Bài giảng đại số tuyến tính

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

ĐỊNH THỨC
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê

ĐỊNH THỨC

1/8


Ma trận con bù
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n.
bỏ dòng i

A −−−−−→

Mij

bỏ cột j

↓
ma trận con bù của aij
Ví dụ: Xét ma trận



2 −1 3
4 −5 
A=  1
−3 2 −2

ma trận con bù của a12 : M12 =

1 −5
−3 −2

ma trận con bù của a31 : M31 =

−1 3
4 −5

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

ĐỊNH THỨC

2/8


Khái niệm định thức
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số thực,
ký hiệu bởi det(A), và được xác định bởi qui nạp theo n như sau
n = 2:
a11 a12
⇒ det(A) = a11 a22 − a12 a21
a21 a22

A=
Ví dụ: A =

1
3

2
⇒ det(A) = −2
4

n ≥ 3:
det(A) = (−1)k +1 ak1 det(Mk1 ) + · · · + (−1)k +n akn det(Mkn )
(với k bất kỳ trong tập {1, 2, ..., n })

−1 2 2
Ví dụ: Tính định thức của ma trận A =  3 1 4
−2 3 1

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)



ĐỊNH THỨC

3/8


Qui tắc Sarrus (tính định thức cấp 3)
Qui tắc Sarrus

Ví dụ:

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

ĐỊNH THỨC

4/8


Lưu ý

Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ
Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau


3
1
0 2
 −1 2
0 3

A=
 1 −2 0 1
2 −1 −2 0
Khai triển theo cột thứ 3
3
det(A) = (−1)4+3 (−2) −1
1

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

ĐỊNH THỨC

1 2
2 3 = 28

−2 1

5/8


Phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Loại 1: Đổi chỗ hai dòng (di ←→ dj )
λ =0

Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0 (di −−→ λdi )
Loại 3: Thay một dòng bởi dòng đó cộng với bội số của một dòng khác
λ ∈R

di −−→ di + λdj

Các phép biến đổi sơ cấp trên cột (tương tự)

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

ĐỊNH THỨC

6/8


Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức thì định thức đổi dấu
Nhân một dòng của ma trận A với số λ = 0 thì định thức của ma

trận thu được gấp λ lần định thức của A
Phép biến đổi loại 3 không làm thay đổi định thức
Ví dụ: Tính định thức của ma trận

1
2
A=
3
4

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

ĐỊNH THỨC

2
3
4
1

3
4
1
2


4
1

2
3

7/8


Một số tính chất khác
Nếu ma trận có hai dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì định thức của ma trận
đó bằng 0
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính
det(λA) = λn det(A)
det(AT ) = det(A)
det(AB) = det(A)det(B)



a1k
a2k 
 
Nếu A = [a1 ...aj ...an ] và aj = aj + aj , trong đó ak =  .  thì
 .. 
ank
det(A) = det([a1 ...aj ...an ]) + det([a1 ...aj ...an ])

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

ĐỊNH THỨC

8/8