tiếp tục được nghiên cứu ở

chương trình Hình học lớp 12).
- Vectơ là một khái niệm quan trọng mà học sinh đã được biết đến trong
chương trình Hình học lớp 10 (vectơ trong mặt phẳng). Ở chương trình Hình
học 11 các em sẽ làm quen với vectơ trong không gian và dùng nó để nghiên
cứu quan hệ vuông góc trong không gian, đây cũng là cơ sở để trình bày
phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12.
- Phương pháp tiên đề được trình bày dựa trên các kiến thức về hệ tiên đề Hin
– be. Tuy nhiên trong chương trình toán 11 theo sách giáo khoa cải cách
2007, chúng ta không gọi các mệnh đề được thừa nhận là tiên đề mà gọi là
những “tính chất thừa nhận”, vì chưa muốn học sinh phổ thông đi sâu vào
phương pháp tiên đề.
(2) Tiếp tục rèn luyện và phát triển tư duy logíc, trí tưởng tượng không gian,
và kĩ năng vận dụng kiến thức hình học vào việc giải toán, vào hoạt động thực
tiễn, vào việc học tập các bộ môn khác.

16


1.4.3. Những chú ý khi giảng dạy Hình học 11 nâng cao
Trước kia theo cách giảng dạy cũ, sách giáo khoa chỉ đơn thuần là một tài liệu
khoa học dùng cho giáo viên. Nội dung các tiết dạy thường được viết cô
đọng, giống như một bài báo viết trên các tạp trí Toán học: đầu tiên là nêu
định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi
các định lí và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ hoặc các bài toán. Trong đợt
thay đổi sách năm 2006-2007, sách giáo khoa cố gắng góp phần vào việc cải
tiến phương pháp giảng dạy của thầy và phương pháp học của trò. Về nội
dung kiến thức, chương trình mới có những thay đổi như sau:
(1) Cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, không đòi hỏi phải chính xác một cách
hoàn hảo. Những chứng minh rườm rà, rắc rối thì có thể bỏ qua và thay bằng
những kiểm chứng hoặc những minh họa đơn giản. Những chứng minh của

các sự kiện quá đơn giản được lược bỏ.
Chẳng hạn: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng
thì song song với nhau”, “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song với nhau” là những sự kiện đơn giản.
Chẳng hạn: “Qua phép chiếu song song, tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai
đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng không thay đổi”
là sự kiện có chứng minh tương đối dài dòng và phức tạp.
Tuy nhiên không bỏ tất cả các chứng minh vì Hình học là môn học góp phần
dạy cho học sinh cách lập luận trong các chứng minh.
(2) Tăng cường phần luyện tập và thực hành. Đưa vào các câu hỏi và các hoạt
động nhằm giúp học sinh suy nghĩ tìm tòi chứ không thụ động nghe giảng.
Các bài tập phần lớn nhằm mục đích củng cố những kiến thức cơ bản, nhằm
rèn luyện kĩ năng tính toán không quá phức tạp, và có chú trọng đến các bài

17


toán thực tiễn. Không chú trọng đến các bài tập khó, phức tạp, hoặc các bài
tập phải dùng nhiều mẹo mực mới giải được.
(3) Tăng cường tính thực tế, chú trọng áp dụng vào thực tế đời sống.
1.4.4. Nội dung và yêu cầu của Hình học không gian 11 nâng cao
Nội dung Hình học không gian lớp 11 nâng cao Trung học phổ thông trình
bày về các đối tượng hình học không gian: điểm, đường thẳng, mặt phẳng và
các mối quan hệ giữa chúng (quan hệ song song, quan hệ vuông góc). Nội
dung này được trình bày trong hai chương ứng với chương II và chương III
trong sách giáo khoa.
Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
Chương này trình bày đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (là hai khái
niệm cơ bản của hình học không gian) và quan hệ song song giữa chúng. Học
xong chương này, học sinh phải nắm được các yêu cầu sau đây:

(1)

Nắm vững các điều kiện xác định mặt phẳng.

(2)

Nắm vững các vị trí tương đối giữa các đường thẳng, giữa các mặt

phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt là quan hệ song song giữa chúng.
(3)

Nắm được cách xác định thiết diện của một hình khi cắt bởi một

mặt phẳng.
(4)

Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình.

(5)

Nắm được định nghĩa và cách vẽ ba hình không gian: hình chóp,

hình lăng trụ và hình chóp cụt.
Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc. Chương này nghiên
cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt
phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kiến thức về vectơ là cơ sở để xây dựng quan hệ
vuông góc trong không gian. Học xong chương này, học sinh phải đạt được
các yêu cầu:

18

(1)

Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vuông góc

và giải một số bài toán hình học không gian.
(2)

Sử dụng được các điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt

phẳng vào việc giải toán.
Nắm được khái niệm và cách tính góc, khoảng cách giữa một số đối tượng
trong hình học không gian.
1.5. Thực trạng dạy học Hình học không gian ở trường Trung học phổ
thông theo hướng rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán
1.5.1. Số lượng bài toán yêu cầu học sinh dự đoán và kiểm chứng dự đoán
trong sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao
Trong Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, ngoài các bài tập trắc
nghiệm cuối mỗi chương thì phần Hình học không gian có 98 bài tập. Trong
đó, các bài tập đòi hỏi học sinh phải thực hiện cả hai khâu dự đoán và kiểm
chứng dự đoán là 12, chiếm tỉ lệ

12
= 12,2% . Điều đó cho thấy việc rèn luyện
98

kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán cho học sinh cũng đã được quan tâm.
Tuy số lượng bài tập đòi hỏi học sinh dự đoán và kiểm chứng một cách tường
minh chưa thật nhiều song việc dự đoán và kiểm chứng luôn được ẩn chứa

trong mỗi bài toán Hình học không gian. Vì vậy, theo chúng tôi, nếu có những
biện pháp tác động tích cực thì có rất nhiều cơ hội rèn luyện kĩ năng dự đoán
và kiểm chứng cho học sinh thông qua nội dung Hình học không gian.
1.5.2. Điều tra về kĩ năng dự đoán và kiểm chứng của học sinh
* Đối tượng điều tra: Đối tượng điều tra là 425 HS của 10 lớp từ 11A2
đến 11A11 năm học 2011 – 2012, trường Trung học phổ thông Hàn Thuyên –
Thành phố Bắc Ninh – Tỉnh Bắc Ninh.

19


* Thời gian điều tra: Tháng 11 năm 2012. (Tại thời điểm điều tra các
học sinh này đã là học sinh lớp 12 và hoàn thành xong chương trình Hình học
không gian lớp 11).
* Phương pháp điều tra: Chúng tôi sử dụng phiếu điều tra được phát tới
từng học sinh thuộc đối tượng điều tra (xem phụ lục 1)

* Kết quả điều tra
1. Trong phân môn Toán em thích học môn nào nhất
Đại số

Hình học

Số ý kiến 238
74
Tỉ lệ %
56%
17,4%
2. Trong phân môn Toán em ngại học môn nào nhất
Đại số

Hình học

Giải tích
113
26,6%
Giải tích

Số ý kiến 25
297
103
Tỉ lệ %
5,9%
69,9%
24,2%
3. Các tiết Hình học không gian có đem lại sự hứng thú học tập cho em
thường xuyên hay không
Thường xuyên

Đôi khi

Không bao giờ

Số ý kiến 165
253
7
Tỉ lệ %
38,8%
59,5%
1,7%

4. Bài giảng của giáo viên trong các tiết Hình học không gian có sức lôi cuốn
em ở mức độ nào
Rất ít

Bình thường

Lôi cuốn

Số ý kiến 25
300
100
Tỉ lệ %
6%
70,5%
23,5%
5. Khái quát về độ khó của bài toán Hình học không gian trong các tiết học là
Số ý kiến
Tỉ lệ %

Quá dễ

Dễ

Vừa sức

Khó

Quá khó

0

0%

13
3,1%

121
28,5%

263
61,9%

28
6,5%

20


6. Khi giải các bài tập trắc nghiệm về Hình không gian, em thường:
Chọn đáp án đúng

Chọn đáp án đúng và giải thích

Số ý kiến 333
92
Tỉ lệ %
78,4%
21,6%
7. Khi bài toán Hình học không gian có yêu cầu nêu lên mối quan hệ giữa các
đối tượng không gian (điểm, đường thẳng, mặt phẳng,…) em thường:
A

B

C

Số ý kiến 3
212
Tỉ lệ %
0,7%
49,9%
A. Không thực hiện được yêu cầu này.

D

188
22
44,2%
5,2%
B. Kết luận theo cảm tính

C. Cứ xét hết các khả năng có thể xảy ra, khả năng nào đúng thì chọn
D. Quan sát hình vẽ, mô hình và lập luận logic để dự đoán mối liên hệ và
dùng giả thiết bài toán để kiểm chứng
8. Dụng ý sư phạm và kết quả điều tra qua 3 bài tập trong phiếu
Bà Dụng ý sư phạm/yêu cầu đối với học sinh Số học sinh đạt yêu cầu /425
i
1

- Có đưa được ra kết luận (dự đoán) về vị 397/425
trí tương đối cần xét hay không?

- Có tiến hành kiểm chứng lại dự đoán 343/425
hay không?
- Lập luận dùng để kiểm chứng dự đoán 301/425

2

có hợp logic không?
- Có xem xét hết tất cả các khả năng có 105/425

3

thể xảy ra hay không?
- Từ giả thiết bài toán có dự đoán được 97/425
cách dựng thiết diện hay không?
- Có dự đoán và kiểm chứng được dự 82/425
đoán về hình dạng thiết diện hay không?
Kết quả điều tra trên đây cho thấy đa số học sinh còn gặp khó khăn

trong việc học môn Hình học không gian. Phần lớn học sinh thấy ít hứng thú

21


trong các tiết học Hình không gian và tỏ ra lúng túng khi đứng trước bài toán
thuộc phân môn này.
Đa số học sinh còn yếu trong kĩ năng đưa ra dự đoán và kiểm chứng dự
đoán thể hiện ở các điểm sau:
- Chưa mạnh dạn đưa ra dự đoán cho bài toán hoặc đưa ra dự đoán mà
không nghĩ tới việc kiểm chứng tính đúng sai của dự đoán đưa ra.
- Ít xem xét hết các khả năng có thể xảy ra để đưa ra dự đoán có tính

khoa học. Dự đoán đưa ra thường mang yếu tố cảm tính.
- Lập luận dùng để kiểm chứng dự đoán chưa thật chặt chẽ, chưa hợp
logic. Điều đó cho thấy kĩ năng chứng minh hay bác bỏ một nhận định của
học sinh còn hạn chế.
1.5.3. Ý kiến giáo viên về việc rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng
cho học sinh
Chúng tôi sử dụng phiếu thăm dò lấy ý kiến 21 giáo viên của tổ Toán
-– Tin trường Trung học phổ thông Hàn Thuyên – Tỉnh Bắc Ninh (phiếu điều
tra trong phụ lục 2) về mức độ khó của chủ đề Hình học không gian và mức
độ quan tâm tới việc rèn luyện kĩ năng dự đoán và kiểm chứng cho học sinh
thông qua các tình huống điển hình của môn Toán nói chung và của phân môn
Hình học không gian nói riêng. Kết quả cho thấy:
Kết quả thu được thể hiện trong bảng sau:
1. 1. Mức độ khó của phần Hình học không gian
Mức độ

Khó

Vừa sức

Số ý kiến 6
12
Tỉ lệ %
28,6%
57,1%
2. 2. Về việc sử dụng phương tiện dạy học
Mức độ
Kết quả
Tỉ lệ

Chưa bao giờ
1
4,8%

Rất ít
15
71,4%

22

Dễ
3
14,3%
Thường xuyên
5
23,8%


3. Việc quan tâm rèn luyện kĩ năng dự đoán
Mức độ
Ít khi
Thỉnh thoảng
Kết quả
5
12
Tỉ lệ
23,8%
57,1%
4. Việc quan tâm rèn luyện kĩ năng chứng minh

Thường xuyên
4
19,1%

Mức độ
Ít khi
Kết quả
0
Tỉ lệ
0
5. Cách thức dạy học khái niệm

Thường xuyên
18
85,7%

Thỉnh thoảng
3
14,3%

Cách
A
B
Kết quả
4
6
Tỉ lệ
19%
28,6%
A. Nêu ngay nội dung khái niệm

C
6
28,6%

D
3
14,3%

E
2
9,5%

B. Xuất phát từ một khái niệm đã có để đưa ra khái niệm mới như một trường
hợp riêng của khái niệm đã biết
C. Xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ, từ đó phân tích, so sánh, khái quát
hóa,… để tìm ra dấu hiệu đặc trưng đi đến khái niệm
D. Hướng dẫn học sinh hình thành khái niệm
E. Để học sinh tự hình thành khái niệm theo cách hiểu riêng của bản thân
6. Cách thức dạy học định lí
Cách
A
B
C
D
Kết quả
2
5
4
6

A. Nêu và chứng minh ngay nội dung định lí

E
2

F
2

B. Giáo viên lập luận để dự đoán định lí và hướng dẫn học sinh chứng minh
C. Giáo viên lập luận dự đoán định lí và để học sinh tự chứng
D. Giáo viên hướng dẫn học sinh dự đoán và chứng minh định lí
E. Giáo viên để học sinh tự vận dụng các tri thức đã biết để dự đoán và chứng
minh định lí
F. Giáo viên dạy học định lí bằng các phương pháp khác
7. Cách thức dạy học quy tắc phương pháp
Cách
Kết quả

A
2

B
10

C
5

23

D

4

E
0


Tỉ lệ
9,5%
47,6%
23,8%
A. Nêu ngay quy tắc và cho ví dụ vận dụng

19,1%

0%

B. Giáo viên lấy một vài ví dụ về bài toán, hướng dẫn học sinh giải các bài
toán đó theo cùng một phương pháp. Từ đó hình thành quy tắc phương pháp
C. Giáo viên lấy ví dụ về bài toán, để học sinh tự tìm và trình bày lời giải.
Cuối cùng, giáo viên khái quát lại thành quy tắc phương pháp.
D. Giáo viên lấy ví dụ về bài toán, để học sinh tự tìm và trình bày lời giải.
Cuối cùng, học sinh khái quát lại thành quy tắc phương pháp
E. Giáo viên dạy quy tắc phương pháp bằng các cách khác
Kết quả trên cho thấy:
- Những bài tập hình học không gian có trong chương trình đối với
học sinh chủ yếu mang tính vừa sức, một số ít ở mức độ cao hơn một chút, nó
không phải là những dạng bài tập quá khó đối với học sinh.
- Trao đổi với giáo viên bộ môn về nội dung chương trình môn học
chúng tôi được biết những bài tập dành cho học sinh có trong chương trình
phù hợp với trình độ nhận thức của các em. Nhưng trong quá trình học tập các

em vẫn gặp không ít khó khăn.
- Giáo viên phần lớn còn ít quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng dự
đoán và kiểm chứng cho học sinh.
1.6.

Tóm tắt chương I
Chương này trình bày cơ sở lí luận về kĩ năng, đặc điểm của kĩ năng, sự

hình thành kĩ năng và vài nét khái quát về kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự
đoán trong dạy học môn Toán.
Quá trình dự đoán và kiểm chứng kích thích sự thay đổi trong nhận
thức của học sinh. Qua quá trình này, học sinh tiếp cận kiến thức một cách
chủ động, tự giác để từ đó làm chủ tri thức, góp phần phát triển con người
một cách toàn diện, năng động, sáng tạo, phù hợp với yêu cầu của xã hội hiện

24


nay. Mặt khác, Toán học trong quá trình phát sinh, phát triển đều tuân theo
các bước từ khâu dự đoán đến kiểm chứng dự đoán để khẳng định hoặc bác
bỏ một nhận định nào đó. Vì vậy, có rất nhiều cơ hội để rèn luyện kĩ năng dự
đoán và kiểm chứng dự đoán thông qua dạy học môn Toán nói chung và phân
môn Hình học không gian lớp 11 Trung học phổ thông nói riêng.
Thực tiễn từ một trường Trung học phổ thông cho thấy việc rèn luyện
kĩ năng dự đoán và kiểm chứng dự đoán cho HS trong quá trình dạy học môn
Toán, đặc biệt là đối với môn Hình học không gian còn nhiều bất cập, cần có
những biện pháp khắc phục tình trạng này.

CHƯƠNG II. NHỮNG BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG DỰ
ĐOÁN VÀ KIỂM CHỨNG CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH

HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 NÂNG CAO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

25