MỞ RỘNG KHÁI NIỆM hàm lồi THEO TIÊU CHÍ ổn ĐỊNH

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
———————o0o——————–

TRẦN THỊ HƯƠNG TRÀ

MỞ RỘNG KHÁI NIỆM HÀM LỒI
THEO TIÊU CHÍ ỔN ĐỊNH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Ngành: Toán ứng dụng
Cao học K21

Người hướng dẫn: PGS. PHAN THÀNH AN

Hà Nội - 2015


i


Mục lục

Mở đầu

1

Danh mục kí hiệu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Kiến thức mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Một số khái niệm và tính chất của hàm lồi . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Khái niệm hàm lồi suy rộng và tính ổn định . . . . . . . . . . .

12

2 Mở rộng ổn định của hàm lồi

23

2.1

Giới thiệu hàm s-tựa lồi (s-quasiconvex) . . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Tính ổn định của hàm s-tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3

Tính s-tựa lồi của hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.4

Xét tính s-tựa lồi của một số hàm phân thức bậc nhất trên bậc
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

ii

Mở đầu
Tập lồi và hàm lồi đã được nghiên cứu rất nhiều trong một trăm năm qua.
Những công trình đầu tiên về giải tích lồi được đưa ra bởi một số tác giả như
Holder (1889), Jensen (1906) và Minkowski (1910, 1911). Đặc biệt với những
công trình của Fenchel, Moreau, Rockafellar vào các thập niên 1960 và 1970
đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vực phát triển nhất của
toán học. Một số hàm mang một trong số các tính chất của hàm lồi, nhưng
lại không phải là hàm lồi. Chúng được gọi là các hàm lồi suy rộng (generalized
convex function). Có lẽ người đầu tiên đề xuất tính lồi suy rộng và đưa ra khái
niệm tựa lồi (quasiconvex) là Finetti (1949). Luận văn này trình bày các khái
niệm về hàm lồi, hàm tựa lồi, tựa lồi hiện và giả lồi.
Hàm lồi có nhiều tính chất thú vị và một trong số các tính chất quan trọng
của nó liên quan đến tính tối ưu, đó là:
(L) Tập mức dưới của hàm đang xét là lồi;
(M) Mỗi điểm cực tiểu địa phương là điểm cực tiểu toàn cục;
(S) Mỗi điểm dừng là điểm cực tiểu toàn cục.
Hàm lồi có nhiều hướng mở rộng khác nhau, người ta làm yếu đi tính lồi
của hàm, để giải quyết bài toán trong thực tế có nhiều hàm không lồi, nhưng
vẫn mang một số tính chất của hàm lồi.
Nhưng trong luận văn này chủ yếu trình bày lại về hướng mở rộng hàm tựa
lồi đặc trưng cho tính chất (L), hàm tựa lồi hiện đặc trưng cho tính chất (M),
1


Mở đầu

hàm giả lồi đặc trưng cho tính chất (S). Ngoài ra, luận văn này còn trình bày
lại tính ổn định theo các tính chất (L), (M), (S).

Khái niệm về sự ổn định này được GS. Hoàng Xuân phú và PGS. Phan
Thành An đưa ra đầu tiên vào năm 1996 (xem trong [1, 4]). Các lớp hàm lồi
suy rộng đều không ổn định theo các tính chất của nó, thậm chí trên miền
compact. Để khắc phục trở ngại này, GS. Hoàng Xuân Phú đã đưa ra khái
niệm hàm lồi suy rộng mới đó là hàm s-tựa lồi. Lớp hàm này được nghiên cứu
nhiều trong [1] và đặc biệt là nó ổn định theo các tính chất (L), (M) và (S).
Luận văn này trình bày lại các tính chất của hàm s-tựa lồi, và đưa ra các
ví dụ minh hoạ. Đặc biệt là xét tính s-tựa lồi của một số hàm phân thức bậc
nhất trên bậc nhất. Nội dung chính của luận văn này được trình bày theo hai
chương:
Chương 1: Phần đầu hệ thống lại một số kiến thức cơ bản sẽ sử dụng trong
luận văn, một số khái niệm và tính chất cơ bản của hàm lồi. Phần sau của
chương này đưa ra khái niệm,ví dụ cụ thể, các tính chất của hàm lồi suy rộng
và tính không ổn định của chúng.
Chương 2: Trình bày khái niệm hàm s-tựa lồi, các tính chất của nó được
chứng minh rõ ràng Bổ đề 2.1.1, 2.1.2 và đặc biệt là tính ổn định của nó với
các tính chất (L), (M), (S). Ngoài ra phần này đã nhắc lại điều kiện cần và
đủ để hàm đa thức là hàm s-tựa lồi (xem [2]) tìm hiểu tính s-tựa lồi của hàm
phân thức. Cụ thể là xét tính s-tựa lồi của hàm phân thức bậc nhất trên bậc
ax + b
với c = 0, ad − bc = 0.
nhất có dạng
cx + d
Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của PGS. Phan Thành An.
Em chân thành cảm ơn thầy Phan Thành An và các nghiên cứu sinh, các
học trò của thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em rất nhiều. Ngoài ra em
muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thành viên của nhóm seminar Giải tích
2

Mở đầu

số và tính toán khoa học, Viện Toán học đã góp ý rất nhiều trong quá trình
em hoàn thành luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô và cán bộ công nhân viên của
Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu tại Viện.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 8 năm 2015
Học viên
Trần Thị Hương Trà

3


Danh mục kí hiệu
R

trường số thực

Rn

không gian Euclide n chiều

]a, b[

:= (a, b)

[a, b[

:= [a, b] \ {b}

]a, b]

:= [a, b] \ {a}

x∈M

phần tử x thuộc M

y∈
/M

phần tử y không thuộc M

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

∇f

gradient của hàm f

sign(x) dấu của x
·

chuẩn trên không gian X

x, y

tích vô hướng của hai vectơ x và y

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chất cơ bản được
sử dụng trong luận văn. Đặc biệt, chương này trình bày lại các khái niệm và
tính ổn định của một số hàm lồi suy rộng theo các tính chất (L), (M), (S) đã
được đưa ra trong [4].

1.1

Kiến thức mở đầu

Trong phần này ta trình bày lại các khái niệm cơ bản về đạo hàm, đạo hàm
theo hướng, gradient và mối liên hệ giữa chúng được thể như thế nào (xem [5])

để phục vụ cho việc tìm hiểu về hàm lồi, hàm lồi suy rộng trong các phần tiếp
theo.
Định nghĩa 1.1.1. (xem [5]) Cho hàm f được xác định trong lân cận điểm
x0 trong không gian tuyến tính định chuẩn X, tồn tại vô hạn hướng dần tới
x0 . Khi đó hướng dọc theo đường thẳng song song với v sinh ra đạo hàm theo
hướng (hai phía)
f (x0 + tv) − f (x0 )
.
t→0
t

f (x0 ; v) = lim

Dọc theo v có hai khả năng cho t đi tới 0 tương ứng với đạo hàm theo hướng

5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

một phía f+ (x0 ; v) và f− (x0 ; v). Lưu ý rằng khi f (x0 ; v) tồn tại, thì
f (x0 ; −v) = −f (x0 ; v).
Khi X = Rn và v là một trong các vectơ cơ sở ei = (0, . . . , 1, . . . , 0), (1
đứng ở vị trí thứ i) người ta đạo hàm theo hướng tương ứng được gọi là đạo
hàm riêng thứ i, viết dưới dạng
∂f
(x0 ) = fi (x0 ) = f (x0 ; ei ).
∂xi
Định nghĩa 1.1.2. (xem [5]) Cho X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn,
hàm f : D → Y với D ⊆ X là tập mở. Khi đó f là khả vi tại x0 ∈ D nếu tồn

tại phép biến đổi tuyến tính T : X → Y sao cho với h ∈ X đủ nhỏ, ta có
f (x0 + h) = f (x0 ) + T (h) + h ε(x0 , h)
với ε(x0 , h) ∈ Y dần tới 0 khi h → 0. Phép biến đổi tuyến tính T được gọi
là đạo hàm và được kí hiệu là f (x0 ).
Ta sẽ kiểm tra định nghĩa này trong trường hợp X = Rn , Y = Rm . Trong
trường hợp này, sử dụng cơ sở chính tắc cho cả hai không gian, ta liên hệ phép
biến đổi tuyến tính T : Rn → Rm với một ma trận [T ] cỡ m × n duy nhất.
Ví dụ cụ thể với T : R2 → R có dạng T (s, r) = as + br xác định bởi ma trận
[T ] = [a b], đó là

T (s, r) = as + br =

a b



s
r


.

Bây giờ giả sử w = f (s, r) là hàm đi từ R2 tới R có đạo hàm như trên. Thế thì
x0 = (s0 , r0 ), f (x0 ) được biểu diễn bởi ma trận [a b] . Ngoài ra, với cách chọn
h = te1 = (t, 0),
f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 ) = f (x0 )h + h ε(x0 , h)
trở thành

f (x0 + te1 ) − f (x0 ) =

a b
6



t
0


 + |t| ε(x0 , te1 ).


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Trừ hai vế cho at và chia cho t, ta nhận được
f (s0 + t, r0 ) − f (s0 , r0 )
−a=0
t→∞
t
lim

với a = (∂f /∂s)(s0 , r0 ). Tương tự với h = te2 thì b = (∂f /∂r)(s0 , r0 ) do đó
[f (x0 )] = [f1 (x0 ), f2 (x0 )] . Trong ví dụ này, đạo hàm f (x0 ) là vectơ gradient.
Biết rằng nếu các đạo hàm riêng liên tục thì vectơ gradient xác định một mặt
phẳng tiếp tuyến với đồ thị hàm f, và trong tổng quát sự tồn tại của đạo hàm
f (x0 ) chính là điều cần thiết để đảm bảo sự tồn tại của mặt phẳng tiếp tuyến
với đồ thị của w = f (s, r) tại x0 .
Để xác định ma trận [f (x0 )] trong trường hợp hàm f : Rn → Rm được xác
định bởi tập các hàm toạ độ
y1 = f 1 (x1 , ..., xn )

.
..
f : ..
.
ym = f m (x1 , ..., xn )
Định lý 1.1.1. (xem [5]) Nếu f : Rn → Rm là khả vi tại x, thì đạo hàm riêng
của hàm toạ độ đều tồn tại và



[f (x)] = 



∂f 1
(x) . . .
∂x1
..
.
m
∂f
(x) . . .
∂x1

∂f 1
(x)
∂xn
..
.
m

∂f
(x)
∂xn








Từ định lý trên rõ ràng ta thấy sự tồn tại của đạo hàm kéo theo sự tồn tại
của đạo hàm riêng của các hàm toạ độ.
Định lý 1.1.2. (xem [5]) Cho hàm f : D → Rm được xác định bởi các hàm
toạ độ có đạo hàm riêng liên tục trên tập mở D ⊆ Rn . Khi đó f (x) tồn tại với
mọi x ∈ D.
Trong Rn , định nghĩa gradient như sau.

7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.3. (xem [5]) Cho f là hàm nhiều biến mà tất cả các đạo hàm
riêng của nó đều tồn tại, phép biến đổi tuyến tính với ma trận
∇f (x0 ) =

∂f
∂f
(x0 ), . . . ,

(x0 ) = [f1 (x0 ) . . . fn (x0 )]
∂x1
∂xn

được gọi là gradient của hàm f .
Ví dụ 1.1.1. f : R2 → R được xác định bởi f (x, y) = x2 + x + 1. Gradient
của f (x0 ) với x0 = (1, 2) là ∇f (x0 ) = (3, 0).
Khi đó, nếu f khả vi tại x0 thì phép biến đổi tuyến tính là đạo hàm f (x0 ).
Rõ ràng, sự tồn tại của gradient không suy ra được sự tồn tại của f (x), nhưng
trong trường hợp hàm f là lồi thì sự tồn tại của ∇f (x0 ) kéo theo f (x0 ) tồn
tại.
Định lý 1.1.3. (xem [5]) Nếu f là lồi trên tập mở D ⊆ Rn và tất cả các đạo
hàm riêng của f đều tồn tại tại x0 ∈ D thì f (x0 ) tồn tại.

1.2

Một số khái niệm và tính chất của hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1. (xem [5]) Giả sử D ⊂ Rn là một tập lồi, hàm f : D → R là
lồi trên D nếu với mỗi x1 , x2 ∈ D và một số thực λ ∈ [0, 1], xλ = λx1 +(1−λ)x2
bất đẳng thức sau thỏa mãn
f [(1 − λ) x1 + λx2 ] ≤ (1 − λ) f (x1 ) + λf (x2 ) .

(1.1)

Ví dụ 1.2.1. Hàm f (x) = − ln x trên D ⊆ R+ là hàm lồi. Thật vậy, với
mọi x1 , x2 ∈ D ⊆ R+ , số thực k ∈ [0, 1] , xk = kx1 + (1 − k)x2 , ta có hàm
f (x) = − ln x thỏa mãn (1.1). Từ Ví dụ 1.2.1, ta suy ra ý nghĩa hình học của
hàm lồi. Các điểm trên đồ thị của hàm f (x) nằm dưới dây cung của hai điểm
(x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )) với mọi x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 .

8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Hình 1.1: Đồ thị của hàm lồi f (x) = − ln x, ∀x > 0.

Định nghĩa 1.2.2. (xem [5]) Cho D ⊆ Rn là một tập lồi, khác rỗng và
f : D → R. Một điểm x∗ ∈ D được gọi là điểm cực tiểu địa phương của f trên
D nếu tồn tại một lân cận U của x∗ sao cho f (x∗ ) ≤ f (x) với mọi x ∈ U ∩ D.
Nếu f (x∗ ) ≤ f (x) với mọi x ∈ D thì x∗ được gọi là điểm cực tiểu toàn cục
của f trên D.

Hình 1.2: Biểu diễn các điểm cực tiểu

Hình 1.3: Biểu diễn điểm cực tiểu

địa phương và toàn cục của

địa phương của hàm lồi

f (x) =

e−x

+ ex

+ x − 3x2 .

là điểm cực tiểu toàn cục.

Điểm cực tiểu toàn cục thường được tìm trong các điểm cực tiểu địa phương.
9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Đặc biệt hơn, đối với hàm lồi mà chúng ta đang nghiên cứu thì điểm cực
tiểu địa phương chính là điểm cực tiểu toàn cục. Điều này chính là một trong
các tính chất quan trọng của hàm lồi sẽ được đề cập đến trong toàn luận văn
này.
Định nghĩa 1.2.3. (xem [5]) Giả sử f : D → R là một hàm lồi trên D ⊂ Rn
và α ∈ R. Khi đó, tập mức dưới là Lα (f ) = {x : f (x) ≤ α}.

Hình 1.4: Một tập mức dưới Lα (f ) (miền kẻ đậm) của hàm f (x) = x2 − 2x − 1

Các hàm lồi có rất nhiều tính chất thú vị. Sau đây là một số tính chất quan
trọng liên quan đến tối ưu.
Tính chất 1.2.1. (xem [1, 4]) Giả sử D ⊆ Rn là tập lồi, hàm f : D → R là
hàm lồi. Khi đó
(L) Tất cả các tập mức dưới là lồi;
(M) Mọi điểm cực tiểu địa phương đều là điểm cực tiểu toàn cục;
(S) Mọi điểm dừng đều là điểm cực tiểu toàn cục.
Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi trên D,
(L) Ta thấy tập mức dưới Lα (f ) = {x : f (x) ≤ α} là lồi, thật vậy lấy
x1 , x2 ∈ {x : f (x) ≤ α} , ta có f (x1 ) ≤ α, f (x2 ) ≤ α. Mặt khác vì f là hàm lồi
10

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

nên ∀λ ∈ (0, 1) và x1 , x2 ∈ D, ta có
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
≤ λα + (1 − λ)α
= α,
tức là λx1 + (1 − λ)x2 ∈ {x : f (x) ≤ α} . Vậy tập mức dưới Lα (f ) là lồi.
(M) Giả sử x∗ là cực tiểu địa phương của hàm f trên D, tức là tồn tại lân
cận U của x∗ để f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ U ∩ D.
Với mọi x ∈ D, và λ ∈ [0, 1] , do D lồi và U là lân cân của x∗ ∈ D, nên điểm
xλ := (1 − λ)x∗ + λx ∈ D ∩ U khi λ đủ nhỏ. Do f (x∗ ) ≤ f (xλ ) và f lồi, ta có
f (x∗ ) ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ)f (x∗ ) + λf (x).
Từ đây suy ra f (x∗ ) ≤ f (x). Chứng tỏ x∗ là cực tiểu toàn cục của f trên D.
(S) Giả sử x∗ ∈ D là điểm dừng của hàm f trên D, tức là f (x∗ ) = 0. Vì
hàm f là lồi, khi đó với t ∈ (0, 1),
f [x∗ + t(x − x∗ )] = f [(1 − t)x∗ + tx] ≤ (1 − t)f (x∗ ) + tf (x)
Đặt h = x − x∗ , ta có
f (x + th) − f (x∗ ) ≤ t [f (x∗ + h) − f (x∗ )]
Trừ cả hai vế cho f (x∗ )(th) và chia cho t ta được
f (x∗ + th) − f (x∗ ) − f (x∗ )(th)
≤ f (x∗ + h) − f (x∗ ) − f (x∗ )(h).
t
Khi t → 0 vế bên trái dần đến 0 trong khi phía bên phải độc lập được với t,
và là hằng số. Do đó ta suy ra
f (x) − f (x∗ ) ≥ f (x∗ )(h) = 0.
Suy ra f (x) ≥ f (x∗ ), vậy x∗ là cực tiểu toàn cục của f trên D.
11


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.3

Khái niệm hàm lồi suy rộng và tính ổn định

Có nhiều hướng mở rộng khái niệm lồi mà vẫn giữ lại được các tính chất
được nhắc đến ở trên. Các kết quả này có thể xem trong [1, 5]. Ở đây trình
bày lại một số hướng mở rộng khái niệm lồi sau.
Cho f : D −→ R, D ⊂ Rn là tập lồi. Với x0 , x1 ∈ D, xλ ∈ [x0 , x1 ], và
xλ := λx1 + (1 − λ)x2 .
Định nghĩa 1.3.1. (xem [4]) Hàm f là tựa lồi (quasiconvex) nếu
f (xλ ) ≤ max{f (x0 ), f (x1 )},

∀λ ∈ [0, 1], x0 , x1 ∈ D.

(1.2)

Hàm tựa lồi luôn thoả mãn tính chất (L)- mọi tập mức dưới của nó là lồi.
Ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.3.1. Hàm f : D → R là tựa lồi khi và chỉ khi mọi tập mức dưới của
nó là lồi.
Chứng minh. (⇒) Giả sử hàm f : D → R là tựa lồi, theo Định nghĩa 1.3.1
f (xλ ) ≤ max{f (x0 ), f (x1 )} ∀λ ∈ [0, 1], x0 , x1 ∈ D.
Giả sử Lα (f ) = {x : f (x) ≤ α} là một tập mức dưới của hàm tựa lồi f. Nếu
x0 ∈ Lα (f ), x1 ∈ Lα (f ) khi đó f (x0 ) ≤ α, f (x1 ) ≤ α và từ đó suy ra
f [λx0 + (1 − λ)x1 ] ≤ α.
Rõ ràng xλ = λx0 + (1 − λ)x1 ∈ Lα (f ). Vậy tập Lα (f ) là tập lồi.
(⇐) Giả sử các tập mức dưới là lồi. Với mọi x0 , x1 ∈ U , đặt α =
max{f (x0 ), f (x1 )}. Hiển nhiên x0 , x1 ∈ Lα (f ). Vì Lα (f ) là tập lồi nên
xλ = λx0 + (1 − λ)x1 ∈ Lα (f ).

Suy ra
f (xλ ) = f [λx0 + (1 − λ)x1 ] ≤ max{f (x0 ), f (x1 )} = α.
12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Vậy f là hàm tựa lồi.

Hình 1.5: Mô tả hàm tựa lồi f (x) =

|x − 1| + 1 với tập mức dưới Lα (f ) là lồi.

Hình 1.6: Mô tả hàm không tựa lồi f (x) = x4 + 2x2 + 1 với tập mức dưới Lα (f ) không lồi.

Định nghĩa 1.3.2. (xem [4]) Hàm f là tựa lồi hiện (explicitly quasiconvex)
nếu nó là tựa lồi và nó thỏa mãn
f (xλ ) < max{f (x0 ), f (x1 )} với mọi λ ∈ ]0, 1[

với f (x0 ) = f (x1 ).

(1.3)

Ta dễ dàng thấy được hàm tựa lồi hiện luôn thỏa mãn tính chất (L) và (M).
Ví dụ 1.3.1. Hàm tựa lồi nhưng không là hàm lồi, không là hàm giả lồi hay
hàm tựa lồi hiện:
f (x) =




nếu 0 ≤ x ≤ 1

0

 −(x − 1)2 nếu 1 ≤ x ≤ 2.

13


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Thật vậy, với mỗi x0 , x1 ∈ [0, 1] thì f (x0 ) = f (x1 ) = 0 = f (xλ ) nên công
thức (1.2) thoả mãn. Với x0 , x1 ∈ [1, 2], ta có max{f (x0 ), f (x1 )} = f (x1 ) =
−(x1 − 1)2 tức là −(x0 − 1)2 ≤ −(x1 − 1)2 nên x0 > x1 . Mà xλ ∈ [x0 , x1 ] , do
đó x0 ≥ xλ ≥ x1 suy ra −(x0 − 1)2 ≤ −(xλ − 1)2 ≤ −(x1 − 1)2 , công thức (1.2)
thoả mãn.
Mặt khác, với x0 ∈ [0, 1] khi đó f (x0 ) = 0, và x1 ∈ [1, 2] tức là f (x1 ) =
−(x1 − 1)2 < 0, từ đó max{f (x0 ), f (x1 )} = f (x0 ) = 0. Nếu xλ ∈ [0, 1] thì
f (xλ ) = f (x0 ) = 0 thoả mãn công thức (1.2). Nếu xλ ∈ [1, 2] thì f (xλ ) <
f (x0 ) = 0 thoả mãn công thức (1.2).Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, hàm f (x) là
hàm tựa lồi trên [0, 2].
3
1
1
khi đó f (x0 ) = 0, và x1 = tức là f (x1 ) = −(x1 − 1)2 = − , từ
3
2
4
1

đó max{f (x0 ), f (x1 )} = 0. Lấy xλ = thì f (xλ ) = f (x0 ) = 0. Vậy theo Định
2
nghĩa 1.3.2, hàm f (x) trên [0, 2] không là tựa lồi hiện.
Với x0 =

Ta có
f (x) =




nếu 0 ≤ x ≤ 1

0

 −2(x − 1) nếu 1 ≤ x ≤ 2
Nếu f (x1 ) = 0 thì ta có f (x1 )(x0 − x1 ) = 0 với mọi x0 , x1 ∈ [0, 1]. Do đó, hàm
f (x) trên [0, 2] không thoả mãn Định nghĩa 1.3.3, suy ra hàm không giả lồi.

Hình 1.7: Hàm f (x) không lồi vì (xλ , f (xλ )) luôn nằm phía trên đoạn
nối từ (x0 , f (x0 )) đến (x1 , f (x1 )).

14


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1
1
Hình 1.7 mô tả hàm f (x) không lồi. Thật vậy, ta có xλ = và x0 = , xλ =

2
3
3
1
1
với λ = . Khi đó f (xλ ) > (1 − λ)f (x0 ) + λf (x1 ) = − . Vậy hàm f (x)
2
8
32
không thoả mãn định nghĩa hàm lồi.
Ví dụ 1.3.2. Hàm tựa lồi nhưng không là tựa lồi hiện

 |x| nếu x = 0
x
f (x) =

0 nếu x = 0.
Ví dụ 1.3.3. Hàm f (x) =

√

x là hàm tựa lồi hiện trên [0, +∞[.

√
Với mỗi x0 , x1 ∈ [0, +∞[ ta cho f (x0 ) = max{f (x0 ), f (x1 )} khi đó x0 ≥
√
√
√
√
x1 , do đó x0 ≥ x1 . Ta có x1 ≤ xλ ≤ x0 nên x1 ≤ xλ ≤ x0 . Vậy

hàm thoả mãn Định nghĩa 1.3.1, hàm f là tựa lồi. Nếu f (xλ ) = f (x0 ) thì
xλ = λx0 + (1 − λ)x1 = x0 do đó λ = 1. Tương tự nếu f (xλ ) = f (x1 ) thì
xλ = 0. Vậy hàm f (x) thoả mãn Định Nghĩa 1.3.2, hàm f (x) là tựa lồi hiện.

Hình 1.8: Hàm f (x) =

√
x tập mức dưới Lα (f ) (miền tô đậm trên Ox) là tập lồi.

Điểm cực tiểu địa phương (0, 0) là điểm cực tiểu toàn cục.

Ví dụ 1.3.4. Hàm f (x) = −2x2 trên đoạn [0, 1] là tựa lồi hiện. Thật vậy,
với x0 , x1 ∈ [0, 1] có max{f (x0 ), f (x1 )} = f (x0 ), do đó −2x20 > −2x21 khi đó
x0 < x1 . Vì vậy, với mỗi xλ ∈ [x0 , x1 ], ta có −2x21 < −2x2λ < −2x20 . Suy
ra f (xλ ) < f (x0 ), vậy theo Định nghĩa 1.3.1 hàm là tựa lồi. Mặt khác, nếu
15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

f (xλ ) = max{f (x0 ), f (x1 )} = f (x0 ) thì xλ = λx0 + (1 − λ)x1 = x0 suy ra
λ = 1. Tương tự với f (xλ ) = f (x1 ) khi đó λ = 0. Vậy hàm f (x) = −2x2 thỏa
mãn công thức (1.3),hàm là tựa lồi hiện.

Hình 1.9: Hàm f (x) = −2x2 với tập mức dưới Lα (f ) là lồi.

Định nghĩa 1.3.3. (xem [4]) Hàm khả vi f trên D ⊆ Rn được gọi là giả lồi
(pseudoconvex) nếu mỗi x0 , x1 ∈ D, ta có
f (x1 ), x0 − x1 < 0.

f (x0 ) < f (x1 ) kéo theo
Nếu x∗ là điểm dừng của f tức là

(1.4)

f (x∗ ) = 0, khi đó x∗ là điểm cực tiểu

toàn cục của f. Vậy với tính chất (S) hàm đã cho là hàm giả lồi.

Hình 1.10: Đồ thị hàm giả lồi f (x) = −x2 − x

16


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Ví dụ 1.3.5. Hàm f (x) = −x2 − x với 0 ≤ x ≤ 1 là hàm giả lồi. Thật
vậy, ta xét x0 , x1 ∈ [0, 1] ta có f (x0 ) < f (x1 ) khi đó x0 > x1 . Mặt khác,
f (x1 ) = −2x1 − 1 < 0 với mọi x1 ∈ [0, 1] , nên
f (x1 ), x0 − x1 = f (x1 ).(x0 − x1 ) < 0.
Hàm thoả mãn công thức (1.4), hàm là giả lồi.
Bổ đề 1.3.2. Với tập D ⊆ Rn lồi mở, nếu hàm f : D → R là giả lồi thì nó là
hàm tựa lồi.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh hàm f : D → R là khả vi trên tập lồi
mở D ⊂ X là tựa lồi khi và chỉ khi với mọi x0 , x1 ∈ D
f (x1 ) ≤ f (x0 ) suy ra

∇f (x0 ), x1 − x0 ≤ 0.

(1.5)

Thật vậy, giả sử f (x1 ) ≤ f (x0 ), vì hàm f là tựa lồi nên ta có
f [(1 − λ)x1 + λx0 ] ≤ max{f (x0 ), f (x1 )} = f (x0 ),
hay
f [x0 + λ(x1 − x0 )] − f (x0 ) ≤ 0.
Nhân cả hai vế với

1
và cho λ ↓ 0 ta có
λ
f + (x0 ; x1 − x0 ) ≤ 0

điều kiện tồn tại (đạo hàm theo hướng một phía) Định nghĩa 1.1.1. Mà hàm f
là khả vi nên
f (x0 )(x1 − x0 ) = f + (x0 ; x1 − x0 ) ≤ 0.
Do đó ta có ∇f (x0 ), x1 − x0 = f (x0 )(x1 − x0 ) ≤ 0.
Ngược lại, hàm khả vi thoả mãn (1.5). Với hai điểm x, y ∈ D sao cho
f (x) ≤ f (y), hàm φ : [0, 1] → R xác định bởi
φ(λ) = f [(1 − λ)x + λy] = f [x + λ(y − x)] .
17


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Ta phải chỉ ra rằng φ(λ) ≤ φ(1) với mọi λ ∈ (0, 1). Giả sử ngược lại φ(λ) > φ(1)
với mọi λ. Khi đó với λ0 ∈ (0, 1) thì φ(λ0 ) > φ(1) và φ (λ0 ) > 0. Từ quy tắc
đạo hàm hàm hợp.
φ (λ0 ) = f [x + λ0 (y − x)] (y − x) = f (xλ )(y − x)
với xλ = x1 + λ0 (y − x). Mà f (xλ ) = φ(λ0 ) > φ(1) = f (y), vậy từ (1.5)
f (xλ )(y − xλ ) ≤ 0.

Vì y − xλ = (1 − λ0 )(y − x), ta có
φ (λ0 ) = f (xλ )(y − x) =

1
f (xλ )(y − xλ ) ≤ 0.
1 − λ0

Từ chứng minh trên ta suy ra hàm f khả vi là tựa lồi trên tập lồi D khi và
chỉ khi với mỗi x0 , x1 ∈ D, ta có
f (x0 ) < f (x1 ) kéo theo

f (x1 ), x0 − x1 ≤ 0.

Mặt khác, ta thấy với mỗi x0 , x1 ∈ D, x0 , x1 ∈ D thoả mãn công thức (1.4)
thì đều thoả mãn công thức trên. Vậy hàm f : D → R là giả lồi thì nó là hàm
tựa lồi.
Ta tìm hiểu liệu các tính chất (S), (M), (L) vẫn còn đúng nếu có một nhiễu
tuyến tính đủ nhỏ được thêm vào hàm đang xét.
Định nghĩa 1.3.4. (xem [4]) Một hàm lồi suy rộng f được gọi là ổn định đối
với tính chất (P ) nếu tồn tại một ε > 0 sao cho
f + ξ, · thỏa mãn tính chất (P ) khi ξ < ε

(ξ ∈ Rn ) .

Khi đó câu hỏi đặt ra là hàm tựa lồi, hoặc hàm tựa lồi hiện, hoặc hàm giả
lồi có là ổn định đối với tính chất (L)-mọi tập mức dưới là lồi, (M)-mọi điểm
cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục, (S)-điểm dừng là điểm cực tiểu toàn
18

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

cục tương ứng không?
Nếu miền D không compact, ta có một phản ví dụ cụ thể là
f (x) = −ex , x ∈ ]−∞, +∞[ .
Rõ ràng, hàm này là tựa lồi, tựa lồi hiện, và giả lồi. Thật vậy, với x0 , x1 ∈ D =
[−∞, +∞] , nếu ta có max{f (x0 ), f (x1 )} = f (x1 ) tức là f (x0 ) < f (x1 ) suy ra
−ex0 < −ex1 thì x0 > x1 .
Mặt khác, ta có xλ = (1−λ)x0 +λx1 , tức là xλ ∈ [x0 , x1 ] . Khi đó, x0 > xλ >
x1 do đó −ex0 < −exλ < −ex1 , suy ra f (xλ ) < f (x1 ) = max{f (x0 ), f (x1 )}. Vậy
rõ ràng hàm f (x) = −ex thoả mãn công thức 1.2 nên hàm tựa lồi. Hơn thế
nữa, với f (xλ ) = f (x1 ) = max{f (x0 ), f (x1 )} thì xλ = x1 tại đó λ = 1, tương
tự với f (xλ ) = f (x0 ) thì λ = 0. Vậy với f (x0 ) = f (x1 ) theo Định nghĩa 1.3.2
thì hàm f (x) = ex là tựa lồi hiện.

Hình 1.11: Đồ thị hàm f (x) = −ex là hàm tựa lồi, với tính chất
tập mức dưới Lα (f ) (miền in đậm trên trục Ox) là tập lồi.

Hàm f (x) = −ex là giả lồi vì với x0 , x1 ∈ D nếu ta có f (x0 ) < f (x1 ) thì
x0 > x1 tức là x0 − x1 > 0. Khi đó
f (x1 ), x0 − x1 = f (x1 )(x0 − x1 ) = −ex1 (x0 − x1 ) < 0.

19


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Hình 1.12: Hình minh hoạ cho hàm f˜(x) = −ex + ax không thoả mãn tính chất (L),
vì tập mức dưới Lα (f˜) không là tập lồi.

Nhưng với mỗi a ∈ ]0, +∞[ , hàm nhiễu f˜(x) = f (x) + ax với tính chất (L)
và (S) là không đúng. Ta đặt,
ak :=

1 ˜
, f (x) = −ex + ak x, và xk := − ln k, k > 0.
k

Vậy thì
1
f˜ (xk ) := 0 và f˜ (xk ) = −e(− ln x) = − < 0, k ≥ 1.
k
Do đó, các điểm dừng của f˜ không phải luôn luôn là điểm cực tiểu toàn
cục. Vì lim ak = 0, không tồn tại ε > 0 sao cho f (x) + ax với |a| < ε thoả
k→∞

mãn tính chất (S).
Trường hợp miền đang xét là compact, ta có thể thấy hàm tựa lồi và tựa
lồi hiện là không ổn định giống như vậy.
Bổ đề 1.3.3. (xem [4]) Hàm tựa lồi và hàm tựa lồi hiện không ổn định với
tính chất (L), và/ hoặc (M), cả khi miền đang xét là compact.
Chứng minh. Ta cũng có thể chứng minh mệnh đề trên bằng phản ví dụ 1.3.4
là hàm tựa lồi, hàm tựa lồi hiện đó là hàm f (x) = −2x2

20

với 0 ≤ x ≤ 1.


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Hình 1.13: Biểu diễn hàm f˜(x) = −2x2 + ax với tập mức dưới Lα (f˜)
(miền in đậm trên trục Ox) không lồi.

1
Ta xét hàm f˜(x) = −2x2 + ax với mỗi a ∈ 0,
. Hàm tăng ngặt trên
2
a
a
0,
và giảm ngặt
, 1 . Tập mức dưới Lα f˜ = {x : f˜(x) ≤ α}. Nếu
4
4
a2
0<α<
thì tập mức dưới Lα (f˜) là hợp của hai khoảng rời nhau nên nó
8
không lồi. Vậy nó không thỏa mãn tính chất (L)-mọi tập mức dưới là lồi. Hình
1.13 mô tả hàm nhiễu không ổn định với tính chất (L).
Ngoài ra, tại x = 0 hàm đạt giá trị cực tiểu địa phương nhưng không là cực
tiểu toàn cục, vì f˜(0) = 0 > a − 2 = f˜(1). Do đó,

ε sao cho 0 < a < ε để f˜

thỏa mãn tính chất (L) hoặc (M).
Khó khăn hơn trong việc xét tính không ổn định của hàm giả lồi với miền
compact.
Bổ đề 1.3.4. (xem [4]) Hàm giả lồi không ổn định với tính chất mọi điểm

dừng là cực tiểu toàn cục, kể cả nếu miền đang xét là compact. Chứng minh.
Xét hàm

x

1
t sin dt + x2 , x ∈ [−1, 1] .
t

f (x) =
−1

21


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Ta có


 x sin 1 + 2
x
f (x) =

0

nếu

x=0

nếu

x = 0.

Rõ ràng,

 <0
f (x)
 >0

nếu

x ∈ ]−1, 0[

nếu

x ∈ ]0, 1[ .

Do đó, f là giả lồi trên miền compact [−1, 1] . Ta đặt
ak := −

1
1
, fk (x) := f (x) + ak x, và xk := −
, k ≥ 1.
kπ
2kπ
f (x) = sin

1 1

1
− cos + 2, ne´ˆu x = 0.
x x
x

Vậy thì
f˜k (xk ) := 0 và f˜k (xk ) = 2(1 − kπ) < 0, k ≥ 1.
Do đó, các điểm dừng của fk không phải luôn luôn là điểm cực tiểu toàn cục.
Vì lim ak = 0, không tồn tại ε > 0 sao cho f (x) + ax thỏa mãn tính chất (S)
k→∞

nếu |a| < ε.

22